005 《工程物理学 (Engineering Physics): 理论、应用与前沿》

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书籍大纲

▮▮ 1. 绪论：工程物理学的地位与作用 (Introduction: The Position and Role of Engineering Physics)
▮▮▮▮ 1.1 1.1 工程物理学的定义与范畴 (Definition and Scope of Engineering Physics)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.1 1.1.1 物理学与工程学的交叉 (Intersection of Physics and Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.2 1.1.2 工程物理学的学科特点 (Disciplinary Characteristics of Engineering Physics)
▮▮▮▮ 1.2 1.2 工程物理学在工程技术中的作用 (Role of Engineering Physics in Engineering Technology)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 1.2.1 在传统工程领域的应用 (Applications in Traditional Engineering Fields)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 1.2.2 在新兴工程领域的应用 (Applications in Emerging Engineering Fields)
▮▮▮▮ 1.3 1.3 本书内容概要与学习方法 (Book Overview and Learning Methods)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.1 1.3.1 本书的结构与内容 (Structure and Content of this Book)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.2 1.3.2 工程物理学的学习方法建议 (Learning Methods for Engineering Physics)
▮▮ 2. 力学基础：从牛顿力学到分析力学 (Fundamentals of Mechanics: From Newtonian Mechanics to Analytical Mechanics)
▮▮▮▮ 2.1 2.1 质点力学 (Particle Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.1 2.1.1 运动学基本概念 (Basic Concepts of Kinematics)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.2 2.1.2 牛顿运动定律及其应用 (Newton's Laws of Motion and Applications)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.3 2.1.3 功、能与能量守恒 (Work, Energy and Conservation of Energy)
▮▮▮▮ 2.2 2.2 刚体力学 (Rigid Body Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.1 2.2.1 刚体的转动与角量 (Rotation and Angular Quantities of Rigid Bodies)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.2 2.2.2 刚体的转动定律与平衡 (Laws of Rotation and Equilibrium of Rigid Bodies)
▮▮▮▮ 2.3 2.3 流体力学基础 (Fundamentals of Fluid Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 2.3.1 流体的基本概念与性质 (Basic Concepts and Properties of Fluids)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 2.3.2 流体静力学与浮力 (Fluid Statics and Buoyancy)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.3 2.3.3 流体动力学初步 (Introduction to Fluid Dynamics)
▮▮ 3. 热学：热力学定律与统计物理初步 (Thermodynamics: Laws of Thermodynamics and Introduction to Statistical Physics)
▮▮▮▮ 3.1 3.1 热力学基本概念 (Basic Concepts of Thermodynamics)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.1 3.1.1 热力学系统与状态 (Thermodynamic Systems and States)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.2 3.1.2 热力学过程与准静态过程 (Thermodynamic Processes and Quasi-static Processes)
▮▮▮▮ 3.2 3.2 热力学定律 (Laws of Thermodynamics)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 3.2.1 热力学第零定律与温度 (Zeroth Law of Thermodynamics and Temperature)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 3.2.2 热力学第一定律与内能 (First Law of Thermodynamics and Internal Energy)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.3 3.2.3 热力学第二定律与熵 (Second Law of Thermodynamics and Entropy)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.4 3.2.4 热力学第三定律 (Third Law of Thermodynamics)
▮▮▮▮ 3.3 3.3 统计物理初步 (Introduction to Statistical Physics)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 3.3.1 统计物理的基本思想 (Basic Ideas of Statistical Physics)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 3.3.2 经典统计分布 (Classical Statistical Distributions)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.3 3.3.3 熵的统计意义 (Statistical Meaning of Entropy)
▮▮ 4. 波动、振动与光学 (Waves, Oscillations and Optics)
▮▮▮▮ 4.1 4.1 机械振动与机械波 (Mechanical Oscillations and Mechanical Waves)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.1 4.1.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.2 4.1.2 阻尼振动与受迫振动 (Damped and Forced Oscillations)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.3 4.1.3 机械波的产生与传播 (Generation and Propagation of Mechanical Waves)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.4 4.1.4 波的叠加与干涉、衍射 (Superposition, Interference and Diffraction of Waves)
▮▮▮▮ 4.2 4.2 电磁波 (Electromagnetic Waves)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 4.2.1 麦克斯韦方程组与电磁波的产生 (Maxwell's Equations and Generation of Electromagnetic Waves)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 4.2.2 电磁波的特性与频谱 (Properties and Spectrum of Electromagnetic Waves)
▮▮▮▮ 4.3 4.3 光学 (Optics)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.1 4.3.1 几何光学：光的反射与折射 (Geometric Optics: Reflection and Refraction of Light)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.2 4.3.2 物理光学：光的干涉、衍射与偏振 (Physical Optics: Interference, Diffraction and Polarization of Light)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.3 4.3.3 激光原理与应用 (Laser Principles and Applications)
▮▮ 5. 电磁学 (Electromagnetism)
▮▮▮▮ 5.1 5.1 静电场 (Electrostatics)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 5.1.1 电荷与库仑定律 (Electric Charge and Coulomb's Law)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 5.1.2 电场与电势 (Electric Field and Electric Potential)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.3 5.1.3 导体与电介质 (Conductors and Dielectrics)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.4 5.1.4 电容与静电能 (Capacitance and Electrostatic Energy)
▮▮▮▮ 5.2 5.2 静磁场 (Magnetostatics)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 5.2.1 磁场与磁场力 (Magnetic Field and Magnetic Force)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 5.2.2 电流的磁场：毕奥-萨伐尔定律与安培环路定律 (Magnetic Field of Current: Biot-Savart Law and Ampere's Law)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.3 5.2.3 磁介质与磁化 (Magnetic Materials and Magnetization)
▮▮▮▮ 5.3 5.3 时变电磁场与电磁感应 (Time-Varying Electromagnetic Fields and Electromagnetic Induction)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.1 5.3.1 电磁感应与法拉第定律 (Electromagnetic Induction and Faraday's Law)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.2 5.3.2 动生电动势与感生电动势 (Motional EMF and Induced EMF)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.3 5.3.3 自感与互感 (Self-Inductance and Mutual Inductance)
▮▮▮▮ 5.4 5.4 麦克斯韦方程组与电磁波 (Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves)
▮▮▮▮▮▮ 5.4.1 5.4.1 麦克斯韦方程组的完整形式 (Complete Form of Maxwell's Equations)
▮▮▮▮▮▮ 5.4.2 5.4.2 电磁波的传播与能量 (Propagation and Energy of Electromagnetic Waves)
▮▮ 6. 量子力学基础 (Fundamentals of Quantum Mechanics)
▮▮▮▮ 6.1 6.1 量子力学产生的历史背景与基本概念 (Historical Background and Basic Concepts of Quantum Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 6.1.1 经典物理学的局限性与量子力学的诞生 (Limitations of Classical Physics and the Birth of Quantum Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.2 6.1.2 波粒二象性与物质波 (Wave-Particle Duality and Matter Waves)
▮▮▮▮ 6.2 6.2 不确定性原理与量子态 (Uncertainty Principle and Quantum States)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.1 6.2.1 海森堡不确定性原理 (Heisenberg Uncertainty Principle)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.2 6.2.2 波函数与概率诠释 (Wave Function and Probability Interpretation)
▮▮▮▮ 6.3 6.3 薛定谔方程与量子算符 (Schrödinger Equation and Quantum Operators)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.1 6.3.1 含时薛定谔方程 (Time-Dependent Schrödinger Equation)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.2 6.3.2 定态薛定谔方程与 stationary states (定态) (Time-Independent Schrödinger Equation and Stationary States)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.3 6.3.3 量子算符与力学量 (Quantum Operators and Physical Quantities)
▮▮ 7. 固体物理 (Solid State Physics)
▮▮▮▮ 7.1 7.1 晶体结构 (Crystal Structure)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.1 7.1.1 晶体与非晶体 (Crystalline and Amorphous Solids)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.2 7.1.2 晶格与晶胞 (Crystal Lattice and Unit Cell)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.3 7.1.3 晶系与密勒指数 (Crystal Systems and Miller Indices)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.4 7.1.4 常见晶体结构 (Common Crystal Structures)
▮▮▮▮ 7.2 7.2 固体中的电子能带理论 (Electron Band Theory in Solids)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 7.2.1 能带的形成 (Formation of Energy Bands)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 7.2.2 金属、绝缘体与半导体的能带结构 (Band Structures of Metals, Insulators and Semiconductors)
▮▮▮▮ 7.3 7.3 半导体物理 (Semiconductor Physics)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.1 7.3.1 本征半导体与杂质半导体 (Intrinsic and Extrinsic Semiconductors)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.2 7.3.2 掺杂与载流子浓度控制 (Doping and Carrier Concentration Control)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.3 7.3.3 载流子输运：漂移与扩散 (Carrier Transport: Drift and Diffusion)
▮▮▮▮ 7.4 7.4 超导电性 (Superconductivity)
▮▮▮▮▮▮ 7.4.1 7.4.1 超导现象的发现与特性 (Discovery and Properties of Superconductivity)
▮▮▮▮▮▮ 7.4.2 7.4.2 BCS 理论简介 (Introduction to BCS Theory)
▮▮▮▮▮▮ 7.4.3 7.4.3 高温超导电性初步 (Introduction to High-Temperature Superconductivity)
▮▮ 8. 材料物理 (Materials Physics)
▮▮▮▮ 8.1 8.1 材料分类与基本性质 (Materials Classification and Basic Properties)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.1 8.1.1 材料的分类 (Classification of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.2 8.1.2 材料的基本物理性质 (Basic Physical Properties of Materials)
▮▮▮▮ 8.2 8.2 材料的力学性能 (Mechanical Properties of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.1 8.2.1 应力与应变 (Stress and Strain)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.2 8.2.2 弹性与塑性 (Elasticity and Plasticity)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.3 8.2.3 强度、韧性与断裂 (Strength, Toughness and Fracture)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.4 8.2.4 疲劳与蠕变 (Fatigue and Creep)
▮▮▮▮ 8.3 8.3 材料的热学、电学、光学与磁学性能 (Thermal, Electrical, Optical and Magnetic Properties of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.1 8.3.1 材料的热学性能 (Thermal Properties of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.2 8.3.2 材料的电学性能 (Electrical Properties of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.3 8.3.3 材料的光学性能 (Optical Properties of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.4 8.3.4 材料的磁学性能 (Magnetic Properties of Materials)
▮▮ 9. 现代物理专题 (Topics in Modern Physics)
▮▮▮▮ 9.1 9.1 相对论基础 (Fundamentals of Relativity)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 9.1.1 狭义相对论 (Special Relativity)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 9.1.2 广义相对论初步 (Introduction to General Relativity)
▮▮▮▮ 9.2 9.2 核物理与原子核工程 (Nuclear Physics and Nuclear Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.1 9.2.1 原子核的结构与性质 (Structure and Properties of Atomic Nucleus)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.2 9.2.2 放射性与核衰变 (Radioactivity and Nuclear Decay)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.3 9.2.3 核反应与核能 (Nuclear Reactions and Nuclear Energy)
▮▮▮▮ 9.3 9.3 粒子物理初步 (Introduction to Particle Physics)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.1 9.3.1 基本粒子与标准模型 (Elementary Particles and the Standard Model)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.2 9.3.2 基本相互作用力 (Fundamental Forces)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.3 9.3.3 粒子加速器简介 (Introduction to Particle Accelerators)
▮▮▮▮ 9.4 9.4 宇宙学简介 (Introduction to Cosmology)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.1 9.4.1 大爆炸理论与宇宙演化 (Big Bang Theory and Cosmic Evolution)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.2 9.4.2 宇宙膨胀与宇宙微波背景辐射 (Cosmic Expansion and Cosmic Microwave Background Radiation)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.3 9.4.3 暗物质与暗能量 (Dark Matter and Dark Energy)
▮▮ 10. 工程物理实验 (Engineering Physics Experiments)
▮▮▮▮ 10.1 10.1 实验基本方法与误差分析 (Basic Experimental Methods and Error Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.1 10.1.1 物理实验的基本方法 (Basic Methods of Physics Experiments)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.2 10.1.2 误差分析与数据处理 (Error Analysis and Data Processing)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.3 10.1.3 实验报告撰写规范 (Standard for Experimental Report Writing)
▮▮▮▮ 10.2 10.2 经典力学实验 (Classical Mechanics Experiments)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.1 10.2.1 重力加速度的测量 (Measurement of Gravitational Acceleration)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.2 10.2.2 机械能守恒定律的验证 (Verification of Conservation of Mechanical Energy)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.3 10.2.3 转动惯量的测量 (Moment of Inertia Measurement)
▮▮▮▮ 10.3 10.3 热学与光学实验 (Thermal and Optical Experiments)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.1 10.3.1 热导率的测量 (Measurement of Thermal Conductivity)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.2 10.3.2 反射定律与折射定律的验证 (Verification of Laws of Reflection and Refraction)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.3 10.3.3 光波波长的测量 (Measurement of Wavelength of Light)
▮▮▮▮ 10.4 10.4 电磁学与近代物理实验 (Electromagnetism and Modern Physics Experiments)
▮▮▮▮▮▮ 10.4.1 10.4.1 螺线管磁场的测量 (Measurement of Magnetic Field of Solenoid)
▮▮▮▮▮▮ 10.4.2 10.4.2 法拉第电磁感应定律的验证 (Verification of Faraday's Law of Induction)
▮▮▮▮▮▮ 10.4.3 10.4.3 光电效应实验 (Photoelectric Effect Experiment)
▮▮ 11. 数学物理方法 (Mathematical Methods in Physics)
▮▮▮▮ 11.1 11.1 矢量分析 (Vector Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 11.1.1 11.1.1 矢量代数与矢量运算 (Vector Algebra and Vector Operations)
▮▮▮▮▮▮ 11.1.2 11.1.2 矢量微积分：梯度、散度与旋度 (Vector Calculus: Gradient, Divergence and Curl)
▮▮▮▮▮▮ 11.1.3 11.1.3 曲线坐标系 (Curvilinear Coordinates)
▮▮▮▮ 11.2 11.2 微分方程 (Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮ 11.2.1 11.2.1 常微分方程 (Ordinary Differential Equations)
▮▮▮▮▮▮ 11.2.2 11.2.2 偏微分方程与分离变量法 (Partial Differential Equations and Separation of Variables)
▮▮▮▮▮▮ 11.2.3 11.2.3 物理学中常见的偏微分方程 (Common Partial Differential Equations in Physics)
▮▮▮▮ 11.3 11.3 傅里叶分析 (Fourier Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 11.3.1 11.3.1 傅里叶级数 (Fourier Series)
▮▮▮▮▮▮ 11.3.2 11.3.2 傅里叶变换 (Fourier Transform)
▮▮▮▮▮▮ 11.3.3 11.3.3 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform)
▮▮▮▮ 11.4 11.4 复变函数分析初步 (Introduction to Complex Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 11.4.1 11.4.1 复数与复变函数 (Complex Numbers and Complex Functions)
▮▮▮▮▮▮ 11.4.2 11.4.2 复变函数微分与解析函数 (Complex Differentiation and Analytic Functions)
▮▮▮▮▮▮ 11.4.3 11.4.3 复变函数积分与留数定理 (Complex Integration and Residue Theorem)
▮▮▮▮ 11.5 11.5 概率与统计初步 (Introduction to Probability and Statistics)
▮▮▮▮▮▮ 11.5.1 11.5.1 概率的基本概念 (Basic Concepts of Probability)
▮▮▮▮▮▮ 11.5.2 11.5.2 随机变量与概率分布 (Random Variables and Probability Distributions)
▮▮▮▮▮▮ 11.5.3 11.5.3 数理统计初步 (Introduction to Mathematical Statistics)
▮▮ 附录A: 常用物理常数表 (Table of Common Physical Constants)
▮▮ 附录B: 常用数学公式与积分表 (Table of Common Mathematical Formulas and Integrals)
▮▮ 附录C: 物理单位与量纲 (Physical Units and Dimensions)
▮▮ 附录D: 工程物理学发展简史与重要人物 (Brief History of Engineering Physics and Important Figures)
▮▮ 附录E: 参考文献 (References)
▮▮ 附录F: 术语中英文对照表 (Glossary of Terms in Chinese and English)

1. 绪论：工程物理学的地位与作用 (Introduction: The Position and Role of Engineering Physics)

本章概述工程物理学 (Engineering Physics) 的定义、研究范畴、在工程技术领域中的重要地位和作用，以及本书的整体结构和学习方法，旨在引导读者对工程物理学建立初步的认识，明确学习目标。

1.1 工程物理学的定义与范畴 (Definition and Scope of Engineering Physics)

本节详细阐述工程物理学 (Engineering Physics) 的定义，明确其作为物理学 (Physics) 与工程技术桥梁的学科定位，并界定工程物理学 (Engineering Physics) 的研究范畴，包括其所涵盖的物理学分支和工程应用领域。

1.1.1 物理学与工程学的交叉 (Intersection of Physics and Engineering)

物理学 (Physics) 和工程学 (Engineering) 是人类知识体系中相辅相成的两个重要分支。物理学作为一门基础自然科学，旨在探索和理解自然界的 fundamental laws (基本规律) 和 phenomena (现象)，从微观粒子到宏观宇宙，物理学试图建立一个统一的理论框架来解释宇宙的运行机制。工程学则是一门应用科学，侧重于运用科学和数学的原理，设计、建造和维护各种系统、设备和结构，以解决实际问题，满足人类的需求。工程学的进步和创新，在很大程度上依赖于物理学的理论突破和技术发展。

工程物理学 (Engineering Physics) 正是物理学 (Physics) 与工程学 (Engineering) 深度交叉和融合的产物。它不仅仅是物理学原理在工程领域的简单应用，更是一个独立的学科，它利用物理学的 fundamental theories (基础理论) 和 experimental methods (实验方法)，来解决工程技术中遇到的复杂问题，并推动工程技术的创新和发展。

① 物理学为工程学提供理论基础:
工程学的各个领域，如机械工程 (Mechanical Engineering)、电子工程 (Electrical Engineering)、材料工程 (Materials Engineering)、 civil engineering (土木工程) 等，都离不开物理学的基本原理作为理论支撑。例如：
▮▮▮▮ⓐ 力学原理: 是机械工程、 civil engineering (土木工程) 等领域进行结构设计、运动分析的基础。从简单的牛顿运动定律 (Newton's laws of motion) 到复杂的分析力学 (Analytical Mechanics)，力学理论指导着机械结构的强度分析、运动机构的设计和优化。
▮▮▮▮ⓑ 热力学原理: 是能源工程、化工工程等领域进行能量转换、热量传递分析的理论基础。热力学定律 (Laws of Thermodynamics) 约束着热机的效率极限，指导着制冷、供热等系统的设计。
▮▮▮▮ⓒ 电磁学原理: 是电子工程、通信工程等领域进行电路设计、信号传输的基础。 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 揭示了电磁现象的本质，是无线通信、雷达技术、电力系统等工程领域的理论基石。
▮▮▮▮ⓓ 光学原理: 是光学工程、光电信息工程等领域进行光学系统设计、光信息处理的基础。 geometric optics (几何光学) 和 physical optics (物理光学) 理论，指导着望远镜、显微镜、激光器、光纤通信等光学器件和系统的研发。
▮▮▮▮ⓔ 量子力学原理: 是 modern electronics (现代电子学)、材料科学等领域进行微观器件设计、新材料开发的基础。量子力学 (Quantum Mechanics) 解释了原子、分子和固体的微观行为，是 semiconductor devices (半导体器件)、 laser (激光)、纳米材料等高科技领域的理论支柱。

② 工程需求反哺物理学发展:
工程技术的发展进步，不断对物理学提出新的挑战和需求，反过来也推动了物理学的发展。例如：
▮▮▮▮ⓐ 真空技术和材料科学的进步: 为粒子物理学 (Particle Physics) 的发展提供了实验条件。 particle accelerators (粒子加速器) 的建造和运行，需要超高真空环境和高性能的超导材料、探测器材料，这些工程技术的突破，反过来促进了凝聚态物理 (Condensed Matter Physics) 和材料物理学的发展。
▮▮▮▮ⓑ 计算机技术和信息技术的发展: 推动了 computational physics (计算物理) 的兴起。 复杂物理问题的数值模拟、大数据分析、人工智能算法在物理学研究中的应用，为物理学研究提供了新的手段和方法。
▮▮▮▮ⓒ 精密测量技术的发展: 使得物理常数的精确测量和 fundamental physics laws (基本物理规律) 的精细检验成为可能。 atomic clock (原子钟) 的精度不断提高，推动了 fundamental physics theories (基本物理理论) 如 relativity (相对论)、 quantum electrodynamics (量子电动力学) 的检验和发展。
▮▮▮▮ⓓ 航空航天技术和天文学的发展: 拓展了物理学的研究领域，促进了 astrophysics (天体物理学) 和 cosmology (宇宙学) 的发展。空间望远镜的发射、深空探测器的研制、引力波的探测等重大工程项目，为物理学研究提供了来自宇宙深处的宝贵信息。

工程物理学 (Engineering Physics) 正是处于物理学 (Physics) 与工程学 (Engineering) 的交汇点，它既要掌握扎实的物理学理论基础，又要具备解决实际工程问题的能力。工程物理学专业的学生，需要学习 physics (物理学) 的核心课程，如 mechanics (力学)、 electromagnetism (电磁学)、 thermodynamics and statistical physics (热力学与统计物理)、 quantum mechanics (量子力学)、 solid state physics (固体物理) 等，同时也要学习 engineering (工程学) 的基础课程，如 circuit theory (电路理论)、 electronics (电子学)、 materials science (材料科学)、 computer programming (计算机编程) 等。通过系统的学习和实践训练，工程物理专业的毕业生能够在 engineering fields (工程领域) 从事研发、设计、管理等工作，也可以在 physics research (物理学研究) 领域继续深造。

1.1.2 工程物理学的学科特点 (Disciplinary Characteristics of Engineering Physics)

工程物理学 (Engineering Physics) 作为物理学 (Physics) 与工程学 (Engineering) 的交叉学科，具有以下鲜明的学科特点：

① 理论性与实践性并重:
工程物理学 (Engineering Physics) 既强调物理学理论的系统性和完整性，又注重理论与实践的结合。
▮▮▮▮ⓐ 理论性: 工程物理学 (Engineering Physics) 以物理学的 fundamental theories (基础理论) 为核心，构建完整的知识体系。学生需要系统学习 mechanics (力学)、 electromagnetism (电磁学)、 thermodynamics (热力学)、 optics (光学)、 quantum mechanics (量子力学)、 solid state physics (固体物理) 等物理学的核心课程，掌握物理学的基本概念、基本定律和基本方法。
▮▮▮▮ⓑ 实践性: 工程物理学 (Engineering Physics) 强调理论联系实际，培养学生运用物理学知识解决实际工程问题的能力。通过实验课程、课程设计、科研项目、工程实践等环节，学生可以将所学的物理学理论应用于解决具体的工程问题，提高 problem-solving skills (问题解决能力) 和 practical skills (实践技能)。

② 基础性与应用性结合:
工程物理学 (Engineering Physics) 既重视物理学的基础理论研究，又关注物理学在工程技术领域的应用。
▮▮▮▮ⓐ 基础性: 工程物理学 (Engineering Physics) 的基础是物理学 (Physics)。 物理学是自然科学的基础，是其他自然科学和工程技术学科的基石。工程物理学 (Engineering Physics) 的学习，首先要打好扎实的物理学基础，掌握物理学的基本原理和研究方法。
▮▮▮▮ⓑ 应用性: 工程物理学 (Engineering Physics) 的应用目标是 engineering (工程)。 工程技术的发展进步，离不开物理学的理论指导和技术支撑。工程物理学 (Engineering Physics) 的学习，要注重将物理学知识应用于解决工程实际问题，服务于工程技术创新和产业发展。

③ 交叉性与综合性突出:
工程物理学 (Engineering Physics) 是物理学 (Physics) 与 engineering (工程学) 的交叉学科，具有明显的交叉性和综合性特点。
▮▮▮▮ⓐ 交叉性: 工程物理学 (Engineering Physics) 的研究内容和方法，涉及物理学 (Physics) 和 engineering (工程学) 多个学科领域。例如，材料物理 (Materials Physics) 是物理学 (Physics) 和材料科学 (Materials Science) 的交叉，凝聚态物理 (Condensed Matter Physics) 与电子工程 (Electrical Engineering)、材料工程 (Materials Engineering) 密切相关， optical physics (光学物理) 与光学工程 (Optical Engineering)、光电信息工程 (Optoelectronic Engineering) 紧密结合。
▮▮▮▮ⓑ 综合性: 工程物理学 (Engineering Physics) 培养学生的综合素质和能力。 工程物理学 (Engineering Physics) 的学习，不仅要掌握物理学和工程学的专业知识，还要培养科学思维、创新意识、工程素养、团队合作精神、沟通表达能力等综合素质。

④ 前沿性与发展性显著:
物理学 (Physics) 和 engineering technology (工程技术) 都在不断发展和进步，工程物理学 (Engineering Physics) 也因此具有显著的前沿性和发展性。
▮▮▮▮ⓐ 前沿性: 工程物理学 (Engineering Physics) 的研究领域，往往是 physics (物理学) 和 engineering technology (工程技术) 的前沿和热点方向。例如， quantum computing (量子计算)、 nanotechnology (纳米技术)、 photonics (光子学)、 advanced materials (先进材料)、 renewable energy (可再生能源) 等领域，都是工程物理学 (Engineering Physics) 关注的前沿方向。
▮▮▮▮ⓑ 发展性: 随着 physics (物理学) 和 engineering technology (工程技术) 的不断发展，工程物理学 (Engineering Physics) 的研究内容和应用领域也在不断拓展和深化。新的物理学理论和实验技术不断涌现，为工程物理学 (Engineering Physics) 的发展提供了新的机遇和挑战。

总之，工程物理学 (Engineering Physics) 是一门理论与实践并重、基础与应用结合、交叉性与综合性突出、前沿性与发展性显著的学科。学习工程物理学 (Engineering Physics)，不仅可以掌握扎实的物理学理论基础，还可以培养解决实际工程问题的能力，为未来的 career development (职业发展) 打下坚实的基础。

1.2 工程物理学在工程技术中的作用 (Role of Engineering Physics in Engineering Technology)

本节阐述工程物理学 (Engineering Physics) 在不同工程技术领域中的应用，例如 mechanical engineering (机械工程)、 electrical engineering (电子工程)、 materials engineering (材料工程)、 civil engineering (土木工程) 等，通过具体案例说明物理学原理如何支撑工程技术的创新与发展。

1.2.1 在传统工程领域的应用 (Applications in Traditional Engineering Fields)

工程物理学 (Engineering Physics) 在 mechanical engineering (机械工程)、 civil engineering (土木工程)、 chemical engineering (化工工程)、 mining engineering (矿业工程)、 agricultural engineering (农业工程) 等 traditional engineering fields (传统工程领域) 中，发挥着至关重要的作用。物理学的基本原理，为这些传统工程领域提供了理论基础和技术支撑。

① 机械工程 (Mechanical Engineering):
mechanical engineering (机械工程) 是 engineering (工程学) 中最古老、最广泛的领域之一，涉及机械设计、制造、运行和维护。工程物理学 (Engineering Physics) 的 mechanics (力学)、 thermodynamics (热力学)、 fluid mechanics (流体力学)、 materials physics (材料物理) 等分支，是 mechanical engineering (机械工程) 的理论基础。
▮▮▮▮ⓐ 力学原理在结构设计中的应用: mechanical structure (机械结构) 的设计，需要进行 strength analysis (强度分析)、 stiffness analysis (刚度分析)、 stability analysis (稳定性分析) 等。 mechanics (力学) 的 elasticity (弹性力学)、 plasticity (塑性力学)、 fracture mechanics (断裂力学) 等理论，为结构设计提供了理论依据和计算方法。例如， finite element analysis (有限元分析) (FEA) 软件，就是基于 elasticity (弹性力学) 理论，对复杂机械结构进行应力应变分析和强度校核。
\[ \sigma = E \epsilon \]
其中， \( \sigma \) 是 stress (应力)， \( \epsilon \) 是 strain (应变)， \( E \) 是 Young's modulus (杨氏模量)，描述了材料的 elasticity (弹性) 特性。
▮▮▮▮ⓑ 热力学原理在能源工程中的应用: energy engineering (能源工程) 是 mechanical engineering (机械工程) 的重要分支，涉及 energy conversion (能量转换)、 energy utilization (能量利用)、 renewable energy (可再生能源) 等领域。 thermodynamics (热力学) 的 laws of thermodynamics (热力学定律)、 heat transfer (传热学)、 combustion theory (燃烧理论) 等，是 energy engineering (能源工程) 的理论基础。例如， heat engine (热机) 的设计和 efficiency analysis (效率分析)，需要遵循 laws of thermodynamics (热力学定律) 的约束。 Carnot cycle (卡诺循环) 是 heat engine (热机) 效率的理论上限，为 heat engine (热机) 的设计和优化提供了方向。
\[ \eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H} \]
其中， \( \eta_{Carnot} \) 是 Carnot efficiency (卡诺效率)， \( T_C \) 是 cold reservoir temperature (低温热源温度)， \( T_H \) 是 hot reservoir temperature (高温热源温度)。
▮▮▮▮ⓒ 流体力学原理在流体机械中的应用: fluid machinery (流体机械) 如 pump (泵)、 fan (风机)、 turbine (透平机) 等，是 mechanical engineering (机械工程) 的重要组成部分。 fluid mechanics (流体力学) 的 fluid statics (流体静力学)、 fluid dynamics (流体动力学)、 boundary layer theory (边界层理论) 等，是 fluid machinery (流体机械) 的设计和性能分析的理论基础。例如， Bernoulli's equation (伯努利方程) 是 fluid dynamics (流体动力学) 中的重要方程，描述了 ideal fluid (理想流体) 在 steady flow (稳定流动) 中的 energy conservation (能量守恒) 关系，为 pipeline design (管道设计)、 airfoil design (翼型设计) 等提供了理论指导。
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = constant \]
其中， \( P \) 是 pressure (压强)， \( \rho \) 是 density (密度)， \( v \) 是 velocity (速度)， \( g \) 是 gravitational acceleration (重力加速度)， \( h \) 是 height (高度)。

② 土木工程 (Civil Engineering):
civil engineering (土木工程) 涉及 infrastructure construction (基础设施建设)，如 buildings (建筑物)、 bridges (桥梁)、 roads (道路)、 dams (水坝) 等。工程物理学 (Engineering Physics) 的 mechanics (力学)、 materials physics (材料物理)、 geophysics (地球物理学) 等分支，是 civil engineering (土木工程) 的理论基础。
▮▮▮▮ⓐ 力学原理在结构工程中的应用: structural engineering (结构工程) 是 civil engineering (土木工程) 的核心分支，涉及 building structure (建筑结构)、 bridge structure (桥梁结构) 的设计和 analysis (分析)。 mechanics (力学) 的 solid mechanics (固体力学)、 structural mechanics (结构力学)、 soil mechanics (土力学) 等理论，为 structural engineering (结构工程) 提供了理论基础和计算方法。 例如， method of joints (节点法)、 method of sections (截面法) 是 structural mechanics (结构力学) 中常用的 truss analysis (桁架分析) 方法， finite element analysis (有限元分析) (FEA) 软件也被广泛应用于 complex structures (复杂结构) 的 analysis (分析) 和 design (设计)。
▮▮▮▮ⓑ 材料物理在建筑材料中的应用: building materials (建筑材料) 如 concrete (混凝土)、 steel (钢材)、 brick (砖) 等，是 civil engineering (土木工程) 的重要组成部分。 materials physics (材料物理) 的 materials science (材料科学)、 materials mechanics (材料力学) 等理论，为 building materials (建筑材料) 的 selection (选择)、 performance evaluation (性能评估) 和 improvement (改进) 提供了理论指导。 例如， concrete (混凝土) 的 strength (强度)、 durability (耐久性) 等 properties (性质)，与其 microstructure (微观结构) 和 composition (成分) 密切相关， materials physics (材料物理) 的研究方法可以用于优化 concrete (混凝土) 的 formulation (配方) 和 preparation process (制备工艺)，提高其 engineering performance (工程性能)。
▮▮▮▮ⓒ 地球物理学在岩土工程中的应用: geotechnical engineering (岩土工程) 是 civil engineering (土木工程) 的重要分支，涉及 foundation engineering (地基工程)、 slope stability (边坡稳定性)、 tunnel engineering (隧道工程) 等。 geophysics (地球物理学) 的 seismology (地震学)、 geomechanics (地质力学)、 hydrogeology (水文地质学) 等，为 geotechnical engineering (岩土工程) 提供了理论基础和勘察方法。 例如， seismic wave (地震波) 的 propagation characteristics (传播特性) 可以用于 underground structure exploration (地下结构勘探)， soil mechanics (土力学) 的 effective stress principle (有效应力原理)、 consolidation theory (固结理论) 等，用于 foundation settlement prediction (地基沉降预测) 和 slope stability analysis (边坡稳定性分析)。

③ 化工工程 (Chemical Engineering):
chemical engineering (化工工程) 涉及 chemical process design (化工过程设计)、 chemical reaction engineering (化学反应工程)、 process control (过程控制) 等领域。工程物理学 (Engineering Physics) 的 thermodynamics (热力学)、 statistical physics (统计物理)、 fluid mechanics (流体力学)、 transport phenomena (输运现象) 等分支，是 chemical engineering (化工工程) 的理论基础。
▮▮▮▮ⓐ 热力学原理在化工热力学中的应用: chemical thermodynamics (化工热力学) 是 chemical engineering (化工工程) 的重要基础课程，研究 chemical reaction equilibrium (化学反应平衡)、 phase equilibrium (相平衡)、 solution thermodynamics (溶液热力学) 等问题。 thermodynamics (热力学) 的 laws of thermodynamics (热力学定律)、 Gibbs free energy (吉布斯自由能)、 chemical potential (化学势) 等概念和理论，是 chemical thermodynamics (化工热力学) 的理论基础。 例如， chemical reaction equilibrium constant (化学反应平衡常数) 的计算， Gibbs phase rule (吉布斯相律) 的应用，都需要运用 thermodynamics (热力学) 的基本原理。
\[ \Delta G = \Delta H - T \Delta S \]
其中， \( \Delta G \) 是 Gibbs free energy change (吉布斯自由能变化)， \( \Delta H \) 是 enthalpy change (焓变)， \( T \) 是 temperature (温度)， \( \Delta S \) 是 entropy change (熵变)。 Gibbs free energy change (吉布斯自由能变化) 可以用于判断 chemical reaction (化学反应) 的 spontaneity (自发性) 和 equilibrium state (平衡状态)。
▮▮▮▮ⓑ 输运现象原理在化工单元操作中的应用: unit operations (单元操作) 是 chemical engineering (化工工程) 的核心内容，包括 distillation (蒸馏)、 absorption (吸收)、 extraction (萃取)、 filtration (过滤)、 heat exchange (换热) 等。 transport phenomena (输运现象) 的 fluid mechanics (流体力学)、 heat transfer (传热学)、 mass transfer (传质学) 等理论，是 unit operations (单元操作) 的设计和 process optimization (过程优化) 的理论基础。 例如， heat exchanger design (换热器设计) 需要进行 heat transfer calculation (传热计算)， distillation column design (精馏塔设计) 需要进行 mass transfer calculation (传质计算) 和 phase equilibrium calculation (相平衡计算)。

④ 矿业工程 (Mining Engineering):
mining engineering (矿业工程) 涉及 mineral resource exploration (矿产资源勘探)、 mining technology (采矿技术)、 mine safety (矿山安全) 等领域。工程物理学 (Engineering Physics) 的 mechanics (力学)、 geophysics (地球物理学)、 thermodynamics (热力学) 等分支，是 mining engineering (矿业工程) 的理论基础。
▮▮▮▮ⓐ 力学原理在岩体力学中的应用: rock mechanics (岩体力学) 是 mining engineering (矿业工程) 的重要基础课程，研究 rock mass (岩体) 的 mechanical properties (力学性质)、 stress distribution (应力分布)、 failure mechanism (破坏机制) 等问题。 mechanics (力学) 的 solid mechanics (固体力学)、 fracture mechanics (断裂力学)、 rock mechanics (岩石力学) 等理论，为 mine design (矿山设计)、 slope stability analysis (边坡稳定性分析)、 rockburst prediction (岩爆预测) 等提供了理论基础和计算方法。 例如， Mohr-Coulomb criterion (摩尔-库仑准则)、 Hoek-Brown criterion (霍克-布朗准则) 是 rock mechanics (岩石力学) 中常用的 rock failure criterion (岩石破坏准则)，用于评估 rock mass stability (岩体稳定性)。
\[ \tau = c + \sigma_n \tan \phi \]
其中， \( \tau \) 是 shear strength (抗剪强度)， \( c \) 是 cohesion (粘聚力)， \( \sigma_n \) 是 normal stress (正应力)， \( \phi \) 是 friction angle (内摩擦角)。 Mohr-Coulomb criterion (摩尔-库仑准则) 描述了 cohesive soil (粘性土) 和 rock (岩石) 的 shear failure (剪切破坏) 条件。
▮▮▮▮ⓑ 地球物理学在矿产勘探中的应用: mineral exploration (矿产勘探) 是 mining engineering (矿业工程) 的首要环节，利用 geophysical methods (地球物理勘探方法) 可以快速、经济地获取 subsurface geological information (地下地质信息)。 geophysics (地球物理学) 的 gravity method (重力法)、 magnetic method (磁法)、 seismic method (地震法)、 electrical method (电法) 等，为 mineral exploration (矿产勘探) 提供了有效的技术手段。 例如， seismic reflection method (地震反射法) 利用 artificial seismic waves (人工地震波) 在 underground geological interface (地下地质界面) 的 reflection (反射) 特性，探测 subsurface geological structure (地下地质构造) 和 mineral deposit (矿床) 的位置和形态。

⑤ 农业工程 (Agricultural Engineering):
agricultural engineering (农业工程) 涉及 agricultural machinery (农业机械)、 irrigation and drainage (灌溉与排水)、 agricultural bio-environment engineering (农业生物环境工程) 等领域。工程物理学 (Engineering Physics) 的 mechanics (力学)、 thermodynamics (热力学)、 fluid mechanics (流体力学)、 optics (光学) 等分支，在 agricultural engineering (农业工程) 中也有广泛的应用。
▮▮▮▮ⓐ 力学原理在农业机械设计中的应用: agricultural machinery (农业机械) 如 tractor (拖拉机)、 harvester (收割机)、 planter (播种机) 等，是 agricultural production (农业生产) 的重要工具。 mechanics (力学) 的 kinematics (运动学)、 dynamics (动力学)、 mechanics of materials (材料力学) 等理论，为 agricultural machinery (农业机械) 的设计和 performance optimization (性能优化) 提供了理论基础。 例如， tractor traction performance analysis (拖拉机牵引性能分析)、 harvester vibration analysis (收割机振动分析)、 planter precision seeding analysis (播种机精密播种分析) 等，都需要运用 mechanics (力学) 的原理和方法。
▮▮▮▮ⓑ 光学原理在 agricultural remote sensing (农业遥感) 中的应用: agricultural remote sensing (农业遥感) 利用 remote sensing technology (遥感技术) 获取 crop growth information (作物生长信息)、 soil moisture information (土壤水分信息)、 pest and disease information (病虫害信息) 等，为 precision agriculture (精准农业) 提供技术支持。 optics (光学) 的 electromagnetic spectrum theory (电磁波谱理论)、 remote sensing principle (遥感原理)、 image processing technology (图像处理技术) 等，是 agricultural remote sensing (农业遥感) 的理论基础。 例如， vegetation index (植被指数) 如 NDVI (Normalized Difference Vegetation Index, 归一化差值植被指数) 是基于 vegetation (植被) 在 visible light (可见光) 和 near-infrared light (近红外光) 波段的 reflection characteristics (反射特性) 计算得到的，可以用于 monitoring crop growth status (监测作物生长状况)。

总而言之，工程物理学 (Engineering Physics) 在 traditional engineering fields (传统工程领域) 的应用非常广泛，物理学的 fundamental principles (基本原理) 是这些领域的技术创新和发展的重要源泉。

1.2.2 在新兴工程领域的应用 (Applications in Emerging Engineering Fields)

随着 science and technology (科学技术) 的快速发展， information technology (信息技术)、 biotechnology (生物技术)、 nanotechnology (纳米技术)、 new energy technology (新能源技术)、 artificial intelligence (人工智能) 等 emerging engineering fields (新兴工程领域) 蓬勃兴起。工程物理学 (Engineering Physics) 在这些新兴领域中，同样发挥着越来越重要的作用。 modern physics (近代物理) 的理论和方法，为新兴工程领域提供了新的技术思路和解决方案。

① 信息技术 (Information Technology):
information technology (信息技术) 是 current era (当今时代) 最具活力和发展潜力的领域之一，包括 communication technology (通信技术)、 computer technology (计算机技术)、 microelectronics technology (微电子技术)、 optoelectronic technology (光电技术) 等。工程物理学 (Engineering Physics) 的 electromagnetism (电磁学)、 optics (光学)、 solid state physics (固体物理)、 quantum mechanics (量子力学) 等分支，是 information technology (信息技术) 的理论基础。
▮▮▮▮ⓐ 电磁学原理在通信工程中的应用: communication engineering (通信工程) 是 information technology (信息技术) 的重要组成部分，涉及 wireless communication (无线通信)、 optical fiber communication (光纤通信)、 microwave communication (微波通信)、 satellite communication (卫星通信) 等。 electromagnetism (电磁学) 的 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组)、 electromagnetic wave theory (电磁波理论)、 antenna theory (天线理论) 等，是 communication engineering (通信工程) 的理论基础。 例如， wireless communication (无线通信) 利用 electromagnetic wave (电磁波) 作为 information carrier (信息载体) 进行 signal transmission (信号传输)， antenna (天线) 是 electromagnetic wave (电磁波) 的发射和接收 device (器件)， antenna design (天线设计) 需要遵循 electromagnetism (电磁学) 的基本原理。
\[ c = \lambda f \]
其中， \( c \) 是 light speed in vacuum (真空中光速)， \( \lambda \) 是 wavelength (波长)， \( f \) 是 frequency (频率)。 electromagnetic wave (电磁波) 的 propagation speed (传播速度)、 wavelength (波长)、 frequency (频率) 之间存在上述关系，是 wireless communication (无线通信) 的 fundamental principle (基本原理) 之一。
▮▮▮▮ⓑ 固体物理在微电子技术中的应用: microelectronics technology (微电子技术) 是 information technology (信息技术) 的基石，涉及 semiconductor devices (半导体器件)、 integrated circuits (集成电路)、 microprocessors (微处理器)、 memory chips (存储芯片) 等。 solid state physics (固体物理) 的 band theory (能带理论)、 semiconductor physics (半导体物理)、 transistor physics (晶体管物理) 等，是 microelectronics technology (微电子技术) 的理论基础。 例如， transistor (晶体管) 是 modern electronics (现代电子学) 的核心 component (元件)， transistor (晶体管) 的 working principle (工作原理) 基于 semiconductor (半导体) 的 carrier transport properties (载流子输运性质) 和 p-n junction (p-n结) 的 characteristics (特性)， solid state physics (固体物理) 为 transistor design (晶体管设计) 和 integrated circuit design (集成电路设计) 提供了理论指导。
▮▮▮▮ⓒ 光学原理在光电技术中的应用: optoelectronic technology (光电技术) 是 information technology (信息技术) 的重要分支，涉及 optical communication (光通信)、 optical storage (光存储)、 optical display (光显示)、 optical sensor (光传感器) 等。 optics (光学) 的 geometric optics (几何光学)、 physical optics (物理光学)、 laser physics (激光物理) 等，是 optoelectronic technology (光电技术) 的理论基础。 例如， optical fiber communication (光纤通信) 利用 light (光) 在 optical fiber (光纤) 中的 total internal reflection (全内反射) 进行 long-distance signal transmission (长距离信号传输)， laser (激光) 是 optical fiber communication (光纤通信) 的 light source (光源)， laser principle (激光原理) 和 optical fiber waveguide theory (光纤波导理论) 是 optical fiber communication (光纤通信) 的关键理论。

② 生物工程 (Biotechnology):
biotechnology (生物技术) 是 rapidly developing (快速发展) 的新兴领域，涉及 bio-pharmaceuticals (生物制药)、 bio-materials (生物材料)、 bio-sensors (生物传感器)、 bio-imaging (生物成像) 等。工程物理学 (Engineering Physics) 的 optics (光学)、 acoustics (声学)、 fluid mechanics (流体力学)、 thermodynamics (热力学) 等分支，在 biotechnology (生物技术) 中也有重要的应用。
▮▮▮▮ⓐ 光学原理在 bio-imaging (生物成像) 中的应用: bio-imaging (生物成像) 是 biotechnology (生物技术) 的重要技术手段，用于 visualizing biological structures (生物结构) 和 processes (过程)。 optics (光学) 的 microscopy (显微镜学)、 spectroscopy (光谱学)、 optical imaging technology (光学成像技术) 等，是 bio-imaging (生物成像) 的理论基础。 例如， confocal microscopy (共聚焦显微镜)、 fluorescence microscopy (荧光显微镜)、 optical coherence tomography (光学相干断层扫描) (OCT) 等 advanced optical imaging techniques (先进光学成像技术)，利用 light-matter interaction (光与物质相互作用) 原理，实现 high-resolution (高分辨率)、 non-invasive (无创) 的 biological sample imaging (生物样品成像)。
▮▮▮▮ⓑ 流体力学原理在 bio-fluid mechanics (生物流体力学) 中的应用: bio-fluid mechanics (生物流体力学) 是 biotechnology (生物技术) 和 biomedical engineering (生物医学工程) 的交叉领域，研究 biological fluid (生物流体) 的 flow behavior (流动行为) 和 transport phenomena (输运现象)。 fluid mechanics (流体力学) 的 viscous flow theory (粘性流理论)、 turbulence theory (湍流理论)、 microfluidics (微流控) 等，是 bio-fluid mechanics (生物流体力学) 的理论基础。 例如， blood flow dynamics (血液流动动力学)、 respiratory airflow dynamics (呼吸气流动力学)、 microfluidic chip design (微流控芯片设计) 等，都需要运用 fluid mechanics (流体力学) 的原理和方法。

③ 纳米技术 (Nanotechnology):
nanotechnology (纳米技术) 是 current science and technology (当前科技) 的前沿领域，涉及 nano-materials (纳米材料)、 nano-devices (纳米器件)、 nano-manufacturing (纳米制造) 等。工程物理学 (Engineering Physics) 的 quantum mechanics (量子力学)、 solid state physics (固体物理)、 statistical physics (统计物理) 等分支，是 nanotechnology (纳米技术) 的理论基础。
▮▮▮▮ⓐ 量子力学原理在 nano-materials (纳米材料) 性能调控中的应用: nano-materials (纳米材料) 如 nano-particles (纳米粒子)、 nano-wires (纳米线)、 nano-tubes (纳米管)、 nano-films (纳米薄膜) 等，具有 unique physical and chemical properties (独特的物理化学性质)，与 bulk materials (块体材料) 有显著差异。 quantum mechanics (量子力学) 的 quantum confinement effect (量子限域效应)、 surface effect (表面效应)、 quantum tunneling effect (量子隧穿效应) 等，是 nano-materials properties (纳米材料性质) 的 fundamental origin (根本来源)。 例如， quantum dots (量子点) 的 size-dependent fluorescence (尺寸依赖荧光) 特性， quantum well (量子阱) 的 electronic energy level quantization (电子能级量子化) 特性，都需要用 quantum mechanics (量子力学) 的理论进行解释和调控。
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2} \]
其中， \( E_n \) 是 energy level (能级)， \( n \) 是 quantum number (量子数)， \( h \) 是 Planck's constant (普朗克常数)， \( m \) 是 particle mass (粒子质量)， \( L \) 是 confinement size (限域尺寸)。 quantum confinement effect (量子限域效应) 导致 nano-materials (纳米材料) 的 electronic energy level (电子能级) 离散化， energy gap (能隙) 增大， optical and electrical properties (光学和电学性质) 发生显著变化。
▮▮▮▮ⓑ 固体物理在 nano-devices (纳米器件) 设计中的应用: nano-devices (纳米器件) 如 nano-transistors (纳米晶体管)、 nano-sensors (纳米传感器)、 nano-actuators (纳米执行器) 等，是 nanotechnology (纳米技术) 的重要应用方向。 solid state physics (固体物理) 的 semiconductor physics (半导体物理)、 surface physics (表面物理)、 interface physics (界面物理) 等，是 nano-devices design (纳米器件设计) 的理论基础。 例如， nano-wire transistor (纳米线晶体管) 利用 nano-wire (纳米线) 作为 channel material (沟道材料)，具有 high mobility (高迁移率)、 low power consumption (低功耗) 等优点， nano-sensor (纳米传感器) 利用 nano-materials (纳米材料) 的 high surface-to-volume ratio (高表面体积比) 和 sensitive response (灵敏响应) 特性，实现 high-sensitivity detection (高灵敏度检测)。

④ 新能源技术 (New Energy Technology):
new energy technology (新能源技术) 是 addressing energy crisis (解决能源危机) 和 environmental pollution (环境污染) 的关键途径，包括 solar energy (太阳能)、 wind energy (风能)、 geothermal energy (地热能)、 biomass energy (生物质能)、 hydrogen energy (氢能) 等。工程物理学 (Engineering Physics) 的 thermodynamics (热力学)、 solid state physics (固体物理)、 optics (光学)、 electromagnetism (电磁学) 等分支，在 new energy technology (新能源技术) 中也有重要的应用。
▮▮▮▮ⓐ 固体物理与光学原理在 solar cell (太阳能电池) 技术中的应用: solar cell (太阳能电池) 是 solar energy utilization (太阳能利用) 的核心 device (器件)，将 solar energy (太阳能) 直接转换为 electrical energy (电能)。 solid state physics (固体物理) 的 semiconductor physics (半导体物理)、 photovoltaic effect (光伏效应)、 energy band theory (能带理论)， optics (光学) 的 solar spectrum (太阳光谱)、 light absorption (光吸收)、 anti-reflection coating (减反射膜) 等，是 solar cell technology (太阳能电池技术) 的理论基础。 例如， silicon solar cell (硅太阳能电池) 是 current mainstream solar cell (当前主流太阳能电池)，其 working principle (工作原理) 基于 semiconductor p-n junction (半导体p-n结) 的 photovoltaic effect (光伏效应)， solar cell efficiency (太阳能电池效率) 受到 semiconductor material properties (半导体材料性质)、 solar spectrum matching (太阳光谱匹配)、 light trapping (光俘获) 等因素的影响。
\[ J_{sc} = q \int_{\lambda} \Phi_{ph}(\lambda) \eta_{coll}(\lambda) d\lambda \]
其中， \( J_{sc} \) 是 short-circuit current density (短路电流密度)， \( q \) 是 elementary charge (元电荷)， \( \Phi_{ph}(\lambda) \) 是 photon flux (光子 flux)， \( \eta_{coll}(\lambda) \) 是 collection efficiency (收集效率)。 solar cell short-circuit current (太阳能电池短路电流) 与 incident photon flux (入射光子 flux) 和 carrier collection efficiency (载流子收集效率) 成正比，提高 solar cell efficiency (太阳能电池效率) 需要提高 light absorption (光吸收) 和 carrier collection (载流子收集) 能力。
▮▮▮▮ⓑ 热力学原理在 geothermal energy utilization (地热能利用) 中的应用: geothermal energy (地热能) 是 clean and renewable energy (清洁可再生能源)，利用 Earth's internal heat (地球内部热量) 进行 power generation (发电) 和 heating (供暖)。 thermodynamics (热力学) 的 laws of thermodynamics (热力学定律)、 heat transfer (传热学)、 geothermal resource assessment (地热资源评估) 等，是 geothermal energy utilization (地热能利用) 的理论基础。 例如， geothermal power plant (地热发电厂) 利用 geothermal steam (地热蒸汽) 驱动 turbine (汽轮机) 发电， geothermal heating system (地热供暖系统) 利用 geothermal water (地热水) 进行 residential heating (居民供暖)， geothermal energy utilization efficiency (地热能利用效率) 受到 geothermal resource temperature (地热资源温度)、 heat extraction technology (热量提取技术)、 energy conversion technology (能量转换技术) 等因素的影响。

⑤ 人工智能 (Artificial Intelligence):
artificial intelligence (人工智能) (AI) 是 current science and technology (当前科技) 的热点领域，涉及 machine learning (机器学习)、 deep learning (深度学习)、 computer vision (计算机视觉)、 natural language processing (自然语言处理)、 robotics (机器人学) 等。虽然 artificial intelligence (人工智能) 主要是一门 computer science (计算机科学) 学科，但工程物理学 (Engineering Physics) 的 statistical physics (统计物理)、 information theory (信息论)、 neural network theory (神经网络理论) 等分支，在 artificial intelligence (人工智能) 的 development (发展) 中也发挥着一定的作用。
▮▮▮▮ⓐ 统计物理在 machine learning (机器学习) 中的应用: machine learning (机器学习) 是 artificial intelligence (人工智能) 的核心技术， statistical learning theory (统计学习理论) 是 machine learning (机器学习) 的理论基础。 statistical physics (统计物理) 的 statistical mechanics (统计力学)、 information entropy (信息熵)、 complex systems theory (复杂系统理论) 等，为 machine learning algorithm design (机器学习算法设计) 和 performance analysis (性能分析) 提供了一些理论借鉴。 例如， Boltzmann machine (玻尔兹曼机)、 Hopfield network (霍普菲尔德网络) 等 neural network models (神经网络模型)，借鉴了 statistical mechanics (统计力学) 的 statistical ensemble theory (统计系综理论) 和 phase transition theory (相变理论)。
▮▮▮▮ⓑ 信息论在 artificial neural network (人工神经网络) 中的应用: artificial neural network (人工神经网络) (ANN) 是 deep learning (深度学习) 的核心模型， information theory (信息论) 的 information entropy (信息熵)、 mutual information (互信息)、 Kullback-Leibler divergence (KL散度) 等概念和方法，在 artificial neural network (人工神经网络) 的 training (训练)、 optimization (优化) 和 interpretation (解释) 中得到应用。 例如， cross-entropy loss function (交叉熵损失函数) 是 deep learning (深度学习) 中常用的 loss function (损失函数)，其定义借鉴了 information entropy (信息熵) 的概念。

综上所述，工程物理学 (Engineering Physics) 在新兴工程领域的应用前景广阔， modern physics (近代物理) 的理论和方法，正在为这些新兴领域的技术创新和产业变革注入新的活力。

1.3 本书内容概要与学习方法 (Book Overview and Learning Methods)

本节简要介绍本书的章节结构和主要内容，并提供工程物理学 (Engineering Physics) 的有效学习方法建议，如 theory and practice integration (理论联系实际)、 experimental verification (实验验证)、 case study analysis (案例分析) 等。

1.3.1 本书的结构与内容 (Structure and Content of this Book)

本书旨在为读者提供 comprehensive and in-depth (全面且深入) 的工程物理学 (Engineering Physics) 知识体系，从 classical physics (经典物理学) 的基础理论出发，逐步深入到 modern physics (现代物理学) 的前沿领域，并结合 rich engineering application cases (丰富的工程应用案例)，帮助读者 master the basic principles of physics (掌握物理学的基本原理)， cultivate the ability to solve practical engineering problems using physics knowledge (培养运用物理学知识解决实际工程问题的能力)。

本书共分为 11 章 和 6 个附录， chapters (章节) 内容涵盖了 mechanics (力学)、 thermodynamics (热力学)、 waves and optics (波动与光学)、 electromagnetism (电磁学)、 quantum mechanics (量子力学)、 solid state physics (固体物理)、 materials physics (材料物理) 等多个核心领域，并 special attention to the applications of physics in engineering technology (特别关注物理学在工程技术中的应用)， strive to combine theory with practice (力求理论与实践相结合)，为读者 build a solid physics foundation (构建坚实的物理学基础)， expand scientific horizons (拓展科学视野)。

① 第 1 章 绪论：工程物理学的地位与作用: 概述 engineering physics (工程物理学) 的 definition (定义)、 research scope (研究范畴)、 importance and role in engineering technology (在工程技术领域中的重要地位和作用)，以及本书的 overall structure and learning methods (整体结构和学习方法)，旨在 guide readers to establish a preliminary understanding of engineering physics (引导读者对工程物理学建立初步的认识)， clarify learning objectives (明确学习目标)。

② 第 2 章 力学基础：从牛顿力学到分析力学: systematically introduce (系统介绍) mechanics (力学) 的 basic concepts (基本概念)、 laws (定律) and theoretical system (理论体系)，从 classical Newtonian mechanics (经典牛顿力学) 出发，深入到 analytical mechanics (分析力学)，包括 particle mechanics (质点力学)、 rigid body mechanics (刚体力学)、 fundamentals of fluid mechanics (流体力学基础)，为 subsequent learning of more complex physical systems (后续学习更复杂的物理系统) 奠定基础。

③ 第 3 章 热学：热力学定律与统计物理初步: systematically explain (系统阐述) thermodynamics (热力学) 的 basic laws (基本定律)，包括 zeroth law of thermodynamics (热力学第零定律)、 first law of thermodynamics (热力学第一定律)、 second law of thermodynamics (热力学第二定律) and third law of thermodynamics (热力学第三定律)，并 initially introduce (初步介绍) statistical physics (统计物理) 的 basic concepts (基本概念)，如 statistical distribution (统计分布)、 entropy (熵) 的 statistical meaning (统计意义)，为 understanding the essence of thermal phenomena (理解热现象的本质) 提供 theoretical framework (理论框架)。

④ 第 4 章 波动、振动与光学: systematically introduce (系统介绍) mechanical waves (机械波)、 electromagnetic waves (电磁波) 的 basic theory (基本理论)， analyze the general laws and characteristics of vibration and wave motion (分析振动、波动的普遍规律和特征)，并 in-depth explore optical phenomena (深入探讨光学现象)，包括 geometric optics (几何光学)、 physical optics (物理光学)，以及 laser principle and application (激光原理和应用)，为 understanding the nature of light waves and optical technology applications (理解光波的本质和光学技术应用) 奠定基础。

⑤ 第 5 章 电磁学: systematically introduce (系统介绍) electrostatic field (静电场)、 magnetostatic field (静磁场)、 time-varying electromagnetic field (时变电磁场) 的 basic theory (基本理论)， in-depth analyze electromagnetic induction (电磁感应)、 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) and electromagnetic waves (电磁波)，为 understanding the essence of electromagnetic phenomena and the application of electromagnetic technology (理解电磁现象的本质和电磁技术的应用) 提供 theoretical basis (理论基础)。

⑥ 第 6 章 量子力学基础: introduce the basic concepts and principles of quantum mechanics (引入量子力学的基本概念和原理)，包括 wave-particle duality (波粒二象性)、 uncertainty principle (不确定性原理)、 Schrödinger equation (薛定谔方程) and quantum operators (量子算符)，为 understanding the microscopic physical world such as atomic and molecular physics and solid-state physics (理解 atomic and molecular physics (原子与分子物理)、 solid-state physics (固体物理) 等微观物理世界) 奠定基础。

⑦ 第 7 章 固体物理: introduce the structure, properties, and microscopic mechanisms of solid materials (介绍固体物质的结构、性质和微观机制)，包括 crystal structure (晶体结构)、 band theory (能带理论)、 semiconductors (半导体)、 superconductivity (超导电性) 等，为 understanding solid-state devices and materials science (理解 solid-state devices (固态器件) 和 materials science (材料科学)) 提供 physical basis (物理基础)。

⑧ 第 8 章 材料物理: study the structure, properties and performance of materials from the perspective of physics (从物理学的角度研究 materials (材料) 的 structure (结构)、 properties (性质) 和 performance (性能))，包括 materials classification (材料分类)、 mechanical properties (力学性能)、 thermal properties (热学性能)、 electrical properties (电学性能)、 optical properties (光学性能) and magnetic properties (磁学性能)，为 materials engineering and materials selection (为 materials engineering (材料工程) 和 materials selection (材料选择)) 提供 theoretical guidance (理论指导)。

⑨ 第 9 章 现代物理专题: select advanced topics in modern physics for introduction (选取现代物理学的前沿专题进行介绍)，包括 relativity (相对论)、 nuclear physics (核物理)、 particle physics (粒子物理)、 cosmology (宇宙学) 等，旨在 expand readers' scientific horizons (拓展读者的科学视野)， understand the latest advances in physics research (了解 physics research (物理学研究) 的最新进展)。

⑩ 第 10 章 工程物理实验: introduce the basic methods and common experiments of engineering physics experiments (介绍工程物理实验的基本方法和常用实验)，包括 mechanics experiments (力学实验)、 thermodynamics experiments (热学实验)、 electromagnetism experiments (电磁学实验)、 optics experiments (光学实验) and modern physics experiments (近代物理实验)，旨在 cultivate students' experimental skills and scientific thinking (旨在培养学生的 experimental skills (实验技能) 和 scientific thinking (科学思维))。

⑪ 第 11 章 数学物理方法: introduce mathematical methods commonly used in engineering physics (介绍 engineering physics (工程物理) 中常用的 mathematical methods (数学方法))，包括 vector analysis (矢量分析)、 differential equations (微分方程)、 Fourier analysis (傅里叶分析)、 complex analysis (复变函数分析) and probability and statistics (概率与统计)，旨在 improve students' ability to use mathematical tools to solve physics problems (旨在提高学生运用 mathematical tools (数学工具) 解决 physics problems (物理问题) 的能力)。

本书的 appendices (附录) 部分，提供了常用的 physical constants table (物理常数表)、 mathematical formulas and integrals table (数学公式与积分表)、 physical units and dimensions introduction (物理单位与量纲介绍)、 brief history of engineering physics and important figures (工程物理学发展简史与重要人物)、 references (参考文献)、 glossary of terms in Chinese and English (术语中英文对照表) 等 supporting materials (辅助材料)，方便读者查阅和学习。

本书内容体系完整，结构清晰，由浅入深，循序渐进，理论与实践相结合，既可以作为高等院校 engineering physics (工程物理) 课程的 textbook (教材)，也可以作为 engineering technology personnel (工程技术人员) 和 physics enthusiasts (物理学爱好者) 的 reference book (参考书)。

1.3.2 工程物理学的学习方法建议 (Learning Methods for Engineering Physics)

工程物理学 (Engineering Physics) 是一门理论性与实践性并重、基础性与应用性结合的学科，学好工程物理学 (Engineering Physics)，需要掌握科学的学习方法。以下是一些 learning methods suggestions for engineering physics (工程物理学的学习方法建议)：

① 重视物理概念的理解:
physics concept (物理概念) 是 physics theory (物理理论) 的基石。学习工程物理学 (Engineering Physics)，首先要 thoroughly understand (透彻理解) the basic physics concepts (基本物理概念)，如 force (力)、 energy (能量)、 field (场)、 wave (波)、 quantum state (量子态) 等。
▮▮▮▮ⓐ 多角度理解: 对于重要的 physics concept (物理概念)，要从 definition (定义)、 physical meaning (物理意义)、 mathematical expression (数学表达式)、 units (单位)、 examples (实例) 等多个角度进行理解，形成 comprehensive and in-depth understanding (全面且深入的理解)。
▮▮▮▮ⓑ 联系实际: 将 physics concept (物理概念) 与 daily life phenomena (日常生活现象) 和 engineering applications (工程应用) 联系起来，通过 concrete examples (具体例子) 加深对 physics concept (物理概念) 的理解。 例如，学习 energy conservation law (能量守恒定律) 时，可以联系 mechanical energy conservation (机械能守恒)、 energy conversion in heat engine (热机中的能量转换)、 solar energy utilization (太阳能利用) 等实例进行理解。
▮▮▮▮ⓒ 追根溯源: 对于一些抽象的 physics concept (物理概念)，要追溯其 historical origin (历史起源) 和 experimental basis (实验基础)，了解 physics concept (物理概念) 的建立过程和发展脉络，加深对 physics concept (物理概念) 的本质理解。 例如，学习 entropy (熵) 的概念时，可以了解 thermodynamics (热力学) 的发展历史，从 Clausius inequality (克劳修斯不等式) 和 statistical interpretation of entropy (熵的统计诠释) 等多个角度理解 entropy (熵) 的 physical meaning (物理意义)。

② 掌握物理规律和定律:
physical law (物理规律) 和 physical law (物理定律) 是 physics theory (物理理论) 的核心内容，描述了 physical quantity (物理量) 之间的 quantitative relationship (定量关系)。学习工程物理学 (Engineering Physics)，要 accurately grasp (准确掌握) the basic physical laws and theorems (基本物理规律和定理)，如 Newton's laws of motion (牛顿运动定律)、 laws of thermodynamics (热力学定律)、 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组)、 Schrödinger equation (薛定谔方程) 等。
▮▮▮▮ⓐ 理解定律的适用条件和局限性: 任何 physical law (物理规律) 和 physical law (物理定律) 都有一定的 applicable conditions (适用条件) and limitations (局限性)。学习 physical law (物理规律) 和 physical law (物理定律) 时，要 understand their applicable conditions and limitations (理解其适用条件和局限性)，避免错误应用。 例如， Newton's laws of motion (牛顿运动定律) 在 low-speed macroscopic objects (低速宏观物体) 运动中适用，但在 relativistic motion (相对论运动) 和 microscopic particle motion (微观粒子运动) 中不再适用，需要用 relativity (相对论) 和 quantum mechanics (量子力学) 的理论进行描述。
▮▮▮▮ⓑ 掌握定律的 mathematical expression (数学表达式) 和 physical meaning (物理意义): physical law (物理规律) 和 physical law (物理定律) 通常用 mathematical equations (数学方程) 表示。学习 physical law (物理规律) 和 physical law (物理定律) 时，要 master their mathematical expressions and physical meanings (掌握其数学表达式和物理意义)，能够用 mathematical language (数学语言) 准确描述 physical law (物理规律) 和 physical law (物理定律)。 例如， Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 是 electromagnetism (电磁学) 的基本方程组，要掌握 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的 differential form (微分形式) 和 integral form (积分形式)，理解其描述的 electromagnetic field (电磁场) 的基本规律。
\[ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \]
\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]
\[ \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]
\[ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]
Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的 differential form (微分形式) 如上所示，描述了 electric field (电场) 和 magnetic field (磁场) 的 sources (源) 和 time evolution (时间演化) 规律。

③ 重视数学工具的应用:
mathematics (数学) 是 physics (物理学) 的 language (语言) 和 tool (工具)。工程物理学 (Engineering Physics) 的学习，离不开 mathematical methods (数学方法) 的应用。要 master the mathematical tools commonly used in physics (掌握物理学中常用的数学工具)，如 calculus (微积分)、 linear algebra (线性代数)、 differential equations (微分方程)、 vector analysis (矢量分析)、 complex analysis (复变函数分析)、 probability and statistics (概率与统计) 等。
▮▮▮▮ⓐ 理论学习与数学推导相结合: 学习 physics theory (物理理论) 时，要注重 mathematical derivation (数学推导) 过程，通过 mathematical derivation (数学推导) 深入理解 physics theory (物理理论) 的 logical structure (逻辑结构) 和 mathematical expression (数学表达)。 例如，推导 simple harmonic motion (简谐振动) 的 motion equation (运动方程)、 electromagnetic wave equation (电磁波方程)、 Schrödinger equation (薛定谔方程) 等，可以加深对 physics theory (物理理论) 的理解。
▮▮▮▮ⓑ 运用数学方法解决 physics problems (物理问题): engineering physics (工程物理) 的习题和实际工程问题， souvent need to use mathematical methods to solve (常常需要运用数学方法来求解)。要 practice using mathematical tools to solve physics problems (练习运用数学工具解决物理问题)，提高 mathematical modeling (数学建模) 和 mathematical calculation (数学计算) 能力。 例如，用 differential equations (微分方程) 求解 damped oscillation (阻尼振动) 和 forced oscillation (受迫振动) 问题，用 vector analysis (矢量分析) 计算 electric field (电场) 和 magnetic field (磁场)，用 Fourier analysis (傅里叶分析) 分析 wave motion (波动) 和 signal processing (信号处理) 问题。

④ 加强实验实践环节:
experiment (实验) 是 physics research (物理学研究) 的重要手段，也是 understanding physics principles (理解物理原理) 的重要途径。学习工程物理学 (Engineering Physics)，要 strengthen experimental practice (加强实验实践环节)，认真完成 physics experiments (物理实验)，培养 experimental skills and scientific thinking (培养实验技能和科学思维)。
▮▮▮▮ⓐ 认真完成实验课程: 实验课程是工程物理学 (Engineering Physics) 教学的重要组成部分。要 attend laboratory classes attentively (认真上实验课)， carefully operate experimental instruments (仔细操作实验仪器)， accurately record experimental data (准确记录实验数据)， rigorously analyze experimental results (严谨分析实验结果)， write high-quality experimental reports (撰写高质量的实验报告)。 通过实验操作，加深对 physics principles (物理原理) 的理解，掌握 basic experimental methods and techniques (基本实验方法和技能)。
▮▮▮▮ⓑ 积极参与科研实践: 积极参与 scientific research projects (科研项目)、 research internships (科研实习) 等科研实践活动，将所学的 physics knowledge (物理学知识) 应用于 scientific research (科学研究) 中，提高 scientific research ability and innovation ability (提高科研能力和创新能力)。 例如，参与 teacher's research projects (教师的科研项目)、 undergraduate research projects (大学生科研项目)、 scientific and technological innovation competitions (科技创新竞赛) 等，进行 exploratory learning and research (进行探究式学习和研究)。

⑤ 注重理论联系实际，案例分析:
engineering physics (工程物理) 的学习，要 emphasize theory and practice integration (强调理论联系实际)，注重 case study analysis (案例分析)，将 physics theory (物理理论) 与 engineering applications (工程应用) 紧密结合起来，理解 physics knowledge in engineering (在工程中理解物理知识)。
▮▮▮▮ⓐ 分析 engineering examples (工程案例): 在学习 physics theory (物理理论) 时，要主动思考 physics theory (物理理论) 在 engineering fields (工程领域) 中的 applications (应用)，分析 typical engineering examples (典型工程案例)，如 bridge design (桥梁设计)、 heat engine design (热机设计)、 semiconductor device design (半导体器件设计)、 optical communication system design (光纤通信系统设计) 等，理解 physics principles are applied to solve practical engineering problems (物理原理是如何应用于解决实际工程问题的)。
▮▮▮▮ⓑ 开展课程设计和工程实践: 通过 course design (课程设计)、 engineering practice (工程实践) 等环节，将所学的 physics knowledge (物理学知识) 应用于 solving specific engineering problems (解决具体工程问题) 中，提高 engineering problem-solving ability and practical skills (提高工程问题解决能力和实践技能)。 例如，进行 mechanical design course design (机械设计课程设计)、 electronic circuit design course design (电子电路设计课程设计)、 materials design course design (材料设计课程设计)、 engineering practice training (工程实践训练) 等， learn by doing (在实践中学习)。

⑥ 培养科学思维和创新意识:
engineering physics (工程物理) 的学习，不仅要掌握 physics knowledge (物理学知识)，更要 cultivate scientific thinking and innovation awareness (培养科学思维和创新意识)。
▮▮▮▮ⓐ 培养 scientific thinking methods (科学思维方法): 学习 physics (物理学) 的 scientific thinking methods (科学思维方法)，如 logical reasoning (逻辑推理)、 abstract thinking (抽象思维)、 model building (模型构建)、 experimental verification (实验验证)、 critical thinking (批判性思维) 等，提高 scientific analysis ability and problem-solving ability (提高科学分析能力和问题解决能力)。
▮▮▮▮ⓑ 激发 innovation awareness and innovation ability (激发创新意识和创新能力): 工程物理学 (Engineering Physics) 的学习，要注重培养 innovation awareness and innovation ability (创新意识和创新能力)。要 actively participate in innovation activities (积极参加创新活动)，如 scientific and technological innovation competitions (科技创新竞赛)、 innovation and entrepreneurship projects (创新创业项目) 等，培养 innovation spirit and practical ability (培养创新精神和实践能力)。

⑦ 加强交流与合作:
learning is a social activity (学习是一种社会活动)。学习工程物理学 (Engineering Physics)，要 strengthen communication and cooperation (加强交流与合作)，与 teachers (教师)、 classmates (同学) 、 experts (专家) 等进行交流和讨论，共同学习，共同进步。
▮▮▮▮ⓐ 积极参与课堂讨论: 课堂讨论是 learning interaction (学习互动) 的重要形式。要 actively participate in class discussions (积极参与课堂讨论)， raise questions (提出问题)， express opinions (表达观点)， listen to others' opinions (倾听他人意见)，通过 discussion and exchange of ideas (讨论和思想交流)，加深对 physics knowledge (物理学知识) 的理解。
▮▮▮▮ⓑ 开展 group study and cooperative learning (小组学习和合作学习): group study and cooperative learning (小组学习和合作学习) 是 effective learning methods (有效的学习方法)。要 actively participate in group study and cooperative learning activities (积极参加小组学习和合作学习活动)，与 classmates (同学) 组成 study groups (学习小组)，共同 study textbooks (学习教材)、 solve problems (解决问题)、 prepare for exams (准备考试)，互相帮助，共同提高。
▮▮▮▮ⓒ 与 teachers and experts (与教师和专家) 进行交流: teachers and experts (教师和专家) 具有 rich knowledge and experience (丰富的知识和经验)。要 actively communicate with teachers and experts (积极与教师和专家交流)， ask questions (请教问题)， seek guidance (寻求指导)，了解 physics research frontiers and engineering technology development trends (了解物理学研究前沿和工程技术发展趋势)。 可以通过 office hours (教师答疑时间)、 email (电子邮件)、 academic lectures (学术讲座)、 seminars (研讨会) 等多种形式与 teachers and experts (教师和专家) 进行交流。

总之，学好工程物理学 (Engineering Physics) 需要付出努力和掌握正确的方法。希望以上 learning methods suggestions (学习方法建议) 能够帮助读者 effective learning of engineering physics (有效地学习工程物理学)，取得优异的学习成绩，为未来的 career development (职业发展) 打下坚实的基础。

2. 力学基础：从牛顿力学到分析力学 (Fundamentals of Mechanics: From Newtonian Mechanics to Analytical Mechanics)

本章系统介绍力学的基本概念、定律和理论体系，从经典的牛顿力学出发，深入到分析力学，包括质点力学、刚体力学、流体力学基础，为后续学习更复杂的物理系统奠定基础。

2.1 质点力学 (Particle Mechanics)

本节介绍质点运动学的基本概念，如位移 (displacement)、速度 (velocity)、加速度 (acceleration)，以及质点动力学的牛顿运动定律、动量定理、能量守恒定律等，分析质点在各种力场中的运动规律。

2.1.1 运动学基本概念 (Basic Concepts of Kinematics)

本小节将深入探讨运动学的基本概念，这些概念是描述物体运动状态和规律的基石。我们将从最基本的物理量开始，逐步构建起描述运动的完整体系。

① 位移 (displacement)：
▮ 位移是描述质点位置变化的物理量，是从初始位置指向末位置的有向线段，具有大小和方向，是矢量。
▮ 在一维空间中，位移 \(\Delta x = x_f - x_i\)，其中 \(x_i\) 是初始位置，\(x_f\) 是末位置。
▮ 在三维空间中，位移 \(\mathbf{\Delta r} = \mathbf{r}_f - \mathbf{r}_i = (x_f - x_i)\mathbf{i} + (y_f - y_i)\mathbf{j} + (z_f - z_i)\mathbf{k}\)，其中 \(\mathbf{r}_i\) 是初始位置矢量，\(\mathbf{r}_f\) 是末位置矢量，\(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\)、\(\mathbf{k}\) 分别是 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴的单位矢量。
▮ 位移与路径不同，位移只取决于起始位置和终止位置，而路径还与运动轨迹有关。

② 速度 (velocity)：
▮ 速度是描述质点位置变化快慢和方向的物理量，是位移对时间的变化率，也是矢量。
▮ 平均速度 (average velocity)：在时间间隔 \(\Delta t\) 内的位移 \(\Delta \mathbf{r}\) 与时间间隔的比值，\(\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}\)。平均速度描述的是质点在一段时间内的总体运动快慢和方向。
▮ 瞬时速度 (instantaneous velocity)：当时间间隔 \(\Delta t\) 趋近于零时，平均速度的极限值，\(\mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\)。瞬时速度描述的是质点在某一时刻的运动快慢和方向，速度的方向沿质点运动轨迹的切线方向。
▮ 在一维运动中，速度 \(v = \frac{dx}{dt}\)。在三维运动中，速度 \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\mathbf{i} + \frac{dy}{dt}\mathbf{j} + \frac{dz}{dt}\mathbf{k} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}\)。
▮ 速率 (speed)：速度的大小，是标量，只描述物体运动的快慢，不描述方向。平均速率是路程与时间的比值，瞬时速率是瞬时速度的大小。

③ 加速度 (acceleration)：
▮ 加速度是描述质点速度变化快慢和方向的物理量，是速度对时间的变化率，也是矢量。
▮ 平均加速度 (average acceleration)：在时间间隔 \(\Delta t\) 内的速度变化 \(\Delta \mathbf{v}\) 与时间间隔的比值，\(\mathbf{\bar{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}\)。平均加速度描述的是质点在一段时间内的总体速度变化快慢和方向。
▮ 瞬时加速度 (instantaneous acceleration)：当时间间隔 \(\Delta t\) 趋近于零时，平均加速度的极限值，\(\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}\)。瞬时加速度描述的是质点在某一时刻的速度变化快慢和方向。
▮ 在一维运动中，加速度 \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\)。在三维运动中，加速度 \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\mathbf{i} + \frac{dv_y}{dt}\mathbf{j} + \frac{dv_z}{dt}\mathbf{k} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k}\)。
▮ 加速度是矢量，其方向与速度变化的方向一致，而不是与速度方向一致。当加速度与速度同向时，质点做加速运动；当加速度与速度反向时，质点做减速运动；当加速度与速度垂直时，速度方向发生改变，如匀速圆周运动中的向心加速度。

④ 坐标系 (coordinate system) 和参考系 (reference frame)：
▮ 坐标系 (coordinate system)：为了定量描述物体的位置和运动，需要在空间中建立坐标系。常用的坐标系包括 Cartesian coordinate system (直角坐标系)、cylindrical coordinate system (柱坐标系)、spherical coordinate system (球坐标系) 等。在直角坐标系中，我们通常使用 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴来描述空间位置。
▮ 参考系 (reference frame)：为了描述物体的运动，还需要选择一个参考物，相对于参考物来描述物体的运动，这就是参考系。参考系可以是静止的，也可以是运动的。通常情况下，我们以地面或实验室为参考系。选择不同的参考系，对物体运动的描述可能不同，体现了运动的相对性。
▮ 坐标系是参考系的数学描述，参考系是物体运动所参考的物理实体。在没有特别说明的情况下，本书默认使用 inertial reference frame (惯性参考系)，即牛顿运动定律适用的参考系。

2.1.2 牛顿运动定律及其应用 (Newton's Laws of Motion and Applications)

本小节将深入探讨牛顿运动定律，这是经典力学的核心内容，描述了力与运动的关系。我们将详细阐述三大定律，并通过具体实例分析它们在直线运动和曲线运动中的应用。

① 牛顿第一定律 (Newton's First Law of Motion)，又称 惯性定律 (Law of Inertia)：
▮ 内容：任何物体都保持匀速直线运动状态或静止状态，直到外力迫使它改变这种状态为止。
▮ 解释：牛顿第一定律揭示了 inertia (惯性) 的概念，惯性是物体保持原有运动状态的性质，是物体固有的属性，质量是物体惯性大小的量度。
▮ 理解：没有外力作用时，运动物体将一直保持匀速直线运动，静止物体将一直保持静止。外力是改变物体运动状态的原因，而不是维持物体运动的原因。
▮ 应用：例如，行驶中的汽车突然刹车，乘客会因为惯性向前倾；抛出的物体在忽略空气阻力的情况下，将保持匀速直线运动。

② 牛顿第二定律 (Newton's Second Law of Motion)，又称 动力学基本定律 (Fundamental Law of Dynamics)：
▮ 内容：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。
▮ 数学表达式：\(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\) 或 \(\mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}}{m}\)，其中 \(\mathbf{F}\) 是物体所受的合外力，\(m\) 是物体的质量，\(\mathbf{a}\) 是物体的加速度。
▮ 解释：牛顿第二定律定量地描述了力、质量和加速度之间的关系，是动力学的核心方程。力是产生加速度的原因，加速度的大小和方向由合外力决定。
▮ 理解：物体的加速度与合外力成正比，与质量成反比。合外力越大，加速度越大；质量越大，加速度越小。加速度的方向始终与合外力方向一致。
▮ 应用：
▮▮▮▮ⓐ 直线运动 (linear motion)：
▮ 匀变速直线运动 (uniformly varied linear motion)：当物体所受合外力为恒力时，物体做匀变速直线运动。根据牛顿第二定律 \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\)，加速度 \(\mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}}{m}\) 为恒矢量，物体做匀变速运动。
▮ 运动学公式 (kinematic equations)：在匀变速直线运动中，常用以下运动学公式描述运动：
\[ v = v_0 + at \]
\[ x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \]
\[ v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0) \]
其中 \(v_0\) 是初速度，\(v\) 是末速度，\(a\) 是加速度，\(t\) 是时间，\(x_0\) 是初始位置，\(x\) 是末位置。
▮ 自由落体运动 (free fall motion)：忽略空气阻力，物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。加速度为重力加速度 \(g\)，方向竖直向下。
▮ 竖直上抛运动 (vertical projectile motion)：物体以初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。加速度为重力加速度 \(g\)，方向竖直向下。
▮▮▮▮ⓑ 曲线运动 (curvilinear motion)：
▮ 抛体运动 (projectile motion)：将物体以一定的初速度抛出，在重力作用下物体所做的运动。可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动（忽略空气阻力）。例如 projectile motion (斜抛运动) 的轨迹为抛物线。
▮ 匀速圆周运动 (uniform circular motion)：物体沿圆周运动，速率大小不变的运动。虽然速率不变，但速度方向时刻改变，因此是变速运动，需要向心力提供加速度，即 centripetal acceleration (向心加速度)。
▮ 向心力 (centripetal force) 和向心加速度 (centripetal acceleration)：做匀速圆周运动的物体所受的合外力称为向心力，方向始终指向圆心，产生向心加速度，大小为 \(a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r\)，其中 \(v\) 是线速度，\(r\) 是圆周半径，\(\omega\) 是角速度。向心力不是一种特殊的力，任何力或合力只要能提供做圆周运动所需的向心加速度，都可以充当向心力。例如，绳子的拉力可以作为 swinging ball (小球摆动) 的向心力，万有引力可以作为 planet (行星) 绕恒星运动的向心力。

③ 牛顿第三定律 (Newton's Third Law of Motion)，又称 作用力与反作用力定律 (Law of Action and Reaction)：
▮ 内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，分别作用在两个不同的物体上。
▮ 数学表达式：\(\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\)，其中 \(\mathbf{F}_{12}\) 是物体 2 对物体 1 的作用力，\(\mathbf{F}_{21}\) 是物体 1 对物体 2 的反作用力。
▮ 解释：作用力与反作用力总是成对出现，同时产生，同时消失，性质相同（例如，都是引力或都是弹力），分别作用在相互作用的两个物体上。
▮ 理解：作用力与反作用力是相互作用的两个物体之间的力，不能抵消。平衡力是作用在同一物体上的力，可以相互抵消。
▮ 应用：例如，人走路时，脚对地面施加向后的摩擦力（作用力），地面同时对脚施加向前的摩擦力（反作用力），正是地面的摩擦力推动人前进；火箭发射时，向下喷射燃气（作用力），燃气对火箭产生向上的推力（反作用力），推动火箭升空。

2.1.3 功、能与能量守恒 (Work, Energy and Conservation of Energy)

本小节将介绍功、能的概念，以及能量守恒定律，这些概念是理解力学系统能量转换和守恒的关键。

① 功 (work)：
▮ 功是能量 transfer (转移) 的量度，力对物体做功等于力与物体在力的方向上 displacement (位移) 的乘积。功是标量，单位是 Joule (焦耳) (J)。
▮ 恒力做功 (work done by a constant force)：当力 \(\mathbf{F}\) 为恒力，物体 displacement (位移) 为 \(\mathbf{d}\) 时，恒力做的功 \(W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = Fd\cos\theta\)，其中 \(\theta\) 是力 \(\mathbf{F}\) 与 displacement (位移) \(\mathbf{d}\) 之间的夹角。
▮ 变力做功 (work done by a variable force)：当力 \(\mathbf{F}\) 为变力时，需要使用积分计算功。在一维情况下，变力 \(F(x)\) 从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 做功 \(W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx\)。在三维情况下，变力 \(\mathbf{F}(\mathbf{r})\) 沿路径 \(C\) 做功 \(W = \int_{C} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d\mathbf{r}\)。
▮ 正功与负功 (positive work and negative work)：当 \(0^\circ \leq \theta < 90^\circ\) 时，\(\cos\theta > 0\)，力做正功，表示能量从施力物体 transfer (转移) 到受力物体；当 \(90^\circ < \theta \leq 180^\circ\) 时，\(\cos\theta < 0\)，力做负功，或者说物体克服力做功，表示能量从受力物体 transfer (转移) 到施力物体；当 \(\theta = 90^\circ\) 时，\(\cos\theta = 0\)，力不做功，表示能量没有 transfer (转移)。

② 能 (energy)：
▮ 能是描述物体运动状态和做功能力的物理量，是标量，单位也是 Joule (焦耳) (J)。力学中常见的能量形式包括 kinetic energy (动能) 和 potential energy (势能)。
▮ 动能 (kinetic energy)：物体由于运动而具有的能量。质量为 \(m\)，速度大小为 \(v\) 的物体的动能 \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)。动能是标量，总是非负的。
▮ 势能 (potential energy)：物体由于在力场中的位置而具有的能量。势能是相互作用能的一种形式，是标量，其大小与参考位置的选取有关。
▮▮▮▮ⓐ 重力势能 (gravitational potential energy)：物体由于在 gravitational field (重力场) 中的高度而具有的能量。在地面附近，质量为 \(m\)，高度为 \(h\) 的物体的重力势能 \(E_p = mgh\)，其中 \(g\) 是重力加速度，零势能面通常选取地面。
▮▮▮▮ⓑ 弹性势能 (elastic potential energy)：物体由于发生弹性形变而具有的能量。对于弹簧，弹簧的弹性势能 \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\)，其中 \(k\) 是弹簧的劲度系数，\(x\) 是弹簧的形变量，平衡位置为零势能点。

③ 动能定理 (work-kinetic energy theorem)：
▮ 内容：合外力对物体所做的总功，等于物体动能的 change (变化量)。
▮ 数学表达式：\(W_{合} = \Delta E_k = E_{kf} - E_{ki} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\)，其中 \(W_{合}\) 是合外力做的总功，\(E_{ki}\) 是初动能，\(E_{kf}\) 是末动能，\(v_i\) 是初速度，\(v_f\) 是末速度。
▮ 解释：动能定理揭示了功和动能 change (变化) 之间的关系，是分析物体运动状态 change (变化) 的重要工具。

④ 势能与 conservative force (保守力)：
▮ conservative force (保守力)：如果一个力对物体做功，只与物体的起始位置和终止位置有关，而与运动路径无关，则称这个力为 conservative force (保守力) 或 conservative force (势力)。常见的 conservative forces (保守力) 包括 gravitational force (重力)、elastic force (弹力)、electrostatic force (静电力) 等。
▮ non-conservative force (非保守力)：如果一个力对物体做功，不仅与物体的起始位置和终止位置有关，还与运动路径有关，则称这个力为 non-conservative force (非保守力) 或 dissipative force (耗散力)。常见的 non-conservative forces (非保守力) 包括 friction (摩擦力)、air resistance (空气阻力) 等。
▮ conservative force (保守力) 做功的特点是可以表示为势能的 change (变化)。例如，重力做功 \(W_g = - \Delta E_p = -(E_{pf} - E_{pi}) = E_{pi} - E_{pf}\)。

⑤ 机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy)：
▮ 内容：在只有 conservative force (保守力) 做功的系统内，物体的 kinetic energy (动能) 和 potential energy (势能) 可以相互转化，但 mechanical energy (机械能) 的总和保持不变。
▮ 数学表达式：\(E = E_k + E_p = \text{constant}\) 或 \(\Delta E = \Delta E_k + \Delta E_p = 0\)，即 \(E_{ki} + E_{pi} = E_{kf} + E_{pf}\)。
▮ 适用条件：系统只受 conservative force (保守力) 作用，或者 non-conservative force (非保守力) 做功为零（如 friction (摩擦力) 不做功）。
▮ 推广：更普遍的能量守恒定律，即 law of conservation of energy (能量守恒定律)：在孤立系统中，各种形式的能量（如 kinetic energy (动能)、potential energy (势能)、thermal energy (热能)、chemical energy (化学能)、electromagnetic energy (电磁能)、nuclear energy (核能) 等）可以相互转化，但能量的总和保持不变。能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体 transfer (转移) 到另一个物体。能量守恒是自然界最普遍、最重要的基本定律之一。

2.2 刚体力学 (Rigid Body Mechanics)

本节将质点力学扩展到 rigid body (刚体)，介绍 rigid body (刚体) 的 rotation (转动)、torque (力矩)、angular momentum (角动量)、moment of inertia (转动惯量) 等概念，以及 rigid body (刚体) 的 equilibrium conditions (平衡条件) 和 rotational dynamics equation (转动动力学方程)，分析 rigid body (刚体) 在力作用下的 motion (运动) 和 equilibrium (平衡)。

2.2.1 刚体的转动与角量 (Rotation and Angular Quantities of Rigid Bodies)

本小节将介绍描述 rigid body (刚体) rotation (转动) 的物理量，以及 torque (力矩) 和 moment of inertia (转动惯量) 的概念。

① rigid body (刚体) 的概念 (concept of rigid body)：
▮ rigid body (刚体) 是指在 motion (运动) 和受力过程中，形状和大小都不发生改变，而且 rigid body (刚体) 内任意两质点间的相对位置始终保持不变的物体模型。实际上，绝对 rigid body (刚体) 不存在，但很多情况下，物体的形变很小，可以忽略不计，近似看作 rigid body (刚体)。

② rigid body (刚体) 的 rotation (转动) (rotation of rigid body)：
▮ rigid body (刚体) 的运动形式除了 translational motion (平动) 外，还有 rotation (转动)。 rigid body (刚体) 绕某一轴线的 rotation (转动) 称为定轴转动。
▮ angular displacement (角位移)：rigid body (刚体) rotation (转动) 时，rigid body (刚体) 上某点的 radius vector (矢径) 扫过的角度，用 \(\theta\) 表示，单位是 radian (弧度) (rad)。角位移是矢量，方向用 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。
▮ angular velocity (角速度)：描述 rigid body (刚体) rotation (转动) 快慢和方向的物理量，是 angular displacement (角位移) 对时间的变化率，用 \(\omega\) 表示，单位是 radian per second (弧度每秒) (rad/s)。角速度是矢量，方向沿 rotation axis (转轴) 方向，用 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。
▮ 平均角速度 (average angular velocity)：在时间间隔 \(\Delta t\) 内的 angular displacement (角位移) \(\Delta \theta\) 与时间间隔的比值，\(\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\)。
▮ 瞬时角速度 (instantaneous angular velocity)：当时间间隔 \(\Delta t\) 趋近于零时，平均角速度的极限值，\(\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}\)。
▮ angular acceleration (角加速度)：描述 rigid body (刚体) angular velocity (角速度) 变化快慢和方向的物理量，是 angular velocity (角速度) 对时间的变化率，用 \(\alpha\) 表示，单位是 radian per second squared (弧度每二次方秒) (rad/s\(^2\))。角加速度是矢量，方向沿 rotation axis (转轴) 方向，用 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。
▮ 平均角加速度 (average angular acceleration)：在时间间隔 \(\Delta t\) 内的 angular velocity change (角速度变化量) \(\Delta \omega\) 与时间间隔的比值，\(\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\)。
▮ 瞬时角加速度 (instantaneous angular acceleration)：当时间间隔 \(\Delta t\) 趋近于零时，平均角加速度的极限值，\(\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\)。
▮ rotation (转动) 运动学公式 (kinematic equations for rotational motion)：匀角加速度转动时，与匀变速直线运动类似，有以下运动学公式：
\[ \omega = \omega_0 + \alpha t \]
\[ \theta = \theta_0 + \omega_0t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \]
\[ \omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta - \theta_0) \]
其中 \(\omega_0\) 是 initial angular velocity (初角速度)，\(\omega\) 是 final angular velocity (末角速度)，\(\alpha\) 是 angular acceleration (角加速度)，\(t\) 是时间，\(\theta_0\) 是 initial angular displacement (初始角位移)，\(\theta\) 是 final angular displacement (末角位移)。

③ torque (力矩)：
▮ torque (力矩) 是力对物体产生 rotation (转动) 效果的量度，是矢量。 torque (力矩) 的大小等于力的大小与力臂的乘积， torque (力矩) 的方向用 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定，垂直于力和力臂决定的平面。
▮ 对于 rigid body (刚体) 的定轴转动， torque (力矩) 是 cause (引起) angular acceleration (角加速度) 的原因，类似于力是 cause (引起) linear acceleration (线加速度) 的原因。
▮ torque (力矩) 的计算 (calculation of torque)：对于作用在 rigid body (刚体) 上某点的力 \(\mathbf{F}\)， relative to (相对于) rotation axis (转轴) 的 torque (力矩) \(\mathbf{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\)，其中 \(\mathbf{r}\) 是 rotation axis (转轴) 到力作用点的 radius vector (矢径)， torque (力矩) 的大小 \(\tau = rF\sin\phi = Fd\)，其中 \(\phi\) 是 \(\mathbf{r}\) 和 \(\mathbf{F}\) 之间的夹角，\(d = r\sin\phi\) 称为 force arm (力臂)。 torque (力矩) 的单位是 Newton-meter (牛顿·米) (N·m)。

④ moment of inertia (转动惯量)：
▮ moment of inertia (转动惯量) 是描述 rigid body (刚体) rotation (转动) inertia (惯性) 大小的物理量，是标量，用 \(I\) 表示。 moment of inertia (转动惯量) 的大小取决于 rigid body (刚体) 的质量分布和 rotation axis (转轴) 的位置。对于 rigid body (刚体) 的定轴转动， moment of inertia (转动惯量) 类似于 translational motion (平动) 中的 mass (质量)。
▮ 质点的 moment of inertia (转动惯量) (moment of inertia of a particle)：对于质量为 \(m\) 的质点， relative to (相对于) rotation axis (转轴) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I = mr^2\)，其中 \(r\) 是质点到 rotation axis (转轴) 的距离。
▮ rigid body (刚体) 的 moment of inertia (转动惯量) (moment of inertia of a rigid body)：对于由许多质点组成的 rigid body (刚体)，其 relative to (相对于) 某 rotation axis (转轴) 的 moment of inertia (转动惯量) 是各质点 moment of inertia (转动惯量) 的总和，\(I = \sum_{i} m_i r_i^2\)。对于 continuous mass distribution (连续质量分布) 的 rigid body (刚体)， moment of inertia (转动惯量) 可以用积分计算，\(I = \int r^2 dm = \int \rho r^2 dV\)，其中 \(\rho\) 是 density (密度)，\(dV\) 是 volume element (体积元)。
▮ 平行轴定理 (parallel axis theorem)： rigid body (刚体) relative to (相对于) 任意轴的 moment of inertia (转动惯量) \(I\)，与 relative to (相对于) 平行于该轴且通过质心的轴的 moment of inertia (转动惯量) \(I_{CM}\) 之间的关系：\(I = I_{CM} + Md^2\)，其中 \(M\) 是 rigid body (刚体) 的总质量，\(d\) 是两平行轴之间的距离。平行轴定理 simplifies (简化) 了 moment of inertia (转动惯量) 的计算，只要知道 rigid body (刚体) relative to (相对于) 通过质心轴的 moment of inertia (转动惯量)，就可以求出 relative to (相对于) 任何平行轴的 moment of inertia (转动惯量)。
▮ 常见 rigid body (刚体) 的 moment of inertia (转动惯量) (moments of inertia of common rigid bodies)：
▮▮▮▮ⓐ thin rod (细杆)， relative to (相对于) 通过中心且垂直于杆的轴，\(I = \frac{1}{12}ML^2\)， relative to (相对于) 通过端点且垂直于杆的轴，\(I = \frac{1}{3}ML^2\)，其中 \(M\) 是杆的质量，\(L\) 是杆的长度。
▮▮▮▮ⓑ solid cylinder or disk (实心圆柱体或圆盘)， relative to (相对于) 中心轴，\(I = \frac{1}{2}MR^2\)，其中 \(M\) 是圆柱体或圆盘的质量，\(R\) 是半径。
▮▮▮▮ⓒ hollow cylinder or ring (空心圆柱体或圆环)， relative to (相对于) 中心轴，\(I = MR^2\)，其中 \(M\) 是圆柱体或圆环的质量，\(R\) 是半径。
▮▮▮▮ⓓ solid sphere (实心球体)， relative to (相对于) 通过球心的轴，\(I = \frac{2}{5}MR^2\)，其中 \(M\) 是球体的质量，\(R\) 是半径。
▮▮▮▮ⓔ thin spherical shell (薄球壳)， relative to (相对于) 通过球心的轴，\(I = \frac{2}{3}MR^2\)，其中 \(M\) 是球壳的质量，\(R\) 是半径。

2.2.2 刚体的转动定律与平衡 (Laws of Rotation and Equilibrium of Rigid Bodies)

本小节将阐述 rigid body (刚体) rotation law (转动定律)，介绍 angular momentum conservation law (角动量守恒定律)，分析 rigid body (刚体) equilibrium conditions (平衡条件)，包括 static equilibrium (静力平衡) 和 dynamic equilibrium (动力平衡)。

① rigid body (刚体) rotation law (转动定律)：
▮ rigid body (刚体) 所受的合外 torque (力矩) 等于 rigid body (刚体) 的 moment of inertia (转动惯量) 与 angular acceleration (角加速度) 的乘积，即 \(\sum \mathbf{\tau} = I\mathbf{\alpha}\)，其中 \(\sum \mathbf{\tau}\) 是 rigid body (刚体) 所受的合外 torque (力矩)，\(I\) 是 rigid body (刚体) relative to (相对于) rotation axis (转轴) 的 moment of inertia (转动惯量)，\(\mathbf{\alpha}\) 是 angular acceleration (角加速度)。
▮ rigid body (刚体) rotation law (转动定律) 是 rigid body (刚体) 定轴转动的动力学基本方程，类似于牛顿第二定律 \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\) 在 translational motion (平动) 中的地位。
▮ rotation kinetic energy (转动动能)： rigid body (刚体) rotation (转动) 的 kinetic energy (动能) \(E_{kr} = \frac{1}{2}I\omega^2\)，其中 \(I\) 是 moment of inertia (转动惯量)，\(\omega\) 是 angular velocity (角速度)。

② angular momentum (角动量)：
▮ angular momentum (角动量) 是描述物体 rotation (转动) 状态的物理量，是矢量。对于质点， angular momentum (角动量) \(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\)，其中 \(\mathbf{r}\) 是 position vector (位置矢量)，\(\mathbf{p} = m\mathbf{v}\) 是 linear momentum (线动量)。对于 rigid body (刚体) 的定轴转动， angular momentum (角动量) \(L = I\omega\)，方向沿 rotation axis (转轴) 方向，用 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。 angular momentum (角动量) 的单位是 kilogram meter squared per second (千克·米\(^2\)/秒) (kg·m\(^2\)/s) 或 Joule-second (焦耳·秒) (J·s)。
▮ angular momentum theorem (角动量定理)：作用在 rigid body (刚体) 上的合外 torque (力矩) 等于 rigid body (刚体) angular momentum (角动量) 对时间的变化率，即 \(\sum \mathbf{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}\)。当合外 torque (力矩) 为零时， angular momentum (角动量) 保持不变，即 angular momentum conservation law (角动量守恒定律)。

③ angular momentum conservation law (角动量守恒定律)：
▮ 内容：当 rigid body (刚体) 所受的合外 torque (力矩) 为零时， rigid body (刚体) 的 total angular momentum (总角动量) 保持不变，即 \(\sum \mathbf{\tau} = 0 \Rightarrow \mathbf{L} = \text{constant}\)。
▮ angular momentum conservation law (角动量守恒定律) 是自然界普遍适用的基本定律之一，与 law of conservation of energy (能量守恒定律)、linear momentum conservation law (线动量守恒定律) 并列为三大守恒定律。
▮ 应用：例如， skater (花样滑冰运动员) 在旋转时，通过收缩手臂减小 moment of inertia (转动惯量)，从而增大 angular velocity (角速度)，保持 angular momentum (角动量) 不变； planet (行星) 绕太阳运动，由于太阳对 planet (行星) 的 gravitational torque (引力力矩) 相对于太阳为零， planet (行星) 的 angular momentum (角动量) 守恒。

④ rigid body (刚体) equilibrium (平衡) (equilibrium of rigid body)：
▮ rigid body (刚体) equilibrium (平衡) 是指 rigid body (刚体) 保持静止或匀速转动状态。 rigid body (刚体) equilibrium (平衡) 分为 static equilibrium (静力平衡) 和 dynamic equilibrium (动力平衡)。
▮▮▮▮ⓐ static equilibrium (静力平衡)： rigid body (刚体) 保持静止状态。 static equilibrium (静力平衡) 的条件是：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ rigid body (刚体) 所受的合外力为零，即 \(\sum \mathbf{F} = 0\)。保证 rigid body (刚体) translational equilibrium (平动平衡)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ rigid body (刚体) 所受的 relative to (相对于) 任意轴的合外 torque (力矩) 为零，即 \(\sum \mathbf{\tau} = 0\)。保证 rigid body (刚体) rotational equilibrium (转动平衡)。
▮▮▮▮ⓓ dynamic equilibrium (动力平衡)： rigid body (刚体) 保持匀速直线运动或匀速转动状态。 dynamic equilibrium (动力平衡) 的条件与 static equilibrium (静力平衡) 的条件相同，即合外力为零，合外 torque (力矩) 为零。
▮ equilibrium conditions (平衡条件) 的应用 (applications of equilibrium conditions)： equilibrium conditions (平衡条件) 广泛应用于工程结构分析、机械设计等领域，例如， bridge (桥梁)、building (建筑物) 的 stability analysis (稳定性分析)， machine parts (机器零件) 的 force analysis (受力分析) 等。

2.3 流体力学基础 (Fundamentals of Fluid Mechanics)

本节简要介绍 fluid (流体) 的基本概念和 properties (性质)，如 density (密度)、pressure (压强)、viscosity (粘度) 等，以及 fluid statics (流体静力学) 和 fluid dynamics (流体动力学) 的基本 principles (原理)，如 Archimedes' principle (阿基米德原理)、Bernoulli's equation (伯努利方程) 等，为 engineering applications (工程应用) 中的 fluid problems (流体问题) 提供 basic knowledge (基础知识)。

2.3.1 流体的基本概念与性质 (Basic Concepts and Properties of Fluids)

本小节将定义 fluid (流体) 的概念，介绍 fluid (流体) 的 density (密度)、pressure (压强)、viscosity (粘度) 等 basic properties (基本性质)。

① fluid (流体) 的概念 (concept of fluid)：
▮ fluid (流体) 是指在 shear stress (剪应力) 作用下会 continuous deformation (连续形变) 的物质，包括 liquid (液体) 和 gas (气体)。 fluid (流体) 与 solid (固体) 的主要区别在于， solid (固体) 在 shear stress (剪应力) 作用下发生形变后，会产生 restoring force (恢复力)，阻止形变继续发展，而 fluid (流体) 不会产生 restoring force (恢复力)，只要 shear stress (剪应力) 存在，形变就会持续进行，直到 shear stress (剪应力) 消失为止。
▮ liquid (液体) 和 gas (气体) 的区别在于， liquid (液体) 的 volume (体积) 较难压缩，具有 definite volume (确定的体积)，而 gas (气体) 的 volume (体积) 容易压缩， volume (体积) 不固定，会充满整个容器。

② density (密度)：
▮ density (密度) 是描述物质单位 volume (体积) 内质量大小的物理量，是标量，用 \(\rho\) 表示，单位是 kilogram per cubic meter (千克每立方米) (kg/m\(^3\)).
▮ average density (平均密度)：物体质量 \(m\) 与 volume (体积) \(V\) 的比值，\(\bar{\rho} = \frac{m}{V}\)。
▮ 瞬时密度 (instantaneous density)：在某一点的 density (密度)，\(\rho = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\Delta m}{\Delta V} = \frac{dm}{dV}\)。对于 homogeneous substance (均匀物质)， density (密度) 处处相等，平均密度等于瞬时密度。
▮ density (密度) 是物质的重要 properties (性质) 之一，不同物质 density (密度) 不同，同一物质在不同状态下 density (密度) 也可能不同， density (密度) 与 temperature (温度) 和 pressure (压强) 有关。

③ pressure (压强)：
▮ pressure (压强) 是描述 fluid (流体) 内部 force (力) 的作用效果的物理量，是标量，等于垂直作用在 unit area (单位面积) 上的 force (力) 的大小，用 \(p\) 表示，单位是 Pascal (帕斯卡) (Pa) 或 Newton per square meter (牛顿每平方米) (N/m\(^2\))。常用的 pressure units (压强单位) 还有 atmosphere (标准大气压) (atm)、bar (巴) (bar)、Torr (托) (Torr) 等。
▮ pressure (压强) 的定义 (definition of pressure)： fluid (流体) 在某一点的 pressure (压强) \(p = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta A} = \frac{dF}{dA}\)，其中 \(dF\) 是垂直作用在 area element (面积元) \(dA\) 上的 force (力) 的大小。 fluid (流体) pressure (压强) 是标量，但 force (力) \(\mathbf{dF} = -p\mathbf{dA}\) 是矢量，方向垂直于 area element (面积元) \(\mathbf{dA}\)，指向 area element (面积元) 内部。
▮ static fluid pressure (静流体压强) 的特点 (properties of static fluid pressure)：
▮▮▮▮ⓐ fluid (流体) pressure (压强) 是标量，只有大小，没有方向，但 pressure (压强) 的作用力方向垂直于受力面。
▮▮▮▮ⓑ static fluid (静流体) 内部某一点的 pressure (压强) 在各个方向上相等，即 Pascal's law (帕斯卡定律) 的体现。
▮▮▮▮ⓒ static fluid (静流体) pressure (压强) 随深度增加而增大。对于 homogeneous incompressible fluid (均匀不可压缩流体)， pressure (压强) 随深度 \(h\) 的变化关系为 \(p = p_0 + \rho gh\)，其中 \(p_0\) 是 fluid surface pressure (流体表面压强)，\(\rho\) 是 fluid density (流体密度)，\(g\) 是 gravitational acceleration (重力加速度)。

④ viscosity (粘度)：
▮ viscosity (粘度) 是描述 fluid (流体) resistance to flow (流动阻力) 的 properties (性质)，是 fluid (流体) internal friction (内摩擦) 的量度，是 fluid (流体) 的一种输运系数。 viscosity (粘度) 是标量，用 \(\eta\) 或 \(\mu\) 表示，单位是 Pascal-second (帕斯卡·秒) (Pa·s) 或 Poise (泊) (P)，1 Pa·s = 10 P。
▮ viscosity (粘度) 的 origin (起因)： viscosity (粘度) 的 origin (起因) 是 fluid (流体) 分子之间的相互作用力。对于 liquid (液体)， viscosity (粘度) 主要来源于 molecules (分子) 之间的 cohesive force (内聚力)；对于 gas (气体)， viscosity (粘度) 主要来源于 molecules (分子) 的 thermal motion (热运动) 和 collision (碰撞)。
▮ Newtonian fluid (牛顿流体) 和 non-Newtonian fluid (非牛顿流体)：
▮▮▮▮ⓐ Newtonian fluid (牛顿流体)： fluid (流体) 的 shear stress (剪应力) 与 shear strain rate (剪应变率) 成线性关系，即 \(\tau = \eta \frac{du}{dy}\)，其中 \(\tau\) 是 shear stress (剪应力)，\(\eta\) 是 viscosity (粘度)，\(\frac{du}{dy}\) 是 velocity gradient (速度梯度) 或 shear strain rate (剪应变率)。 viscosity (粘度) \(\eta\) 只与 fluid properties (流体性质) 和 temperature (温度) 有关，与 shear strain rate (剪应变率) 无关。常见的 Newtonian fluids (牛顿流体) 包括 water (水)、air (空气)、oil (油) 等。
▮▮▮▮ⓑ non-Newtonian fluid (非牛顿流体)： fluid (流体) 的 shear stress (剪应力) 与 shear strain rate (剪应变率) 不是线性关系， viscosity (粘度) 不是常数，可能与 shear strain rate (剪应变率) 有关。常见的 non-Newtonian fluids (非牛顿流体) 包括 polymer solution (聚合物溶液)、blood (血液)、paint (油漆)、toothpaste (牙膏) 等。 non-Newtonian fluids (非牛顿流体) 的 viscosity (粘度) 行为复杂多样，根据 viscosity (粘度) 随 shear strain rate (剪应变率) 的变化关系，又可分为 pseudoplastic fluid (假塑性流体)、dilatant fluid (胀塑性流体)、Bingham plastic (宾汉姆塑性流体) 等。

2.3.2 流体静力学与浮力 (Fluid Statics and Buoyancy)

本小节将介绍 fluid statics (流体静力学) 的 basic laws (基本规律)，如 Pascal's law (帕斯卡定律)、Archimedes' principle (阿基米德原理)，分析 buoyancy (浮力) 产生的原因和 calculation methods (计算方法)。

① Pascal's law (帕斯卡定律)：
▮ 内容：作用在 enclosed fluid (密闭流体) 上的 pressure (压强) change (变化) 可以大小不变地传递到 fluid (流体) 的各个部分。
▮ 数学表达式： \(\Delta p_{in} = \Delta p_{out}\)。
▮ 应用： Pascal's law (帕斯卡定律) 是 hydraulic system (液压系统) 的工作原理。 hydraulic jack (液压千斤顶)、hydraulic brake (液压刹车) 等 hydraulic machinery (液压机械) 都是利用 Pascal's law (帕斯卡定律) 实现 force amplification (力放大的)。

② fluid statics basic equation (流体静力学基本方程)：
▮ 对于 homogeneous incompressible fluid (均匀不可压缩流体)， pressure (压强) 随 depth (深度) \(h\) 的变化关系为 \(p = p_0 + \rho gh\)，也可以写成 \(p + \rho gh = \text{constant}\)。
▮ 对于 compressible fluid (可压缩流体)， density (密度) \(\rho\) 不是常数，而是 pressure (压强) 的函数，需要考虑 density (密度) 随 pressure (压强) 的变化。例如， for isothermal atmosphere (等温大气)， pressure (压强) 随高度 \(y\) 的变化关系为 \(p(y) = p_0 e^{-\frac{mgy}{kT}}\)，称为 barometric formula (气压公式)，其中 \(p_0\) 是地面 pressure (压强)，\(m\) 是 gas molecule mass (气体分子质量)，\(g\) 是 gravitational acceleration (重力加速度)，\(k\) 是 Boltzmann constant (玻尔兹曼常数)，\(T\) 是 absolute temperature (绝对温度)。

③ Archimedes' principle (阿基米德原理)：
▮ 内容：浸在 fluid (流体) 中的物体受到 fluid (流体) 对它竖直向上的 buoyancy (浮力)， buoyancy (浮力) 的大小等于物体排开 fluid (流体) 的重力。
▮ 数学表达式：\(F_B = \rho_f g V_{dis}\)，其中 \(F_B\) 是 buoyancy (浮力) 的大小，\(\rho_f\) 是 fluid density (流体密度)，\(g\) 是 gravitational acceleration (重力加速度)，\(V_{dis}\) 是物体排开 fluid (流体) 的 volume (体积)。 buoyancy (浮力) 的方向竖直向上，作用点在物体排开 fluid (流体) 的 centroid (形心)，也称为 buoyant center (浮心)。
▮ buoyancy (浮力) 的 origin (起因)： buoyancy (浮力) 的 origin (起因) 是 fluid (流体) 对 immersed object (浸没物体) 上下表面 pressure difference (压强差)。由于 fluid pressure (流体压强) 随 depth (深度) 增加而增大，物体下表面受到的 pressure (压强) 大于上表面受到的 pressure (压强)， pressure difference (压强差) 产生合力，即 buoyancy (浮力)。
▮ 物体在 fluid (流体) 中的 equilibrium conditions (平衡条件) (equilibrium of objects in fluids)：
▮▮▮▮ⓐ floating (漂浮)：当物体 density (密度) 小于 fluid density (流体密度) 时，物体可以漂浮在 fluid surface (流体表面)。 floating condition (漂浮条件) 是物体所受 buoyancy (浮力) 等于物体重力，\(F_B = G\)，即 \(\rho_f g V_{dis} = \rho_o g V_o\)，其中 \(\rho_o\) 是物体 density (密度)，\(V_o\) 是物体 volume (体积)。可以求得物体 immersed volume fraction (浸没体积比) \(\frac{V_{dis}}{V_o} = \frac{\rho_o}{\rho_f}\)。
▮▮▮▮ⓑ suspension (悬浮)：当物体 density (密度) 等于 fluid density (流体密度) 时，物体可以悬浮在 fluid (流体) 内部任意位置。 suspension condition (悬浮条件) 也是 buoyancy (浮力) 等于物体重力，\(F_B = G\)，此时 \(V_{dis} = V_o\)，\(\rho_f = \rho_o\)。
▮▮▮▮ⓒ sinking (沉底)：当物体 density (密度) 大于 fluid density (流体密度) 时，物体会沉入 fluid bottom (流体底部)。 sinking condition (沉底条件) 是物体所受 buoyancy (浮力) 小于物体重力，\(F_B < G\)。物体在 fluid (流体) 中所受的 net force (合力) \(F_{net} = G - F_B = (\rho_o - \rho_f) g V_o\)，方向竖直向下。

2.3.3 流体动力学初步 (Introduction to Fluid Dynamics)

本小节将 brief introduction (简要介绍) fluid dynamics (流体动力学) 的 basic concepts (基本概念)，如 streamline (流线)、flow velocity (流速)、flow rate (流量)，以及 Bernoulli's equation (伯努利方程) 及其 simple applications (简单应用)。

① fluid flow (流体流动) 的 types (类型)：
▮ steady flow (定常流动) 和 unsteady flow (非定常流动)：
▮▮▮▮ⓐ steady flow (定常流动)： fluid (流体) 在空间中各点的 velocity (速度)、pressure (压强)、density (密度) 等 properties (性质) 不随时间 change (变化)，只随空间位置 change (变化)。 streamline (流线) 不随时间 change (变化)。
▮▮▮▮ⓑ unsteady flow (非定常流动)： fluid (流体) 在空间中各点的 velocity (速度)、pressure (压强)、density (密度) 等 properties (性质) 随时间 change (变化)。 streamline (流线) 随时间 change (变化)。
▮ viscous flow (粘性流动) 和 inviscid flow (无粘性流动)：
▮▮▮▮ⓐ viscous flow (粘性流动)：需要考虑 fluid viscosity (流体粘度) 影响的 fluid flow (流体流动)。 viscous force (粘性力) 不可忽略。
▮▮▮▮ⓑ inviscid flow (无粘性流动)：忽略 fluid viscosity (流体粘度) 影响的 fluid flow (流体流动)， viscosity (粘度) 近似为零。 inviscid flow (无粘性流动) 是对 real fluid flow (实际流体流动) 的一种 simplified model (简化模型)，在某些情况下可以较好地近似描述 real fluid flow (实际流体流动)。
▮ compressible flow (可压缩流动) 和 incompressible flow (不可压缩流动)：
▮▮▮▮ⓐ compressible flow (可压缩流动)： fluid density (流体密度) 在 flow process (流动过程中) 发生显著 change (变化)，不可忽略。通常 gas flow (气体流动) 在 velocity (速度) 较大时（如 Mach number (马赫数) 接近或大于 0.3）需要考虑 compressibility (可压缩性)。
▮▮▮▮ⓑ incompressible flow (不可压缩流动)： fluid density (流体密度) 在 flow process (流动过程中) change (变化) 很小，可以忽略不计，近似认为 fluid density (流体密度) 为常数。 liquid flow (液体流动) 通常可以近似看作 incompressible flow (不可压缩流动)， gas flow (气体流动) 在 velocity (速度) 较小时（如 Mach number (马赫数) 远小于 0.3）也可以近似看作 incompressible flow (不可压缩流动)。
▮ laminar flow (层流) 和 turbulent flow (湍流)：
▮▮▮▮ⓐ laminar flow (层流)： fluid particles (流体质点) 沿 streamline (流线) 规则流动， flow layers (流层) 之间互不混合， flow structure (流动结构) 规则有序。通常发生在 low velocity (低流速)、high viscosity (高粘度) 的情况下。
▮▮▮▮ⓑ turbulent flow (湍流)： fluid particles (流体质点) 运动轨迹 irregular (不规则)， flow layers (流层) 之间相互混合， velocity (速度)、pressure (压强) 等 properties (性质) 随时间和空间呈现 random fluctuation (随机脉动)， flow structure (流动结构) 复杂无序。通常发生在 high velocity (高流速)、low viscosity (低粘度) 的情况下。
▮▮▮▮ⓒ Reynolds number (雷诺数)：判断 fluid flow (流体流动) 是 laminar flow (层流) 还是 turbulent flow (湍流) 的 dimensionless number (无量纲数)， \(Re = \frac{\rho v L}{\eta}\)，其中 \(\rho\) 是 fluid density (流体密度)，\(v\) 是 flow velocity (流速)，\(L\) 是 characteristic length (特征长度)，\(\eta\) 是 viscosity (粘度)。 Reynolds number (雷诺数) 表征 inertial force (惯性力) 与 viscous force (粘性力) 的比值。 Reynolds number (雷诺数) 较小时， viscous force (粘性力) 起主导作用， flow (流动) 趋于 laminar flow (层流)； Reynolds number (雷诺数) 较大时， inertial force (惯性力) 起主导作用， flow (流动) 趋于 turbulent flow (湍流)。对于 pipe flow (管流)，当 \(Re < 2000\) 时为 laminar flow (层流)，当 \(Re > 4000\) 时为 turbulent flow (湍流)，当 \(2000 < Re < 4000\) 时为 transition flow (过渡流)。

② streamline (流线)、flow velocity (流速) 和 flow rate (流量)：
▮ streamline (流线)： fluid flow field (流场) 中一组曲线，曲线上每一点的 tangent direction (切线方向) 与该点 fluid velocity direction (流体速度方向) 一致。 streamline (流线) 形象地描述了 fluid particles (流体质点) 的运动轨迹。在 steady flow (定常流动) 中， streamline (流线) 与 pathline (迹线) (fluid particle trajectory (流体质点轨迹)) 重合。 streamline (流线) 密集的地方 flow velocity (流速) 大， streamline (流线) 稀疏的地方 flow velocity (流速) 小。
▮ flow velocity (流速)： fluid particles (流体质点) 的 velocity (速度)，是矢量，描述 fluid particles (流体质点) 运动的快慢和方向。
▮ flow rate (流量)：描述 fluid flow (流体流动) quantity (数量) 的物理量。
▮▮▮▮ⓐ volume flow rate (体积流量)：单位时间内通过某截面的 fluid volume (流体体积)，用 \(Q_V\) 表示，单位是 cubic meter per second (立方米每秒) (m\(^3\)/s)。对于 uniform flow (均匀流) 通过 area \(A\) 的 volume flow rate (体积流量) \(Q_V = vA\)，其中 \(v\) 是 flow velocity (流速)，\(A\) 是与 flow direction (流动方向) 垂直的截面 area (面积)。对于 non-uniform flow (非均匀流)，需要用积分计算 \(Q_V = \int_{A} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A}\)。
▮▮▮▮ⓑ mass flow rate (质量流量)：单位时间内通过某截面的 fluid mass (流体质量)，用 \(Q_m\) 表示，单位是 kilogram per second (千克每秒) (kg/s)。 mass flow rate (质量流量) 与 volume flow rate (体积流量) 的关系为 \(Q_m = \rho Q_V\)，其中 \(\rho\) 是 fluid density (流体密度)。
▮▮▮▮ⓒ continuity equation (连续性方程)：对于 steady flow (定常流动)，在没有 source (源) 或 sink (汇) 的情况下，通过任一管道截面的 mass flow rate (质量流量) 保持不变，即 \(\rho_1 v_1 A_1 = \rho_2 v_2 A_2 = \text{constant}\)。对于 incompressible fluid (不可压缩流体)， density (密度) \(\rho\) 为常数， continuity equation (连续性方程) 简化为 \(v_1 A_1 = v_2 A_2 = \text{constant}\)，即 volume flow rate (体积流量) 保持不变。

③ Bernoulli's equation (伯努利方程)：
▮ Bernoulli's equation (伯努利方程) 是描述 inviscid incompressible fluid (无粘性不可压缩流体) steady flow (定常流动) 的 energy conservation equation (能量守恒方程)，反映了 pressure (压强)、velocity (速度) 和 height (高度) 之间的关系。
▮ 数学表达式： \(p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}\) 或 \(p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2\)。
▮ 各项物理意义：
▮▮▮▮ⓐ \(p\)： static pressure (静压)， fluid pressure (流体压强) 的一部分，与 fluid motion (流体运动) 无关。
▮▮▮▮ⓑ \(\frac{1}{2}\rho v^2\)： dynamic pressure (动压)，与 fluid motion (流体运动) 有关，反映了 fluid kinetic energy (流体动能) 的大小。
▮▮▮▮ⓒ \(\rho gh\)： gravitational potential energy pressure (重力势能压强)，反映了 fluid gravitational potential energy (流体重力势能) 的大小。
▮▮▮▮ⓓ \(p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh\)： total pressure (总压) 或 Bernoulli constant (伯努利常数)，在同一 streamline (流线) 上为常数，不同 streamline (流线) 上可能取值不同。
▮ Bernoulli's equation (伯努利方程) 的 physical meaning (物理意义)：对于 inviscid incompressible fluid (无粘性不可压缩流体) steady flow (定常流动)， along a streamline (沿一条流线)， static pressure (静压)、dynamic pressure (动压) 和 gravitational potential energy pressure (重力势能压强) 之和保持不变，即 mechanical energy (机械能) 守恒。当 height change (高度变化) 可以忽略时， Bernoulli's equation (伯努利方程) 简化为 \(p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}\)，即 pressure (压强) 大的地方 velocity (速度) 小， pressure (压强) 小的地方 velocity (速度) 大。
▮ Bernoulli's equation (伯努利方程) 的 applications (应用)：
▮▮▮▮ⓐ Venturi meter (文丘里流量计)：利用管径收缩处 velocity (速度) 增大、pressure (压强) 减小的原理测量 fluid flow rate (流体流量)。
▮▮▮▮ⓑ pitot tube (皮托管)：利用 stagnation point (驻点) velocity (速度) 为零、pressure (压强) 最大的原理测量 flow velocity (流速)。
▮▮▮▮ⓒ lift of airfoil (翼型升力)： aircraft wing (飞机机翼) 设计成上表面 curved (弯曲)、下表面 flat (平坦) 的 airfoil shape (翼型)， air flow (气流) 流过翼型时，上表面 flow path (流线) 密集， velocity (速度) 大， pressure (压强) 小；下表面 flow path (流线) 稀疏， velocity (速度) 小， pressure (压强) 大。 pressure difference (压强差) 产生 upward lift force (向上升力)。
▮▮▮▮ⓓ atomizer (喷雾器)：利用高速 air flow (气流) 减小 pressure (压强)，将 liquid (液体) 吸入并喷射成雾状。

3. 第3章：热学：热力学定律与统计物理初步 (Chapter 3: Thermodynamics: Laws of Thermodynamics and Introduction to Statistical Physics)

章节概要 (Chapter Summary)

本章系统阐述热力学的基本定律，包括热力学第零定律、第一定律、第二定律和第三定律，并初步介绍统计物理的基本概念，如 statistical distribution (统计分布)、entropy (熵) 的统计意义，为理解热现象的本质提供理论框架。

3.1 热力学基本概念 (Basic Concepts of Thermodynamics)

章节概要 (Section Summary)

介绍热力学的基本概念，如 thermodynamic system (热力学系统)、state parameters (状态参量)、thermodynamic process (热力学过程)、quasi-static process (准静态过程) 等，为后续学习热力学定律奠定基础。

3.1.1 热力学系统与状态 (Thermodynamic Systems and States)

小节概要 (Subsection Summary)

定义 thermodynamic system (热力学系统)、environment (环境)、isolated system (隔离系统) 等概念，介绍描述系统状态的 state parameters (状态参量)，如 temperature (温度)、pressure (压强)、volume (体积) 等。

① 热力学系统 (Thermodynamic System)：
▮▮▮▮在热力学中，我们首先需要明确研究对象，这便是 thermodynamic system (热力学系统)，简称 system (系统)。
▮▮▮▮定义：Thermodynamic system (热力学系统) 是指被划定出来作为研究对象的一部分物质或空间区域，它可以与周围环境发生相互作用，如能量交换和物质交换。
▮▮▮▮分类：根据系统与 environment (环境) 之间物质和能量交换的情况，thermodynamic system (热力学系统) 可以分为以下几种类型：
▮▮▮▮ⓐ Open system (开放系统)：既可以与 environment (环境) 交换物质，也可以交换能量。例如，敞口烧杯中的热水，既可以向空气中散失热量，也可以有水蒸气逸出。
▮▮▮▮ⓑ Closed system (封闭系统)：可以与 environment (环境) 交换能量，但不能交换物质。例如，密封容器中的气体，可以吸收或放出热量，但气体分子总数不变。
▮▮▮▮ⓒ Isolated system (隔离系统)：既不能与 environment (环境) 交换物质，也不能交换能量。理想的 isolated system (隔离系统) 在现实中很难实现，但保温瓶在一定程度上可以近似看作 isolated system (隔离系统)。
▮▮▮▮工程实践中遇到的系统往往比较复杂，理解这些基本分类有助于我们建立物理模型，进行分析和计算。

② 环境 (Environment)：
▮▮▮▮定义：Environment (环境)，也称为 surroundings (周围环境)，是指 thermodynamic system (热力学系统) 以外的所有物质和空间。System (系统) 与 environment (环境) 之间通过边界 (boundary) 相互分隔。
▮▮▮▮相互作用：System (系统) 通过边界与 environment (环境) 发生相互作用，这种 interaction (相互作用) 通常表现为 energy transfer (能量传递) 和 mass transfer (物质传递)。

③ 状态 (State)：
▮▮▮▮定义：State (状态) 指的是 thermodynamic system (热力学系统) 的物理状况。在一定条件下，thermodynamic system (热力学系统) 的所有 physical properties (物理性质) 都具有确定的值，此时称系统处于一定的 thermodynamic state (热力学状态)。
▮▮▮▮状态参量 (State Parameters)：描述 thermodynamic state (热力学状态) 的 physical quantities (物理量) 称为 state parameters (状态参量)，也称为 thermodynamic variables (热力学变量) 或 state functions (状态函数)。常见的 state parameters (状态参量) 包括：
▮▮▮▮ⓐ Temperature (温度) \(T\)：描述物体冷热程度的物理量，是分子平均动能的宏观表现。常用的温度单位有摄氏度 (°C) 和开尔文 (K)。在热力学中，通常使用 absolute temperature (热力学温标)，单位为开尔文 (K)。
▮▮▮▮ⓑ Pressure (压强) \(P\)：描述单位面积上所受压力的物理量，是大量分子碰撞器壁的宏观表现。常用的压强单位有帕斯卡 (Pa)、标准大气压 (atm) 等。
▮▮▮▮ⓒ Volume (体积) \(V\)：系统所占据的空间大小。常用的体积单位有立方米 (m³) 和升 (L)。
▮▮▮▮ⓓ Internal energy (内能) \(U\)：系统内部所有微观粒子 (分子、原子、原子核等) 的 kinetic energy (动能) 和 potential energy (势能) 的总和。Internal energy (内能) 是 state function (状态函数)，其变化只取决于系统的 initial state (初始状态) 和 final state (末态)，与过程路径无关。
▮▮▮▮ⓔ Entropy (熵) \(S\)：描述系统 disorder (无序度) 的 state parameter (状态参量)，是系统状态函数。在热力学过程中，entropy (熵) 的变化与过程的 reversibility (可逆性) 密切相关。
▮▮▮▮ⓕ Enthalpy (焓) \(H\)：定义为 \(H = U + PV\)，是常用的 thermodynamic potential (热力学势函数)，常用于描述 constant pressure process (恒压过程) 中的能量变化。
▮▮▮▮ⓖ Gibbs free energy (吉布斯自由能) \(G\)：定义为 \(G = H - TS\)，是另一个重要的 thermodynamic potential (热力学势函数)，常用于判断 constant temperature and pressure process (恒温恒压过程) 的方向和平衡条件。
▮▮▮▮ⓗ Chemical potential (化学势) \(\mu\)：描述物质组分 molar Gibbs free energy (偏摩尔吉布斯自由能)，用于研究多组分系统的相平衡和化学平衡。

④ 状态公设 (State Postulate)：
▮▮▮▮对于 simple compressible system (简单可压缩系统) (即不考虑化学反应、表面效应、电磁效应等复杂因素的纯净物质系统)，其 thermodynamic state (热力学状态) 可以由 两个 independent (独立) 的 intensive properties (强度性质) 完全确定。例如，对于单相 pure substance (纯净物) ，只要 temperature (温度) 和 pressure (压强) 确定，则所有其他 state parameters (状态参量) (如 specific volume (比容), internal energy (内能), entropy (熵) 等) 也随之确定。
▮▮▮▮Intensive property (强度性质)：不随系统物质多少而改变的性质，如 temperature (温度)、pressure (压强)、density (密度) 等。
▮▮▮▮Extensive property (广延性质)：与系统物质多少成正比的性质，如 volume (体积)、mass (质量)、internal energy (内能) 等。

理解 thermodynamic system (热力学系统) 和 state (状态) 的概念是学习热力学的基础。明确研究对象、系统分类以及描述状态的 state parameters (状态参量)，有助于我们构建热力学模型，分析和解决实际工程问题。

3.1.2 热力学过程与准静态过程 (Thermodynamic Processes and Quasi-static Processes)

小节概要 (Subsection Summary)

介绍常见的 thermodynamic process (热力学过程)，如 isothermal process (等温过程)、isobaric process (等压过程)、isochoric process (等容过程)、adiabatic process (绝热过程)，以及 quasi-static process (准静态过程) 的概念。

① 热力学过程 (Thermodynamic Process)：
▮▮▮▮定义：Thermodynamic process (热力学过程) 是指 thermodynamic system (热力学系统) 从一个 equilibrium state (平衡状态) 变化到另一个 equilibrium state (平衡状态) 的 transformation (转变) 过程。在 thermodynamic process (热力学过程) 中，system (系统) 的 state parameters (状态参量) 会发生变化，并可能与 environment (环境) 发生 energy exchange (能量交换) 和 mass exchange (物质交换) (对于 open system (开放系统))。

▮▮▮▮常见的热力学过程 (Common Thermodynamic Processes)：
▮▮▮▮ⓐ Isothermal process (等温过程)：在整个过程中，system (系统) 的 temperature (温度) 保持 constant (恒定)，即 \(T = \text{constant}\)。Isothermal process (等温过程) 通常通过与 large heat reservoir (大型热源) 接触来实现，使得系统与热源之间可以充分进行 heat exchange (热交换)，以维持 temperature (温度) 恒定。例如，理想气体在 constant temperature (恒温) 下的膨胀或压缩过程。
▮▮▮▮ⓑ Isobaric process (等压过程)：在整个过程中，system (系统) 的 pressure (压强) 保持 constant (恒定)，即 \(P = \text{constant}\)。Isobaric process (等压过程) 在工程实践中非常常见，例如，constant atmospheric pressure (恒定大气压) 下的 boiling (沸腾) 和 melting (熔化) 过程，以及 open system (开放系统) 中的许多 chemical reaction (化学反应) 过程。
▮▮▮▮ⓒ Isochoric process (等容过程)：在整个过程中，system (系统) 的 volume (体积) 保持 constant (恒定)，即 \(V = \text{constant}\)。Isochoric process (等容过程) 也称为 isovolumetric process (等体过程)。例如，rigid container (刚性容器) 中气体的 heating (加热) 或 cooling (冷却) 过程。在 isochoric process (等容过程) 中，system (系统) 不对外做 volume work (体积功)，即 \(W = \int P dV = 0\)。
▮▮▮▮ⓓ Adiabatic process (绝热过程)：在整个过程中，system (系统) 与 environment (环境) 之间没有 heat exchange (热交换)，即 \(Q = 0\)。Adiabatic process (绝热过程) 通常发生在 heat transfer (热传递) 速度很慢，或者过程发生得非常迅速，以至于来不及进行 heat exchange (热交换) 的情况下。例如，内燃机中的 compression (压缩) 和 expansion (膨胀) 过程，以及快速膨胀的云雾凝结过程。
▮▮▮▮ⓔ Cyclic process (循环过程)：System (系统) 经历一系列 thermodynamic process (热力学过程) 后，最终回到 initial state (初始状态) 的过程。Cyclic process (循环过程) 是热力学中非常重要的概念，各种 heat engine (热机) 和 refrigerator (制冷机) 都是基于 cyclic process (循环过程) 工作的。在 cyclic process (循环过程) 中，由于 initial state (初始状态) 和 final state (末态) 相同，因此 state function (状态函数) 的 net change (净变化) 为零，例如 internal energy change (内能变化) \(\Delta U = 0\)，entropy change (熵变化) \(\Delta S = 0\) 等。

② 准静态过程 (Quasi-static Process)：
▮▮▮▮定义：Quasi-static process (准静态过程) 也称为 quasi-equilibrium process (准平衡过程)，是一种理想化的 thermodynamic process (热力学过程)。在 quasi-static process (准静态过程) 中，system (系统) 的变化非常缓慢，以至于在过程的每一步，system (系统) 都无限接近于 equilibrium state (平衡状态)。
▮▮▮▮特点：
▮▮▮▮ⓐ 无限缓慢 (Infinitely Slow)：Quasi-static process (准静态过程) 的变化速率 infinitely slow (无限缓慢)，使得 system (系统) 有足够的时间调整内部状态，始终保持 internal equilibrium (内部平衡)。
▮▮▮▮ⓑ 接近平衡 (Approaching Equilibrium)：在 quasi-static process (准静态过程) 的每一步，system (系统) 都无限接近于 equilibrium state (平衡状态)。这意味着 system (系统) 的 state parameters (状态参量) 在整个过程中都是 well-defined (良好定义) 的，可以进行精确的描述和计算。
▮▮▮▮ⓒ Reversible Process (可逆过程) 的理想模型：Quasi-static process (准静态过程) 是 reversible process (可逆过程) 的一个重要特征。在 quasi-static process (准静态过程) 中，如果将过程反向进行，system (系统) 和 environment (环境) 都可以完全恢复到 initial state (初始状态)，不留下任何 permanent change (永久性变化)。
▮▮▮▮意义：Quasi-static process (准静态过程) 虽然是一种理想化的过程，但在热力学分析中具有重要的 theoretical significance (理论意义)。
▮▮▮▮ⓐ 简化分析 (Simplifying Analysis)：Quasi-static process (准静态过程) 的每一步都接近 equilibrium state (平衡状态)，使得我们可以使用 equilibrium thermodynamics (平衡热力学) 的理论和公式进行分析，大大简化了计算和推导过程。
▮▮▮▮ⓑ 可逆过程的近似 (Approximation of Reversible Processes)：Real thermodynamic process (实际热力学过程) 总是 irreversible (不可逆) 的，但对于变化缓慢的过程，quasi-static process (准静态过程) 可以作为其良好的 approximation (近似)，用于 theoretical analysis (理论分析) 和 performance evaluation (性能评估)。
▮▮▮▮ⓒ 理想过程的基准 (Benchmark for Ideal Processes)：Reversible process (可逆过程) (quasi-static process (准静态过程) 是其理想模型) 在 thermodynamic efficiency (热力学效率) 方面具有 maximum performance (最大性能)。将 real process (实际过程) 与 quasi-static process (准静态过程) 进行比较，可以评估 real process (实际过程) 的 performance (性能)，并为改进过程提供方向。

③ 可逆过程与不可逆过程 (Reversible and Irreversible Processes)：
▮▮▮▮Reversible process (可逆过程)：是指 thermodynamic process (热力学过程) 沿 forward direction (正向) 和 reverse direction (反向) 进行时，system (系统) 和 environment (环境) 均能完全恢复到 initial state (初始状态)，且 environment (环境) 中不留下任何 permanent change (永久性变化) 的过程。Reversible process (可逆过程) 是一种理想化的过程，real process (实际过程) 总是 irreversible (不可逆) 的。Quasi-static process (准静态过程) 是 reversible process (可逆过程) 的必要条件。
▮▮▮▮Irreversible process (不可逆过程)：是指 thermodynamic process (热力学过程) 沿 reverse direction (反向) 进行时，system (系统) 和 environment (环境) 不能完全恢复到 initial state (初始状态)，且 environment (环境) 中会留下 permanent change (永久性变化) 的过程。Real process (实际过程) 都是 irreversible process (不可逆过程)。Irreversibility (不可逆性) 的来源主要包括 friction (摩擦)、heat transfer with finite temperature difference (有限温差的热传递)、unrestrained expansion (无约束膨胀)、mixing of different substances (不同物质的混合)、chemical reaction (化学反应) 等。

理解 thermodynamic process (热力学过程) 和 quasi-static process (准静态过程) 的概念，有助于我们分析和描述 thermodynamic system (热力学系统) 的变化过程，为后续学习热力学定律和工程应用打下基础。掌握各种 thermodynamic process (热力学过程) 的特点，以及 quasi-static process (准静态过程) 的理想化性质，对于理解热力学理论和解决实际问题都至关重要。

3.2 热力学定律 (Laws of Thermodynamics)

章节概要 (Section Summary)

详细阐述热力学第零定律、第一定律、第二定律和第三定律，分析各个定律的 physical meaning (物理意义) 和 engineering applications (工程应用)，特别是热力学第二定律在 energy conversion (能量转换) 和 efficiency analysis (效率分析) 中的 importance (重要性) 。

3.2.1 热力学第零定律与温度 (Zeroth Law of Thermodynamics and Temperature)

小节概要 (Subsection Summary)

阐述热力学第零定律，明确 temperature (温度) 的 physical meaning (物理意义)，介绍 temperature scale (温标) 和 temperature measurement method (温度测量方法)。

① 热力学第零定律 (Zeroth Law of Thermodynamics)：
▮▮▮▮内容：如果两个 thermodynamic system (热力学系统) 分别与第三个 thermodynamic system (热力学系统) 处于 thermal equilibrium (热平衡)，那么这两个 thermodynamic system (热力学系统) 彼此之间也必然处于 thermal equilibrium (热平衡)。
▮▮▮▮理解：
▮▮▮▮▮▮▮▮假设有三个 thermodynamic system (热力学系统) A、B 和 C。如果 A 和 C 处于 thermal equilibrium (热平衡) (即 \(T_A = T_C\))，B 和 C 也处于 thermal equilibrium (热平衡) (即 \(T_B = T_C\))，那么根据热力学第零定律，A 和 B 也必然处于 thermal equilibrium (热平衡) (即 \(T_A = T_B\))。
▮▮▮▮▮▮▮▮热力学第零定律本质上定义了 thermal equilibrium (热平衡) 的 transitive relation (传递性)，为 temperature (温度) 的定义和 measurement (测量) 提供了 theoretical basis (理论基础)。

② 温度 (Temperature)：
▮▮▮▮Physical Meaning (物理意义)：Temperature (温度) 是描述物体 coldness (冷热程度) 的 physical quantity (物理量)，是 thermodynamic system (热力学系统) 的一个 important state parameter (重要状态参量)。从 microscopic perspective (微观角度) 来看，temperature (温度) 是 molecular average kinetic energy (分子平均动能) 的 measure (度量)。Temperature (温度) 高的物体，分子运动剧烈，average kinetic energy (平均动能) 大；temperature (温度) 低的物体，分子运动缓慢，average kinetic energy (平均动能) 小。
▮▮▮▮Thermal Equilibrium (热平衡)：当两个或多个 thermodynamic system (热力学系统) 相互接触，且彼此之间不再发生 net heat exchange (净热交换) 时，称这些 system (系统) 之间处于 thermal equilibrium (热平衡)。Thermal equilibrium (热平衡) 的 condition (条件) 是 system (系统) 之间 temperature (温度) 相等。

③ 温标 (Temperature Scale)：
▮▮▮▮Temperature scale (温标) 是为了 quantitative measurement (定量测量) temperature (温度) 而建立的 scale (标度)。常用的 temperature scale (温标) 有以下几种：
▮▮▮▮ⓐ Celsius scale (摄氏温标)：以 water's freezing point (水的冰点) (在标准大气压下) 定义为 0 °C，water's boiling point (水的沸点) (在标准大气压下) 定义为 100 °C。摄氏度 (°C) 是常用的 temperature unit (温度单位)。
▮▮▮▮ⓑ Fahrenheit scale (华氏温标)：以 brine's freezing point (盐水的冰点) 定义为 32 °F，human body temperature (人体温度) 近似为 96 °F (最初定义，后修正为 98.6 °F)。华氏度 (°F) 在某些国家仍被使用。
▮▮▮▮ⓒ Kelvin scale (开尔文温标)：也称为 absolute temperature scale (热力学温标)，以 absolute zero (绝对零度) (理论上最低温度) 定义为 0 K，单位间隔与 Celsius scale (摄氏温标) 相同。Kelvin (K) 是 SI unit (国际单位制单位) 的 temperature unit (温度单位)。
▮▮▮▮▮▮▮▮温标转换关系 (Temperature Scale Conversion)：
\[ T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15 \]
\[ T(^\circ\text{F}) = \frac{9}{5} T(^\circ\text{C}) + 32 \]

④ 温度测量方法 (Temperature Measurement Methods)：
▮▮▮▮Temperature (温度) 的 measurement (测量) 需要利用物体的某些 physical property (物理性质) 随 temperature (温度) 变化而改变的特性。常用的 temperature measurement method (温度测量方法) 和 instruments (仪器) 包括：
▮▮▮▮ⓐ Thermometer (温度计)：利用 thermometric substance (测温物质) 的 thermal expansion (热膨胀) 性质制成，如 mercury thermometer (水银温度计)、alcohol thermometer (酒精温度计)。
▮▮▮▮ⓑ Thermocouple (热电偶)：利用 Seebeck effect (塞贝克效应) (两种不同金属接触处产生 contact potential difference (接触电势差)，且 contact potential difference (接触电势差) 随 temperature (温度) 变化而变化) 制成。Thermocouple (热电偶) 可以测量 wide temperature range (较宽温度范围) 内的 temperature (温度)。
▮▮▮▮ⓒ Resistance thermometer (电阻温度计)：利用 metal conductor (金属导体) 的 electrical resistance (电阻) 随 temperature (温度) 变化而变化的性质制成，如 platinum resistance thermometer (铂电阻温度计)。Resistance thermometer (电阻温度计) 具有 measurement accuracy (测量精度) 高、stability (稳定性) 好的优点。
▮▮▮▮ⓓ Infrared thermometer (红外温度计)：利用物体 thermal radiation (热辐射) 的 intensity (强度) 与 temperature (温度) 之间的关系制成，可以进行 non-contact temperature measurement (非接触温度测量)。
▮▮▮▮ⓔ Pyrometer (高温计)：用于测量 high temperature (高温) 的 instruments (仪器)，如 optical pyrometer (光学高温计)、radiation pyrometer (辐射高温计)。Pyrometer (高温计) 基于 thermal radiation (热辐射) 理论，可以测量 furnace (炉窑)、molten metal (熔融金属) 等的 temperature (温度)。

热力学第零定律和 temperature (温度) 的概念是热力学的基础。理解 thermal equilibrium (热平衡) 的 transitive relation (传递性)，掌握 temperature scale (温标) 和 temperature measurement method (温度测量方法)，对于进行热力学分析和实验都至关重要。

3.2.2 热力学第一定律与内能 (First Law of Thermodynamics and Internal Energy)

小节概要 (Subsection Summary)

阐述热力学第一定律，介绍 internal energy (内能)、heat (热量)、work (功) 的概念，分析 energy conservation (能量守恒) 在热力过程中的体现。

① 热力学第一定律 (First Law of Thermodynamics)：
▮▮▮▮内容：在任何 thermodynamic process (热力学过程) 中，system (系统) internal energy change (内能变化) \(\Delta U\) 等于 system (系统) 从 environment (环境) 吸收或放出的 heat (热量) \(Q\) 与 environment (环境) 对 system (系统) 做 work (功) \(W\) 之和，即：
\[ \Delta U = Q + W \]
▮▮▮▮符号约定：
▮▮▮▮▮▮▮▮\(Q > 0\)：System (系统) 从 environment (环境) 吸收 heat (热量) (heat input (热量输入))。
▮▮▮▮▮▮▮▮\(Q < 0\)：System (系统) 向 environment (环境) 放出 heat (热量) (heat output (热量输出))。
▮▮▮▮▮▮▮▮\(W > 0\)：Environment (环境) 对 system (系统) 做 work (功) (work done on the system (对系统做功))。
▮▮▮▮▮▮▮▮\(W < 0\)：System (系统) 对 environment (环境) 做 work (功) (work done by the system (系统对外做功))。
▮▮▮▮理解：
▮▮▮▮▮▮▮▮热力学第一定律是 energy conservation law (能量守恒定律) 在 thermodynamic system (热力学系统) 中的具体体现。它表明 energy (能量) 在 thermodynamic process (热力学过程) 中不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个 system (系统) 转移到另一个 system (系统)。
▮▮▮▮▮▮▮▮Internal energy (内能) \(U\) 是 state function (状态函数)，其 change (变化) \(\Delta U\) 只取决于 initial state (初始状态) 和 final state (末态)，与 process path (过程路径) 无关。Heat (热量) \(Q\) 和 work (功) \(W\) 是 process quantities (过程量)，其数值与 process path (过程路径) 有关。

② 内能 (Internal Energy)：
▮▮▮▮定义：Internal energy (内能) \(U\) 是 thermodynamic system (热力学系统) 内部所有 forms of energy (能量形式) 的总和，包括 molecular kinetic energy (分子动能)、intermolecular potential energy (分子间势能)、intramolecular energy (分子内能) (原子振动能、电子能、核能等)。在 non-relativistic thermodynamics (非相对论热力学) 中，通常不考虑 rest mass energy (静止质量能)。
▮▮▮▮性质：
▮▮▮▮ⓐ State function (状态函数)：Internal energy (内能) \(U\) 是 state function (状态函数)，其值只取决于 thermodynamic state (热力学状态)，而与 system (系统) 达到该 state (状态) 的 path (路径) 无关。因此，cyclic process (循环过程) 的 internal energy change (内能变化) \(\Delta U = 0\)。
▮▮▮▮ⓑ Extensive property (广延性质)：Internal energy (内能) \(U\) 是 extensive property (广延性质)，其值与 system (系统) 的 mass (质量) 成正比。
▮▮▮▮ⓒ Absolute value (绝对值) 的相对性：Thermodynamics (热力学) 关注的是 internal energy change (内能变化) \(\Delta U\)，而非 absolute value (绝对值) \(U\)。通常选择一个 reference state (参考状态)，并 arbitrarily (任意地) 定义该 state (状态) 的 internal energy (内能) 为零。

③ 热量 (Heat)：
▮▮▮▮定义：Heat (热量) \(Q\) 是由于 temperature difference (温差) 而在 system (系统) 与 environment (环境) 之间传递的 energy (能量)。Heat transfer (热传递) 的 driving force (驱动力) 是 temperature gradient (温度梯度)。
▮▮▮▮性质：
▮▮▮▮ⓐ Process quantity (过程量)：Heat (热量) \(Q\) 是 process quantity (过程量)，其数值与 thermodynamic process (热力学过程) 的 path (路径) 有关，而不仅仅取决于 initial state (初始状态) 和 final state (末态)。
▮▮▮▮ⓑ Energy transfer mode (能量传递方式)：Heat (热量) \(Q\) 是一种 energy transfer mode (能量传递方式)，而非 system (系统) 的 property (性质)。System (系统) 中存储的是 internal energy (内能) \(U\)，而不是 heat (热量)。
▮▮▮▮ⓒ 传递方向：Heat (热量) transfer (传递) 的方向总是从 high temperature object (高温物体) 到 low temperature object (低温物体)。

④ 功 (Work)：
▮▮▮▮定义：Work (功) \(W\) 是除 heat (热量) 以外，system (系统) 与 environment (环境) 之间 exchange (交换) 的其他 forms of energy (能量形式)。在 thermodynamic process (热力学过程) 中，work (功) 可以是 mechanical work (机械功)、electrical work (电功)、magnetic work (磁功) 等多种形式。
▮▮▮▮常见的功的形式 (Common Forms of Work)：
▮▮▮▮ⓐ Volume work (体积功) \(W_V\)：也称为 \(PV\) work (PV功) 或 expansion work (膨胀功)。在 volume change (体积变化) 的 thermodynamic process (热力学过程) 中，system (系统) 对 environment (环境) 或 environment (环境) 对 system (系统) 所做的 work (功)。对于 quasi-static process (准静态过程)，volume work (体积功) 可以表示为：
\[ W_V = - \int_{V_1}^{V_2} P dV \]
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(P\) 是 system (系统) 的 pressure (压强)，\(V_1\) 和 \(V_2\) 分别是 initial volume (初始体积) 和 final volume (末态体积)。Volume work (体积功) 的符号约定与热力学第一定律的符号约定一致。
▮▮▮▮ⓑ Electrical work (电功) \(W_e\)：当 system (系统) 与 environment (环境) 之间发生 charge transfer (电荷转移) 时，environment (环境) 对 system (系统) 或 system (系统) 对 environment (环境) 所做的 work (功)。例如，electric current (电流) 通过 resistor (电阻) 时，environment (环境) 对 resistor (电阻) 做电功，electrical energy (电能) 转化为 internal energy (内能)。
▮▮▮▮ⓒ Shaft work (轴功) \(W_s\)：通过 rotating shaft (转轴) 传递的 work (功)。例如，compressor (压缩机)、pump (泵) 等机械设备通过 shaft work (轴功) 与 system (系统) 交换 energy (能量)。
▮▮▮▮性质：
▮▮▮▮ⓐ Process quantity (过程量)：Work (功) \(W\) 是 process quantity (过程量)，其数值与 thermodynamic process (热力学过程) 的 path (路径) 有关。
▮▮▮▮ⓑ Energy transfer mode (能量传递方式)：Work (功) \(W\) 也是一种 energy transfer mode (能量传递方式)，而非 system (系统) 的 property (性质)。

⑤ 能量守恒在热力过程中的体现 (Energy Conservation in Thermodynamic Processes)：
▮▮▮▮热力学第一定律 \(\Delta U = Q + W\) 是 energy conservation law (能量守恒定律) 在 thermodynamic process (热力学过程) 中的 fundamental expression (基本表达式)。它表明在任何 thermodynamic process (热力学过程) 中，energy (能量) 总是 conserved (守恒) 的。
▮▮▮▮应用举例：
▮▮▮▮ⓐ Isochoric process (等容过程)：\(V = \text{constant}\)，\(W_V = 0\)，则 \(\Delta U = Q\)。在 isochoric process (等容过程) 中，internal energy change (内能变化) 完全来自于 heat exchange (热交换)。
▮▮▮▮ⓑ Adiabatic process (绝热过程)：\(Q = 0\)，则 \(\Delta U = W\)。在 adiabatic process (绝热过程) 中，internal energy change (内能变化) 完全来自于 work done (所做的功)。例如，adiabatic compression (绝热压缩) 过程，work done on the system (对系统做功) 导致 internal energy (内能) 增加，temperature (温度) 升高。
▮▮▮▮ⓒ Cyclic process (循环过程)：\(\Delta U = 0\)，则 \(Q + W = 0\) 或 \(Q = -W\)。在 cyclic process (循环过程) 中，system (系统) net heat exchange (净热交换) 等于 net work done (净功) 的 negative value (负值)。对于 heat engine (热机)，net work done by the system (系统对外做的净功) \(W < 0\)，net heat input (净热量输入) \(Q > 0\)，\(Q = -W > 0\)。

热力学第一定律和 internal energy (内能)、heat (热量)、work (功) 的概念是热力学分析的基石。理解 energy conservation law (能量守恒定律) 在 thermodynamic process (热力学过程) 中的体现，掌握 heat (热量) 和 work (功) 的计算方法，对于分析和解决各种热力学问题至关重要。

3.2.3 热力学第二定律与熵 (Second Law of Thermodynamics and Entropy)

小节概要 (Subsection Summary)

阐述热力学第二定律的两种表述，介绍 entropy (熵) 的概念及其 physical meaning (物理意义)，分析热力学第二定律对 thermodynamic process direction (热力过程方向) 和 efficiency (效率) 的 restriction (限制) 。

① 热力学第二定律 (Second Law of Thermodynamics)：
▮▮▮▮热力学第二定律描述了 thermodynamic process (热力学过程) 的 directionality (方向性) 和 irreversibility (不可逆性)，指出了 spontaneous process (自发过程) 的进行方向，并对 energy conversion efficiency (能量转换效率) 提出了 fundamental limit (根本限制)。热力学第二定律有多种等价的表述，常见的两种表述如下：
▮▮▮▮Kelvin-Planck statement (开尔文-普朗克表述) (热机表述)：不可能制造出这样一种 cyclic process (循环过程) 的 heat engine (热机)，它从 single heat reservoir (单一热源) 吸收 heat (热量)，并将其完全转化为 work (功)，而不引起其他影响。
▮▮▮▮Clausius statement (克劳修斯表述) (制冷机表述)：不可能制造出这样一种 cyclic process (循环过程) 的 refrigerator (制冷机)，它不借助 external work (外功) 的帮助，就能够将 heat (热量) 从 low temperature object (低温物体) 传递到 high temperature object (高温物体)。
▮▮▮▮等价性：Kelvin-Planck statement (开尔文-普朗克表述) 和 Clausius statement (克劳修斯表述) 是等价的，违反其中任何一个表述，必然导致违反另一个表述。

② 熵 (Entropy)：
▮▮▮▮定义：Entropy (熵) \(S\) 是 thermodynamic system (热力学系统) 的一个 state parameter (状态参量)，是描述 system disorder (系统无序度) 或 microscopic state number (微观状态数) 的 physical quantity (物理量)。Entropy (熵) 的 change (变化) \(\Delta S\) 与 thermodynamic process (热力学过程) 的 reversibility (可逆性) 和 heat exchange (热交换) 有关。对于 quasi-static process (准静态过程)，entropy change (熵变化) 定义为：
\[ dS = \frac{dQ_{rev}}{T} \]
▮▮▮▮\[ \Delta S = \int_{1}^{2} \frac{dQ_{rev}}{T} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(dQ_{rev}\) 是 reversible process (可逆过程) 中 system (系统) 吸收或放出的 infinitesimal heat (微元热量)，\(T\) 是 absolute temperature (热力学温度)。
▮▮▮▮性质：
▮▮▮▮ⓐ State function (状态函数)：Entropy (熵) \(S\) 是 state function (状态函数)，其 change (变化) \(\Delta S\) 只取决于 initial state (初始状态) 和 final state (末态)，与 process path (过程路径) 无关。因此，cyclic process (循环过程) 的 entropy change (熵变化) \(\Delta S = 0\)。
▮▮▮▮ⓑ Extensive property (广延性质)：Entropy (熵) \(S\) 是 extensive property (广延性质)，其值与 system (系统) 的 mass (质量) 成正比。
▮▮▮▮ⓒ Entropy increase principle (熵增原理)：对于 isolated system (隔离系统)，任何 spontaneous process (自发过程) 都会导致 entropy (熵) increase (增加) 或 remain constant (保持不变) (对于 reversible process (可逆过程))，即：
\[ \Delta S_{isolated} \ge 0 \]
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对于 non-isolated system (非隔离系统)，system entropy change (系统熵变) \(\Delta S_{system}\) 和 environment entropy change (环境熵变) \(\Delta S_{environment}\) 之和 (total entropy change (总熵变) \(\Delta S_{total}\)) 满足：
\[ \Delta S_{total} = \Delta S_{system} + \Delta S_{environment} \ge 0 \]
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮Entropy increase principle (熵增原理) 是热力学第二定律的 mathematical expression (数学表达式)，表明 irreversible process (不可逆过程) 的方向总是朝着 entropy increase (熵增) 的方向进行。Reversible process (可逆过程) 是 entropy change (熵变) 为零的 ideal limit (理想极限)。

③ 熵的物理意义 (Physical Meaning of Entropy)：
▮▮▮▮Disorder (无序度)：Entropy (熵) 是 system disorder (系统无序度) 的 measure (度量)。System disorder (系统无序度) 越高，entropy (熵) 越大；system order (系统有序度) 越高，entropy (熵) 越小。例如，gas expansion (气体自由膨胀) 过程，气体分子从 concentrated state (集中状态) 扩散到 dispersed state (分散状态)，disorder (无序度) 增加，entropy (熵) 增加。
▮▮▮▮Microscopic State Number (微观状态数)：Statistical physics (统计物理) 从 microscopic perspective (微观角度) 解释 entropy (熵) 的 physical meaning (物理意义)。Thermodynamic system (热力学系统) 的 macroscopic state (宏观状态) 对应着 множество (大量) possible microscopic states (可能的微观状态)。Microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) (也称为 thermodynamic probability (热力学几率)) 是指 system (系统) 可能的 microscopic state (微观状态) 的 number (数目)。Entropy (熵) \(S\) 与 microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 之间存在 logarithmic relation (对数关系) (Boltzmann formula (玻尔兹曼公式))：
\[ S = k_B \ln \Omega \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(k_B\) 是 Boltzmann constant (玻尔兹曼常数) (\(k_B \approx 1.38 \times 10^{-23} \text{J/K}\))。Boltzmann formula (玻尔兹曼公式) 将 macroscopic quantity (宏观量) entropy (熵) 与 microscopic quantity (微观量) microscopic state number (微观状态数) 联系起来，揭示了 entropy (熵) 的 statistical nature (统计本质)。Microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 越大，system disorder (系统无序度) 越高，entropy (熵) \(S\) 越大。

④ 热力学第二定律对热力过程方向和效率的限制 (Restrictions on Thermodynamic Process Direction and Efficiency by the Second Law of Thermodynamics)：
▮▮▮▮Direction of Spontaneous Processes (自发过程方向)：热力学第二定律 (entropy increase principle (熵增原理)) 指出了 spontaneous process (自发过程) 的进行方向。For isolated system (对于隔离系统)，spontaneous process (自发过程) 总是朝着 entropy increase (熵增) 的方向进行，直到 system (系统) 达到 maximum entropy state (最大熵状态) (equilibrium state (平衡状态))。
▮▮▮▮Maximum Efficiency of Energy Conversion (能量转换的最大效率)：热力学第二定律 (Kelvin-Planck statement (开尔文-普朗克表述)) 限制了 heat engine (热机) energy conversion efficiency (能量转换效率) 的 maximum value (最大值)。对于 working between two heat reservoirs (工作于两个热源之间) 的 heat engine (热机)，其 maximum thermal efficiency (最大热效率) 由 Carnot cycle efficiency (卡诺循环效率) 给出：
\[ \eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_L}{T_H} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(T_H\) 是 high temperature heat reservoir (高温热源) 的 temperature (温度)，\(T_L\) 是 low temperature heat reservoir (低温热源) 的 temperature (温度)，均为 absolute temperature (热力学温度)。Carnot efficiency (卡诺效率) \(\eta_{Carnot}\) 只取决于 heat reservoir temperatures (热源温度)，与 working substance (工质) 和 cycle type (循环类型) 无关。Real heat engine (实际热机) 的 thermal efficiency (热效率) 总是低于 Carnot efficiency (卡诺效率)。
▮▮▮▮Minimum Work for Refrigeration (制冷所需的最小功)：热力学第二定律 (Clausius statement (克劳修斯表述)) 限制了 refrigerator (制冷机) 将 heat (热量) 从 low temperature object (低温物体) 传递到 high temperature object (高温物体) 所需的 minimum work (最小功)。对于 working between two heat reservoirs (工作于两个热源之间) 的 refrigerator (制冷机)，其 maximum coefficient of performance (最大制冷系数) (COP) 由 Carnot refrigerator (卡诺制冷机) 的 COP 给出：
\[ \text{COP}_{Carnot} = \frac{T_L}{T_H - T_L} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮Real refrigerator (实际制冷机) 的 COP 总是低于 Carnot refrigerator (卡诺制冷机) 的 COP。

热力学第二定律和 entropy (熵) 的概念是热力学理论的核心内容。理解热力学第二定律的各种表述，掌握 entropy (熵) 的 physical meaning (物理意义) 和 entropy increase principle (熵增原理)，对于分析 thermodynamic process direction (热力过程方向)、评估 energy conversion efficiency (能量转换效率) 以及设计和优化 thermal system (热力系统) 都至关重要。

3.2.4 热力学第三定律 (Third Law of Thermodynamics)

小节概要 (Subsection Summary)

简要介绍热力学第三定律，说明 absolute zero (绝对零度) 的 unattainability (不可达性) 以及 entropy (熵) 在 absolute zero (绝对零度) 附近的 properties (性质) 。

① 热力学第三定律 (Third Law of Thermodynamics)：
▮▮▮▮内容：在 absolute temperature (热力学温度) \(T \to 0 \text{ K}\) 时，perfect crystal (完美晶体) 的 entropy (熵) 趋于零，即 \(S(T \to 0 \text{ K}) = 0\)。
▮▮▮▮另一种表述 (Nernst-Simon statement (能斯特-西蒙表述))：对于任何 isothermal process (等温过程)，当 temperature (温度) 趋于 absolute zero (绝对零度) 时，entropy change (熵变化) 趋于零，即 \(\lim_{T \to 0} \Delta S_T = 0\)。

② 绝对零度不可达性 (Unattainability of Absolute Zero)：
▮▮▮▮热力学第三定律的一个重要推论是 absolute zero (绝对零度) 在 finite number of steps (有限步骤内) 是 unattainability (不可达) 的。也就是说，通过 finite number of thermodynamic process (有限次热力学过程)，不可能将 thermodynamic system (热力学系统) 的 temperature (温度) 降低到 absolute zero (绝对零度)。
▮▮▮▮理解：
▮▮▮▮▮▮▮▮任何 refrigeration process (制冷过程) 都需要从 low temperature object (低温物体) 吸收 heat (热量)，并将 heat (热量) 释放到 high temperature object (高温物体)。随着 temperature (温度) 降低，制冷过程的 efficiency (效率) 逐渐降低，当 temperature (温度) 接近 absolute zero (绝对零度) 时，制冷效率趋于零，需要 infinite work (无限功) 才能 further reduce temperature (进一步降低温度) 到 absolute zero (绝对零度)。

③ 熵在绝对零度附近的性质 (Properties of Entropy near Absolute Zero)：
▮▮▮▮Entropy approaches zero (熵趋于零)：热力学第三定律指出，perfect crystal (完美晶体) 在 absolute zero (绝对零度) 时 entropy (熵) 为零。对于 non-perfect crystal (非完美晶体) 或 amorphous solid (非晶体)，其 residual entropy (残余熵) 可能不为零，但通常也很小。
▮▮▮▮Specific heat capacity approaches zero (比热容趋于零)：根据热力学关系，specific heat capacity (比热容) 与 entropy (熵) 之间存在关系。当 temperature (温度) 趋于 absolute zero (绝对零度) 时，specific heat capacity (比热容) 也趋于零。这意味着在 low temperature (低温) 下，物体 temperature (温度) 的变化对 heat input (热量输入) 非常敏感，微小的 heat input (热量输入) 就能引起明显的 temperature change (温度变化)。

热力学第三定律虽然在 engineering applications (工程应用) 中不如第一、第二定律那样直接，但它在 low temperature physics (低温物理)、cryogenics (低温工程)、materials science (材料科学) 等领域具有重要意义。热力学第三定律为 understanding (理解) low temperature behavior (低温行为) of matter (物质) 提供了 fundamental basis (基本依据)。

3.3 统计物理初步 (Introduction to Statistical Physics)

章节概要 (Section Summary)

初步介绍统计物理的基本思想和方法，如 statistical ensemble (统计系综)、probability distribution (概率分布)、Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 等，以及 entropy (熵) 的 statistical meaning (统计意义)，为从 microscopic perspective (微观角度) 理解热力学现象提供入门知识。

3.3.1 统计物理的基本思想 (Basic Ideas of Statistical Physics)

小节概要 (Subsection Summary)

介绍 statistical physics (统计物理) 的 research method (研究方法)，强调从 microscopic particle statistical behavior (微观粒子统计行为) 理解 macroscopic thermodynamic properties (宏观热力学性质) 的思想。

① 统计物理的研究对象 (Research Objects of Statistical Physics)：
▮▮▮▮Statistical physics (统计物理) 研究的是由 множество (大量) particles (粒子) (如 atoms (原子)、molecules (分子)、electrons (电子) 等) 组成的 macroscopic system (宏观系统) 的 physical properties (物理性质) 和 behavior (行为)。与 classical thermodynamics (经典热力学) 从 macroscopic (宏观) 整体性质出发不同，statistical physics (统计物理) 从 microscopic (微观) 粒子运动规律出发，通过 statistical average (统计平均) 的方法，建立 macroscopic quantity (宏观量) 与 microscopic quantity (微观量) 之间的联系，从而解释和预测 macroscopic thermodynamic phenomena (宏观热力学现象)。

② 统计物理的基本思想 (Basic Ideas of Statistical Physics)：
▮▮▮▮Microscopic Description (微观描述)：将 macroscopic system (宏观系统) 看作由 множество (大量) microscopic particles (微观粒子) 组成，每个 microscopic particle (微观粒子) 都遵循 microscopic laws (微观规律) (classical mechanics (经典力学) 或 quantum mechanics (量子力学)) 运动。
▮▮▮▮Statistical Ensemble (统计系综)：为了描述 macroscopic system (宏观系统) 的 statistical behavior (统计行为)，statistical physics (统计物理) 引入 statistical ensemble (统计系综) 的概念。Statistical ensemble (统计系综) 是指在 certain macroscopic conditions (一定的宏观条件下)，大量 identical (相同的) macroscopic system (宏观系统) 的集合。Each system (每个系统) 在 ensemble (系综) 中处于 different microscopic state (不同的微观状态)，但都满足相同的 macroscopic constraints (宏观约束条件)。
▮▮▮▮Probability Distribution (概率分布)：Statistical physics (统计物理) 使用 probability distribution (概率分布) 来描述 microscopic particle (微观粒子) 在 various possible states (各种可能状态) 的 distribution (分布) 情况。Probability distribution (概率分布) 给出了 system (系统) 处于某种 microscopic state (微观状态) 的 probability (概率)。
▮▮▮▮Statistical Average (统计平均)：Macroscopic physical quantity (宏观物理量) (如 internal energy (内能)、pressure (压强)、entropy (熵) 等) 是 microscopic particle properties (微观粒子性质) 的 statistical average (统计平均) 结果。通过对 statistical ensemble (统计系综) 中所有 possible microscopic states (可能的微观状态) 进行 statistical average (统计平均)，可以得到 macroscopic physical quantity (宏观物理量) 的 average value (平均值)。

③ 统计物理的研究方法 (Research Methods of Statistical Physics)：
▮▮▮▮建立统计模型 (Establishing Statistical Models)：根据 macroscopic system (宏观系统) 的 physical characteristics (物理特性) 和 microscopic particle interaction (微观粒子相互作用) 的特点，建立 appropriate statistical model (合适的统计模型)。常见的 statistical model (统计模型) 包括 ideal gas model (理想气体模型)、Ising model (伊辛模型) 等。
▮▮▮▮确定概率分布 (Determining Probability Distributions)：根据 system (系统) 所处的 macroscopic conditions (宏观条件) (如 constant temperature (恒温)、constant energy (恒能) 等)，选择 appropriate statistical ensemble (合适的统计系综) (如 canonical ensemble (正则系综)、microcanonical ensemble (微正则系综) 等)，并推导 probability distribution function (概率分布函数)。
▮▮▮▮计算统计平均值 (Calculating Statistical Averages)：利用 probability distribution function (概率分布函数)，计算 macroscopic physical quantity (宏观物理量) 的 statistical average value (统计平均值)。例如，利用配分函数 (partition function) 方法，可以方便地计算 thermodynamic quantity (热力学量)。
▮▮▮▮与实验结果比较 (Comparison with Experimental Results)：将 statistical physics (统计物理) 的 theoretical prediction (理论预测) 与 experimental data (实验数据) 进行 comparison (比较)，验证理论的 correctness (正确性) 和 applicability (适用性)。

Statistical physics (统计物理) 的基本思想是将 macroscopic thermodynamic properties (宏观热力学性质) 与 microscopic particle behavior (微观粒子行为) 联系起来，通过 statistical method (统计方法) 从 microscopic perspective (微观角度) 理解 thermodynamic phenomena (热力学现象)。这种 microscopic approach (微观方法) 不仅可以解释 classical thermodynamics (经典热力学) 的规律，还可以处理 classical thermodynamics (经典热力学) 难以解决的复杂问题，如 phase transition (相变)、critical phenomena (临界现象) 等。

3.3.2 经典统计分布 (Classical Statistical Distributions)

小节概要 (Subsection Summary)

介绍 Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 和 Maxwell-Boltzmann distribution (麦克斯韦-玻尔兹曼分布)，分析 particle distribution law (粒子在能量状态上的分布规律) 。

① Boltzmann Distribution (玻尔兹曼分布)：
▮▮▮▮适用条件：Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 适用于描述 thermodynamic system (热力学系统) 在 thermal equilibrium (热平衡) 状态下，particles (粒子) 在 various energy levels (各种能级) 上的 average distribution (平均分布)。Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 假设 particles (粒子) 之间 interaction (相互作用) relatively weak (相对较弱)，可以忽略不计。
▮▮▮▮分布函数：设 system (系统) 处于 temperature (温度) \(T\) 的 thermal equilibrium (热平衡) 状态，particles (粒子) 可能处于 energy levels (能级) \(E_i\) (\(i = 1, 2, 3, \ldots\))，能级 \(E_i\) 的 degeneracy (简并度) (即具有相同 energy (能量) \(E_i\) 的 microscopic state number (微观状态数)) 为 \(g_i\)。根据 Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布)，处于 energy level \(E_i\) 的 average particle number (平均粒子数) \(N_i\) 与能级 \(E_i\) 和 temperature (温度) \(T\) 之间存在 exponential relation (指数关系)：
\[ N_i = g_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_B T}\right) / Z \]
▮▮▮▮\[ P_i = \frac{N_i}{N} = \frac{g_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_B T}\right)}{Z} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(k_B\) 是 Boltzmann constant (玻尔兹曼常数)，\(Z\) 是 partition function (配分函数)，用于 normalization (归一化) probability (概率)，保证所有能级 probability sum (概率之和) 为 1。\(P_i\) 是 particle (粒子) 处于 energy level \(E_i\) 的 probability (概率)。
\[ Z = \sum_{i} g_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_B T}\right) \]
▮▮▮▮物理意义：
▮▮▮▮▮▮▮▮Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 表明，在 thermal equilibrium (热平衡) 状态下，low energy level (低能级) 上的 particle number (粒子数) 多于 high energy level (高能级) 上的 particle number (粒子数)，且随着 energy level (能级) 升高，particle number (粒子数) exponentially decrease (指数递减)。Temperature (温度) \(T\) 反映了 energy distribution (能量分布) 的 spread (弥散程度)。Temperature (温度) 越高，high energy level (高能级) 上的 particle number (粒子数) 相对增加，energy distribution (能量分布) 越趋于 uniform (均匀)。

② Maxwell-Boltzmann Distribution (麦克斯韦-玻尔兹曼分布)：
▮▮▮▮适用条件：Maxwell-Boltzmann distribution (麦克斯韦-玻尔兹曼分布) 专门用于描述 ideal gas (理想气体) 在 thermal equilibrium (热平衡) 状态下，molecular velocity distribution (分子速度分布) 或 molecular speed distribution (分子速率分布)。Maxwell-Boltzmann distribution (麦克斯韦-玻尔兹曼分布) 是 Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 在 continuous energy spectrum (连续能谱) 情况下的 specific application (具体应用)。
▮▮▮▮分布函数：设 ideal gas (理想气体) 的 molecular mass (分子质量) 为 \(m\)，temperature (温度) 为 \(T\)。Maxwell-Boltzmann velocity distribution function (麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数) \(f(v_x, v_y, v_z)\) 给出了 molecule (分子) velocity components (速度分量) 在 \((v_x, v_x + dv_x)\)、\((v_y, v_y + dv_y)\)、\((v_z, v_z + dv_z)\) 范围内的 probability density (概率密度)：
\[ f(v_x, v_y, v_z) = \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2k_B T}\right) \]
▮▮▮▮Maxwell-Boltzmann speed distribution function (麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布函数) \(F(v)\) 给出了 molecule (分子) speed (速率) 在 \((v, v + dv)\) 范围内的 probability density (概率密度)：
\[ F(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_B T}\right) \]
▮▮▮▮特征速率 (Characteristic Speeds)：
▮▮▮▮ⓐ Most probable speed (最概然速率) \(v_p\)：对应于 speed distribution function (速率分布函数) \(F(v)\) 的 peak value (峰值)，即 probability density (概率密度) maximum (最大) 的 speed (速率)：
\[ v_p = \sqrt{\frac{2k_B T}{m}} \]
▮▮▮▮ⓑ Average speed (平均速率) \(\bar{v}\)：molecules (分子) speed (速率) 的 arithmetic mean (算术平均值)：
\[ \bar{v} = \int_0^\infty v F(v) dv = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}} \]
▮▮▮▮ⓒ Root-mean-square speed (均方根速率) \(v_{rms}\)：molecules (分子) speed (速率) 平方的 average value (平均值) 的 square root (平方根)：
\[ v_{rms} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\int_0^\infty v^2 F(v) dv} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}} \]
▮▮▮▮物理意义：
▮▮▮▮▮▮▮▮Maxwell-Boltzmann distribution (麦克斯韦-玻尔兹曼分布) 表明，ideal gas (理想气体) molecules (分子) speed (速率) 呈 continuous distribution (连续分布)，大部分 molecules (分子) 的 speed (速率) 集中在 most probable speed (最概然速率) \(v_p\) 附近，speed (速率) 过低或过高的 molecules (分子) 数量都较少。Temperature (温度) \(T\) 越高，speed distribution curve (速率分布曲线) 越宽，most probable speed (最概然速率) \(v_p\)、average speed (平均速率) \(\bar{v}\) 和 root-mean-square speed (均方根速率) \(v_{rms}\) 都增大，表明 molecular average kinetic energy (分子平均动能) 增加，与 temperature (温度) 的 physical meaning (物理意义) 一致。

Boltzmann distribution (玻尔兹曼分布) 和 Maxwell-Boltzmann distribution (麦克斯韦-玻尔兹曼分布) 是 classical statistical physics (经典统计物理) 的 important results (重要成果)，它们描述了 thermal equilibrium (热平衡) 状态下 particles (粒子) 在 energy levels (能级) 或 speed (速率) 上的 statistical distribution law (统计分布规律)，为 understanding (理解) macroscopic thermodynamic properties (宏观热力学性质) 的 microscopic origin (微观起源) 提供了 essential tools (必要工具)。

3.3.3 熵的统计意义 (Statistical Meaning of Entropy)

小节概要 (Subsection Summary)

从 microscopic state number (微观状态数) 的 perspective (角度) 解释 entropy (熵) 的 statistical meaning (统计意义)，阐述 entropy (熵) 与 system disorder (系统无序度) 的 relationship (关系) 。

① 熵与微观状态数 (Entropy and Microscopic State Number)：
▮▮▮▮Statistical physics (统计物理) 将 thermodynamic entropy (热力学熵) \(S\) 与 microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) (也称为 thermodynamic probability (热力学几率)) 联系起来，通过 Boltzmann formula (玻尔兹曼公式) 给出 entropy (熵) 的 statistical definition (统计定义)：
\[ S = k_B \ln \Omega \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(k_B\) 是 Boltzmann constant (玻尔兹曼常数)，\(\Omega\) 是 macroscopic state (宏观状态) 对应的 microscopic state number (微观状态数)。Microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 反映了 system disorder (系统无序度) 或 randomness (随机性) 的程度。

② 熵与系统无序度 (Entropy and System Disorder)：
▮▮▮▮无序度增加，熵增加 (Increased Disorder, Increased Entropy)：System disorder (系统无序度) 越高，possible microscopic state number (可能的微观状态数) \(\Omega\) 越大，entropy (熵) \(S\) 越大。System order (系统有序度) 越高，possible microscopic state number (可能的微观状态数) \(\Omega\) 越小，entropy (熵) \(S\) 越小。
▮▮▮▮Examples (实例)：
▮▮▮▮ⓐ Gas expansion (气体膨胀)：气体从 confined volume (受限体积) 自由膨胀到 larger volume (更大体积)，molecular position disorder (分子位置无序度) 增加，microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 增大，entropy (熵) 增加。
▮▮▮▮ⓑ Melting (熔化)：solid (固体) melting (熔化) 成 liquid (液体)，particles (粒子) 从 ordered crystal lattice (有序晶格) 变为 disordered liquid state (无序液态)，particle position disorder (粒子位置无序度) 增加，microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 增大，entropy (熵) 增加。
▮▮▮▮ⓒ Mixing of different gases (不同气体的混合)：将两种或多种 different gases (不同气体) 混合，system component disorder (系统组分无序度) 增加，microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 增大，entropy (熵) 增加。
▮▮▮▮熵增原理的统计解释 (Statistical Interpretation of Entropy Increase Principle)：
▮▮▮▮▮▮▮▮For isolated system (对于隔离系统)，spontaneous process (自发过程) 总是朝着 macroscopic state (宏观状态) 对应的 microscopic state number (微观状态数) \(\Omega\) 增加的方向进行，即朝着 entropy (熵) \(S = k_B \ln \Omega\) 增加的方向进行。因为 microscopic state number (微观状态数) 越大，thermodynamic probability (热力学几率) 越高，宏观状态越 stable (稳定)，越容易 spontaneously (自发地) 实现。
▮▮▮▮宏观状态与微观状态的关系 (Relationship between Macroscopic State and Microscopic State)：
▮▮▮▮▮▮▮▮Macroscopic state (宏观状态) 是对 thermodynamic system (热力学系统) macroscopic physical properties (宏观物理性质) 的描述，如 temperature (温度)、pressure (压强)、volume (体积) 等。Microscopic state (微观状态) 是对 system (系统) 内部所有 microscopic particle (微观粒子) 的 position (位置) 和 momentum (动量) (classical mechanics (经典力学)) 或 quantum state (量子态) (quantum mechanics (量子力学)) 的 complete description (完整描述)。A macroscopic state (一个宏观状态) 对应着 множество (大量) possible microscopic states (可能的微观状态)。Statistical physics (统计物理) 通过 statistical method (统计方法) 将 macroscopic state (宏观状态) 与 microscopic state (微观状态) 联系起来，从而从 microscopic perspective (微观角度) 理解 macroscopic thermodynamic properties (宏观热力学性质)。

通过 statistical physics (统计物理) 的观点，entropy (熵) 不再是一个抽象的 thermodynamic quantity (热力学量)，而是与 system disorder (系统无序度) 或 microscopic state number (微观状态数) 直接相关的 physical quantity (物理量)。Entropy (熵) 的 statistical meaning (统计意义) 更深刻地揭示了热力学第二定律的本质，为理解 irreversible process (不可逆过程) 的 directionality (方向性) 和 spontaneous process (自发过程) 的 statistical nature (统计本质) 提供了 microscopic foundation (微观基础)。

4. 波动、振动与光学 (Waves, Oscillations and Optics)

本章系统介绍机械波、电磁波的基本理论，分析振动、波动的普遍规律和特征，并深入探讨光学现象，包括 geometric optics (几何光学)、physical optics (物理光学)，以及激光原理和应用，为理解光波的本质和光学技术应用奠定基础。

4.1 机械振动与机械波 (Mechanical Oscillations and Mechanical Waves)

本节介绍简谐振动 (simple harmonic motion)、阻尼振动 (damped oscillation)、受迫振动 (forced oscillation) 等基本振动形式，以及机械波的产生、传播和特性，如 transverse wave (横波)、longitudinal wave (纵波)、superposition principle (叠加原理)、interference (干涉)、diffraction (衍射) 等。

4.1.1 简谐振动 (Simple Harmonic Motion)

定义简谐振动，介绍简谐振动的运动方程、能量特征，以及 examples (实例)，如弹簧振子、单摆。

简谐振动 (simple harmonic motion, SHM) 是一种理想化的振动模型，它描述了物体在回复力作用下，围绕平衡位置所做的往复运动。这种回复力与物体偏离平衡位置的位移大小成正比，且方向始终指向平衡位置。简谐振动是许多复杂振动形式的基础，在工程和物理学中都具有重要的地位。

① 简谐振动的定义

如果一个质点的运动满足以下条件，则称之为简谐振动：

⚝ 回复力正比于位移: 作用在质点上的回复力 \( F \) 与质点偏离平衡位置的位移 \( x \) 成正比，即 \( F \propto -x \)。负号表示回复力的方向与位移方向相反，始终指向平衡位置。
⚝ 回复力指向平衡位置: 回复力的方向始终指向平衡位置。

可以用公式表示为：
\[ F = -kx \]
其中，\( k \) 是比例常数，称为劲度系数或回复力系数，对于弹簧振子，\( k \) 就是弹簧的劲度系数。

② 简谐振动的运动方程

根据牛顿第二定律 \( F = ma \)，其中 \( a \) 是加速度，\( m \) 是质量，我们可以得到简谐振动的微分方程：
\[ ma = -kx \]
\[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx \]
整理后得到：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 \]
为了简化，引入角频率 \( \omega \)，定义为：
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
则运动方程可以写成：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 \]
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，其通解形式为：
\[ x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \]
或者也可以写成：
\[ x(t) = A\sin(\omega t + \varphi') \]
其中，\( A \) 是振幅 (amplitude)，表示振动位移的最大值；\( \omega \) 是角频率 (angular frequency)，单位是弧度每秒 (rad/s)；\( t \) 是时间；\( \varphi \) 或 \( \varphi' \) 是初相位 (initial phase)，由初始条件决定。周期 \( T \) 和频率 \( f \) 与角频率的关系为：
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
\[ f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]

③ 简谐振动的能量特征

在简谐振动过程中，系统的总机械能守恒，由动能 (kinetic energy) 和势能 (potential energy) 组成。

⚝ 动能: 质点的速度 \( v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) \)，动能 \( E_k \) 为：
\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(A\omega\sin(\omega t + \varphi))^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi) \]
由于 \( \omega^2 = k/m \)，所以 \( m\omega^2 = k \)，动能也可以写成：
\[ E_k = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi) \]
⚝ 势能: 弹性势能 \( E_p \) 为：
\[ E_p = \int_{0}^{x} kx' dx' = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(A\cos(\omega t + \varphi))^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi) \]
⚝ 总机械能: 总机械能 \( E \) 为动能和势能之和：
\[ E = E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi) + \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}kA^2(\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi)) = \frac{1}{2}kA^2 \]
总机械能 \( E = \frac{1}{2}kA^2 \) 是一个常数，与时间无关，只与振幅和劲度系数有关。这表明在简谐振动过程中，能量在动能和势能之间周期性地相互转换，但总能量保持不变。

④ 简谐振动的实例

⚝ 弹簧振子 (spring oscillator)：一个质量为 \( m \) 的物体连接在一个劲度系数为 \( k \) 的弹簧上，在水平方向或竖直方向上做简谐振动。其角频率 \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)。
⚝ 单摆 (simple pendulum)：一个质量为 \( m \) 的质点悬挂在一根轻绳下，在小角度摆动时近似为简谐振动。其角频率 \( \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \)，其中 \( g \) 是重力加速度，\( L \) 是摆长。小角度近似条件是 \( \sin\theta \approx \theta \)。

简谐振动是理解更复杂振动现象的基础，例如阻尼振动和受迫振动，以及波动现象。在工程领域，简谐振动模型广泛应用于机械振动分析、电路振荡、声学振动等问题。

4.1.2 阻尼振动与受迫振动 (Damped and Forced Oscillations)

分析阻尼力对振动的影响，介绍阻尼振动的衰减特性，以及受迫振动和 resonance (共振) 现象。

实际的振动系统往往会受到各种阻力的影响，例如空气阻力、摩擦力等，这些阻力会消耗系统的能量，导致振动幅度逐渐减小，这种现象称为阻尼振动 (damped oscillation)。如果系统还受到外部驱动力的作用，就会发生受迫振动 (forced oscillation)，并且可能出现 resonance (共振) 现象。

① 阻尼振动 (damped oscillation)

当振动系统受到与速度方向相反的阻力 \( f_d \) 时，例如与速度成正比的阻力 \( f_d = -b\frac{dx}{dt} \)，其中 \( b \) 是阻尼系数，振动就会逐渐衰减。考虑简谐振动系统，加入阻尼力后，运动方程变为：
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b\frac{dx}{dt} \]
整理后得到：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{b}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0 \]
引入阻尼比 \( \zeta = \frac{b}{2\sqrt{mk}} \) 和无阻尼角频率 \( \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \)，方程可以写成：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0 \]
这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，其解的形式取决于阻尼比 \( \zeta \) 的大小。

⚝ 欠阻尼 (underdamped, \( \zeta < 1 \)): 系统会发生振荡衰减，振幅随时间指数衰减。解的形式为：
\[ x(t) = Ae^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi) \]
其中 \( \omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2} \) 是阻尼振荡频率，小于无阻尼频率 \( \omega_0 \)。\( A \) 和 \( \varphi \) 由初始条件决定。
⚝ 临界阻尼 (critically damped, \( \zeta = 1 \)): 系统不会发生振荡，而是最快地回到平衡位置，没有过冲。解的形式为：
\[ x(t) = (C_1 + C_2t)e^{-\omega_0 t} \]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 由初始条件决定。
⚝ 过阻尼 (overdamped, \( \zeta > 1 \)): 系统也不会发生振荡，而是缓慢地回到平衡位置，速度比临界阻尼慢。解的形式为：
\[ x(t) = C_1e^{r_1 t} + C_2e^{r_2 t} \]
其中 \( r_{1,2} = -\zeta\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1} \) 是两个负实根，\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 由初始条件决定。

② 受迫振动 (forced oscillation)

当系统除了回复力和阻尼力外，还受到周期性外部驱动力 \( F(t) = F_0\cos(\omega_f t) \) 的作用时，系统会发生受迫振动。运动方程变为：
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b\frac{dx}{dt} + F_0\cos(\omega_f t) \]
整理后得到：
\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega_f t) \]
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程。其解由 transient solution (瞬态解) 和 steady-state solution (稳态解) 组成。经过一段时间后，瞬态解会衰减消失，系统最终以驱动力频率 \( \omega_f \) 做稳态振动。稳态解的形式为：
\[ x(t) = A_f\cos(\omega_f t - \delta) \]
其中，\( A_f \) 是受迫振动的振幅，\( \delta \) 是相位滞后。振幅 \( A_f \) 和相位滞后 \( \delta \) 由驱动力频率 \( \omega_f \)、无阻尼角频率 \( \omega_0 \) 和阻尼比 \( \zeta \) 决定：
\[ A_f = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_f^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega_f)^2}} \]
\[ \tan\delta = \frac{2\zeta\omega_0\omega_f}{\omega_0^2 - \omega_f^2} \]

③ 共振 (resonance)

当驱动力频率 \( \omega_f \) 接近系统的无阻尼固有频率 \( \omega_0 \) 时，受迫振动的振幅 \( A_f \) 会显著增大，这种现象称为共振 (resonance)。当 \( \omega_f = \omega_0 \) 时，振幅达到最大值（对于小阻尼 \( \zeta \ll 1 \) 近似成立）：
\[ A_{f,max} \approx \frac{F_0/m}{2\zeta\omega_0^2} = \frac{F_0}{b\omega_0} \]
共振现象在工程中既有有利的应用，也有不利的影响。例如，利用共振可以增强无线电信号接收，但在机械结构中，共振可能导致结构破坏。减小阻尼比 \( \zeta \) 可以使共振峰更尖锐，振幅更大，但也会增加系统的不稳定性。

阻尼振动和受迫振动是实际振动系统中普遍存在的现象。理解这些概念对于分析和设计各种工程系统至关重要，例如减振系统、滤波器、声学共振腔等。

4.1.3 机械波的产生与传播 (Generation and Propagation of Mechanical Waves)

介绍机械波的分类，如 transverse wave (横波) 和 longitudinal wave (纵波)，分析波的传播速度、波长 (wavelength)、频率 (frequency)、amplitude (振幅) 等特征量。

机械波 (mechanical wave) 是机械振动在介质中的传播过程。机械波的产生需要两个条件：一是有振源 (vibration source)，即产生振动的物体；二是有弹性介质 (elastic medium)，作为传播振动的载体。机械波的传播实质是介质质点间的相互作用，振动能量通过介质从振源向外传递。

① 机械波的分类

根据介质质点的振动方向与波的传播方向之间的关系，机械波可以分为 transverse wave (横波) 和 longitudinal wave (纵波)。

⚝ 横波 (transverse wave)：介质质点的振动方向与波的传播方向垂直。例如，绳波 (wave on a string) 和水面波 (water wave) (严格来说水面波是横波和纵波的混合)。在横波中，介质质点在各自的平衡位置附近上下振动，形成波峰 (crest) 和波谷 (trough)。
⚝ 纵波 (longitudinal wave)：介质质点的振动方向与波的传播方向平行。例如，声波 (sound wave) 在空气中的传播和弹簧振子波 (wave on a spring) (沿弹簧轴线方向的振动)。在纵波中，介质质点在传播方向上前后振动，形成压缩 (compression) 和稀疏 (rarefaction) 相间的区域。

并非所有介质都能同时传播横波和纵波。例如，固体介质既可以传播横波也可以传播纵波，而流体介质（液体和气体）主要传播纵波，不能传播稳定的横波（表面张力波除外）。

② 机械波的描述

描述波动特性的物理量主要有：

⚝ 波长 (wavelength, \( \lambda \)): 相邻两个波峰（或波谷，或压缩区、稀疏区）之间的距离。单位通常是米 (m)。
⚝ 频率 (frequency, \( f \)): 介质质点在单位时间内完成振动的次数，或者单位时间内通过某一点的波的个数。单位是赫兹 (Hz)，1 Hz = 1 次/秒。
⚝ 周期 (period, \( T \)): 介质质点完成一次完整振动所需的时间，\( T = 1/f \)。单位是秒 (s)。
⚝ 振幅 (amplitude, \( A \)): 介质质点在振动过程中偏离平衡位置的最大距离。单位通常是米 (m)。
⚝ 波速 (wave speed, \( v \)): 波在介质中传播的速度。波速、波长和频率之间存在关系：
\[ v = \lambda f = \frac{\lambda}{T} \]
波速由介质的性质决定，例如，绳波的波速与绳子的张力和线密度有关，声波在空气中的波速与空气的温度和密度有关。

③ 波的数学描述

可以用波函数 (wave function) 来描述波的传播。对于一维简谐波，其波函数可以写成：
\[ y(x, t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi) \]
或
\[ y(x, t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi') \]
其中，\( y(x, t) \) 表示在位置 \( x \) 和时间 \( t \) 时刻，介质质点偏离平衡位置的位移。\( A \) 是振幅，\( \omega = 2\pi f \) 是角频率，\( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) 是波数 (wave number)，\( \varphi \) 或 \( \varphi' \) 是初相位。\( kx - \omega t + \varphi \) 称为相位 (phase)。

波沿 \( x \) 轴正方向传播时，波函数中的 \( kx \) 和 \( \omega t \) 前面的符号相反（如 \( kx - \omega t \)）。如果符号相同（如 \( kx + \omega t \)），则表示波沿 \( x \) 轴负方向传播。

④ 波的传播速度

机械波在不同介质中的传播速度是不同的，并且受到介质性质的影响。

⚝ 绳波: 横波在均匀绳子上的传播速度 \( v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \)，其中 \( T \) 是绳子的张力，\( \mu \) 是绳子的线密度（单位长度的质量）。
⚝ 声波: 纵波在空气中的传播速度 \( v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \)，其中 \( \gamma \) 是绝热指数，\( P \) 是压强，\( \rho \) 是空气密度。在常温常压下，空气中的声速约为 340 m/s。在固体中，声速通常比在气体和液体中快得多。

机械波广泛存在于自然界和工程应用中，例如地震波、声波、超声波等。理解机械波的产生、传播和特性，对于地震预警、声学设计、无损检测等领域具有重要意义。

4.1.4 波的叠加与干涉、衍射 (Superposition, Interference and Diffraction of Waves)

阐述波的 superposition principle (叠加原理)，分析波的 interference (干涉) 和 diffraction (衍射) 现象及其条件。

波的 superposition principle (叠加原理) 是描述多个波在同一介质中传播时如何相互作用的基本原理。基于叠加原理，可以解释波的 interference (干涉) 和 diffraction (衍射) 等重要波动现象。

① 波的叠加原理 (superposition principle)

当多个波同时在同一介质中传播时，介质中任一点的总振动位移等于各个波单独在该点引起的位移的矢量和。对于线性波，叠加原理严格成立。

如果两个波的波函数分别为 \( y_1(x, t) \) 和 \( y_2(x, t) \)，则叠加后的总波函数 \( y(x, t) \) 为：
\[ y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t) \]
对于多个波的叠加，同样适用：
\[ y(x, t) = \sum_{i} y_i(x, t) \]
波的叠加可能导致 constructive interference (相长干涉) 或 destructive interference (相消干涉)。

② 波的干涉 (interference)

当两列或多列 coherent waves (相干波) 在空间中相遇时，在某些区域振动加强，在另一些区域振动减弱，形成稳定的强弱相间的分布，这种现象称为波的干涉 (interference)。相干波是指频率相同、相位差恒定的波。

⚝ 相长干涉 (constructive interference)：当两列波到达某点的相位差为 \( \Delta\varphi = 2m\pi \) (其中 \( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \)) 时，波峰与波峰、波谷与波谷叠加，振幅加强，振动加强。
⚝ 相消干涉 (destructive interference)：当两列波到达某点的相位差为 \( \Delta\varphi = (2m+1)\pi \) (其中 \( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \)) 时，波峰与波谷叠加，振幅减弱，振动减弱。

对于双缝干涉 (double-slit interference) 实验，两束光波从两条狭缝传播到屏幕上某点 P 的光程差为 \( \Delta r = d\sin\theta \)，其中 \( d \) 是双缝间距，\( \theta \) 是衍射角。

⚝ 相长干涉条件: \( \Delta r = d\sin\theta = m\lambda \) (明纹条件，\( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \))
⚝ 相消干涉条件: \( \Delta r = d\sin\theta = (m + \frac{1}{2})\lambda \) (暗纹条件，\( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \))

干涉现象广泛应用于光学、声学等领域，例如光学薄膜干涉、声波干涉消声等。

③ 波的衍射 (diffraction)

当波遇到障碍物或狭缝时，会偏离直线传播路径，绕过障碍物继续传播的现象称为波的衍射 (diffraction)。衍射是波的普遍特性，所有类型的波（包括机械波、电磁波、声波等）都会发生衍射。

衍射的明显程度与障碍物或狭缝的尺寸与波长 \( \lambda \) 的相对大小有关。当障碍物或狭缝的尺寸与波长相近或小于波长时，衍射现象非常明显；当障碍物或狭缝的尺寸远大于波长时，衍射现象不明显，波近似沿直线传播（几何光学近似）。

⚝ 单缝衍射 (single-slit diffraction)：当平行光通过一条狭缝时，会在屏幕上形成中央明纹和一系列明暗相间的衍射条纹。单缝衍射的暗纹条件为：
\[ a\sin\theta = m\lambda \]
其中 \( a \) 是狭缝宽度，\( \theta \) 是衍射角，\( m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \) （不包括 \( m=0 \)，因为 \( m=0 \) 是中央明纹）。

⚝ 圆孔衍射 (circular aperture diffraction)：当平行光通过一个圆孔时，会在屏幕上形成 Airy disk (艾里斑) 衍射图样，中央是一个明亮的圆斑（主极大），周围是一系列明暗相间的同心圆环。

衍射现象限制了光学仪器的分辨率，例如，显微镜和望远镜的分辨率受到光的衍射限制。同时，衍射也被广泛应用于光谱分析、X 射线衍射晶体结构分析等领域。

波的叠加、干涉和衍射是波动性的重要体现，也是理解波动现象的关键。在工程物理中，这些概念广泛应用于光学工程、声学工程、通信工程等领域。

4.2 电磁波 (Electromagnetic Waves)

介绍电磁波的产生、特性和 spectrum (频谱)，包括 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 和电磁波的波动性，以及电磁波在信息传输、遥感等工程领域的应用。

电磁波 (electromagnetic wave) 是一种不依赖于介质传播的波动，由相互垂直且相互耦合的 electric field (电场) 和 magnetic field (磁场) 组成。电磁波的理论基础是 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组)。电磁波 spectrum (频谱) 非常广泛，包括 radio waves (无线电波)、microwaves (微波)、infrared (红外线)、visible light (可见光)、ultraviolet (紫外线)、X-rays (X射线)、gamma rays (γ射线) 等。

4.2.1 麦克斯韦方程组与电磁波的产生 (Maxwell's Equations and Generation of Electromagnetic Waves)

介绍 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组)，阐述电磁波的产生机制，即变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。

Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 是一组描述 electric field (电场)、magnetic field (磁场) 及其相互关系的 fundamental equations (基本方程组)。这组方程不仅统一了电场和磁场理论，还预言了电磁波的存在，是经典电磁理论的基石。

Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的积分形式如下：

① Gauss's law for electricity (电高斯定律):
\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} \]
描述电场线源于电荷，穿过任意闭合曲面 \( S \) 的电场通量等于曲面内包围的总电荷 \( Q_{enc} \) 除以 vacuum permittivity (真空介电常数) \( \epsilon_0 \)。

② Gauss's law for magnetism (磁高斯定律):
\[ \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0 \]
描述磁场线是闭合的，没有磁单极子。穿过任意闭合曲面 \( S \) 的磁场通量为零。

③ Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律):
\[ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} \]
描述变化的 magnetic flux (磁通量) 会产生 induced electromotive force (感应电动势)，即变化的磁场产生电场。沿任意闭合曲线 \( C \) 的电场环量等于穿过以 \( C \) 为边界的曲面 \( S \) 的磁通量的时间变化率的负值。

④ Ampere-Maxwell law (安培-麦克斯韦定律):
\[ \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 (I_{enc} + \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}) \]
描述电流和变化的 electric flux (电通量) 都会产生 magnetic field (磁场)。沿任意闭合曲线 \( C \) 的磁场环量等于穿过以 \( C \) 为边界的曲面 \( S \) 的传导电流 \( I_{enc} \) 和电通量时间变化率之和乘以 vacuum permeability (真空磁导率) \( \mu_0 \)。其中 \( \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \) 项是 Maxwell's displacement current (麦克斯韦位移电流)，是麦克斯韦对安培定律的重要修正，也是预言电磁波存在的关键。

电磁波的产生机制

Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 揭示了电场和磁场之间的相互联系和转化关系：

⚝ 变化的磁场产生电场 (法拉第电磁感应定律): \( \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \)
⚝ 变化的电场产生磁场 (安培-麦克斯韦定律): \( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \) (在没有自由电流的区域 \( \mathbf{J} = 0 \)，则 \( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \))

在没有自由电荷和电流的真空中，Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 可以简化为：
\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \]
\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]
\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \]
\[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \]
从这些方程可以推导出 electric field (电场) \( \mathbf{E} \) 和 magnetic field (磁场) \( \mathbf{B} \) 满足的波动方程：
\[ \nabla^2\mathbf{E} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \]
\[ \nabla^2\mathbf{B} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} = 0 \]
这表明 electric field (电场) 和 magnetic field (磁场) 可以在真空中以波的形式传播，这种波就是电磁波。电磁波的传播速度 \( v \) 由 vacuum permittivity (真空介电常数) \( \epsilon_0 \) 和 vacuum permeability (真空磁导率) \( \mu_0 \) 决定：
\[ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} = c \]
计算结果 \( c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)，正好是 light speed in vacuum (真空中光速)。麦克斯韦因此预言光也是一种电磁波，并成功地统一了光和电磁现象。

电磁波的产生源于 accelerated electric charges (加速电荷) 或 time-varying electric currents (时变电流)。例如，振荡电偶极子 (oscillating electric dipole) 会辐射电磁波。在无线电发射天线中，高频振荡电流产生变化的电场和磁场，进而向空间辐射电磁波。

4.2.2 电磁波的特性与频谱 (Properties and Spectrum of Electromagnetic Waves)

分析电磁波的特性，如 transverse nature (横向性)、传播速度、能量密度，介绍电磁波 spectrum (频谱) 的各个波段，如 radio waves (无线电波)、microwaves (微波)、infrared (红外线)、visible light (可见光)、ultraviolet (紫外线)、X-rays (X射线)、gamma rays (γ射线) 等。

① 电磁波的特性

⚝ Transverse nature (横向性)：在电磁波中，electric field (电场) \( \mathbf{E} \)、magnetic field (磁场) \( \mathbf{B} \) 和 wave propagation direction (波的传播方向) \( \mathbf{k} \) 相互垂直，构成右手螺旋关系。电磁波是 transverse wave (横波)。
⚝ 传播速度 (propagation speed)：电磁波在真空中传播速度 \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)，即 light speed in vacuum (真空中光速)。在介质中，电磁波的传播速度 \( v = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{n} \)，其中 \( \mu \) 和 \( \epsilon \) 分别是介质的 permeability (磁导率) 和 permittivity (介电常数)，\( n = \sqrt{\frac{\mu\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}} \) 是介质的 refractive index (折射率)。
⚝ 能量密度 (energy density)：电磁波携带能量，其能量密度 \( u \) 是 electric field energy density (电场能量密度) \( u_E \) 和 magnetic field energy density (磁场能量密度) \( u_B \) 之和：
\[ u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2 \]
对于电磁波，\( u_E = u_B \)，所以 \( u = \epsilon_0E^2 = \frac{1}{\mu_0}B^2 \)。
⚝ Poynting vector (坡印廷矢量)：描述电磁波能量流方向和大小的矢量，定义为：
\[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \]
Poynting vector (坡印廷矢量) 的方向是电磁波能量传播的方向，大小表示单位时间单位面积上通过的电磁能量，单位是瓦特每平方米 (W/m²)。

② 电磁波频谱 (electromagnetic spectrum)

电磁波 spectrum (频谱) 按照 frequency (频率) 或 wavelength (波长) 范围划分，不同频率（或波长）的电磁波具有不同的特性和应用。从低频到高频，电磁波频谱主要包括：

⚝ Radio waves (无线电波)：频率范围约从几 kHz 到 300 GHz，波长从几毫米到几百公里。主要用于 radio communication (无线电通信)、broadcasting (广播)、radar (雷达) 等。例如，AM 和 FM radio (调频和调幅无线电广播)、TV signals (电视信号)、mobile communication (移动通信) (如 4G, 5G)。
⚝ Microwaves (微波)：频率范围约从 300 MHz 到 300 GHz，波长从 1 毫米到 1 米。主要用于 microwave communication (微波通信)、microwave oven (微波炉)、radar (雷达)、satellite communication (卫星通信) 等。例如，Wi-Fi、Bluetooth、microwave ovens.
⚝ Infrared (红外线)：频率范围约从 300 GHz 到 430 THz，波长从 700 纳米到 1 毫米。主要用于 thermal imaging (热成像)、remote control (遥控器)、infrared spectroscopy (红外光谱学)、optical fiber communication (光纤通信) 等。例如，night vision devices (夜视设备)、TV remotes (电视遥控器)。
⚝ Visible light (可见光)：频率范围约从 430 THz 到 750 THz，波长约从 400 纳米 (紫色) 到 700 纳米 (红色)。是人眼可以感知的电磁波，构成 spectrum (光谱) 的不同颜色。用于 illumination (照明)、optical imaging (光学成像)、photography (摄影) 等。例如，rainbow (彩虹)、laser pointers (激光笔)。
⚝ Ultraviolet (紫外线)：频率范围约从 750 THz 到 30 PHz，波长约从 10 纳米到 400 纳米。能量较高，可以引起化学反应，例如 sunburn (晒伤)、vitamin D synthesis (维生素 D 合成)。也用于 sterilization (消毒)、UV curing (紫外固化)、lithography (光刻) 等。例如，sunlight (阳光中的紫外线)、UV sterilizers (紫外消毒器)。
⚝ X-rays (X射线)：频率范围约从 30 PHz 到 30 EHz，波长约从 0.01 纳米到 10 纳米。穿透能力强，用于 medical imaging (医学成像) (X-ray radiography (X射线成像))、material analysis (材料分析) (X-ray diffraction (X射线衍射))、radiation therapy (放射治疗) 等。例如，medical X-rays (医用X射线)、airport security scanners (机场安检扫描仪)。
⚝ Gamma rays (γ射线)：频率高于 30 EHz，波长小于 0.01 纳米。能量极高，穿透能力极强，由 nuclear decay (核衰变) 或 cosmic events (宇宙事件) 产生。用于 radiation therapy (放射治疗)、sterilization (消毒)、astronomy (天文学) (gamma-ray astronomy (伽马射线天文学)) 等。例如，nuclear medicine (核医学)、cosmic gamma rays (宇宙伽马射线)。

电磁波在现代科技和工程领域中有着极其广泛的应用，从通信、信息技术到医疗、材料科学，都离不开电磁波的应用。深入理解电磁波的特性和频谱，对于发展和应用电磁技术至关重要。

4.3 光学 (Optics)

系统介绍 geometric optics (几何光学) 和 physical optics (物理光学) 的基本原理和应用，包括 reflection (反射)、refraction (折射)、interference (干涉)、diffraction (衍射)、polarization (偏振) 等光学现象，以及 optical instruments (光学仪器) 和 laser (激光) 技术。

光学 (optics) 是研究 light (光) 的 behavior (行为) 和 properties (性质) 的物理学分支。根据研究方法的不同，光学可以分为 geometric optics (几何光学) 和 physical optics (物理光学)。geometric optics (几何光学) 主要在 wave nature of light (光的波动性) 可以忽略的情况下研究光的传播规律，例如 reflection (反射) 和 refraction (折射)；physical optics (物理光学) 则需要考虑 wave nature of light (光的波动性)，研究 interference (干涉)、diffraction (衍射) 和 polarization (偏振) 等波动光学现象。

4.3.1 几何光学：光的反射与折射 (Geometric Optics: Reflection and Refraction of Light)

介绍光的 reflection (反射) 定律和 refraction (折射) 定律，分析 plane mirror (平面镜)、spherical mirror (球面镜)、lens (透镜) 成像原理及应用。

geometric optics (几何光学) 是一种 ray optics (光线光学) 近似，忽略光的波动性，将光看作沿直线传播的光线 (light ray)。geometric optics (几何光学) 主要研究光在均匀介质中的直线传播、在不同介质界面上的 reflection (反射) 和 refraction (折射) 规律，以及 optical imaging (光学成像) 原理。

① 光的反射定律 (law of reflection)

当光线从一种介质射到另一种介质界面时，一部分光线会返回原介质中，这种现象称为光的 reflection (反射)。光的反射定律包括两条：

⚝ 第一定律 (反射线、入射线和法线共面)：反射线 (reflected ray)、入射线 (incident ray) 和法线 (normal) 在同一平面内，称为 incident plane (入射面)。
⚝ 第二定律 (反射角等于入射角)：反射角 (angle of reflection, \( \theta_r \)) 等于入射角 (angle of incidence, \( \theta_i \))。即 \( \theta_r = \theta_i \)。入射角和反射角都是指光线与法线的夹角。

② 光的折射定律 (law of refraction)

当光线从一种介质射到另一种介质界面时，一部分光线会进入第二种介质，传播方向发生改变，这种现象称为光的 refraction (折射)。光的折射定律（Snell's law (斯涅尔定律)）包括两条：

⚝ 第一定律 (折射线、入射线和法线共面)：折射线 (refracted ray)、入射线 (incident ray) 和法线 (normal) 在同一平面内，也即 incident plane (入射面)。
⚝ 第二定律 (折射定律)：入射角 \( \theta_1 \) 的正弦与折射角 \( \theta_2 \) 的正弦之比，等于两种介质 refractive index (折射率) 的反比。即：
\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1} \]
或
\[ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \]
其中 \( n_1 \) 和 \( n_2 \) 分别是第一和第二种介质的 refractive index (折射率)。refractive index (折射率) \( n = \frac{c}{v} \)，是 light speed in vacuum (真空中光速) \( c \) 与光在介质中传播速度 \( v \) 之比。

当光从 refractive index (折射率) 较小的介质射入 refractive index (折射率) 较大的介质时 (例如从空气射入玻璃，\( n_1 < n_2 \))，折射角 \( \theta_2 < \theta_1 \)，折射线向法线方向偏折；反之，当光从 refractive index (折射率) 较大的介质射入 refractive index (折射率) 较小的介质时 (例如从玻璃射入空气，\( n_1 > n_2 \))，折射角 \( \theta_2 > \theta_1 \)，折射线远离法线方向偏折。

当入射角 \( \theta_1 \) 增大到某一角度时，折射角 \( \theta_2 = 90^\circ \)，此时入射角称为 critical angle (临界角) \( \theta_c \)。根据折射定律，\( n_1\sin\theta_c = n_2\sin 90^\circ = n_2 \)，所以 \( \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \)。当入射角 \( \theta_1 > \theta_c \) 时，折射现象消失，所有光线都发生 reflection (反射) 回原介质，这种现象称为 total internal reflection (全内反射)。全内反射是 optical fiber (光纤) 通信和棱镜等光学器件工作的基础。

③ 平面镜成像 (image formation by a plane mirror)

plane mirror (平面镜) 成像的特点：

⚝ 像和物大小相等 (same size)
⚝ 像是虚像 (virtual image)
⚝ 像和物关于镜面对称 (symmetric about the mirror plane)
⚝ 像距等于物距 (image distance equals object distance)

平面镜成像常用于日常生活中，例如镜子、潜望镜等。

④ 球面镜成像 (image formation by spherical mirrors)

spherical mirror (球面镜) 分为 concave mirror (凹面镜) 和 convex mirror (凸面镜)。

⚝ Concave mirror (凹面镜)：对光线有会聚作用。当物体在不同位置时，可以成实像 (real image) 或虚像 (virtual image)。
⚝ Convex mirror (凸面镜)：对光线有发散作用。只能成虚像，且像总是缩小的、正立的。

spherical mirror (球面镜) 成像遵循 mirror equation (球面镜公式) 和 magnification formula (放大率公式)：

⚝ Mirror equation (球面镜公式):
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \]
其中 \( f \) 是 focal length (焦距)，对于 concave mirror (凹面镜) \( f > 0 \)，对于 convex mirror (凸面镜) \( f < 0 \)。\( u \) 是 object distance (物距)，\( v \) 是 image distance (像距)。物和像在镜前为正，镜后为负。
⚝ Magnification formula (放大率公式):
\[ M = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u} \]
其中 \( M \) 是 lateral magnification (横向放大率)，\( h' \) 是 image height (像高)，\( h \) 是 object height (物高)。\( M > 0 \) 表示正立像，\( M < 0 \) 表示倒立像。

球面镜广泛应用于光学仪器中，例如反射望远镜、汽车后视镜等。

⑤ 透镜成像 (image formation by lenses)

lens (透镜) 分为 converging lens (凸透镜) 和 diverging lens (凹透镜)。

⚝ Converging lens (凸透镜)：对光线有会聚作用。可以成实像或虚像，取决于物距。
⚝ Diverging lens (凹透镜)：对光线有发散作用。只能成虚像，且像总是缩小的、正立的。

lens (透镜) 成像遵循 lens equation (透镜公式) 和 magnification formula (放大率公式)：

⚝ Lens equation (透镜公式):
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \]
其中 \( f \) 是 focal length (焦距)，对于 converging lens (凸透镜) \( f > 0 \)，对于 diverging lens (凹透镜) \( f < 0 \)。\( u \) 是 object distance (物距)，\( v \) 是 image distance (像距)。物在透镜前为正，像在透镜后为正。
⚝ Magnification formula (放大率公式):
\[ M = \frac{h'}{h} = -\frac{v}{u} \]
其中 \( M \) 是 lateral magnification (横向放大率)，\( h' \) 是 image height (像高)，\( h \) 是 object height (物高)。\( M > 0 \) 表示正立像，\( M < 0 \) 表示倒立像。

透镜广泛应用于各种 optical instruments (光学仪器)，例如照相机、显微镜、望远镜、眼镜等。组合使用透镜和 mirror (镜片) 可以设计更复杂的光学系统，满足不同的成像需求。

4.3.2 物理光学：光的干涉、衍射与偏振 (Physical Optics: Interference, Diffraction and Polarization of Light)

深入探讨光的 interference (干涉)、diffraction (衍射) 和 polarization (偏振) 现象，分析其物理本质和应用，如 thin film interference (薄膜干涉)、diffraction grating (衍射光栅)、polarizer (偏振片) 等。

physical optics (物理光学) 考虑 light (光) 的 wave nature (波动性)，研究 interference (干涉)、diffraction (衍射) 和 polarization (偏振) 等波动光学现象。这些现象无法用 geometric optics (几何光学) 解释，是 light (光) 波动性的直接证据。

① 光的干涉 (interference of light)

光的干涉 (interference of light) 是 coherent light waves (相干光波) 叠加时，在空间形成 intensity (强度) 分布不均匀，出现明暗相间条纹的现象。产生稳定干涉的条件是光源必须是 coherent (相干的)，即频率相同、相位差恒定。

⚝ Young's double-slit experiment (杨氏双缝实验)：是经典的干涉实验。单色光通过两条狭缝后，在屏幕上形成明暗相间的干涉条纹。明纹和暗纹的位置取决于两束光的光程差。
▮▮▮▮⚝ 明纹条件 (constructive interference)：光程差 \( \Delta r = m\lambda \) (其中 \( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \))
▮▮▮▮⚝ 暗纹条件 (destructive interference)：光程差 \( \Delta r = (m + \frac{1}{2})\lambda \) (其中 \( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \))

⚝ Thin film interference (薄膜干涉)：当光照射到 thin film (薄膜) 时，在薄膜上表面和下表面反射的两束光发生干涉。薄膜干涉的颜色效果常用于光学镀膜、肥皂泡、油膜等。
▮▮▮▮⚝ 增透膜 (anti-reflection coating)：利用薄膜干涉原理，通过选择合适的薄膜厚度和 refractive index (折射率)，使反射光发生相消干涉，从而减小反射，增加透射率。
▮▮▮▮⚝ 增反膜 (high-reflection coating)：通过设计多层薄膜结构，使反射光发生相长干涉，从而提高反射率，用于 laser mirror (激光反射镜) 等。

⚝ Michelson interferometer (迈克尔逊干涉仪)：是一种精密的光学干涉仪器，利用光的干涉原理可以进行 precise measurement (精密测量)，例如 measuring wavelength (测量波长)、refractive index measurement (折射率测量)、length measurement (长度测量) 等。

② 光的衍射 (diffraction of light)

光的衍射 (diffraction of light) 是光波在传播过程中，遇到障碍物或孔径时，偏离直线传播路径，绕过障碍物或孔径边缘继续传播的现象。衍射现象表明光波具有 wave nature (波动性)。

⚝ 单缝衍射 (single-slit diffraction)：单色光通过一条狭缝后，在屏幕上形成中央明纹和一系列明暗相间的衍射条纹。中央明纹最宽最亮，两侧明纹亮度逐渐减弱。单缝衍射的暗纹条件为 \( a\sin\theta = m\lambda \) (其中 \( m = \pm 1, \pm 2, \dots \))，\( a \) 是狭缝宽度。

⚝ Diffraction grating (衍射光栅)：是由大量平行等间距狭缝组成的光学元件。衍射光栅可以产生 sharp and bright interference fringes (锐利而明亮的干涉条纹)，用于光谱分析和波长测量。光栅方程 (grating equation) 为：
\[ d\sin\theta = m\lambda \]
其中 \( d \) 是 grating spacing (光栅常数，相邻狭缝的间距)，\( \theta \) 是衍射角，\( m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \) 是 diffraction order (衍射级数)。

⚝ 圆孔衍射 (diffraction by a circular aperture)：光通过圆孔时，形成 Airy disk (艾里斑) 衍射图样。圆孔衍射限制了光学仪器的分辨率，例如 microscope resolution (显微镜分辨率) 和 telescope resolution (望远镜分辨率)。Rayleigh criterion (瑞利判据) 是判断两个相邻物点能否被分辨的 criterion (判据)，其 angular resolution (角分辨率) \( \theta_{min} \approx 1.22\frac{\lambda}{D} \)，其中 \( D \) 是圆孔直径。

③ 光的偏振 (polarization of light)

光的 polarization (偏振) 是 transverse wave (横波) 特有的性质，描述了光波 electric field vector (电场矢量) 振动方向的规律性。natural light (自然光) 是 unpolarized (非偏振光)，其电场矢量在垂直于传播方向的平面内，各个方向均匀分布。polarized light (偏振光) 的电场矢量振动方向具有一定的规律性。

⚝ Linear polarization (线偏振)：电场矢量只在一个固定方向上振动。可以通过 polarizer (偏振片) 获得线偏振光。
⚝ Circular polarization (圆偏振)：电场矢量的大小不变，方向随时间旋转，矢量端点轨迹为圆。可以由 phase retarder (相位延迟片) (如 quarter-wave plate (四分之一波片)) 获得。
⚝ Elliptical polarization (椭圆偏振)：电场矢量的大小和方向都随时间变化，矢量端点轨迹为椭圆。可以由 phase retarder (相位延迟片) 获得。

⚝ 偏振片 (polarizer)：是一种光学元件，只允许特定振动方向的光通过，吸收或反射其他方向的光。常见的偏振片有 dichroic polarizer (二向色性偏振片) 和 polarizing prism (偏振棱镜) (如 Nicol prism (尼科尔棱镜), Wollaston prism (沃拉斯顿棱镜))。

⚝ Malus's law (马吕斯定律)：描述线偏振光通过 polarizer (偏振片) 后的 intensity (强度) 变化规律。如果入射线偏振光的 intensity (强度) 为 \( I_0 \)，偏振方向与 polarizer (偏振片) 的透光轴 (transmission axis) 夹角为 \( \theta \)，则透射光 intensity (强度) \( I = I_0\cos^2\theta \)。

光的偏振现象在光学工程和技术中有着重要应用，例如 liquid crystal display (液晶显示) (LCD)、偏振显微镜、光学应力分析、3D cinema (3D电影) 等。

物理光学深入揭示了光的波动本质，干涉、衍射和偏振现象不仅是理解光 wave nature (波动性) 的关键，也是光学技术应用的基础。

4.3.3 激光原理与应用 (Laser Principles and Applications)

介绍 laser (激光) 的产生原理，包括 stimulated emission (受激辐射)、population inversion (粒子数反转)、optical resonator (光学谐振腔)，以及激光在 communication (通信)、medical treatment (医疗)、manufacturing (制造) 等领域的广泛应用。

laser (激光，Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) 是一种特殊的光源，具有高 brightness (亮度)、high monochromaticity (单色性)、high coherence (相干性) 和 high directionality (方向性) 等 unique properties (独特性质)。laser (激光) 的产生基于 stimulated emission (受激辐射) 原理，需要实现 population inversion (粒子数反转) 和 optical resonator (光学谐振腔) 等关键条件。

① 激光的产生原理

⚝ Spontaneous emission (自发辐射)：原子处于 excited state (激发态) 时，会自发地跃迁到 lower energy level (低能级)，同时释放出一个 photon (光子)。自发辐射是随机过程，辐射的光子 direction (方向)、phase (相位) 和 polarization (偏振) 都是随机的，产生的光是 incoherent (非相干的)。

⚝ Absorption (吸收)：原子处于 ground state (基态) 时，可以吸收一个 photon (光子) 而跃迁到 excited state (激发态)。吸收过程的概率与入射光 intensity (强度) 和原子跃迁能量匹配程度有关。

⚝ Stimulated emission (受激辐射)：原子处于 excited state (激发态) 时，如果受到一个 energy (能量) 匹配的 photon (光子) 诱导，会受激跃迁到 lower energy level (低能级)，同时释放出一个与诱导 photon (光子) 完全相同的 photon (光子) (same frequency (频率), phase (相位), polarization (偏振) and direction (方向))。受激辐射是 coherent (相干的) 光放大的基础。

② Population inversion (粒子数反转)

为了实现光放大，需要使受激辐射过程 dominate (主导) absorption (吸收) 过程。这需要实现 population inversion (粒子数反转)，即 excited state (激发态) 的原子数 \( N_2 \) 大于 ground state (基态) 的原子数 \( N_1 \) (通常情况下，thermal equilibrium (热平衡) 状态下 \( N_1 > N_2 \))。

实现 population inversion (粒子数反转) 通常需要 pumping (泵浦) 过程，将原子从 ground state (基态) 激发到 excited state (激发态)。常见的 pumping methods (泵浦方式) 有：

⚝ Optical pumping (光泵浦)：利用强光照射 laser medium (激光介质)，将原子激发到 higher energy level (更高能级)，再通过 non-radiative decay (非辐射跃迁) 到 metastable state (亚稳态)，从而实现 population inversion (粒子数反转)。例如 ruby laser (红宝石激光器) 和 Nd:YAG laser (掺钕钇铝石榴石激光器) 采用 optical pumping (光泵浦)。
⚝ Electrical discharge pumping (电激励泵浦)：通过 gas discharge (气体放电)，利用 electron impact excitation (电子碰撞激发) 激发 gas atoms or molecules (气体原子或分子) 到 excited state (激发态)。例如 He-Ne laser (氦氖激光器) 和 Ar+ laser (氩离子激光器) 采用 electrical discharge pumping (电激励泵浦)。

③ Optical resonator (光学谐振腔)

optical resonator (光学谐振腔) (或 optical cavity (光学腔)) 是 laser (激光器) 的核心组成部分，通常由两个或多个 mirror (反射镜) 组成，用于 feedback (反馈) stimulated emission (受激辐射) 产生的光子，并形成 resonant mode (谐振模式)，实现光放大和 coherent light output (相干光输出)。最简单的 optical resonator (光学谐振腔) 是 Fabry-Pérot resonator (法布里-珀罗谐振腔)，由两个平行平面 mirror (反射镜) 组成。

optical resonator (光学谐振腔) 的作用：

⚝ Feedback (反馈)：将受激辐射产生的光子反射回 laser medium (激光介质)，多次通过介质，增加光放大倍数。
⚝ Mode selection (模式选择)：optical resonator (光学谐振腔) 只允许特定 frequency (频率) 和 direction (方向) 的光振荡，形成 resonant mode (谐振模式)，提高 laser output (激光输出) 的 monochromaticity (单色性) 和 directionality (方向性)。
⚝ Output coupling (输出耦合)：optical resonator (光学谐振腔) 的一个 mirror (反射镜) (output coupler (输出耦合镜)) 具有一定的透射率，使一部分 amplified light (放大后的光) 输出，形成 laser beam (激光束)。

④ 激光的应用 (applications of lasers)

laser (激光) 由于其 unique properties (独特性质)，在科学研究、工程技术和日常生活中有着广泛的应用。

⚝ Communication (通信)：optical fiber communication (光纤通信) 利用 laser (激光) 作为 light source (光源)，在 optical fiber (光纤) 中传输 information (信息)，具有 bandwidth (带宽) 大、loss (损耗) 低、抗干扰能力强等优点。
⚝ Medical treatment (医疗)：laser surgery (激光手术) 利用 laser beam (激光束) 的 high energy density (高能量密度) 进行 cutting (切割)、coagulation (凝血)、vaporization (汽化) 等操作，具有 precision (精确度) 高、出血少、恢复快等优点。laser therapy (激光治疗) 用于 dermatology (皮肤科)、ophthalmology (眼科)、dentistry (牙科) 等。
⚝ Manufacturing (制造)：laser material processing (激光材料加工) 利用 laser beam (激光束) 进行 laser cutting (激光切割)、laser welding (激光焊接)、laser marking (激光打标)、laser drilling (激光打孔)、surface treatment (表面处理) 等，具有 precision (精度) 高、efficiency (效率) 高、变形小等优点。
⚝ Measurement and sensing (测量与传感)：laser rangefinder (激光测距仪) 利用 laser pulse time-of-flight (激光脉冲飞行时间) 测量距离。laser scanner (激光扫描仪) 用于 3D scanning (三维扫描) 和 measurement (测量)。laser gyroscope (激光陀螺仪) 用于 inertial navigation (惯性导航)。
⚝ Information technology (信息技术)：CD/DVD/Blu-ray players (光盘播放器) 利用 laser (激光) 读取 optical disc (光盘) 上的 information (信息)。laser printer (激光打印机) 利用 laser scanning (激光扫描) 和 electrostatic technology (静电技术) 进行 printing (打印)。
⚝ Scientific research (科学研究)：laser spectroscopy (激光光谱学) 利用 laser (激光) 进行 high-resolution spectroscopy (高分辨率光谱学) 研究 material properties (材料性质) 和 atomic and molecular structure (原子分子结构)。ultrafast laser spectroscopy (超快激光光谱学) 研究 ultrafast phenomena (超快现象) 和 chemical reactions (化学反应) 动力学。

随着 laser technology (激光技术) 的不断发展，laser (激光) 的应用领域还在不断拓展，将在未来科技和工程领域发挥越来越重要的作用。

5. 电磁学 (Electromagnetism)

章节概要

本章系统介绍静电场 (electrostatic field)、静磁场 (magnetostatic field)、时变电磁场 (time-varying electromagnetic field) 的基本理论，深入分析电磁感应 (electromagnetic induction)、Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 和电磁波 (electromagnetic wave)，为理解电磁现象的本质和电磁技术的应用提供理论基础。

5.1 静电场 (Electrostatics)

章节概要

介绍 electric charge (电荷)、Coulomb's law (库仑定律)、electric field (电场)、electric potential (电势)、capacitance (电容) 等静电场基本概念和规律，分析 conductor (导体)、dielectric (电介质) 在静电场中的 behavior (行为)，以及 electrostatic energy (静电能) 的计算。

5.1.1 电荷与库仑定律 (Electric Charge and Coulomb's Law)

章节概要

介绍 electric charge (电荷) 的基本性质，阐述 Coulomb's law (库仑定律)，分析 point charge (点电荷) 之间的相互作用力。

① 电荷 (Electric Charge) 的基本性质

⚝ 电荷是物质的一种基本属性，就像质量一样。电荷有两种类型：正电荷和负电荷。通常，我们用符号 \(q\) 或 \(Q\) 来表示电荷量，单位是 coulomb (库仑)，符号是 C。
⚝ 电荷守恒定律 (law of conservation of electric charge)：在一个 isolated system (孤立系统) 中，总电荷量保持不变。电荷不能被创造或消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者在一个物体内部从一部分转移到另一部分。
⚝ 电荷量子化 (quantization of electric charge)：任何物体所带电荷量 \(Q\) 都是 elementary charge (元电荷) \(e\) 的整数倍，即 \(Q = ne\)，其中 \(n\) 为整数，\(e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{C}\) 是一个基本常数，等于一个 proton (质子) 所带的正电荷量的大小，也等于一个 electron (电子) 所带的负电荷量的大小。

② 库仑定律 (Coulomb's Law)

⚝ 库仑定律描述了真空中两个静止 point charge (点电荷) 之间的相互作用力。力的大小与两个点电荷电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，力的方向沿着两个点电荷的连线。
⚝ 数学表达式：假设真空中存在两个静止 point charge (点电荷) \(q_1\) 和 \(q_2\)，它们之间的距离为 \(r\)。则 \(q_2\) 对 \(q_1\) 的作用力 \(\mathbf{F}_{12}\) 可以表示为：
\[ \mathbf{F}_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}}_{21} \]
▮▮▮▮其中，
▮▮▮▮\(k\) 是 electrostatic constant (静电力常量) 或 Coulomb's constant (库仑常量)，在真空中，\(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.988 \times 10^9 \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)。
▮▮▮▮\(\epsilon_0\) 是 vacuum permittivity (真空介电常数)，\(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)\)。
▮▮▮▮\(\mathbf{\hat{r}}_{21} = \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|}\) 是从 point charge (点电荷) \(q_2\) 指向 \(q_1\) 的 unit vector (单位矢量)。
⚝ 力的方向：如果 \(q_1\) 和 \(q_2\) 同号（同为正或同为负），则力为 repulsive force (斥力)，\(\mathbf{F}_{12}\) 的方向沿着 \(\mathbf{\hat{r}}_{21}\) 的方向，即远离 \(q_2\)。如果 \(q_1\) 和 \(q_2\) 异号（一个为正，另一个为负），则力为 attractive force (引力)，\(\mathbf{F}_{12}\) 的方向与 \(\mathbf{\hat{r}}_{21}\) 的方向相反，即指向 \(q_2\)。
⚝ 多个 point charge (点电荷) 的系统：如果存在多个 point charge (点电荷)，则作用在某个 point charge (点电荷) 上的总静电力是其他所有 point charge (点电荷) 对它的静电力的 vector sum (矢量和)，这称为 superposition principle (叠加原理)。例如，对于 \(N\) 个 point charge (点电荷) \(q_1, q_2, \ldots, q_N\)，作用在 \(q_1\) 上的总静电力为：
\[ \mathbf{F}_1 = \sum_{i=2}^{N} \mathbf{F}_{1i} = \sum_{i=2}^{N} k \frac{q_1 q_i}{r_{1i}^2} \mathbf{\hat{r}}_{i1} \]
▮▮▮▮其中，\(\mathbf{F}_{1i}\) 是 \(q_i\) 对 \(q_1\) 的静电力，\(r_{1i}\) 是 \(q_1\) 和 \(q_i\) 之间的距离，\(\mathbf{\hat{r}}_{i1}\) 是从 \(q_i\) 指向 \(q_1\) 的 unit vector (单位矢量)。

5.1.2 电场与电势 (Electric Field and Electric Potential)

章节概要

定义 electric field (电场) 和 electric potential (电势)，介绍 electric field lines (电场线) 和 equipotential surfaces (等势面)，分析电场强度和电势的计算方法。

① 电场 (Electric Field)

⚝ 为了描述电荷在空间中产生的 electric influence (电作用)，引入 electric field (电场) 的概念。electric field (电场) 是存在于带电物体周围空间中的一种特殊物质，它对放入其中的其他电荷施加 electric force (电场力)。
⚝ Electric field strength (电场强度) \(\mathbf{E}\)：定义为 test charge (试探电荷) \(q_0\) 在空间中某点所受的 electric force (电场力) \(\mathbf{F}\) 与 test charge (试探电荷) \(q_0\) 本身所带电荷量的比值：
\[ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q_0} \]
▮▮▮▮Electric field strength (电场强度) \(\mathbf{E}\) 是一个 vector field (矢量场)，单位是 Newton per Coulomb (牛顿每库仑) 或 Volt per meter (伏特每米)，即 N/C 或 V/m。
⚝ Point charge (点电荷) 的电场：对于一个 point charge (点电荷) \(Q\) 在真空中产生的电场，在距离 \(Q\) 为 \(r\) 的位置，electric field strength (电场强度) 的大小为：
\[ E = k \frac{|Q|}{r^2} \]
▮▮▮▮Electric field strength (电场强度) 的方向：对于 positive charge (正电荷) \(Q>0\)，电场方向 radial outward (沿径向向外)；对于 negative charge (负电荷) \(Q<0\)，电场方向 radial inward (沿径向向内)。
⚝ Electric field lines (电场线)：为了形象地描述 electric field (电场) 的分布，引入 electric field lines (电场线) 的概念。electric field lines (电场线) 是一些假想的曲线，沿着这些曲线每一点的 tangent direction (切线方向) 都与该点的 electric field strength (电场强度) \(\mathbf{E}\) 的方向一致。
▮▮▮▮Electric field lines (电场线) 的性质：
▮▮▮▮ⓐ 电场线从 positive charge (正电荷) 出发，终止于 negative charge (负电荷)，或者延伸到 infinity (无穷远)。
▮▮▮▮ⓑ 电场线的 density (疏密程度) 反映 electric field strength (电场强度) 的大小，电场线密的地方电场强，电场线疏的地方电场弱。
▮▮▮▮ⓒ Electric field lines (电场线) 永不相交。
▮▮▮▮ⓓ Electrostatic field (静电场) 的电场线是 open curves (开放曲线)，即有起点和终点。

② 电势 (Electric Potential)

⚝ Electric potential energy (电势能)：当 test charge (试探电荷) 在 electrostatic field (静电场) 中移动时，electrostatic force (静电力) 做功，导致 electric potential energy (电势能) 发生变化。类似于 gravitational potential energy (重力势能)，electric potential energy (电势能) 是 electrostatic field (静电场) 中的电荷所具有的 potential energy (势能)。
⚝ Electric potential (电势) \(\varphi\)：为了描述 electrostatic field (静电场) 本身的性质，引入 electric potential (电势) 的概念。electric potential (电势) 定义为 unit positive charge (单位正电荷) 在空间中某点所具有的 electric potential energy (电势能)。也可以定义为将 unit positive charge (单位正电荷) 从 reference point (参考点)（通常选为 infinity (无穷远) 或 ground (接地)）移动到空间中某点，electrostatic force (静电力) 所做的功的负值。
⚝ Electric potential (电势) \(\varphi\) 是一个 scalar field (标量场)，单位是 Volt (伏特)，符号是 V。
⚝ Point charge (点电荷) 的电势：对于一个 point charge (点电荷) \(Q\) 在真空中产生的电势，在距离 \(Q\) 为 \(r\) 的位置，electric potential (电势) 为：
\[ \varphi = k \frac{Q}{r} \]
▮▮▮▮通常选择 infinity (无穷远) 处的电势为零，即 \(\varphi(\infty) = 0\)。
⚝ 电势差 (potential difference) \(U_{AB}\)：空间中两点 A 和 B 之间的 potential difference (电势差) 定义为将 unit positive charge (单位正电荷) 从 A 点移动到 B 点，electrostatic force (静电力) 所做的功的负值，也等于 B 点的电势减去 A 点的电势：
\[ U_{AB} = \varphi_B - \varphi_A = -\int_{A}^{B} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]
⚝ Equipotential surfaces (等势面)：在 electrostatic field (静电场) 中，electric potential (电势) 相等的点构成的 surface (面) 称为 equipotential surface (等势面)。
▮▮▮▮Equipotential surfaces (等势面) 的性质：
▮▮▮▮ⓐ Equipotential surfaces (等势面) 与 electric field lines (电场线) 处处垂直。
▮▮▮▮ⓑ 在 equipotential surface (等势面) 上移动电荷，electrostatic force (静电力) 不做功。
▮▮▮▮ⓒ Equipotential surfaces (等势面) 永不相交。
⚝ 电场强度与电势的关系：electric field strength (电场强度) \(\mathbf{E}\) 是 electric potential (电势) \(\varphi\) 的 negative gradient (负梯度)：
\[ \mathbf{E} = -\nabla \varphi = -\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathbf{\hat{i}} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{\hat{j}} + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{\hat{k}} \right) \]
▮▮▮▮在 Cartesian coordinates (直角坐标系) 中。

5.1.3 导体与电介质 (Conductors and Dielectrics)

章节概要

介绍 conductor (导体) 和 dielectric (电介质) 的特性，分析 conductor (导体) 和 dielectric (电介质) 在静电场中的 behavior (行为)，如 electrostatic shielding (静电屏蔽)、polarization (极化) 等。

① 导体 (Conductor)

⚝ Conductor (导体) 是指容易导电的材料，例如 metals (金属) 和 electrolytic solution (电解液)。在 conductor (导体) 中，存在大量的 free charges (自由电荷)，如 metals (金属) 中的 free electrons (自由电子)。
⚝ Conductor (导体) 在 electrostatic equilibrium (静电平衡) 状态下的特性：
▮▮▮▮ⓐ Conductor (导体) 内部 electric field strength (电场强度) 处处为零，即 \(\mathbf{E}_{in} = 0\)。这是因为如果 conductor (导体) 内部存在 electric field (电场)，free charges (自由电荷) 将会在 electric force (电场力) 的作用下定向移动，直到 electric field (电场) 消失，达到 electrostatic equilibrium (静电平衡)。
▮▮▮▮ⓑ Conductor (导体) 是 equipotential body (等势体)，即 conductor (导体) 表面和内部各点的 electric potential (电势) 相等。因为如果 conductor (导体) 表面存在 potential difference (电势差)，则表面 electric field (电场) 的 tangent component (切向分量) 不为零，free charges (自由电荷) 将会沿着表面移动，直到 potential difference (电势差) 消失。
▮▮▮▮ⓒ Conductor (导体) 表面附近的 electric field lines (电场线) 垂直于 conductor (导体) 表面。这是因为如果 electric field lines (电场线) 与 conductor (导体) 表面不垂直，则 electric field (电场) 存在 tangent component (切向分量)，这与 conductor (导体) 是 equipotential surface (等势面) 矛盾。
▮▮▮▮ⓓ Net charge (净电荷) 只能分布在 conductor (导体) 的表面上。根据 Gauss's law (高斯定律)，在 conductor (导体) 内部取任意 closed Gaussian surface (高斯闭合曲面)，由于内部 electric field strength (电场强度) 为零，穿过 Gaussian surface (高斯曲面) 的 electric flux (电通量) 为零，因此 Gaussian surface (高斯曲面) 包围的 net charge (净电荷) 为零。这意味着 net charge (净电荷) 只能分布在 conductor (导体) 的表面上。
▮▮▮▮ⓔ Sharp points (尖端) 处的 charge density (电荷密度) 和 electric field strength (电场强度) 比较大。由于 conductor (导体) 表面 electric field lines (电场线) 垂直于表面，在 sharp points (尖端) 处，electric field lines (电场线) 比较集中，导致 charge density (电荷密度) 和 electric field strength (电场强度) 较大，这就是 lightning rod (避雷针) 的原理。
⚝ Electrostatic shielding (静电屏蔽)：利用 conductor shell (导体壳) 可以屏蔽外部 electrostatic field (静电场) 对其内部的影响，也能够屏蔽内部电场对外部的影响。例如，electronic instruments (电子仪器) 的 metal case (金属外壳) 就是为了防止外部 electromagnetic interference (电磁干扰)。

② 电介质 (Dielectric)

⚝ Dielectric (电介质) 是指不容易导电的材料，也称为 insulator (绝缘体)，例如 glass (玻璃)、rubber (橡胶)、plastic (塑料) 等。在 dielectric (电介质) 中，几乎没有 free charges (自由电荷)，但存在大量的 bound charges (束缚电荷)，如 atoms (原子) 和 molecules (分子) 中的 electrons (电子) 和 nuclei (原子核)。
⚝ Polarization (极化)：当 dielectric (电介质) 放入 external electric field (外电场) 中时，dielectric (电介质) 内部的 bound charges (束缚电荷) 会在 electric force (电场力) 的作用下发生微小位移，使得 molecule (分子) 形成 electric dipole moment (电偶极矩)，或者原本没有 electric dipole moment (电偶极矩) 的 molecule (分子) 被 induced (感应) 出 electric dipole moment (电偶极矩)。这种现象称为 polarization (极化)。
▮▮▮▮Polarization (极化) 的类型：
▮▮▮▮ⓐ Dipole polarization (偶极极化)：对于 polar molecules (极性分子) 组成的 dielectric (电介质)，如 water (水) molecule (分子)，molecule (分子) 本身具有 permanent electric dipole moment (永久电偶极矩)。在 external electric field (外电场) 作用下，electric dipole moment (电偶极矩) 的方向趋于与 electric field (电场) 方向一致。
▮▮▮▮ⓑ Ionic polarization (离子极化)：对于 ionic crystal (离子晶体) 组成的 dielectric (电介质)，如 NaCl crystal (氯化钠晶体)，positive ions (正离子) 和 negative ions (负离子) 在 external electric field (外电场) 作用下发生相对位移，导致 ionic crystal (离子晶体) 产生 net electric dipole moment (净电偶极矩)。
▮▮▮▮ⓒ Electronic polarization (电子极化)：对于 nonpolar molecules (非极性分子) 组成的 dielectric (电介质)，如 noble gas atoms (稀有气体原子)，在 external electric field (外电场) 作用下，electron cloud (电子云) 和 nucleus (原子核) 发生相对位移，molecule (分子) 被 induced (感应) 出 electric dipole moment (电偶极矩)。
▮▮▮▮ⓓ Interfacial polarization (界面极化)：对于 heterogeneous dielectric (非均匀电介质) 或 composite dielectric (复合电介质)，在不同介质界面处会积累 bound charges (束缚电荷)，形成 macroscopic electric dipole moment (宏观电偶极矩)。
⚝ Dielectric constant (介电常数) \(\epsilon_r\) 或 relative permittivity (相对介电常数)：描述 dielectric (电介质) 极化程度的物理量。定义为 vacuum permittivity (真空介电常数) \(\epsilon_0\) 与 dielectric permittivity (电介质介电常数) \(\epsilon\) 的比值：
\[ \epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]
▮▮▮▮Dielectric constant (介电常数) \(\epsilon_r\) 是 dimensionless quantity (无量纲量)，且 \(\epsilon_r \ge 1\)。Vacuum (真空) 的 dielectric constant (介电常数) \(\epsilon_r = 1\)。
⚝ Electric displacement (电位移) \(\mathbf{D}\)：为了描述 dielectric (电介质) 存在情况下的 electric field (电场)，引入 electric displacement (电位移) \(\mathbf{D}\) 的概念。在 linear homogeneous isotropic dielectric (线性均匀各向同性电介质) 中，electric displacement (电位移) \(\mathbf{D}\) 与 electric field strength (电场强度) \(\mathbf{E}\) 的关系为：
\[ \mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E} = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf{E} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \]
▮▮▮▮其中，\(\mathbf{P}\) 是 polarization vector (极化强度矢量)，表示 dielectric (电介质) 单位体积内的 electric dipole moment (电偶极矩)。
⚝ Gauss's law in dielectrics (介质中的高斯定律)：考虑 dielectric (电介质) 存在的情况下，Gauss's law (高斯定律) 的形式需要修改为：
\[ \oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q_{free, enc} \]
▮▮▮▮其中，\(Q_{free, enc}\) 是 Gaussian surface (高斯曲面) \(S\) 包围的 free charge (自由电荷) 的总电量。bound charge (束缚电荷) 的影响已经包含在 electric displacement (电位移) \(\mathbf{D}\) 中。

5.1.4 电容与静电能 (Capacitance and Electrostatic Energy)

章节概要

定义 capacitance (电容)，介绍 parallel plate capacitor (平行板电容器)、series and parallel connection of capacitors (电容器的串并联)，分析 electrostatic energy (静电能) 的计算方法。

① 电容 (Capacitance)

⚝ Capacitor (电容器) 是一种储存 electric charge (电荷) 和 electrostatic energy (静电能) 的 device (器件)，通常由两个 mutually insulated conductors (相互绝缘的导体) 组成，这两个 conductors (导体) 称为 plates (极板)。当 capacitor (电容器) 充电时，一个 plate (极板) 积累 positive charge (正电荷)，另一个 plate (极板) 积累 negative charge (负电荷)，两个 plates (极板) 之间形成 potential difference (电势差)。
⚝ Capacitance (电容) \(C\)：定义为 capacitor (电容器) 储存的 charge (电荷) 量 \(Q\) 与 plates (极板) 之间的 potential difference (电势差) \(U\) 的比值：
\[ C = \frac{Q}{U} \]
▮▮▮▮Capacitance (电容) \(C\) 的单位是 Farad (法拉)，符号是 F。1 F = 1 C/V。在实际应用中，常用的电容单位有 microfarad (微法)，\(\mu\)F，nanofarad (纳法)，nF，picofarad (皮法)，pF。
⚝ Parallel plate capacitor (平行板电容器)：由两块平行的 metal plates (金属板) 组成，plates (极板) 面积为 \(A\)，plates (极板) 之间的距离为 \(d\)，plates (极板) 之间填充 dielectric (电介质)，dielectric constant (介电常数) 为 \(\epsilon_r\)。parallel plate capacitor (平行板电容器) 的 capacitance (电容) 为：
\[ C = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{A}{d} \]
▮▮▮▮如果 plates (极板) 之间是 vacuum (真空) 或 air (空气)，则 \(\epsilon_r \approx 1\)，\(C = \epsilon_0 \frac{A}{d}\)。
⚝ Cylindrical capacitor (圆柱形电容器) 和 spherical capacitor (球形电容器) 也有特定的 capacitance (电容) 计算公式，可以根据 Gauss's law (高斯定律) 和电势的定义推导得出。

② 电容器的串并联 (Series and Parallel Connection of Capacitors)

⚝ Series connection of capacitors (电容器的串联)：将多个 capacitor (电容器) 首尾相连，串联后总 capacitance (总电容) \(C_{series}\) 的倒数等于各个 capacitor (电容器) capacitance (电容) 倒数之和：
\[ \frac{1}{C_{series}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n} \]
▮▮▮▮串联 capacitor (电容器) 的特点是，每个 capacitor (电容器) 上的 charge (电荷) 量相等，总 voltage (电压) 等于各个 capacitor (电容器) voltage (电压) 之和。
⚝ Parallel connection of capacitors (电容器的并联)：将多个 capacitor (电容器) 的首端和尾端分别连接在一起，并联后总 capacitance (总电容) \(C_{parallel}\) 等于各个 capacitor (电容器) capacitance (电容) 之和：
\[ C_{parallel} = C_1 + C_2 + \cdots + C_n \]
▮▮▮▮并联 capacitor (电容器) 的特点是，每个 capacitor (电容器) 上的 voltage (电压) 相等，总 charge (电荷) 量等于各个 capacitor (电容器) charge (电荷) 量之和。

③ 静电能 (Electrostatic Energy)

⚝ Electrostatic energy (静电能) 是指 electrostatic field (静电场) 中储存的 energy (能量)，也等于将 capacitor (电容器) 充电到一定 voltage (电压) 所需做的功。electrostatic energy (静电能) \(E\) 可以用以下公式计算：
\[ E = \frac{1}{2} Q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{Q^2}{2C} \]
▮▮▮▮其中，\(Q\) 是 capacitor (电容器) 储存的 charge (电荷) 量，\(U\) 是 plates (极板) 之间的 potential difference (电势差)，\(C\) 是 capacitance (电容)。
⚝ Energy density (能量密度) \(u_E\)：定义为单位体积内 electrostatic field (静电场) 储存的 electrostatic energy (静电能)。对于 vacuum (真空) 或 linear homogeneous isotropic dielectric (线性均匀各向同性电介质)，energy density (能量密度) 可以表示为：
\[ u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 \epsilon_r E^2 = \frac{1}{2} \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} \]
▮▮▮▮Total electrostatic energy (总静电能) 可以通过对 energy density (能量密度) 在空间中积分得到：
\[ E = \int_{V} u_E dV = \int_{V} \frac{1}{2} \epsilon_0 \epsilon_r E^2 dV \]

5.2 静磁场 (Magnetostatics)

章节概要

介绍 magnetic field (磁场)、magnetic force (磁场力)、Biot-Savart law (毕奥-萨伐尔定律)、Ampere's law (安培环路定律)、magnetic induction (磁感应) 等静磁场基本概念和规律，分析磁场对 moving charges (运动电荷) 和 current-carrying conductors (载流导体) 的作用，以及磁介质的磁化现象。

5.2.1 磁场与磁场力 (Magnetic Field and Magnetic Force)

章节概要

定义 magnetic field (磁场)，介绍 magnetic force (磁场力) 的 Lorentz force (洛伦兹力) 公式，分析磁场对 moving charges (运动电荷) 的作用。

① 磁场 (Magnetic Field)

⚝ Magnetic field (磁场) 是存在于 magnet (磁体)、current-carrying conductor (载流导体) 周围空间中的一种特殊物质，它对放入其中的 moving charges (运动电荷) 或 current-carrying conductor (载流导体) 施加 magnetic force (磁场力)。
⚝ Magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\)：用来描述 magnetic field (磁场) 强弱和方向的物理量，是一个 vector field (矢量场)，也称为 magnetic flux density (磁通量密度)。单位是 Tesla (特斯拉)，符号是 T，或者 Weber per square meter (韦伯每平方米)，Wb/m\(^2\)。在 CGS units (厘米-克-秒单位制) 中，常用 unit (单位) 是 Gauss (高斯)，1 T = 10\(^4\) Gauss。
⚝ Magnetic field lines (磁感线)：为了形象地描述 magnetic field (磁场) 的分布，引入 magnetic field lines (磁感线) 的概念。magnetic field lines (磁感线) 是一些假想的闭合曲线，沿着这些曲线每一点的 tangent direction (切线方向) 都与该点的 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 的方向一致。
▮▮▮▮Magnetic field lines (磁感线) 的性质：
▮▮▮▮ⓐ Magnetic field lines (磁感线) 是 closed curves (闭合曲线)，没有起点和终点。在 magnet (磁体) 外部，magnetic field lines (磁感线) 从 N pole (N极) 出发，回到 S pole (S极)；在 magnet (磁体) 内部，magnetic field lines (磁感线) 从 S pole (S极) 指向 N pole (N极)，形成闭合回路。
▮▮▮▮ⓑ Magnetic field lines (磁感线) 的 density (疏密程度) 反映 magnetic induction (磁感应强度) 的大小，magnetic field lines (磁感线) 密的地方 magnetic field (磁场) 强，magnetic field lines (磁感线) 疏的地方 magnetic field (磁场) 弱。
▮▮▮▮ⓒ Magnetic field lines (磁感线) 永不相交。
▮▮▮▮ⓓ Magnetic field lines (磁感线) 的总数称为 magnetic flux (磁通量)。

② 磁场力 (Magnetic Force) - 洛伦兹力 (Lorentz Force)

⚝ Lorentz force (洛伦兹力) 是指 moving charge (运动电荷) 在 magnetic field (磁场) 中所受的力。对于 charge (电荷) 量为 \(q\)，velocity (速度) 为 \(\mathbf{v}\) 的 point charge (点电荷)，在 magnetic induction (磁感应强度) 为 \(\mathbf{B}\) 的 magnetic field (磁场) 中，所受 Lorentz force (洛伦兹力) \(\mathbf{F}_B\) 为：
\[ \mathbf{F}_B = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]
▮▮▮▮其中，\(\times\) 表示 cross product (矢量叉乘)。
⚝ Lorentz force (洛伦兹力) 的方向：根据 right-hand rule (右手定则) 确定。将右手四指指向 velocity (速度) \(\mathbf{v}\) 的方向，弯曲四指使其指向 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 的方向，则 thumb (拇指) 所指方向为 positive charge (正电荷) 所受 Lorentz force (洛伦兹力) 的方向。negative charge (负电荷) 所受 Lorentz force (洛伦兹力) 的方向与 right-hand rule (右手定则) 确定的方向相反。
⚝ Lorentz force (洛伦兹力) 的特点：
▮▮▮▮ⓐ Lorentz force (洛伦兹力) 的方向 always (总是) 垂直于 velocity (速度) \(\mathbf{v}\) 和 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 所在的平面。
▮▮▮▮ⓑ Lorentz force (洛伦兹力) 对 moving charge (运动电荷) 不做功，即 power (功率) \(P = \mathbf{F}_B \cdot \mathbf{v} = (q \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v} = 0\)。Lorentz force (洛伦兹力) 只能改变 moving charge (运动电荷) 的 velocity direction (速度方向)，不能改变 speed (速率) 和 kinetic energy (动能)。
⚝ Combined electric and magnetic fields (电场和磁场的组合)：如果空间中同时存在 electric field (电场) \(\mathbf{E}\) 和 magnetic field (磁场) \(\mathbf{B}\)，则 charge (电荷) 量为 \(q\)，velocity (速度) 为 \(\mathbf{v}\) 的 point charge (点电荷) 所受的总 electromagnetic force (电磁力) \(\mathbf{F}\) 为：
\[ \mathbf{F} = \mathbf{F}_E + \mathbf{F}_B = q \mathbf{E} + q \mathbf{v} \times \mathbf{B} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
▮▮▮▮这就是 generalized Lorentz force formula (广义洛伦兹力公式)。

5.2.2 电流的磁场：毕奥-萨伐尔定律与安培环路定律 (Magnetic Field of Current: Biot-Savart Law and Ampere's Law)

章节概要

阐述 Biot-Savart law (毕奥-萨伐尔定律) 和 Ampere's law (安培环路定律)，分析直导线、circular current loop (圆形电流环)、solenoid (螺线管) 等典型电流分布产生的 magnetic field (磁场) 。

① 毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart Law)

⚝ Biot-Savart law (毕奥-萨伐尔定律) 描述了 steady current (稳恒电流) 的 infinitesimal current element (电流元) \(Id\mathbf{l}\) 在空间某点产生的 magnetic induction (磁感应强度) \(d\mathbf{B}\)。
⚝ 假设在真空中，current (电流) 为 \(I\) 的 conductor (导线) 中取 infinitesimal length element (无限小长度元) \(d\mathbf{l}\)，位置 vector (矢量) 为 \(\mathbf{r}'\)，要计算在位置 vector (矢量) 为 \(\mathbf{r}\) 的 P 点产生的 magnetic induction (磁感应强度) \(d\mathbf{B}\)。根据 Biot-Savart law (毕奥-萨伐尔定律)：
\[ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2} \]
▮▮▮▮其中，
▮▮▮▮\(\mu_0\) 是 vacuum permeability (真空磁导率)，\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}\) 是一个基本常数。
▮▮▮▮\(\mathbf{r} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'\) 是从 current element (电流元) \(Id\mathbf{l}\) 指向 P 点的 displacement vector (位移矢量)，\(r = |\mathbf{r}|\) 是距离。
▮▮▮▮\(\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}\) 是 unit vector (单位矢量)。
⚝ Magnetic induction (磁感应强度) \(d\mathbf{B}\) 的方向：根据 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。将右手四指指向 current direction (电流方向) \(d\mathbf{l}\) 的方向，弯曲四指使其指向 displacement vector (位移矢量) \(\mathbf{r}\) 的方向，则 thumb (拇指) 所指方向为 \(d\mathbf{B}\) 的方向。
⚝ 对于 finite length current (有限长电流) 产生的 magnetic field (磁场)，需要对整个 current distribution (电流分布) 进行积分：
\[ \mathbf{B} = \int d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{Id\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2} \]

② 安培环路定律 (Ampere's Law)

⚝ Ampere's law (安培环路定律) 描述了 steady current (稳恒电流) 与其产生的 magnetic field (磁场) 之间的关系，特别适用于具有 high symmetry (高对称性) 的电流分布，如 infinite straight wire (无限长直导线)、infinite solenoid (无限长螺线管) 等。
⚝ Ampere's law integral form (安培环路定律的积分形式)：沿任意 closed loop (闭合环路) \(L\) 对 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 进行 line integral (线积分)，结果等于 \(\mu_0\) 乘以穿过 loop (环路) 所围面积的 total current (总电流) \(I_{enc}\)：
\[ \oint_{L} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{enc} \]
▮▮▮▮其中，\(I_{enc}\) 是穿过 loop (环路) \(L\) 所围面积的 total current (总电流) 的 algebraic sum (代数和)，current direction (电流方向) 与 loop direction (环路方向) 之间满足 right-hand rule (右手螺旋定则)。
⚝ Ampere's law differential form (安培环路定律的微分形式) (Maxwell-Ampere law (麦克斯韦-安培定律) 的静态形式)：
\[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \]
▮▮▮▮其中，\(\mathbf{J}\) 是 current density (电流密度)。

③ 典型电流分布的磁场 (Magnetic Field of Typical Current Distributions)

⚝ Infinite straight wire (无限长直导线)：current (电流) 为 \(I\) 的 infinite straight wire (无限长直导线) 在距离导线为 \(r\) 的位置产生的 magnetic induction (磁感应强度) 的大小为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
▮▮▮▮Magnetic field lines (磁感线) 是以导线为轴心的 concentric circles (同心圆)，magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 的方向根据 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。
⚝ Circular current loop (圆形电流环)：radius (半径) 为 \(R\)，current (电流) 为 \(I\) 的 circular current loop (圆形电流环) 在 loop axis (环轴线) 上距离 loop center (环中心) 为 \(x\) 的位置产生的 magnetic induction (磁感应强度) 在轴线方向的分量为：
\[ B_x = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} \]
▮▮▮▮在 loop center (环中心) 处 (\(x=0\))，magnetic induction (磁感应强度) 最大：
\[ B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R} \]
▮▮▮▮Magnetic field lines (磁感线) 类似于 short bar magnet (短条形磁铁) 的 magnetic field (磁场)。
⚝ Solenoid (螺线管)：tightly wound solenoid (密绕螺线管) 在其内部产生的 magnetic field (磁场) 近似为 uniform magnetic field (匀强磁场)。对于 infinite solenoid (无限长螺线管)，内部 magnetic induction (磁感应强度) 的大小为：
\[ B = \mu_0 n I \]
▮▮▮▮其中，\(n = N/L\) 是 unit length (单位长度) 上的 turns (匝数)，\(I\) 是 current (电流)。magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 的方向沿着 solenoid axis (螺线管轴线) 方向，根据 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。在 solenoid (螺线管) 外部，magnetic field (磁场) 近似为零。
⚝ Toroid (环形螺线管)：tightly wound toroid (密绕环形螺线管) 在其内部产生的 magnetic field (磁场) 主要集中在 toroid (环形螺线管) 内部。对于 toroid (环形螺线管) 内部，magnetic induction (磁感应强度) 的大小为：
\[ B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} \]
▮▮▮▮其中，\(N\) 是 toroid (环形螺线管) 的 total turns (总匝数)，\(r\) 是 toroid (环形螺线管) 内部某点到 toroid axis (环形螺线管轴线) 的 radial distance (径向距离)。magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 的方向沿着 toroid axis (环形螺线管轴线) 的 tangent direction (切线方向)，根据 right-hand rule (右手螺旋定则) 确定。在 toroid (环形螺线管) 外部，magnetic field (磁场) 近似为零。

5.2.3 磁介质与磁化 (Magnetic Materials and Magnetization)

章节概要

介绍 magnetic materials (磁介质) 的分类，如 diamagnetism (抗磁性)、paramagnetism (顺磁性)、ferromagnetism (铁磁性)，分析磁介质的 magnetization (磁化) 现象。

① 磁介质 (Magnetic Materials) 的分类

⚝ Magnetic materials (磁介质) 是指能够被 magnetic field (磁场) 磁化的物质。根据 magnetic properties (磁性) 的不同，magnetic materials (磁介质) 可以分为 diamagnetic materials (抗磁质)、paramagnetic materials (顺磁质) 和 ferromagnetic materials (铁磁质) 三类。
⚝ Diamagnetism (抗磁性)：diamagnetic materials (抗磁质) 的 magnetic susceptibility (磁化率) \(\chi_m < 0\)，且 \(|\chi_m| \ll 1\)。当 diamagnetic materials (抗磁质) 放入 external magnetic field (外磁场) 中时，会被 weakly magnetized (弱磁化)，magnetization direction (磁化方向) 与 external magnetic field (外磁场) 方向相反，external magnetic field (外磁场) 会被 slightly weakened (稍微减弱)。例如，copper (铜)、silver (银)、gold (金)、water (水) 等是 diamagnetic materials (抗磁质)。diamagnetism (抗磁性) 是所有物质都具有的一种 basic magnetic property (基本磁性)。
⚝ Paramagnetism (顺磁性)：paramagnetic materials (顺磁质) 的 magnetic susceptibility (磁化率) \(\chi_m > 0\)，且 \(|\chi_m| \ll 1\)。当 paramagnetic materials (顺磁质) 放入 external magnetic field (外磁场) 中时，会被 weakly magnetized (弱磁化)，magnetization direction (磁化方向) 与 external magnetic field (外磁场) 方向相同，external magnetic field (外磁场) 会被 slightly strengthened (稍微增强)。例如，aluminum (铝)、platinum (铂)、oxygen (氧气) 等是 paramagnetic materials (顺磁质)。paramagnetism (顺磁性) 主要来源于 atoms (原子) 或 molecules (分子) 的 permanent magnetic dipole moment (永久磁偶极矩)。
⚝ Ferromagnetism (铁磁性)：ferromagnetic materials (铁磁质) 的 magnetic susceptibility (磁化率) \(\chi_m \gg 1\)，为 positive and very large (正值且非常大)。当 ferromagnetic materials (铁磁质) 放入 external magnetic field (外磁场) 中时，会被 strongly magnetized (强磁化)，magnetization direction (磁化方向) 与 external magnetic field (外磁场) 方向相同，external magnetic field (外磁场) 会被 greatly strengthened (大大增强)。即使 external magnetic field (外磁场) 消失后，ferromagnetic materials (铁磁质) 仍然能够保留 magnetization (磁化)，形成 permanent magnet (永磁体)。例如，iron (铁)、cobalt (钴)、nickel (镍) 及其 alloys (合金) 是 ferromagnetic materials (铁磁质)。ferromagnetism (铁磁性) 主要来源于 ferromagnetic domain (铁磁畴) 的 spontaneous magnetization (自发磁化) 和 domain wall (畴壁) 的移动。

② 磁化 (Magnetization)

⚝ Magnetization (磁化) 是指 magnetic materials (磁介质) 在 external magnetic field (外磁场) 作用下，内部产生 macroscopic magnetic moment (宏观磁矩) 的现象。magnetization (磁化) 程度可以用 magnetization vector (磁化强度矢量) \(\mathbf{M}\) 来描述，定义为 magnetic material (磁介质) 单位体积内的 average magnetic dipole moment (平均磁偶极矩)。
⚝ Magnetic susceptibility (磁化率) \(\chi_m\)：描述 magnetic material (磁介质) 磁化难易程度的物理量。在 linear homogeneous isotropic magnetic material (线性均匀各向同性磁介质) 中，magnetization vector (磁化强度矢量) \(\mathbf{M}\) 与 magnetic field intensity (磁场强度) \(\mathbf{H}\) 的关系为：
\[ \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} \]
▮▮▮▮Magnetic susceptibility (磁化率) \(\chi_m\) 是 dimensionless quantity (无量纲量)。diamagnetic materials (抗磁质) 的 \(\chi_m < 0\)，paramagnetic materials (顺磁质) 的 \(\chi_m > 0\)，ferromagnetic materials (铁磁质) 的 \(\chi_m \gg 1\)。
⚝ Magnetic field intensity (磁场强度) \(\mathbf{H}\)：为了描述 magnetic material (磁介质) 存在情况下的 magnetic field (磁场)，引入 magnetic field intensity (磁场强度) \(\mathbf{H}\) 的概念。magnetic field intensity (磁场强度) \(\mathbf{H}\) 与 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 和 magnetization vector (磁化强度矢量) \(\mathbf{M}\) 的关系为：
\[ \mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M}) = \mu_0 (1 + \chi_m) \mathbf{H} = \mu \mathbf{H} \]
▮▮▮▮其中，\(\mu = \mu_0 (1 + \chi_m) = \mu_0 \mu_r\) 是 magnetic permeability (磁导率)，\(\mu_r = 1 + \chi_m\) 是 relative permeability (相对磁导率)。
⚝ Ampere's law in magnetic materials (磁介质中的安培环路定律)：考虑 magnetic material (磁介质) 存在的情况下，Ampere's law (安培环路定律) 的形式需要修改为：
\[ \oint_{L} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{free, enc} \]
▮▮▮▮其中，\(I_{free, enc}\) 是穿过 loop (环路) \(L\) 所围面积的 free current (自由电流) 的总电流。magnetization current (磁化电流) 的影响已经包含在 magnetic field intensity (磁场强度) \(\mathbf{H}\) 中。
⚝ Magnetic energy density in magnetic materials (磁介质中的磁场能量密度)：magnetic field energy density (磁场能量密度) \(u_B\) 可以表示为：
\[ u_B = \frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} = \frac{B^2}{2\mu} = \frac{\mu H^2}{2} \]
▮▮▮▮Total magnetic energy (总磁场能量) 可以通过对 energy density (能量密度) 在空间中积分得到：
\[ E_B = \int_{V} u_B dV = \int_{V} \frac{1}{2} \mathbf{B} \cdot \mathbf{H} dV \]

5.3 时变电磁场与电磁感应 (Time-Varying Electromagnetic Fields and Electromagnetic Induction)

章节概要

介绍 electromagnetic induction (电磁感应) 现象和 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)，分析 induced electromotive force (感应电动势) 和 induced current (感应电流) 的产生，以及 self-induction (自感) 和 mutual inductance (互感) 现象。

5.3.1 电磁感应与法拉第定律 (Electromagnetic Induction and Faraday's Law)

章节概要

介绍 electromagnetic induction (电磁感应) 现象，阐述 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)，分析 induced electromotive force (感应电动势) 的产生机制。

① 电磁感应 (Electromagnetic Induction) 现象

⚝ Electromagnetic induction (电磁感应) 现象是指当穿过 closed circuit (闭合回路) 的 magnetic flux (磁通量) 发生变化时，circuit (回路) 中会产生 induced electromotive force (感应电动势)，如果 circuit (回路) 是 closed (闭合的)，则会产生 induced current (感应电流)。
⚝ 产生电磁感应的条件：穿过 closed circuit (闭合回路) 的 magnetic flux (磁通量) 必须发生变化。magnetic flux (磁通量) 的变化可以通过以下方式实现：
▮▮▮▮ⓐ Magnetic induction (磁感应强度) \(B\) 的大小随时间变化。
▮▮▮▮ⓑ Closed circuit (闭合回路) 的 area (面积) \(S\) 随时间变化。
▮▮▮▮ⓒ Closed circuit (闭合回路) 的 orientation (取向) 与 magnetic field (磁场) 方向之间的角度 \(\theta\) 随时间变化。
⚝ Magnetic flux (磁通量) \(\Phi_B\)：穿过 surface (面) \(S\) 的 magnetic flux (磁通量) 定义为 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 在 surface (面) \(S\) 上的 surface integral (面积分)：
\[ \Phi_B = \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = \int_{S} B \cos\theta dA \]
▮▮▮▮其中，\(\theta\) 是 magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 与 surface element (面元) \(d\mathbf{S}\) 的 normal direction (法线方向) 之间的 angle (夹角)。magnetic flux (磁通量) \(\Phi_B\) 的单位是 Weber (韦伯)，符号是 Wb。1 Wb = 1 T·m\(^2\)。

② 法拉第电磁感应定律 (Faraday's Law of Induction)

⚝ Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律) 定量描述了 induced electromotive force (感应电动势) 的大小与 magnetic flux (磁通量) 变化率之间的关系。
⚝ Faraday's law integral form (法拉第电磁感应定律的积分形式)：closed circuit (闭合回路) 中产生的 induced electromotive force (感应电动势) \(\mathcal{E}_{ind}\) 等于穿过 circuit (回路) 所围 surface (面) 的 magnetic flux (磁通量) \(\Phi_B\) 对时间的 negative rate of change (负时间变化率)：
\[ \mathcal{E}_{ind} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} \]
▮▮▮▮Negative sign (负号) 表示 Lenz's law (楞次定律)，即 induced current (感应电流) 的 magnetic field (磁场) always (总是) 阻碍引起 magnetic flux (磁通量) 变化的原因。
⚝ Faraday's law differential form (法拉第电磁感应定律的微分形式) (Maxwell-Faraday law (麦克斯韦-法拉第定律))：
\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]
▮▮▮▮这个方程表明，time-varying magnetic field (时变磁场) 会产生 curl (旋度) 不为零的 electric field (电场)，即 non-conservative electric field (非保守电场)。区别于 electrostatic field (静电场) 是 conservative field (保守场)，其 curl (旋度) 为零 (\(\nabla \times \mathbf{E} = 0\))。
⚝ Induced current direction (感应电流方向) - 楞次定律 (Lenz's Law)：induced current (感应电流) 的方向总是使其自身的 magnetic field (磁场) 阻碍引起 induced current (感应电流) 的 magnetic flux (磁通量) 的变化。简而言之，"来拒去留"。
▮▮▮▮如果 original magnetic flux (原磁通量) 增加，induced current (感应电流) 的 magnetic field (磁场) 方向与 original magnetic field (原磁场) 方向相反，以阻碍 magnetic flux (磁通量) 的增加。
▮▮▮▮如果 original magnetic flux (原磁通量) 减少，induced current (感应电流) 的 magnetic field (磁场) 方向与 original magnetic field (原磁场) 方向相同，以阻碍 magnetic flux (磁通量) 的减少。

5.3.2 动生电动势与感生电动势 (Motional EMF and Induced EMF)

章节概要

区分 motional EMF (动生电动势) 和 induced EMF (感生电动势)，分析其产生条件和计算方法。

① 动生电动势 (Motional Electromotive Force, Motional EMF)

⚝ Motional EMF (动生电动势) 是指 conductor (导体) 在 magnetic field (磁场) 中运动时，由于 Lorentz force (洛伦兹力) 的作用，conductor (导体) 两端产生的 electromotive force (电动势)。
⚝ 假设 length (长度) 为 \(l\) 的 straight conductor (直导线) 以 velocity (速度) \(\mathbf{v}\) 在 uniform magnetic field (匀强磁场) \(\mathbf{B}\) 中运动，velocity (速度) \(\mathbf{v}\) 与 conductor (导体) 和 magnetic field (磁场) \(\mathbf{B}\) 均垂直。conductor (导体) 中的 free charges (自由电荷) (假设为 positive charge (正电荷)) 所受 Lorentz force (洛伦兹力) \(\mathbf{F}_B = q \mathbf{v} \times \mathbf{B}\)。Lorentz force (洛伦兹力) 沿着 conductor (导体) 方向的分量为 \(F_{B,l} = qvB\)。
⚝ Motional electromotive force (动生电动势) \(\mathcal{E}_m\) 等于 Lorentz force (洛伦兹力) 对 unit positive charge (单位正电荷) 沿着 conductor (导体) 移动所做的功：
\[ \mathcal{E}_m = \int (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l} = vlB \]
▮▮▮▮对于 velocity (速度) \(\mathbf{v}\)、magnetic induction (磁感应强度) \(\mathbf{B}\) 和 conductor (导体) direction (方向) \(\mathbf{l}\) 不垂直的情况，motional electromotive force (动生电动势) 为：
\[ \mathcal{E}_m = \int (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l} \]
⚝ Motional EMF (动生电动势) 的本质：Lorentz force (洛伦兹力) 对 conductor (导体) 中的 free charges (自由电荷) 做功，将 other forms of energy (其他形式的能量) 转化为 electrical energy (电能)。

② 感生电动势 (Induced Electromotive Force, Induced EMF)

⚝ Induced EMF (感生电动势) 是指由于 time-varying magnetic field (时变磁场) 引起的 electromotive force (电动势)。根据 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)，induced EMF (感生电动势) \(\mathcal{E}_{ind}\) 等于 magnetic flux (磁通量) \(\Phi_B\) 对时间的 negative rate of change (负时间变化率)：
\[ \mathcal{E}_{ind} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} \]
⚝ Induced EMF (感生电动势) 的本质：time-varying magnetic field (时变磁场) 产生 non-conservative electric field (非保守电场)，non-conservative electric field (非保守电场) 对 charge (电荷) 做功，将 magnetic field energy (磁场能量) 转化为 electrical energy (电能)。

③ 动生电动势与感生电动势的统一

⚝ 从 relativistic point of view (相对论的角度) 来看，motional EMF (动生电动势) 和 induced EMF (感生电动势) 本质上是同一种现象，都是 electromagnetic induction (电磁感应) 的 special case (特殊情况)。
⚝ 无论 magnetic flux (磁通量) 的变化是由于 conductor (导体) 运动引起的，还是由于 magnetic field (磁场) 本身随时间变化引起的，circuit (回路) 中都会产生 electromotive force (电动势)。
⚝ Generalized Faraday's law (广义法拉第定律)：closed circuit (闭合回路) 中产生的 total electromotive force (总电动势) \(\mathcal{E}\) 等于 motional EMF (动生电动势) \(\mathcal{E}_m\) 和 induced EMF (感生电动势) \(\mathcal{E}_{ind}\) 的 vector sum (矢量和)：
\[ \mathcal{E} = \mathcal{E}_m + \mathcal{E}_{ind} = \oint_{L} (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l} - \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} \]
▮▮▮▮在 low velocity limit (低速近似) 下，motional EMF (动生电动势) 和 induced EMF (感生电动势) 可以近似认为是 independent (独立的)，可以分别计算然后相加。

5.3.3 自感与互感 (Self-Inductance and Mutual Inductance)

章节概要

介绍 self-induction (自感) 和 mutual inductance (互感) 现象，定义 inductance (电感)，分析 inductor (电感器) 的能量存储。

① 自感 (Self-Inductance)

⚝ Self-induction (自感) 现象是指当 circuit (回路) 中 current (电流) 发生变化时，current (电流) 自身产生的 time-varying magnetic field (时变磁场) 会在 circuit (回路) 自身中 induced (感应) 出 electromotive force (电动势) 的现象。这种 induced electromotive force (感应电动势) 称为 self-induced electromotive force (自感电动势) 或 back electromotive force (反电动势)。
⚝ Self-inductance (自感) \(L\)：描述 circuit (回路) 产生 self-induction (自感) 能力的物理量。定义为 circuit (回路) 的 magnetic flux (磁通量) linkage (磁链) \(\Lambda\) 与 current (电流) \(I\) 的比值：
\[ L = \frac{\Lambda}{I} = \frac{N\Phi_B}{I} \]
▮▮▮▮其中，\(\Lambda = N\Phi_B\) 是 magnetic flux linkage (磁链)，\(N\) 是 circuit (回路) 的 turns (匝数)，\(\Phi_B\) 是穿过 each turn (每匝) 的 magnetic flux (磁通量)。self-inductance (自感) \(L\) 的 unit (单位) 是 Henry (亨利)，符号是 H。1 H = 1 Wb/A。
⚝ Self-induced electromotive force (自感电动势) \(\mathcal{E}_L\)：根据 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)，self-induced electromotive force (自感电动势) \(\mathcal{E}_L\) 为：
\[ \mathcal{E}_L = - \frac{d\Lambda}{dt} = - \frac{d(LI)}{dt} = -L \frac{dI}{dt} \]
▮▮▮▮Negative sign (负号) 表示 self-induced electromotive force (自感电动势) 总是阻碍 current (电流) 的变化，即当 current (电流) 增加时，self-induced electromotive force (自感电动势) 与 current (电流) 方向相反，起阻碍作用；当 current (电流) 减少时，self-induced electromotive force (自感电动势) 与 current (电流) 方向相同，起增强作用。
⚝ Solenoid (螺线管) 的 self-inductance (自感)：对于 long solenoid (长螺线管)，self-inductance (自感) 可以近似表示为：
\[ L = \mu_0 n^2 A l N = \mu_0 n^2 V \]
▮▮▮▮其中，\(n\) 是 unit length (单位长度) 上的 turns (匝数)，\(A\) 是 solenoid cross-sectional area (螺线管横截面积)，\(l\) 是 solenoid length (螺线管长度)，\(N\) 是 total turns (总匝数)，\(V = Al\) 是 solenoid volume (螺线管体积)。

② 互感 (Mutual Inductance)

⚝ Mutual inductance (互感) 现象是指当 one circuit (一个回路) 中 current (电流) 发生变化时，其产生的 time-varying magnetic field (时变磁场) 会在 another nearby circuit (另一个临近回路) 中 induced (感应) 出 electromotive force (电动势) 的现象。
⚝ Mutual inductance (互感) \(M_{12}\)：描述 circuit 1 对 circuit 2 的互感能力的物理量。定义为 due to circuit 1's current (由于回路1的电流) 在 circuit 2 中产生的 magnetic flux linkage (磁链) \(\Lambda_{21}\) 与 circuit 1 的 current (电流) \(I_1\) 的比值：
\[ M_{21} = \frac{\Lambda_{21}}{I_1} = \frac{N_2 \Phi_{B21}}{I_1} \]
▮▮▮▮其中，\(\Lambda_{21} = N_2 \Phi_{B21}\) 是 due to circuit 1's current (由于回路1的电流) 在 circuit 2 中产生的 magnetic flux linkage (磁链)，\(N_2\) 是 circuit 2 的 turns (匝数)，\(\Phi_{B21}\) 是 due to circuit 1's current (由于回路1的电流) 穿过 circuit 2 each turn (每匝) 的 magnetic flux (磁通量)。mutual inductance (互感) \(M_{21}\) 的 unit (单位) 也是 Henry (亨利)，H。
⚝ Mutual induced electromotive force (互感电动势) \(\mathcal{E}_{21}\) 在 circuit 2 中 due to circuit 1's current change (由于回路1的电流变化) 为：
\[ \mathcal{E}_{21} = - \frac{d\Lambda_{21}}{dt} = - \frac{d(M_{21}I_1)}{dt} = -M_{21} \frac{dI_1}{dt} \]
⚝ Similarly (类似地)，mutual inductance (互感) \(M_{12}\) of circuit 2 on circuit 1 (回路2对回路1的互感) 定义为：
\[ M_{12} = \frac{\Lambda_{12}}{I_2} = \frac{N_1 \Phi_{B12}}{I_2} \]
⚝ Mutual induced electromotive force (互感电动势) \(\mathcal{E}_{12}\) in circuit 1 due to circuit 2's current change (回路1中由于回路2的电流变化) 为：
\[ \mathcal{E}_{12} = - \frac{d\Lambda_{12}}{dt} = - \frac{d(M_{12}I_2)}{dt} = -M_{12} \frac{dI_2}{dt} \]
⚝ Reciprocity theorem for mutual inductance (互感互易定理)：对于 two circuits (两个回路)，mutual inductance (互感) 具有 reciprocity (互易性)，即 \(M_{12} = M_{21} = M\)。因此，mutual inductance (互感) 通常用 \(M\) 表示，不区分 subscript (下标)。

③ 电感器 (Inductor) 的能量存储

⚝ Inductor (电感器) 是一种储存 magnetic field energy (磁场能量) 的 device (器件)，通常由 coil (线圈) 构成，利用 self-induction (自感) 或 mutual inductance (互感) 原理工作。
⚝ Energy stored in an inductor (电感器中储存的能量) \(E_L\)：当 current (电流) \(I\) 通过 inductor (电感器) 时，magnetic field (磁场) 中储存的 magnetic energy (磁能) 为：
\[ E_L = \frac{1}{2} L I^2 \]
▮▮▮▮推导过程：假设 current (电流) 从 0 增加到 \(I\) 的过程中，external power source (外电源) 需要克服 self-induced electromotive force (自感电动势) \(\mathcal{E}_L = -L \frac{dI}{dt}\) 做功。infinitesimal time interval (无限小时间间隔) \(dt\) 内做的功为 \(dW = -\mathcal{E}_L I dt = L I \frac{dI}{dt} dt = LI dI\)。total work (总功) 等于对 \(dW\) 从 \(I=0\) 积分到 \(I\)：
\[ E_L = W = \int_{0}^{I} LI' dI' = \frac{1}{2} L I^2 \]
⚝ Magnetic energy density in inductor (电感器中的磁场能量密度)：对于 long solenoid inductor (长螺线管电感器)，magnetic field energy density (磁场能量密度) \(u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}\)。total magnetic energy (总磁能) 可以通过对 energy density (能量密度) 在 solenoid volume (螺线管体积) \(V\) 中积分得到：
\[ E_L = \int_{V} u_B dV = \int_{V} \frac{B^2}{2\mu_0} dV = \frac{B^2}{2\mu_0} V = \frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0} (Al) = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 Al) I^2 = \frac{1}{2} L I^2 \]
▮▮▮▮与公式 \(E_L = \frac{1}{2} L I^2\) 一致。

5.4 麦克斯韦方程组与电磁波 (Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves)

章节概要

系统总结 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的完整形式，分析其在描述电磁场基本规律中的核心地位，并阐述电磁波的波动性，以及电磁波的传播和 energy transport (能量输运)。

5.4.1 麦克斯韦方程组的完整形式 (Complete Form of Maxwell's Equations)

章节概要

完整呈现 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的 differential form (微分形式) 和 integral form (积分形式)，分析其物理意义和相互关系。

① 麦克斯韦方程组 (Maxwell's Equations) 的微分形式 (Differential Form)

⚝ Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 是一组 fundamental equations (基本方程组)，完整描述了 electric field (电场)、magnetic field (磁场) 以及 electric charge (电荷) 和 current (电流) 之间的相互关系，是 classical electromagnetism (经典电磁学) 的理论基础。Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的微分形式如下（SI units (国际单位制)）：

\[ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v \] (Gauss's law for electricity (电高斯定律))

\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \] (Gauss's law for magnetism (磁高斯定律))

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \] (Maxwell-Faraday law (麦克斯韦-法拉第定律))

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \] (Maxwell-Ampere law (麦克斯韦-安培定律))

▮▮▮▮其中，
▮▮▮▮\(\mathbf{E}\) 是 electric field strength (电场强度)，\(\mathbf{D}\) 是 electric displacement (电位移)，\(\mathbf{B}\) 是 magnetic induction (磁感应强度)，\(\mathbf{H}\) 是 magnetic field intensity (磁场强度)，\(\rho_v\) 是 free charge density (自由电荷密度)，\(\mathbf{J}_f\) 是 free current density (自由电流密度)。

② 麦克斯韦方程组 (Maxwell's Equations) 的积分形式 (Integral Form)

⚝ Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的积分形式是通过 Gauss's theorem (高斯定理) 和 Stokes' theorem (斯托克斯定理) 将微分形式转换得到的，更直观地反映了电磁场的基本规律。Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的积分形式如下（SI units (国际单位制)）：

\[ \oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \int_{V} \rho_v dV = Q_{free, enc} \] (Gauss's law for electricity (电高斯定律))

\[ \oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0 \] (Gauss's law for magnetism (磁高斯定律))

\[ \oint_{L} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \] (Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律))

\[ \oint_{L} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_{S} \mathbf{J}_f \cdot d\mathbf{S} + \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = I_{free, enc} + \frac{d\Phi_D}{dt} \] (Ampere-Maxwell law (安培-麦克斯韦定律))

▮▮▮▮其中，
▮▮▮▮\(S\) 是任意 closed surface (闭合曲面)，\(V\) 是 \(S\) 所围 volume (体积)，\(L\) 是任意 closed loop (闭合环路)，\(S\) 是以 \(L\) 为边界的任意 surface (面)。
▮▮▮▮\(Q_{free, enc}\) 是 \(S\) 所围 volume (体积) 内的 total free charge (总自由电荷) 量，\(I_{free, enc}\) 是穿过 \(L\) 所围 surface (面) 的 total free current (总自由电流) 量，\(\Phi_B = \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}\) 是 magnetic flux (磁通量)，\(\Phi_D = \int_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}\) 是 electric flux (电位移通量)。

③ 麦克斯韦方程组 (Maxwell's Equations) 的物理意义

⚝ Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 完整地描述了电磁场的基本规律，统一了 electricity (电学)、magnetism (磁学) 和 optics (光学)，预言了 electromagnetic wave (电磁波) 的存在，奠定了 modern physics (现代物理学) 和 modern technology (现代技术) 的基础。
⚝ Gauss's law for electricity (电高斯定律) \(\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_v\) 或 \(\oint_{S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q_{free, enc}\)：electric field lines (电场线) 起源于 positive charge (正电荷)，终止于 negative charge (负电荷)，描述了 electric charge (电荷) 是 electric field (电场) 的 source (源)。
⚝ Gauss's law for magnetism (磁高斯定律) \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) 或 \(\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0\)：magnetic field lines (磁感线) 是 closed loops (闭合环路)，没有起点和终点，说明不存在 magnetic monopole (磁单极子)，magnetic field (磁场) 是 solenoidal field (螺线管场)。
⚝ Maxwell-Faraday law (麦克斯韦-法拉第定律) \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) 或 \(\oint_{L} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)：time-varying magnetic field (时变磁场) 会产生 curl (旋度) 不为零的 electric field (电场)，即 time-varying magnetic field (时变磁场) 是 electric field (电场) 的 source (源) 之一，也是 electromagnetic induction (电磁感应) 现象的本质描述。
⚝ Maxwell-Ampere law (麦克斯韦-安培定律) \(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\) 或 \(\oint_{L} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = I_{free, enc} + \frac{d\Phi_D}{dt}\)：current (电流) 和 time-varying electric field (时变电场) 都会产生 curl (旋度) 不为零的 magnetic field (磁场)，即 current (电流) 和 time-varying electric field (时变电场) 都是 magnetic field (磁场) 的 source (源)。其中 \(\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\) 项称为 displacement current density (位移电流密度)，是 Maxwell (麦克斯韦) 对 Ampere's law (安培定律) 的重要修正，也是预言 electromagnetic wave (电磁波) 存在的关键。

5.4.2 电磁波的传播与能量 (Propagation and Energy of Electromagnetic Waves)

章节概要

从 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 推导出电磁波的波动方程，分析电磁波的传播速度、能量密度、Poynting vector (坡印廷矢量) 等。

① 电磁波 (Electromagnetic Wave) 的波动方程 (Wave Equation)

⚝ 在 source-free region (无源区域) (即 \(\rho_v = 0\)，\(\mathbf{J}_f = 0\))，Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 简化为：

\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \]

⚝ 从 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 可以推导出 electric field \(\mathbf{E}\) 和 magnetic field \(\mathbf{B}\) 满足的 wave equation (波动方程)。对 Maxwell-Faraday law (麦克斯韦-法拉第定律) 取 curl (旋度)，并代入 Maxwell-Ampere law (麦克斯韦-安培定律)：
\[ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \]
▮▮▮▮利用 vector identity (矢量恒等式) \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)，由于 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = 0\)，得到 electric field wave equation (电场波动方程)：
\[ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 \]
⚝ Similarly (类似地)，可以推导出 magnetic field wave equation (磁场波动方程)：
\[ \nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0 \]
⚝ Electric field \(\mathbf{E}\) 和 magnetic field \(\mathbf{B}\) 的 wave equation (波动方程) 具有 standard wave equation form (标准波动方程形式) \(\nabla^2 \Psi - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0\)，其中 wave velocity (波速) \(v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}\)。将 \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}\) 和 \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)\) 代入计算得到：
\[ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \approx 2.998 \times 10^8 \text{m/s} = c \]
▮▮▮▮正好等于 light speed in vacuum (真空中光速) \(c\)。这表明 electric field (电场) 和 magnetic field (磁场) 的波动是以 light speed (光速) 传播的，electromagnetic wave (电磁波) 就是 light (光) 的本质。

② 电磁波 (Electromagnetic Wave) 的特性

⚝ Transverse wave (横波)：electromagnetic wave (电磁波) 是 transverse wave (横波)，即 electric field \(\mathbf{E}\)、magnetic field \(\mathbf{B}\) 和 wave propagation direction (波传播方向) \(\mathbf{k}\) (wave vector (波矢量)) 两两 mutually perpendicular (互相垂直)，\(\mathbf{E}\)、\(\mathbf{B}\)、\(\mathbf{k}\) 构成 right-handed coordinate system (右手坐标系)。
⚝ Phase velocity (相速度) 和 wavelength (波长)、frequency (频率)、wave number (波数)：electromagnetic wave (电磁波) 的 phase velocity (相速度) 等于 light speed in vacuum (真空中光速) \(c\)。wavelength (波长) \(\lambda\)、frequency (频率) \(f\) 和 wave velocity (波速) \(c\) 之间满足关系 \(c = \lambda f\)。wave number (波数) \(k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}\)，其中 angular frequency (角频率) \(\omega = 2\pi f\)。
⚝ Polarization (偏振)：electromagnetic wave (电磁波) 是 transverse wave (横波)，具有 polarization (偏振) 特性。electric field vibration direction (电场振动方向) 称为 polarization direction (偏振方向)。根据 electric field vibration trajectory (电场振动轨迹) 的不同，electromagnetic wave (电磁波) 可以分为 linear polarization (线偏振)、circular polarization (圆偏振) 和 elliptical polarization (椭圆偏振)。

③ 电磁波 (Electromagnetic Wave) 的能量输运 (Energy Transport) - Poynting Vector (坡印廷矢量)

⚝ Electromagnetic wave (电磁波) 在传播过程中，同时输运 energy (能量) 和 momentum (动量)。electromagnetic energy flow (电磁能量流) 的方向和 magnitude (大小) 可以用 Poynting vector (坡印廷矢量) \(\mathbf{S}\) 来描述。
⚝ Poynting vector (坡印廷矢量) \(\mathbf{S}\) 定义为：
\[ \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \]
▮▮▮▮Poynting vector (坡印廷矢量) \(\mathbf{S}\) 的 direction (方向) 表示 electromagnetic energy flow (电磁能量流) 的 direction (方向)，即 energy flux direction (能流方向)，也与 electromagnetic wave propagation direction (电磁波传播方向) 一致。Poynting vector (坡印廷矢量) \(\mathbf{S}\) 的 magnitude (大小) 表示 unit time (单位时间) 内垂直穿过 unit area (单位面积) 的 electromagnetic energy (电磁能量)，即 power density (功率密度) 或 intensity (强度)，单位是 Watt per square meter (瓦特每平方米)，W/m\(^2\)。
⚝ Electromagnetic energy density (电磁能量密度) \(u_{em}\)：electromagnetic field (电磁场) 的 total energy density (总能量密度) 等于 electric field energy density (电场能量密度) \(u_E\) 和 magnetic field energy density (磁场能量密度) \(u_B\) 之和：
\[ u_{em} = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 \]
▮▮▮▮在 electromagnetic wave (电磁波) 中，electric field energy density (电场能量密度) 和 magnetic field energy density (磁场能量密度) 相等，即 \(u_E = u_B = \frac{1}{2} u_{em}\)。因此，\(u_{em} = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}\)。
⚝ Electromagnetic energy flux density (电磁能量通量密度) 与 energy density (能量密度) 之间的关系：
\[ |\mathbf{S}| = c u_{em} \]
▮▮▮▮即 Poynting vector magnitude (坡印廷矢量的大小) 等于 electromagnetic energy density (电磁能量密度) 乘以 light speed (光速)。

6. 量子力学基础 (Fundamentals of Quantum Mechanics)

本章引入量子力学的基本概念和原理，包括 wave-particle duality (波粒二象性)、uncertainty principle (不确定性原理)、Schrödinger equation (薛定谔方程) 和 quantum operators (量子算符)，为理解 atomic and molecular physics (原子与分子物理)、solid-state physics (固体物理) 等微观物理世界奠定基础。

6.1 量子力学产生的历史背景与基本概念 (Historical Background and Basic Concepts of Quantum Mechanics)

回顾量子力学产生的历史背景，介绍 blackbody radiation (黑体辐射)、photoelectric effect (光电效应)、atomic spectra (原子光谱) 等经典物理学无法解释的实验现象，引出量子力学的必要性，并介绍 Planck's constant (普朗克常数)、photon (光子)、wave-particle duality (波粒二象性) 等基本概念。

6.1.1 经典物理学的局限性与量子力学的诞生 (Limitations of Classical Physics and the Birth of Quantum Mechanics)

分析经典物理学在解释微观现象时的局限性，例如 blackbody radiation (黑体辐射) 谱、photoelectric effect (光电效应)、atomic spectra (原子光谱) 等，说明量子力学产生的历史必然性。

在 19 世纪末和 20 世纪初，经典物理学，特别是 classical mechanics (经典力学) 和 classical electromagnetism (经典电磁学)，在描述微观世界时遇到了无法克服的困难。一些实验现象的出现，与经典理论的预测严重不符，迫切需要新的理论框架来解释。以下是几个关键的实验现象，揭示了经典物理学的局限性，并最终催生了量子力学的诞生：

① Blackbody Radiation (黑体辐射):
▮ 经典物理学，特别是 Rayleigh-Jeans law (瑞利-金斯定律)，在描述 blackbody radiation (黑体辐射) 谱时遇到了 ultraviolet catastrophe (紫外灾难)。根据经典理论，黑体辐射的能量密度应该随着频率的平方增加，这意味着在 ultraviolet (紫外) 区域，能量密度将趋于无穷大，这与实验观测结果严重矛盾。
▮ 1900 年，Max Planck (马克斯·普朗克) 提出了 revolutionary (革命性) 的假设：能量不是连续的，而是 quantized (量子化) 的，即能量只能以离散的 energy packets (能量包) 的形式存在和交换，这些能量包被称为 quanta (量子)。普朗克提出了 Planck's law (普朗克定律)，成功地解释了 blackbody radiation (黑体辐射) 谱，并引入了 Planck's constant (普朗克常数) \(h\)。
\[ E = h\nu \]
其中，\(E\) 是能量量子，\(\nu\) 是频率，\(h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{J} \cdot \text{s}\) 是 Planck's constant (普朗克常数)。普朗克的量子化假设标志着量子力学的开端。

② Photoelectric Effect (光电效应):
▮ Photoelectric effect (光电效应) 是指光照射到金属表面时，会释放出 electrons (电子) 的现象。经典电磁理论认为，光的能量与光的 intensity (强度) 有关，因此，只要光的 intensity (强度) 足够大，就可以释放出 electrons (电子)，并且 electrons (电子) 的 kinetic energy (动能) 应该随着光 intensity (强度) 的增加而增加。
▮ 然而，实验结果表明，photoelectric effect (光电效应) 的发生取决于光的 frequency (频率) 而不是 intensity (强度)。只有当光的 frequency (频率) 高于某个 threshold frequency (阈值频率) 时，才能发生 photoelectric effect (光电效应)。此外，electrons (电子) 的 maximum kinetic energy (最大动能) 与光的 frequency (频率) 成线性关系，而与光的 intensity (强度) 无关。
▮ 1905 年，Albert Einstein (阿尔伯特·爱因斯坦) 借鉴了普朗克的量子化思想，提出了 light quantum hypothesis (光量子假说)，认为光不仅能量是量子化的，光本身也是由 discrete energy packets (离散的能量包) 组成的，这些 light quanta (光量子) 被称为 photons (光子)。爱因斯坦解释 photoelectric effect (光电效应) 的公式为：
\[ E_k = h\nu - W \]
其中，\(E_k\) 是 emitted electrons (发射出的电子) 的 maximum kinetic energy (最大动能)，\(h\nu\) 是 incident photon (入射光子) 的能量，\(W\) 是 metal's work function (金属的逸出功)，表示 electrons (电子) 挣脱金属表面束缚所需的最小能量。爱因斯坦对 photoelectric effect (光电效应) 的成功解释，进一步证实了光的量子化特性，并为 wave-particle duality (波粒二象性) 概念的建立奠定了基础。

③ Atomic Spectra (原子光谱):
▮ 在 19 世纪，科学家观察到，当 atoms (原子) 被激发时（例如通过加热或放电），它们会发出特定 frequencies (频率) 的光，形成 discrete line spectra (分立的线光谱)。例如，hydrogen atom (氢原子) 的 spectrum (光谱) 包含一系列 discrete spectral lines (分立的谱线)，如 Balmer series (巴尔末系)、Lyman series (莱曼系) 和 Paschen series (帕邢系)。
▮ Classical electromagnetism (经典电磁学) 无法解释 atomic spectra (原子光谱) 的 discrete nature (分立性)。根据经典理论，electrons (电子) 绕 nucleus (原子核) 运动时会不断辐射 electromagnetic waves (电磁波)，从而 continuously lose energy (不断损失能量)，导致 electrons (电子) 的 orbit radius (轨道半径) 不断减小，最终 spiral into (坠入) nucleus (原子核)。此外，classical theory (经典理论) 预测 atoms (原子) 应该 emit continuous spectra (发射连续光谱)，这与 observed discrete line spectra (观测到的分立线光谱) 矛盾。
▮ 1913 年，Niels Bohr (尼尔斯·玻尔) 提出了 Bohr model (玻尔模型)，将量子化概念引入 atomic model (原子模型)。Bohr (玻尔) 假设：
▮▮▮▮ⓐ Electrons (电子) 只能在特定的 discrete energy levels (分立的能量能级) 上运动，这些 energy levels (能量能级) 对应于 electrons (电子) 的 allowed orbits (允许轨道)。electrons (电子) 在 allowed orbits (允许轨道) 上运动时，不辐射 electromagnetic waves (电磁波)。
▮▮▮▮ⓑ Atoms (原子) 发射或吸收光子时，electrons (电子) 在不同的 energy levels (能量能级) 之间跃迁。 emitted or absorbed photon (发射或吸收的光子) 的 energy (能量) 等于两个 energy levels (能量能级) 之间的能量差：
\[ h\nu = E_f - E_i \]
其中，\(E_i\) 和 \(E_f\) 分别是 initial and final energy levels (初始和最终能量能级)。Bohr model (玻尔模型) 成功地解释了 hydrogen atom (氢原子) 的 discrete line spectrum (分立线光谱)，尽管 Bohr model (玻尔模型) 本身仍然存在局限性，但它标志着 quantum theory (量子理论) 在 atomic physics (原子物理学) 中的重要应用。

这些 experimental phenomena (实验现象) 共同表明，经典物理学在描述微观世界的规律时遇到了 fundamental difficulties (根本性困难)。为了解决这些问题，物理学家们逐渐发展出了一套全新的理论体系，即 quantum mechanics (量子力学)。量子力学的诞生是 physical science (物理科学) 发展史上的一次 profound revolution (深刻革命)，它不仅成功地解释了上述实验现象，而且为 understanding the structure of matter (理解物质结构)、chemical bonding (化学键)、solid-state physics (固体物理) 和 nuclear physics (核物理) 等领域奠定了理论基础。

6.1.2 波粒二象性与物质波 (Wave-Particle Duality and Matter Waves)

介绍 wave-particle duality (波粒二象性) 概念，阐述 light (光) 和 matter (物质) 都具有波动性和粒子性，引出 de Broglie wavelength (德布罗意波长) 和 matter waves (物质波) 的概念。

Wave-particle duality (波粒二象性) 是 quantum mechanics (量子力学) 的一个核心概念，它指出 micro-particles (微观粒子)，如 photons (光子) 和 electrons (电子)，同时具有 wave properties (波动性) 和 particle properties (粒子性)。这种 dual nature (双重性) 与 classical physics (经典物理学) 中 wave (波) 和 particle (粒子) 的 distinct (截然不同) 的概念形成了鲜明对比。

① Light's Wave-Particle Duality (光的波粒二象性):
▮ 长期以来，关于 light (光) 的本质，物理学界存在着 wave theory (波动说) 和 particle theory (粒子说) 的争论。在 19 世纪末，James Clerk Maxwell (詹姆斯·克拉克·麦克斯韦) 建立了 electromagnetic theory (电磁理论)，成功地将 light (光) 描述为 electromagnetic waves (电磁波)， wave theory (波动说) 取得了 dominant position (主导地位)。光的 interference (干涉)、diffraction (衍射) 和 polarization (偏振) 等现象，都为 wave nature of light (光的波动性) 提供了 strong evidence (有力证据)。
▮ 然而，photoelectric effect (光电效应) 和 blackbody radiation (黑体辐射) 等实验现象，却显示出 light (光) 的 particle nature (粒子性)。Einstein's photon hypothesis (爱因斯坦的光子假说) 认为，light (光) 是由 discrete energy packets (离散的能量包) - photons (光子) 组成的，每个 photon (光子) 的 energy (能量) 和 momentum (动量) 分别为 \(E = h\nu\) 和 \(p = h/\lambda\)，其中 \(\nu\) 是 frequency (频率)，\(\lambda\) 是 wavelength (波长)。
▮ 现代物理学认为，light (光) 具有 wave-particle duality (波粒二象性)，在 certain situations (某些情况下) (例如 propagation (传播) 和 interference (干涉))，light (光) 表现出 wave properties (波动性)；而在 other situations (另一些情况下) (例如 emission (发射) 和 absorption (吸收))，light (光) 表现出 particle properties (粒子性)。light (光) 的 wave nature (波动性) 和 particle nature (粒子性) 是 mutually complementary (互为补充) 的，而不是 mutually exclusive (互相对立) 的。

② Matter Waves (物质波) 与 de Broglie Wavelength (德布罗意波长):
▮ 既然 light (光) 具有 wave-particle duality (波粒二象性)，那么 matter particles (实物粒子)，如 electrons (电子)、protons (质子) 和 neutrons (中子)，是否也具有 wave properties (波动性) 呢？1924 年，Louis de Broglie (路易·德布罗意) 提出了 matter wave hypothesis (物质波假说)，认为 matter particles (实物粒子) 也具有 wave nature (波动性)，并提出了 de Broglie relation (德布罗意关系)，将 particle's momentum (粒子动量) \(p\) 与 corresponding matter wave's wavelength (对应物质波的波长) \(\lambda\) 联系起来：
\[ \lambda = \frac{h}{p} \]
其中，\(\lambda\) 称为 de Broglie wavelength (德布罗意波长)，\(h\) 是 Planck's constant (普朗克常数)，\(p = mv\) 是 particle's momentum (粒子动量)，\(m\) 是 mass (质量)，\(v\) 是 velocity (速度)。公式表明，任何具有 momentum (动量) 的 matter particle (实物粒子) 都伴随着 wave (波)，称为 matter wave (物质波) 或 de Broglie wave (德布罗意波)。
▮ Matter wave hypothesis (物质波假说) 很快得到了 experimental confirmation (实验证实)。1927 年，Clinton Davisson (克林顿·戴维森) 和 Lester Germer (莱斯特·革末) 在 Davisson-Germer experiment (戴维森-革末实验) 中，以及 George Paget Thomson (乔治·佩吉特·汤姆孙) 的 electron diffraction experiment (电子衍射实验) 中，都观察到了 electrons (电子) 的 diffraction (衍射) 现象，这 strongly supported (有力地支持了) matter wave hypothesis (物质波假说)，证实了 electrons (电子) 等 matter particles (实物粒子) 确实具有 wave nature (波动性)。
▮ Matter waves (物质波) 与 electromagnetic waves (电磁波) (如 light waves (光波)) 有本质区别。electromagnetic waves (电磁波) 是 oscillating electromagnetic fields (振荡的电磁场) 在 space (空间) 中的传播，而 matter waves (物质波) 是描述 particle's probability distribution (粒子概率分布) 的 probability waves (概率波)，它描述的是 particle (粒子) 在 space (空间) 中出现的 probability (概率)。matter waves (物质波) 的 amplitude (振幅) 的平方与 particle (粒子) 在该点出现的 probability density (概率密度) 成正比。

Wave-particle duality (波粒二象性) 是 quantum mechanics (量子力学) 的 fundamental principle (基本原理) 之一。它表明，wave (波) 和 particle (粒子) 的 distinction (区分) 在 micro-world (微观世界) 中变得模糊不清，micro-particles (微观粒子) 同时表现出 wave properties (波动性) 和 particle properties (粒子性)。understanding wave-particle duality (理解波粒二象性) 是 grasp the essence of quantum mechanics (掌握量子力学本质) 的关键。

6.2 不确定性原理与量子态 (Uncertainty Principle and Quantum States)

介绍 Heisenberg uncertainty principle (海森堡不确定性原理)，阐述 position-momentum uncertainty (位置-动量不确定关系) 和 energy-time uncertainty (能量-时间不确定关系)，以及量子态的概念和描述方法，如 wave function (波函数) 和 probability interpretation (概率诠释)。

6.2.1 海森堡不确定性原理 (Heisenberg Uncertainty Principle)

阐述 Heisenberg uncertainty principle (海森堡不确定性原理)，分析 position-momentum uncertainty (位置-动量不确定关系) 和 energy-time uncertainty (能量-时间不确定关系) 的物理意义。

Heisenberg uncertainty principle (海森堡不确定性原理) 是 quantum mechanics (量子力学) 的另一个 fundamental principle (基本原理)，由 Werner Heisenberg (维尔纳·海森堡) 于 1927 年提出。它描述了 certain pairs of physical quantities (某些 pairs (对) 物理量) (称为 conjugate variables (共轭变量)) 不能同时被精确测量的 fundamental limit (基本限制)。最常见的 uncertainty relations (不确定关系) 是 position-momentum uncertainty (位置-动量不确定关系) 和 energy-time uncertainty (能量-时间不确定关系)。

① Position-Momentum Uncertainty (位置-动量不确定关系):
▮ Position-momentum uncertainty (位置-动量不确定关系) 指出，particle's position (粒子位置) 和 momentum (动量) 不能同时被精确测定。If the uncertainty in particle's position (粒子位置的不确定度) is \(\Delta x\)，and the uncertainty in particle's momentum (粒子动量的不确定度) is \(\Delta p_x\) (沿 \(x\) 方向)，那么它们之间存在如下关系：
\[ \Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} \]
其中，\(\hbar = h/(2\pi)\) 称为 reduced Planck constant (约化普朗克常数)，\(\hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{J} \cdot \text{s}\)。
▮ Position-momentum uncertainty (位置-动量不确定关系) 表明，we cannot simultaneously know both particle's position (粒子位置) and momentum (动量) with arbitrary precision (任意精度)。If we measure particle's position (粒子位置) very accurately (即 \(\Delta x\) 很小)，then the uncertainty in its momentum (其动量的不确定度) will be correspondingly large (即 \(\Delta p_x\) 很大)，反之亦然。The more accurately we know one quantity (我们越精确地知道其中一个量)，the less accurately we know the other (我们就越不精确地知道另一个量)。
▮ Uncertainty principle (不确定性原理) 不是 measurement technology (测量技术) 的限制，而是 nature's fundamental property (自然界的基本属性)。It reflects the intrinsic uncertainty (内禀不确定性) in quantum mechanics (量子力学) description of micro-particles (微观粒子)。In classical mechanics (经典力学) 中，particle's position (粒子位置) and momentum (动量) 可以同时被精确测定，particle's trajectory (粒子轨迹) 可以被精确预测。However, in quantum mechanics (量子力学) 中，particle (粒子) 没有 well-defined trajectory (明确定义的轨迹) 概念，we can only describe particle's probability distribution (我们只能描述粒子的概率分布)。

② Energy-Time Uncertainty (能量-时间不确定关系):
▮ Energy-time uncertainty (能量-时间不确定关系) 指出，energy of a system (系统能量) 和 the time interval \(\Delta t\) during which the system remains in a certain state (系统在该状态停留的时间间隔) 也存在 uncertainty relation (不确定关系)：
\[ \Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \]
其中，\(\Delta E\) 是 energy uncertainty (能量不确定度)，\(\Delta t\) 是 time interval (时间间隔)。
▮ Energy-time uncertainty (能量-时间不确定关系) 表明，if we want to measure system's energy (系统能量) with high precision (高精度) (即 \(\Delta E\) 很小)，we need to measure for a sufficiently long time interval (我们需要测量足够长的时间间隔) (即 \(\Delta t\) 很大)，反之亦然。For short-lived states (对于短寿命状态)，such as excited states of atoms (如原子激发态) 或 unstable particles (不稳定粒子)，their energy uncertainty (其能量不确定度) will be correspondingly large (会相应地很大)，which leads to energy level broadening (导致能级展宽) 和 particle's decay width (粒子衰变宽度)。
▮ Energy-time uncertainty (能量-时间不确定关系) 还可以理解为，in a sufficiently short time interval \(\Delta t\)，energy conservation (能量守恒) can be violated by an amount up to \(\Delta E \approx \hbar/\Delta t\)。This allows for virtual particles (这允许虚粒子的存在) to exist for short periods (短时间内存在)，which plays an important role in quantum field theory (量子场论) and particle physics (粒子物理学)。

Heisenberg uncertainty principle (海森堡不确定性原理) is a cornerstone of quantum mechanics (量子力学)，it highlights the fundamental differences (突出了量子力学与经典力学的根本区别) between quantum mechanics (量子力学) and classical mechanics (经典力学)。It is not just a limitation on measurement (它不仅仅是对测量的限制)，but a reflection of the probabilistic nature of quantum world (而是量子世界概率性质的反映)。

6.2.2 波函数与概率诠释 (Wave Function and Probability Interpretation)

介绍 wave function (波函数) 的概念，阐述 Born's probability interpretation (玻恩的概率诠释)，说明波函数描述量子态的概率密度和 amplitude (振幅) 信息。

In quantum mechanics (量子力学) 中，wave function (波函数) 是描述 quantum state of a physical system (物理系统量子态) 的 fundamental mathematical object (基本数学对象)。通常用 Greek letter \(\Psi\) (大写 Psi) 或 \(\psi\) (小写 psi) 表示。For a single particle system (对于单粒子系统)，wave function (波函数) \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) 是 position \(\mathbf{r}\) 和 time \(t\) 的 function (函数)，it contains all the information we can know about the system (它包含了我们可以了解的关于系统的所有信息)。

① Wave Function (波函数) 的概念:
▮ Wave function (波函数) \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) is a complex-valued function (复值函数)，it does not have direct physical meaning itself (它本身没有直接的物理意义)。However, its absolute square (但其绝对值的平方) \(|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2\) has a crucial physical interpretation (具有至关重要的物理诠释)。
▮ In one-dimensional space (在一维空间中)，wave function (波函数) 简化为 \(\Psi(x, t)\)。For a time-independent potential (对于时间无关势)，wave function (波函数) 可以写成 space part (空间部分) \(\psi(x)\) 和 time part (时间部分) \(e^{-iEt/\hbar}\) 的乘积：
\[ \Psi(x, t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar} \]
其中，\(\psi(x)\) 称为 time-independent wave function (时间无关波函数) 或 stationary state wave function (定态波函数)，\(E\) 是 system's energy (系统能量)。

② Born's Probability Interpretation (玻恩的概率诠释):
▮ Max Born (马克斯·玻恩) 提出了 probability interpretation of wave function (波函数的概率诠释) (Born's rule (玻恩定则))，which is the standard interpretation of wave function (波函数的标准诠释) in quantum mechanics (量子力学)。Born's rule (玻恩定则) 认为：
▮▮▮▮⚝ For a particle described by wave function (对于由波函数 \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) 描述的粒子)，the probability of finding the particle in a small volume \(dV\) around position \(\mathbf{r}\) at time \(t\) (在时刻 \(t\) 在位置 \(\mathbf{r}\) 附近体积元 \(dV\) 内找到粒子的概率) is given by:
\[ dP(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 dV \]
▮▮▮▮⚝ \(|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2\) is called probability density (概率密度)，it represents the probability per unit volume (单位体积的概率) of finding the particle at position \(\mathbf{r}\) at time \(t\)。
▮▮▮▮⚝ For one-dimensional case (对于一维情况)，the probability of finding the particle in a small interval \(dx\) around position \(x\) at time \(t\) (在时刻 \(t\) 在位置 \(x\) 附近区间 \(dx\) 内找到粒子的概率) is:
\[ dP(x, t) = |\Psi(x, t)|^2 dx = |\psi(x)|^2 dx \]

▮ Probability interpretation (概率诠释) means that wave function (波函数) does not describe particle's definite position (不描述粒子的确定位置)，but rather particle's probability distribution in space (而是粒子在空间中的概率分布)。Quantum mechanics (量子力学) is inherently probabilistic (本质上是概率性的)，we can only predict the probabilities of various possible outcomes (我们只能预测各种可能结果的概率)，rather than definite outcomes (而不是确定的结果)。
▮ For wave function (波函数) to represent a physically realizable quantum state (表示物理上可实现的量子态)，it must satisfy certain conditions (必须满足某些条件)，such as:
▮▮▮▮ⓐ Single-valued (单值): For each position \(\mathbf{r}\) and time \(t\)，wave function (波函数) \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) must have a unique value (必须具有唯一值)。
▮▮▮▮ⓑ Continuous (连续): Wave function (波函数) \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) and its first derivatives (及其一阶导数) must be continuous everywhere (必须处处连续)。
▮▮▮▮ⓒ Square-integrable (平方可积): The total probability of finding the particle in all space must be unity (在整个空间找到粒子的总概率必须为 1)，which requires wave function (波函数) to be square-integrable (平方可积)：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 dx = 1 \]
This condition is called normalization condition (归一化条件)，wave function (波函数) satisfying this condition is called normalized wave function (归一化波函数)。

Wave function (波函数) and probability interpretation (概率诠释) are fundamental concepts in quantum mechanics (量子力学)。Wave function (波函数) provides a complete description of quantum state (量子态的完整描述)，while probability interpretation (概率诠释) tells us how to extract physical information (告诉我们如何提取物理信息) (such as probability distribution (如概率分布)) from wave function (波函数)。

6.3 薛定谔方程与量子算符 (Schrödinger Equation and Quantum Operators)

介绍 time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) 和 time-independent Schrödinger equation (定态薛定谔方程)，分析其在量子力学中的核心地位，并介绍 quantum operators (量子算符) 的概念，如 momentum operator (动量算符)、energy operator (能量算符) 等。

6.3.1 含时薛定谔方程 (Time-Dependent Schrödinger Equation)

给出 time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) 的形式，分析其描述量子态随时间演化的作用。

Time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) (TDSE) is the fundamental equation of motion (基本运动方程) in quantum mechanics (量子力学)。It describes how quantum state of a physical system (物理系统的量子态) evolves in time (随时间演化)。For a single particle moving in a potential field \(V(\mathbf{r}, t)\)，time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) is given by:
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) \]
where:
⚝ \(i\) is imaginary unit (\(i = \sqrt{-1}\)).
⚝ \(\hbar\) is reduced Planck constant (约化普朗克常数).
⚝ \(\frac{\partial}{\partial t}\) is partial derivative with respect to time (对时间的偏导数).
⚝ \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) is wave function (波函数) of the system.
⚝ \(\hat{H}\) is Hamiltonian operator (哈密顿算符) of the system, which represents total energy operator (总能量算符) of the system.

For a non-relativistic particle (对于非相对论粒子)，Hamiltonian operator (哈密顿算符) is given by:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \]
where:
⚝ \(m\) is mass of the particle (粒子质量).
⚝ \(\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\) is Laplacian operator (拉普拉斯算符).
⚝ \(V(\mathbf{r}, t)\) is potential energy (势能)，which can be function of position \(\mathbf{r}\) and time \(t\).

In terms of momentum operator (动量算符) \(\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla\) and kinetic energy operator (动能算符) \(\hat{T} = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\)，Hamiltonian operator (哈密顿算符) can be written as:
\[ \hat{H} = \hat{T} + V(\mathbf{r}, t) = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + V(\mathbf{r}, t) \]
Time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) can be rewritten as:
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right) \Psi(\mathbf{r}, t) \]
or
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \left( \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + V(\mathbf{r}, t) \right) \Psi(\mathbf{r}, t) \]
or
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) \]

Time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) is a linear partial differential equation (线性偏微分方程)，it is first order in time (对时间一阶)。Given initial state of the system at time \(t=0\) (在时刻 \(t=0\) 系统的初始状态) \(\Psi(\mathbf{r}, 0)\)，time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) can be used to determine the state of the system at any later time \(t > 0\) (确定系统在任何后续时刻 \(t > 0\) 的状态) \(\Psi(\mathbf{r}, t)\)。Therefore, time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) describes time evolution of quantum state (量子态的时间演化)。

6.3.2 定态薛定谔方程与 stationary states (定态) (Time-Independent Schrödinger Equation and Stationary States)

给出 time-independent Schrödinger equation (定态薛定谔方程) 的形式，介绍 stationary states (定态) 的概念，分析求解定态薛定谔方程的方法。

For time-independent potential (对于时间无关势)，i.e., \(V(\mathbf{r}, t) = V(\mathbf{r})\) is only function of position \(\mathbf{r}\) (仅是位置 \(\mathbf{r}\) 的函数)，we can use separation of variables method (分离变量法) to solve time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程)。Assume wave function (波函数) can be written as product of space part (空间部分) \(\psi(\mathbf{r})\) and time part (时间部分) \(T(t)\):
\[ \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) T(t) \]
Substitute this into time-dependent Schrödinger equation (含时薛定谔方程) \(i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)\) with \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r})\):
\[ i\hbar \psi(\mathbf{r}) \frac{dT(t)}{dt} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r}) T(t) \]
Divide both sides by \(\psi(\mathbf{r}) T(t)\):
\[ i\hbar \frac{1}{T(t)} \frac{dT(t)}{dt} = \frac{1}{\psi(\mathbf{r})} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r}) \]
Left side is only function of time \(t\)，right side is only function of position \(\mathbf{r}\)。For this equation to hold for all \(\mathbf{r}\) and \(t\)，both sides must be equal to a constant (常数)。Let this constant be \(E\):
\[ i\hbar \frac{1}{T(t)} \frac{dT(t)}{dt} = E \]
\[ \frac{1}{\psi(\mathbf{r})} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r}) = E \]

From the first equation, we get time-dependent equation:
\[ i\hbar \frac{dT(t)}{dt} = E T(t) \]
Solution is \(T(t) = e^{-iEt/\hbar}\) (ignoring normalization constant (忽略归一化常数)).
From the second equation, we get time-independent Schrödinger equation (定态薛定谔方程) (TISE):
\[ \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \]
or
\[ \hat{H} \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \]
or
\[ \left( \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + V(\mathbf{r}) \right) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \]

Time-independent Schrödinger equation (定态薛定谔方程) is an eigenvalue equation (本征值方程) for Hamiltonian operator (哈密顿算符) \(\hat{H}\)。Solutions \(\psi_n(\mathbf{r})\) are eigenfunctions (本征函数) of Hamiltonian operator (哈密顿算符)，and corresponding eigenvalues \(E_n\) are allowed energy levels (允许能量能级) of the system. Energy eigenvalues \(E_n\) are quantized (能量本征值 \(E_n\) 是量子化的)，which means system can only exist in discrete energy states (系统只能存在于分立的能量状态)。

Quantum states described by solutions of time-independent Schrödinger equation (定态薛定谔方程) are called stationary states (定态) or energy eigenstates (能量本征态)。For stationary state (定态) \(\Psi_n(\mathbf{r}, t) = \psi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_nt/\hbar}\)，probability density (概率密度) is:
\[ |\Psi_n(\mathbf{r}, t)|^2 = |\psi_n(\mathbf{r}) e^{-iE_nt/\hbar}|^2 = |\psi_n(\mathbf{r})|^2 |e^{-iE_nt/\hbar}|^2 = |\psi_n(\mathbf{r})|^2 \]
which is independent of time \(t\) (与时间 \(t\) 无关)。Therefore, probability density (概率密度) and all other physical properties (所有其他物理性质) of stationary states (定态) are time-independent (与时间无关)，hence the name "stationary states" (定态)。

Solving time-independent Schrödinger equation (求解定态薛定谔方程) is a central task in quantum mechanics (量子力学)。For different potentials \(V(\mathbf{r})\)，we get different energy eigenvalues \(E_n\) and eigenfunctions \(\psi_n(\mathbf{r})\)。Solving time-independent Schrödinger equation (求解定态薛定谔方程) often involves solving second-order linear differential equations (二阶线性微分方程) with boundary conditions (边界条件)。

6.3.3 量子算符与力学量 (Quantum Operators and Physical Quantities)

介绍 quantum operators (量子算符) 的概念，如 position operator (位置算符)、momentum operator (动量算符)、energy operator (能量算符) 等，说明物理量在量子力学中的算符表示。

In quantum mechanics (量子力学) 中，physical quantities (物理量) (也称为 observables (可观测量)) are represented by linear operators (线性算符) acting on wave functions (作用在波函数上的线性算符)。This is a fundamental departure (这是与经典力学的根本区别) from classical mechanics (经典力学)，where physical quantities (物理量) are just numbers or functions (只是数字或函数)。

① Quantum Operators (量子算符) 的概念:
▮ For each physical quantity (对于每个物理量) \(A\)，there is a corresponding quantum operator (都有一个对应的量子算符) \(\hat{A}\)。Quantum operator (量子算符) acts on wave function (作用在波函数上) to extract information about physical quantity (提取关于物理量的信息)。
▮ Quantum operators (量子算符) are linear operators (线性算符)，which means they satisfy superposition principle (满足叠加原理)：
\[ \hat{A} (c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2) = c_1 \hat{A} \Psi_1 + c_2 \hat{A} \Psi_2 \]
where \(c_1\) and \(c_2\) are complex numbers (复数)，\(\Psi_1\) and \(\Psi_2\) are wave functions (波函数)。
▮ Quantum operators (量子算符) corresponding to physical observables (物理可观测量) are Hermitian operators (厄米算符)。Hermitian operator (厄米算符) \(\hat{A}\) satisfies the condition:
\[ \int \Psi_1^* (\hat{A} \Psi_2) dV = \int (\hat{A} \Psi_1)^* \Psi_2 dV \]
or in Dirac notation (狄拉克符号): \(\langle \Psi_1 | \hat{A} \Psi_2 \rangle = \langle \hat{A} \Psi_1 | \Psi_2 \rangle\).
Eigenvalues of Hermitian operators (厄米算符的本征值) are real numbers (实数)，and eigenfunctions corresponding to different eigenvalues are orthogonal (对应于不同本征值的本征函数是正交的)。

② Common Quantum Operators (常用量子算符):
▮ Position operator (位置算符): In position representation (在位置表象中)，position operator (位置算符) \(\hat{\mathbf{r}}\) is just multiplication by position vector (乘以位置矢量) \(\mathbf{r}\):
\[ \hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r} \]
In one dimension (在一维空间中)，\(\hat{x} = x\)。

▮ Momentum operator (动量算符): In position representation (在位置表象中)，momentum operator (动量算符) \(\hat{\mathbf{p}}\) is given by:
\[ \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \nabla = -i\hbar \left( \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) \]
In one dimension (在一维空间中)，\(\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)。

▮ Kinetic energy operator (动能算符): Kinetic energy operator (动能算符) \(\hat{T}\) is given by:
\[ \hat{T} = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \]

▮ Potential energy operator (势能算符): Potential energy operator (势能算符) \(\hat{V}(\mathbf{r})\) is just multiplication by potential energy function (乘以势能函数) \(V(\mathbf{r})\):
\[ \hat{V}(\mathbf{r}) = V(\mathbf{r}) \]

▮ Hamiltonian operator (哈密顿算符) (Total energy operator (总能量算符)): Hamiltonian operator (哈密顿算符) \(\hat{H}\) is sum of kinetic energy operator (动能算符) and potential energy operator (势能算符):
\[ \hat{H} = \hat{T} + \hat{V} = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} + V(\mathbf{r}) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \]

③ Measurement in Quantum Mechanics (量子力学中的测量):
▮ When we measure physical quantity \(A\) for a system in quantum state \(\Psi\)，the possible measured values (可能的测量值) are eigenvalues \(a_n\) of corresponding operator (对应算符) \(\hat{A}\):
\[ \hat{A} \psi_n = a_n \psi_n \]
where \(\psi_n\) are eigenfunctions of operator (算符的本征函数) \(\hat{A}\)，and \(a_n\) are corresponding eigenvalues (对应的本征值)。
▮ If system is in eigenstate \(\psi_n\) of operator (算符 \(\hat{A}\) 的本征态) \(\hat{A}\)，then measurement of \(A\) will definitely yield eigenvalue \(a_n\) (测量 \(A\) 一定会得到本征值 \(a_n\)).
▮ If system is in a general state \(\Psi\) (not necessarily an eigenstate of \(\hat{A}\))，then measurement of \(A\) will yield one of eigenvalues \(a_n\) with probability \(P_n = |\langle \psi_n | \Psi \rangle|^2\) (测量 \(A\) 将会得到本征值 \(a_n\) 之一，概率为 \(P_n = |\langle \psi_n | \Psi \rangle|^2\)).
▮ After measurement (测量后)，system is projected into eigenstate \(\psi_n\) corresponding to measured eigenvalue \(a_n\) (系统被投影到与测得本征值 \(a_n\) 相对应的本征态 \(\psi_n\)). This is called wave function collapse (波函数坍缩) or projection postulate (投影假设)。

Quantum operators (量子算符) are essential mathematical tools (重要的数学工具) in quantum mechanics (量子力学)，they provide a way to connect physical quantities (物理量) with mathematical description of quantum states (量子态的数学描述)。Understanding quantum operators (理解量子算符) is crucial for understanding quantum measurements (理解量子测量) and quantum dynamics (量子动力学)。

7. 固体物理 (Solid State Physics)

7.1 晶体结构 (Crystal Structure)

7.1.1 晶体与非晶体 (Crystalline and Amorphous Solids)

晶体 (crystalline solids) 和非晶体 (amorphous solids) 是固体物质的两种主要分类，它们在原子或分子排列上存在根本的区别，这导致了它们物理性质的显著差异。

① 晶体 (Crystalline Solids)：

▮▮▮▮晶体内部原子、离子或分子在三维空间中呈现长程有序 (long-range order) 排列，形成周期性重复的 晶格 (crystal lattice) 结构。这种有序排列是晶体最显著的特征。

▮▮▮▮结构特征：
▮▮▮▮ⓐ 长程有序性 (Long-range Order)：晶体结构具有高度的有序性，其基本结构单元在空间中周期性重复排列，可以延伸到宏观尺度。这意味着在晶体中，如果你知道一个原子的位置，原则上可以预测远处任何一个相同原子的位置。
▮▮▮▮ⓑ 各向异性 (Anisotropy)：由于晶体内部原子排列的有序性，晶体在不同方向上表现出不同的物理性质，如力学强度、导热性、导电性、光学性质等。例如，石墨在层状方向和垂直于层状方向的导电性差异很大。
▮▮▮▮ⓒ 固定的熔点 (Sharp Melting Point)：晶体熔化时，其有序结构突然瓦解，转变为液态的无序状态。这个转变过程发生在特定的温度，即熔点 (melting point)。晶体具有明显的、固定的熔点。
▮▮▮▮ⓓ 规则的几何外形 (Regular Geometric Shape)：在理想条件下，晶体可以自发形成具有规则几何外形的单晶体，例如，食盐 (NaCl) 晶体呈现立方体形状，石英 (SiO₂) 晶体呈现六棱柱形状。
▮▮▮▮实例：金属 (metals) (如铜 Cu, 铝 Al, 铁 Fe)、离子晶体 (ionic crystals) (如氯化钠 NaCl, 氧化镁 MgO)、共价晶体 (covalent crystals) (如金刚石 Diamond, 石英 SiO₂)、分子晶体 (molecular crystals) (如冰 H₂O, 干冰 CO₂)。

② 非晶体 (Amorphous Solids)：

▮▮▮▮非晶体内部原子、离子或分子排列不具有长程有序性 (long-range order)，只存在短程有序 (short-range order)。这意味着原子在其近邻范围内可能存在一定的规则排列，但这种规则性不会延伸到远处。

▮▮▮▮结构特征：
▮▮▮▮ⓐ 短程有序性 (Short-range Order) 与长程无序性 (Long-range Disorder)：非晶体只在原子或分子的近邻之间存在一定的关联和有序性，但整体结构是无序的，缺乏周期性重复的结构单元。
▮▮▮▮ⓑ 各向同性 (Isotropy)：由于非晶体在宏观上是无序的，其物理性质在各个方向上是相同的，表现出各向同性。例如，玻璃在各个方向上的折射率、强度等性质基本一致。
▮▮▮▮ⓒ 熔化温度范围 (Melting Temperature Range)：非晶体没有明显的、固定的熔点，而是在一个较宽的温度范围内逐渐软化并转变为液态。这个软化过程是连续的，没有明显的熔化温度点。
▮▮▮▮ⓓ 不规则的外形 (Irregular Shape)：非晶体通常没有规则的几何外形，其形状取决于制备过程和容器的形状。
▮▮▮▮实例：玻璃 (glass) (如二氧化硅玻璃 SiO₂，钠钙玻璃)、塑料 (plastics) (如聚乙烯 PE, 聚氯乙烯 PVC)、橡胶 (rubber)、沥青 (asphalt)。

③ 晶体与非晶体的物理性质差异对比：

④ 总结：

理解晶体和非晶体的区别对于材料科学和工程应用至关重要。晶体的有序结构使其在许多应用中具有优异的性能，例如半导体晶体在电子器件中的应用，金属晶体在结构材料中的应用。非晶体材料，如玻璃和塑料，也因其独特的性质（如透明性、易加工性）而在光学、包装等领域得到广泛应用。材料的晶体或非晶体性质可以通过 X-射线衍射 (X-ray diffraction)、电子衍射 (electron diffraction) 等实验技术来鉴别。

7.1.2 晶格与晶胞 (Crystal Lattice and Unit Cell)

要描述晶体 (crystalline solids) 的结构，需要引入 晶格 (crystal lattice) 和 晶胞 (unit cell) 这两个核心概念。

① 晶格 (Crystal Lattice)：

▮▮▮▮定义：晶格是在晶体结构 (crystal structure) 中，为了描述原子或离子周期性排列规律而引入的一个抽象的几何概念。晶格是由无限个在空间周期性排列的格点 (lattice point) 组成的空间格架 (space framework)。每个格点代表晶体结构中周期性重复的基本单元的位置，这个基本单元可以是单个原子、离子、分子或原子团。

▮▮▮▮特点：
▮▮▮▮ⓐ 周期性 (Periodicity)：晶格最根本的特征是其周期性。晶格在三个维度空间都具有平移对称性，即沿着特定的方向平移一定的距离（晶格常数 (lattice constant)），晶格结构能够完全重合。
▮▮▮▮ⓑ 格点 (Lattice Point)：格点是晶格的基本组成单元，它只是空间中的一个点，不代表实际的原子或离子。格点的位置代表了晶体结构中周期性重复单元的平均位置。
▮▮▮▮ⓒ 抽象性 (Abstraction)：晶格是一种数学抽象，它忽略了晶体结构中具体原子或离子的种类、大小和化学键等细节，只关注其周期性排列的几何特征。
▮▮▮▮晶格类型：根据晶格的对称性和格点的排列方式，可以分为 14 种 布拉菲晶格 (Bravais lattices)。这些布拉菲晶格是所有晶体结构晶格类型的基本构成。

② 晶胞 (Unit Cell)：

▮▮▮▮定义：晶胞是从晶格中选取出来的、能够完整反映晶格周期性特征的最小重复单元。通过晶胞在三维空间周期性地平移堆积，可以构建出整个晶体结构。晶胞是描述晶体结构的基本构建模块。

▮▮▮▮特点：
▮▮▮▮ⓐ 重复性 (Repetitiveness)：晶胞是晶体结构的基本重复单元。通过在三个维度上平移晶胞，可以无缝、无空隙地填充整个空间，形成完整的晶体结构。
▮▮▮▮ⓑ 最小性 (Minimality)：晶胞是能够反映晶格对称性和周期性的最小体积的单元。存在多种晶胞的选取方式，但通常选择体积最小、对称性最高的晶胞作为 原胞 (primitive cell)。
▮▮▮▮ⓒ 晶胞参数 (Unit Cell Parameters)：描述晶胞的形状和大小需要 6 个 晶胞参数 (unit cell parameters)：
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 三条棱的长度 \(a\), \(b\), \(c\) (沿晶轴 \(x\), \(y\), \(z\) 方向的晶格常数)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 三个棱之间的夹角 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (\(\alpha\) 是 \(b\) 和 \(c\) 轴之间的夹角，\(\beta\) 是 \(a\) 和 \(c\) 轴之间的夹角，\(\gamma\) 是 \(a\) 和 \(b\) 轴之间的夹角)。
▮▮▮▮晶胞类型：根据晶胞内格点的位置，可以分为 原胞 (primitive cell) 和 非原胞 (non-primitive cell)。
▮▮▮▮ⓐ 原胞 (Primitive Cell)：只在晶胞的顶点上含有格点，每个顶点上的格点被 8 个晶胞共用，所以每个原胞平均含有一个格点。
▮▮▮▮ⓑ 非原胞 (Non-primitive Cell)：除了顶点，还在晶胞的体心 (body-centered) 或 面心 (face-centered) 等位置含有格点。常见的非原胞包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 体心晶胞 (Body-centered Cell)：除了顶点格点外，还在晶胞的体心位置有一个格点。每个体心晶胞平均含有两个格点。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 面心晶胞 (Face-centered Cell)：除了顶点格点外，还在每个面的中心位置有一个格点。每个面心晶胞平均含有四个格点。
▮▮▮▮晶胞的选取：晶胞的选取不是唯一的，为了方便描述和计算，通常遵循以下原则：
▮▮▮▮ⓐ 晶胞应尽可能反映晶格的对称性。
▮▮▮▮ⓑ 晶胞的形状应尽可能简单规整，如立方体、正交长方体等。
▮▮▮▮ⓒ 晶胞的体积应尽可能小，原胞是体积最小的晶胞。

③ 晶格与晶胞的关系：

▮▮▮▮晶格是晶体结构周期性特征的抽象概括，而晶胞是晶格周期性重复的最小单元。晶格和晶胞是描述晶体结构不可分割的两个概念。理解晶格和晶胞的概念是研究晶体结构的基础。

④ 总结：

晶格和晶胞是描述晶体结构的基础工具。晶格描述了晶体结构中格点的周期性排列，晶胞则是在晶格中选取的最小重复单元。通过晶胞参数，我们可以定量地描述晶体结构的几何特征。晶格类型和晶胞类型是晶体结构分类的重要依据。掌握晶格和晶胞的概念，有助于深入理解各种晶体材料的结构和性质。

7.1.3 晶系与密勒指数 (Crystal Systems and Miller Indices)

为了对晶体结构进行系统分类和描述，引入了 晶系 (crystal systems) 和 密勒指数 (Miller indices) 的概念。

① 晶系 (Crystal Systems)：

▮▮▮▮定义：晶系是根据晶体结构的点群对称性 (point group symmetry) 和 晶格参数 (lattice parameters) 的特征，将所有晶体结构划分为若干个类别。晶系是晶体结构分类的基本框架。

▮▮▮▮七大晶系 (Seven Crystal Systems)：根据晶体结构的对称性，可以将所有晶体结构归纳为七个晶系：
▮▮▮▮ⓐ 三斜晶系 (Triclinic System)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a \neq b \neq c\)，\(\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^\circ\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：最低对称性，只有 1 次旋转轴或倒反中心。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：三斜 \(P\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：斜长石、蓝铜矿。
▮▮▮▮ⓑ 单斜晶系 (Monoclinic System)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a \neq b \neq c\)，\(\alpha = \gamma = 90^\circ \neq \beta\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：一个 2 次旋转轴或一个镜面，或二者兼有。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：单斜 \(P\), 单斜 \(C\) (或单斜 \(A\), 单斜 \(B\))。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：石膏、正长石。
▮▮▮▮ⓒ 正交晶系 (Orthorhombic System)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a \neq b \neq c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：三个相互垂直的 2 次旋转轴或一个 2 次旋转轴和两个相互垂直的镜面。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：正交 \(P\), 正交 \(C\) (或正交 \(A\), 正交 \(B\)), 正交 \(I\), 正交 \(F\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：硫磺、重晶石。
▮▮▮▮ⓓ 四方晶系 (Tetragonal System)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a = b \neq c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：一个 4 次旋转轴。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：四方 \(P\), 四方 \(I\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：金红石 (TiO₂)、锡石 (SnO₂)。
▮▮▮▮ⓔ 菱方晶系 (Rhombohedral System) (也称为三角晶系 (Trigonal System))：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma \neq 90^\circ\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：一个 3 次旋转轴。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：菱方 \(R\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：方解石 (CaCO₃)、石墨 (graphite)。
▮▮▮▮ⓕ 六方晶系 (Hexagonal System)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a = b \neq c\)，\(\alpha = \beta = 90^\circ\)，\(\gamma = 120^\circ\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：一个 6 次旋转轴。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：六方 \(P\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：石墨 (graphite)、锌矿 (ZnO)、冰 (ice)。
▮▮▮▮ⓖ 立方晶系 (Cubic System)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮晶格参数关系：\(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮对称性：最高的对称性，至少有四个 3 次旋转轴。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮布拉菲格子：立方 \(P\) (简单立方 simple cubic, SC), 立方 \(I\) (体心立方 body-centered cubic, BCC), 立方 \(F\) (面心立方 face-centered cubic, FCC)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮实例：金 (Au)、银 (Ag)、铜 (Cu)、氯化钠 (NaCl)。

② 密勒指数 (Miller Indices)：

▮▮▮▮定义：密勒指数是用一组整数 (hkl) 来标记晶体中不同方向的 晶面 (crystal plane) 和 晶向 (crystal direction) 的方法。密勒指数是晶体学中描述晶体学方向的重要工具。

▮▮▮▮晶面指数 (Miller Indices for Crystal Planes) (hkl)：
▮▮▮▮▮▮▮▮确定晶面指数的步骤：
▮▮▮▮ⓐ 确定晶面在 \(x\), \(y\), \(z\) 轴上的截距，以晶格常数 \(a\), \(b\), \(c\) 为单位。
▮▮▮▮ⓑ 取截距的倒数。如果截距为 \(\infty\)，则倒数为 0。
▮▮▮▮ⓒ 将倒数化为最小的整数比。这组整数即为晶面的密勒指数 \((hkl)\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮意义：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮密勒指数 \((hkl)\) 代表一组平行的晶面。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮指数为 \((hkl)\) 的晶面与 \(x\), \(y\), \(z\) 轴的截距之比为 \(1/h : 1/k : 1/l\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮负指数用数字上方加横线表示，如 \(\bar{1}\), \(\bar{2}\) 等。
▮▮▮▮▮▮▮▮示例：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮立方晶系中，(100) 晶面平行于 \(yz\) 平面，与 \(x\) 轴截距为 \(1a\)，与 \(y\), \(z\) 轴截距为 \(\infty\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮(110) 晶面平行于 \(z\) 轴，与 \(x\), \(y\) 轴截距均为 \(1a\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮(111) 晶面与 \(x\), \(y\), \(z\) 轴截距均为 \(1a\)。

▮▮▮▮晶向指数 (Miller Indices for Crystal Directions) \([uvw]\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮确定晶向指数的步骤：
▮▮▮▮ⓐ 在晶格中选取一个起点，沿晶向作一个矢量，使其终点尽可能靠近晶格点。
▮▮▮▮ⓑ 将矢量在 \(x\), \(y\), \(z\) 轴上的分量，以晶格常数 \(a\), \(b\), \(c\) 为单位表示。
▮▮▮▮ⓒ 将分量化为最小的整数比。这组整数即为晶向的密勒指数 \([uvw]\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮意义：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮密勒指数 \([uvw]\) 代表晶格中的一个特定方向。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮指数为 \([uvw]\) 的晶向矢量分量比为 \(u:v:w\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮负指数用数字上方加横线表示，如 \(\bar{1}\), \(\bar{2}\) 等。
▮▮▮▮▮▮▮▮示例：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮立方晶系中，[100] 晶向平行于 \(x\) 轴。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮[110] 晶向位于 \(xy\) 平面内，与 \(x\) 轴和 \(y\) 轴成 45° 角。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮[111] 晶向是立方体的体对角线方向。

③ 晶面族与晶向族：

▮▮▮▮晶面族 \(\{hkl\}\)：在立方晶系等高对称性晶系中，由于对称性操作，若干个不等价的晶面可能具有相同的原子密度和晶格结构特征，这些晶面称为 晶面族 (family of crystal planes)，用花括号 \(\{hkl\}\) 表示。例如，在立方晶系中，\(\{100\}\) 晶面族包括 (100), (\(\bar{1}00\)), (010), (0\(\bar{1}0\)), (001), (00\(\bar{1}\)) 六个晶面。

▮▮▮▮晶向族 \(\langle uvw \rangle\)：类似于晶面族，在立方晶系等高对称性晶系中，若干个不等价的晶向可能具有相同的晶格周期和线性密度，这些晶向称为 晶向族 (family of crystal directions)，用尖括号 \(\langle uvw \rangle\) 表示。例如，在立方晶系中，\(\langle 100 \rangle\) 晶向族包括 [100], [\(\bar{1}00\)], [010], [0\(\bar{1}0\)], [001], [00\(\bar{1}\)] 六个晶向。

④ 总结：

晶系和密勒指数是描述和分类晶体结构的重要工具。七大晶系根据晶体结构的对称性和晶格参数进行划分，为晶体学研究提供了基本框架。密勒指数 \((hkl)\) 和 \([uvw]\) 分别用于标记晶体中的晶面和晶向，为研究晶体的各向异性性质、衍射现象、生长习性等提供了便利。理解晶系和密勒指数是深入研究晶体材料结构和性质的关键。

7.1.4 常见晶体结构 (Common Crystal Structures)

许多重要的工程材料和自然界中的矿物都具有典型的晶体结构。以下介绍几种常见的晶体结构，主要集中在立方晶系，因为立方晶系结构相对简单且应用广泛。

① 简单立方结构 (Simple Cubic Structure, SC)：

▮▮▮▮晶格类型：简单立方 \(P\) 晶格。
▮▮▮▮晶胞：立方晶胞，晶胞参数 \(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮格点位置：格点位于立方晶胞的 8 个顶点。
▮▮▮▮每个晶胞包含的原子数：每个顶点上的格点被 8 个晶胞共用，所以每个晶胞平均包含 \(8 \times \frac{1}{8} = 1\) 个原子。
▮▮▮▮配位数 (Coordination Number)：每个原子最近邻的原子数为 6，配位数为 6。
▮▮▮▮原子堆积密度：原子堆积因子 (atomic packing factor, APF) 较低。
\[ APF_{SC} = \frac{1 \times V_{atom}}{V_{unit cell}} = \frac{1 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮在简单立方结构中，原子半径 \(r = \frac{a}{2}\)，所以
\[ APF_{SC} = \frac{\pi}{6} \approx 0.52 \]
▮▮▮▮实例：Po (钋) (在极端条件下)。简单立方结构的原子堆积密度较低，自然界中具有简单立方结构的物质非常少见。

② 体心立方结构 (Body-Centered Cubic Structure, BCC)：

▮▮▮▮晶格类型：体心立方 \(I\) 晶格。
▮▮▮▮晶胞：立方晶胞，晶胞参数 \(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮格点位置：格点位于立方晶胞的 8 个顶点和体心位置。
▮▮▮▮每个晶胞包含的原子数：顶点格点贡献 \(8 \times \frac{1}{8} = 1\) 个原子，体心格点完全属于该晶胞，贡献 1 个原子，所以每个晶胞平均包含 \(1 + 1 = 2\) 个原子。
▮▮▮▮配位数 (Coordination Number)：每个原子最近邻的原子数为 8，配位数为 8。
▮▮▮▮原子堆积密度：原子堆积因子较高。
\[ APF_{BCC} = \frac{2 \times V_{atom}}{V_{unit cell}} = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮在体心立方结构中，体对角线长度为 \(4r = \sqrt{3}a\)，所以 \(r = \frac{\sqrt{3}}{4}a\)，\(a = \frac{4r}{\sqrt{3}}\)。
\[ APF_{BCC} = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \approx 0.68 \]
▮▮▮▮实例：碱金属 (如锂 Li, 钠 Na, 钾 K, 铷 Rb, 铯 Cs)、过渡金属 (如钒 V, 铬 Cr, 铁 α-Fe, 铌 Nb, 钽 Ta, 钨 W, 钼 Mo)。体心立方结构的金属具有中等的原子堆积密度和较好的强度。

③ 面心立方结构 (Face-Centered Cubic Structure, FCC)：

▮▮▮▮晶格类型：面心立方 \(F\) 晶格。
▮▮▮▮晶胞：立方晶胞，晶胞参数 \(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮格点位置：格点位于立方晶胞的 8 个顶点和 6 个面心位置。
▮▮▮▮每个晶胞包含的原子数：顶点格点贡献 \(8 \times \frac{1}{8} = 1\) 个原子，面心格点每个被 2 个晶胞共用，贡献 \(6 \times \frac{1}{2} = 3\) 个原子，所以每个晶胞平均包含 \(1 + 3 = 4\) 个原子。
▮▮▮▮配位数 (Coordination Number)：每个原子最近邻的原子数为 12，配位数为 12。这是金属晶体中最常见的配位数。
▮▮▮▮原子堆积密度：原子堆积因子很高，是原子堆积最紧密的方式之一。
\[ APF_{FCC} = \frac{4 \times V_{atom}}{V_{unit cell}} = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮在面心立方结构中，面对角线长度为 \(4r = \sqrt{2}a\)，所以 \(r = \frac{\sqrt{2}}{4}a\)，\(a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r\)。
\[ APF_{FCC} = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{(2\sqrt{2}r)^3} = \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \approx 0.74 \]
▮▮▮▮实例：稀有气体固体 (如氖 Ne, 氩 Ar, 氪 Kr, 氙 Xe)、金属 (如铝 Al, 铜 Cu, 银 Ag, 金 Au, 镍 Ni, 铂 Pt, 铅 Pb)。面心立方结构的金属具有最高的原子堆积密度，良好的塑性和延展性。

④ 六方密堆积结构 (Hexagonal Close-Packed Structure, HCP)：

▮▮▮▮晶格类型：六方 \(P\) 晶格。
▮▮▮▮晶胞：六方晶胞，晶胞参数 \(a = b \neq c\)，\(\alpha = \beta = 90^\circ\)，\(\gamma = 120^\circ\)。理想 HCP 结构的 \(c/a = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.633\)。
▮▮▮▮格点位置：六方晶胞的顶点和底面中心，以及晶胞内部特定位置。更精确的描述是将 HCP 结构看作是两层六方简单格子堆垛而成，其中一层相对于另一层在 \(xy\) 平面内平移了 \(\frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b}\) (或 \(\frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{3}\mathbf{b}\))。
▮▮▮▮每个晶胞包含的原子数：每个六方晶胞平均包含 6 个原子。
▮▮▮▮配位数 (Coordination Number)：每个原子最近邻的原子数为 12，配位数为 12。与 FCC 结构相同。
▮▮▮▮原子堆积密度：原子堆积因子与 FCC 结构相同，也是最高的原子堆积方式之一。
\[ APF_{HCP} = \frac{6 \times V_{atom}}{V_{unit cell}} = 0.74 \]
▮▮▮▮实例：金属 (如铍 Be, 镁 Mg, 锌 Zn, 镉 Cd, 钛 Ti, 锆 Zr, 钴 Co)。六方密堆积结构与面心立方结构一样，具有很高的原子堆积密度，但其堆垛方式和对称性与 FCC 结构有所不同，导致某些物理性质上的差异。

⑤ 金刚石结构 (Diamond Structure)：

▮▮▮▮晶格类型：面心立方 \(F\) 晶格，但每个格点位置不是单个原子，而是包含两个原子的基元。
▮▮▮▮晶胞：立方晶胞，晶胞参数 \(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮原子位置：在 FCC 晶格的格点位置上，以及在立方晶胞的 \(\frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{4}\) 和 \(\frac{3}{4}\frac{3}{4}\frac{3}{4}\) 位置上各有原子。每个晶胞共包含 8 个原子。
▮▮▮▮配位数 (Coordination Number)：每个原子与 4 个原子形成共价键，配位数为 4，呈四面体配位。
▮▮▮▮原子堆积密度：原子堆积因子较低，结构相对疏松。
\[ APF_{Diamond} = 0.34 \]
▮▮▮▮实例：C (金刚石 Diamond), Si (硅), Ge (锗), α-Sn (灰锡)。金刚石结构是一种典型的共价晶体结构，具有很高的硬度和低的原子堆积密度。

⑥ 氯化钠结构 (Sodium Chloride Structure, NaCl)：

▮▮▮▮晶格类型：面心立方 \(F\) 晶格，但基元包含 Na⁺ 和 Cl⁻ 两种离子。
▮▮▮▮晶胞：立方晶胞，晶胞参数 \(a = b = c\)，\(\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ\)。
▮▮▮▮离子位置：Cl⁻ 离子占据 FCC 晶格的格点位置，Na⁺ 离子占据立方晶胞的体心位置和棱心位置 (或反之)。每个晶胞包含 4 个 NaCl 分子，即 4 个 Na⁺ 离子和 4 个 Cl⁻ 离子。
▮▮▮▮配位数 (Coordination Number)：每个 Na⁺ 离子最近邻有 6 个 Cl⁻ 离子，每个 Cl⁻ 离子最近邻有 6 个 Na⁺ 离子，配位数为 6。
▮▮▮▮实例：碱金属卤化物 (如 NaCl, KCl, LiF, MgO, CaO, MnO)。氯化钠结构是一种典型的离子晶体结构。

⑦ 总结：

常见的晶体结构包括简单立方 (SC)、体心立方 (BCC)、面心立方 (FCC)、六方密堆积 (HCP)、金刚石 (Diamond) 和氯化钠 (NaCl) 结构等。这些结构广泛存在于金属、半导体、离子晶体等各类材料中。不同的晶体结构具有不同的原子堆积密度、配位数和对称性，从而导致材料物理性质的差异。理解这些常见晶体结构对于材料科学和工程应用至关重要。

7.2 固体中的电子能带理论 (Electron Band Theory in Solids)

7.2.1 能带的形成 (Formation of Energy Bands)

能带理论 (band theory) 是固体物理学中用于描述固体中电子能级结构和性质的理论。它解释了电子在晶体固体中不再像孤立原子那样具有离散的能级，而是形成连续的 能带 (energy bands) 和 能隙 (energy gaps)。能带理论是理解固体材料电导率、光学性质等特性的基础。

① 孤立原子的电子能级 (Electron Energy Levels in Isolated Atoms)：

▮▮▮▮在孤立的原子中，电子只能占据一系列离散的能级 (discrete energy levels)，这些能级对应于原子核外不同电子层和亚层的电子轨道。例如，氢原子 (H atom) 的电子能级可以用主量子数 \(n=1, 2, 3, \dots\) 来标记，每个 \(n\) 值对应一个能级，能级之间是不连续的。

② 原子聚集形成固体时的能级变化 (Energy Level Changes when Atoms Aggregate to Form Solids)：

▮▮▮▮当大量的原子聚集形成晶体固体时，原子之间的距离变得非常接近，原子核外电子的波函数开始交叠 (overlap)，原子间的相互作用变得显著。这种相互作用导致原子原有的离散能级发生分裂和扩展，最终形成连续的能带。

▮▮▮▮能级分裂 (Energy Level Splitting)：
▮▮▮▮▮▮▮▮考虑两个相同的原子相互靠近。当原子间距减小时，原子轨道发生交叠，每个原子原有的能级会分裂成两个能级。例如，如果每个原子有一个 \(2s\) 轨道，当两个原子靠近时，\(2s\) 能级分裂成两个能级：一个能量较低的 成键轨道 (bonding orbital) 和一个能量较高的 反键轨道 (antibonding orbital)。
▮▮▮▮▮▮▮▮当 \(N\) 个原子聚集形成晶体时，每个原子原有的能级会分裂成 \(N\) 个非常接近的能级。当 \(N\) 非常大（如 \(10^{23}\) 量级）时，这些分裂的能级几乎是连续的，形成一个 能带 (energy band)。

▮▮▮▮能带的形成过程：
▮▮▮▮▮▮▮▮以钠 (Na) 金属为例，说明能带的形成过程。钠原子 (Na atom) 的电子组态为 \([Ne]3s^1\)。当大量的钠原子聚集形成钠金属晶体时：
▮▮▮▮ⓐ 内层电子能级 (Core Level)：原子内层电子 (如 \(1s, 2s, 2p\) 电子) 由于离原子核较近，受到原子核的束缚较强，原子轨道交叠较小，因此内层电子能级受原子间相互作用影响很小，能级分裂不明显，仍然保持相对离散的能级。
▮▮▮▮ⓑ 外层电子能级 (Valence Level)：原子外层电子 (如 \(3s\) 电子) 离原子核较远，受到原子核的束缚较弱，原子轨道交叠较大，因此外层电子能级受原子间相互作用影响显著，能级分裂非常明显，扩展形成能带。
▮▮▮▮ⓒ 能带宽度 (Band Width)：能带的宽度取决于原子轨道交叠的程度。原子轨道交叠越大，能带宽度越大。外层电子能带宽度通常比内层电子能带宽度大。
▮▮▮▮ⓓ 能隙 (Energy Gap)：在相邻的能带之间，可能存在一些能量区域，电子在这些能量区域内没有允许的能级，这些能量区域称为 能隙 (energy gap) 或禁带 (forbidden band)。能隙的大小取决于原子种类和晶体结构。

③ 允许带 (Allowed Bands) 与禁带 (Forbidden Bands)：

▮▮▮▮允许带 (Allowed Bands)：由原子离散能级分裂扩展形成的、电子可以占据的能量区域称为 允许带 (allowed bands) 或能带 (energy bands)。在能带内，电子的能量是连续变化的。常见的能带包括：
▮▮▮▮ⓐ 价带 (Valence Band)：能量最高的、在绝对零度 (0K) 时被电子占据的能带，主要由原子外层价电子轨道 (如 \(s, p, d\) 轨道) 形成。价带中的电子主要参与形成化学键，决定材料的化学性质和结构稳定性。
▮▮▮▮ⓑ 导带 (Conduction Band)：能量高于价带的、在绝对零度 (0K) 时通常是空带的能带。导带中的电子可以自由移动，形成电流，决定材料的导电性能。
▮▮▮▮ⓒ 内层能带 (Core Bands)：能量低于价带的能带，由原子内层电子轨道形成。内层能带的电子受原子核束缚较强，对材料的物理化学性质影响较小。

▮▮▮▮禁带 (Forbidden Bands)：在相邻的允许带之间，电子不能占据的能量区域称为 禁带 (forbidden bands) 或能隙 (energy gaps)。禁带宽度的大小是决定材料电学性质的关键因素。禁带宽度通常用 \(E_g\) 表示。

④ 能带结构图 (Band Structure Diagram)：

▮▮▮▮能带结构图 是描述固体材料电子能带结构的重要工具。能带结构图通常以 能量 \(E\) 为纵轴，以 波矢 \(k\) (或晶体动量) 为横轴，表示电子能量 \(E\) 随波矢 \(k\) 的变化关系 \(E(k)\)。波矢 \(k\) 反映了电子在晶体中的波动性。

▮▮▮▮能带结构图的特点：
▮▮▮▮ⓐ 周期性 (Periodicity)：由于晶格的周期性，能带结构也具有周期性，即 \(E(k) = E(k + \mathbf{G})\)，其中 \(\mathbf{G}\) 是倒格矢 (reciprocal lattice vector)。因此，只需在 布里渊区 (Brillouin zone) 内描述能带结构即可。
▮▮▮▮ⓑ 能带宽度与能隙：能带结构图直观地显示了能带的宽度和能隙的大小。
▮▮▮▮ⓒ 有效质量 (Effective Mass)：能带的曲率反映了电子在晶体中运动的 有效质量 (effective mass) \(m^*\) 。能带曲率越大，有效质量越小，电子越容易加速，导电性越好。
\[ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2E}{dk^2} \]
▮▮▮▮ⓓ 直接带隙与间接带隙 (Direct and Indirect Band Gap)：根据价带顶 (valence band maximum, VBM) 和导带底 (conduction band minimum, CBM) 在 \(k\) 空间的位置是否相同，可以将能隙分为 直接带隙 (direct band gap) 和 间接带隙 (indirect band gap)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 直接带隙 (Direct Band Gap)：价带顶和导带底在 \(k\) 空间的相同位置，电子在价带和导带之间跃迁时，动量守恒容易满足，光吸收和发光效率高。GaAs, InP 等直接带隙半导体常用于光电器件。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 间接带隙 (Indirect Band Gap)：价带顶和导带底在 \(k\) 空间的不同位置，电子在价带和导带之间跃迁时，需要声子 (phonon) 参与以满足动量守恒，跃迁概率较低，光吸收和发光效率较低。Si, Ge 等间接带隙半导体主要用于电子器件。

⑤ 总结：

能带理论揭示了固体中电子能级结构的形成机制。原子聚集形成固体时，原子轨道交叠导致离散能级分裂扩展形成连续的能带，能带之间存在禁带。能带结构图是描述能带结构的重要工具，它反映了电子能量与波矢的关系，以及能带宽度、能隙大小、有效质量、带隙类型等重要信息。能带理论是理解固体材料电学、光学、热学等性质的基础。

7.2.2 金属、绝缘体与半导体的能带结构 (Band Structures of Metals, Insulators and Semiconductors)

根据能带理论，固体材料可以根据其能带结构和费米能级 (Fermi level) 的位置，分为 金属 (metals), 绝缘体 (insulators) 和 半导体 (semiconductors) 三类，它们在电导率 (electrical conductivity) 上表现出显著的差异。

① 金属 (Metals)：

▮▮▮▮能带结构特征：
▮▮▮▮ⓐ 部分填充的能带 (Partially Filled Band)：金属的能带结构中，导带 (conduction band) 或价带 (valence band) 是部分被电子填充的，即存在 未被完全填满的能带。
▮▮▮▮ⓑ 费米能级 (Fermi Level) 位于能带内：费米能级 (Fermi level) \(E_F\) 是在绝对零度 (0K) 时，电子占据的最高能级。金属的费米能级 \(E_F\) 位于部分填充的能带内。这意味着在费米能级附近存在大量的空态 (unoccupied states)，电子很容易被激发到更高的能级。
▮▮▮▮ⓒ 无能隙 (No Band Gap) 或能带交叠 (Band Overlap)：金属的导带和价带之间没有明显的能隙 (band gap) 或存在能带交叠 (band overlap)。这意味着导带和价带是连续的，电子可以自由地在能带内移动。

▮▮▮▮电导率 (Electrical Conductivity)：
▮▮▮▮▮▮▮▮由于金属存在部分填充的能带，在施加外电场时，费米能级附近的电子很容易被激发到更高的空态，产生定向移动，形成电流。因此，金属具有极高的电导率 (electrical conductivity)。金属的电导率通常在 \(10^6 \sim 10^8 \, (\Omega \cdot m)^{-1}\) 量级。
▮▮▮▮▮▮▮▮金属的电导率随温度升高而降低，因为温度升高导致晶格振动增强，电子散射增加，载流子迁移率降低。

▮▮▮▮实例：铜 (Cu), 铝 (Al), 铁 (Fe), 金 (Au), 银 (Ag) 等大多数金属元素。

② 绝缘体 (Insulators)：

▮▮▮▮能带结构特征：
▮▮▮▮ⓐ 满带 (Filled Valence Band) 与空带 (Empty Conduction Band)：绝缘体的能带结构中，价带 (valence band) 被电子完全填满 (满带)，而 导带 (conduction band) 是完全空的 (空带)。
▮▮▮▮ⓑ 大的能隙 (Large Band Gap)：绝缘体的价带和导带之间存在一个 较宽的能隙 (band gap) \(E_g\)。能隙宽度通常 大于 3eV。例如，金刚石 (Diamond) 的能隙宽度约为 5.5eV，二氧化硅 (SiO₂) 的能隙宽度约为 9eV。
▮▮▮▮ⓒ 费米能级 (Fermi Level) 位于能隙中：绝缘体的费米能级 \(E_F\) 位于宽禁带的中间位置附近。

▮▮▮▮电导率 (Electrical Conductivity)：
▮▮▮▮▮▮▮▮由于绝缘体价带是满带，导带是空带，且能隙宽度较大，在通常温度下，价带中的电子很难被热激发跃迁到导带，导带中几乎没有自由电子。因此，绝缘体几乎不导电，具有极低的电导率 (electrical conductivity)。绝缘体的电导率通常在 \(10^{-12} \sim 10^{-20} \, (\Omega \cdot m)^{-1}\) 量级。
▮▮▮▮▮▮▮▮在极高温度或强电场下，绝缘体也可能发生击穿，表现出一定的导电性。

▮▮▮▮实例：金刚石 (Diamond), 二氧化硅 (SiO₂), 氧化铝 (Al₂O₃), 聚乙烯 (PE), 聚氯乙烯 (PVC) 等。

③ 半导体 (Semiconductors)：

▮▮▮▮能带结构特征：
▮▮▮▮ⓐ 满带 (Filled Valence Band) 与空带 (Empty Conduction Band) (在 0K 时)：纯净的本征半导体在绝对零度 (0K) 时，价带 (valence band) 被电子完全填满 (满带)，导带 (conduction band) 是完全空的 (空带)，与绝缘体类似。
▮▮▮▮ⓑ 较小的能隙 (Small Band Gap)：半导体的价带和导带之间也存在能隙 (band gap) \(E_g\)，但能隙宽度相对较小，通常 在 0 ~ 3eV 之间。常见的半导体材料的能隙宽度在 0.1 ~ 2.5eV 范围。例如，硅 (Si) 的能隙宽度约为 1.1eV，锗 (Ge) 的能隙宽度约为 0.7eV，砷化镓 (GaAs) 的能隙宽度约为 1.4eV。
▮▮▮▮ⓒ 费米能级 (Fermi Level) 位于能隙中 (本征半导体)：本征半导体的费米能级 \(E_F\) 位于禁带的中间位置附近。

▮▮▮▮电导率 (Electrical Conductivity)：
▮▮▮▮▮▮▮▮本征激发 (Intrinsic Excitation)：由于半导体的能隙宽度较小，在室温或较高温度下，价带中的一部分电子可以吸收热能，跃迁到导带，在导带中形成 自由电子 (free electrons)，同时在价带中留下 空穴 (holes)。自由电子和空穴都可以导电，称为 载流子 (carriers)。这种由热激发产生的载流子称为 本征载流子 (intrinsic carriers)。
▮▮▮▮▮▮▮▮电导率介于金属和绝缘体之间：半导体的电导率介于金属和绝缘体之间，通常在 \(10^{-6} \sim 10^{4} \, (\Omega \cdot m)^{-1}\) 量级，远低于金属，但远高于绝缘体。
▮▮▮▮▮▮▮▮电导率随温度升高而增大：与金属相反，半导体的电导率随温度升高而增大。因为温度升高，热激发产生的本征载流子浓度增加，导致电导率增大。
▮▮▮▮▮▮▮▮掺杂 (Doping) 显著改变电导率：半导体材料的电导率对杂质 (impurities) 非常敏感。通过掺杂 (doping) 特定种类的杂质原子，可以显著提高半导体的电导率，并控制半导体的导电类型 (n 型或 p 型)。掺杂是半导体技术的核心。

▮▮▮▮实例：硅 (Si), 锗 (Ge), 砷化镓 (GaAs), 磷化铟 (InP), 硫化镉 (CdS), 硒化锌 (ZnSe) 等。半导体材料是现代电子信息技术的基础。

④ 能带结构与电导率的关系总结：

⑤ 总结：

能带结构决定了固体材料的电学性质。金属具有部分填充的能带，电导率高；绝缘体具有宽禁带，电导率极低；半导体具有窄禁带，电导率介于金属和绝缘体之间，且可以通过温度和掺杂进行调控。理解金属、绝缘体和半导体的能带结构差异，是深入研究和应用固体材料的关键。半导体材料由于其独特的电学性质，在现代电子信息技术中占据着核心地位。

7.3 半导体物理 (Semiconductor Physics)

7.3.1 本征半导体与杂质半导体 (Intrinsic and Extrinsic Semiconductors)

半导体 (semiconductors) 可以根据其纯度和导电机制分为 本征半导体 (intrinsic semiconductors) 和 杂质半导体 (extrinsic semiconductors)。

① 本征半导体 (Intrinsic Semiconductors)：

▮▮▮▮定义：本征半导体是指非常纯净、不含杂质或缺陷的理想半导体材料。本征半导体的导电性主要来源于材料自身热激发产生的载流子 (carriers)。

▮▮▮▮载流子产生机制 (Carrier Generation Mechanism)：
▮▮▮▮▮▮▮▮热激发 (Thermal Excitation)：在本征半导体中，价带 (valence band) 中的电子可以吸收热能，跃迁到导带 (conduction band)，成为自由电子 (free electrons)。同时，在价带中留下空位，形成 空穴 (holes)。自由电子和空穴都是载流子。这种由热激发产生的载流子称为 本征载流子 (intrinsic carriers)。
▮▮▮▮▮▮▮▮电子-空穴对 (Electron-Hole Pairs)：热激发过程总是成对产生自由电子和空穴，即每产生一个自由电子，必然产生一个空穴。因此，本征半导体中的自由电子浓度 \(n\) 和空穴浓度 \(p\) 相等，都等于 本征载流子浓度 (intrinsic carrier concentration) \(n_i\)。即 \(n = p = n_i\)。

▮▮▮▮本征载流子浓度 (Intrinsic Carrier Concentration) \(n_i\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮本征载流子浓度 \(n_i\) 主要取决于半导体的能隙宽度 (band gap) \(E_g\) 和 温度 \(T\)。
\[ n_i \propto \exp(-\frac{E_g}{2kT}) \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(k\) 是 玻尔兹曼常数 (Boltzmann constant)。能隙宽度 \(E_g\) 越小，温度 \(T\) 越高，本征载流子浓度 \(n_i\) 越高。
▮▮▮▮▮▮▮▮对于常见的半导体材料，如硅 (Si) 和锗 (Ge)，在室温 (300K) 下，本征载流子浓度 \(n_i\) 相对较低，导致本征半导体的电导率不高。

▮▮▮▮费米能级 (Fermi Level) 位置：
▮▮▮▮▮▮▮▮在本征半导体中，由于自由电子和空穴浓度相等，费米能级 (Fermi level) \(E_F\) 位于禁带 (band gap) 的中间位置附近。更精确地讲，如果导带和价带的有效质量相等，费米能级严格位于禁带正中间。

▮▮▮▮实例：非常纯净的硅 (Si) 晶体、锗 (Ge) 晶体。理想的本征半导体在实际应用中很少见，因为即使是微量的杂质也会显著影响半导体的电学性质。

② 杂质半导体 (Extrinsic Semiconductors)：

▮▮▮▮定义：杂质半导体是指人为掺入特定杂质原子的半导体材料。通过掺杂，可以显著提高半导体的电导率，并控制半导体的导电类型 (n 型或 p 型)。

▮▮▮▮掺杂类型 (Doping Types)：根据掺入杂质原子的种类，杂质半导体可以分为 n 型半导体 (n-type semiconductors) 和 p 型半导体 (p-type semiconductors)。

▮▮▮▮ⓐ n 型半导体 (n-type Semiconductors)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮掺杂元素：掺入施主杂质 (donor impurities) 原子。施主杂质通常是V 族元素，如磷 (P), 砷 (As), 锑 (Sb) 等。对于硅 (Si) 半导体，掺入 P, As, Sb 原子。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮掺杂机制：施主杂质原子取代晶格中的硅原子后，由于 V 族元素比 IV 族元素多一个价电子，多余的价电子很容易被激发到导带，成为自由电子。施主杂质在禁带中形成 施主能级 (donor level)，施主能级位于导带底附近，能量很浅 (shallow level)，容易电离。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮载流子类型：n 型半导体中的主要载流子 (majority carriers) 是自由电子，少数载流子 (minority carriers) 是空穴。自由电子浓度 \(n\) 远大于空穴浓度 \(p\)，即 \(n \gg p\)。自由电子由施主杂质提供，也有一部分来自本征激发。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮费米能级 (Fermi Level) 位置：n 型半导体的费米能级 \(E_F\) 靠近导带底。掺杂浓度越高，费米能级越靠近导带底。

▮▮▮▮ⓑ p 型半导体 (p-type Semiconductors)：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮掺杂元素：掺入 受主杂质 (acceptor impurities) 原子。受主杂质通常是 III 族元素，如硼 (B), 铝 (Al), 镓 (Ga), 铟 (In) 等。对于硅 (Si) 半导体，掺入 B, Al, Ga, In 原子。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮掺杂机制：受主杂质原子取代晶格中的硅原子后，由于 III 族元素比 IV 族元素少一个价电子，导致受主杂质原子周围缺少一个电子。价带中的电子很容易被激发到受主杂质原子附近，填补电子空位，在价带中形成 空穴 (holes)。受主杂质在禁带中形成 受主能级 (acceptor level)，受主能级位于价带顶附近，能量很浅 (shallow level)，容易电离。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮载流子类型：p 型半导体中的 主要载流子 (majority carriers) 是空穴，少数载流子 (minority carriers) 是自由电子。空穴浓度 \(p\) 远大于自由电子浓度 \(n\)，即 \(p \gg n\)。空穴由受主杂质提供，也有一部分来自本征激发。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮费米能级 (Fermi Level) 位置：p 型半导体的费米能级 \(E_F\) 靠近价带顶。掺杂浓度越高，费米能级越靠近价带顶。

③ 载流子浓度关系 (Carrier Concentration Relationship)：

▮▮▮▮在半导体中，无论本征半导体还是杂质半导体，在一定温度下，自由电子浓度 \(n\) 和空穴浓度 \(p\) 的乘积 为常数，等于本征半导体的本征载流子浓度的平方。这个关系称为 质量作用定律 (mass action law)：
\[ np = n_i^2 \]
▮▮▮▮质量作用定律表明，在一定温度下，如果增加 n 型掺杂，提高自由电子浓度 \(n\)，则空穴浓度 \(p\) 会相应降低，以保持 \(np\) 乘积为常数。反之亦然。

④ 杂质半导体的电导率 (Conductivity of Extrinsic Semiconductors)：

▮▮▮▮杂质半导体的电导率主要由 多数载流子 (majority carriers) 决定。
▮▮▮▮n 型半导体电导率：主要由自由电子贡献。
\[ \sigma_n = n e \mu_e \]
▮▮▮▮p 型半导体电导率：主要由空穴贡献。
\[ \sigma_p = p e \mu_h \]
▮▮▮▮其中，\(e\) 是基本电荷，\(\mu_e\) 是电子迁移率 (electron mobility)，\(\mu_h\) 是空穴迁移率 (hole mobility)。掺杂浓度越高，多数载流子浓度越高，电导率越高。

⑤ 总结：

本征半导体是纯净的半导体材料，其导电性来源于自身热激发产生的本征载流子。杂质半导体是通过掺杂特定杂质原子获得的半导体材料，掺杂可以显著提高半导体的电导率，并控制导电类型。n 型半导体的主要载流子是自由电子，p 型半导体的主要载流子是空穴。杂质半导体是现代半导体器件的基础材料。

7.3.2 掺杂与载流子浓度控制 (Doping and Carrier Concentration Control)

掺杂 (doping) 是半导体技术中至关重要的工艺，通过精确控制掺杂的种类和浓度，可以有效调节半导体的载流子浓度 (carrier concentration) 和电学性质。

① 掺杂类型 (Types of Doping)：

▮▮▮▮根据掺入杂质原子的种类，掺杂分为 n 型掺杂 (n-type doping) 和 p 型掺杂 (p-type doping)。

▮▮▮▮n 型掺杂 (n-type Doping)：
▮▮▮▮▮▮▮▮掺入 施主杂质 (donor impurities) 原子，如 V 族元素 (P, As, Sb)。
▮▮▮▮▮▮▮▮施主杂质提供额外的自由电子，增加自由电子浓度，使半导体成为 n 型半导体 (n-type semiconductor)。
▮▮▮▮▮▮▮▮施主杂质电离 (Donor Ionization)：在室温或较高温度下，施主杂质原子很容易失去一个价电子，成为带正电的 施主离子 (donor ions)。施主电离过程可以表示为：
\[ D^0 \rightarrow D^+ + e^- \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(D^0\) 代表中性施主原子，\(D^+\) 代表施主离子，\(e^-\) 代表自由电子。

▮▮▮▮p 型掺杂 (p-type Doping)：
▮▮▮▮▮▮▮▮掺入 受主杂质 (acceptor impurities) 原子，如 III 族元素 (B, Al, Ga, In)。
▮▮▮▮▮▮▮▮受主杂质接受价带电子，产生空穴，增加空穴浓度，使半导体成为 p 型半导体 (p-type semiconductor)。
▮▮▮▮▮▮▮▮受主杂质电离 (Acceptor Ionization)：在室温或较高温度下，受主杂质原子很容易获得一个电子，成为带负电的 受主离子 (acceptor ions)。受主电离过程可以表示为：
\[ A^0 + e^- \rightarrow A^- \]
▮▮▮▮▮▮▮▮或者等价地表示为空穴的产生：
\[ A^0 \rightarrow A^- + h^+ \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(A^0\) 代表中性受主原子，\(A^-\) 代表受主离子，\(e^-\) 代表电子，\(h^+\) 代表空穴。

② 掺杂浓度与载流子浓度关系 (Doping Concentration and Carrier Concentration)：

▮▮▮▮n 型半导体：
▮▮▮▮▮▮▮▮设施主杂质浓度为 \(N_D\)，在完全电离的条件下，施主提供的自由电子浓度近似等于施主杂质浓度 \(N_D\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮自由电子浓度 (Electron Concentration)：\(n \approx N_D\) (当 \(N_D \gg n_i\) 时)。
▮▮▮▮▮▮▮▮空穴浓度 (Hole Concentration)：根据质量作用定律 \(np = n_i^2\)，空穴浓度 \(p = \frac{n_i^2}{n} \approx \frac{n_i^2}{N_D}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮在 n 型半导体中，自由电子是多数载流子，浓度主要由施主掺杂浓度 \(N_D\) 决定；空穴是少数载流子，浓度受本征载流子浓度 \(n_i\) 和施主掺杂浓度 \(N_D\) 共同影响。

▮▮▮▮p 型半导体：
▮▮▮▮▮▮▮▮设受主杂质浓度为 \(N_A\)，在完全电离的条件下，受主提供的空穴浓度近似等于受主杂质浓度 \(N_A\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮空穴浓度 (Hole Concentration)：\(p \approx N_A\) (当 \(N_A \gg n_i\) 时)。
▮▮▮▮▮▮▮▮自由电子浓度 (Electron Concentration)：根据质量作用定律 \(np = n_i^2\)，自由电子浓度 \(n = \frac{n_i^2}{p} \approx \frac{n_i^2}{N_A}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮在 p 型半导体中，空穴是多数载流子，浓度主要由受主掺杂浓度 \(N_A\) 决定；自由电子是少数载流子，浓度受本征载流子浓度 \(n_i\) 和受主掺杂浓度 \(N_A\) 共同影响。

③ 载流子浓度控制方法 (Carrier Concentration Control Methods)：

▮▮▮▮掺杂浓度控制 (Doping Concentration Control)：
▮▮▮▮▮▮▮▮通过精确控制掺杂浓度 \(N_D\) 或 \(N_A\)，可以直接调节多数载流子浓度。掺杂浓度越高，多数载流子浓度越高，电导率越高。
▮▮▮▮▮▮▮▮常用的掺杂技术包括：扩散 (diffusion), 离子注入 (ion implantation), 外延生长 (epitaxial growth) 等。这些技术可以实现对掺杂浓度和掺杂区域的精确控制。

▮▮▮▮温度控制 (Temperature Control)：
▮▮▮▮▮▮▮▮温度升高，本征激发增强，本征载流子浓度 \(n_i\) 增大。
▮▮▮▮▮▮▮▮对于本征半导体，电导率随温度升高而显著增大。
▮▮▮▮▮▮▮▮对于杂质半导体，在较低温度范围，电导率主要受 杂质电离 影响，随温度升高而略有增大。在较高温度范围，本征激发开始显著，电导率随温度升高而显著增大。
▮▮▮▮▮▮▮▮温度控制是一种动态调节载流子浓度的方法，但实际应用中较少单独使用温度控制，更多是与掺杂等其他方法结合使用。

▮▮▮▮光照控制 (Optical Control)：
▮▮▮▮▮▮▮▮光生载流子 (Photogenerated Carriers)：当半导体材料受到能量大于能隙宽度的光照射时，光子可以被价带电子吸收，使电子跃迁到导带，产生 光生电子-空穴对 (photogenerated electron-hole pairs)，从而增加载流子浓度。
▮▮▮▮▮▮▮▮光照强度越大，光生载流子浓度越高。光照控制是一种非接触式的载流子浓度调节方法，常用于光电器件，如太阳能电池、光电探测器等。

▮▮▮▮电场控制 (Electric Field Control)：
▮▮▮▮▮▮▮▮场效应 (Field Effect)：在半导体器件 (如场效应晶体管 FET) 中，通过在半导体表面施加 栅极电压 (gate voltage)，可以调制半导体表面的电场，从而调节表面附近的载流子浓度。
▮▮▮▮▮▮▮▮电场控制是一种重要的载流子浓度调节方法，是现代微电子器件的核心工作原理。

④ 总结：

掺杂是控制半导体载流子浓度的最有效方法。通过 n 型掺杂和 p 型掺杂，可以分别获得 n 型半导体和 p 型半导体，并精确控制多数载流子浓度。温度、光照和电场等外部条件也可以在一定程度上调节载流子浓度。多种载流子浓度控制方法的综合应用，使得半导体器件的设计和性能调控成为可能。

7.3.3 载流子输运：漂移与扩散 (Carrier Transport: Drift and Diffusion)

在半导体材料中，载流子 (carriers) (自由电子和空穴) 的运动和输运是产生电流、实现器件功能的基础。载流子输运主要有两种基本机制：漂移 (drift) 和 扩散 (diffusion)。

① 漂移运动 (Drift Motion)：

▮▮▮▮漂移运动 是指载流子在外电场 (external electric field) \(E\) 作用下的定向运动。外电场力驱动载流子加速运动，但由于晶格散射 (lattice scattering) 等阻力，载流子最终达到一个平均定向速度，称为 漂移速度 (drift velocity) \(v_d\)。

▮▮▮▮漂移速度与电场关系 (Drift Velocity and Electric Field)：
▮▮▮▮▮▮▮▮在低电场下，载流子的漂移速度 \(v_d\) 与外电场 \(E\) 成线性关系：
\[ v_d = \mu E \]
▮▮▮▮▮▮▮▮比例系数 \(\mu\) 称为 载流子迁移率 (carrier mobility)，反映了载流子在外电场作用下运动的难易程度。迁移率 \(\mu\) 的单位是 \(cm^2/(V \cdot s)\) 或 \(m^2/(V \cdot s)\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮电子迁移率 (Electron Mobility) \(\mu_e\) 和 空穴迁移率 (Hole Mobility) \(\mu_h\)：不同类型载流子的迁移率不同。通常情况下，电子迁移率 \(\mu_e\) 大于空穴迁移率 \(\mu_h\)。例如，在硅 (Si) 中，室温下 \(\mu_e \approx 1350 \, cm^2/(V \cdot s)\)，\(\mu_h \approx 480 \, cm^2/(V \cdot s)\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮高电场效应 (High Field Effect)：在高电场下，漂移速度与电场的线性关系不再成立。由于载流子能量增加，散射效应增强，漂移速度趋于饱和，称为 速度饱和 (velocity saturation)。

▮▮▮▮漂移电流密度 (Drift Current Density) \(J_{drift}\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮电子漂移电流密度 (Electron Drift Current Density)：
\[ J_{n,drift} = -n e v_{d,e} = -n e (-\mu_e E) = n e \mu_e E \]
▮▮▮▮▮▮▮▮空穴漂移电流密度 (Hole Drift Current Density)：
\[ J_{p,drift} = p e v_{d,h} = p e (\mu_h E) = p e \mu_h E \]
▮▮▮▮▮▮▮▮总漂移电流密度 (Total Drift Current Density)：
\[ J_{drift} = J_{n,drift} + J_{p,drift} = (n \mu_e + p \mu_h) e E = \sigma E \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(\sigma = (n \mu_e + p \mu_h) e\) 是半导体的 电导率 (conductivity)。漂移电流是半导体器件中电流的重要组成部分。

② 扩散运动 (Diffusion Motion)：

▮▮▮▮扩散运动 是指载流子在浓度梯度 (concentration gradient) 作用下的运动，从高浓度区域向低浓度区域的自发运动。扩散运动是熵增过程，旨在使载流子浓度分布趋于均匀。

▮▮▮▮扩散电流密度 (Diffusion Current Density) \(J_{diffusion}\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮电子扩散电流密度 (Electron Diffusion Current Density)：
\[ J_{n,diffusion} = e D_e \frac{dn}{dx} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮空穴扩散电流密度 (Hole Diffusion Current Density)：
\[ J_{p,diffusion} = -e D_h \frac{dp}{dx} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(D_e\) 是 电子扩散系数 (electron diffusion coefficient)，\(D_h\) 是 空穴扩散系数 (hole diffusion coefficient)，\(\frac{dn}{dx}\) 和 \(\frac{dp}{dx}\) 分别是电子和空穴的浓度梯度。扩散系数 \(D\) 的单位是 \(cm^2/s\) 或 \(m^2/s\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮爱因斯坦关系 (Einstein Relation)：载流子迁移率 \(\mu\) 和扩散系数 \(D\) 之间存在 爱因斯坦关系 (Einstein relation)：
\[ \frac{D}{\mu} = \frac{kT}{e} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(k\) 是 玻尔兹曼常数 (Boltzmann constant)，\(T\) 是绝对温度，\(e\) 是基本电荷。爱因斯坦关系将载流子的漂移和扩散特性联系起来。

▮▮▮▮总电流密度 (Total Current Density)：
▮▮▮▮▮▮▮▮半导体中的总电流密度是漂移电流密度和扩散电流密度的叠加：
\[ J = J_{drift} + J_{diffusion} = (n \mu_e + p \mu_h) e E + e D_e \frac{dn}{dx} - e D_h \frac{dp}{dx} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮在实际半导体器件中，漂移电流和扩散电流可能同时存在，共同决定器件的电流特性。

③ 载流子迁移率与扩散系数的影响因素 (Factors Affecting Mobility and Diffusion Coefficient)：

▮▮▮▮温度 (Temperature)：
▮▮▮▮▮▮▮▮迁移率 (Mobility) \(\mu\)：随着温度升高，晶格振动增强，载流子散射增加，迁移率 \(\mu\) 降低。
▮▮▮▮▮▮▮▮扩散系数 (Diffusion Coefficient) \(D\)：根据爱因斯坦关系 \(D = \frac{kT}{e} \mu\)，虽然迁移率 \(\mu\) 降低，但温度 \(T\) 升高，扩散系数 \(D\) 增大。

▮▮▮▮杂质浓度 (Impurity Concentration)：
▮▮▮▮▮▮▮▮迁移率 (Mobility) \(\mu\)：随着杂质浓度增加，杂质散射增强，迁移率 \(\mu\) 降低。特别是高掺杂半导体，迁移率显著降低。
▮▮▮▮▮▮▮▮扩散系数 (Diffusion Coefficient) \(D\)：杂质浓度对扩散系数 \(D\) 的影响相对复杂，在高掺杂情况下，扩散系数可能随杂质浓度变化而变化。

▮▮▮▮晶格缺陷 (Crystal Defects)：
▮▮▮▮▮▮▮▮晶格缺陷 (如位错、晶界、界面缺陷等) 会引起散射，降低载流子迁移率 \(\mu\)。

④ 总结：

载流子漂移和扩散是半导体中载流子输运的两种基本机制。漂移运动是由外电场驱动的定向运动，产生漂移电流；扩散运动是由浓度梯度驱动的自发运动，产生扩散电流。载流子迁移率和扩散系数是描述载流子输运特性的重要参数，受温度、杂质浓度、晶格缺陷等因素影响。理解载流子漂移和扩散机制，对于分析和设计半导体器件至关重要。

7.4 超导电性 (Superconductivity)

7.4.1 超导现象的发现与特性 (Discovery and Properties of Superconductivity)

超导电性 (superconductivity) 是一种特殊的物理现象，指某些材料在低于某一临界温度 (critical temperature) \(T_c\) 时，电阻突然消失 (zero resistance)，并表现出 完全抗磁性 (perfect diamagnetism) 或迈斯纳效应 (Meissner effect) 的奇异电磁特性。超导现象的发现和研究是凝聚态物理学最重要的进展之一。

① 超导现象的发现 (Discovery of Superconductivity)：

▮▮▮▮1911年，卡末林·昂内斯 (Heike Kamerlingh Onnes) 在荷兰莱顿大学发现了超导现象。在研究金属汞 (Hg) 在低温下的电阻时，昂内斯发现当温度降低到 4.2K 时，汞的电阻突然降至无法测量的程度，即电阻消失。这是人类首次发现超导现象，临界温度 4.2K 被称为 汞的超导转变温度 \(T_c\)。

▮▮▮▮早期超导材料 (Early Superconducting Materials)：
▮▮▮▮▮▮▮▮在汞之后，陆续发现了铅 (Pb), 锡 (Sn), 铝 (Al), 铌 (Nb) 等多种金属元素和合金也具有超导电性，它们的超导转变温度 \(T_c\) 通常在 液氦温区 (4.2K 附近或更低)。这些早期发现的超导材料被称为 传统超导体 (conventional superconductors) 或低温超导体 (low-temperature superconductors)。

② 超导电性的基本特性 (Basic Properties of Superconductivity)：

▮▮▮▮零电阻 (Zero Resistance)：
▮▮▮▮▮▮▮▮超导体的最显著特征是电阻为零。当温度低于临界温度 \(T_c\) 时，超导体的电阻突然消失，电流在超导体中可以无损耗地持续流动。实验表明，超导体的电阻率低于 \(10^{-25} \, \Omega \cdot m\)，比普通金属的电阻率低 10 个数量级以上，实际上可以认为是零电阻。
▮▮▮▮▮▮▮▮持续电流 (Persistent Current)：在超导环中感应出的电流，可以持续流动数年而衰减极小，这证实了超导体的电阻确实为零。

▮▮▮▮迈斯纳效应 (Meissner Effect) 或完全抗磁性 (Perfect Diamagnetism)：
▮▮▮▮▮▮▮▮1933年，迈斯纳 (W. Meissner) 和奥克森菲尔德 (R. Ochsenfeld) 发现，当超导体处于超导态时，磁场无法穿透超导体内部，超导体将完全排斥磁场，这种现象称为 迈斯纳效应 (Meissner effect) 或 完全抗磁性 (perfect diamagnetism)。
▮▮▮▮▮▮▮▮磁通量量子化 (Magnetic Flux Quantization)：超导体内磁场为零，但如果超导体是空心圆环，则圆环内部可以存在磁场，且磁通量被 量子化 (quantized)，即磁通量只能是某个 磁通量子 (magnetic flux quantum) \(\Phi_0\) 的整数倍。磁通量子 \(\Phi_0 = \frac{h}{2e} \approx 2.07 \times 10^{-15} \, Wb\)，其中 \(h\) 是 普朗克常数 (Planck constant)，\(e\) 是基本电荷。
▮▮▮▮▮▮▮▮抗磁化率 (Magnetic Susceptibility)：超导体的磁化率 \(\chi\) 为 -1，是理想的 抗磁体 (diamagnet)。

▮▮▮▮临界温度 (Critical Temperature) \(T_c\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮每种超导材料都有一个特定的 临界温度 (critical temperature) \(T_c\)。当温度 \(T < T_c\) 时，材料进入超导态；当温度 \(T > T_c\) 时，材料恢复到正常态。超导转变是一个相变过程 (phase transition)。
▮▮▮▮▮▮▮▮典型低温超导体的临界温度：铌 (Nb) \(T_c \approx 9.2K\)，铅 (Pb) \(T_c \approx 7.2K\)，锡 (Sn) \(T_c \approx 3.7K\)，铝 (Al) \(T_c \approx 1.2K\)，汞 (Hg) \(T_c \approx 4.2K\)。

▮▮▮▮临界磁场 (Critical Magnetic Field) \(H_c\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮超导体的超导态会被外磁场破坏。对于给定的温度 \(T < T_c\)，存在一个 临界磁场 (critical magnetic field) \(H_c(T)\)。当外磁场 \(H < H_c(T)\) 时，材料保持超导态；当 \(H > H_c(T)\) 时，超导态被破坏，材料转变为正常态。
\[ H_c(T) \approx H_c(0) [1 - (\frac{T}{T_c})^2] \]
▮▮▮▮▮▮▮▮其中，\(H_c(0)\) 是 0K 时的临界磁场。

▮▮▮▮临界电流密度 (Critical Current Density) \(J_c\)：
▮▮▮▮▮▮▮▮超导体的超导态也会被电流破坏。当超导体中通过的电流密度 \(J\) 超过 临界电流密度 (critical current density) \(J_c(T, H)\) 时，超导态被破坏，材料转变为正常态。临界电流密度 \(J_c\) 受温度 \(T\) 和外磁场 \(H\) 的影响。

③ 超导体的分类 (Classification of Superconductors)：

▮▮▮▮根据磁行为分类：
▮▮▮▮ⓐ I 型超导体 (Type-I Superconductors)：也称 软超导体 (soft superconductors)。I 型超导体只有一个临界磁场 \(H_c\)。当外磁场 \(H < H_c\) 时，完全处于超导态；当 \(H > H_c\) 时，突然完全转变为正常态。迈斯纳效应在 \(H < H_c\) 时完全成立，磁场完全被排出。典型 I 型超导体是金属元素，如铝 (Al), 锡 (Sn), 铅 (Pb), 汞 (Hg) 等。
▮▮▮▮ⓑ II 型超导体 (Type-II Superconductors)：也称 硬超导体 (hard superconductors)。II 型超导体有两个临界磁场：下临界磁场 (lower critical field) \(H_{c1}\) 和 上临界磁场 (upper critical field) \(H_{c2}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 当 \(H < H_{c1}\) 时，完全处于超导态，完全迈斯纳效应。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 当 \(H_{c1} < H < H_{c2}\) 时，处于 混合态 (mixed state) 或涡旋态 (vortex state)。磁场可以部分穿透超导体，形成 磁通线 (flux lines) 或涡旋 (vortices)。超导体内部同时存在超导区域和正常区域。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 当 \(H > H_{c2}\) 时，完全转变为正常态。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮II 型超导体的上临界磁场 \(H_{c2}\) 可以很高，有利于高场超导应用。典型 II 型超导体是合金和化合物，如铌钛合金 (NbTi), 铌三锡 (Nb₃Sn), YBCO 高温超导体等。

④ 总结：

超导电性是一种奇异的低温物理现象，具有零电阻和完全抗磁性等独特特性。超导现象的发现具有重要的科学意义和应用价值。超导材料根据磁行为可以分为 I 型超导体和 II 型超导体。理解超导现象的基本特性是研究超导理论和应用的基础。

7.4.2 BCS 理论简介 (Introduction to BCS Theory)

BCS 理论 (BCS theory) 是由 巴丁 (John Bardeen), 库珀 (Leon Cooper) 和 施里弗 (John Robert Schrieffer) 于 1957 年提出的微观超导理论，成功解释了传统超导电性的微观机制，是超导研究的里程碑式成果。BCS 理论认为超导电性来源于 库珀对 (Cooper pairs) 的形成和 玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensation)。

① 库珀对 (Cooper Pairs) 的形成：

▮▮▮▮电子-声子相互作用 (Electron-Phonon Interaction)：BCS 理论认为，超导电性是由 电子-声子相互作用 (electron-phonon interaction) 引起的。在金属晶格中，电子在运动时会引起晶格的局部畸变，产生 晶格振动 (lattice vibration) 或声子 (phonon)。一个电子通过与晶格相互作用发射声子，另一个电子可以吸收这个声子，从而实现两个电子之间的 间接吸引力 (indirect attraction)。

▮▮▮▮库珀对 (Cooper Pairs)：两个能量接近费米面 (Fermi surface) 的电子，通过声子媒介产生微弱的吸引力，可以形成 束缚态 (bound state)，称为 库珀对 (Cooper pairs)。库珀对的结合能非常微弱，只有 \(10^{-3} \sim 10^{-4} \, eV\) 量级，但这种微弱的吸引力足以导致超导现象。
▮▮▮▮▮▮▮▮库珀对的特性：
▮▮▮▮ⓐ 自旋配对 (Spin Pairing)：库珀对由两个自旋相反的电子配对而成，总自旋为 \(S=0\)，是 自旋单态 (spin singlet state)。
▮▮▮▮ⓑ 动量配对 (Momentum Pairing)：库珀对的两个电子动量相反，总动量为零。
▮▮▮▮ⓒ 空间扩展性 (Spatial Extent)：库珀对具有很大的空间扩展性，其大小约为 \(10^{-6} \, m\) (微米量级)，远大于原子尺寸，包含了大量的其他库珀对，形成 库珀对凝聚体 (Cooper pair condensate)。

② 玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein Condensation) 与超导态：

▮▮▮▮玻色子 (Bosons) 与玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein Condensation)：
▮▮▮▮▮▮▮▮玻色子 (Bosons) 是自旋为整数的粒子，如光子 (photon), 声子 (phonon), ⁴He 原子等。玻色子服从 玻色-爱因斯坦统计 (Bose-Einstein statistics)，在低温下会发生 玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensation, BEC)。BEC 指的是大量的玻色子在极低温下占据最低能量量子态的宏观量子现象。

▮▮▮▮库珀对的玻色子特性：由于库珀对是由两个自旋为 \(\frac{1}{2}\) 的费米子 (电子) 组成，总自旋为 \(S=0\) (整数)，因此 库珀对可以看作是复合玻色子 (composite bosons)。

▮▮▮▮库珀对凝聚与超导态：在临界温度 \(T_c\) 以下，大量的库珀对发生 玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensation)，形成 库珀对凝聚体 (Cooper pair condensate)。所有库珀对都凝聚到同一个最低能量的宏观量子态，形成一个 宏观量子波函数 (macroscopic quantum wave function)。库珀对凝聚体具有 超流性 (superfluidity)，可以无阻碍地流动，宏观表现为 超导电性 (superconductivity)。

③ BCS 理论对超导电性的解释：

▮▮▮▮零电阻 (Zero Resistance) 的解释：库珀对凝聚体形成后，所有库珀对都处于同一个量子态，形成一个相干 (coherent) 的宏观量子态。外加电场可以使所有库珀对整体加速运动，由于凝聚体的相干性和能隙 (energy gap) 的存在，库珀对运动不会受到散射阻碍，从而实现 零电阻电流。

▮▮▮▮迈斯纳效应 (Meissner Effect) 的解释：BCS 理论可以解释迈斯纳效应。超导体内电流的无损耗流动可以完全屏蔽外磁场，实现完全抗磁性。更深入的理论解释需要用到 伦敦方程 (London equations) 和 金兹堡-朗道理论 (Ginzburg-Landau theory) 等理论。

▮▮▮▮能隙 (Energy Gap) 的存在：BCS 理论预言，在超导态存在一个 能隙 (energy gap) \(\Delta(T)\)，位于费米能级附近。能隙 \(\Delta(T)\) 是分离单电子激发态和库珀对凝聚态的能量间隔。能隙大小与温度有关，在 \(T=0K\) 时能隙最大 \(\Delta(0)\)，随温度升高而减小，在 \(T=T_c\) 时能隙消失。能隙的存在是超导态稳定性的重要保证。

④ BCS 理论的局限性 (Limitations of BCS Theory)：

▮▮▮▮BCS 理论成功解释了传统低温超导体的超导电性，但无法解释高温超导电性 (high-temperature superconductivity) 的机制。高温超导体的超导转变温度远高于 BCS 理论的预测上限 (通常认为 BCS 理论的 \(T_c\) 上限约为 30-40K)。高温超导体的配对机制可能不是简单的电子-声子相互作用，可能涉及更复杂的电子关联效应 (electron correlation effects) 或磁相互作用 (magnetic interactions)。

⑤ 总结：

BCS 理论是传统超导电性的微观理论基石。它揭示了超导电性来源于库珀对的形成和玻色-爱因斯坦凝聚。BCS 理论成功解释了零电阻、迈斯纳效应、能隙存在等超导基本特性，但对高温超导电性的解释存在局限性。BCS 理论的建立极大地推动了超导研究的发展。

7.4.3 高温超导电性初步 (Introduction to High-Temperature Superconductivity)

高温超导电性 (high-temperature superconductivity) 是指某些材料在高于液氮温度 (77K) 的温度下表现出的超导电性。高温超导现象的发现打破了传统超导理论的局限，是凝聚态物理学又一重大突破，具有重要的科学意义和潜在的应用价值。

① 高温超导现象的发现 (Discovery of High-Temperature Superconductivity)：

▮▮▮▮1986年，柏诺兹 (Johannes Georg Bednorz) 和缪勒 (Karl Alexander Müller) 在瑞士 IBM 苏黎世实验室发现了 镧钡铜氧化物 (La-Ba-Cu-O) 系列陶瓷材料具有高温超导电性，超导转变温度 \(T_c \approx 35K\)，首次突破了 BCS 理论的 \(T_c\) 上限。这一发现获得了 1987 年诺贝尔物理学奖。

▮▮▮▮钇钡铜氧化物 (YBCO) 超导体：
▮▮▮▮▮▮▮▮1987年，吴茂昆、赵忠贤等 中国科学家独立发现了 钇钡铜氧化物 (YBa₂Cu₃O<0xE2><0x82><0x97>₇, YBCO) 超导体，超导转变温度 \(T_c \approx 93K\)，首次突破了液氮温度 (77K)。液氮是一种廉价易得的冷却剂，YBCO 超导体的发现具有划时代的意义，开启了高温超导研究和应用的新纪元。

▮▮▮▮其他高温超导材料：
▮▮▮▮▮▮▮▮继 La-Ba-Cu-O 和 YBCO 之后，陆续发现了 铋锶钙铜氧化物 (Bi-Sr-Ca-Cu-O, BSCCO), 铊钡钙铜氧化物 (Tl-Ba-Ca-Cu-O, TBCCO), 汞钡钙铜氧化物 (Hg-Ba-Ca-Cu-O, HBCCO) 等一系列铜氧化物高温超导体，以及 铁基超导体 (iron-based superconductors), 镍基超导体 (nickel-based superconductors) 等新型高温超导材料。目前已发现的最高超导转变温度记录保持在 HgBa₂Ca₂Cu₃O<0xE2><0x82><0x88>₈ 材料中，常压下 \(T_c \approx 135K\)，高压下 \(T_c \approx 164K\)。

② 高温超导体的特性 (Properties of High-Temperature Superconductors)：

▮▮▮▮高超导转变温度 (High Critical Temperature)：高温超导体的最显著特征是 超导转变温度 \(T_c\) 较高，通常高于液氮温度 (77K)。这使得高温超导体的应用可以采用廉价的液氮冷却，大大降低了冷却成本和技术难度。

▮▮▮▮II 型超导体 (Type-II Superconductors)：所有已发现的高温超导体都是 II 型超导体 (type-II superconductors)。它们具有较高的上临界磁场 \(H_{c2}\) 和临界电流密度 \(J_c\)，有利于高场和强流超导应用。

▮▮▮▮铜氧化物高温超导体的共同结构特征：大多数铜氧化物高温超导体都具有 钙钛矿 (perovskite) 结构，特别是 层状铜氧化物 (layered cuprates) 结构。结构中存在 CuO₂ 平面 (CuO₂ planes)，被认为是高温超导电性的关键结构单元。

▮▮▮▮非常规超导机制 (Unconventional Superconducting Mechanism)：高温超导体的超导机制与传统超导体不同，无法用 BCS 理论完全解释。高温超导体的配对机制被认为是 非常规的 (unconventional)，可能涉及 强电子关联效应 (strong electron correlation effects), 反铁磁自旋涨落 (antiferromagnetic spin fluctuations), d 波配对 (d-wave pairing) 等复杂机制。高温超导机制仍然是凝聚态物理学领域的前沿和热点研究方向。

③ 高温超导体的工程应用潜力 (Engineering Applications of High-Temperature Superconductors)：

▮▮▮▮电力系统 (Power Systems)：
▮▮▮▮▮▮▮▮超导输电 (Superconducting Power Transmission)：利用高温超导电缆实现电力无损耗传输，提高输电效率，降低能源损耗。
▮▮▮▮▮▮▮▮超导变压器 (Superconducting Transformers), 超导发电机 (Superconducting Generators), 超导储能 (Superconducting Magnetic Energy Storage, SMES) 等，提高电力设备的效率和性能。

▮▮▮▮磁体技术 (Magnet Technology)：
▮▮▮▮▮▮▮▮高温超导磁体 (High-Temperature Superconducting Magnets)：利用高温超导材料制造高场强、小型化、低功耗的超导磁体，应用于 核磁共振成像 (MRI), 磁悬浮列车 (Maglev), 聚变反应堆 (Fusion Reactors), 高能物理研究 (High Energy Physics Research) 等领域。

▮▮▮▮电子器件 (Electronic Devices)：
▮▮▮▮▮▮▮▮超导量子干涉器件 (Superconducting Quantum Interference Devices, SQUIDs)：利用超导量子干涉效应制造极高灵敏度的磁场传感器，应用于生物磁学 (Biomagnetism), 地磁探测 (Geomagnetic Detection), 无损检测 (Non-Destructive Testing) 等领域。
▮▮▮▮▮▮▮▮超导电子学 (Superconducting Electronics)：利用超导材料制造高速、低功耗的电子器件，应用于微波通信 (Microwave Communications), 高速数字电路 (High-Speed Digital Circuits) 等领域。

▮▮▮▮其他应用 (Other Applications)：
▮▮▮▮▮▮▮▮超导滤波器 (Superconducting Filters), 超导天线 (Superconducting Antennas), 超导微波器件 (Superconducting Microwave Devices) 等，应用于通信、雷达、射电天文学 (Radio Astronomy) 等领域。

④ 高温超导研究的挑战与展望 (Challenges and Prospects of High-Temperature Superconductivity Research)：

▮▮▮▮科学挑战 (Scientific Challenges)：
▮▮▮▮▮▮▮▮高温超导机制的理解：高温超导体的微观超导机制仍然没有完全阐明，是凝聚态物理学领域最具挑战性的科学问题之一。深入研究高温超导机制，有助于寻找更高 \(T_c\) 的超导材料，并发展新的超导理论。

▮▮▮▮技术挑战 (Technological Challenges)：
▮▮▮▮▮▮▮▮高温超导材料的制备与加工：高温超导材料通常是陶瓷氧化物，具有脆性，加工性能差，制备工艺复杂，成本较高。需要发展更简便、低成本、高性能的高温超导材料制备和加工技术。
▮▮▮▮▮▮▮▮高温超导器件的实用化：将高温超导材料应用于实际器件，还需要解决材料稳定性、可靠性、均匀性、器件集成等一系列技术难题。

▮▮▮▮应用展望 (Application Prospects)：
▮▮▮▮▮▮▮▮尽管高温超导研究和应用面临诸多挑战，但其巨大的应用潜力仍然吸引着全球科学家和工程师的持续投入。随着研究的深入和技术的进步，高温超导材料有望在能源、信息、交通、医疗等领域发挥越来越重要的作用，为人类社会带来革命性的技术变革。

⑤ 总结：

高温超导电性的发现是凝聚态物理学的重大突破。高温超导材料具有高超导转变温度、高临界磁场、高临界电流密度等优异特性，在电力、磁体、电子器件等领域具有巨大的应用潜力。虽然高温超导机制仍未完全理解，材料制备和器件实用化面临挑战，但高温超导研究的未来发展前景广阔，值得期待。

8. 材料物理 (Materials Physics)

本章从物理学的角度研究 materials (材料) 的 structure (结构)、properties (性质) 和 performance (性能)，包括 materials classification (材料分类)、mechanical properties (力学性能)、thermal properties (热学性能)、electrical properties (电学性能)、optical properties (光学性能) 和 magnetic properties (磁学性能)，为 materials engineering (材料工程) 和 materials selection (材料选择) 提供理论指导。

8.1 材料分类与基本性质 (Materials Classification and Basic Properties)

本节介绍 materials (材料) 的 classification (分类)，如 metals (金属材料)、ceramics (陶瓷材料)、polymers (聚合物材料)、composites (复合材料) 等，以及 materials (材料) 的基本 properties (性质)，如 density (密度)、melting point (熔点)、hardness (硬度) 等。

8.1.1 材料的分类 (Classification of Materials)

materials (材料) 可以根据其化学成分、原子结构、物理和化学性质以及应用领域进行多种方式的 classification (分类)。在工程和物理学中，最常见的 classification (分类) 方式是基于其主要的 chemical bonding (化学键合) 类型和 dominant properties (主要性质)。根据这种 classification (分类) 方法，materials (材料) 主要可以分为以下几大类：metals (金属材料)、ceramics (陶瓷材料)、polymers (聚合物材料) 和 composites (复合材料)。

① Metals (金属材料)：
metals (金属材料) 通常是由金属元素或金属元素为主构成的合金组成。其主要特点包括：
▮▮▮▮ⓐ Crystal structure (晶体结构)：大多数 metals (金属) 具有 crystalline structure (晶体结构)，原子排列呈规则的 lattice (晶格) 结构，如 face-centered cubic (面心立方) (FCC), body-centered cubic (体心立方) (BCC) 和 hexagonal close-packed (六方密堆积) (HCP) 结构。
▮▮▮▮ⓑ Metallic bonding (金属键)：metals (金属) 中的原子通过 metallic bonding (金属键) 结合。metallic bonding (金属键) 的特点是 valence electrons (价电子) 形成 electron cloud (电子云) 或 electron sea (电子海)，在整个晶体中自由移动，使得 metals (金属) 具有良好的 electrical conductivity (电导率) 和 thermal conductivity (热导率)。
▮▮▮▮ⓒ High electrical and thermal conductivity (高电导率和热导率)：自由电子的存在使得 metals (金属) 能够有效地传导 electricity (电) 和 heat (热)。
▮▮▮▮ⓓ Good mechanical strength and ductility (良好的机械强度和延展性)：metals (金属) 通常具有较高的 strength (强度) 和 ductility (延展性)，可以通过塑性变形加工成各种形状。
▮▮▮▮ⓔ Optical properties (光学性质)：metals (金属) 表面对光具有较强的 reflection (反射) 能力，表现为 metallic luster (金属光泽)，且对可见光和 infrared (红外线) 通常是不透明的。
▮▮▮▮ⓕ Examples (例子)：iron (铁), aluminum (铝), copper (铜), gold (金), silver (银), steel (钢) 等。

② Ceramics (陶瓷材料)：
ceramics (陶瓷材料) 是由金属元素和非金属元素通过 ionic bonding (离子键) 或 covalent bonding (共价键) 结合而成的 compounds (化合物)。ceramics (陶瓷材料) 的主要特点包括：
▮▮▮▮ⓐ Ionic and covalent bonding (离子键和共价键)：ceramics (陶瓷) 中的原子主要通过 ionic bonding (离子键) 和 covalent bonding (共价键) 结合，这两种 bonding (键合) 类型都具有 directional (方向性) 和 strong bonding energy (强键能)。
▮▮▮▮ⓑ High hardness and brittleness (高硬度和脆性)：strong ionic and covalent bonds (强的离子键和共价键) 使得 ceramics (陶瓷) 具有很高的 hardness (硬度) 和 compressive strength (抗压强度)，但缺乏 plasticity (塑性)，表现为 brittleness (脆性)，容易发生 brittle fracture (脆性断裂)。
▮▮▮▮ⓒ High melting point and chemical stability (高熔点和化学稳定性)：ceramics (陶瓷) 通常具有较高的 melting point (熔点) 和良好的 chemical stability (化学稳定性)，在高温和恶劣环境下能够保持其性能。
▮▮▮▮ⓓ Electrical insulation or semiconducting properties (电绝缘性或半导体性)：大多数 ceramics (陶瓷) 是 electrical insulators (电绝缘体)，但某些 ceramics (陶瓷) 也具有 semiconducting properties (半导体性)，如 semiconductor ceramics (半导体陶瓷)。
▮▮▮▮ⓔ Thermal insulation (热绝缘性)：许多 ceramics (陶瓷) 具有良好的 thermal insulation (热绝缘性)，常用作 heat-resistant materials (耐热材料) 和 thermal insulation materials (隔热材料)。
▮▮▮▮ⓕ Optical properties (光学性质)：ceramics (陶瓷) 可以是 transparent (透明的)、translucent (半透明的) 或 opaque (不透明的)，取决于其 composition (组成) 和 microstructure (微观结构)。
▮▮▮▮ⓖ Examples (例子)：aluminum oxide (氧化铝) (\(Al_2O_3\)), silicon dioxide (二氧化硅) (\(SiO_2\)), silicon carbide (碳化硅) (\(SiC\)), glasses (玻璃), porcelains (陶瓷) 等。

③ Polymers (聚合物材料)：
polymers (聚合物材料) 是由 repeating structural units (重复结构单元) (monomers (单体)) 通过 covalent bonding (共价键) 连接而成的 long-chain molecules (长链分子)。polymers (聚合物材料) 也称为 plastics (塑料) 或 organics (有机物)。polymers (聚合物材料) 的主要特点包括：
▮▮▮▮ⓐ Long-chain molecular structure (长链分子结构)：polymers (聚合物) 由长链 molecules (分子) 组成，这些 chains (链) 可以是 linear (线性的)、branched (支化的) 或 cross-linked (交联的)。
▮▮▮▮ⓑ Covalent bonding within chains and weak van der Waals forces between chains (链内共价键和链间弱范德华力)：polymer chains (聚合物链) 内部原子之间通过 strong covalent bonding (强共价键) 连接，而 chains (链) 之间主要通过 weak van der Waals forces (弱范德华力) 或 hydrogen bonding (氢键) 结合。
▮▮▮▮ⓒ Low density and low melting point (低密度和低熔点)：相对于 metals (金属) 和 ceramics (陶瓷)，polymers (聚合物) 通常具有较低的 density (密度) 和 melting point (熔点)。
▮▮▮▮ⓓ Low electrical and thermal conductivity (低电导率和热导率)：大多数 polymers (聚合物) 是 electrical insulators (电绝缘体) 和 thermal insulators (热绝缘体)。
▮▮▮▮ⓔ High ductility and flexibility (高延展性和柔韧性)：polymers (聚合物) 通常具有良好的 ductility (延展性) 和 flexibility (柔韧性)，容易加工成 film (薄膜)、fiber (纤维) 和 complex shapes (复杂形状)。
▮▮▮▮ⓕ Chemical inertness (化学惰性)：许多 polymers (聚合物) 具有良好的 chemical resistance (耐化学性)，不易被 acids (酸)、alkalis (碱) 和 solvents (溶剂) 腐蚀。
▮▮▮▮ⓖ Optical properties (光学性质)：polymers (聚合物) 可以是 transparent (透明的)、translucent (半透明的) 或 opaque (不透明的)，并且可以 easily colored (容易着色)。
▮▮▮▮ⓗ Examples (例子)：polyethylene (聚乙烯) (PE), polyvinyl chloride (聚氯乙烯) (PVC), polystyrene (聚苯乙烯) (PS), nylon (尼龙), rubber (橡胶), epoxy resins (环氧树脂) 等。

④ Composites (复合材料)：
composites (复合材料) 是由两种或多种 macroscopic phases (宏观相) 组成的 materials (材料)，这些 phases (相) 在 macroscopic scale (宏观尺度) 上具有 distinct interface (明显的界面)。composites (复合材料) 的目的是结合各组分材料的优点，克服单一材料的缺点，从而获得优异的综合性能。composites (复合材料) 通常由 matrix phase (基体相) 和 reinforcement phase (增强相) 组成。
▮▮▮▮ⓐ Multi-phase structure (多相结构)：composites (复合材料) 由 matrix (基体) 和 reinforcement (增强体) 组成，matrix (基体) 通常是 continuous phase (连续相)，而 reinforcement (增强体) 是 dispersed phase (分散相)。
▮▮▮▮ⓑ Tailored properties (可定制的性能)：通过选择不同的 matrix (基体) 和 reinforcement (增强体) 材料，以及调整它们的 volume fraction (体积分数) 和 arrangement (排列方式)，可以 design (设计) 和 fabricate (制造) 出具有特定 properties (性质) 的 composites (复合材料)，以满足不同的 engineering requirements (工程需求)。
▮▮▮▮ⓒ Improved strength and stiffness (提高强度和刚度)：reinforcement phase (增强相) 通常具有 high strength (高强度) 和 high stiffness (高刚度)，可以显著提高 composites (复合材料) 的 mechanical properties (力学性能)。
▮▮▮▮ⓓ Lightweight (轻质)：composites (复合材料) 通常具有较低的 density (密度)，可以实现 lightweight design (轻量化设计)。
▮▮▮▮ⓔ Wear resistance, corrosion resistance and high-temperature resistance (耐磨性、耐腐蚀性和耐高温性)：通过选择合适的 matrix (基体) 和 reinforcement (增强体) 材料，composites (复合材料) 可以具有优异的 wear resistance (耐磨性)、corrosion resistance (耐腐蚀性) 和 high-temperature resistance (耐高温性)。
▮▮▮▮ⓕ Examples (例子)：fiberglass (玻璃纤维增强塑料) (玻璃纤维 + polymer (聚合物)), carbon fiber reinforced polymers (碳纤维增强聚合物) (碳纤维 + polymer (聚合物)), concrete (混凝土) (水泥 + aggregate (骨料)), wood (木材) (纤维素 + lignin (木质素)) 等。

除了以上主要的四类 materials (材料) 之外，还有一些其他的 materials (材料) 分类，例如：
⚝ Semiconductors (半导体材料)：介于 conductors (导体) 和 insulators (绝缘体) 之间的 materials (材料)，其 electrical conductivity (电导率) 可以通过 doping (掺杂)、temperature (温度)、light irradiation (光照) 等条件进行控制。semiconductors (半导体) 在 electronics (电子学) 和 optoelectronics (光电子学) 领域具有重要的应用。例如：silicon (硅) (Si), germanium (锗) (Ge), gallium arsenide (砷化镓) (GaAs) 等。
⚝ Biomaterials (生物材料)：用于 medical devices (医疗器械) 和 implants (植入物) 的 materials (材料)，需要具有 biocompatibility (生物相容性)、biodegradability (生物降解性) 等特性。例如：titanium alloys (钛合金), stainless steel (不锈钢), hydroxyapatite (羟基磷灰石), collagen (胶原蛋白), hyaluronic acid (透明质酸) 等。
⚝ Nanomaterials (纳米材料)：是指至少在一个 dimension (维度) 上尺寸小于 100 nm 的 materials (材料)，由于其 small size effect (小尺寸效应)、surface effect (表面效应) 和 quantum size effect (量子尺寸效应)，nanomaterials (纳米材料) 表现出许多 unique properties (独特的性质)。例如：nanoparticles (纳米粒子), nanotubes (纳米管), nanowires (纳米线), graphene (石墨烯) 等。

材料的 classification (分类) 不是绝对的，某些 materials (材料) 可能同时具有多类 materials (材料) 的特征，例如某些 polymer ceramics composites (聚合物陶瓷复合材料) 既具有 polymers (聚合物) 的柔韧性，又具有 ceramics (陶瓷) 的耐高温性。理解 materials (材料) 的 classification (分类) 有助于我们更好地认识各种 materials (材料) 的 properties (性质) 和 application (应用) 领域，为 materials selection (材料选择) 和 materials design (材料设计) 提供指导。

8.1.2 材料的基本物理性质 (Basic Physical Properties of Materials)

materials (材料) 的 physical properties (物理性质) 是描述 materials (材料) 在物理场作用下表现出的特性的参数，是 materials science (材料科学) 和 engineering (工程学) 中重要的研究内容。materials (材料) 的 physical properties (物理性质) 可以分为 many categories (多种类别)，包括 density (密度)、melting point (熔点)、hardness (硬度)、thermal properties (热学性能)、electrical properties (电学性能)、optical properties (光学性能) 和 magnetic properties (磁学性能) 等。本节主要介绍 materials (材料) 的一些 basic physical properties (基本物理性质)。

① Density (密度)：
density (密度) (\(ρ\)) 是 materials (材料) 的 mass (质量) (\(m\)) 与 volume (体积) (\(V\)) 之比，是衡量 materials (材料) 轻重程度的 physical quantity (物理量)。density (密度) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ ρ = \frac{m}{V} \]
density (密度) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 kg/m\(^3\) (千克/立方米) 或 g/cm\(^3\) (克/立方厘米)。materials (材料) 的 density (密度) 取决于其 atomic mass (原子质量)、atomic arrangement (原子排列) 和 interatomic spacing (原子间距)。metals (金属) 通常具有较高的 density (密度)，polymers (聚合物) 通常具有较低的 density (密度)，ceramics (陶瓷) 和 composites (复合材料) 的 density (密度) 则介于两者之间。density (密度) 是 materials selection (材料选择) 的重要依据，特别是在 aerospace (航空航天)、automotive (汽车) 等 lightweight design (轻量化设计) 领域，low-density materials (低密度材料) 具有重要的应用价值。

② Melting Point (熔点)：
melting point (熔点) (\(T_m\)) 是 crystalline materials (晶体材料) 由 solid state (固态) 转变为 liquid state (液态) 的 temperature (温度)。在 melting point (熔点) 时，solid phase (固相) 和 liquid phase (液相) 共存，温度保持不变，直到所有 solid (固体) 都 melt (熔化) 为 liquid (液体)。melting point (熔点) 是衡量 materials (材料) heat resistance (耐热性) 的重要指标。melting point (熔点) 的 magnitude (大小) 取决于 interatomic bonding energy (原子间键能)。strong chemical bonds (强的化学键)，如 covalent bonds (共价键) 和 ionic bonds (离子键)，对应于 high melting points (高熔点)，weak bonds (弱键)，如 metallic bonds (金属键) 和 van der Waals forces (范德华力)，对应于 low melting points (低熔点)。ceramics (陶瓷) 通常具有 high melting points (高熔点)，metals (金属) 的 melting points (熔点) 范围较广，polymers (聚合物) 通常具有 low melting points (低熔点)。melting point (熔点) 在 high-temperature applications (高温应用) 中至关重要，例如 refractory materials (耐火材料) 和 high-temperature alloys (高温合金) 需要具有 high melting points (高熔点)。

③ Hardness (硬度)：
hardness (硬度) 是 measure of a material's resistance to localized plastic deformation (材料抵抗局部塑性变形的程度)，如 indentation (压痕) 或 scratching (划痕)。hardness (硬度) 不是一个 basic physical quantity (基本物理量)，而是一个 surface property (表面性质)，它反映了 materials (材料) 表面抵抗 external mechanical forces (外部机械力) 的能力。hardness (硬度) 的 measurement methods (测量方法) 有多种，常用的 hardness tests (硬度测试) 包括：
▮▮▮▮ⓐ Brinell hardness test (布氏硬度测试)：使用 hardened steel ball (淬硬钢球) 或 carbide ball (硬质合金球) 在一定 load (载荷) 下压入 materials (材料) 表面，测量 indentation diameter (压痕直径)，通过公式计算 Brinell hardness number (布氏硬度值) (HB)。
▮▮▮▮ⓑ Vickers hardness test (维氏硬度测试)：使用 square-based diamond pyramid indenter (正四棱锥金刚石压头) 在一定 load (载荷) 下压入 materials (材料) 表面，测量 square indentation diagonals (正方形压痕对角线) 的长度，通过公式计算 Vickers hardness number (维氏硬度值) (HV)。
▮▮▮▮ⓒ Rockwell hardness test (洛氏硬度测试)：使用 diamond cone indenter (金刚石圆锥压头) 或 steel ball indenter (钢球压头)，先施加 minor load (预载荷)，再施加 major load (主载荷)，测量 indentation depth (压痕深度) 的增加量，通过查表或公式计算 Rockwell hardness number (洛氏硬度值) (HR)。Rockwell hardness test (洛氏硬度测试) 根据 indenter (压头) 和 load (载荷) 的不同，又分为多种 scales (标尺)，如 HRC, HRB, HRA 等。
▮▮▮▮ⓓ Mohs hardness scale (莫氏硬度标尺)：一种 qualitative hardness scale (定性硬度标尺)，通过 minerals (矿物) 之间的 scratching test (划痕试验) 确定 hardness (硬度) 等级，从 1 (talc (滑石)) 到 10 (diamond (金刚石))，hardness number (硬度值) 越大，表示 minerals (矿物) 越硬。

hardness (硬度) 与 materials (材料) 的 strength (强度)、wear resistance (耐磨性) 等 mechanical properties (力学性能) 密切相关。ceramics (陶瓷) 通常具有 high hardness (高硬度)，metals (金属) 的 hardness (硬度) 范围较广，polymers (聚合物) 通常具有 low hardness (低硬度)。hardness (硬度) 在 wear-resistant applications (耐磨应用) 中非常重要，例如 cutting tools (切削刀具)、abrasive materials (磨料) 和 wear-resistant coatings (耐磨涂层) 需要具有 high hardness (高硬度)。

④ Thermal Conductivity (热导率)：
thermal conductivity (热导率) (\(k\)) 是 measure of a material's ability to conduct heat (材料传导热量的能力)。thermal conductivity (热导率) 定义为在 steady-state heat transfer (稳态热传递) 条件下，unit temperature gradient (单位温度梯度) 下通过 unit area (单位面积) 的 heat flux (热通量) (\(q\))。thermal conductivity (热导率) 的 definition formula (定义式) (Fourier's law (傅里叶定律)) 为：
\[ q = -k \frac{dT}{dx} \]
其中，\(dT/dx\) 是 temperature gradient (温度梯度)。thermal conductivity (热导率) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 W/(m·K) (瓦特/(米·开尔文))。materials (材料) 的 thermal conductivity (热导率) 取决于 heat carriers (热载流子) 的 type (类型) 和 concentration (浓度)，以及 heat carriers (热载流子) 的 scattering (散射) 程度。在 solids (固体) 中，heat carriers (热载流子) 主要包括 electrons (电子) 和 phonons (声子) (lattice vibrations (晶格振动))。metals (金属) 中 free electrons (自由电子) 是主要的 heat carriers (热载流子)，因此 metals (金属) 通常具有 high thermal conductivity (高热导率)。non-metallic solids (非金属固体) 中 phonons (声子) 是主要的 heat carriers (热载流子)，thermal conductivity (热导率) 相对较低。polymers (聚合物) 中 molecular chains (分子链) 的 vibration (振动) 和 rotation (转动) 是 heat transfer (热传递) 的主要方式，thermal conductivity (热导率) 非常低。thermal conductivity (热导率) 在 thermal management (热管理) 和 thermal insulation (热绝缘) 领域具有重要应用。high thermal conductivity materials (高热导率材料) 用于 heat sinks (散热器) 和 heat exchangers (热交换器)，low thermal conductivity materials (低热导率材料) 用于 thermal insulation materials (隔热材料) 和 thermal barriers (热障涂层)。

⑤ Electrical Conductivity (电导率)：
electrical conductivity (电导率) (\(σ\)) 是 measure of a material's ability to conduct electric current (材料传导电流的能力)。electrical conductivity (电导率) 定义为 current density (电流密度) (\(J\)) 与 electric field strength (电场强度) (\(E\)) 之比。electrical conductivity (电导率) 的 definition formula (定义式) (Ohm's law (欧姆定律) 的 microscopic form (微观形式)) 为：
\[ J = σE \]
electrical conductivity (电导率) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 S/m (西门子/米) 或 Ω\(^{-1}\)·m\(^{-1}\) (欧姆\(^{-1}\)·米\(^{-1}\))。electrical conductivity (电导率) 的 reciprocal (倒数) 是 electrical resistivity (电阻率) (\(ρ = 1/σ\))，electrical resistivity (电阻率) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 Ω·m (欧姆·米)。materials (材料) 根据 electrical conductivity (电导率) 的大小可以分为 conductors (导体)、semiconductors (半导体) 和 insulators (绝缘体)。conductors (导体) (如 metals (金属)) 具有 high electrical conductivity (高电导率)，semiconductors (半导体) (如 silicon (硅), germanium (锗)) 的 electrical conductivity (电导率) 介于 conductors (导体) 和 insulators (绝缘体) 之间，insulators (绝缘体) (如 ceramics (陶瓷), polymers (聚合物)) 具有 low electrical conductivity (低电导率)。electrical conductivity (电导率) 取决于 charge carriers (载流子) 的 type (类型) 和 concentration (浓度)，以及 charge carriers (载流子) 的 mobility (迁移率)。metals (金属) 中 free electrons (自由电子) 是主要的 charge carriers (载流子)，具有 high electrical conductivity (高电导率)。semiconductors (半导体) 的 charge carrier concentration (载流子浓度) 可以通过 doping (掺杂) 等手段进行控制，electrical conductivity (电导率) 具有可调性。insulators (绝缘体) 中 charge carrier concentration (载流子浓度) 极低，electrical conductivity (电导率) 非常低。electrical conductivity (电导率) 在 electrical engineering (电气工程) 和 electronics (电子学) 领域至关重要。conductors (导体) 用于 wires (导线) 和 electrodes (电极)，semiconductors (半导体) 用于 transistors (晶体管) 和 integrated circuits (集成电路)，insulators (绝缘体) 用于 electrical insulation (电绝缘)。

除了上述 basic physical properties (基本物理性质) 外，materials (材料) 还有许多其他的 physical properties (物理性质)，如 thermal expansion coefficient (热膨胀系数)、specific heat capacity (比热容)、optical refractive index (光学折射率)、magnetic permeability (磁导率) 等，这些 properties (性质) 在不同的 engineering applications (工程应用) 中都具有重要的意义。对 materials (材料) 的 physical properties (物理性质) 进行深入研究和准确 measurement (测量)，是 materials science (材料科学) 和 engineering (工程学) 的基础。

8.2 材料的力学性能 (Mechanical Properties of Materials)

本节介绍 materials (材料) 的 mechanical properties (力学性能)，如 stress (应力)、strain (应变)、elasticity (弹性)、plasticity (塑性)、strength (强度)、toughness (韧性)、fatigue (疲劳)、creep (蠕变) 等，以及 mechanical testing (力学测试) 方法。

8.2.1 应力与应变 (Stress and Strain)

stress (应力) 和 strain (应变) 是描述 materials (材料) 在 external load (外载荷) 作用下 internal response (内部响应) 的 fundamental concepts (基本概念)。stress (应力) 描述 materials (材料) 内部单位面积上的 internal forces (内力)，而 strain (应变) 描述 materials (材料) 的 deformation (变形) 程度。

① Stress (应力)：
stress (应力) (\(σ\)) 定义为 internal force (内力) (\(F\)) 与作用面积 (\(A\)) 之比，表示单位面积上 materials (材料) 内部承受的力。stress (应力) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ σ = \frac{F}{A} \]
stress (应力) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 Pascal (帕斯卡) (Pa) 或 N/m\(^2\) (牛顿/平方米)。工程上常用的单位还有 MPa (兆帕斯卡) 和 GPa (吉帕斯卡)。根据 external force (外力) 的作用方式和方向，stress (应力) 可以分为多种 types (类型)：
▮▮▮▮ⓐ Tensile stress (拉应力) (\(σ_t\))：当 external force (外力) 垂直于截面并向外拉伸 materials (材料) 时，产生的 stress (应力) 称为 tensile stress (拉应力)。tensile stress (拉应力) 趋于使 materials (材料) elongation (伸长)。
▮▮▮▮ⓑ Compressive stress (压应力) (\(σ_c\))：当 external force (外力) 垂直于截面并向内压缩 materials (材料) 时，产生的 stress (应力) 称为 compressive stress (压应力)。compressive stress (压应力) 趋于使 materials (材料) shortening (缩短)。
▮▮▮▮ⓒ Shear stress (剪应力) (\(τ\))：当 external force (外力) 平行于截面并使 materials (材料) 发生错动或剪切时，产生的 stress (应力) 称为 shear stress (剪应力)。shear stress (剪应力) 趋于使 materials (材料) 发生 angular distortion (角度畸变)。

在 uniaxial tension (单轴拉伸) 或 compression (压缩) 情况下，stress (应力) 可以简化为 normal stress (正应力)，即垂直于截面的 stress (应力)。在 shear (剪切) 情况下，stress (应力) 可以简化为 shear stress (剪应力)，即平行于截面的 stress (应力)。在 general stress state (一般应力状态) 下，materials (材料) 内部某一点的 stress state (应力状态) 需要用 stress tensor (应力张量) 来描述，包含 normal stresses (正应力) 和 shear stresses (剪应力) 的多个 components (分量)。

② Strain (应变)：
strain (应变) (\(ε\)) 定义为 materials (材料) 在 stress (应力) 作用下产生的 deformation (变形) 与 original dimension (原始尺寸) 之比，表示 materials (材料) 的 relative deformation (相对变形) 程度。strain (应变) 是 dimensionless quantity (无量纲量)，通常用百分比 (%) 或 ppm (百万分之一) 表示。与 stress (应力) 类似，strain (应变) 也可以分为多种 types (类型)：
▮▮▮▮ⓐ Tensile strain (拉应变) (\(ε_t\))：在 tensile stress (拉应力) 作用下，materials (材料) 发生的 elongation (伸长) 与 original length (原始长度) (\(L_0\)) 之比，称为 tensile strain (拉应变)。tensile strain (拉应变) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ ε_t = \frac{ΔL}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0} \]
其中，\(ΔL\) 是 elongation (伸长量)，\(L\) 是 final length (最终长度)。
▮▮▮▮ⓑ Compressive strain (压应变) (\(ε_c\))：在 compressive stress (压应力) 作用下，materials (材料) 发生的 shortening (缩短) 与 original length (原始长度) (\(L_0\)) 之比，称为 compressive strain (压应变)。compressive strain (压应变) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ ε_c = \frac{ΔL}{L_0} = \frac{L_0 - L}{L_0} \]
其中，\(ΔL\) 是 shortening (缩短量)，\(L\) 是 final length (最终长度)。通常 compressive strain (压应变) 取负值，表示 shortening (缩短)。
▮▮▮▮ⓒ Shear strain (剪应变) (\(γ\))：在 shear stress (剪应力) 作用下，materials (材料) 发生的 angular distortion (角度畸变) 的 tangent (正切值)，称为 shear strain (剪应变)。shear strain (剪应变) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ γ = \tan θ ≈ θ \]
其中，\(θ\) 是 shear angle (剪切角)，通常 shear angle (剪切角) 很小，\(\tan θ ≈ θ\) (弧度)。

tensile strain (拉应变) 和 compressive strain (压应变) 是 normal strains (正应变)，表示 dimension (尺寸) 的变化。shear strain (剪应变) 是 angular strain (角应变)，表示 angle (角度) 的变化。与 stress tensor (应力张量) 类似，general strain state (一般应变状态) 需要用 strain tensor (应变张量) 来描述，包含 normal strains (正应变) 和 shear strains (剪应变) 的多个 components (分量)。

stress (应力) 和 strain (应变) 是描述 materials (材料) mechanical behavior (力学行为) 的 fundamental quantities (基本量)。materials (材料) 的 mechanical properties (力学性能)，如 elasticity (弹性)、plasticity (塑性)、strength (强度) 等，都是在 stress (应力) 和 strain (应变) 的基础上定义的。通过 mechanical testing (力学测试)，如 tensile test (拉伸试验)、compression test (压缩试验)、shear test (剪切试验) 等，可以获得 materials (材料) 的 stress-strain relationship (应力-应变关系)，从而确定 materials (材料) 的 mechanical properties (力学性能)。

8.2.2 弹性与塑性 (Elasticity and Plasticity)

elasticity (弹性) 和 plasticity (塑性) 是描述 materials (材料) 在 external force (外力) 作用下 deformation behavior (变形行为) 的两个 fundamental aspects (基本方面)。elasticity (弹性) 指 materials (材料) 在 external force (外力) removal (移除) 后能够 recover original shape (恢复原始形状) 的 property (性质)，而 plasticity (塑性) 指 materials (材料) 在 external force (外力) removal (移除) 后 deformation (变形) 仍然保留的 property (性质)。

① Elasticity (弹性)：
elasticity (弹性) 是 materials (材料) 抵抗 permanent deformation (永久变形) 的能力。在 elastic deformation (弹性形变) 阶段，stress (应力) 与 strain (应变) 之间呈 linear relationship (线性关系)，符合 Hooke's law (胡克定律)。对于 uniaxial tension (单轴拉伸) 或 compression (压缩)，Hooke's law (胡克定律) 可以表示为：
\[ σ = Eε \]
其中，\(E\) 是 elastic modulus (弹性模量) 或 Young's modulus (杨氏模量)，是 measure of a material's stiffness (材料刚度的度量)，表示 materials (材料) 抵抗 elastic deformation (弹性形变) 的能力。\(E\) 的 SI unit (国际单位制单位) 与 stress (应力) 相同，为 Pascal (帕斯卡) (Pa) 或 GPa (吉帕斯卡)。对于 shear (剪切)，elastic behavior (弹性行为) 可以用 shear modulus (剪切模量) (\(G\)) 来描述：
\[ τ = Gγ \]
其中，\(G\) 是 shear modulus (剪切模量) 或 rigidity modulus (刚性模量)，表示 materials (材料) 抵抗 shear elastic deformation (剪切弹性形变) 的能力。\(G\) 的 SI unit (国际单位制单位) 也与 stress (应力) 相同。对于 isotropic materials (各向同性材料)，elastic modulus (弹性模量) (\(E\)), shear modulus (剪切模量) (\(G\)) 和 Poisson's ratio (泊松比) (\(ν\)) 之间存在以下关系：
\[ G = \frac{E}{2(1+ν)} \]
Poisson's ratio (泊松比) (\(ν\)) 是 measure of a material's tendency to deform in directions perpendicular to the direction of applied force (材料在垂直于外力方向上变形的倾向的度量)。Poisson's ratio (泊松比) 定义为 transverse strain (横向应变) (\(ε_y\)) 与 axial strain (轴向应变) (\(ε_x\)) 的负比值：
\[ ν = -\frac{ε_y}{ε_x} \]
Poisson's ratio (泊松比) 是 dimensionless quantity (无量纲量)，通常取值范围为 0 到 0.5。

elastic deformation (弹性形变) 是 reversible process (可逆过程)，当 stress (应力) removal (移除) 后，materials (材料) 会 spontaneously (自发地) return to original shape (恢复原始形状)，变形 energy (变形能) 以 elastic strain energy (弹性应变能) 的形式 stored (存储) 在 materials (材料) 内部，并在 deformation recovery (变形恢复) 过程中 release (释放) 出来。elastic limit (弹性极限) 是 materials (材料) 能够承受的最大 stress (应力) 而不发生 permanent deformation (永久变形) 的值。当 stress (应力) 超过 elastic limit (弹性极限) 时，materials (材料) 将开始发生 plastic deformation (塑性形变)。

② Plasticity (塑性)：
plasticity (塑性) 是 materials (材料) 发生 permanent deformation (永久变形) 的 property (性质)，即使 external force (外力) removal (移除) 后，deformation (变形) 仍然保留。plastic deformation (塑性形变) 是 irreversible process (不可逆过程)，变形过程中 energy (能量) 主要以 heat (热) 的形式 dissipate (耗散)。plastic deformation (塑性形变) 是 materials (材料) microstructure (微观结构) 发生 permanent change (永久性改变) 的结果，例如 metals (金属) 中的 dislocation slip (位错滑移) 和 grain boundary sliding (晶界滑移)，polymers (聚合物) 中的 chain slip (链滑移) 和 chain disentanglement (链解缠结)。

yield strength (屈服强度) (\(σ_y\)) 是 materials (材料) 开始发生 macroscopic plastic deformation (宏观塑性变形) 的 stress (应力) 值，是 materials (材料) 从 elastic behavior (弹性行为) 转变为 plastic behavior (塑性行为) 的 critical point (临界点)。yield strength (屈服强度) 是 engineering design (工程设计) 中重要的 mechanical property (力学性能) 指标，通常作为 materials (材料) 承载能力的设计上限。yield strength (屈服强度) 的 measurement method (测量方法) 有多种，常用的方法包括：
▮▮▮▮ⓐ Offset yield strength (规定塑性延伸强度)：在 stress-strain curve (应力-应变曲线) 上，取 strain (应变) 轴上某一规定值 (如 0.2% strain (应变))，作平行于 elastic region (弹性区) 的直线，与 stress-strain curve (应力-应变曲线) 相交，交点对应的 stress (应力) 值即为 offset yield strength (规定塑性延伸强度) (\(σ_{0.2}\))。
▮▮▮▮ⓑ Yield point (屈服点)：对于某些 metals (金属) (如 low-carbon steel (低碳钢))，stress-strain curve (应力-应变曲线) 上会出现明显的 yield point (屈服点)，即 stress (应力) 达到某一值后，strain (应变) 显著增加而 stress (应力) 基本保持不变或略有下降的现象。yield point (屈服点) 分为 upper yield point (上屈服点) 和 lower yield point (下屈服点)，通常 lower yield point (下屈服点) 作为 yield strength (屈服强度) 的 measure (度量)。

plastic deformation (塑性形变) 能力是 materials (材料) ductility (延展性) 和 malleability (可锻性) 的基础。ductility (延展性) 指 materials (材料) 在 tensile stress (拉应力) 作用下发生 plastic deformation (塑性形变) 而不断裂的能力，malleability (可锻性) 指 materials (材料) 在 compressive stress (压应力) 作用下发生 plastic deformation (塑性形变) 而不断裂的能力。ductility (延展性) 通常用 percentage elongation (延伸率) (\(δ\)) 或 reduction of area (断面收缩率) (\(ψ\)) 来 measure (度量)。percentage elongation (延伸率) 定义为 fracture (断裂) 时 materials (材料) 的 plastic elongation (塑性伸长量) 与 original gauge length (原始标距长度) 之比：
\[ δ = \frac{L_f - L_0}{L_0} \times 100\% \]
其中，\(L_f\) 是 fracture length (断裂长度)，\(L_0\) 是 original gauge length (原始标距长度)。reduction of area (断面收缩率) 定义为 fracture (断裂) 时 materials (材料) necking region (颈缩区) 的 maximum reduction in cross-sectional area (最大截面积减小量) 与 original cross-sectional area (原始截面积) 之比：
\[ ψ = \frac{A_0 - A_f}{A_0} \times 100\% \]
其中，\(A_0\) 是 original cross-sectional area (原始截面积)，\(A_f\) 是 fracture cross-sectional area (断裂截面积)。high ductility materials (高延展性材料) 可以 undergo large plastic deformation (发生大的塑性变形) 而不断裂，便于进行 plastic forming (塑性成形) processing (加工)，如 rolling (轧制)、drawing (拉拔)、forging (锻造) 等。

elasticity (弹性) 和 plasticity (塑性) 是 materials (材料) mechanical behavior (力学行为) 的两个 fundamental and important aspects (基本且重要的方面)。大多数 engineering materials (工程材料) 都需要在 elastic region (弹性区) 内工作，以保证 structural integrity (结构完整性) 和 dimensional stability (尺寸稳定性)。同时，plasticity (塑性) 对于 materials forming (材料成形) 和 energy absorption (能量吸收) 也具有重要作用。了解和掌握 materials (材料) 的 elasticity (弹性) 和 plasticity (塑性) behavior (行为)，对于 materials selection (材料选择)、structural design (结构设计) 和 processing technology (加工工艺) 的 development (开发) 至关重要。

8.2.3 强度、韧性与断裂 (Strength, Toughness and Fracture)

strength (强度)、toughness (韧性) 和 fracture (断裂) 是描述 materials (材料) mechanical failure behavior (力学失效行为) 的三个 key mechanical properties (关键力学性能)。strength (强度) 描述 materials (材料) 抵抗 fracture (断裂) 或 permanent deformation (永久变形) 的能力，toughness (韧性) 描述 materials (材料) 吸收 energy (能量) 和抵抗 fracture propagation (裂纹扩展) 的能力，fracture (断裂) 描述 materials (材料) failure process (失效过程) 和 mechanisms (机制)。

① Strength (强度)：
strength (强度) 是 materials (材料) 抵抗 stress (应力) 而不发生 fracture (断裂) 或 permanent deformation (永久变形) 的能力。strength (强度) 是一个 general term (通用术语)，根据 external force (外力) 的 types (类型) 和 materials (材料) 的 deformation behavior (变形行为)，strength (强度) 可以分为多种 types (类型)：
▮▮▮▮ⓐ Tensile strength (抗拉强度) (\(σ_{TS}\) 或 UTS)：指 materials (材料) 在 tensile stress (拉应力) 作用下 fracture (断裂) 前能够承受的最大 tensile stress (拉应力) 值，也称为 ultimate tensile strength (极限抗拉强度)。tensile strength (抗拉强度) 是 measure of a material's resistance to fracture under tension (材料在拉伸条件下抵抗断裂的度量)。tensile strength (抗拉强度) 从 tensile test (拉伸试验) 的 stress-strain curve (应力-应变曲线) 上获得，对应于 stress-strain curve (应力-应变曲线) 上的 maximum stress (最大应力) 点。
▮▮▮▮ⓑ Compressive strength (抗压强度) (\(σ_{CS}\)): 指 materials (材料) 在 compressive stress (压应力) 作用下 fracture (断裂) 或 crush (压溃) 前能够承受的最大 compressive stress (压应力) 值。compressive strength (抗压强度) 是 measure of a material's resistance to fracture or crushing under compression (材料在压缩条件下抵抗断裂或压溃的度量)。对于 brittle materials (脆性材料) (如 ceramics (陶瓷), cast iron (铸铁))，compressive strength (抗压强度) 通常远高于 tensile strength (抗拉强度)。
▮▮▮▮ⓒ Yield strength (屈服强度) (\(σ_y\)): 指 materials (材料) 开始发生 macroscopic plastic deformation (宏观塑性变形) 的 stress (应力) 值，已在 8.2.2 节中介绍。yield strength (屈服强度) 是 measure of a material's resistance to permanent deformation (材料抵抗永久变形的度量)。对于 ductile materials (塑性材料) (如 steel (钢), aluminum (铝))，yield strength (屈服强度) 通常是 engineering design (工程设计) 中更重要的 strength (强度) 指标。
▮▮▮▮ⓓ Shear strength (抗剪强度) (\(τ_S\)): 指 materials (材料) 在 shear stress (剪应力) 作用下 fracture (断裂) 或 shear failure (剪切失效) 前能够承受的最大 shear stress (剪应力) 值。shear strength (抗剪强度) 是 measure of a material's resistance to shear failure (材料抵抗剪切失效的度量)。shear strength (抗剪强度) 通常比 tensile strength (抗拉强度) 和 compressive strength (抗压强度) 低。
▮▮▮▮ⓔ Flexural strength (弯曲强度) (\(σ_f\)): 指 materials (材料) 在 bending load (弯曲载荷) 作用下 fracture (断裂) 前能够承受的最大 bending stress (弯曲应力) 值，也称为 modulus of rupture (断裂模量) 或 transverse rupture strength (横向断裂强度)。flexural strength (弯曲强度) 常用于 characterization (表征) brittle materials (脆性材料) (如 ceramics (陶瓷), glasses (玻璃)) 的 strength (强度)。

strength (强度) 是 materials selection (材料选择) 和 structural design (结构设计) 的关键参数。high-strength materials (高强度材料) 可以承受 larger loads (更大的载荷) 而不发生 fracture (断裂) 或 permanent deformation (永久变形)，适用于 load-bearing structures (承载结构) 和 components (部件)。

② Toughness (韧性)：
toughness (韧性) 是 measure of a material's ability to absorb energy and plastically deform before fracturing (材料在断裂前吸收能量和塑性变形的能力的度量)。toughness (韧性) 反映了 materials (材料) 抵抗 fracture propagation (裂纹扩展) 的能力，是 materials (材料) safety (安全性) 和 reliability (可靠性) 的重要指标。toughness (韧性) 通常用 fracture energy (断裂能) 或 fracture toughness (断裂韧性) 来 measure (度量)。
▮▮▮▮ⓐ Fracture energy (断裂能)：指 materials (材料) fracture (断裂) 时单位面积所吸收的 energy (能量)，等于 stress-strain curve (应力-应变曲线) 下的 area (面积)，也称为 strain energy density at fracture (断裂时的应变能密度)。fracture energy (断裂能) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 J/m\(^2\) (焦耳/平方米)。fracture energy (断裂能) 反映了 materials (材料) 在 fracture (断裂) 过程中吸收 energy (能量) 的总量，toughness (韧性) 越高，fracture energy (断裂能) 越大。
▮▮▮▮ⓑ Fracture toughness (断裂韧性) (\(K_{IC}\)): 是 measure of a material's resistance to fracture when a crack is present (材料在存在裂纹时抵抗断裂的能力的度量)。fracture toughness (断裂韧性) 是 linear elastic fracture mechanics (线弹性断裂力学) (LEFM) 中的重要参数，用于 characterization (表征) brittle materials (脆性材料) 的 fracture resistance (断裂抗力)。fracture toughness (断裂韧性) \(K_{IC}\) 是 stress intensity factor (应力强度因子) \(K\) 的 critical value (临界值)，当 stress intensity factor (应力强度因子) \(K\) 达到 fracture toughness (断裂韧性) \(K_{IC}\) 时，crack (裂纹) 开始 unstable propagation (不稳定扩展) 导致 fracture (断裂)。fracture toughness (断裂韧性) \(K_{IC}\) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 MPa·m\(^{1/2}\) (兆帕斯卡·米\(^{1/2}\))。fracture toughness (断裂韧性) 越大，materials (材料) 抵抗 crack propagation (裂纹扩展) 的能力越强，toughness (韧性) 越高。

toughness (韧性) 与 strength (强度) 和 ductility (延展性) 密切相关，但又有所不同。strength (强度) 强调 materials (材料) 承受 stress (应力) 的能力，ductility (延展性) 强调 materials (材料) 发生 plastic deformation (塑性形变) 的能力，而 toughness (韧性) 则综合考虑了 strength (强度) 和 ductility (延展性)，强调 materials (材料) 在 fracture (断裂) 前吸收 energy (能量) 的能力。high-toughness materials (高韧性材料) 能够 absorb larger amounts of energy (吸收更多的能量) 而不发生 fracture (断裂)，在 impact load (冲击载荷) 和 dynamic load (动态载荷) 条件下具有更好的 safety (安全性) 和 reliability (可靠性)。

③ Fracture (断裂)：
fracture (断裂) 是 materials (材料) under stress (在应力作用下) 分裂成 two or more pieces (两块或多块) 的过程。fracture (断裂) 是 materials (材料) mechanical failure (力学失效) 的主要形式之一。根据 fracture mechanisms (断裂机制) 和 fracture surface morphology (断裂表面形貌)，fracture (断裂) 可以分为多种 types (类型)：
▮▮▮▮ⓐ Ductile fracture (韧性断裂)：ductile materials (塑性材料) fracture (断裂) 时，通常先发生 significant plastic deformation (显著的塑性变形)，如 necking (颈缩)、void growth (空洞长大) 和 coalescence (聚合)，fracture surface (断裂表面) 呈 fibrous (纤维状) 或 dimpled (韧窝状) 形貌，fracture process (断裂过程) 吸收较多 energy (能量)，fracture toughness (断裂韧性) 较高。ductile fracture (韧性断裂) 是一种 energy-absorbing fracture mode (能量吸收型断裂模式)。
▮▮▮▮ⓑ Brittle fracture (脆性断裂)：brittle materials (脆性材料) fracture (断裂) 时，plastic deformation (塑性变形) 极小或几乎没有，fracture surface (断裂表面) 呈 smooth (光滑) 或 granular (颗粒状) 形貌，fracture process (断裂过程) 吸收 energy (能量) 很少，fracture toughness (断裂韧性) 较低。brittle fracture (脆性断裂) 是一种 energy-release fracture mode (能量释放型断裂模式)。
▮▮▮▮ⓒ Fatigue fracture (疲劳断裂)：materials (材料) 在 cyclic loading (循环载荷) 作用下，即使 nominal stress (名义应力) 远低于 yield strength (屈服强度) 和 tensile strength (抗拉强度)，也可能发生 fracture (断裂)，这种 fracture (断裂) 称为 fatigue fracture (疲劳断裂)。fatigue fracture (疲劳断裂) 通常由 fatigue crack initiation (疲劳裂纹萌生)、fatigue crack propagation (疲劳裂纹扩展) 和 final fracture (最终断裂) 三个阶段组成，fracture surface (断裂表面) 具有 characteristic fatigue striations (特征疲劳条纹)。
▮▮▮▮ⓓ Creep fracture (蠕变断裂)：materials (材料) 在 high temperature (高温) 和 constant stress (恒定应力) 作用下，strain (应变) 随时间缓慢增加的现象称为 creep (蠕变)。在 creep process (蠕变过程) 中，materials (材料) 最终可能发生 fracture (断裂)，称为 creep fracture (蠕变断裂)。creep fracture (蠕变断裂) 通常发生在 high-temperature applications (高温应用) 中，如 gas turbine blades (燃气轮机叶片) 和 nuclear reactor components (核反应堆部件)。

understanding fracture mechanisms (理解断裂机制) 和 fracture behavior (断裂行为)，对于 preventing materials failure (防止材料失效) 和 improving structural safety (提高结构安全性) 至关重要。materials selection (材料选择) 时，需要根据 application requirements (应用需求) 综合考虑 strength (强度)、toughness (韧性) 和 fracture resistance (抗断裂性能)，选择合适的 materials (材料) 和 design (设计) 方案，以确保 engineering structures (工程结构) 的 safety (安全性) 和 reliability (可靠性)。

8.2.4 疲劳与蠕变 (Fatigue and Creep)

fatigue (疲劳) 和 creep (蠕变) 是两种 time-dependent mechanical failure modes (时间依赖性力学失效模式)，与 static loading (静态载荷) 条件下的 strength (强度)、toughness (韧性) 和 fracture (断裂) 不同，fatigue (疲劳) 和 creep (蠕变) 发生在 cyclic loading (循环载荷) 和 sustained loading at high temperature (高温下的持续载荷) 条件下，是 engineering structures (工程结构) 长期运行过程中可能面临的重要 failure modes (失效模式)。

① Fatigue (疲劳)：
fatigue (疲劳) 是 materials (材料) 在 cyclic loading (循环载荷) 作用下，逐渐积累 damage (损伤) 最终导致 fracture (断裂) 的现象。fatigue failure (疲劳失效) 是 engineering components (工程部件) 的主要 failure mode (失效模式) 之一，约占 mechanical failures (力学失效) 的 80% 以上。fatigue (疲劳) 的特点包括：
▮▮▮▮ⓐ Occurs under cyclic loading (发生在循环载荷下)：fatigue (疲劳) 必须在 cyclic loading (循环载荷) 条件下发生，static load (静态载荷) 不会导致 fatigue (疲劳)。cyclic load (循环载荷) 可以是 constant amplitude load (等幅载荷) 或 variable amplitude load (变幅载荷)，可以是 tensile-tensile (拉-拉)、compressive-compressive (压-压)、tensile-compressive (拉-压) 或 torsional loading (扭转载荷)。
▮▮▮▮ⓑ Failure stress is much lower than static strength (失效应力远低于静态强度)：fatigue failure (疲劳失效) 可以在 nominal stress (名义应力) 远低于 yield strength (屈服强度) 和 tensile strength (抗拉强度) 的条件下发生，因此 fatigue (疲劳) 是一种 low-stress fracture (低应力断裂) 现象。
▮▮▮▮ⓒ Progressive and cumulative damage (渐进和累积损伤)：fatigue (疲劳) damage (损伤) 是在 cyclic loading (循环载荷) 作用下逐渐积累的，每次 load cycle (载荷循环) 都会造成一定的 damage (损伤)，随着 load cycles (载荷循环) 的增加，damage (损伤) 逐渐累积，最终导致 fracture (断裂)。
▮▮▮▮ⓓ Fatigue life (疲劳寿命) depends on stress amplitude (疲劳寿命取决于应力幅值)：fatigue life (疲劳寿命) (number of cycles to failure (失效循环次数) \(N_f\)) 与 stress amplitude (应力幅值) (\(σ_a\)) 密切相关，stress amplitude (应力幅值) 越高，fatigue life (疲劳寿命) 越短，stress amplitude (应力幅值) 越低，fatigue life (疲劳寿命) 越长。这种关系通常用 S-N curve (S-N 曲线) (也称 Wöhler curve (韦勒曲线)) 来表示，S-N curve (S-N 曲线) 是 stress amplitude (应力幅值) (\(S\)) 与 number of cycles to failure (失效循环次数) (\(N\)) 的关系曲线。
▮▮▮▮ⓔ Fatigue fracture surface characteristics (疲劳断裂表面特征)：fatigue fracture surface (疲劳断裂表面) 通常可以分为 fatigue crack initiation region (疲劳裂纹萌生区)、fatigue crack propagation region (疲劳裂纹扩展区) 和 final fracture region (最终断裂区)。fatigue crack propagation region (疲劳裂纹扩展区) 具有 characteristic fatigue striations (特征疲劳条纹)，是 cyclic loading (循环载荷) 逐次加载的痕迹。

fatigue process (疲劳过程) 通常包括三个 stages (阶段)：fatigue crack initiation (疲劳裂纹萌生)、fatigue crack propagation (疲劳裂纹扩展) 和 final fracture (最终断裂)。fatigue crack initiation (疲劳裂纹萌生) 通常发生在 stress concentration regions (应力集中区) (如表面缺陷、sharp corners (尖角)、stress raisers (应力集中源))，cyclic plastic deformation (循环塑性变形) 导致 microstructure damage (微观结构损伤) 并形成 micro-cracks (微裂纹)。fatigue crack propagation (疲劳裂纹扩展) 是在 cyclic loading (循环载荷) 作用下，micro-cracks (微裂纹) 逐渐扩展成 macro-cracks (宏观裂纹) 的过程，fatigue striations (疲劳条纹) 是 fatigue crack propagation (疲劳裂纹扩展) 的 characteristic feature (特征)。final fracture (最终断裂) 当 crack (裂纹) 扩展到 critical size (临界尺寸) 时，剩余 cross-section (截面) 无法承受 load (载荷) 而发生的 sudden fracture (突发断裂)。

fatigue design (疲劳设计) 的目的是保证 engineering components (工程部件) 在 expected service life (预期使用寿命) 内不发生 fatigue failure (疲劳失效)。fatigue design (疲劳设计) 的方法主要包括：
▮▮▮▮ⓐ Stress-life approach (应力-寿命法)：基于 S-N curve (S-N 曲线) 进行 fatigue design (疲劳设计)，确定 allowable stress amplitude (许用应力幅值)，保证 working stress (工作应力) 低于 fatigue limit (疲劳极限) (或 endurance limit (耐久极限)) 或在 specified fatigue life (规定疲劳寿命) 内不发生 fatigue failure (疲劳失效)。
▮▮▮▮ⓑ Strain-life approach (应变-寿命法)：基于 ε-N curve (ε-N 曲线) (strain-life curve (应变-寿命曲线)) 进行 fatigue design (疲劳设计)，考虑 plastic strain (塑性应变) 的影响，适用于 low-cycle fatigue (低周疲劳) (LCF) 问题。
▮▮▮▮ⓒ Fracture mechanics approach (断裂力学法)：基于 fracture mechanics (断裂力学) 原理进行 fatigue crack propagation analysis (疲劳裂纹扩展分析)，计算 fatigue crack growth rate (疲劳裂纹扩展速率)，预测 fatigue life (疲劳寿命)，适用于 critical components (关键部件) 的 fatigue assessment (疲劳评估)。

② Creep (蠕变)：
creep (蠕变) 是 materials (材料) 在 high temperature (高温) 和 constant stress (恒定应力) 作用下，strain (应变) 随时间缓慢增加的现象。creep (蠕变) 主要发生在高温条件下，对于 metals (金属), ceramics (陶瓷), polymers (聚合物) 等 materials (材料) 都会发生 creep (蠕变) 现象，但 creep mechanisms (蠕变机制) 和 creep behavior (蠕变行为) 各不相同。creep (蠕变) 的特点包括：
▮▮▮▮ⓐ Occurs at high temperature and constant stress (发生在高温和恒定应力下)：creep (蠕变) 必须在 high temperature (高温) 条件下发生，通常温度高于 0.3-0.5 \(T_m\) (\(T_m\) 是 melting point (熔点) 的绝对温度)。constant stress (恒定应力) 是 creep (蠕变) 的驱动力。
▮▮▮▮ⓑ Time-dependent deformation (时间依赖性变形)：creep (蠕变) deformation (变形) 随时间缓慢增加，是一个 time-dependent process (时间依赖性过程)。creep rate (蠕变速率) (strain rate (应变速率) \(\dot{ε} = dε/dt\)) 是描述 creep (蠕变) 速度的参数。
▮▮▮▮ⓒ Creep curve (蠕变曲线) has three stages (蠕变曲线有三个阶段)：typical creep curve (典型蠕变曲线) (strain-time curve (应变-时间曲线)) 通常可以分为 primary creep (初始蠕变) (或 transient creep (瞬态蠕变)), secondary creep (稳态蠕变) (或 steady-state creep (稳态蠕变)) 和 tertiary creep (加速蠕变) 三个 stages (阶段)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ Primary creep (初始蠕变)：creep rate (蠕变速率) 逐渐 decrease (降低)，strain hardening (应变硬化) 效应 dominates (占主导地位)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ Secondary creep (稳态蠕变)：creep rate (蠕变速率) 基本保持 constant (恒定)，strain hardening (应变硬化) 和 recovery (回复) 效应达到 dynamic equilibrium (动态平衡)。secondary creep (稳态蠕变) 是 creep life (蠕变寿命) 的主要阶段。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ Tertiary creep (加速蠕变)：creep rate (蠕变速率) 逐渐 increase (增加)，microstructure damage (微观结构损伤) (如 void formation (空洞形成), crack growth (裂纹长大)) 累积，最终导致 creep fracture (蠕变断裂)。
▮▮▮▮ⓖ Creep mechanisms (蠕变机制) are temperature and stress dependent (蠕变机制取决于温度和应力)：creep mechanisms (蠕变机制) 包括 dislocation creep (位错蠕变) (dislocation climb (位错攀移), dislocation glide (位错滑移)), diffusion creep (扩散蠕变) (Nabarro-Herring creep (纳巴罗-赫林蠕变), Coble creep (科贝尔蠕变)), grain boundary sliding (晶界滑移) 等，dominant creep mechanism (主要蠕变机制) 取决于 temperature (温度), stress (应力) 和 materials (材料) microstructure (微观结构)。
▮▮▮▮ⓗ Creep rupture (蠕变断裂) occurs at long time (蠕变断裂发生在长时间后)：creep fracture (蠕变断裂) 是在长期 creep (蠕变) 过程中逐渐发生的，creep rupture time (蠕变断裂时间) (或 creep life (蠕变寿命)) 是 engineering design (工程设计) 中重要的参数。

creep design (蠕变设计) 的目的是保证 engineering components (工程部件) 在 high temperature service (高温服役) 条件下，creep deformation (蠕变变形) 和 creep rupture (蠕变断裂) 不超过 allowable limits (允许限值)。creep design (蠕变设计) 的方法主要包括：
▮▮▮▮ⓐ Stress-based creep design (基于应力的蠕变设计)：基于 creep rupture strength (蠕变断裂强度) 或 allowable stress (许用应力) 进行 creep design (蠕变设计)，保证 working stress (工作应力) 低于 allowable stress (许用应力)，以防止 creep rupture (蠕变断裂)。
▮▮▮▮ⓑ Strain-based creep design (基于应变的蠕变设计)：基于 allowable creep strain (许用蠕变应变) 进行 creep design (蠕变设计)，限制 creep deformation (蠕变变形) 在 allowable limits (允许限值) 内，保证 components (部件) 的 dimensional stability (尺寸稳定性) 和 functional performance (功能性能)。
▮▮▮▮ⓒ Time-dependent creep analysis (时间依赖性蠕变分析)：基于 creep constitutive models (蠕变本构模型) (如 power-law creep equation (幂律蠕变方程), Garofalo equation (加罗法洛方程)) 进行 creep analysis (蠕变分析)，预测 creep deformation (蠕变变形) 和 creep life (蠕变寿命)，评估 components (部件) 的 creep performance (蠕变性能)。

fatigue (疲劳) 和 creep (蠕变) 是 engineering materials (工程材料) 在 cyclic loading (循环载荷) 和 high temperature service (高温服役) 条件下可能发生的 important failure modes (重要失效模式)。understanding fatigue and creep mechanisms (理解疲劳和蠕变机制)，掌握 fatigue design methods (疲劳设计方法) 和 creep design methods (蠕变设计方法)，对于 designing reliable and durable engineering structures and components (设计可靠和耐久的工程结构和部件) 至关重要。

8.3 材料的热学、电学、光学与磁学性能 (Thermal, Electrical, Optical and Magnetic Properties of Materials)

本节介绍 materials (材料) 的 thermal properties (热学性能)、electrical properties (电学性能)、optical properties (光学性能) 和 magnetic properties (磁学性能)，包括 thermal conductivity (热导率)、specific heat (比热容)、electrical conductivity (电导率)、dielectric constant (介电常数)、refractive index (折射率)、magnetic permeability (磁导率) 等，以及其在 engineering applications (工程应用) 中的 importance (重要性) 。

8.3.1 材料的热学性能 (Thermal Properties of Materials)

thermal properties (热学性能) 描述 materials (材料) 与 heat (热) 相互作用时的特性，是 engineering applications (工程应用) 中重要的 materials properties (材料性质)。常用的 thermal properties (热学性能) 包括 thermal conductivity (热导率)、specific heat capacity (比热容) 和 thermal expansion coefficient (热膨胀系数) 等。

① Thermal Conductivity (热导率)：
thermal conductivity (热导率) (\(k\)) 已在 8.1.2 节中介绍，是 measure of a material's ability to conduct heat (材料传导热量的能力)。high thermal conductivity materials (高热导率材料) 能够 efficiently transfer heat (有效地传递热量)，用于 heat dissipation (散热) 和 heat exchange (热交换) applications (应用)，如 heat sinks (散热器), heat exchangers (热交换器) 和 thermal interface materials (热界面材料)。low thermal conductivity materials (低热导率材料) 能够 effectively impede heat flow (有效地阻止热流)，用于 thermal insulation (热绝缘) applications (应用)，如 thermal insulation materials (隔热材料), thermal barriers (热障涂层) 和 cryogenic insulation (低温绝缘)。thermal conductivity (热导率) 受 materials (材料) microstructure (微观结构), temperature (温度), pressure (压力) 等因素影响。metals (金属) 通常具有 high thermal conductivity (高热导率)，ceramics (陶瓷) 和 polymers (聚合物) 通常具有 low thermal conductivity (低热导率)，composites (复合材料) 的 thermal conductivity (热导率) 可以通过 design (设计) 进行调控。

② Specific Heat Capacity (比热容)：
specific heat capacity (比热容) (\(c\)) 是 measure of the amount of heat energy required to raise the temperature of a unit mass of a material by one degree Celsius (或 one Kelvin) (使单位质量的材料温度升高一度摄氏度 (或一开尔文) 所需的热能量的度量)。specific heat capacity (比热容) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ c = \frac{Q}{mΔT} \]
其中，\(Q\) 是 heat energy (热能量)，\(m\) 是 mass (质量)，\(ΔT\) 是 temperature change (温度变化)。specific heat capacity (比热容) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 J/(kg·K) (焦耳/(千克·开尔文)) 或 J/(kg·°C) (焦耳/(千克·摄氏度))。materials (材料) 的 specific heat capacity (比热容) 取决于其 atomic vibration modes (原子振动模式) 和 electronic structure (电子结构)。high specific heat capacity materials (高比热容材料) 能够 store large amounts of thermal energy (存储大量的热能) 而 temperature change (温度变化) 较小，用于 thermal energy storage (热能存储) 和 thermal buffering (热缓冲) applications (应用)，如 heat storage materials (储热材料) 和 thermal management systems (热管理系统)。low specific heat capacity materials (低比热容材料) temperature (温度) 容易改变，用于 rapid heating (快速加热) 和 rapid cooling (快速冷却) applications (应用)。water (水) 具有 exceptionally high specific heat capacity (异常高的比热容)，常用作 coolant (冷却剂) 和 heat transfer fluid (传热流体)。

③ Thermal Expansion Coefficient (热膨胀系数)：
thermal expansion coefficient (热膨胀系数) (\(α\)) 是 measure of the fractional change in size of a material in response to a change in temperature (材料尺寸随温度变化的相对变化率的度量)。thermal expansion coefficient (热膨胀系数) 可以分为 linear thermal expansion coefficient (线热膨胀系数) (\(α_L\)), area thermal expansion coefficient (面热膨胀系数) (\(α_A\)) 和 volume thermal expansion coefficient (体热膨胀系数) (\(α_V\))，对于 isotropic materials (各向同性材料)，它们之间存在以下关系：
\[ α_A ≈ 2α_L \]
\[ α_V ≈ 3α_L \]
linear thermal expansion coefficient (线热膨胀系数) 的 definition formula (定义式) 为：
\[ α_L = \frac{1}{L_0} \frac{ΔL}{ΔT} \]
其中，\(L_0\) 是 original length (原始长度)，\(ΔL\) 是 length change (长度变化)，\(ΔT\) 是 temperature change (温度变化)。thermal expansion coefficient (热膨胀系数) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 K\(^{-1}\) (开尔文\(^{-1}\)) 或 °C\(^{-1}\) (摄氏度\(^{-1}\))。materials (材料) 的 thermal expansion coefficient (热膨胀系数) 取决于 interatomic bonding strength (原子间键强度) 和 atomic vibration (原子振动)。weakly bonded materials (弱键合材料) 通常具有 high thermal expansion coefficients (高热膨胀系数)，strongly bonded materials (强键合材料) 通常具有 low thermal expansion coefficients (低热膨胀系数)。polymers (聚合物) 通常具有 high thermal expansion coefficients (高热膨胀系数)，metals (金属) 的 thermal expansion coefficients (热膨胀系数) 适中，ceramics (陶瓷) 通常具有 low thermal expansion coefficients (低热膨胀系数)。thermal expansion coefficient (热膨胀系数) 在 thermal stress analysis (热应力分析), thermal expansion mismatch (热膨胀失配) 和 thermal expansion compensation (热膨胀补偿) 等 engineering problems (工程问题) 中至关重要。

materials (材料) 的 thermal properties (热学性能) 在 thermal engineering (热工程), energy engineering (能源工程), materials processing (材料加工) 等领域具有广泛的应用。了解和掌握 materials (材料) 的 thermal properties (热学性能)，对于 thermal system design (热系统设计), energy efficiency improvement (能量效率提升) 和 materials selection (材料选择) 至关重要。

8.3.2 材料的电学性能 (Electrical Properties of Materials)

electrical properties (电学性能) 描述 materials (材料) 在 electric field (电场) 作用下表现出的特性，是 electronics (电子学), electrical engineering (电气工程) 和 optoelectronics (光电子学) 等领域的核心 materials properties (材料性质)。常用的 electrical properties (电学性能) 包括 electrical conductivity (电导率) (或 electrical resistivity (电阻率)), dielectric constant (介电常数) 和 breakdown strength (击穿强度) 等。

① Electrical Conductivity (电导率) 与 Electrical Resistivity (电阻率)：
electrical conductivity (电导率) (\(σ\)) 和 electrical resistivity (电阻率) (\(ρ\)) 已在 8.1.2 节中介绍，是描述 materials (材料) electrical conduction ability (导电能力) 的 reciprocal parameters (互为倒数的参数)。conductors (导体) (如 metals (金属)) 具有 high electrical conductivity (高电导率) 和 low electrical resistivity (低电阻率)，用于 electrical wires (电线), electrodes (电极) 和 conductive coatings (导电涂层)。semiconductors (半导体) (如 silicon (硅), germanium (锗)) 的 electrical conductivity (电导率) 和 electrical resistivity (电阻率) 介于 conductors (导体) 和 insulators (绝缘体) 之间，且可以通过 doping (掺杂), temperature (温度), light irradiation (光照) 等条件进行调控，用于 transistors (晶体管), diodes (二极管), integrated circuits (集成电路) 和 solar cells (太阳能电池)。insulators (绝缘体) (或 dielectrics (电介质)) (如 ceramics (陶瓷), polymers (聚合物)) 具有 low electrical conductivity (低电导率) 和 high electrical resistivity (高电阻率)，用于 electrical insulation (电绝缘) 和 electrical energy storage (电能存储) applications (应用)。electrical conductivity (电导率) 和 electrical resistivity (电阻率) 受 materials (材料) electronic band structure (电子能带结构), charge carrier concentration (载流子浓度), charge carrier mobility (载流子迁移率), temperature (温度), impurity (杂质) 等因素影响。

② Dielectric Constant (介电常数)：
dielectric constant (介电常数) (\(ε_r\)) (或 relative permittivity (相对介电常数)) 是 measure of a material's ability to store electrical energy in an electric field (材料在电场中存储电能的能力的度量)。dielectric constant (介电常数) 定义为 materials (材料) 的 permittivity (介电常数) (\(ε\)) 与 vacuum permittivity (真空介电常数) (\(ε_0\)) 之比：
\[ ε_r = \frac{ε}{ε_0} \]
dielectric constant (介电常数) 是 dimensionless quantity (无量纲量)。vacuum permittivity (真空介电常数) \(ε_0 ≈ 8.854 × 10^{-12}\) F/m (法拉/米)。high dielectric constant materials (高介电常数材料) 能够 store large amounts of electrical energy (存储大量的电能)，用于 capacitors (电容器), gate dielectrics (栅介质) 和 energy storage devices (储能器件)。low dielectric constant materials (低介电常数材料) 用于 high-frequency electronic devices (高频电子器件) 和 interconnections (互连线)，以 reduce signal delay (减少信号延迟) 和 crosstalk (串扰)。dielectric constant (介电常数) 受 materials (材料) polarization mechanisms (极化机制) (electronic polarization (电子极化), ionic polarization (离子极化), orientational polarization (取向极化), space charge polarization (空间电荷极化)), frequency (频率), temperature (温度) 等因素影响。ceramics (陶瓷) 和 polymers (聚合物) 通常用作 dielectrics (电介质)，ceramics (陶瓷) 的 dielectric constant (介电常数) 范围较广，从 low to high (低到高) 都有，polymers (聚合物) 的 dielectric constant (介电常数) 通常较低。ferroelectric materials (铁电材料) 具有 exceptionally high dielectric constants (异常高的介电常数)，用于 high-capacitance capacitors (高电容电容器) 和 non-volatile memories (非易失性存储器)。

③ Breakdown Strength (击穿强度)：
breakdown strength (击穿强度) (\(E_b\)) (或 dielectric strength (介电强度)) 是 measure of the maximum electric field that a material can withstand before electrical breakdown occurs (材料在发生电击穿之前能够承受的最大电场强度的度量)。electrical breakdown (电击穿) 是指 insulators (绝缘体) 在 high electric field (高电场) 作用下，electrical conductivity (电导率) 急剧增加，从 insulator (绝缘体) 变为 conductor (导体) 的现象。breakdown strength (击穿强度) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 V/m (伏特/米) 或 kV/mm (千伏/毫米)。high breakdown strength materials (高击穿强度材料) 能够 withstand high electric fields (承受高电场) 而不发生 electrical breakdown (电击穿)，用于 high-voltage insulation (高压绝缘), high-voltage capacitors (高压电容器) 和 high-power electronic devices (大功率电子器件)。breakdown strength (击穿强度) 受 materials (材料) intrinsic properties (本征性质) (electronic band gap (电子带隙), defect concentration (缺陷浓度)), extrinsic factors (外在因素) (temperature (温度), humidity (湿度), electric field frequency (电场频率), sample thickness (样品厚度)) 等因素影响。ceramics (陶瓷) 和 polymers (聚合物) 通常用作 electrical insulators (电绝缘体)，ceramics (陶瓷) 的 breakdown strength (击穿强度) 通常高于 polymers (聚合物)。

materials (材料) 的 electrical properties (电学性能) 在 electronics (电子学), electrical power systems (电力系统), communications (通信) 和 sensors (传感器) 等领域具有 critical importance (至关重要的重要性)。understanding and controlling materials (材料) 的 electrical properties (电学性能)，对于 electronic device design (电子器件设计), electrical insulation design (电绝缘设计) 和 energy storage technology development (储能技术发展) 至关重要。

8.3.3 材料的光学性能 (Optical Properties of Materials)

optical properties (光学性能) 描述 materials (材料) 与 light (光) (electromagnetic radiation in the visible, ultraviolet, and infrared ranges (可见光、紫外线和红外线范围内的电磁辐射)) 相互作用时的特性，是 optics (光学), photonics (光子学), optoelectronics (光电子学) 和 solar energy (太阳能) 等领域的核心 materials properties (材料性质)。常用的 optical properties (光学性能) 包括 refractive index (折射率), absorption coefficient (吸收系数), reflectivity (反射率) 和 transmittance (透射率) 等。

① Refractive Index (折射率)：
refractive index (折射率) (\(n\)) 是 measure of how much light is slowed down when passing through a material (光在通过材料时速度减慢程度的度量)。refractive index (折射率) 定义为 vacuum light speed (真空中光速) (\(c\)) 与 material light speed (材料中光速) (\(v\)) 之比：
\[ n = \frac{c}{v} \]
refractive index (折射率) 是 dimensionless quantity (无量纲量)，通常大于 1。vacuum (真空) 的 refractive index (折射率) 为 1。high refractive index materials (高折射率材料) 能够 significantly slow down light (显著减慢光速) 并 bend light more (更多地弯曲光线)，用于 lenses (透镜), prisms (棱镜), optical fibers (光纤) 和 antireflection coatings (减反射涂层)。low refractive index materials (低折射率材料) 用于 optical coatings (光学涂层) 和 optical adhesives (光学粘合剂)。refractive index (折射率) 受 materials (材料) electronic structure (电子结构), wavelength of light (光波波长), temperature (温度) 等因素影响，通常 wavelength (波长) 越短，refractive index (折射率) 越大 (色散现象)。glasses (玻璃) 和 polymers (聚合物) 是常用的 optical materials (光学材料)，glasses (玻璃) 的 refractive index (折射率) 范围较广，从 low to high (低到高) 都有，polymers (聚合物) 的 refractive index (折射率) 通常较低。semiconductor materials (半导体材料) (如 silicon (硅), gallium arsenide (砷化镓)) 具有 high refractive indices (高折射率)，用于 integrated photonics (集成光子学)。

② Absorption Coefficient (吸收系数)：
absorption coefficient (吸收系数) (\(α\)) 是 measure of how strongly a material absorbs light at a given wavelength (材料在给定波长下吸收光强度的度量)。absorption coefficient (吸收系数) 定义为 light intensity (光强度) 在 material (材料) 中传播 unit distance (单位距离) 后的 fractional decrease (相对减少量)。absorption coefficient (吸收系数) 的 definition formula (定义式) (Beer-Lambert law (比尔-朗伯定律)) 为：
\[ I(x) = I_0 e^{-αx} \]
其中，\(I_0\) 是 incident light intensity (入射光强度)，\(I(x)\) 是经过 distance (距离) \(x\) 后的 transmitted light intensity (透射光强度)。absorption coefficient (吸收系数) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 m\(^{-1}\) (米\(^{-1}\)) 或 cm\(^{-1}\) (厘米\(^{-1}\))。high absorption coefficient materials (高吸收系数材料) 能够 effectively absorb light (有效地吸收光线)，用于 solar absorbers (太阳能吸收器), photodetectors (光电探测器) 和 optical filters (光学滤波器)。low absorption coefficient materials (低吸收系数材料) 能够 transmit light efficiently (有效地透射光线)，用于 transparent windows (透明窗口), optical waveguides (光波导) 和 optical lenses (光学透镜)。absorption coefficient (吸收系数) 受 materials (材料) electronic band structure (电子能带结构), electronic transitions (电子跃迁), wavelength of light (光波波长), impurity (杂质) 等因素影响。metals (金属) 和 semiconductors (半导体) 通常具有 high absorption coefficients (高吸收系数)，glasses (玻璃) 和 polymers (聚合物) 的 absorption coefficients (吸收系数) 范围较广，取决于 wavelength (波长) 和 composition (组成)。

③ Reflectivity (反射率) 与 Transmittance (透射率)：
reflectivity (反射率) (\(R\)) 是 measure of the fraction of incident light that is reflected by a material surface (材料表面反射入射光比例的度量)。transmittance (透射率) (\(T\)) 是 measure of the fraction of incident light that is transmitted through a material (材料透射入射光比例的度量)。reflectivity (反射率) 和 transmittance (透射率) 都是 dimensionless quantities (无量纲量)，取值范围为 0 到 1 (或 0% 到 100%)。对于 opaque materials (不透明材料)，transmittance (透射率) 基本为 0，light (光) 主要被 reflection (反射) 和 absorption (吸收)。对于 transparent materials (透明材料)，reflectivity (反射率) 和 absorption (吸收) 都较小，light (光) 主要被 transmission (透射)。reflectivity (反射率), transmittance (透射率) 和 absorptance (吸收率) (\(A\)) 之间存在能量守恒关系：
\[ R + T + A = 1 \]
reflectivity (反射率) 和 transmittance (透射率) 受 materials (材料) refractive index (折射率), surface roughness (表面粗糙度), wavelength of light (光波波长), angle of incidence (入射角) 等因素影响。metals (金属) 通常具有 high reflectivity (高反射率)，polymers (聚合物) 和 glasses (玻璃) 的 reflectivity (反射率) 较低，transmittance (透射率) 较高。semiconductor materials (半导体材料) 的 reflectivity (反射率) 和 transmittance (透射率) 取决于 wavelength (波长) 和 band gap (带隙)。

materials (材料) 的 optical properties (光学性能) 在 optical communication (光通信), optical imaging (光学成像), displays (显示器), lighting (照明), solar energy (太阳能) 和 optical sensing (光传感) 等领域具有 fundamental importance (根本的重要性)。designing and engineering materials with tailored optical properties (设计和工程化具有定制光学性能的材料)，对于 advancing optical and photonic technologies (推进光学和光子技术) 至关重要。

8.3.4 材料的磁学性能 (Magnetic Properties of Materials)

magnetic properties (磁学性能) 描述 materials (材料) 在 magnetic field (磁场) 作用下表现出的特性，是 magnetism (磁学), magnetic storage (磁存储), magnetic sensors (磁传感器) 和 biomedical engineering (生物医学工程) 等领域的重要 materials properties (材料性质)。常用的 magnetic properties (磁学性能) 包括 magnetic permeability (磁导率), magnetic susceptibility (磁化率), coercivity (矫顽力) 和 remanence (剩磁) 等。

① Magnetic Permeability (磁导率)：
magnetic permeability (磁导率) (\(μ\)) 是 measure of a material's ability to support the formation of magnetic field within itself (材料在其内部支持形成磁场的能力的度量)。magnetic permeability (磁导率) 定义为 magnetic flux density (磁通量密度) (\(B\)) 与 magnetic field strength (磁场强度) (\(H\)) 之比：
\[ B = μH \]
magnetic permeability (磁导率) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 H/m (亨利/米) 或 T·m/A (特斯拉·米/安培)。magnetic permeability (磁导率) 通常用 relative permeability (相对磁导率) (\(μ_r\)) 表示，relative permeability (相对磁导率) 定义为 material permeability (材料磁导率) (\(μ\)) 与 vacuum permeability (真空磁导率) (\(μ_0\)) 之比：
\[ μ_r = \frac{μ}{μ_0} \]
relative permeability (相对磁导率) 是 dimensionless quantity (无量纲量)。vacuum permeability (真空磁导率) \(μ_0 = 4π × 10^{-7}\) H/m (亨利/米)。根据 relative permeability (相对磁导率) 的大小和磁化特性，materials (材料) 可以分为 diamagnetic materials (抗磁性材料), paramagnetic materials (顺磁性材料), ferromagnetic materials (铁磁性材料), antiferromagnetic materials (反铁磁性材料) 和 ferrimagnetic materials (亚铁磁性材料)。
▮▮▮▮ⓐ Diamagnetic materials (抗磁性材料)：relative permeability (相对磁导率) \(μ_r < 1\) (略小于 1)，magnetic susceptibility (磁化率) \(χ_m < 0\) (负值且绝对值很小)，磁化方向与 external magnetic field (外磁场) 方向相反，磁化强度微弱，撤去 external magnetic field (外磁场) 后 magnetization (磁化强度) 消失。diamagnetism (抗磁性) 是 materials (材料) 的 fundamental magnetic property (基本磁性)，所有 materials (材料) 都具有 diamagnetism (抗磁性)，但对于 paramagnetic materials (顺磁性材料) 和 ferromagnetic materials (铁磁性材料)，diamagnetism (抗磁性) 通常被 paramagnetism (顺磁性) 和 ferromagnetism (铁磁性) 掩盖。examples (例子)：copper (铜), gold (金), silver (银), silicon (硅), polymers (聚合物), water (水) 等。
▮▮▮▮ⓑ Paramagnetic materials (顺磁性材料)：relative permeability (相对磁导率) \(μ_r > 1\) (略大于 1)，magnetic susceptibility (磁化率) \(χ_m > 0\) (正值且数值较小)，磁化方向与 external magnetic field (外磁场) 方向相同，磁化强度较弱，撤去 external magnetic field (外磁场) 后 magnetization (磁化强度) 消失。paramagnetism (顺磁性) 源于 materials (材料) 中 atoms (原子) 或 ions (离子) 的 permanent magnetic dipole moments (永久磁偶极矩)，external magnetic field (外磁场) 使 magnetic dipole moments (磁偶极矩) 趋于 aligned (排列) 而产生 magnetization (磁化强度)。paramagnetism (顺磁性) 受 temperature (温度) 影响，temperature (温度) 升高，paramagnetism (顺磁性) 减弱 (居里定律)。examples (例子)：aluminum (铝), magnesium (镁), titanium (钛), oxygen (氧气), paramagnetic salts (顺磁盐) 等。
▮▮▮▮ⓒ Ferromagnetic materials (铁磁性材料)：relative permeability (相对磁导率) \(μ_r >> 1\) (远大于 1)，magnetic susceptibility (磁化率) \(χ_m >> 0\) (正值且数值很大)，磁化方向与 external magnetic field (外磁场) 方向相同，磁化强度很强，撤去 external magnetic field (外磁场) 后 magnetization (磁化强度) 仍然保留 (remanence (剩磁) 现象)。ferromagnetism (铁磁性) 源于 materials (材料) 中 atoms (原子) 的 spontaneous magnetic dipole moment alignment (自发磁偶极矩排列) 和 strong exchange interaction (强交换相互作用)，形成 magnetic domains (磁畴)。ferromagnetic materials (铁磁性材料) 具有 hysteresis loop (磁滞回线) 特征，用于 permanent magnets (永磁体), transformers (变压器) 和 magnetic recording media (磁记录介质)。examples (例子)：iron (铁), nickel (镍), cobalt (钴), gadolinium (钆), ferromagnetic alloys (铁磁合金) (如 steel (钢), permalloy (坡莫合金), ferrite (铁氧体)) 等。
▮▮▮▮ⓓ Antiferromagnetic materials (反铁磁性材料)：relative permeability (相对磁导率) \(μ_r ≈ 1\) (接近 1)，magnetic susceptibility (磁化率) \(χ_m > 0\) (正值但数值较小，且随 temperature (温度) 变化呈现特殊规律)，内部相邻 atomic magnetic moments (原子磁矩) antiparallel alignment (反平行排列)，net magnetization (净磁化强度) 为零。antiferromagnetism (反铁磁性) 在特定 temperature (温度) (Néel temperature (奈尔温度)) 以下出现，高于 Néel temperature (奈尔温度) 时转变为 paramagnetism (顺磁性)。antiferromagnetic materials (反铁磁性材料) 在磁存储和 magnetic sensors (磁传感器) 领域具有潜在应用。examples (例子)：chromium (铬), manganese oxide (氧化锰) (MnO), nickel oxide (氧化镍) (NiO) 等。
▮▮▮▮ⓔ Ferrimagnetic materials (亚铁磁性材料)：relative permeability (相对磁导率) \(μ_r >> 1\) (远大于 1)，magnetic susceptibility (磁化率) \(χ_m >> 0\) (正值且数值很大)，磁化强度较强，具有 hysteresis loop (磁滞回线) 特征，但 magnetization (磁化强度) 强度弱于 ferromagnetic materials (铁磁性材料)。ferrimagnetism (亚铁磁性) 源于 materials (材料) 中不同 sublattices (亚晶格) 的 atomic magnetic moments (原子磁矩) antiparallel alignment (反平行排列) 但 magnitude (大小) 不相等，导致 net magnetization (净磁化强度) 不为零。ferrimagnetic materials (亚铁磁性材料) 主要包括 ferrites (铁氧体) (如 spinel ferrites (尖晶石铁氧体), garnet ferrites (石榴石铁氧体))，广泛用于 magnetic recording (磁记录), microwave devices (微波器件) 和 magnetic cores (磁芯)。

② Magnetic Susceptibility (磁化率)：
magnetic susceptibility (磁化率) (\(χ_m\)) 是 measure of the degree of magnetization of a material in response to an applied magnetic field (材料响应外磁场磁化程度的度量)。magnetic susceptibility (磁化率) 定义为 magnetization (磁化强度) (\(M\)) 与 magnetic field strength (磁场强度) (\(H\)) 之比：
\[ χ_m = \frac{M}{H} \]
magnetic susceptibility (磁化率) 是 dimensionless quantity (无量纲量)。magnetic susceptibility (磁化率) 反映了 materials (材料) 磁化难易程度和磁化方向。diamagnetic materials (抗磁性材料) 的 magnetic susceptibility (磁化率) 为负值，paramagnetic materials (顺磁性材料), ferromagnetic materials (铁磁性材料), antiferromagnetic materials (反铁磁性材料) 和 ferrimagnetic materials (亚铁磁性材料) 的 magnetic susceptibility (磁化率) 为正值，但 magnitude (大小) 相差很大。magnetic susceptibility (磁化率) 受 materials (材料) electronic structure (电子结构), temperature (温度), magnetic ordering (磁有序) 等因素影响。

③ Coercivity (矫顽力) 与 Remanence (剩磁)：
coercivity (矫顽力) (\(H_c\)) 和 remanence (剩磁) (\(M_r\)) 是 ferromagnetic materials (铁磁性材料) 和 ferrimagnetic materials (亚铁磁性材料) hysteresis loop (磁滞回线) 的 characteristic parameters (特征参数)。
▮▮▮▮ⓐ Coercivity (矫顽力) (\(H_c\)): 是 measure of the magnetic field strength required to reduce the magnetization of a ferromagnetic or ferrimagnetic material to zero after it has been saturated (使铁磁性或亚铁磁性材料在磁饱和后磁化强度降为零所需磁场强度的度量)。coercivity (矫顽力) 的 SI unit (国际单位制单位) 是 A/m (安培/米) 或 Oe (奥斯特)。high coercivity materials (高矫顽力材料) 难以 demagnetize (退磁)，用于 permanent magnets (永磁体) applications (应用)。low coercivity materials (低矫顽力材料) 容易 magnetize (磁化) 和 demagnetize (退磁)，用于 soft magnetic materials (软磁材料) applications (应用)。
▮▮▮▮ⓑ Remanence (剩磁) (\(M_r\)): 是 measure of the magnetization remaining in a ferromagnetic or ferrimagnetic material after the applied magnetic field is removed (铁磁性或亚铁磁性材料在外磁场移除后剩余磁化强度的度量)。remanence (剩磁) 的 SI unit (国际单位制单位) 与 magnetization (磁化强度) 相同，为 A/m (安培/米) 或 emu/cm\(^3\) (电磁单位/立方厘米)。high remanence materials (高剩磁材料) 能够 retain strong magnetization (保持强磁化强度) 而不需要 external magnetic field (外磁场)，用于 permanent magnets (永磁体) 和 magnetic recording media (磁记录介质)。

coercivity (矫顽力) 和 remanence (剩磁) 受 materials (材料) microstructure (微观结构) (grain size (晶粒尺寸), grain orientation (晶粒取向), magnetic domain structure (磁畴结构), defect density (缺陷密度)), composition (组成), processing history (加工历史) 等因素影响。hard magnetic materials (硬磁材料) (永磁材料) 具有 high coercivity (高矫顽力) 和 high remanence (高剩磁)，用于 permanent magnets (永磁体) (如 magnets (磁铁), magnetic recording media (磁记录介质), magnetic sensors (磁传感器))。soft magnetic materials (软磁材料) 具有 low coercivity (低矫顽力) 和 high permeability (高磁导率)，用于 transformers (变压器) cores (铁芯), inductors (电感器) cores (铁芯) 和 electromagnetic devices (电磁器件)。

materials (材料) 的 magnetic properties (磁学性能) 在 electrical engineering (电气工程), electronics (电子学), information storage (信息存储), biomedical engineering (生物医学工程) 和 aerospace engineering (航空航天工程) 等领域具有 critical applications (关键应用)。developing and utilizing materials with tailored magnetic properties (开发和利用具有定制磁学性能的材料)，对于 advancing magnetic technologies and applications (推进磁技术和应用) 至关重要。

9. 现代物理专题 (Topics in Modern Physics)

章节概要

本章选取现代物理学的前沿专题进行介绍，包括 relativity (相对论)、nuclear physics (核物理)、particle physics (粒子物理)、cosmology (宇宙学) 等，旨在拓展读者的科学视野，了解 physics research (物理学研究) 的最新进展。

9.1 相对论基础 (Fundamentals of Relativity)

章节概要

介绍 special relativity (狭义相对论) 和 general relativity (广义相对论) 的基本原理，包括 spacetime (时空)、time dilation (时间膨胀)、length contraction (长度收缩)、mass-energy equivalence (质能等价) 和 gravitational field (引力场) 的弯曲 spacetime (时空) 解释。

9.1.1 狭义相对论 (Special Relativity)

概要

介绍 special relativity (狭义相对论) 的两个 postulates (公设)，分析 time dilation (时间膨胀)、length contraction (长度收缩)、mass-energy equivalence (质能等价) 等 relativistic effects (相对论效应)。

详细内容

狭义相对论是 Albert Einstein (爱因斯坦) 于 1905 年提出的革命性理论，它彻底改变了我们对 space (空间)、time (时间) 和 motion (运动) 的理解。狭义相对论建立在两个基本 postulates (公设) 之上：

① 相对性原理 (Principle of Relativity)：所有 inertial reference frame (惯性参考系) 对于描述物理现象是等价的。这意味着在所有匀速直线运动的参考系中，物理定律都具有相同的形式。不存在一个绝对静止的参考系，所有的运动都是相对的。这个原理扩展了 classical mechanics (经典力学) 中的相对性原理，使其适用于包括 electromagnetism (电磁学) 在内的所有物理学。

② 光速不变原理 (Principle of Constancy of Light Speed)：在 vacuum (真空中)，light speed (光速) \(c\) 对于所有 inertial observers (惯性观察者) 来说是恒定的，与 light source (光源) 的运动状态无关。这是一个突破性的假设，与 classical physics (经典物理学) 中速度的相对性概念相悖。根据 classical physics (经典物理学)，如果光源运动，那么光速应该会叠加光源的速度。但实验表明，无论光源或观察者如何运动，真空中的光速始终是一个常数，约为 \(c \approx 2.998 \times 10^8 \, \text{m/s}\)。

基于这两个 postulates (公设)，狭义相对论预言了一系列 counter-intuitive (反直觉) 但已被实验证实的 relativistic effects (相对论效应)：

▮▮▮▮ⓐ Time Dilation (时间膨胀)： moving clock (运动的时钟) 相比于 stationary clock (静止的时钟) 走得更慢。如果一个 observer (观察者) 相对于一个 clock (时钟) 以 velocity (速度) \(v\) 运动，那么 observer (观察者) 测得的 clock (时钟) 的 time interval (时间间隔) \(\Delta t\) （称为 proper time (原时)）与 clock (时钟) 静止参考系中测得的 time interval (时间间隔) \(\Delta t_0\) 之间存在如下关系：

\[ \Delta t = \gamma \Delta t_0 \]

其中，\(\gamma\) 是 Lorentz factor (洛伦兹因子)，定义为：

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

由于 \(\gamma \ge 1\)，所以 \(\Delta t \ge \Delta t_0\)，这意味着 moving observer (运动观察者) 测得的时间间隔 \(\Delta t\) 比 stationary observer (静止观察者) 测得的时间间隔 \(\Delta t_0\) 要长，即 moving clock (运动的时钟) 走得更慢。Time dilation (时间膨胀) 在 high-energy physics (高能物理) experiments (实验) 中得到了精确验证，例如 muons (μ子) 的 decay (衰变) 寿命。

▮▮▮▮ⓑ Length Contraction (长度收缩)： moving object (运动物体) 在其运动方向上的 length (长度) 会比其静止时的 length (长度) 要短。如果一个 object (物体) 静止时的 length (长度) 为 \(L_0\) （称为 proper length (原长)），当 object (物体) 以 velocity (速度) \(v\) 沿 length (长度) 方向运动时， stationary observer (静止观察者) 测得的 length (长度) \(L\) 为：

\[ L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \]

由于 \(\gamma \ge 1\)，所以 \(L \le L_0\)，这意味着 moving object (运动物体) 的 length (长度) 在运动方向上被 contracted (收缩) 了。Length contraction (长度收缩) 也是一个真实存在的效应，在 particle physics (粒子物理) 和 astrophysics (天体物理学) 中都有重要意义。

▮▮▮▮ⓒ Mass-Energy Equivalence (质能等价)： 狭义相对论最著名的结论之一是 mass (质量) 和 energy (能量) 是等价的，可以通过著名的 equation (方程) \(E=mc^2\) 相互转换。一个 object (物体) 的 total energy (总能量) \(E\) 包括 rest energy (静止能量) \(E_0 = m_0c^2\) 和 kinetic energy (动能) \(K\)，其中 \(m_0\) 是 rest mass (静止质量)。Total energy (总能量) \(E\) 和 momentum (动量) \(p\) 的 relativistic expression (相对论表达式) 为：

\[ E = \gamma m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
\[ \mathbf{p} = \gamma m_0 \mathbf{v} = \frac{m_0 \mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

当 velocity (速度) \(v\) 远小于 light speed (光速) \(c\) 时，\(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\)，relativistic kinetic energy (相对论动能) 可以近似为 classical kinetic energy (经典动能) \(K \approx \frac{1}{2}m_0v^2\)。Mass-energy equivalence (质能等价) 揭示了 mass (质量) 本身就是一种形式的 energy (能量)，在 nuclear reactions (核反应) 和 particle physics (粒子物理) 过程中，mass (质量) 可以转化为 energy (能量)，反之亦然，这为 atomic energy (原子能) 的释放提供了理论基础。

狭义相对论不仅是 physics (物理学) 的基石，也在 engineering (工程学) 领域有着广泛的应用，例如 particle accelerators (粒子加速器) 的设计、GPS (全球定位系统) 的精确 timing (计时) 校正、 nuclear medicine (核医学) 中的 PET (正电子发射断层扫描) 技术等都离不开狭义相对论的理论指导。

9.1.2 广义相对论初步 (Introduction to General Relativity)

概要

简要介绍 general relativity (广义相对论) 的基本思想，即 gravity (引力) 是 spacetime (时空) 的弯曲，以及 gravitational lensing (引力透镜)、gravitational waves (引力波) 等现象。

详细内容

General Relativity (广义相对论) 是 Einstein (爱因斯坦) 于 1915 年提出的 gravity theory (引力理论)，是对 Newtonian gravity (牛顿引力) 的革命性发展。General Relativity (广义相对论) 的核心思想是：

① 等效原理 (Equivalence Principle)： gravitational force (引力) 和 inertia force (惯性力) 是等效的。这意味着在一个 gravitational field (引力场) 中， inertial mass (惯性质量) 和 gravitational mass (引力质量) 是相同的。Einstein (爱因斯坦) 通过 thought experiment (思想实验) 说明，在一个封闭的 elevator (电梯) 中，无法区分是处于 uniform gravitational field (匀强引力场) 中还是处于 uniform acceleration (匀加速) 运动中。Equivalence Principle (等效原理) 是 general relativity (广义相对论) 的出发点，它暗示了 gravity (引力) 并非一种 force (力)，而是一种 spacetime (时空) 的几何效应。

② Spacetime Curvature (时空弯曲)： mass (质量) 和 energy (能量) 会 cause (引起) spacetime (时空) 的 curvature (弯曲)。在 general relativity (广义相对论) 中，gravity (引力) 不是 spacetime (时空) 中的一种 force (力)，而是 spacetime (时空) curvature (弯曲) 的 manifestation (表现)。Massive objects (大质量物体) 周围的 spacetime (时空) 会发生弯曲，其他 objects (物体) 在弯曲 spacetime (时空) 中沿 geodesic (测地线) 运动， geodesic (测地线) 在 Euclidean space (欧几里得空间) 中对应直线，但在 curved spacetime (弯曲时空) 中则表现为 curved path (弯曲路径)，这就是我们 perceived (感知) 到的 gravitational effect (引力效应)。

General Relativity (广义相对论) 预言了一系列 important phenomena (重要现象) 和 effects (效应)：

▮▮▮▮ⓐ Gravitational Lensing (引力透镜)： 当 light (光) 经过 massive object (大质量物体) 附近时，由于 spacetime (时空) 的 curvature (弯曲)，light path (光路) 会发生 bending (弯曲)，就像 light (光) 通过 lens (透镜) 一样。这种现象称为 gravitational lensing (引力透镜) 。Astronomers (天文学家) 已经观测到 gravitational lensing (引力透镜) 现象，例如 galaxy clusters (星系团) 对 background galaxies (背景星系) 的 gravitational lensing (引力透镜) 效应，这为 general relativity (广义相对论) 提供了 strong evidence (有力证据)，也成为研究 distant galaxies (遥远星系) 和 dark matter (暗物质) 分布的重要工具。

▮▮▮▮ⓑ Gravitational Waves (引力波)： accelerating masses (加速质量) 会 radiate (辐射) spacetime (时空) 的 ripples (涟漪)，称为 gravitational waves (引力波)。Gravitational waves (引力波) 以 light speed (光速) 传播，携带 energy (能量) 和 momentum (动量)。Einstein (爱因斯坦) 在 1916 年预言了 gravitational waves (引力波) 的存在，但直到 2015 年，LIGO (激光干涉引力波天文台) 首次直接探测到来自 binary black hole (双黑洞) merger (并合) 的 gravitational waves (引力波)，证实了 Einstein (爱因斯坦) 的预言。Gravitational wave astronomy (引力波天文学) 成为 astrophysics (天体物理学) 的一个 new window (新窗口)，可以研究 black holes (黑洞)、neutron stars (中子星) 等 extreme astrophysical events (极端天体物理事件)，为我们理解 universe (宇宙) 提供了 new insights (新视角)。

▮▮▮▮ⓒ Black Holes (黑洞)： General Relativity (广义相对论) 预言，如果一个 massive object (大质量物体) 的 mass (质量) 足够集中， spacetime (时空) curvature (弯曲) 会变得非常 extreme (极端)，形成 black hole (黑洞)。Black hole (黑洞) 周围存在一个 event horizon (事件视界)，一旦 object (物体) 或 light (光) 进入 event horizon (事件视界) 内，就无法 escape (逃脱) black hole (黑洞) 的 gravity (引力)。Black holes (黑洞) 是 universe (宇宙) 中最 mysterious (神秘) 和 fascinating (迷人) 的 objects (物体) 之一，对 black holes (黑洞) 的研究是 general relativity (广义相对论) 的重要应用，也涉及到 quantum mechanics (量子力学) 和 cosmology (宇宙学) 的前沿问题。

General Relativity (广义相对论) 不仅是 modern physics (现代物理学) 的 cornerstone (基石)，也在 astrophysics (天体物理学)、cosmology (宇宙学) 和 engineering (工程学) 领域发挥着重要作用。例如，GPS (全球定位系统) 的 accurate positioning (精确定位) 需要考虑 general relativistic effects (广义相对论效应) 对 time (时间) 的影响； cosmology (宇宙学) 中 universe (宇宙) 的 evolution (演化)、large-scale structure (大尺度结构) 的形成、black holes (黑洞) 和 gravitational waves (引力波) 的研究都离不开 general relativity (广义相对论) 的理论框架。

9.2 核物理与原子核工程 (Nuclear Physics and Nuclear Engineering)

章节概要

介绍 atomic nucleus (原子核) 的 structure (结构) 和 properties (性质)，包括 nuclear force (核力)、radioactivity (放射性)、nuclear reactions (核反应)、nuclear fission (核裂变)、nuclear fusion (核聚变) 等，以及 nuclear energy (核能) 的应用和 safety (安全) 问题。

9.2.1 原子核的结构与性质 (Structure and Properties of Atomic Nucleus)

概要

介绍 atomic nucleus (原子核) 的 composition (组成) (protons (质子) and neutrons (中子))，分析 nuclear force (核力) 的特性，以及 nuclear binding energy (核结合能) 和 nuclear stability (核稳定性)。

详细内容

Atomic nucleus (原子核) 是 atom (原子) 的中心部分，集中了 atom (原子) 的 almost all (几乎所有) mass (质量) 和 positive charge (正电荷)。Atomic nucleus (原子核) 由两种 particles (粒子) 组成：

① Protons (质子)： 带有 positive charge (正电荷) \(+e\)，charge quantity (电荷量) 与 electron (电子) 所带 negative charge (负电荷) magnitude (大小) 相等，rest mass (静止质量) \(m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)。Proton number (质子数) (atomic number (原子序数) \(Z\)) 决定了 element type (元素种类)。

② Neutrons (中子)： 不带 electric charge (电荷)，rest mass (静止质量) \(m_n \approx 1.6749 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)，略大于 proton (质子) 的 mass (质量)。Neutron number (中子数) \(N\) 与 proton number (质子数) \(Z\) 共同决定了 nuclide type (核素种类)，相同 proton number (质子数) 不同 neutron number (中子数) 的 nuclides (核素) 互为 isotopes (同位素)。

Protons (质子) 和 neutrons (中子) 统称为 nucleons (核子)。Atomic nucleus (原子核) 的 mass number (质量数) \(A = Z + N\) 表示 nucleus (原子核) 中 nucleons (核子) 的总数。Atomic nucleus (原子核) 的 typical size (典型大小) 在 \(10^{-15} \, \text{m}\) (femtometer, fm, or fermi) 量级，远小于 atom (原子) 的 size (大小) （约 \(10^{-10} \, \text{m}\)）。

Nucleons (核子) 之间通过 Nuclear Force (核力) 相互作用形成 stable nucleus (稳定核)。Nuclear Force (核力) 具有以下 characteristics (特点)：

▮▮▮▮ⓐ Strong Force (强相互作用)： Nuclear Force (核力) 是 four fundamental forces (四种基本相互作用力) 中最 strong (强) 的 force (力)，比 electromagnetic force (电磁力) 要强得多，能够 overcome (克服) protons (质子) 之间的 electrostatic repulsion (静电斥力)，将 nucleons (核子) tightly bound (紧密束缚) 在一起。

▮▮▮▮ⓑ Attractive Force (吸引力)： Nuclear Force (核力) 在 nucleons (核子) 之间表现为 attractive force (吸引力)，使得 nucleus (原子核) 能够 bound (束缚) 在一起。

▮▮▮▮ⓒ Short-Range Force (短程力)： Nuclear Force (核力) 的作用范围非常 short (短)，只有约 \(1-2 \, \text{fm}\)，当 nucleons (核子) 之间的 distance (距离) 超过 \(2-3 \, \text{fm}\) 时，Nuclear Force (核力) 迅速减弱。这解释了为什么 nucleus (原子核) 的 size (大小) 有限，并且 heavy nucleus (重核) tend to be unstable (趋于不稳定)。

▮▮▮▮ⓓ Charge Independence (电荷无关性)： Nuclear Force (核力) 在 proton-proton (质子-质子)、neutron-neutron (中子-中子) 和 proton-neutron (质子-中子) 之间几乎是相同的，与 nucleons (核子) 是否带电无关。

由于 Nuclear Force (核力) 的作用，将 nucleons (核子) 结合成 nucleus (原子核) 需要释放 energy (能量)，这个释放的 energy (能量) 称为 Nuclear Binding Energy (核结合能) \(E_b\)。Nuclear Binding Energy (核结合能) 可以通过 mass defect (质量亏损) 来计算。根据 Mass-Energy Equivalence (质能等价) \(E=mc^2\)，nucleus (原子核) 的 mass (质量) \(M_{\text{nucleus}}\) 比组成 nucleus (原子核) 的 nucleons (核子) 的 mass (质量) 之和要小，这个 mass difference (质量差) 称为 Mass Defect (质量亏损) \(\Delta m\)：

\[ \Delta m = (Z m_p + N m_n) - M_{\text{nucleus}} \]

Nuclear Binding Energy (核结合能) \(E_b\) 与 Mass Defect (质量亏损) \(\Delta m\) 之间的关系为：

\[ E_b = \Delta m c^2 = [(Z m_p + N m_n) - M_{\text{nucleus}}] c^2 \]

通常用 Average Binding Energy per Nucleon (平均核子结合能) \(E_b/A\) 来衡量 nucleus (原子核) 的 stability (稳定性)。Experimentally (实验) 发现，middle-mass nucleus (中等质量核) （如 iron (铁) \(^{56}\text{Fe}\)）的 average binding energy per nucleon (平均核子结合能) 最大，约为 \(8.8 \, \text{MeV}\)，light nucleus (轻核) 和 heavy nucleus (重核) 的 average binding energy per nucleon (平均核子结合能) 较小。Average binding energy per nucleon (平均核子结合能) 随 mass number (质量数) \(A\) 的变化曲线称为 Binding Energy Curve (结合能曲线)。Binding Energy Curve (结合能曲线) 解释了 nuclear fission (核裂变) 和 nuclear fusion (核聚变) 能够释放 energy (能量) 的原因：

⚝ Nuclear Fission (核裂变)： Heavy nucleus (重核) （如 uranium (铀) \(^{235}\text{U}\)） fission (裂变) 成 two or more (两个或多个) lighter nucleus (轻核)，fission products (裂变产物) 的 average binding energy per nucleon (平均核子结合能) 比 parent nucleus (母核) 更大，释放 energy (能量)。
⚝ Nuclear Fusion (核聚变)： Light nucleus (轻核) （如 hydrogen (氢) isotopes (同位素)） fusion (聚变) 成 heavier nucleus (重核) （如 helium (氦) \(^{4}\text{He}\)），fusion product (聚变产物) 的 average binding energy per nucleon (平均核子结合能) 比 reactant nucleus (反应核) 更大，释放 energy (能量)。

Nuclear Stability (核稳定性) 取决于 nucleus (原子核) 内 proton number (质子数) \(Z\) 和 neutron number (中子数) \(N\) 的比例。Light nucleus (轻核) tend to have \(N \approx Z\)，随着 \(Z\) 增加，electrostatic repulsion (静电斥力) 增强，需要更多的 neutrons (中子) 来提供 additional nuclear force (额外核力) 以维持 stability (稳定性)，因此 heavy nucleus (重核) 倾向于 \(N > Z\)。对于 very heavy nucleus (超重核)，即使增加 neutrons (中子) 也无法完全 compensate (补偿) electrostatic repulsion (静电斥力)，因此 all nucleus (所有原子核) with \(Z > 83\) (bismuth (铋) 以后) 都是 unstable (不稳定) 的，会发生 radioactive decay (放射性衰变)。

9.2.2 放射性与核衰变 (Radioactivity and Nuclear Decay)

概要

介绍 radioactivity (放射性) 的 types (类型) (alpha decay (α衰变), beta decay (β衰变), gamma decay (γ衰变))，分析 nuclear decay law (核衰变规律) 和 half-life (半衰期)。

详细内容

Radioactivity (放射性) 是 unstable nucleus (不稳定核) 自发地 transform (转变) 为 more stable nucleus (更稳定核) 并 release particles (粒子) 或 electromagnetic radiation (电磁辐射) 的现象。Radioactivity (放射性) 是 natural phenomenon (天然现象)，某些 isotopes (同位素) 天然具有 radioactivity (放射性)，称为 radioisotopes (放射性同位素) 或 radionuclides (放射性核素)。Radioactivity (放射性) 主要有三种 types (类型)：

▮▮▮▮ⓐ Alpha Decay (α衰变)： unstable nucleus (不稳定核) emission (发射) alpha particle (α粒子) (helium nucleus (氦核) \(^{4}\text{He}\)，由 2 个 protons (质子) 和 2 个 neutrons (中子) 组成) 的 decay mode (衰变模式)。Alpha decay (α衰变) 通常发生在 heavy nucleus (重核) 中，通过 emission (发射) alpha particle (α粒子)，nucleus (原子核) 的 proton number (质子数) \(Z\) 减少 2，neutron number (中子数) \(N\) 减少 2，mass number (质量数) \(A\) 减少 4。Alpha decay (α衰变) 的 decay equation (衰变方程) 可以表示为：

\[ ^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He} \]

例如，uranium-238 (铀-238) ( \(^{238}_{92}\text{U}\) ) 的 alpha decay (α衰变)：

\[ ^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\text{He} \]

Alpha particle (α粒子) 带有 positive charge (正电荷)，ionization ability (电离能力) 强，但 penetration ability (穿透能力) 弱，在空气中射程只有几厘米，容易被一张纸或皮肤阻挡。

▮▮▮▮ⓑ Beta Decay (β衰变)： nucleus (原子核) emission (发射) beta particle (β粒子) 的 decay mode (衰变模式)。Beta decay (β衰变) 有两种形式：

⚝ Beta-minus Decay (β⁻衰变)： nucleus (原子核) emission (发射) electron (电子) (\(e^-\)) 和 antineutrino (反中微子) (\(\bar{\nu}_e\))。Beta-minus decay (β⁻衰变) 发生在 nucleus (原子核) 中 neutron (中子) 转化为 proton (质子) 的过程，proton number (质子数) \(Z\) 增加 1，neutron number (中子数) \(N\) 减少 1，mass number (质量数) \(A\) 不变。Beta-minus decay (β⁻衰变) 的 decay equation (衰变方程) 可以表示为：

\[ ^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow ^{A}_{Z+1}\text{Y} + e^- + \bar{\nu}_e \]

例如，carbon-14 (碳-14) ( \(^{14}_{6}\text{C}\) ) 的 beta-minus decay (β⁻衰变)：

\[ ^{14}_{6}\text{C} \rightarrow ^{14}_{7}\text{N} + e^- + \bar{\nu}_e \]

⚝ Beta-plus Decay (β⁺衰变)： nucleus (原子核) emission (发射) positron (正电子) (\(e^+\)) 和 neutrino (中微子) (\(\nu_e\))。Beta-plus decay (β⁺衰变) 发生在 nucleus (原子核) 中 proton (质子) 转化为 neutron (中子) 的过程，proton number (质子数) \(Z\) 减少 1，neutron number (中子数) \(N\) 增加 1，mass number (质量数) \(A\) 不变。Beta-plus decay (β⁺衰变) 的 decay equation (衰变方程) 可以表示为：

\[ ^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow ^{A}_{Z-1}\text{Y} + e^+ + \nu_e \]

例如，sodium-22 (钠-22) ( \(^{22}_{11}\text{Na}\) ) 的 beta-plus decay (β⁺衰变)：

\[ ^{22}_{11}\text{Na} \rightarrow ^{22}_{10}\text{Ne} + e^+ + \nu_e \]

Beta particle (β粒子) （electron (电子) 或 positron (正电子)）带有 electric charge (电荷)，ionization ability (电离能力) 较 alpha particle (α粒子) 弱，penetration ability (穿透能力) 较 alpha particle (α粒子) 强，可以穿透几毫米的 aluminum plate (铝板)。

▮▮▮▮ⓒ Gamma Decay (γ衰变)： nucleus (原子核) 从 excited state (激发态) transition (跃迁) 到 ground state (基态) 时 emission (发射) gamma ray (γ射线) (high-energy photon (高能光子)) 的 decay mode (衰变模式)。Gamma decay (γ衰变) 不改变 nucleus (原子核) 的 proton number (质子数) \(Z\)、neutron number (中子数) \(N\) 和 mass number (质量数) \(A\)，只是 nucleus (原子核) 的 energy state (能量状态) 发生改变。Gamma decay (γ衰变) 通常发生在 alpha decay (α衰变) 或 beta decay (β衰变) 之后，daughter nucleus (子核) 处于 excited state (激发态)，通过 gamma decay (γ衰变) 释放 excess energy (过剩能量) 到 ground state (基态)。Gamma decay (γ衰变) 的 decay equation (衰变方程) 可以表示为：

\[ ^{A}_{Z}\text{X}^* \rightarrow ^{A}_{Z}\text{X} + \gamma \]

Gamma ray (γ射线) 不带 electric charge (电荷)，ionization ability (电离能力) 较 alpha particle (α粒子) 和 beta particle (β粒子) 弱，penetration ability (穿透能力) 最强，可以穿透几厘米厚的 lead plate (铅板)。

Radioactive decay (放射性衰变) 是 statistical process (统计过程)，individual nucleus (单个原子核) 的 decay time (衰变时间) 是 random (随机) 的，但 large number of nucleus (大量原子核) 的 decay behavior (衰变行为) 具有 statistical regularity (统计规律)。Nuclear Decay Law (核衰变规律) 描述了 radioactive sample (放射性样品) 中 nucleus number (原子核数目) 随 time (时间) 的变化关系。设 \(N(t)\) 是 time \(t\) 时刻 radioactive sample (放射性样品) 中 remaining undecayed nucleus number (剩余未衰变原子核数目)，decay rate (衰变率) \(\lambda\) 是 unit time (单位时间) 内 nucleus decay probability (原子核衰变概率)，则 nuclear decay law (核衰变规律) 可以表示为 first-order differential equation (一阶微分方程)：

\[ \frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t) \]

解这个 differential equation (微分方程)，得到 nucleus number (原子核数目) 随 time (时间) 的 exponential decay (指数衰减) 规律：

\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

其中，\(N_0 = N(0)\) 是 initial nucleus number (初始原子核数目)。

Half-life (半衰期) \(T_{1/2}\) 定义为 radioactive sample (放射性样品) 中 nucleus number (原子核数目) decay to initial number (初始数目) 一半所需要的时间。当 \(t = T_{1/2}\) 时，\(N(T_{1/2}) = \frac{1}{2}N_0\)，代入 nuclear decay law (核衰变规律) equation (方程) 得到：

\[ \frac{1}{2}N_0 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \]

解得 half-life (半衰期) \(T_{1/2}\) 与 decay rate (衰变率) \(\lambda\) 的关系：

\[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda} \]

Half-life (半衰期) 是 radioisotope (放射性同位素) 的 characteristic parameter (特征参数)，不同 radioisotopes (放射性同位素) 的 half-life (半衰期) 差异很大，从 fraction of second (秒的分数) 到 billions of years (数十亿年) 不等。Half-life (半衰期) 可以用来 quantify (量化) radioisotope (放射性同位素) 的 decay rate (衰变速度) 和 predict (预测) radioactive sample (放射性样品) 的 activity (放射性活度) 随 time (时间) 的变化。

9.2.3 核反应与核能 (Nuclear Reactions and Nuclear Energy)

概要

介绍 nuclear reactions (核反应) 的 types (类型)，分析 nuclear fission (核裂变) 和 nuclear fusion (核聚变) 的 mechanisms (机制) 和 energy release (能量释放)，以及 nuclear energy (核能) 的应用和 safety (安全) 问题。

详细内容

Nuclear Reaction (核反应) 是 nucleus (原子核) 与 another nucleus (另一个原子核) 或 particle (粒子) 相互作用，导致 nucleus (原子核) structure (结构) 发生改变，形成 new nucleus (新原子核) 和 particles (粒子) 的过程。Nuclear Reaction (核反应) 与 chemical reaction (化学反应) 的本质区别在于，chemical reaction (化学反应) 只是 atoms (原子) 的 rearrangement (重排) 和 electrons (电子) 的 transfer (转移)，而 nuclear reaction (核反应) 涉及到 nucleus (原子核) 的 transformation (转变) 和 nucleons (核子) 的 rearrangement (重排)，energy change (能量变化) 要比 chemical reaction (化学反应) 大得多。

Nuclear Reactions (核反应) 可以分为多种 types (类型)，根据 reaction mechanism (反应机制) 和 reaction products (反应产物) 的不同，常见的 nuclear reactions (核反应) types (类型) 包括：

▮▮▮▮ⓐ Scattering Reaction (散射反应)： incident particle (入射粒子) 与 target nucleus (靶核) 相互作用后，direction (方向) 和 energy (能量) 发生改变，但 nucleus (原子核) structure (结构) 没有发生改变，reaction products (反应产物) 与 reactants (反应物) 相同。Scattering reaction (散射反应) 可以分为 elastic scattering (弹性散射) 和 inelastic scattering (非弹性散射)。

▮▮▮▮ⓑ Capture Reaction (俘获反应)： target nucleus (靶核) capture (俘获) incident particle (入射粒子)，形成 compound nucleus (复合核)，compound nucleus (复合核) 处于 excited state (激发态)，通过 emission (发射) gamma ray (γ射线) 或 particles (粒子) 退激到 ground state (基态)。

▮▮▮▮ⓒ Transmutation Reaction (嬗变反应)： target nucleus (靶核) 与 incident particle (入射粒子) 相互作用后，nucleus (原子核) structure (结构) 发生改变，形成 new nucleus (新原子核) 和 particles (粒子)，reaction products (反应产物) 与 reactants (反应物) 不同。Nuclear fission (核裂变) 和 nuclear fusion (核聚变) 都是 transmutation reactions (嬗变反应)。

Nuclear Fission (核裂变) 是 heavy nucleus (重核) （如 uranium (铀) \(^{235}\text{U}\) 或 plutonium (钚) \(^{239}\text{Pu}\)） absorb (吸收) neutron (中子) 后，分裂成 two or more (两个或多个) lighter nucleus (轻核)，同时 release several neutrons (多个中子) 和 large amount of energy (大量能量) 的 nuclear reaction (核反应)。以 uranium-235 (铀-235) ( \(^{235}\text{U}\) ) 的 fission (裂变) 为例，typical fission reaction (典型裂变反应) equation (方程) 为：

\[ ^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}\text{n} \rightarrow ^{141}_{56}\text{Ba} + ^{92}_{36}\text{Kr} + 3 ^{1}_{0}\text{n} + Q \]

其中，\(Q\) 是 reaction released energy (反应释放能量) (fission energy (裂变能))。Uranium-235 (铀-235) fission (裂变) 释放的 average energy per fission (平均每次裂变释放能量) 约为 \(200 \, \text{MeV}\)。Fission process (裂变过程) 中 release (释放) 的 neutrons (中子) 可以 induce (诱发) adjacent uranium-235 (铀-235) nucleus (原子核) 再次 fission (裂变)，形成 Chain Reaction (链式反应)。Chain reaction (链式反应) 分为 uncontrolled chain reaction (不可控链式反应) 和 controlled chain reaction (可控链式反应)。

⚝ Uncontrolled Chain Reaction (不可控链式反应)： fission process (裂变过程) 中 release (释放) 的 neutrons (中子) 没有控制，number of fission events (裂变事件数目) 呈 exponential growth (指数增长)，in short time (短时间内) 释放 extremely large amount of energy (极其巨大的能量)，例如 atomic bomb (原子弹) 就是利用 uncontrolled chain reaction (不可控链式反应) 原理制成的。
⚝ Controlled Chain Reaction (可控链式反应)： 通过 control materials (控制材料) （如 control rods (控制棒)） absorb (吸收) 部分 neutrons (中子)，使得 chain reaction (链式反应) 的 rate (速率) 保持 steady (稳定)，实现 energy (能量) 的 slow and controlled release (缓慢可控释放)，nuclear power plant (核电站) 就是利用 controlled chain reaction (可控链式反应) 原理来 generate electricity (发电) 的。

Nuclear Fusion (核聚变) 是 two light nucleus (两个轻核) （如 hydrogen (氢) isotopes (同位素) deuterium (氘) \(^{2}\text{H}\) 和 tritium (氚) \(^{3}\text{H}\)） fuse (聚变) 成 heavier nucleus (重核) （如 helium (氦) \(^{4}\text{He}\)），同时 release large amount of energy (大量能量) 的 nuclear reaction (核反应)。Deuterium-tritium fusion (氘氚聚变) 是 easiest to achieve (最容易实现) 的 nuclear fusion reaction (核聚变反应)，reaction equation (反应方程) 为：

\[ ^{2}_{1}\text{H} + ^{3}_{1}\text{H} \rightarrow ^{4}_{2}\text{He} + ^{1}_{0}\text{n} + Q \]

Deuterium-tritium fusion (氘氚聚变) 释放的 energy per fusion (每次聚变释放能量) 约为 \(17.6 \, \text{MeV}\)，比 uranium-235 (铀-235) fission (裂变) 的 energy per fission (每次裂变释放能量) 要小，但 fusion (聚变) reactants (反应物) （deuterium (氘) 和 tritium (氚)）的 mass number (质量数) 很小，因此 fusion (聚变) 释放的 energy per unit mass (单位质量释放能量) 要比 fission (裂变) 高得多。Nuclear fusion (核聚变) 是 sun (太阳) 和 stars (恒星) energy source (能量来源)。

Nuclear Energy (核能) 的 applications (应用) 主要包括：

① Nuclear Power (核电)： 利用 controlled chain reaction (可控链式反应) 在 nuclear reactor (核反应堆) 中 slow and controlled release (缓慢可控释放) nuclear fission energy (核裂变能) 来 generate electricity (发电)。Nuclear power (核电) 具有 energy density (能量密度) 高、carbon emissions (碳排放) 低的优点，但存在 nuclear waste (核废料) 处理和 nuclear accident (核事故) risk (风险) 等问题。

② Nuclear Medicine (核医学)： 利用 radioisotopes (放射性同位素) 的 radioactivity (放射性) 进行 medical diagnosis (医学诊断) 和 cancer therapy (癌症治疗)，例如 PET (正电子发射断层扫描) 和 radiotherapy (放射疗法)。

③ Industrial Applications (工业应用)： 利用 radioisotopes (放射性同位素) 的 radioactivity (放射性) 进行 industrial radiography (工业射线照相)、material thickness measurement (材料厚度测量)、food irradiation (食品辐照) 等。

Nuclear Energy (核能) 的 safety (安全) 问题是 important concern (重要关注点)，主要包括：

▮▮▮▮ⓐ Nuclear Reactor Safety (核反应堆安全)： 防止 nuclear reactor (核反应堆) 发生 uncontrolled chain reaction (不可控链式反应) 导致的 meltdown (堆芯熔毁) 和 radioactive material release (放射性物质泄漏)。

▮▮▮▮ⓑ Nuclear Waste Disposal (核废料处理)： Nuclear fission (核裂变) 产生的 long-lived radioactive waste (长寿命放射性废料) 的 safe disposal (安全处置) 是 global challenge (全球性挑战)。

▮▮▮▮ⓒ Nuclear Proliferation (核扩散)： 防止 nuclear technology (核技术) 和 nuclear materials (核材料) 被用于制造 nuclear weapons (核武器)。

9.3 粒子物理初步 (Introduction to Particle Physics)

章节概要

初步介绍 elementary particles (基本粒子) 和 fundamental forces (基本相互作用)，包括 Standard Model (标准模型)、quarks (夸克)、leptons (轻子)、bosons (玻色子) 和 particle accelerators (粒子加速器) 的基本原理。

9.3.1 基本粒子与标准模型 (Elementary Particles and the Standard Model)

概要

介绍 elementary particles (基本粒子) 的 classification (分类) (fermions (费米子) and bosons (玻色子))，以及 Standard Model (标准模型) 的基本框架，包括 quarks (夸克) 和 leptons (轻子) 的 generations (代) 。

详细内容

Elementary Particles (基本粒子) 是 matter (物质) 的 most fundamental constituents (最基本组成单元)，目前已知 elementary particles (基本粒子) 不能再被分解为更小的 constituents (组成单元)。根据 particle statistics (粒子统计性)，elementary particles (基本粒子) 可以分为 two main categories (两大类)：

① Fermions (费米子)： obey Fermi-Dirac statistics (费米-狄拉克统计)，spin (自旋) 为 half-integer (半整数) (如 \(1/2, 3/2, \dots\))，服从 Pauli Exclusion Principle (泡利不相容原理) (identical fermions (全同费米子) 不能占据相同的 quantum state (量子态))。Matter particles (物质粒子) （构成 matter (物质) 的基本 building blocks (构建基块)）都是 fermions (费米子)，包括 quarks (夸克) 和 leptons (轻子)。

② Bosons (玻色子)： obey Bose-Einstein statistics (玻色-爱因斯坦统计)，spin (自旋) 为 integer (整数) (如 \(0, 1, 2, \dots\))，不服从 Pauli Exclusion Principle (泡利不相容原理) (identical bosons (全同玻色子) 可以占据相同的 quantum state (量子态))。Force carrier particles (力载体粒子) （传递 fundamental forces (基本相互作用力) 的粒子）都是 bosons (玻色子)，例如 photon (光子)、gluon (胶子)、W and Z bosons (W 和 Z 玻色子)、graviton (引力子) (hypothetical (假想的))。

Standard Model (标准模型) 是 currently (当前) 最 successful (成功) 的 elementary particle theory (基本粒子理论)，描述了 known elementary particles (已知基本粒子) 和 three of the four fundamental forces (四种基本相互作用力) (electromagnetic force (电磁相互作用), weak force (弱相互作用), strong force (强相互作用)，不包括 gravity (引力))。Standard Model (标准模型) 将 matter particles (物质粒子) 分为 two types (两种类型)：

▮▮▮▮ⓐ Quarks (夸克)： fermions (费米子)，带有 fractional electric charge (分数电荷)，strong interaction (强相互作用) 的 carriers (载体)。有 six flavors (六种 flavor (味)) (types (类型)) 的 quarks (夸克)，分为 three generations (三代)：

⚝ First Generation (第一代)： up quark (上夸克) (\(u\)，charge \(+\frac{2}{3}e\)) 和 down quark (下夸克) (\(d\)，charge \(-\frac{1}{3}e\))。Proton (质子) 由 two up quarks (两个上夸克) 和 one down quark (一个下夸克) 组成 (\(uud\))，neutron (中子) 由 one up quark (一个上夸克) 和 two down quarks (两个下夸克) 组成 (\(udd\))。
⚝ Second Generation (第二代)： charm quark (粲夸克) (\(c\)，charge \(+\frac{2}{3}e\)) 和 strange quark (奇异夸克) (\(s\)，charge \(-\frac{1}{3}e\))。
⚝ Third Generation (第三代)： top quark (顶夸克) (\(t\)，charge \(+\frac{2}{3}e\)) 和 bottom quark (底夸克) (\(b\)，charge \(-\frac{1}{3}e\))。

每种 quark (夸克) 还有三种 color charge (色荷) (red (红), green (绿), blue (蓝))，color charge (色荷) 是 strong interaction (强相互作用) 的 charge (荷)。Quarks (夸克) 永远不能 isolated (孤立) 存在，总是 bound (束缚) 在一起形成 color neutral composite particles (色中性复合粒子)，称为 Hadrons (强子)。Hadrons (强子) 分为 two types (两种类型)：

⚝ Baryons (重子)： 由 three quarks (三个夸克) 组成，如 proton (质子) (\(uud\)) 和 neutron (中子) (\(udd\))。
⚝ Mesons (介子)： 由 one quark (一个夸克) 和 one antiquark (一个反夸克) 组成，如 pion (π介子)。

▮▮▮▮ⓑ Leptons (轻子)： fermions (费米子)，不参与 strong interaction (强相互作用)，只参与 electromagnetic interaction (电磁相互作用) (带电 leptons (轻子)) 和 weak interaction (弱相互作用)。有 six flavors (六种 flavor (味)) 的 leptons (轻子)，分为 three generations (三代)：

⚝ First Generation (第一代)： electron (电子) (\(e^-\)，charge \(-e\)) 和 electron neutrino (电子中微子) (\(\nu_e\)，charge \(0\)，extremely small mass (极小质量))。
⚝ Second Generation (第二代)： muon (μ子) (\(\mu^-\)，charge \(-e\)，mass 比 electron (电子) 大约 200 倍) 和 muon neutrino (μ子中微子) (\(\nu_\mu\)，charge \(0\)，extremely small mass (极小质量))。
⚝ Third Generation (第三代)： tau (τ子) (\(\tau^-\)，charge \(-e\)，mass 比 electron (电子) 大约 3500 倍) 和 tau neutrino (τ子中微子) (\(\nu_\tau\)，charge \(0\)，extremely small mass (极小质量))。

Standard Model (标准模型) 还包括 force carrier particles (力载体粒子) (bosons (玻色子))，传递 fundamental forces (基本相互作用力)，将在 9.3.2 节介绍。Standard Model (标准模型) 已经 successfully (成功) 解释了 大量 experimental results (实验结果)，但仍然存在一些 unanswered questions (未解决的问题)，例如 gravity (引力) 的 unification (统一)、dark matter (暗物质) 和 dark energy (暗能量) 的 nature (本质)、neutrino mass (中微子质量) 的 origin (起源) 等，粒子物理学仍在不断发展和完善。

9.3.2 基本相互作用力 (Fundamental Forces)

概要

介绍 four fundamental forces (四种基本相互作用力) (strong force (强相互作用), electromagnetic force (电磁相互作用), weak force (弱相互作用), gravitational force (引力))，以及 force carriers (力载体) (bosons (玻色子)) 。

详细内容

Currently known (当前已知) universe (宇宙) 中存在 four fundamental forces (四种基本相互作用力)：

① Strong Force (强相互作用)： acts between quarks (夸克) and gluons (胶子) (strong interaction carriers (强相互作用力载体))，是 four fundamental forces (四种基本相互作用力) 中最 strong (强) 的 force (力)。Strong Force (强相互作用) 负责 bound (束缚) quarks (夸克) 形成 hadrons (强子) （如 protons (质子) 和 neutrons (中子)），以及 bound (束缚) protons (质子) 和 neutrons (中子) 形成 atomic nucleus (原子核) 的 nuclear force (核力) 也是 strong force (强相互作用) 的 residual effect (剩余效应)。Force carrier (力载体) 是 Gluon (胶子)，spin 1 boson (自旋为 1 的玻色子)，共有 8 种 gluons (胶子)。Strong interaction theory (强相互作用理论) 称为 Quantum Chromodynamics (QCD, 量子色动力学)。

② Electromagnetic Force (电磁相互作用)： acts between electrically charged particles (带电粒子)，responsible for electromagnetic phenomena (电磁现象)，如 atoms (原子) 和 molecules (分子) 的 formation (形成)、chemical reactions (化学反应)、light (光) 的 emission (发射) 和 absorption (吸收) 等。Force carrier (力载体) 是 Photon (光子) (\(\gamma\))，spin 1 boson (自旋为 1 的玻色子)，massless (无质量)。Electromagnetic interaction theory (电磁相互作用理论) 称为 Quantum Electrodynamics (QED, 量子电动力学)。

③ Weak Force (弱相互作用)： responsible for radioactive beta decay (放射性 β 衰变) 和 some elementary particle decays (一些基本粒子衰变)，如 neutron decay (中子衰变)。Weak Force (弱相互作用) 比 strong force (强相互作用) 和 electromagnetic force (电磁相互作用) 要 weak (弱) 得多，但比 gravity (引力) 要 strong (强)。Force carriers (力载体) 是 W and Z bosons (W 和 Z 玻色子) (\(W^+, W^-, Z^0\))，spin 1 bosons (自旋为 1 的玻色子)，massive (有质量)，masses (质量) 约为 proton mass (质子质量) 的 80-90 倍。Weak interaction theory (弱相互作用理论) 与 electromagnetic interaction theory (电磁相互作用理论) unified (统一) 为 Electroweak Theory (电弱理论)。

④ Gravitational Force (引力)： acts between all particles with mass (质量) or energy (能量)，responsible for large-scale structure (大尺度结构) of universe (宇宙) (galaxies (星系), galaxy clusters (星系团), universe evolution (宇宙演化)) 和 celestial body motion (天体运动)。Gravity (引力) 是 four fundamental forces (四种基本相互作用力) 中 weakest (最弱) 的 force (力)，但在 macroscopic scale (宏观尺度) 上起主导作用，because (因为) gravity (引力) 是 long-range force (长程力) 且 always attractive (总是吸引的)。Hypothetical force carrier (假想力载体) 是 Graviton (引力子)，spin 2 boson (自旋为 2 的玻色子)，massless (无质量)，但 graviton (引力子) 尚未 experimentally detected (实验探测到)。Gravity theory (引力理论) 是 General Relativity (广义相对论)，但 general relativity (广义相对论) 与 quantum mechanics (量子力学) 尚未 unified (统一)，quantum gravity theory (量子引力理论) 仍然是 theoretical physics (理论物理学) 的 open problem (开放问题)。

Four fundamental forces (四种基本相互作用力) 的 properties (性质) 对比如下表：

Standard Model (标准模型) 成功 unified (统一) 了 electromagnetic force (电磁相互作用) 和 weak force (弱相互作用) 为 electroweak force (电弱相互作用)，并描述了 strong force (强相互作用) 和 electroweak force (电弱相互作用) 的 quantum field theory (量子场论)，但 gravity (引力) 仍然 excluded (排除) 在 Standard Model (标准模型) 之外。Developing unified theory (发展统一理论) that incorporates (包含) all four fundamental forces (四种基本相互作用力) (including gravity (引力)) 是 theoretical physics (理论物理学) 的 ultimate goal (终极目标) 之一。

9.3.3 粒子加速器简介 (Introduction to Particle Accelerators)

概要

简要介绍 particle accelerators (粒子加速器) 的 types (类型) 和 basic principles (基本原理)，以及其在 particle physics research (粒子物理研究) 中的重要作用。

详细内容

Particle Accelerator (粒子加速器) 是利用 electric field (电场) 和 magnetic field (磁场) 加速 charged particles (带电粒子) （如 electrons (电子), protons (质子), ions (离子)）到 high energy (高能量) 的装置。Particle accelerators (粒子加速器) 是 particle physics research (粒子物理研究) 的 most important tools (最重要工具)，可以用于：

① 产生 high-energy particle beams (高能粒子束)： 用于撞击 target (靶) 产生 new particles (新粒子) 或研究 particle interactions (粒子相互作用)。

② 模拟 early universe conditions (模拟早期宇宙条件)： high-energy particle collisions (高能粒子碰撞) 可以 recreate (重现) early universe (早期宇宙) 的 high temperature (高温) 和 high density (高密度) conditions (条件)，研究 universe evolution (宇宙演化) 的 early stage (早期阶段)。

③ 应用于 other fields (其他领域的应用)： particle accelerators (粒子加速器) 在 medicine (医学) (cancer therapy (癌症治疗), medical isotope production (医用同位素生产))、materials science (材料科学) (ion implantation (离子注入), materials modification (材料改性))、industrial radiography (工业射线照相) 等领域也有广泛应用。

Particle Accelerators (粒子加速器) 主要分为 two basic types (两种基本类型)：

▮▮▮▮ⓐ Linear Accelerator (直线加速器)： particles (粒子) 沿直线 path (路径) 加速，利用 series of accelerating structures (一系列加速结构) （如 RF cavities (射频腔)）产生 oscillating electric field (振荡电场) 加速 particles (粒子)。Linear accelerators (直线加速器) 可以加速 particles (粒子) 到 very high energy (非常高能量)，但 size (尺寸) 较大，cost (成本) 较高。Example (例子)：SLAC National Accelerator Laboratory (美国斯坦福直线加速器中心) 的 Linear Accelerator (直线加速器)。

▮▮▮▮ⓑ Circular Accelerator (环形加速器)： particles (粒子) 沿 circular path (环形路径) 加速，利用 magnetic field (磁场) 弯曲 particle trajectory (粒子轨迹)，使其在 circular orbit (环形轨道) 中运动，并利用 accelerating structures (加速结构) （如 RF cavities (射频腔)）在 orbit (轨道) 中加速 particles (粒子)。Circular accelerators (环形加速器) 可以 repeated acceleration (重复加速) particles (粒子)，achieve higher energy (获得更高能量)，size (尺寸) 可以做得相对 compact (紧凑)。Circular accelerators (环形加速器) 又可以分为：

⚝ Cyclotron (回旋加速器)： 利用 constant magnetic field (恒定磁场) 和 constant frequency oscillating electric field (恒定频率振荡电场) 加速 particles (粒子)，但受 relativistic effect (相对论效应) 限制，无法加速 particles (粒子) 到 very high energy (非常高能量)。
⚝ Synchrotron (同步加速器)： magnetic field (磁场) 和 oscillating electric field frequency (振荡电场频率) 随 particle energy (粒子能量) 增加而同步 increase (增加)，compensate (补偿) relativistic effect (相对论效应)，可以加速 particles (粒子) 到 extremely high energy (极高能量)。Modern high-energy particle colliders (现代高能粒子对撞机) 都是 synchrotrons (同步加速器)，如 LHC (Large Hadron Collider, 大型强子对撞机) at CERN (欧洲核子研究中心)。

Particle Accelerator (粒子加速器) 的 basic principle (基本原理) 是利用 Electromagnetic Force (电磁力) 加速 charged particles (带电粒子)。Electric field (电场) 对 charged particles (带电粒子) 做功，增加 particle kinetic energy (粒子动能)，magnetic field (磁场) 只改变 charged particles (带电粒子) 的 motion direction (运动方向)，不改变 kinetic energy (动能)，magnetic field (磁场) 的作用是 confine (约束) charged particles (带电粒子) 在 accelerator (加速器) 内部运动。

In particle physics research (粒子物理研究) 中，particle accelerators (粒子加速器) 通常作为 Colliders (对撞机) 使用，将 two beams of particles (两束粒子) （可以相同或不同）accelerated to high energy (加速到高能量)，然后 collide (对撞) 在一起。High-energy particle collisions (高能粒子碰撞) 可以产生 new particles (新粒子)，研究 particle properties (粒子性质) 和 fundamental interactions (基本相互作用)。例如，LHC (大型强子对撞机) 就是 proton-proton collider (质子-质子对撞机)，用于寻找 Higgs boson (希格斯玻色子)、study top quark (研究顶夸克)、探寻 beyond Standard Model physics (超越标准模型物理)。Future particle colliders (未来粒子对撞机) 正在 planning and development (规划和发展) 中，如 ILC (International Linear Collider, 国际直线对撞机)、CLIC (Compact Linear Collider, 紧凑型直线对撞机)、CEPC (Circular Electron Positron Collider, 环形正负电子对撞机)、FCC (Future Circular Collider, 未来环形对撞机) 等，aiming to probe (旨在探测) higher energy scale (更高能量标度) 和 address (解决) Standard Model (标准模型) 的 unanswered questions (未解决问题)。

9.4 宇宙学简介 (Introduction to Cosmology)

章节概要

简要介绍 cosmology (宇宙学) 的基本内容，包括 Big Bang theory (大爆炸理论)、expanding universe (宇宙膨胀)、cosmic microwave background radiation (宇宙微波背景辐射)、dark matter (暗物质) 和 dark energy (暗能量) 等。

9.4.1 大爆炸理论与宇宙演化 (Big Bang Theory and Cosmic Evolution)

概要

介绍 Big Bang theory (大爆炸理论) 的基本思想，分析宇宙的 early stage (早期阶段) 和 evolution process (演化过程)。

详细内容

Big Bang Theory (大爆炸理论) 是 currently (当前) most widely accepted (最广泛接受) 的 cosmology model (宇宙学模型)，描述 universe (宇宙) 的 origin (起源) 和 evolution (演化)。Big Bang Theory (大爆炸理论) 的 basic idea (基本思想) 是：

① Universe Expansion (宇宙膨胀)： universe (宇宙) 从 very hot (极热)、very dense state (极高密度状态) expansion (膨胀) 而来。Universe (宇宙) 不是 static (静态) 的，而是在不断 expansion (膨胀) 中。

② Early Universe (早期宇宙)： in early stage (早期阶段)，universe (宇宙) extremely hot (极其热) and dense (稠密)，随着 expansion (膨胀) 和 cooling (冷却)，universe (宇宙) evolution (演化) 出 today's universe (今天的宇宙)。

Big Bang Theory (大爆炸理论) 的 timeline (时间线) 和 cosmic evolution (宇宙演化) process (过程) 大致如下：

▮▮▮▮ⓐ Planck Epoch (普朗克时期) ( \(t < 10^{-43} \, \text{s}\) )： Universe (宇宙) 的 earliest stage (最早阶段)，temperature (温度) and density (密度) extremely high (极高)，quantum gravity effect (量子引力效应) dominant (主导)，currently physics laws (当前物理定律) 无法描述 Planck epoch (普朗克时期) 的 universe (宇宙) 状态。

▮▮▮▮ⓑ Grand Unification Epoch (大统一时期) ( \(10^{-43} \, \text{s} < t < 10^{-36} \, \text{s}\) )： Gravity (引力) 分离出来，strong force (强相互作用), weak force (弱相互作用) and electromagnetic force (电磁相互作用) unified (统一) 为 Grand Unified Force (大统一力)。Universe temperature (宇宙温度) still very high (仍然很高)，发生 Inflation (暴胀)，universe (宇宙) volume (体积) exponential expansion (指数膨胀)。

▮▮▮▮ⓒ Electroweak Epoch (电弱时期) ( \(10^{-36} \, \text{s} < t < 10^{-12} \, \text{s}\) )： Strong force (强相互作用) 分离出来，electroweak force (电弱相互作用) and gravity (引力) remained unified (保持统一)。Elementary particles (基本粒子) （quarks (夸克), leptons (轻子), bosons (玻色子)）开始形成。

▮▮▮▮ⓓ Quark Epoch (夸克时期) ( \(10^{-12} \, \text{s} < t < 10^{-6} \, \text{s}\) )： Electroweak force (电弱相互作用) 分离为 electromagnetic force (电磁相互作用) and weak force (弱相互作用)。Universe filled with quark-gluon plasma (宇宙充满夸克-胶子等离子体)。

▮▮▮▮ⓔ Hadron Epoch (强子时期) ( \(10^{-6} \, \text{s} < t < 1 \, \text{s}\) )： Universe cooling (宇宙冷却)，quarks (夸克) combine (结合) 形成 hadrons (强子) （protons (质子) and neutrons (中子)）。

▮▮▮▮ⓕ Lepton Epoch (轻子时期) ( \(1 \, \text{s} < t < 10 \, \text{s}\) )： Most hadrons (大部分强子) annihilated (湮灭)，universe dominated by leptons (宇宙由轻子主导) （electrons (电子), positrons (正电子), neutrinos (中微子)）。

▮▮▮▮ⓖ Photon Epoch (光子时期) ( \(10 \, \text{s} < t < 370,000 \, \text{years}\) )： Most leptons (大部分轻子) annihilated (湮灭)，universe dominated by photons (宇宙由光子主导)。发生 Big Bang Nucleosynthesis (大爆炸核合成)，protons (质子) and neutrons (中子) fuse (聚变) 形成 light nucleus (轻核) （primarily hydrogen (氢) and helium (氦)）。Universe still opaque (宇宙仍然不透明)，photons (光子) constantly scattered (不断散射) by charged particles (带电粒子) (electrons (电子) and protons (质子))。

▮▮▮▮ⓗ Recombination Epoch (复合时期) ( \(t \approx 370,000 \, \text{years}\) )： Universe cooling enough (宇宙冷却到足够程度)，electrons (电子) and protons (质子) combine (复合) 形成 neutral atoms (中性原子) (primarily hydrogen (氢) and helium (氦))。Universe becomes transparent (宇宙变得透明)，photons (光子) can propagate freely (自由传播)，形成 Cosmic Microwave Background Radiation (宇宙微波背景辐射, CMB)。

▮▮▮▮ⓘ Dark Ages (黑暗时代) ( \(370,000 \, \text{years} < t < 150 \, \text{million years}\) )： Universe filled with neutral hydrogen (中性氢) and helium (氦)，no light source (没有光源)。

▮▮▮▮ⓙ Reionization Epoch (再电离时期) ( \(t \approx 150 \, \text{million years} - 1 \, \text{billion years}\) )： First stars (第一代恒星) and galaxies (星系) form (形成)，emission (发射) ultraviolet radiation (紫外辐射) reionize (再电离) intergalactic medium (星系际介质) 的 hydrogen (氢)。

▮▮▮▮ⓚ Galaxy and Structure Formation (星系和结构形成) ( \(t > 1 \, \text{billion years}\) )： Galaxies (星系), galaxy clusters (星系团), large-scale structure (大尺度结构) of universe (宇宙) gradually form (逐渐形成) under gravity (引力) influence (影响)。Universe continues to expand and accelerate (宇宙持续膨胀和加速)。

Today's universe (今天的宇宙) is about 13.8 billion years old (约 138 亿年)。Big Bang Theory (大爆炸理论) is supported by vast amount of observational evidence (大量观测证据)，including universe expansion (宇宙膨胀), CMB (宇宙微波背景辐射), light element abundance (轻元素丰度) 等。

9.4.2 宇宙膨胀与宇宙微波背景辐射 (Cosmic Expansion and Cosmic Microwave Background Radiation)

概要

介绍 expanding universe (宇宙膨胀) 的 observational evidence (观测证据) (Hubble's law (哈勃定律))，以及 cosmic microwave background radiation (宇宙微波背景辐射) 的 discovery (发现) 和 significance (意义)。

详细内容

Expanding Universe (宇宙膨胀) 是 Big Bang Theory (大爆炸理论) 的 cornerstone (基石)。Observational evidence (观测证据) for expanding universe (宇宙膨胀) 主要来自 Redshift (红移) of distant galaxies (遥远星系)。

In 1929, Edwin Hubble (埃德温·哈勃) discovered that galaxies (星系) are receding (退行) from us (and from each other (彼此之间))，and recession velocity (退行速度) \(v\) is proportional to distance \(d\)，relation known as Hubble's Law (哈勃定律):

\[ v = H_0 d \]

where \(H_0\) is Hubble Constant (哈勃常数)，currently estimated value (当前估计值) is around \(H_0 \approx 70 \, \text{km/s/Mpc}\) (kilometers per second per megaparsec, Mpc = 1 megaparsec \(\approx 3.26 \times 10^6\) light-years (光年))。Hubble's Law (哈勃定律) implies universe (宇宙) is expanding (膨胀) uniformly (均匀地)，all galaxies (星系) are moving away from each other (彼此远离)，就像 dough with raisins (葡萄干面团) in oven (烤箱) 中膨胀一样，raisins (葡萄干) 之间的 distance (距离) 随着 dough (面团) 膨胀而 increase (增加)。

Redshift (红移) \(z\) is measure of how much light from distant object (遥远天体) is stretched (拉伸) to longer wavelengths (更长波长)。Redshift (红移) 定义为：

\[ z = \frac{\lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}}{\lambda_{\text{emitted}}} \]

where \(\lambda_{\text{observed}}\) is observed wavelength (观测波长)，\(\lambda_{\text{emitted}}\) is emitted wavelength (发射波长)。For small redshift (小红移) (\(z \ll 1\)), recession velocity (退行速度) \(v \approx c z\)，where \(c\) is light speed (光速)。For large redshift (大红移)，need to use relativistic formula (相对论公式) to relate redshift (红移) and velocity (速度)。

Expanding universe (宇宙膨胀) implies that in past (过去)，universe (宇宙) was smaller (更小)、hotter (更热)、denser (更稠密)。Extrapolating expansion (外推膨胀) back in time (时间)，推断 universe (宇宙) originated from extremely hot (极热)、dense state (稠密状态) about 13.8 billion years ago (约 138 亿年前)，Big Bang (大爆炸)。

Cosmic Microwave Background Radiation (宇宙微波背景辐射, CMB) is another strong evidence (有力证据) for Big Bang Theory (大爆炸理论)。CMB is afterglow (余辉) of Big Bang (大爆炸)，is earliest light (最早的光) in universe (宇宙)，emission (发射) at recombination epoch (复合时期) (about 370,000 years after Big Bang (大爆炸之后约 37 万年)) when universe became transparent (宇宙变得透明)。

In 1965, Arno Penzias (阿诺·彭齐亚斯) and Robert Wilson (罗伯特·威尔逊) accidentally discovered CMB (宇宙微波背景辐射) as ubiquitous microwave noise (普遍存在的微波噪声) in their radio antenna (射电天线)。CMB is blackbody radiation (黑体辐射) with temperature (温度) about \(2.725 \, \text{K}\)，peak wavelength (峰值波长) in microwave range (微波波段)。CMB is extremely uniform (极其均匀) across sky (天球)，but with tiny temperature fluctuations (微小温度涨落) at level of \(10^{-5} \, \text{K}\)，these temperature fluctuations (温度涨落) correspond to density fluctuations (密度涨落) in early universe (早期宇宙)，which are seeds (种子) for structure formation (结构形成) (galaxies (星系), galaxy clusters (星系团) 等)。

CMB is strong evidence (有力证据) for Big Bang Theory (大爆炸理论) because:

① Blackbody Spectrum (黑体谱)： CMB spectrum (宇宙微波背景辐射谱) is almost perfect blackbody spectrum (完美黑体谱)，consistent with prediction (预言) of Big Bang Theory (大爆炸理论) for afterglow (余辉) of early hot, dense universe (早期高温稠密宇宙的余辉)。

② Uniformity and Fluctuations (均匀性和涨落)： CMB is extremely uniform (极其均匀)，consistent with universe homogeneity (宇宙均匀性) at large scale (大尺度)，tiny temperature fluctuations (微小温度涨落) are consistent with seeds (种子) for structure formation (结构形成)。

CMB observation (宇宙微波背景辐射观测) is one of most important tools (最重要工具) in modern cosmology (现代宇宙学)，provides wealth of information (大量信息) about early universe (早期宇宙) properties (性质) (age (年龄), composition (组成), geometry (几何形状) 等) and evolution (演化)。

9.4.3 暗物质与暗能量 (Dark Matter and Dark Energy)

概要

介绍 dark matter (暗物质) 和 dark energy (暗能量) 的 observational evidence (观测证据) 和 theoretical models (理论模型)，以及其在 cosmology (宇宙学) 中的重要性。

详细内容

Dark Matter (暗物质) and Dark Energy (暗能量) are two mysterious components (神秘组成部分) of universe (宇宙)，占 universe total energy density (宇宙总能量密度) 的约 95% (dark energy (暗能量) 约 68%，dark matter (暗物质) 约 27%)，ordinary matter (普通物质) (构成 stars (恒星), planets (行星), gas (气体) 等) 只占约 5%。Dark matter (暗物质) and dark energy (暗能量) are "dark" because they do not emit, absorb, or scatter light (不发射、吸收或散射光)，cannot be directly observed by telescopes (无法被望远镜直接观测到)，but their existence (存在) is inferred from gravitational effects (引力效应)。

Dark Matter (暗物质) 的 observational evidence (观测证据) 主要来自：

① Galaxy Rotation Curves (星系旋转曲线)： Galaxies (星系) rotation speed (旋转速度) 随 distance from galaxy center (星系中心距离) 的变化曲线称为 rotation curve (旋转曲线)。For stars (恒星) in outer regions of galaxies (星系外围区域)，classical physics (经典物理学) predicts rotation speed (旋转速度) should decrease with distance (距离) (Keplerian rotation (开普勒旋转))，but observations (观测) show rotation speed (旋转速度) remains roughly constant or even increases with distance (距离) in outer regions of galaxies (星系外围区域)。This implies there must be additional unseen mass (额外的不可见质量) in galaxies (星系) halo (晕) 区域，providing extra gravity (额外引力) to keep outer stars (外围恒星) rotating at observed speeds (观测速度)，this unseen mass is dark matter (暗物质)。

② Galaxy Clusters (星系团)： Galaxy clusters (星系团) are gravitationally bound systems (引力束缚系统) of galaxies (星系)。Observations (观测) of galaxy clusters (星系团) （如 velocity dispersion (速度弥散), X-ray emission (X 射线辐射), gravitational lensing (引力透镜)）indicate total mass of galaxy clusters (星系团总质量) is much larger than sum of masses of visible galaxies (可见星系质量总和)，most of mass (大部分质量) is in form of dark matter (暗物质)。

③ Cosmic Microwave Background (宇宙微波背景辐射, CMB)： CMB temperature fluctuations (宇宙微波背景辐射温度涨落) pattern (模式) is sensitive to amount of dark matter (暗物质数量) in universe (宇宙)。CMB observations (宇宙微波背景辐射观测) （如 Planck satellite (普朗克卫星) data (数据)）indicate universe contains about 27% dark matter (宇宙包含约 27% 暗物质)。

Nature of dark matter (暗物质本质) is unknown (未知)，leading candidates (主要候选者) include Weakly Interacting Massive Particles (WIMPs, 弱相互作用重粒子), Axions (轴子), Sterile Neutrinos (惰性中微子) 等 elementary particles (基本粒子) beyond Standard Model (标准模型) of particle physics (粒子物理标准模型)。Experiments (实验) are underway (正在进行) to directly detect dark matter particles (直接探测暗物质粒子)，如 underground detectors (地下探测器) 和 particle colliders (粒子对撞机)。

Dark Energy (暗能量) 的 observational evidence (观测证据) 主要来自 Accelerated Expansion of Universe (宇宙加速膨胀)。

In 1998, two independent research teams (两个独立研究团队) studying Type Ia supernovae (Ia 型超新星) as standard candles (标准烛光) discovered that universe expansion (宇宙膨胀) is not slowing down (减速)，but accelerating (加速)。Accelerated expansion (加速膨胀) implies there must be some mysterious component (神秘组成部分) with negative pressure (负压强) driving universe expansion (宇宙膨胀) to accelerate，this component is dark energy (暗能量)。

Cosmological Constant (宇宙学常数) (\(\Lambda\)) is simplest theoretical model (最简单的理论模型) for dark energy (暗能量)，Einstein (爱因斯坦) originally introduced cosmological constant (宇宙学常数) to achieve static universe solution (静态宇宙解) in general relativity (广义相对论)，后来 abandoned (放弃) it after discovery of universe expansion (宇宙膨胀)。Cosmological constant (宇宙学常数) corresponds to vacuum energy density (真空能量密度)，has constant energy density (能量密度恒定) and negative pressure (负压强) (\(p = -\rho c^2\))，can explain accelerated expansion (加速膨胀)。However (然而)，theoretical value (理论值) of vacuum energy density (真空能量密度) from quantum field theory (量子场论) is much larger (大得多) (by factor of \(10^{120}\)) than observed value (观测值) of dark energy density (暗能量密度)，this is Cosmological Constant Problem (宇宙学常数问题) or Vacuum Energy Problem (真空能量问题)，one of biggest mysteries (最大谜团之一) in modern physics (现代物理学)。

Alternative models (替代模型) for dark energy (暗能量) include Quintessence (精质) and Modified Gravity Theories (修正引力理论)，but none of these models (模型) is currently definitively confirmed (明确证实)。Nature of dark energy (暗能量本质) and cosmological constant problem (宇宙学常数问题) are major open questions (重要开放性问题) in modern cosmology (现代宇宙学) and fundamental physics (基础物理学)。

Dark matter (暗物质) and dark energy (暗能量) constitute most of universe (宇宙) content (组成)，but their nature (本质) is largely unknown (很大程度上未知)，understanding dark matter (暗物质) and dark energy (暗能量) is crucial for understanding universe origin (宇宙起源), evolution (演化) and fate (命运)。Cosmology research (宇宙学研究) in 21st century (21 世纪) is largely focused on probing dark matter (暗物质) and dark energy (暗能量) properties (性质) and unraveling their mysteries (解开它们的谜团)。

10. 工程物理实验 (Engineering Physics Experiments)

本章介绍工程物理实验的基本方法和常用实验，包括 mechanics experiments (力学实验)、thermodynamics experiments (热学实验)、electromagnetism experiments (电磁学实验)、optics experiments (光学实验) 和 modern physics experiments (近代物理实验)，旨在培养学生的 experimental skills (实验技能) 和 scientific thinking (科学思维)。

10.1 实验基本方法与误差分析 (Basic Experimental Methods and Error Analysis)

本节介绍 physics experiments (物理实验) 的 basic methods (基本方法)，如 measurement (测量)、data acquisition (数据采集)、data processing (数据处理) 和 error analysis (误差分析)，以及 experimental report writing (实验报告撰写) 的规范。

10.1.1 物理实验的基本方法 (Basic Methods of Physics Experiments)

介绍 direct measurement (直接测量) 和 indirect measurement (间接测量) 的 methods (方法)，以及 measurement instruments (测量仪器) 的使用和 calibration (校准)。

① 直接测量 (Direct Measurement)

直接测量是指直接使用 measurement instruments (测量仪器) 获得被测物理量的数值。例如，使用 ruler (直尺) 测量 length (长度)，使用 thermometer (温度计) 测量 temperature (温度)，使用 ammeter (电流表) 测量 electric current (电流) 等。

⚝ 特点：直接测量方法简便、快速，结果直观。
⚝ 适用范围：适用于可以直接用现有仪器测量的物理量。
⚝ 示例：
▮▮▮▮⚝ 使用 Vernier caliper (游标卡尺) 测量 metal cylinder (金属圆柱体) 的 diameter (直径)。
▮▮▮▮⚝ 使用 stopwatch (秒表) 测量 pendulum (单摆) 的 oscillation period (振动周期)。
▮▮▮▮⚝ 使用 voltmeter (电压表) 测量 circuit (电路) 中 resistor (电阻) 两端的 voltage (电压)。

② 间接测量 (Indirect Measurement)

间接测量是指无法直接测量某物理量，而是通过测量与其有确定函数关系的其它物理量，然后通过公式计算得到该物理量的值。例如，测量 density (密度) 通常需要先测量 mass (质量) 和 volume (体积)，再通过公式 \( \rho = \frac{m}{V} \) 计算得到。

⚝ 特点：间接测量方法灵活，可以测量无法直接测量的物理量。
⚝ 适用范围：适用于物理量之间存在确定函数关系的情况。
⚝ 示例：
▮▮▮▮⚝ 通过测量 voltage (电压) \(U\) 和 current (电流) \(I\)，使用 Ohm's law (欧姆定律) \( R = \frac{U}{I} \) 计算 resistor (电阻) \(R\)。
▮▮▮▮⚝ 通过测量 simple pendulum (单摆) 的 length (长度) \(L\) 和 oscillation period (振动周期) \(T\)，使用公式 \( g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} \) 计算 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\)。
▮▮▮▮⚝ 通过测量 spherical object (球体) 的 diameter (直径) \(d\)，使用公式 \( V = \frac{4}{3}\pi (\frac{d}{2})^3 \) 计算 volume (体积) \(V\)。

③ 测量仪器的使用 (Use of Measurement Instruments)

正确使用 measurement instruments (测量仪器) 是保证实验 accurate (准确) 和 reliable (可靠) 的关键。

⚝ 了解仪器的原理和结构：在使用任何仪器之前，必须 thoroughly understand (彻底理解) 其 measurement principle (测量原理)、structure (结构) 和 performance characteristics (性能特点)。
⚝ 选择合适的仪器：根据实验目的和测量要求，选择 suitable (合适的) measurement range (量程) 和 accuracy (精度) 的仪器。例如，测量微小电流应选择 microammeter (微安表)，测量高温应选择 thermocouple (热电偶温度计)。
⚝ 正确操作仪器：严格按照 instrument manual (仪器操作手册) 的 instructions (指示) 进行操作，避免 improper operation (不当操作) 导致的 measurement error (测量误差) 或 instrument damage (仪器损坏)。
⚝ 读数与记录：读数时视线应垂直于刻度面，避免 parallax error (视差)；记录数据时应注明 units (单位) 和 uncertainty (不确定度)。

④ 仪器的校准 (Calibration of Instruments)

Calibration (校准) 是指在规定的条件下，将 measurement standard (计量标准) 所复现的量值，与 measurement instrument (测量仪器) 所指示的量值进行比较，以确定 measurement instrument (测量仪器) 的示值误差，确保 measurement instrument (测量仪器) 的 accuracy (准确性) 和 reliability (可靠性)。

⚝ 校准的必要性：Measurement instruments (测量仪器) 经过一段时间的使用后，其 performance (性能) 可能会发生变化，导致 measurement error (测量误差) 增大。定期 calibration (校准) 可以及时发现和 correction (修正) 这些误差，保证 measurement results (测量结果) 的 credibility (可信度)。
⚝ 常用校准方法：
▮▮▮▮⚝ 标准器校准：使用 accuracy (精度) 更高的 measurement standard (计量标准) (standard instrument (标准仪器) 或 standard sample (标准样品)) 对被校准仪器进行比较测量，确定其示值误差。
▮▮▮▮⚝ 比对校准：将多台同型号的 measurement instruments (测量仪器) 同时测量同一物理量，通过 statistical analysis (统计分析) 确定仪器的 systematic error (系统误差) 和 random error (随机误差)。
▮▮▮▮⚝ 自校准：某些 advanced measurement instruments (先进测量仪器) 具有 self-calibration function (自校准功能)，可以通过 internal standard (内部标准) 或 reference source (参考源) 进行 self-calibration (自校准)。
⚝ 校准周期：根据 measurement instrument (测量仪器) 的 type (类型)、accuracy level (精度等级) 和使用 frequency (频率)，确定合理的 calibration cycle (校准周期)。对于 accuracy requirements (精度要求) 较高的 measurement instruments (测量仪器)，应缩短 calibration cycle (校准周期)，定期进行 calibration (校准)。

10.1.2 误差分析与数据处理 (Error Analysis and Data Processing)

介绍 systematic error (系统误差) 和 random error (随机误差) 的 types (类型)，分析 error propagation (误差传递) 的 methods (方法)，以及 data processing (数据处理) 和 graphical method (图解法) 的应用。

① 误差的类型 (Types of Errors)

在 physics experiments (物理实验) 中，measurement error (测量误差) 是不可避免的。根据误差的性质和来源，可以分为 systematic error (系统误差) 和 random error (随机误差)。

⚝ 系统误差 (Systematic Error)：
▮▮▮▮⚝ 定义：在 repeated measurements (重复测量) 中，measurement value (测量值) 总是 biased (偏离) true value (真值) 的误差，具有 definite direction (确定方向) 和 magnitude (大小)。
▮▮▮▮⚝ 来源：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 仪器误差 (Instrument Error)：measurement instrument (测量仪器) 本身的不完善或 calibration (校准) 不准引起的误差，如刻度不均匀、零点漂移等。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 方法误差 (Method Error)：实验方法或理论模型 approximations (近似) 引起的误差，如 simple pendulum experiment (单摆实验) 中忽略 air resistance (空气阻力)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ personnel error (人员误差)：实验人员操作不当或主观因素引起的误差，如读数偏大或偏小。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 环境误差 (Environmental Error)：环境条件 (temperature (温度)、humidity (湿度)、magnetic field (磁场) 等) 变化引起的误差。
▮▮▮▮⚝ 特点：systematic error (系统误差) 在 repeated measurements (重复测量) 中具有 repeatability (重复性) 和 accumulability (累积性)，难以通过多次测量消除，但可以通过 careful calibration (仔细校准)、改进 experimental method (实验方法) 或 correction factor (修正因子) 的引入来减小或消除。

⚝ 随机误差 (Random Error)：
▮▮▮▮⚝ 定义：在 repeated measurements (重复测量) 中，measurement value (测量值) randomly fluctuates (随机涨落) 在 true value (真值) 周围的误差，具有 randomness (随机性) 和 uncontrollability (不可控性)。
▮▮▮▮⚝ 来源：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 测量过程中的偶然因素波动：如 instrument sensitivity (仪器灵敏度) 的微小变化、环境 temperature fluctuations (温度涨落)、实验人员 reading fluctuations (读数波动) 等。
▮▮▮▮⚝ 特点：random error (随机误差) 在 single measurement (单次测量) 中表现出 randomness (随机性) 和 unpredictability (不可预测性)，但 repeated measurements (重复测量) 的 statistical analysis (统计分析) 表明，random error (随机误差) 服从 statistical distribution (统计分布) 规律 (如 normal distribution (正态分布))，可以通过多次测量取 average value (平均值) 的方法来减小 random error (随机误差) 的影响。

② 误差传递 (Error Propagation)

在 indirect measurement (间接测量) 中，待测物理量 \(y\) 通常由若干个 directly measured variables (直接测量变量) \(x_1, x_2, ..., x_n\) 通过函数关系 \(y = f(x_1, x_2, ..., x_n)\) 计算得到。直接测量变量的 measurement error (测量误差) 会通过函数关系传递到间接测量结果中，称为 error propagation (误差传递)。

⚝ 误差传递公式：根据 partial differential calculus (偏微分学)，间接测量量 \(y\) 的 uncertainty (不确定度) \(\Delta y\) 可以通过以下公式估算：
\[ (\Delta y)^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2\right)^2 + ... + \left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n\right)^2 \]
其中 \(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\) 分别是直接测量变量 \(x_1, x_2, ..., x_n\) 的 uncertainty (不确定度)，\(\frac{\partial f}{\partial x_i}\) 是函数 \(f\) 对变量 \(x_i\) 的 partial derivative (偏导数)。

⚝ 常用误差传递情况：
▮▮▮▮⚝ 加减法：若 \(y = x_1 \pm x_2\)，则 \(\Delta y = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + (\Delta x_2)^2}\)。
▮▮▮▮⚝ 乘除法：若 \(y = x_1 \times x_2\) 或 \(y = \frac{x_1}{x_2}\)，则 relative error (相对误差) 传递公式为 \(\frac{\Delta y}{|y|} = \sqrt{\left(\frac{\Delta x_1}{x_1}\right)^2 + \left(\frac{\Delta x_2}{x_2}\right)^2}\)。
▮▮▮▮⚝ 乘方：若 \(y = x^n\)，则 relative error (相对误差) 传递公式为 \(\frac{\Delta y}{|y|} = |n| \frac{\Delta x}{|x|}\)。

③ 数据处理 (Data Processing)

Data processing (数据处理) 是指对 experimental data (实验数据) 进行整理、计算、分析，从中提取 meaningful information (有意义的信息)，并对 experimental results (实验结果) 进行 evaluation (评估) 的过程。

⚝ 有效数字 (Significant Figures)：
▮▮▮▮⚝ 定义：指 measurement data (测量数据) 中能够反映 measurement accuracy (测量精度) 的 digits (位数)，包括 all definite digits (所有确定数字) 和 the first uncertain digit (第一位不确定数字)。
▮▮▮▮⚝ 规则：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 非零数字都是 significant figures (有效数字)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 数字 "0" 在非零数字之间时是 significant figures (有效数字)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 数字 "0" 在非零数字之前时不是 significant figures (有效数字)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 数字 "0" 在非零数字之后，且在小数点之后时是 significant figures (有效数字)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 当整数末尾的 "0" 是否为 significant figures (有效数字) 不明确时，可以使用 scientific notation (科学计数法) 表示。
▮▮▮▮⚝ 运算规则：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 加减法：结果的 decimal places (小数点后位数) 与各数中 decimal places (小数点后位数) 最少的数相同。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 乘除法：结果的 significant figures (有效数字位数) 与各数中 significant figures (有效数字位数) 最少的数相同。

⚝ 平均值与标准差 (Average Value and Standard Deviation)：
▮▮▮▮⚝ 平均值 (Average Value)：对于 repeated measurements (重复测量) 得到的一组数据 \(x_1, x_2, ..., x_n\)，average value (平均值) \(\bar{x}\) 是 best estimate (最佳估计值) of true value (真值)：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
▮▮▮▮⚝ 标准差 (Standard Deviation)：standard deviation (标准差) \(s\) 是 measure (量度) of random error (随机误差) 的 dispersion (离散程度)：
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]
其中 \(n-1\) 是 degrees of freedom (自由度)。
▮▮▮▮⚝ A类不确定度 (Type A Uncertainty)：对于 repeated measurements (重复测量)，A类不确定度 \(u_A\) 可以用 standard error of the mean (平均值的标准误差) 估计：
\[ u_A = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

⚝ Graphical Method (图解法)：
▮▮▮▮⚝ 线性拟合 (Linear Fitting)：在许多 physics experiments (物理实验) 中，物理量之间存在 linear relationship (线性关系) \(y = ax + b\)。通过绘制 scatter plot (散点图)，并进行 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法))，可以确定 slope (斜率) \(a\) 和 intercept (截距) \(b\)，并评估 linear relationship (线性关系) 的 goodness of fit (拟合优度)。
▮▮▮▮⚝ 图解求值：通过绘制 curve (曲线) 或 straight line (直线)，在 graph (图) 上直接读取 physical quantity (物理量) 的数值，如通过伏安特性曲线求 resistor (电阻) 值，通过共振曲线求 resonance frequency (共振频率) 等。

10.1.3 实验报告撰写规范 (Standard for Experimental Report Writing)

介绍 experimental report writing (实验报告撰写) 的 standard format (标准格式) 和 content requirements (内容要求)，包括 title (标题)、abstract (摘要)、introduction (引言)、methods (方法)、results (结果)、discussion (讨论)、conclusion (结论) 和 references (参考文献) 。

① 标题 (Title)

⚝ 要求：简洁、明确、specific (具体)，准确概括实验内容和目的。
⚝ 内容：实验名称、实验课程名称、实验者姓名、实验日期等。
⚝ 示例：“用单摆法测量重力加速度实验报告 (Experiment Report on Measurement of Gravitational Acceleration Using Simple Pendulum Method) - 《工程物理实验》课程 (Engineering Physics Experiment Course) - 张三 (Zhang San) - 2024年3月8日 (March 8, 2024)”

② 摘要 (Abstract)

⚝ 要求：简洁、精炼，概括实验的 main contents (主要内容)、methods (方法)、results (结果) 和 conclusions (结论)。
⚝ 内容：
▮▮▮▮⚝ 实验目的 (purpose of experiment)
▮▮▮▮⚝ 实验原理和方法 (experimental principle and method)
▮▮▮▮⚝ 主要实验结果 (main experimental results) (quantitative data (定量数据))
▮▮▮▮⚝ 实验结论 (experimental conclusion) (brief and concise (简明扼要))
⚝ 字数：通常 200-300 字为宜。

③ 引言 (Introduction)

⚝ 要求：阐述实验的 background (背景)、purpose (目的) 和 significance (意义)，简要介绍实验的 theoretical basis (理论基础) 和 experimental principle (实验原理)。
⚝ 内容：
▮▮▮▮⚝ 实验的 scientific background (科学背景) 和 engineering application value (工程应用价值)。
▮▮▮▮⚝ 实验的 purpose (目的) 和 objectives (目标)。
▮▮▮▮⚝ 实验所涉及的 basic theory (基本理论) 和 physical principle (物理原理)。
▮▮▮▮⚝ 简要介绍 experimental method (实验方法) 和 approach (途径)。

④ 实验方法 (Methods)

⚝ 要求：详细、准确、清楚地描述实验的 experimental setup (实验装置)、experimental procedure (实验步骤) 和 data acquisition method (数据采集方法)，使读者能够 reproduce (复现) 实验。
⚝ 内容：
▮▮▮▮⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：详细描述 experimental apparatus (实验仪器) 的 name (名称)、model (型号)、specifications (规格) 和 arrangement (布置) (可附 schematic diagram (示意图))。
▮▮▮▮⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：step-by-step (按步骤) 详细描述实验操作过程，包括 measurement parameters (测量参数) 的 setting (设置)、instrument operation (仪器操作)、data recording (数据记录) 等。
▮▮▮▮⚝ 数据采集方法 (Data Acquisition Method)：说明 data acquisition (数据采集) 的 method (方法) (manual recording (手动记录) 或 automatic acquisition (自动采集))、measurement frequency (测量频率)、repeated measurement times (重复测量次数) 等。

⑤ 实验结果 (Results)

⚝ 要求：客观、真实、准确地呈现 experimental data (实验数据) 和 data processing results (数据处理结果)，使用 tables (表格)、graphs (图) 等形式清晰展示 experimental results (实验结果)。
⚝ 内容：
▮▮▮▮⚝ 原始数据记录 (Raw Data Records)：以 table (表格) 形式清晰、规范地记录 experimental raw data (实验原始数据)，注明 units (单位) 和 uncertainty (不确定度)。
▮▮▮▮⚝ 数据处理结果 (Data Processing Results)：展示 data processing (数据处理) 的 calculation process (计算过程) 和 results (结果)，如 average value (平均值)、standard deviation (标准差)、linear fitting parameters (线性拟合参数) 等。
▮▮▮▮⚝ 实验结果图示 (Graphical Presentation of Results)：使用 graphs (图) (scatter plot (散点图)、curve (曲线)、histogram (直方图) 等) visual presentation (直观展示) experimental results (实验结果) 和 data analysis results (数据分析结果)。
▮▮▮▮⚝ 结果分析 (Result Analysis)：对 experimental results (实验结果) 进行 qualitative analysis (定性分析) 和 quantitative analysis (定量分析)，评估 experimental results (实验结果) 的 reliability (可靠性) 和 accuracy (准确性)。

⑥ 讨论 (Discussion)

⚝ 要求：对 experimental results (实验结果) 进行深入 analysis (分析) 和 discussion (讨论)，解释 experimental results (实验结果) 的 physical meaning (物理意义)，分析 error sources (误差来源) 和 uncertainties (不确定度)，并提出 experimental improvement suggestions (实验改进建议)。
⚝ 内容：
▮▮▮▮⚝ 结果解释 (Interpretation of Results)：根据 theoretical knowledge (理论知识) 和 physical principle (物理原理)，解释 experimental results (实验结果) 的 physical meaning (物理意义)。
▮▮▮▮⚝ 误差分析 (Error Analysis)：分析 systematic error (系统误差) 和 random error (随机误差) 的 sources (来源) 和 influence (影响)，评估 experimental uncertainty (实验不确定度)。
▮▮▮▮⚝ 结果评估与比较 (Evaluation and Comparison of Results)：将 experimental results (实验结果) 与 theoretical values (理论值) 或 reference values (参考值) 进行 comparison (比较)，评估 experimental results (实验结果) 的 accuracy (准确性) 和 consistency (一致性)。
▮▮▮▮⚝ 实验改进建议 (Suggestions for Improvement)：针对 experiment shortcomings (实验不足) 和 error sources (误差来源)，提出 experimental method (实验方法) 和 experimental setup (实验装置) 的 improvement suggestions (改进建议)。

⑦ 结论 (Conclusion)

⚝ 要求：简洁、明确地总结实验的主要 findings (发现) 和 conclusions (结论)，highlight (突出) 实验的 key results (关键结果) 和 significance (意义)。
⚝ 内容：
▮▮▮▮⚝ 概括实验是否 successfully achieved (成功实现) experimental purpose (实验目的)。
▮▮▮▮⚝ summarize (总结) 实验 obtained (获得) 的 key results (关键结果) 和 important findings (重要发现)。
▮▮▮▮⚝ 简要评价实验的 success (成功) 和 limitations (局限性)。

⑧ 参考文献 (References)

⚝ 要求：列出实验报告中引用的 references (参考文献)，包括 books (书籍)、journal articles (期刊文章)、manuals (手册) 等，遵循 standard citation format (标准引用格式)。
⚝ 内容：按照 citation order (引用顺序) 或 alphabetical order (字母顺序) 列出 references (参考文献) 的 author (作者)、title (题目)、publication name (出版物名称)、year (年份)、page number (页码) 等信息。
⚝ 常用 citation format (引用格式)：
▮▮▮▮⚝ 期刊文章：\[序号] 作者. 文章题目. 期刊名称, 年份, 卷号(期号): 起始页码-结束页码. ▮▮▮▮⚝ **书籍**：\[序号] 作者. 书名. 版本 (第几版). 出版地: 出版社, 年份: 页码. ### 10.2 经典力学实验 (Classical Mechanics Experiments) 介绍典型的 classical mechanics experiments (经典力学实验)，如 measurement of gravitational acceleration (重力加速度测量)、verification of conservation of mechanical energy (机械能守恒定律验证)、moment of inertia measurement (转动惯量测量) 等，通过实验操作加深对 mechanics principles (力学原理) 的理解。 #### 10.2.1 重力加速度的测量 (Measurement of Gravitational Acceleration) 介绍用 simple pendulum (单摆) 或 free fall method (自由落体法) 测量 gravitational acceleration (重力加速度) 的实验方法和 procedure (步骤)。 ① **单摆法 (Simple Pendulum Method)** ⚝ **实验原理 (Experimental Principle)**： Simple pendulum (单摆) 在摆角较小 (\(\theta < 5^\circ\)) 的情况下，其 oscillation period (振动周期) \(T\) 近似满足公式： \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]
其中 \(L\) 为 pendulum length (摆长)，\(g\) 为 gravitational acceleration (重力加速度)。通过测量 pendulum length (摆长) \(L\) 和 oscillation period (振动周期) \(T\)，可以计算出 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\):
\[ g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} \]

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Pendulum bob (摆球) (metal ball (金属球) 或 heavy sphere (重球))
▮▮▮▮⚝ Thin and inextensible string (细且不可伸长的线) (thread (细线) 或 wire (金属丝))
▮▮▮▮⚝ Pendulum support (摆线支架) (clamp (夹具) 或 stand (支架))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量 pendulum length (摆长))
▮▮▮▮⚝ Stopwatch (秒表) (测量 oscillation period (振动周期))
▮▮▮▮⚝ Protractor (量角器) (控制摆角)

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 simple pendulum (单摆) 装置，确保 pendulum bob (摆球) 悬挂稳定，摆动平面不受阻碍。
▮▮▮▮ⓑ 测量 pendulum length (摆长) \(L\)，即 pendulum support point (摆线悬挂点) 到 pendulum bob center (摆球球心) 的 distance (距离)。使用 ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) 多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮ⓒ 将 pendulum bob (摆球) 拉开 equilibrium position (平衡位置) 约 \(5^\circ\) 的小角度，释放 pendulum bob (摆球)，使其在 vertical plane (竖直平面) 内摆动。
▮▮▮▮ⓓ 使用 stopwatch (秒表) 测量 pendulum (单摆) 完成 \(N\) 次 full oscillations (全振动) 所需的时间 \(t\)。为了减小 random error (随机误差)，可以多次测量，每次测量次数 \(N\) 宜取较大值 (如 \(N=10\) 或 \(N=20\))。
▮▮▮▮ⓔ 计算 oscillation period (振动周期) \(T = \frac{t}{N}\)。
▮▮▮▮ⓕ 重复步骤 ⓑ - ⓔ，改变 pendulum length (摆长) \(L\)，测量 multiple sets (多组) 的 \(L\) 和 \(T\) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(L\) 和 \(T\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮ⓑ 以 \(L\) 为纵轴，\(T^2\) 为横轴，绘制 \(L-T^2\) graph (图像)。根据公式 \(L = \frac{g}{4\pi^2} T^2\)，\(L-T^2\) graph (图像) 应为 through origin (过原点) 的 straight line (直线)，slope (斜率) \(k = \frac{g}{4\pi^2}\)。
▮▮▮▮ⓒ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(L-T^2\) straight line (直线) 的 slope (斜率) \(k\)。
▮▮▮▮ⓓ 根据 \(g = 4\pi^2 k\) 计算 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\)。
▮▮▮▮ⓔ 进行 error analysis (误差分析)，估算 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 pendulum length measurement error (摆长测量误差)、oscillation period measurement error (振动周期测量误差)、air resistance (空气阻力) 的影响等。

② 自由落体法 (Free Fall Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Object (物体) 在 gravitational field (重力场) 中 free fall (自由落体) 运动，initial velocity (初速度) 为零时，其 falling distance (下落距离) \(h\) 与 falling time (下落时间) \(t\) 满足公式：
\[ h = \frac{1}{2} gt^2 \]
通过测量 falling distance (下落距离) \(h\) 和 falling time (下落时间) \(t\)，可以计算出 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\):
\[ g = \frac{2h}{t^2} \]

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Free fall apparatus (自由落体仪) (electromagnet release mechanism (电磁铁释放机构) 和 photosensitive sensor (光敏传感器) 组成)
▮▮▮▮⚝ Steel ball (钢球) (free fall object (自由落体物体))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 measuring tape (卷尺) (测量 falling distance (下落距离))
▮▮▮▮⚝ Timer (计时器) (高精度 timer (计时器)，与 photosensitive sensor (光敏传感器) 相连)

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 free fall apparatus (自由落体仪) 装置，确保 vertical alignment (竖直对齐)。
▮▮▮▮ⓑ 调整 electromagnet (电磁铁) 位置，使 steel ball (钢球) 能够被 electromagnet (电磁铁) 吸住并 release (释放)。
▮▮▮▮ⓒ 调整 photosensitive sensor (光敏传感器) 位置，确定 falling distance (下落距离) \(h\)。使用 ruler (直尺) 或 measuring tape (卷尺) 精确测量 falling distance (下落距离) \(h\)。
▮▮▮▮ⓓ 释放 steel ball (钢球)，timer (计时器) automatic start timing (自动开始计时)，当 steel ball (钢球) 通过 photosensitive sensor (光敏传感器) 时，timer (计时器) automatic stop timing (自动停止计时)，记录 falling time (下落时间) \(t\)。
▮▮▮▮ⓔ 重复步骤 ⓓ，进行 multiple measurements (多次测量)，取 average value (平均值) 以减小 random error (随机误差)。
▮▮▮▮ⓕ 改变 falling distance (下落距离) \(h\)，重复步骤 ⓒ - ⓔ，测量 multiple sets (多组) 的 \(h\) 和 \(t\) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(h\) 和 \(t\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮ⓑ 以 \(h\) 为纵轴，\(t^2\) 为横轴，绘制 \(h-t^2\) graph (图像)。根据公式 \(h = \frac{g}{2} t^2\)，\(h-t^2\) graph (图像) 应为 through origin (过原点) 的 straight line (直线)，slope (斜率) \(k = \frac{g}{2}\)。
▮▮▮▮ⓒ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(h-t^2\) straight line (直线) 的 slope (斜率) \(k\)。
▮▮▮▮ⓓ 根据 \(g = 2k\) 计算 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\)。
▮▮▮▮ⓔ 进行 error analysis (误差分析)，估算 gravitational acceleration (重力加速度) \(g\) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 falling distance measurement error (下落距离测量误差)、falling time measurement error (下落时间测量误差)、air resistance (空气阻力) 的影响等。对于高精度 measurement (测量)，需要考虑 air resistance (空气阻力) 的 correction (修正)。

10.2.2 机械能守恒定律的验证 (Verification of Conservation of Mechanical Energy)

介绍用 inclined plane (斜面) 或 air track (气垫导轨) 验证 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律) 的实验方法和 procedure (步骤)。

① 斜面法 (Inclined Plane Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Object (物体) 在 inclined plane (斜面) 上运动，若忽略 friction (摩擦力) 和 air resistance (空气阻力)，则 object (物体) 的 mechanical energy (机械能) (kinetic energy (动能) 和 potential energy (势能) 之和) 在运动过程中保持 constant (恒定)，即 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律)。
选择 inclined plane bottom surface (斜面底面) 为 zero potential energy surface (零势能面)，object (物体) 在 inclined plane (斜面) 顶端时，potential energy (势能) \(E_p = mgh\)，kinetic energy (动能) \(E_k = 0\)，mechanical energy (机械能) \(E = E_p + E_k = mgh\)。当 object (物体) 滑到 inclined plane bottom surface (斜面底面) 时，potential energy (势能) \(E_p = 0\)，kinetic energy (动能) \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)，mechanical energy (机械能) \(E = E_p + E_k = \frac{1}{2}mv^2\)。
若 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律) 成立，则应有 \(mgh = \frac{1}{2}mv^2\)，即 \(gh = \frac{1}{2}v^2\)。通过测量 inclined plane height (斜面高度) \(h\) 和 object (物体) 滑到 inclined plane bottom surface (斜面底面) 时的 velocity (速度) \(v\)，可以验证 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Inclined plane (斜面) (adjustable inclination angle (倾角可调))
▮▮▮▮⚝ Block (滑块) 或 cart (小车) (object (物体))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 measuring tape (卷尺) (测量 inclined plane height (斜面高度))
▮▮▮▮⚝ Photosensitive gate (光电门) 或 velocity sensor (速度传感器) (测量 object (物体) 滑到 inclined plane bottom surface (斜面底面) 时的 velocity (速度))
▮▮▮▮⚝ Level (水平仪) (调整 inclined plane 水平)

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 inclined plane (斜面) 装置，adjust inclined plane inclination angle (调整斜面倾角) 适中，使用 level (水平仪) 调整 inclined plane bottom surface (斜面底面) 水平。
▮▮▮▮ⓑ 测量 inclined plane height (斜面高度) \(h\)，即 inclined plane top surface (斜面顶面) 到 inclined plane bottom surface (斜面底面) 的 vertical distance (竖直距离)。使用 ruler (直尺) 或 measuring tape (卷尺) 多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮ⓒ 将 block (滑块) 或 cart (小车) 从 inclined plane top surface (斜面顶面) 静止释放，使其沿 inclined plane (斜面) 滑下。
▮▮▮▮ⓓ 使用 photosensitive gate (光电门) 或 velocity sensor (速度传感器) 测量 object (物体) 滑到 inclined plane bottom surface (斜面底面) 时的 velocity (速度) \(v\)。进行 multiple measurements (多次测量)，取 average value (平均值) 以减小 random error (随机误差)。
▮▮▮▮ⓔ 重复步骤 ⓒ - ⓓ，改变 inclined plane height (斜面高度) \(h\) 或 inclination angle (倾角)，测量 multiple sets (多组) 的 \(h\) 和 \(v\) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(h\) 和 \(v\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮ⓑ 计算每组数据的 potential energy reduction (势能减少量) \(mgh\) 和 kinetic energy increase (动能增加量) \(\frac{1}{2}mv^2\)。在同一组实验中，mass \(m\) 为 constant (常数)，可以只比较 \(gh\) 和 \(\frac{1}{2}v^2\) 的大小。
▮▮▮▮ⓒ 比较每组数据的 \(gh\) 和 \(\frac{1}{2}v^2\) 的数值是否在 experimental uncertainty (实验不确定度) 范围内相等。若在 experimental uncertainty (实验不确定度) 范围内相等，则验证了 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律)。
▮▮▮▮ⓓ 进行 error analysis (误差分析)，分析 deviation (偏差) 的可能原因。主要 error sources (误差来源) 包括 friction between object and inclined plane (物体与斜面之间的摩擦力)、air resistance (空气阻力)、inclined plane height measurement error (斜面高度测量误差)、velocity measurement error (速度测量误差) 等。

② 气垫导轨法 (Air Track Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Air track (气垫导轨) 可以显著减小 friction (摩擦力) 的影响，更 accurate (准确) 地验证 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律)。
将 air track (气垫导轨) 一端抬高，形成 inclined air track (倾斜气垫导轨)。气垫滑块在 inclined air track (倾斜气垫导轨) 上运动，若忽略 air resistance (空气阻力)，则气垫滑块的 mechanical energy (机械能) 在运动过程中保持 constant (恒定)。
实验原理与 inclined plane method (斜面法) 类似，通过测量 inclined air track height (倾斜气垫导轨高度) \(h\) 和气垫滑块滑到 inclined air track bottom surface (倾斜气垫导轨底面) 时的 velocity (速度) \(v\)，验证 \(gh = \frac{1}{2}v^2\) 是否成立。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Air track (气垫导轨) (水平气轨和 air source (气源) 组成)
▮▮▮▮⚝ Air track support (气垫导轨支架) (抬高气轨一端，形成 inclined air track (倾斜气垫导轨))
▮▮▮▮⚝ Air track glider (气垫滑块) (object (物体))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 measuring tape (卷尺) (测量 inclined air track height (倾斜气垫导轨高度))
▮▮▮▮⚝ Photosensitive gate (光电门) 或 velocity sensor (速度传感器) (测量气垫滑块滑到 inclined air track bottom surface (倾斜气垫导轨底面) 时的 velocity (速度))
▮▮▮▮⚝ Level (水平仪) (调整 air track (气垫导轨) 水平)

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 air track (气垫导轨) 装置，接通 air source (气源)，adjust air pressure (调整气压) 适中，使气垫滑块在 air track (气垫导轨) 上能够 smoothly float (平稳漂浮)。
▮▮▮▮ⓑ 抬高 air track (气垫导轨) 一端，形成 inclined air track (倾斜气垫导轨)，使用 level (水平仪) 调整 air track bottom surface (气垫导轨底面) 水平。
▮▮▮▮ⓒ 测量 inclined air track height (倾斜气垫导轨高度) \(h\)，即 air track top surface (气垫导轨顶面) 到 air track bottom surface (气垫导轨底面) 的 vertical distance (竖直距离)。使用 ruler (直尺) 或 measuring tape (卷尺) 多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮ⓓ 将气垫滑块从 inclined air track top surface (倾斜气垫导轨顶面) 静止释放，使其沿 inclined air track (倾斜气垫导轨) 滑下。
▮▮▮▮ⓔ 使用 photosensitive gate (光电门) 或 velocity sensor (速度传感器) 测量气垫滑块滑到 inclined air track bottom surface (倾斜气垫导轨底面) 时的 velocity (速度) \(v\)。进行 multiple measurements (多次测量)，取 average value (平均值) 以减小 random error (随机误差)。
▮▮▮▮ⓕ 重复步骤 ⓔ，改变 inclined air track height (倾斜气垫导轨高度) \(h\) 或 inclination angle (倾角)，测量 multiple sets (多组) 的 \(h\) 和 \(v\) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
数据处理与结果分析方法与 inclined plane method (斜面法) 类似。比较每组数据的 \(gh\) 和 \(\frac{1}{2}v^2\) 的数值是否在 experimental uncertainty (实验不确定度) 范围内相等，验证 conservation of mechanical energy (机械能守恒定律)。由于 air track (气垫导轨) 显著减小了 friction (摩擦力) 的影响，实验结果应更 accurate (准确)。

10.2.3 转动惯量的测量 (Moment of Inertia Measurement)

介绍用 torsion pendulum (扭摆) 或 rotational motion apparatus (转动运动仪) 测量 moment of inertia (转动惯量) 的实验方法和 procedure (步骤)。

① 扭摆法 (Torsion Pendulum Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Torsion pendulum (扭摆) 是利用 torsion wire (金属细丝) 的 torsional restoring force (扭转恢复力) 实现 rotational oscillation (转动振荡) 的装置。torsional restoring torque (扭转恢复力矩) \(M\) 与 torsion angle (扭转角) \(\theta\) 成正比：\(M = -k\theta\)，其中 \(k\) 为 torsion constant (扭转常数)。
Torsion pendulum (扭摆) 的 rotational oscillation period (转动振荡周期) \(T\) 满足公式：
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}} \]
其中 \(I\) 为 torsion pendulum (扭摆) 的 moment of inertia (转动惯量)，\(k\) 为 torsion wire (金属细丝) 的 torsion constant (扭转常数)。

测量 moment of inertia (转动惯量) 的方法有两种：

▮▮▮▮⚝ 单次测量法：
先用 standard object (标准物体) (已知 moment of inertia (转动惯量) \(I_0\)) 组成 torsion pendulum (扭摆)，测量其 oscillation period (振动周期) \(T_0\)，则 torsion constant (扭转常数) \(k = \frac{4\pi^2 I_0}{T_0^2}\)。
再将被测 object (物体) 替换 standard object (标准物体) 组成 torsion pendulum (扭摆)，测量其 oscillation period (振动周期) \(T\)，则被测 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I = \frac{kT^2}{4\pi^2} = I_0 \left(\frac{T}{T_0}\right)^2\)。

▮▮▮▮⚝ 差值法 (Difference Method)：
先测量 torsion pendulum (扭摆) 空载时的 oscillation period (振动周期) \(T_1\)，此时 torsion pendulum (扭摆) 的 moment of inertia (转动惯量) 为 \(I_1\)。
再在 torsion pendulum (扭摆) 上加载被测 object (物体)，测量其 oscillation period (振动周期) \(T_2\)，此时 torsion pendulum (扭摆) 的 moment of inertia (转动惯量) 为 \(I_2 = I_1 + I_{object}\)，其中 \(I_{object}\) 为被测 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量)。
根据 \(T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{k}}\) 可得：
\[ I_1 = \frac{kT_1^2}{4\pi^2}, \quad I_2 = \frac{kT_2^2}{4\pi^2} \]
则被测 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I_{object} = I_2 - I_1 = \frac{k}{4\pi^2} (T_2^2 - T_1^2)\)。
为了消除 torsion constant (扭转常数) \(k\) 的影响，可以采用 ratio method (比值法)：
\[ \frac{I_{object}}{I_0} = \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_0^2 - T_1^2} \]
其中 \(I_0\) 为 standard object (标准物体) 的 moment of inertia (转动惯量)，\(T_0\) 为 torsion pendulum (扭摆) 加载 standard object (标准物体) 时的 oscillation period (振动周期)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Torsion pendulum apparatus (扭摆仪) (torsion wire (金属细丝)、rotational platform (转动平台)、scale (刻度盘) 组成)
▮▮▮▮⚝ Standard object (标准物体) (如 cylinder (圆柱体)、sphere (球体) 等，moment of inertia (转动惯量) 已知)
▮▮▮▮⚝ 被测 object (物体) (形状规则或不规则物体)
▮▮▮▮⚝ Stopwatch (秒表) (测量 oscillation period (振动周期))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量 object (物体) 的 geometric parameters (几何参数))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 torsion pendulum (扭摆) 装置，确保 torsion wire (金属细丝) 竖直悬挂，rotational platform (转动平台) 水平，转动灵活。
▮▮▮▮ⓑ 单次测量法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 将 standard object (标准物体) 固定在 rotational platform (转动平台) 上，组成 torsion pendulum (扭摆)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 使 torsion pendulum (扭摆) 发生 small angle rotational oscillation (小角度转动振荡)，使用 stopwatch (秒表) 测量完成 \(N\) 次 full oscillations (全振动) 所需的时间 \(t_0\)，计算 oscillation period (振动周期) \(T_0 = \frac{t_0}{N}\)。多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 将被测 object (物体) 替换 standard object (标准物体) 固定在 rotational platform (转动平台) 上，组成 torsion pendulum (扭摆)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 重复步骤 ❷，测量 oscillation period (振动周期) \(T\)。
▮▮▮▮ⓖ 差值法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 测量 torsion pendulum (扭摆) 空载时的 oscillation period (振动周期) \(T_1\)。方法同步骤 ⓑ-❷。
▮▮▮▮▮▮▮▮❾ 将被测 object (物体) 固定在 rotational platform (转动平台) 上，组成 torsion pendulum (扭摆)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 测量 torsion pendulum (扭摆) 加载被测 object (物体) 时的 oscillation period (振动周期) \(T_2\)。方法同步骤 ⓑ-❷。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ Ratio Method (比值法) (若使用 ratio method (比值法))：将 standard object (标准物体) 固定在 rotational platform (转动平台) 上，组成 torsion pendulum (扭摆)，测量 oscillation period (振动周期) \(T_0\)。方法同步骤 ⓑ-❷。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 单次测量法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 根据 standard object (标准物体) 的 geometric shape (几何形状) 和 dimensions (尺寸)，计算其 moment of inertia (转动惯量) \(I_0\)。例如，对于 radius (半径) 为 \(R\)、mass (质量) 为 \(m\) 的 uniform disk (均匀圆盘)，其绕 center axis (中心轴) 的 moment of inertia (转动惯量) 为 \(I_0 = \frac{1}{2}mR^2\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 根据公式 \(I = I_0 \left(\frac{T}{T_0}\right)^2\) 计算被测 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I\)。
▮▮▮▮ⓓ 差值法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 根据公式 \(I_{object} = \frac{k}{4\pi^2} (T_2^2 - T_1^2)\) 计算被测 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I_{object}\)。 torsion constant (扭转常数) \(k\) 可以通过标准物体校准得到，或使用 ratio method (比值法) 消除 \(k\) 的影响。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ Ratio Method (比值法) (若使用 ratio method (比值法))：根据公式 \(\frac{I_{object}}{I_0} = \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_0^2 - T_1^2}\) 计算被测 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I_{object} = I_0 \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_0^2 - T_1^2}\)。
▮▮▮▮ⓖ 进行 error analysis (误差分析)，估算 moment of inertia (转动惯量) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 oscillation period measurement error (振动周期测量误差)、standard object moment of inertia uncertainty (标准物体转动惯量不确定度) 等。

② 转动运动仪法 (Rotational Motion Apparatus Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Rotational motion apparatus (转动运动仪) 通过施加 known torque (已知力矩) 使 object (物体) 绕轴转动，测量 angular acceleration (角加速度)，根据 rotational dynamics equation (转动动力学方程) \(M = I\alpha\) 计算 moment of inertia (转动惯量) \(I\)。
其中 \(M\) 为施加的 torque (力矩)，\(\alpha\) 为 angular acceleration (角加速度)。

施加 torque (力矩) 的方法通常有两种：

▮▮▮▮⚝ 重物牵引法：
通过细线悬挂重物，细线绕过 pulley (滑轮) 连接到 rotational platform (转动平台) 上。重物的 gravity (重力) 提供 torque (力矩) 使 rotational platform (转动平台) 转动。
Torque (力矩) \(M = rT = r(mg - ma)\)，其中 \(r\) 为 pulley radius (滑轮半径)，\(T\) 为细线 tension (张力)，\(m\) 为重物 mass (质量)，\(g\) 为 gravitational acceleration (重力加速度)，\(a\) 为重物 acceleration (加速度)。若忽略 pulley mass (滑轮质量) 和 friction (摩擦力)，近似认为 \(T = mg\)，则 \(M \approx rmg\)。
Angular acceleration (角加速度) \(\alpha = \frac{a}{r}\)。
根据 \(M = I\alpha\)，得到 moment of inertia (转动惯量) \(I = \frac{M}{\alpha} = \frac{rmg}{a/r} = \frac{mr^2g}{a}\)。
通过测量重物 mass (质量) \(m\)、pulley radius (滑轮半径) \(r\) 和重物 acceleration (加速度) \(a\)，可以计算 moment of inertia (转动惯量) \(I\)。

▮▮▮▮⚝ 恒力矩电机法：
使用 constant torque motor (恒力矩电机) 对 rotational platform (转动平台) 施加 known and constant torque (已知恒定力矩) \(M\)。
根据 \(M = I\alpha\)，得到 moment of inertia (转动惯量) \(I = \frac{M}{\alpha}\)。
通过测量 angular acceleration (角加速度) \(\alpha\)，可以计算 moment of inertia (转动惯量) \(I\)。angular acceleration (角加速度) \(\alpha\) 可以通过测量 rotational platform (转动平台) 的 angular velocity (角速度) \(\omega\) 随时间 \(t\) 的变化率得到。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Rotational motion apparatus (转动运动仪) (rotational platform (转动平台)、rotational sensor (转动传感器)、pulley (滑轮) 或 constant torque motor (恒力矩电机) 组成)
▮▮▮▮⚝ Object (物体) (固定在 rotational platform (转动平台) 上，被测 moment of inertia (转动惯量))
▮▮▮▮⚝ 重物 (重物牵引法) (已知 mass (质量))
▮▮▮▮⚝ 细线 (重物牵引法)
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量 pulley radius (滑轮半径))
▮▮▮▮⚝ Timer (计时器) 或 angular velocity sensor (角速度传感器) (测量 angular velocity (角速度) 或 angular acceleration (角加速度))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 rotational motion apparatus (转动运动仪) 装置，将 object (物体) 固定在 rotational platform (转动平台) 上。
▮▮▮▮ⓑ 重物牵引法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 测量 pulley radius (滑轮半径) \(r\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 测量重物 mass (质量) \(m\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 释放重物，rotational platform (转动平台) 开始转动。使用 timer (计时器) 或 angular velocity sensor (角速度传感器) 测量 rotational platform (转动平台) 的 angular velocity (角速度) \(\omega\) 随时间 \(t\) 的变化，计算 angular acceleration (角加速度) \(\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\)，或直接测量重物 acceleration (加速度) \(a\)，计算 angular acceleration (角加速度) \(\alpha = \frac{a}{r}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮ⓖ 恒力矩电机法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 设置 constant torque motor (恒力矩电机) 的 torque (力矩) \(M\) 值。
▮▮▮▮▮▮▮▮❾ 启动 constant torque motor (恒力矩电机)，rotational platform (转动平台) 开始转动。使用 angular velocity sensor (角速度传感器) 测量 rotational platform (转动平台) 的 angular velocity (角速度) \(\omega\) 随时间 \(t\) 的变化，计算 angular acceleration (角加速度) \(\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 多次测量，取 average value (平均值)。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 重物牵引法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 根据公式 \(I = \frac{mr^2g}{a}\) 或 \(I = \frac{rmg}{\alpha}\) 计算 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I\)。
▮▮▮▮ⓒ 恒力矩电机法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 根据公式 \(I = \frac{M}{\alpha}\) 计算 object (物体) 的 moment of inertia (转动惯量) \(I\)。
▮▮▮▮ⓔ 进行 error analysis (误差分析)，估算 moment of inertia (转动惯量) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 pulley radius measurement error (滑轮半径测量误差)、重物 mass uncertainty (重物质量不确定度)、angular acceleration measurement error (角加速度测量误差)、friction (摩擦力) 的影响 (重物牵引法) 等。

10.3 热学与光学实验 (Thermal and Optical Experiments)

介绍典型的 thermal experiments (热学实验) 和 optical experiments (光学实验)，如 measurement of thermal conductivity (热导率测量)、verification of laws of reflection and refraction (反射定律和折射定律验证)、measurement of wavelength of light (光波波长测量) 等，通过实验操作掌握 thermodynamics and optics principles (热学和光学原理)。

10.3.1 热导率的测量 (Measurement of Thermal Conductivity)

介绍用 steady-state method (稳态法) 或 transient method (瞬态法) 测量 thermal conductivity (热导率) 的实验方法和 procedure (步骤)。

① 稳态法 (Steady-State Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Steady-state method (稳态法) 基于 Fourier's law of heat conduction (傅里叶热传导定律)。当 heat transfer (热传递) 达到 steady state (稳态) 时，through cross-sectional area (通过横截面积) \(A\) 的 heat flux (热通量) \(Q\) 与 temperature gradient (温度梯度) \(\frac{dT}{dx}\) 成正比：
\[ \frac{dQ}{dt} = -kA \frac{dT}{dx} \]
其中 \(k\) 为 thermal conductivity (热导率)。

对于 uniform material (均匀材料) 的平板，厚度为 \(L\)，两端 temperature difference (温差) 为 \(\Delta T = T_1 - T_2\)，cross-sectional area (横截面积) 为 \(A\)，steady-state heat flux (稳态热通量) 为 \(Q\)，则 thermal conductivity (热导率) \(k\) 可以表示为：
\[ k = \frac{QL}{A\Delta T} \]
通过测量 steady-state heat flux (稳态热通量) \(Q\)、平板 thickness (厚度) \(L\)、cross-sectional area (横截面积) \(A\) 和 temperature difference (温差) \(\Delta T\)，可以计算 thermal conductivity (热导率) \(k\)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Thermal conductivity apparatus (热导率仪) (heating source (加热源)、cooling source (冷却源)、样品夹具、temperature sensors (温度传感器) 组成)
▮▮▮▮⚝ Plate sample (平板样品) (被测 thermal conductivity (热导率) 材料)
▮▮▮▮⚝ Temperature sensors (温度传感器) (thermocouples (热电偶) 或 thermistors (热敏电阻))
▮▮▮▮⚝ Power source (电源) (加热源供电)
▮▮▮▮⚝ Voltmeter (电压表) 和 ammeter (电流表) (测量 heating power (加热功率))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量样品 geometric dimensions (几何尺寸))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 thermal conductivity apparatus (热导率仪) 装置，将 plate sample (平板样品) 夹在 heating source (加热源) 和 cooling source (冷却源) 之间，确保良好 thermal contact (热接触)。
▮▮▮▮ⓑ 在 plate sample (平板样品) 两侧安装 temperature sensors (温度传感器)，测量 sample (样品) 两侧的 temperature (温度) \(T_1\) 和 \(T_2\)。
▮▮▮▮ⓒ Connect heating source (加热源) to power source (电源)，adjust heating power (调整加热功率)，使系统 heat transfer (热传递) 达到 steady state (稳态)。steady state (稳态) 的判断标准是 sample (样品) 两侧的 temperature (温度) \(T_1\) 和 \(T_2\) 保持 constant (恒定) 不变。
▮▮▮▮ⓓ 测量 steady-state temperature (稳态温度) \(T_1\) 和 \(T_2\)，记录 heating power (加热功率) \(P = UI\)，其中 \(U\) 为 heating voltage (加热电压)，\(I\) 为 heating current (加热电流)。steady-state heat flux (稳态热通量) \(Q = P\)。
▮▮▮▮ⓔ 测量 plate sample (平板样品) 的 thickness (厚度) \(L\) 和 cross-sectional area (横截面积) \(A\)。
▮▮▮▮ⓕ 重复步骤 ⓒ - ⓔ，改变 heating power (加热功率)，测量 multiple sets (多组) 的 \(Q\)、\(T_1\) 和 \(T_2\) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(Q\)、\(T_1\) 和 \(T_2\) 数据记录在表格中。计算 temperature difference (温差) \(\Delta T = T_1 - T_2\)。
▮▮▮▮ⓑ 根据公式 \(k = \frac{QL}{A\Delta T}\) 计算 thermal conductivity (热导率) \(k\)。
▮▮▮▮ⓒ 对 multiple sets (多组) 的 thermal conductivity (热导率) \(k\) 值取 average value (平均值)，作为最终测量结果。
▮▮▮▮ⓓ 进行 error analysis (误差分析)，估算 thermal conductivity (热导率) \(k\) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 steady-state heat flux measurement error (稳态热通量测量误差)、temperature measurement error (温度测量误差)、sample geometric dimensions measurement error (样品几何尺寸测量误差)、lateral heat loss (侧向热损失) 的影响等。为减小 lateral heat loss (侧向热损失)，可以采用 guard heater (保护加热器) 或 thermal insulation material (隔热材料)。

② 瞬态法 (Transient Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Transient method (瞬态法) 基于 transient heat conduction equation (瞬态热传导方程)。当 heat transfer (热传递) 处于 transient state (瞬态) 时，temperature field (温度场) 随时间变化。通过分析 temperature response (温度响应) 随时间的变化规律，可以计算 thermal conductivity (热导率)。

常用的 transient method (瞬态法) 包括：

▮▮▮▮⚝ 热线法 (Hot Wire Method)：
将 fine metal wire (细金属丝) 插入或贴在被测 material (材料) 中作为 heating source (加热源) 和 temperature sensor (温度传感器)。给 metal wire (金属丝) 通入 constant current (恒定电流) 进行 heating (加热)，测量 metal wire (金属丝) 的 temperature (温度) 随时间的变化 \(T(t)\)。在 short time (短时间内)，metal wire (金属丝) 周围 material (材料) 的 temperature rise (温升) \(\Delta T(t)\) 近似满足：
\[ \Delta T(t) = \frac{Q}{4\pi k} \ln(t) + C \]
其中 \(Q\) 为 per unit length heating power (单位长度加热功率)，\(k\) 为 thermal conductivity (热导率)，\(C\) 为 constant (常数)。通过分析 \(\Delta T(t) - \ln(t)\) graph (图像) 的 slope (斜率)，可以计算 thermal conductivity (热导率) \(k\)。

▮▮▮▮⚝ 热板法 (Hot Plate Method)：
将 plate heating source (平板加热源) 贴在被测 material (材料) 表面进行 heating (加热)，测量 material (材料) 表面 temperature (温度) 随时间的变化 \(T(t)\)。根据 specific experimental conditions (具体实验条件) 和 boundary conditions (边界条件)，求解 transient heat conduction equation (瞬态热传导方程)，得到 thermal conductivity (热导率) \(k\)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Transient thermal conductivity apparatus (瞬态热导率仪) (heating source (加热源) (hot wire (热线) 或 hot plate (热板))、temperature sensor (温度传感器)、data acquisition system (数据采集系统) 组成)
▮▮▮▮⚝ Sample (样品) (被测 thermal conductivity (热导率) 材料)
▮▮▮▮⚝ Constant current source (恒流源) (热线法加热源供电)
▮▮▮▮⚝ Data acquisition system (数据采集系统) (记录 temperature (温度) 随时间的变化)

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 transient thermal conductivity apparatus (瞬态热导率仪) 装置，将 heating source (加热源) 与 sample (样品) 良好 contact (接触)，temperature sensor (温度传感器) 贴近 heating source (加热源) 或 sample (样品) 表面。
▮▮▮▮ⓑ 热线法：将 hot wire (热线) 插入或贴在 sample (样品) 中。Connect hot wire (热线) to constant current source (恒流源)，set constant current value (设置恒流值)。
▮▮▮▮ⓒ Start data acquisition system (启动数据采集系统)，开始记录 temperature (温度) 随时间的变化 \(T(t)\)。
▮▮▮▮ⓓ 热线法：通电 heating (加热) 一段时间后，stop heating (停止加热) 和 data acquisition (数据采集)。
▮▮▮▮ⓔ 热线法：将测得的 \(T(t)\) 数据导出，进行 data processing (数据处理)。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 热线法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 将测得的 \(T(t)\) 数据减去 initial temperature (初始温度) \(T_0\)，得到 temperature rise (温升) \(\Delta T(t) = T(t) - T_0\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 以 \(\Delta T(t)\) 为纵轴，\(\ln(t)\) 为横轴，绘制 \(\Delta T(t) - \ln(t)\) graph (图像)。根据理论公式 \(\Delta T(t) = \frac{Q}{4\pi k} \ln(t) + C\)，\(\Delta T(t) - \ln(t)\) graph (图像) 应为 straight line (直线)，slope (斜率) \(m = \frac{Q}{4\pi k}\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(\Delta T(t) - \ln(t)\) straight line (直线) 的 slope (斜率) \(m\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 根据 \(k = \frac{Q}{4\pi m}\) 计算 thermal conductivity (热导率) \(k\)。其中 \(Q\) 为 per unit length heating power (单位长度加热功率)，可以通过 heating voltage (加热电压) \(U\)、heating current (加热电流) \(I\) 和 hot wire length (热线长度) \(l\) 计算得到 \(Q = \frac{UI}{l}\)。
▮▮▮▮ⓕ 其他瞬态法：根据 specific experimental conditions (具体实验条件) 和 data analysis method (数据分析方法)，计算 thermal conductivity (热导率) \(k\)。
▮▮▮▮ⓖ 进行 error analysis (误差分析)，估算 thermal conductivity (热导率) \(k\) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 temperature measurement error (温度测量误差)、heating power measurement error (加热功率测量误差)、theoretical model approximations (理论模型近似) 的影响等。

10.3.2 反射定律与折射定律的验证 (Verification of Laws of Reflection and Refraction)

介绍用 optical bench (光学平台) 或 goniometer (测角仪) 验证 laws of reflection and refraction (反射定律和折射定律) 的实验方法和 procedure (步骤)。

① 光学平台法 (Optical Bench Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
▮▮▮▮⚝ 反射定律 (Law of Reflection)：incident ray (入射光线)、reflected ray (反射光线) 和 normal (法线) 在同一 plane (平面) 内，reflected ray (反射光线) 和 incident ray (入射光线) 分居 normal (法线) 两侧，angle of reflection (反射角) \(\theta_r\) 等于 angle of incidence (入射角) \(\theta_i\)，即 \(\theta_r = \theta_i\)。
▮▮▮▮⚝ 折射定律 (Law of Refraction) (Snell's Law)：incident ray (入射光线)、refracted ray (折射光线) 和 normal (法线) 在同一 plane (平面) 内，refracted ray (折射光线) 和 incident ray (入射光线) 分居 normal (法线) 两侧，angle of refraction (折射角) \(\theta_t\) 与 angle of incidence (入射角) \(\theta_i\) 满足 Snell's law (斯涅尔定律)：\(n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_t\)，其中 \(n_1\) 和 \(n_2\) 分别为 incident medium (入射介质) 和 refractive medium (折射介质) 的 refractive index (折射率)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Optical bench (光学平台) (光源、转动平台、刻度盘、光学元件夹具组成)
▮▮▮▮⚝ Light source (光源) (laser (激光器) 或 point light source (点光源))
▮▮▮▮⚝ Plane mirror (平面镜) (验证 reflection law (反射定律))
▮▮▮▮⚝ Prism (棱镜) 或 transparent plate (透明平板) (验证 refraction law (折射定律))
▮▮▮▮⚝ Screen (屏) (接收 reflected ray (反射光线) 和 refracted ray (折射光线))
▮▮▮▮⚝ Protractor (量角器) (测量 angle of incidence (入射角)、angle of reflection (反射角) 和 angle of refraction (折射角))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 optical bench (光学平台) 装置，将 light source (光源)、plane mirror (平面镜) 或 prism (棱镜)、screen (屏) 固定在 optical bench (光学平台) 上。
▮▮▮▮ⓑ 反射定律验证：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 将 plane mirror (平面镜) 垂直于 optical bench (光学平台) 放置，使 light beam (光束) incident (入射) 到 plane mirror (平面镜) surface (表面)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 调整 light source (光源) 和 plane mirror (平面镜) 的 position (位置) 和 orientation (方位)，使 incident ray (入射光线) 和 reflected ray (反射光线) 在 screen (屏) 上显示清晰。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 在 screen (屏) 上标记 incident ray (入射光线) spot (光点) 和 reflected ray (反射光线) spot (光点) 的 position (位置)，并标记 plane mirror (平面镜) 的 position (位置)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 移开 screen (屏)，根据 screen (屏) 上的 markings (标记) 和 plane mirror (平面镜) 的 position (位置)，绘制 incident ray (入射光线)、reflected ray (反射光线) 和 plane mirror surface normal (平面镜表面法线)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 使用 protractor (量角器) 测量 angle of incidence (入射角) \(\theta_i\) 和 angle of reflection (反射角) \(\theta_r\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 改变 angle of incidence (入射角) \(\theta_i\)，重复步骤 ❷ - ❺，测量 multiple sets (多组) 的 \(\theta_i\) 和 \(\theta_r\) 数据。
▮▮▮▮ⓘ 折射定律验证：
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 将 prism (棱镜) 或 transparent plate (透明平板) 放置在 optical bench (光学平台) 上，使 light beam (光束) incident (入射) 到 prism (棱镜) 或 transparent plate (透明平板) surface (表面)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 调整 light source (光源) 和 prism (棱镜) 或 transparent plate (透明平板) 的 position (位置) 和 orientation (方位)，使 incident ray (入射光线) 和 refracted ray (折射光线) 在 screen (屏) 上显示清晰。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 在 screen (屏) 上标记 incident ray (入射光线) spot (光点) 和 refracted ray (折射光线) spot (光点) 的 position (位置)，并标记 prism (棱镜) 或 transparent plate (透明平板) 的 position (位置)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 移开 screen (屏)，根据 screen (屏) 上的 markings (标记) 和 prism (棱镜) 或 transparent plate (透明平板) 的 position (位置)，绘制 incident ray (入射光线)、refracted ray (折射光线) 和 interface normal (界面法线)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 使用 protractor (量角器) 测量 angle of incidence (入射角) \(\theta_i\) 和 angle of refraction (折射角) \(\theta_t\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 改变 angle of incidence (入射角) \(\theta_i\)，重复步骤 ❷ - ❺，测量 multiple sets (多组) 的 \(\theta_i\) 和 \(\theta_t\) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 反射定律验证：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 将测得的 \(\theta_i\) 和 \(\theta_r\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 比较每组数据的 \(\theta_i\) 和 \(\theta_r\) 的数值是否在 experimental uncertainty (实验不确定度) 范围内相等。若在 experimental uncertainty (实验不确定度) 范围内相等，则验证了 reflection law (反射定律) \(\theta_r = \theta_i\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 分析 incident ray (入射光线)、reflected ray (反射光线) 和 normal (法线) 是否在同一 plane (平面) 内，reflected ray (反射光线) 和 incident ray (入射光线) 是否分居 normal (法线) 两侧。
▮▮▮▮ⓔ 折射定律验证：
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 将测得的 \(\theta_i\) 和 \(\theta_t\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 计算每组数据的 \(\sin \theta_i\) 和 \(\sin \theta_t\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 以 \(\sin \theta_i\) 为纵轴，\(\sin \theta_t\) 为横轴，绘制 \(\sin \theta_i - \sin \theta_t\) graph (图像)。根据 Snell's law (斯涅尔定律) \(n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_t\)，\(\sin \theta_i - \sin \theta_t\) graph (图像) 应为 through origin (过原点) 的 straight line (直线)，slope (斜率) \(k = \frac{n_2}{n_1}\)。若 incident medium (入射介质) 为 air (空气)，\(n_1 \approx 1\)，则 slope (斜率) \(k \approx n_2\) 为 refractive medium (折射介质) 的 refractive index (折射率)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❾ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(\sin \theta_i - \sin \theta_t\) straight line (直线) 的 slope (斜率) \(k\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 根据 slope (斜率) \(k\) 计算 refractive medium (折射介质) 的 refractive index (折射率) \(n_2 = k n_1\)。若 incident medium (入射介质) 为 air (空气)，\(n_1 \approx 1\)，则 \(n_2 \approx k\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 分析 incident ray (入射光线)、refracted ray (折射光线) 和 normal (法线) 是否在同一 plane (平面) 内，refracted ray (折射光线) 和 incident ray (入射光线) 是否分居 normal (法线) 两侧。
▮▮▮▮ⓛ 进行 error analysis (误差分析)，估算 angle measurement uncertainty (角度测量不确定度) 和 refractive index uncertainty (折射率不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 angle measurement error (角度测量误差)、light ray tracing error (光线Trace误差)、optical元件表面不平整等。

② 测角仪法 (Goniometer Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Goniometer (测角仪) 是一种 precision optical instrument (精密光学仪器)，可以 accurate (准确) 地测量 angles (角度)。使用 goniometer (测角仪) 可以更 accurate (准确) 地验证 laws of reflection and refraction (反射定律和折射定律)。

实验原理与 optical bench method (光学平台法) 相同，但使用 goniometer (测角仪) 直接测量 angle of incidence (入射角)、angle of reflection (反射角) 和 angle of refraction (折射角)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Goniometer (测角仪) (collimator (平行光管)、telescope (望远镜)、转动平台、角度刻度盘组成)
▮▮▮▮⚝ Light source (光源) (spectral lamp (光谱灯) 或 laser (激光器))
▮▮▮▮⚝ Plane mirror (平面镜) (验证 reflection law (反射定律))
▮▮▮▮⚝ Prism (棱镜) (验证 refraction law (折射定律) 和测量 refractive index (折射率))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 调整 goniometer (测角仪)，使 collimator (平行光管) 发出 parallel light beam (平行光束)，telescope (望远镜) 接收 parallel light beam (平行光束)。
▮▮▮▮ⓑ 反射定律验证：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 将 plane mirror (平面镜) 放置在 goniometer (测角仪) 的 center of rotation (转动中心)，使 plane mirror surface (平面镜表面) 垂直于 goniometer (测角仪) 的 optical axis (光轴)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 调整 goniometer (测角仪) 的转动平台，使 collimator (平行光管) 发出的 light beam (光束) incident (入射) 到 plane mirror (平面镜) surface (表面)，telescope (望远镜) 接收 reflected ray (反射光线)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 旋转 telescope (望远镜)，使 telescope crosshair (望远镜十字叉丝) 对准 reflected ray (反射光线)。读取 goniometer (测角仪) 角度刻度盘读数，记录为 reflected ray angle (反射光线角度) \(\theta_r\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 旋转 telescope (望远镜)，使 telescope crosshair (望远镜十字叉丝) 对准 incident ray (入射光线) (即 collimator (平行光管) 发出的 light beam (光束))。读取 goniometer (测角仪) 角度刻度盘读数，记录为 incident ray angle (入射光线角度) \(\theta_i\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 计算 angle of incidence (入射角) 和 angle of reflection (反射角)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 改变 angle of incidence (入射角)，重复步骤 ❷ - ❺，测量 multiple sets (多组) 的 angle of incidence (入射角) 和 angle of reflection (反射角) 数据。
▮▮▮▮ⓘ 折射定律验证与 refractive index measurement (折射率测量)：
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 将 prism (棱镜) 放置在 goniometer (测角仪) 的 center of rotation (转动中心)，使 prism refracting surface (棱镜折射面) 垂直于 goniometer (测角仪) 的 optical axis (光轴)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 调整 goniometer (测角仪) 的转动平台，使 collimator (平行光管) 发出的 light beam (光束) incident (入射) 到 prism refracting surface (棱镜折射面)，telescope (望远镜) 接收 refracted ray (折射光线)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 旋转 telescope (望远镜)，使 telescope crosshair (望远镜十字叉丝) 对准 refracted ray (折射光线)。读取 goniometer (测角仪) 角度刻度盘读数，记录为 refracted ray angle (折射光线角度) \(\theta_t\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 旋转 telescope (望远镜)，使 telescope crosshair (望远镜十字叉丝) 对准 incident ray (入射光线) (即 collimator (平行光管) 发出的 light beam (光束))。读取 goniometer (测角仪) 角度刻度盘读数，记录为 incident ray angle (入射光线角度) \(\theta_i\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 计算 angle of incidence (入射角) 和 angle of refraction (折射角)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 改变 angle of incidence (入射角)，重复步骤 ❷ - ❺，测量 multiple sets (多组) 的 angle of incidence (入射角) 和 angle of refraction (折射角) 数据。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ Refractive Index Measurement (折射率测量) (若测量 prism material refractive index (棱镜材料折射率))：测量 prism minimum deviation angle (最小偏折角) \(\delta_m\)，根据 prism refractive index formula (棱镜折射率公式) \(n = \frac{\sin \frac{A + \delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\) 计算 prism refractive index (棱镜折射率) \(n\)，其中 \(A\) 为 prism apex angle (棱镜顶角)。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
数据处理与结果分析方法与 optical bench method (光学平台法) 类似，但 goniometer (测角仪) 测量角度精度更高，实验结果更 accurate (准确)。对于 refractive index measurement (折射率测量)，根据 prism refractive index formula (棱镜折射率公式) 计算 refractive index (折射率) \(n\)，并进行 error analysis (误差分析)，估算 refractive index uncertainty (折射率不确定度)。

10.3.3 光波波长的测量 (Measurement of Wavelength of Light)

介绍用 double-slit interference (双缝干涉) 或 diffraction grating (衍射光栅) 测量 wavelength of light (光波波长) 的实验方法和 procedure (步骤)。

① 双缝干涉法 (Double-Slit Interference Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Young's double-slit interference experiment (杨氏双缝干涉实验) 证明了 light (光) 的 wave nature (波动性)。当 monochromatic light (单色光) 通过 double slits (双缝) 时，在 screen (屏) 上产生 interference pattern (干涉条纹)，bright fringes (明条纹) 和 dark fringes (暗条纹) 交替出现。
相邻 bright fringes (明条纹) 或 dark fringes (暗条纹) 之间的 distance (间距) (fringe spacing (条纹间距)) \(\Delta y\) 满足公式：
\[ \Delta y = \frac{\lambda L}{d} \]
其中 \(\lambda\) 为 wavelength of light (光波波长)，\(L\) 为 double slits (双缝) 到 screen (屏) 的 distance (距离)，\(d\) 为 double slits spacing (双缝间距)。
通过测量 fringe spacing (条纹间距) \(\Delta y\)、double slits to screen distance (双缝到屏距离) \(L\) 和 double slits spacing (双缝间距) \(d\)，可以计算 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\):
\[ \lambda = \frac{d\Delta y}{L} \]

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Double-slit interference apparatus (双缝干涉仪) (light source (光源)、double slits (双缝)、optical bench (光学平台)、screen (屏) 组成)
▮▮▮▮⚝ Light source (光源) (laser (激光器) 或 monochromatic light source (单色光源) + filter (滤光片))
▮▮▮▮⚝ Double slits (双缝) (已知 double slits spacing (双缝间距) \(d\))
▮▮▮▮⚝ Screen (屏) (接收 interference pattern (干涉图样))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量 fringe spacing (条纹间距))
▮▮▮▮⚝ Measuring tape (卷尺) (测量 double slits to screen distance (双缝到屏距离))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 double-slit interference apparatus (双缝干涉仪) 装置，将 light source (光源)、double slits (双缝)、screen (屏) 固定在 optical bench (光学平台) 上。
▮▮▮▮ⓑ 调整 light source (光源)、double slits (双缝) 和 screen (屏) 的 position (位置) 和 orientation (方位)，使 interference pattern (干涉图样) 在 screen (屏) 上显示清晰，bright fringes (明条纹) 和 dark fringes (暗条纹) parallel to each other (相互平行) 且 equidistant (等间距)。
▮▮▮▮ⓒ 测量 double slits to screen distance (双缝到屏距离) \(L\)，即 double slits (双缝) plane (平面) 到 screen (屏) plane (平面) 的 distance (距离)。使用 measuring tape (卷尺) 多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮ⓓ 在 screen (屏) 上观察 interference pattern (干涉图样)，选择 a number of adjacent bright fringes (若干相邻明条纹) (如 5 个或 10 个)，使用 ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) 测量这些 bright fringes (明条纹) 的 total width (总宽度) \(\Delta Y\)。
▮▮▮▮ⓔ 计算 fringe spacing (条纹间距) \(\Delta y = \frac{\Delta Y}{N-1}\)，其中 \(N\) 为 bright fringes (明条纹) 的个数。多次测量，取 average value (平均值)。
▮▮▮▮ⓕ Double slits spacing (双缝间距) \(d\) 通常为已知量，可以从 double slits sample (双缝样品) 标签或 product manual (产品手册) 中查阅得到。若 double slits spacing (双缝间距) \(d\) 未知，可以使用 microscope (显微镜) 测量。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(\Delta y\)、\(L\) 和已知的 \(d\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮ⓑ 根据公式 \(\lambda = \frac{d\Delta y}{L}\) 计算 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\).
▮▮▮▮ⓒ 对 multiple sets (多组) 的 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\) 值取 average value (平均值)，作为最终测量结果。
▮▮▮▮ⓓ 进行 error analysis (误差分析)，估算 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 fringe spacing measurement error (条纹间距测量误差)、double slits to screen distance measurement error (双缝到屏距离测量误差)、double slits spacing uncertainty (双缝间距不确定度)、光源 monochromaticity (单色性) 不理想等。

② 衍射光栅法 (Diffraction Grating Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Diffraction grating (衍射光栅) 是具有 large number of parallel slits (大量平行狭缝) 的 optical元件，可以产生 sharper and brighter diffraction fringes (更锐利、更明亮的衍射条纹)，更 accurate (准确) 地测量 wavelength of light (光波波长)。
Diffraction grating equation (衍射光栅方程) 为：
\[ d \sin \theta_k = k\lambda, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, ... \]
其中 \(d\) 为 grating constant (光栅常数) (相邻 slits (狭缝) 之间的 distance (间距))，\(\theta_k\) 为 \(k\)th order diffraction fringe (第 \(k\) 级衍射条纹) 的 diffraction angle (衍射角)，\(\lambda\) 为 wavelength of light (光波波长)，\(k\) 为 diffraction order (衍射级次)。
通过测量 \(k\)th order diffraction fringe (第 \(k\) 级衍射条纹) 的 diffraction angle (衍射角) \(\theta_k\)、grating constant (光栅常数) \(d\) 和 diffraction order (衍射级次) \(k\)，可以计算 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\):
\[ \lambda = \frac{d \sin \theta_k}{k} \]

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Diffraction grating spectrometer (衍射光栅光谱仪) (collimator (平行光管)、diffraction grating (衍射光栅)、telescope (望远镜)、角度刻度盘组成)
▮▮▮▮⚝ Light source (光源) (spectral lamp (光谱灯) 或 laser (激光器))
▮▮▮▮⚝ Diffraction grating (衍射光栅) (已知 grating constant (光栅常数) \(d\))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 调整 diffraction grating spectrometer (衍射光栅光谱仪)，使 collimator (平行光管) 发出 parallel light beam (平行光束)，telescope (望远镜) 接收 diffraction fringes (衍射条纹)。
▮▮▮▮ⓑ 将 diffraction grating (衍射光栅) 放置在 goniometer (测角仪) 的 center of rotation (转动中心)，使 diffraction grating surface (衍射光栅表面) 垂直于 goniometer (测角仪) 的 optical axis (光轴)。
▮▮▮▮ⓒ 调整 goniometer (测角仪) 的转动平台，使 collimator (平行光管) 发出的 light beam (光束) incident (入射) 到 diffraction grating (衍射光栅) surface (表面)，telescope (望远镜) 接收 diffraction fringes (衍射条纹)。
▮▮▮▮ⓓ Zero-order Fringe (零级条纹) 定位：旋转 telescope (望远镜)，使 telescope crosshair (望远镜十字叉丝) 对准 zero-order diffraction fringe (零级衍射条纹) (central bright fringe (中央明条纹))。读取 goniometer (测角仪) 角度刻度盘读数，记录为 zero-order angle (零级角) \(\theta_0\).
▮▮▮▮ⓔ kth-order Fringe (第k级条纹) 定位：旋转 telescope (望远镜)，在 zero-order diffraction fringe (零级衍射条纹) 的两侧寻找 \(k\)th order diffraction fringes (第 \(k\) 级衍射条纹) (如 \(k=1\) 或 \(k=2\))。使 telescope crosshair (望远镜十字叉丝) 分别对准 left and right \(k\)th order diffraction fringes (左右两侧第 \(k\) 级衍射条纹)。读取 goniometer (测角仪) 角度刻度盘读数，分别记录为 left \(k\)th order angle (左侧第 \(k\) 级角) \(\theta_{-k}\) 和 right \(k\)th order angle (右侧第 \(k\) 级角) \(\theta_{+k}\).
▮▮▮▮ⓕ 计算 \(k\)th order diffraction fringe (第 \(k\) 级衍射条纹) 的 diffraction angle (衍射角) \(\theta_k = \frac{|\theta_{+k} - \theta_{-k}|}{2}\) 或 \(\theta_k = |\theta_{+k} - \theta_0|\) 或 \(\theta_k = |\theta_{-k} - \theta_0|\)。
▮▮▮▮ⓖ Grating constant (光栅常数) \(d\) 通常为已知量，可以从 diffraction grating sample (衍射光栅样品) 标签或 product manual (产品手册) 中查阅得到。若 grating constant (光栅常数) \(d\) 未知，可以使用 microscope (显微镜) 测量。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(\theta_k\)、已知的 \(d\) 和 diffraction order (衍射级次) \(k\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮ⓑ 根据公式 \(\lambda = \frac{d \sin \theta_k}{k}\) 计算 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\).
▮▮▮▮ⓒ 选择 multiple diffraction orders (多级衍射条纹) (如 \(k=1, 2, 3\)) 进行测量，计算 multiple sets (多组) 的 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\) 值。
▮▮▮▮ⓓ 对 multiple sets (多组) 的 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\) 值取 average value (平均值)，作为最终测量结果。
▮▮▮▮ⓔ 进行 error analysis (误差分析)，估算 wavelength of light (光波波长) \(\lambda\) 的 uncertainty (不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 diffraction angle measurement error (衍射角测量误差)、grating constant uncertainty (光栅常数不确定度)、光源 monochromaticity (单色性) 不理想、衍射级次确定误差等。

10.4 电磁学与近代物理实验 (Electromagnetism and Modern Physics Experiments)

介绍典型的 electromagnetism experiments (电磁学实验) 和 modern physics experiments (近代物理实验)，如 measurement of magnetic field of solenoid (螺线管磁场测量)、verification of Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律验证)、photoelectric effect experiment (光电效应实验) 等，通过实验操作理解 electromagnetism and modern physics theories (电磁学和近代物理理论)。

10.4.1 螺线管磁场的测量 (Measurement of Magnetic Field of Solenoid)

介绍用 Hall sensor (霍尔传感器) 或 magnetic field meter (磁场计) 测量 magnetic field of solenoid (螺线管磁场) 的实验方法和 procedure (步骤)。

① 霍尔传感器法 (Hall Sensor Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Hall effect (霍尔效应) 是指 current-carrying conductor (载流导体) 或 semiconductor (半导体) placed in magnetic field (置于磁场中) 时，在 perpendicular to both current direction (电流方向) 和 magnetic field direction (磁场方向) 的方向上产生 transverse potential difference (横向电势差) (Hall voltage (霍尔电压)) 的现象。
Hall voltage (霍尔电压) \(U_H\) 与 magnetic field strength (磁场强度) \(B\) 成正比：
\[ U_H = R_H I B \sin \theta \]
其中 \(R_H\) 为 Hall coefficient (霍尔系数)，\(I\) 为 current (电流)，\(B\) 为 magnetic field strength (磁场强度)，\(\theta\) 为 magnetic field direction (磁场方向) 与 current direction (电流方向) 之间的 angle (夹角)。
当 \(\theta = 90^\circ\) 时，\(\sin \theta = 1\)，\(U_H = R_H I B\)。若保持 current \(I\) constant (恒定)，则 Hall voltage (霍尔电压) \(U_H\) 与 magnetic field strength (磁场强度) \(B\) 成 linear relationship (线性关系)，可以通过测量 Hall voltage (霍尔电压) \(U_H\) 计算 magnetic field strength (磁场强度) \(B\):
\[ B = \frac{U_H}{R_H I} \]
Hall sensor (霍尔传感器) 基于 Hall effect (霍尔效应) 原理制成，可以直接测量 magnetic field strength (磁场强度)。

Solenoid (螺线管) 内部 central axis (中心轴线) 附近的 magnetic field (磁场) 近似为 uniform magnetic field (匀强磁场)，magnetic field strength (磁场强度) \(B\) 满足公式：
\[ B = \mu_0 n I' \]
其中 \(\mu_0\) 为 vacuum permeability (真空磁导率)，\(n = \frac{N}{L}\) 为 number of turns per unit length (单位长度匝数) (solenoid turns number (螺线管匝数) \(N\) 除以 solenoid length (螺线管长度) \(L\)), \(I'\) 为 solenoid current (螺线管电流)。
通过测量 solenoid current (螺线管电流) \(I'\) 和 solenoid turns number per unit length (螺线管单位长度匝数) \(n\)，可以理论计算 solenoid internal magnetic field strength (螺线管内部磁场强度) \(B_{theory} = \mu_0 n I'\)。同时使用 Hall sensor (霍尔传感器) 测量 solenoid internal magnetic field strength (螺线管内部磁场强度) \(B_{measured}\)，比较 \(B_{measured}\) 和 \(B_{theory}\) 的一致性，验证 solenoid magnetic field theory (螺线管磁场理论)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Solenoid (螺线管) (已知 turns number (匝数) \(N\) 和 length (长度) \(L\))
▮▮▮▮⚝ Hall sensor (霍尔传感器) (magnetic field sensor (磁场传感器))
▮▮▮▮⚝ Hall sensor power supply (霍尔传感器电源)
▮▮▮▮⚝ Voltmeter (电压表) (测量 Hall voltage (霍尔电压))
▮▮▮▮⚝ DC power supply (直流电源) (solenoid 供电)
▮▮▮▮⚝ Ammeter (电流表) (测量 solenoid current (螺线管电流))
▮▮▮▮⚝ Multimeter (万用表) (测量 Hall sensor current (霍尔传感器电流) (若需要))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量 solenoid length (螺线管长度) 和 diameter (直径))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 solenoid magnetic field measurement apparatus (螺线管磁场测量仪) 装置，将 Hall sensor (霍尔传感器) probe (探头) 插入 solenoid (螺线管) central axis (中心轴线) 附近。
▮▮▮▮ⓑ Connect solenoid (螺线管) to DC power supply (直流电源) and ammeter (电流表)，connect Hall sensor (霍尔传感器) to Hall sensor power supply (霍尔传感器电源) and voltmeter (电压表)。
▮▮▮▮ⓒ Adjust DC power supply (直流电源)，set solenoid current (螺线管电流) \(I'\) to a certain value，read and record ammeter reading (电流表读数)。
▮▮▮▮ⓓ Read and record voltmeter reading (电压表读数)，即 Hall voltage (霍尔电压) \(U_H\).
▮▮▮▮ⓔ Move Hall sensor (霍尔传感器) probe (探头) along solenoid central axis (螺线管中心轴线) 或 radial direction (径向方向)，测量 solenoid magnetic field distribution (螺线管磁场分布) (如 axial magnetic field distribution (轴向磁场分布) 和 radial magnetic field distribution (径向磁场分布))。
▮▮▮▮ⓕ Change solenoid current (螺线管电流) \(I'\)，repeat steps ⓒ - ⓔ，测量 multiple sets (多组) 的 \(I'\) 和 \(U_H\) 数据。
▮▮▮▮ⓖ Measure solenoid turns number (螺线管匝数) \(N\) 和 solenoid length (螺线管长度) \(L\)，计算 solenoid turns number per unit length (螺线管单位长度匝数) \(n = \frac{N}{L}\).

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 \(I'\) 和 \(U_H\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮ⓑ 根据 Hall sensor calibration curve (霍尔传感器校准曲线) 或 sensitivity (灵敏度) 系数，将 Hall voltage (霍尔电压) \(U_H\) 转换为 magnetic field strength (磁场强度) \(B_{measured}\)。
▮▮▮▮ⓒ 根据公式 \(B_{theory} = \mu_0 n I'\) 计算 solenoid internal magnetic field strength theoretical value (螺线管内部磁场强度理论值) \(B_{theory}\)。
▮▮▮▮ⓓ 比较 measured magnetic field strength (实测磁场强度) \(B_{measured}\) 和 theoretical magnetic field strength (理论磁场强度) \(B_{theory}\) 的一致性，验证 solenoid magnetic field theory (螺线管磁场理论)。
▮▮▮▮ⓔ 绘制 solenoid axial magnetic field distribution curve (螺线管轴向磁场分布曲线) 和 radial magnetic field distribution curve (径向磁场分布曲线)，分析 solenoid magnetic field distribution characteristics (螺线管磁场分布特点)。
▮▮▮▮ⓕ 进行 error analysis (误差分析)，估算 magnetic field strength uncertainty (磁场强度不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 Hall sensor calibration uncertainty (霍尔传感器校准不确定度)、voltmeter and ammeter reading error (电压表和电流表读数误差)、solenoid turns number and length measurement error (螺线管匝数和长度测量误差)、solenoid non-ideal conditions (螺线管非理想条件) (如 finite length (有限长度)、non-uniform winding (绕线不均匀)) 的影响等。

② 磁场计法 (Magnetic Field Meter Method)

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Magnetic field meter (磁场计) 是一种 direct-reading instrument (直接读数仪器)，可以直接测量 magnetic field strength (磁场强度)。常见的 magnetic field meter (磁场计) 基于 Hall effect (霍尔效应) 或 fluxgate magnetometer (磁通门磁强计) 原理制成。

使用 magnetic field meter (磁场计) 测量 solenoid magnetic field (螺线管磁场) 的原理与 Hall sensor method (霍尔传感器法) 类似，但 magnetic field meter (磁场计) 操作更简便，可以直接读取 magnetic field strength value (磁场强度值)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Solenoid (螺线管) (已知 turns number (匝数) \(N\) 和 length (长度) \(L\))
▮▮▮▮⚝ Magnetic field meter (磁场计) (magnetic field probe (磁场探头) 和 display unit (显示单元) 组成)
▮▮▮▮⚝ DC power supply (直流电源) (solenoid 供电)
▮▮▮▮⚝ Ammeter (电流表) (测量 solenoid current (螺线管电流))
▮▮▮▮⚝ Ruler (直尺) 或 Vernier caliper (游标卡尺) (测量 solenoid length (螺线管长度) 和 diameter (直径))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
实验步骤与 Hall sensor method (霍尔传感器法) 基本相同，但使用 magnetic field meter (磁场计) 直接测量 magnetic field strength (磁场强度)，无需测量 Hall voltage (霍尔电压) 和进行 voltage-to-magnetic field conversion (电压-磁场转换)。

▮▮▮▮ⓐ 组装 solenoid magnetic field measurement apparatus (螺线管磁场测量仪) 装置，将 magnetic field meter (磁场计) probe (探头) 插入 solenoid (螺线管) central axis (中心轴线) 附近。
▮▮▮▮ⓑ Connect solenoid (螺线管) to DC power supply (直流电源) and ammeter (电流表)。
▮▮▮▮ⓒ Adjust DC power supply (直流电源)，set solenoid current (螺线管电流) \(I'\) to a certain value，read and record ammeter reading (电流表读数)。
▮▮▮▮ⓓ Read magnetic field meter reading (磁场计读数)，即 measured magnetic field strength (实测磁场强度) \(B_{measured}\).
▮▮▮▮ⓔ Move magnetic field meter (磁场计) probe (探头) along solenoid central axis (螺线管中心轴线) 或 radial direction (径向方向)，测量 solenoid magnetic field distribution (螺线管磁场分布) (如 axial magnetic field distribution (轴向磁场分布) 和 radial magnetic field distribution (径向磁场分布))。
▮▮▮▮ⓕ Change solenoid current (螺线管电流) \(I'\)，repeat steps ⓒ - ⓔ，测量 multiple sets (多组) 的 \(I'\) 和 \(B_{measured}\) 数据。
▮▮▮▮ⓖ Measure solenoid turns number (螺线管匝数) \(N\) 和 solenoid length (螺线管长度) \(L\)，计算 solenoid turns number per unit length (螺线管单位长度匝数) \(n = \frac{N}{L}\).

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
数据处理与结果分析方法与 Hall sensor method (霍尔传感器法) 基本相同，但 magnetic field strength (磁场强度) \(B_{measured}\) 直接从 magnetic field meter (磁场计) 读出，无需进行 voltage-to-magnetic field conversion (电压-磁场转换)。比较 measured magnetic field strength (实测磁场强度) \(B_{measured}\) 和 theoretical magnetic field strength (理论磁场强度) \(B_{theory}\) 的一致性，验证 solenoid magnetic field theory (螺线管磁场理论)，分析 solenoid magnetic field distribution characteristics (螺线管磁场分布特点)，进行 error analysis (误差分析)，估算 magnetic field strength uncertainty (磁场强度不确定度)。

10.4.2 法拉第电磁感应定律的验证 (Verification of Faraday's Law of Induction)

介绍用 induction coil (感应线圈) 和 galvanometer (检流计) 验证 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律) 的实验方法和 procedure (步骤)。

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律) 描述了 electromagnetic induction (电磁感应) 现象，即穿过 closed circuit (闭合回路) 的 magnetic flux (磁通量) 发生变化时，circuit (回路) 中会产生 induced electromotive force (感应电动势) \(\mathcal{E}\)，induced electromotive force (感应电动势) 的 magnitude (大小) 与 magnetic flux change rate (磁通量变化率) 成正比，direction (方向) 遵循 Lenz's law (楞次定律)：
\[ \mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt} \]
其中 \(\Phi_B = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}\) 为 magnetic flux (磁通量)。

本实验使用 induction coil (感应线圈) 和 galvanometer (检流计) 验证 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)。通过改变 primary coil current (原线圈电流) 产生 time-varying magnetic field (时变磁场)，使穿过 secondary coil (副线圈) 的 magnetic flux (磁通量) 发生变化，在 secondary coil (副线圈) 中产生 induced current (感应电流)。使用 galvanometer (检流计) 测量 induced current (感应电流) 或 induced charge (感应电荷)，验证 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)。

实验验证方法主要有两种：

▮▮▮▮⚝ 感应电流峰值法：
快速改变 primary coil current (原线圈电流) (如 switch on (接通) 或 switch off (断开) 电路)，在 secondary coil (副线圈) 中产生 pulse induced current (脉冲感应电流)。使用 ballistic galvanometer (冲击检流计) 测量 pulse induced current peak value (脉冲感应电流峰值) 或 induced charge (感应电荷) \(Q\)。Induced charge (感应电荷) \(Q\) 与 magnetic flux change (磁通量变化) \(\Delta \Phi_B\) 成正比：
\[ Q = \frac{1}{R} \Delta \Phi_B \]
其中 \(R\) 为 secondary coil circuit resistance (副线圈回路电阻)。
通过改变 primary coil current change (原线圈电流变化量) 或 relative position of coils (线圈相对位置)，改变 magnetic flux change (磁通量变化) \(\Delta \Phi_B\)，测量 induced charge (感应电荷) \(Q\)，验证 induced charge (感应电荷) \(Q\) 与 magnetic flux change (磁通量变化) \(\Delta \Phi_B\) 的 linear relationship (线性关系)。

▮▮▮▮⚝ 感应电动势法：
使用 sinusoidal AC current (正弦交流电流) 驱动 primary coil (原线圈)，产生 sinusoidal time-varying magnetic field (正弦时变磁场)，在 secondary coil (副线圈) 中产生 sinusoidal induced electromotive force (正弦感应电动势) 和 induced current (感应电流)。使用 oscilloscope (示波器) 测量 induced electromotive force (感应电动势) peak value (峰值) 或 RMS value (有效值)，验证 induced electromotive force (感应电动势) magnitude (大小) 与 magnetic flux change rate (磁通量变化率) 的 relationship (关系)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Induction coil set (感应线圈组) (primary coil (原线圈) 和 secondary coil (副线圈) 组成)
▮▮▮▮⚝ Ballistic galvanometer (冲击检流计) (感应电流峰值法) 或 oscilloscope (示波器) (感应电动势法)
▮▮▮▮⚝ DC power supply (直流电源) (primary coil (原线圈) 供电)
▮▮▮▮⚝ AC signal generator (交流信号发生器) (感应电动势法，primary coil (原线圈) 供电)
▮▮▮▮⚝ Resistor (电阻) (已知 resistance (阻值)，感应电流峰值法)
▮▮▮▮⚝ Switch (开关) (感应电流峰值法，控制 primary coil circuit (原线圈电路) 的 switch on (接通) 和 switch off (断开))
▮▮▮▮⚝ Connecting wires (连接导线)

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 Faraday's law of induction verification apparatus (法拉第电磁感应定律验证仪) 装置，将 secondary coil (副线圈) 套在 primary coil (原线圈) 外侧或内部，确保良好 magnetic coupling (磁耦合)。
▮▮▮▮ⓑ 感应电流峰值法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ Connect primary coil (原线圈) to DC power supply (直流电源)、ammeter (电流表) (可选) 和 switch (开关) in series (串联)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ Connect secondary coil (副线圈) to ballistic galvanometer (冲击检流计) and resistor (电阻) in series (串联)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ Close switch (闭合开关)，待 primary coil current (原线圈电流) 稳定后，记录 primary coil current (原线圈电流) \(I_0\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ Quickly open switch (迅速断开开关)，观察 ballistic galvanometer (冲击检流计) 的 deflection (偏转)，记录 ballistic galvanometer maximum deflection angle (冲击检流计最大偏转角) \(\theta\). Ballistic galvanometer deflection angle (冲击检流计偏转角) \(\theta\) 与 induced charge (感应电荷) \(Q\) 成正比。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ Repeat step ❹ multiple times (多次重复步骤 ❹)，取 average deflection angle (平均偏转角) \(\bar{\theta}\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ Change primary coil current \(I_0\) 或 relative position of coils (线圈相对位置)，repeat steps ③ - ❺，测量 multiple sets (多组) 的 \(I_0\) 和 \(\bar{\theta}\) 数据。
▮▮▮▮ⓘ 感应电动势法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ Connect primary coil (原线圈) to AC signal generator (交流信号发生器) in series (串联)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ Connect secondary coil (副线圈) to oscilloscope (示波器)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ Set AC signal generator output frequency (交流信号发生器输出频率) and amplitude (幅度)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ Observe induced electromotive force waveform (感应电动势波形) on oscilloscope (示波器)，测量 induced electromotive force peak value (感应电动势峰值) \(\mathcal{E}_m\) 或 RMS value (有效值) \(\mathcal{E}_{rms}\).
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ Change AC signal generator output frequency (交流信号发生器输出频率) or amplitude (幅度)，repeat step ❹，测量 multiple sets (多组) 的 frequency (频率) \(f\) (或 period (周期) \(T = \frac{1}{f}\)) 和 \(\mathcal{E}_m\) (或 \(\mathcal{E}_{rms}\)) 数据。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 感应电流峰值法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❷ 将测得的 \(I_0\) 和 \(\bar{\theta}\) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 绘制 \(\bar{\theta} - I_0\) graph (图像)。根据 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律) 和 induced charge formula (感应电荷公式)，induced charge (感应电荷) \(Q\) (与 \(\bar{\theta}\) 成正比) 与 magnetic flux change (磁通量变化) \(\Delta \Phi_B\) (与 \(I_0\) 成正比) 成 linear relationship (线性关系)，\(\bar{\theta} - I_0\) graph (图像) 应为 through origin (过原点) 的 straight line (直线)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(\bar{\theta} - I_0\) straight line (直线) 的 linear relationship (线性关系)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 分析 experimental results (实验结果) 是否符合 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律) 的 predictions (预言)。
▮▮▮▮ⓕ 感应电动势法：
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 将测得的 frequency (频率) \(f\) (或 period (周期) \(T\)) 和 \(\mathcal{E}_m\) (或 \(\mathcal{E}_{rms}\)) 数据记录在表格中。
▮▮▮▮▮▮▮▮❽ 绘制 \(\mathcal{E}_m - f\) (或 \(\mathcal{E}_{rms} - f\)) graph (图像)。根据 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)，induced electromotive force magnitude (感应电动势大小) 与 magnetic flux change rate (磁通量变化率) 成正比，对于 sinusoidal magnetic flux (正弦磁通量)，induced electromotive force magnitude (感应电动势大小) 与 frequency (频率) \(f\) 成正比，\(\mathcal{E}_m - f\) (或 \(\mathcal{E}_{rms} - f\)) graph (图像) 应为 through origin (过原点) 的 straight line (直线)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❾ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(\mathcal{E}_m - f\) (或 \(\mathcal{E}_{rms} - f\)) straight line (直线) 的 linear relationship (线性关系)。
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 分析 experimental results (实验结果) 是否符合 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律) 的 predictions (预言)。
▮▮▮▮ⓚ 进行 error analysis (误差分析)，分析 deviation (偏差) 的可能原因。主要 error sources (误差来源) 包括 ballistic galvanometer reading error (冲击检流计读数误差) (感应电流峰值法)、oscilloscope reading error (示波器读数误差) (感应电动势法)、coil non-ideal conditions (线圈非理想条件) (如 magnetic flux leakage (磁通泄漏)、coil resistance (线圈电阻)) 的影响等。

10.4.3 光电效应实验 (Photoelectric Effect Experiment)

介绍用 photoelectric tube (光电管) 测量 stopping voltage (遏止电压) 和 Planck's constant (普朗克常数) 的 photoelectric effect experiment (光电效应实验) 方法和 procedure (步骤)。

⚝ 实验原理 (Experimental Principle)：
Photoelectric effect (光电效应) 是指 light irradiation (光照射) 到 metal surface (金属表面) 时，metal (金属) emits electrons (发射电子) 的现象。Einstein's photoelectric effect equation (爱因斯坦光电效应方程) 描述了 photoelectric effect (光电效应) 的规律：
\[ E_k = h\nu - W_0 \]
其中 \(E_k\) 为 emitted photoelectrons (发射光电子) 的 maximum kinetic energy (最大动能)，\(h\) 为 Planck's constant (普朗克常数)，\(\nu\) 为 incident light frequency (入射光频率)，\(W_0\) 为 metal work function (金属逸出功)。

Stopping voltage (遏止电压) \(U_s\) 是指施加在 photoelectric tube (光电管) anode (阳极) 和 cathode (阴极) 之间的 reverse voltage (反向电压)，恰好使 photoelectric current (光电流) 减小到 zero (零) 的 voltage (电压)。Stopping voltage (遏止电压) \(U_s\) 与 maximum kinetic energy (最大动能) \(E_k\) 之间满足关系：
\[ eU_s = E_k \]
其中 \(e\) 为 elementary charge (元电荷)。
Combining above two equations (结合以上两式)，得到 stopping voltage (遏止电压) \(U_s\) 与 incident light frequency (入射光频率) \(\nu\) 的关系：
\[ eU_s = h\nu - W_0 \]
\[ U_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e} \]
\(U_s - \nu\) graph (图像) 应为 straight line (直线)，slope (斜率) \(k = \frac{h}{e}\)，intercept on vertical axis (纵轴截距) \(b = -\frac{W_0}{e}\)。
通过测量 different frequencies of incident light (不同频率入射光) 的 stopping voltage (遏止电压) \(U_s\)，绘制 \(U_s - \nu\) graph (图像)，linear fitting (线性拟合) 得到 slope (斜率) \(k\) 和 intercept (截距) \(b\)，可以计算 Planck's constant (普朗克常数) \(h = ek\) 和 metal work function (金属逸出功) \(W_0 = -eb\)。

⚝ 实验装置 (Experimental Setup)：
▮▮▮▮⚝ Photoelectric effect apparatus (光电效应仪) (light source (光源)、photoelectric tube (光电管)、voltage source (电压源)、ammeter (电流表) 组成)
▮▮▮▮⚝ Light source (光源) (mercury lamp (汞灯) 或 LED light source (LED光源)，配备 various filters (多种滤光片) 获得 different frequencies of monochromatic light (不同频率单色光))
▮▮▮▮⚝ Photoelectric tube (光电管) (vacuum photoelectric tube (真空光电管))
▮▮▮▮⚝ Adjustable DC power supply (可调直流电源) (提供 forward voltage (正向电压) 和 reverse voltage (反向电压))
▮▮▮▮⚝ Microammeter (微安表) 或 picoammeter (皮安表) (测量 photoelectric current (光电流))
▮▮▮▮⚝ Voltmeter (电压表) (测量 photoelectric tube voltage (光电管电压))
▮▮▮▮⚝ Spectrometer (光谱仪) 或 wavelength meter (波长计) (测量 light wavelength (光波波长) (可选))

⚝ 实验步骤 (Experimental Procedure)：
▮▮▮▮ⓐ 组装 photoelectric effect apparatus (光电效应仪) 装置，将 photoelectric tube (光电管)、adjustable DC power supply (可调直流电源) 和 microammeter (微安表) (或 picoammeter (皮安表)) connect in circuit (串联成电路)。
▮▮▮▮ⓑ Select a certain frequency of monochromatic light (选择一定频率的单色光) (通过选择 filter (滤光片) 实现)。
▮▮▮▮ⓒ Adjust DC power supply (直流电源)，使 photoelectric tube (光电管) 施加 forward voltage (正向电压)，测量 photoelectric current (光电流) \(I\) 随 forward voltage (正向电压) \(U\) 的变化，绘制 photoelectric current-voltage characteristic curve (光电流-电压特性曲线) (伏安特性曲线)。
▮▮▮▮ⓓ Adjust DC power supply (直流电源)，使 photoelectric tube (光电管) 施加 reverse voltage (反向电压)，逐渐增大 reverse voltage (反向电压) magnitude (大小)，直到 photoelectric current (光电流) 减小到 zero (零)。记录此时的 reverse voltage magnitude (反向电压大小)，即 stopping voltage (遏止电压) \(U_s\).
▮▮▮▮ⓔ Repeat step ⓓ multiple times (多次重复步骤 ⓓ)，取 average value (平均值) of stopping voltage (遏止电压) \(\bar{U}_s\).
▮▮▮▮ⓕ Change incident light frequency (改变入射光频率) (更换 filter (滤光片) 或 light source (光源))，repeat steps ⓑ - ⓔ，测量 multiple sets (多组) 的 incident light frequency (入射光频率) \(\nu\) (或 wavelength (波长) \(\lambda\)) 和 stopping voltage (遏止电压) \(\bar{U}_s\) 数据。
▮▮▮▮ⓖ Incident light frequency (入射光频率) \(\nu\) 可以根据 light wavelength (光波波长) \(\lambda\) 计算得到 \(\nu = \frac{c}{\lambda}\)，其中 \(c\) 为 light speed in vacuum (真空中光速)。Light wavelength (光波波长) \(\lambda\) 可以从 light source (光源) 标签或 filter (滤光片) 参数中查阅得到，或使用 spectrometer (光谱仪) 或 wavelength meter (波长计) 测量。

⚝ 数据处理与结果分析 (Data Processing and Result Analysis)：
▮▮▮▮ⓐ 将测得的 incident light frequency (入射光频率) \(\nu\) (或 wavelength (波长) \(\lambda\)) 和 stopping voltage (遏止电压) \(\bar{U}_s\) 数据记录在表格中。若测量的是 wavelength (波长) \(\lambda\)，先将其转换为 frequency (频率) \(\nu = \frac{c}{\lambda}\)。
▮▮▮▮ⓑ 以 stopping voltage (遏止电压) \(\bar{U}_s\) 为纵轴，incident light frequency (入射光频率) \(\nu\) 为横轴，绘制 \(\bar{U}_s - \nu\) graph (图像)。根据 photoelectric effect equation (光电效应方程) \(U_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e}\)，\(\bar{U}_s - \nu\) graph (图像) 应为 straight line (直线)。
▮▮▮▮ⓒ 通过 linear fitting (线性拟合) (如 least squares method (最小二乘法)) 确定 \(\bar{U}_s - \nu\) straight line (直线) 的 slope (斜率) \(k\) 和 intercept on vertical axis (纵轴截距) \(b\).
▮▮▮▮ⓓ 根据 slope (斜率) \(k = \frac{h}{e}\) 计算 Planck's constant (普朗克常数) \(h = ek\)。其中 \(e = 1.602 \times 10^{-19} \text{C}\) 为 elementary charge (元电荷)。
▮▮▮▮ⓔ 根据 intercept (截距) \(b = -\frac{W_0}{e}\) 计算 metal work function (金属逸出功) \(W_0 = -eb\).
▮▮▮▮ⓕ Compare measured Planck's constant (实测普朗克常数) \(h\) with accepted value (公认值) \(h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{J}\cdot\text{s}\)，评估 experimental accuracy (实验准确度)。
▮▮▮▮ⓖ 进行 error analysis (误差分析)，估算 Planck's constant uncertainty (普朗克常数不确定度) 和 work function uncertainty (逸出功不确定度)。主要 error sources (误差来源) 包括 stopping voltage measurement error (遏止电压测量误差)、incident light frequency uncertainty (入射光频率不确定度)、photoelectric tube non-ideal conditions (光电管非理想条件) (如 contact potential difference (接触电势差)) 的影响等。

11. 数学物理方法 (Mathematical Methods in Physics)

本章旨在介绍工程物理 (Engineering Physics) 中至关重要的数学方法 (mathematical methods)。物理学，特别是工程物理学，不仅是一门实验科学，也是一门高度依赖数学工具的学科。数学不仅是描述物理现象的语言，更是解决物理问题的有效工具。本章将系统地介绍矢量分析 (vector analysis)、微分方程 (differential equations)、傅里叶分析 (Fourier analysis)、复变函数分析 (complex analysis) 和概率与统计 (probability and statistics) 等核心数学方法。掌握这些数学工具，将极大地提升学生分析和解决工程物理问题的能力，为深入理解物理理论和进行科学研究奠定坚实的基础。本章力求将抽象的数学概念与具体的物理应用相结合，通过丰富的实例和解析，使读者能够灵活运用这些数学方法，解决实际工程和物理问题。

11.1 矢量分析 (Vector Analysis)

矢量分析 (vector analysis) 是描述和分析物理世界中矢量场的数学工具，在工程物理学中应用广泛。例如，力、速度、电场、磁场等物理量都是矢量，它们的运算和分析需要借助矢量分析的方法。本节将介绍矢量代数 (vector algebra)、矢量微积分 (vector calculus) 和曲线坐标系 (curvilinear coordinates) 等矢量分析的基础知识，为后续学习电磁学、流体力学等内容打下坚实的数学基础。

11.1.1 矢量代数与矢量运算 (Vector Algebra and Vector Operations)

矢量代数 (vector algebra) 是矢量分析的基础，它定义了矢量的基本运算，如矢量加法 (vector addition)、矢量减法 (vector subtraction)、标量乘法 (scalar multiplication)、点积 (dot product)、叉积 (cross product) 和标量三重积 (scalar triple product) 等。这些运算是描述和分析矢量关系的重要工具。

① 矢量加法 (Vector Addition)：
矢量加法满足平行四边形法则或三角形法则。对于两个矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的和 \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\) 可以通过将 \(\vec{b}\) 的起点平移到 \(\vec{a}\) 的终点，然后连接 \(\vec{a}\) 的起点到 \(\vec{b}\) 的终点得到。在笛卡尔坐标系中，若 \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) 和 \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)，则 \(\vec{c} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)\)。矢量加法满足交换律和结合律：
\[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \]
\[ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \]

② 矢量减法 (Vector Subtraction)：
矢量减法可以看作是加上一个反向矢量。矢量 \(\vec{a} - \vec{b}\) 等于 \(\vec{a} + (-\vec{b})\)，其中 \(-\vec{b}\) 是 \(\vec{b}\) 的反向矢量，大小相等，方向相反。在笛卡尔坐标系中，若 \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) 和 \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)，则 \(\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)\)。

③ 标量乘法 (Scalar Multiplication)：
标量乘法是指将矢量乘以一个标量 (scalar)。若 \(\lambda\) 是一个标量，\(\vec{a}\) 是一个矢量，则 \(\lambda \vec{a}\) 是一个与 \(\vec{a}\) 方向相同（当 \(\lambda > 0\) 时）或相反（当 \(\lambda < 0\) 时），大小为 \(|\lambda| |\vec{a}|\) 的矢量。在笛卡尔坐标系中，若 \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\)，则 \(\lambda \vec{a} = (\lambda a_x, \lambda a_y, \lambda a_z)\)。

④ 点积 (Dot Product)：
点积，也称为标量积 (scalar product)，是两个矢量相乘得到一个标量的运算。对于两个矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的点积定义为：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta \]
其中 \(\theta\) 是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的夹角。点积的结果是一个标量，它等于 \(\vec{a}\) 的大小、\(\vec{b}\) 的大小以及它们夹角余弦的乘积。点积在笛卡尔坐标系中的计算公式为：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]
点积满足交换律和分配律：
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \]
\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \]
点积的一个重要应用是计算一个矢量在另一个矢量方向上的投影，以及判断两个矢量是否垂直（若 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则 \(\vec{a} \perp \vec{b}\)）。

⑤ 叉积 (Cross Product)：
叉积，也称为矢量积 (vector product)，是两个矢量相乘得到一个矢量的运算。对于两个矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的叉积 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\) 定义为一个矢量，其大小为：
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \]
其中 \(\theta\) 是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的夹角。叉积的方向垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所构成的平面，并由右手螺旋法则确定（四指从 \(\vec{a}\) 转向 \(\vec{b}\)，拇指方向即为 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向）。叉积在笛卡尔坐标系中的计算公式为：
\[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) \]
或表示为行列式：
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)\hat{i} - (a_x b_z - a_z b_x)\hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\hat{k} \]
叉积不满足交换律，但满足反交换律和分配律：
\[ \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) \]
\[ \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \]
叉积的一个重要应用是计算由两个矢量构成的平行四边形的面积，以及描述力矩和角动量等物理量。若 \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\)，且 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 均为非零矢量，则 \(\vec{a} // \vec{b}\) （\(\vec{a}\) 平行于 \(\vec{b}\)）。

⑥ 标量三重积 (Scalar Triple Product)：
标量三重积是三个矢量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 的混合积，定义为：
\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \]
标量三重积的结果是一个标量，其绝对值等于以 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 为棱的平行六面体的体积。标量三重积也可以表示为行列式：
\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \]
标量三重积具有轮换对称性：
\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} \]
若标量三重积为零，则表明三个矢量共面。

11.1.2 矢量微积分：梯度、散度与旋度 (Vector Calculus: Gradient, Divergence and Curl)

矢量微积分 (vector calculus) 是将微积分运算推广到矢量场 (vector field) 和标量场 (scalar field) 的数学分支，是描述物理场的重要工具。本节将介绍梯度 (gradient)、散度 (divergence) 和旋度 (curl) 这三个重要的矢量微分算符。

① 梯度 (Gradient)：
梯度是作用于标量场 (scalar field) 的微分算符，它将标量场转换为矢量场。对于一个标量场 \(\phi(x, y, z)\)，其梯度 \(\nabla \phi\) 定义为一个矢量场，指向标量场增长最快的方向，其大小等于该方向上的变化率。在笛卡尔坐标系中，梯度算符 \(\nabla\) (nabla) 定义为：
\[ \nabla = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \]
标量场 \(\phi(x, y, z)\) 的梯度为：
\[ \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k} = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) \]
梯度 \(\nabla \phi\) 垂直于标量场 \(\phi\) 的等值面 (equipotential surface)。例如，电势的梯度是电场（\(\vec{E} = -\nabla V\)），温度场的梯度是热流密度等。

② 散度 (Divergence)：
散度是作用于矢量场 (vector field) 的微分算符，它将矢量场转换为标量场。对于一个矢量场 \(\vec{F}(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)\)，其散度 \(\nabla \cdot \vec{F}\) 定义为一个标量场，表示矢量场在某点发散或汇聚的程度。在笛卡尔坐标系中，矢量场 \(\vec{F}\) 的散度为：
\[ \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \]
散度 \(\nabla \cdot \vec{F}\) 的物理意义是矢量场在某点单位体积内的通量源密度。例如，静电场 \(\vec{E}\) 的散度与电荷密度 \(\rho\) 成正比（\(\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\)，高斯定律的微分形式），流体速度场 \(\vec{v}\) 的散度表示流体的膨胀率。

③ 旋度 (Curl)：
旋度是作用于矢量场 (vector field) 的微分算符，它将矢量场转换为另一个矢量场。对于一个矢量场 \(\vec{F}(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z)\)，其旋度 \(\nabla \times \vec{F}\) 定义为一个矢量场，表示矢量场在某点绕轴旋转的程度和方向。在笛卡尔坐标系中，矢量场 \(\vec{F}\) 的旋度为：
\[ \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k} \]
或表示为行列式：
\[ \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \]
旋度 \(\nabla \times \vec{F}\) 的物理意义是矢量场在某点微元环路上的环量密度。例如，静磁场 \(\vec{B}\) 的旋度与电流密度 \(\vec{J}\) 成正比（\(\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}\)，安培环路定律的微分形式），流体速度场 \(\vec{v}\) 的旋度表示流体的旋转强度。

④ 矢量恒等式 (Vector Identities)：
矢量微积分中存在许多重要的恒等式，这些恒等式在物理学中经常被使用，例如：
⚝ 梯度的旋度为零： \(\nabla \times (\nabla \phi) = \vec{0}\)
⚝ 旋度的散度为零： \(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0\)
⚝ 拉普拉斯算符 (Laplacian operator) \(\nabla^2\)： \(\nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\)
⚝ 矢量三重叉积公式： \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b})\)

11.1.3 曲线坐标系 (Curvilinear Coordinates)

笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 在描述具有简单几何形状的问题时非常方便，但对于具有复杂几何形状的问题，例如圆柱形或球形对称问题，使用曲线坐标系 (curvilinear coordinates) 会更加方便。常用的曲线坐标系包括柱坐标系 (cylindrical coordinates) 和球坐标系 (spherical coordinates)。

① 柱坐标系 (Cylindrical Coordinates)：
柱坐标系 \((r, \theta, z)\) 使用径向距离 \(r\)、方位角 \(\theta\) 和高度 \(z\) 来描述空间中的点。柱坐标 \((r, \theta, z)\) 与笛卡尔坐标 \((x, y, z)\) 之间的变换关系为：
\[ x = r \cos\theta \]
\[ y = r \sin\theta \]
\[ z = z \]
反变换关系为：
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
\[ z = z \]
柱坐标系的单位矢量为 \(\hat{r}\)、\(\hat{\theta}\) 和 \(\hat{z}\)，它们是正交的，且 \(\hat{r}\) 和 \(\hat{\theta}\) 是随位置变化的，而 \(\hat{z}\) 是固定方向的。矢量 \(\vec{A}\) 在柱坐标系中表示为：
\[ \vec{A} = A_r \hat{r} + A_\theta \hat{\theta} + A_z \hat{z} \]
梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符在柱坐标系中的表达式为：
⚝ 梯度： \(\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{z}\)
⚝ 散度： \(\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\)
⚝ 旋度： \(\nabla \times \vec{A} = \left( \frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial z} \right) \hat{r} + \left( \frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right) \hat{\theta} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} (r A_\theta) - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \hat{z}\)
⚝ 拉普拉斯算符： \(\nabla^2 \phi = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial \phi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\)

② 球坐标系 (Spherical Coordinates)：
球坐标系 \((r, \theta, \phi)\) 使用径向距离 \(r\)、极角 \(\theta\) (与 \(z\) 轴的夹角，\(0 \le \theta \le \pi\)) 和方位角 \(\phi\) (在 \(xy\) 平面上的角度，\(0 \le \phi < 2\pi\)) 来描述空间中的点。球坐标 \((r, \theta, \phi)\) 与笛卡尔坐标 \((x, y, z)\) 之间的变换关系为：
\[ x = r \sin\theta \cos\phi \]
\[ y = r \sin\theta \sin\phi \]
\[ z = r \cos\theta \]
反变换关系为：
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]
\[ \theta = \arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right) \]
\[ \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]
球坐标系的单位矢量为 \(\hat{r}\)、\(\hat{\theta}\) 和 \(\hat{\phi}\)，它们也是正交的，且 \(\hat{r}\)、\(\hat{\theta}\) 和 \(\hat{\phi}\) 都是随位置变化的。矢量 \(\vec{A}\) 在球坐标系中表示为：
\[ \vec{A} = A_r \hat{r} + A_\theta \hat{\theta} + A_\phi \hat{\phi} \]
梯度、散度、旋度和拉普拉斯算符在球坐标系中的表达式为：
⚝ 梯度： \(\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial \phi}{\partial \phi} \hat{\phi}\)
⚝ 散度： \(\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta A_\theta) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\)
⚝ 旋度： \(\nabla \times \vec{A} = \frac{1}{r \sin\theta} \left( \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta A_\phi) - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right) \hat{r} + \frac{1}{r} \left( \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial r} (r A_\phi) \right) \hat{\theta} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} (r A_\theta) - \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \hat{\phi}\)
⚝ 拉普拉斯算符： \(\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial \phi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \phi^2}\)

11.2 微分方程 (Differential Equations)

微分方程 (differential equations) 是描述物理规律的重要数学工具。物理学中的许多定律，如牛顿运动定律、麦克斯韦方程组、薛定谔方程等，都可以用微分方程来表示。微分方程分为常微分方程 (ordinary differential equations, ODEs) 和偏微分方程 (partial differential equations, PDEs) 两大类。本节将介绍常微分方程和偏微分方程的基本概念和求解方法，以及物理学中常见的偏微分方程。

11.2.1 常微分方程 (Ordinary Differential Equations)

常微分方程 (ordinary differential equations, ODEs) 是指方程中未知函数只含有一个自变量的微分方程。常微分方程在力学、电路分析、热力学等工程物理领域有广泛应用。

① 一阶微分方程 (First-Order Differential Equations)：
一阶微分方程是指方程中含有未知函数的一阶导数的微分方程。其一般形式为：
\[ F(x, y, y') = 0 \]
或显式形式为：
\[ y' = f(x, y) \]
常见的一阶微分方程类型及其求解方法包括：
⚝ 可分离变量的微分方程 (Separable Differential Equations)：形如 \(g(y) dy = h(x) dx\) 的方程，可以通过两边积分直接求解：
\[ \int g(y) dy = \int h(x) dx + C \]
⚝ 齐次微分方程 (Homogeneous Differential Equations)：形如 \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\) 的方程，可以通过变量代换 \(u = \frac{y}{x}\) 化为可分离变量的微分方程求解。
⚝ 线性一阶微分方程 (Linear First-Order Differential Equations)：形如 \(y' + P(x) y = Q(x)\) 的方程，可以使用积分因子法 (integrating factor method) 求解。积分因子为 \(e^{\int P(x) dx}\)，方程两边同乘以积分因子后，左边变为 \(\frac{d}{dx} \left( y e^{\int P(x) dx} \right)\)，然后积分求解。
⚝ 伯努利方程 (Bernoulli Equation)：形如 \(y' + P(x) y = Q(x) y^n\) 的方程，可以通过变量代换 \(u = y^{1-n}\) 化为线性一阶微分方程求解。

② 二阶线性微分方程 (Second-Order Linear Differential Equations)：
二阶线性微分方程是指方程中含有未知函数的二阶导数，且关于未知函数及其导数是线性的微分方程。其一般形式为：
\[ y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x) \]
如果 \(f(x) = 0\)，则称为齐次二阶线性微分方程 (homogeneous second-order linear differential equation)；如果 \(f(x) \neq 0\)，则称为非齐次二阶线性微分方程 (non-homogeneous second-order linear differential equation)。对于常系数二阶线性微分方程 (constant coefficient second-order linear differential equations)，即 \(p(x) = p\) 和 \(q(x) = q\) 为常数的情况，有成熟的求解方法：
⚝ 齐次常系数二阶线性微分方程 (Homogeneous Constant Coefficient Second-Order Linear Differential Equations)：形如 \(ay'' + by' + cy = 0\) 的方程，可以通过特征方程 \(ar^2 + br + c = 0\) 的根 \(r\) 来确定通解的形式。根据特征根的判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 的不同情况，通解有三种形式：
▮▮▮▮⚝ \(\Delta > 0\)，两个不相等的实根 \(r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)，通解为 \(y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)。
▮▮▮▮⚝ \(\Delta = 0\)，两个相等的实根 \(r = -\frac{b}{2a}\)，通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x}\)。
▮▮▮▮⚝ \(\Delta < 0\)，一对共轭复根 \(r_{1,2} = \alpha \pm i\beta\)，其中 \(\alpha = -\frac{b}{2a}\)，\(\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\)，通解为 \(y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\)。
⚝ 非齐次常系数二阶线性微分方程 (Non-homogeneous Constant Coefficient Second-Order Linear Differential Equations)：形如 \(ay'' + by' + cy = f(x)\) 的方程，其通解为对应的齐次方程的通解 \(y_h(x)\) 与一个特解 \(y_p(x)\) 之和，即 \(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\)。特解 \(y_p(x)\) 可以使用待定系数法 (method of undetermined coefficients) 或常数变易法 (method of variation of parameters) 求解。

11.2.2 偏微分方程与分离变量法 (Partial Differential Equations and Separation of Variables)

偏微分方程 (partial differential equations, PDEs) 是指方程中未知函数含有两个或多个自变量的微分方程，且方程中含有未知函数对多个自变量的偏导数。偏微分方程在波动现象、热传导、流体力学、电磁场理论和量子力学等领域有广泛的应用。

① 偏微分方程的类型 (Types of Partial Differential Equations)：
常见的二阶线性偏微分方程可以分为三类：
⚝ 椭圆形偏微分方程 (Elliptic Partial Differential Equations)：如拉普拉斯方程 (Laplace's equation) 和泊松方程 (Poisson's equation)，描述稳定状态或平衡态的物理现象，例如静电场、稳恒电流场、热稳态分布等。
⚝ 抛物线形偏微分方程 (Parabolic Partial Differential Equations)：如热传导方程 (heat conduction equation) 和扩散方程 (diffusion equation)，描述随时间缓慢变化的物理过程，例如热传导过程、物质扩散过程等。
⚝ 双曲线形偏微分方程 (Hyperbolic Partial Differential Equations)：如波动方程 (wave equation)，描述波动传播现象，例如机械波、电磁波等。

② 分离变量法 (Separation of Variables)：
分离变量法 (separation of variables) 是求解某些类型偏微分方程的常用方法，特别是对于具有特定边界条件的线性偏微分方程。其基本思想是将偏微分方程的解设为各个自变量函数乘积的形式，例如对于二元函数 \(u(x, y)\)，设解为 \(u(x, y) = X(x) Y(y)\)。将此解代入偏微分方程，通过适当的变换，将偏微分方程转化为若干个常微分方程，然后分别求解常微分方程，再将解组合起来得到偏微分方程的解。

分离变量法的步骤通常包括：
1. 假设解的形式：根据方程的特点和边界条件，假设解为各个自变量函数乘积的形式。
2. 代入方程并分离变量：将假设的解代入偏微分方程，通过代数运算和微分运算，将方程分离为若干个常微分方程，每个常微分方程只含有一个自变量。
3. 求解常微分方程：分别求解得到的常微分方程，得到各个自变量函数的解。
4. 组合解并满足边界条件：将各个自变量函数的解组合起来，得到偏微分方程的通解。根据给定的边界条件或初始条件，确定解中的任意常数，得到满足特定条件的特解。

11.2.3 物理学中常见的偏微分方程 (Common Partial Differential Equations in Physics)

物理学中常见的偏微分方程有很多，例如：

① 拉普拉斯方程 (Laplace's Equation)：
拉普拉斯方程 \(\nabla^2 \phi = 0\) 是一个二阶椭圆形偏微分方程，在静电场理论、稳恒电流场、引力场理论、热传导稳态问题、理想流体的无旋流动等领域有广泛应用。在笛卡尔坐标系中，拉普拉斯方程为：
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 \]

② 泊松方程 (Poisson's Equation)：
泊松方程 \(\nabla^2 \phi = f\) 是拉普拉斯方程的推广，也是一个二阶椭圆形偏微分方程，其中 \(f\) 是给定的源项。在静电场理论中，泊松方程描述电势与电荷密度之间的关系（\(\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}\)）；在引力场理论中，泊松方程描述引力势与质量密度之间的关系。在笛卡尔坐标系中，泊松方程为：
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = f(x, y, z) \]

③ 波动方程 (Wave Equation)：
波动方程 \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 u\) 是一个二阶双曲线形偏微分方程，描述各种波动现象，例如机械波（如弦的振动、声波）、电磁波等，其中 \(v\) 是波的传播速度，\(u\) 是波的位移或场量。在一维情况下，波动方程为：
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

④ 热传导方程 (Heat Conduction Equation)：
热传导方程 \(\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T\) 是一个二阶抛物线形偏微分方程，描述热量在介质中的传导过程，其中 \(T\) 是温度，\(\alpha\) 是热扩散系数。在稳态情况下，热传导方程退化为拉普拉斯方程。在一维情况下，热传导方程为：
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \]

⑤ 薛定谔方程 (Schrödinger Equation)：
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程，描述量子系统的状态随时间演化的规律。薛定谔方程分为含时薛定谔方程 (time-dependent Schrödinger equation) 和定态薛定谔方程 (time-independent Schrödinger equation)。
⚝ 含时薛定谔方程： \(i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi\)，描述量子态 \(\Psi\) 随时间演化的规律，其中 \(\hat{H}\) 是哈密顿算符 (Hamiltonian operator)，\(\hbar\) 是约化普朗克常数。
⚝ 定态薛定谔方程： \(\hat{H} \Psi = E \Psi\)，描述定态 (stationary state) 的波函数 \(\Psi\) 和能量 \(E\)。

11.3 傅里叶分析 (Fourier Analysis)

傅里叶分析 (Fourier analysis) 是一种将函数分解为三角函数（正弦函数和余弦函数）之和的数学方法。傅里叶分析在信号处理 (signal processing)、图像处理 (image processing)、光学 (optics)、量子力学 (quantum mechanics) 等领域有广泛应用。傅里叶分析主要包括傅里叶级数 (Fourier series)、傅里叶变换 (Fourier transform) 和离散傅里叶变换 (discrete Fourier transform, DFT)。

11.3.1 傅里叶级数 (Fourier Series)

傅里叶级数 (Fourier series) 用于将周期函数 (periodic function) 分解为三角函数级数之和。设 \(f(x)\) 是一个周期为 \(T\) 的周期函数，满足狄利克雷条件 (Dirichlet conditions)，则 \(f(x)\) 可以展开为傅里叶级数：
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] \]
其中，傅里叶系数 (Fourier coefficients) \(a_0\)、\(a_n\) 和 \(b_n\) 可以通过欧拉公式 (Euler's formulas) 计算：
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) dx \]
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx \]
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) dx \]
对于周期为 \(2\pi\) 的周期函数，傅里叶级数展开为：
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \]
傅里叶系数为：
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx \]
傅里叶级数还可以用复指数形式表示：
\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 x} \]
其中 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) 是基频，复傅里叶系数 \(c_n\) 为：
\[ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i n \omega_0 x} dx \]
实傅里叶系数和复傅里叶系数之间的关系为：
\[ a_0 = 2c_0 \]
\[ a_n = c_n + c_{-n} \]
\[ b_n = i(c_n - c_{-n}) \]

11.3.2 傅里叶变换 (Fourier Transform)

傅里叶变换 (Fourier transform) 是傅里叶分析从周期函数推广到非周期函数 (non-periodic function) 的重要工具。傅里叶变换将时域函数 \(f(t)\) 变换到频域函数 \(F(\omega)\)，揭示函数的频率成分。傅里叶变换对 (Fourier transform pair) 定义为：
\[ F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]
\[ f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega \]
其中 \(F(\omega)\) 称为 \(f(t)\) 的傅里叶变换，\(f(t)\) 称为 \(F(\omega)\) 的傅里叶逆变换。傅里叶变换具有许多重要的性质，如线性性、时移性、频移性、尺度变换性、微分性质、卷积定理等。

傅里叶变换在物理学中的应用非常广泛，例如：
⚝ 信号分析 (Signal Analysis)：傅里叶变换可以将时域信号分解为频率成分，分析信号的频谱特性，例如音频信号、电磁波信号等。
⚝ 光学 (Optics)：傅里叶光学 (Fourier optics) 利用傅里叶变换分析光波的衍射 (diffraction) 和成像 (imaging) 过程。例如，透镜的成像过程可以看作是光场在频域的滤波过程。
⚝ 量子力学 (Quantum Mechanics)：量子力学中的波函数在动量空间和位置空间之间可以通过傅里叶变换相互转换。

11.3.3 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform)

离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT) 是傅里叶变换在离散信号 (discrete signal) 上的形式，用于处理计算机中存储的离散数据。对于长度为 \(N\) 的离散信号 \(x[n]\) (\(n = 0, 1, \dots, N-1\))，其离散傅里叶变换 \(X[k]\) (\(k = 0, 1, \dots, N-1\)) 定义为：
\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i \frac{2\pi}{N} kn} \]
离散傅里叶逆变换 (Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT) 为：
\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i \frac{2\pi}{N} kn} \]
离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT) 算法高效计算，大大提高了计算效率。离散傅里叶变换在数字信号处理 (digital signal processing) 中有广泛应用，例如数字滤波 (digital filtering)、频谱分析 (spectrum analysis)、图像压缩 (image compression) 等。

11.4 复变函数分析初步 (Introduction to Complex Analysis)

复变函数分析 (complex analysis) 是研究复数 (complex numbers) 和复变函数 (complex functions) 的数学分支。复变函数分析在流体力学 (fluid mechanics)、电磁场理论 (electromagnetic field theory)、量子力学 (quantum mechanics) 等领域有重要应用。本节将初步介绍复数、复变函数、复变函数微分 (complex differentiation) 和复变函数积分 (complex integration) 的基本概念和定理。

11.4.1 复数与复变函数 (Complex Numbers and Complex Functions)

① 复数 (Complex Numbers)：
复数 \(z\) 可以表示为代数形式 (algebraic form) \(z = x + iy\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。\(x\) 称为复数 \(z\) 的实部 (real part)，记为 \(Re(z) = x\)，\(y\) 称为复数 \(z\) 的虚部 (imaginary part)，记为 \(Im(z) = y\)。复数也可以表示为极坐标形式 (polar form) \(z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，其中 \(r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}\) 是复数 \(z\) 的模 (modulus) 或绝对值，\(\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) 是复数 \(z\) 的辐角 (argument)。

复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
⚝ 加法： \((x_1 + iy_1) + (x_2 + iy_2) = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)\)
⚝ 乘法： \((x_1 + iy_1) (x_2 + iy_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1)\)
⚝ 除法： \(\frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)}{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i(x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}\)

② 复变函数 (Complex Functions)：
复变函数是指自变量和因变量都是复数的函数，即 \(w = f(z)\)，其中 \(z = x + iy\) 和 \(w = u + iv\) 都是复数。复变函数可以看作是从复平面 (complex plane) 到复平面的映射。常见的复变函数类型包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等。例如，复指数函数定义为 \(e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i\sin y)\)。

11.4.2 复变函数微分与解析函数 (Complex Differentiation and Analytic Functions)

① 复变函数微分 (Complex Differentiation)：
复变函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 的导数 (derivative) 定义为：
\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} \]
如果极限存在，则称 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 可导 (differentiable)。复变函数微分的运算法则与实变函数微分的运算法则类似。

② 解析函数 (Analytic Functions)：
如果复变函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内每一点都可导，则称 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析 (analytic) 或全纯 (holomorphic)。解析函数具有许多重要的性质，例如无限次可导、局部幂级数展开等。判断复变函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 解析的充要条件是柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations)：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]
如果 \(u(x, y)\) 和 \(v(x, y)\) 满足柯西-黎曼方程，且偏导数 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}\) 在区域 \(D\) 内连续，则 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 在区域 \(D\) 内解析。

11.4.3 复变函数积分与留数定理 (Complex Integration and Residue Theorem)

① 复变函数积分 (Complex Integration)：
复变函数积分是沿复平面上曲线 (contour) 的积分。设 \(C\) 是复平面上的一条光滑曲线，复变函数 \(f(z)\) 沿曲线 \(C\) 的积分定义为：
\[ \int_C f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) dt \]
其中 \(z(t)\) (\(a \le t \le b\)) 是曲线 \(C\) 的参数方程，\(z'(t) = \frac{dz}{dt}\)。复变函数积分具有线性性、可加性等性质。

② 柯西积分定理 (Cauchy's Integral Theorem)：
柯西积分定理是复变函数积分理论中的一个基本定理。如果 \(f(z)\) 在单连通区域 \(D\) 内解析，\(C\) 是 \(D\) 内的任一闭合曲线，则：
\[ \oint_C f(z) dz = 0 \]
即解析函数沿闭合曲线的积分为零。

③ 留数定理 (Residue Theorem)：
留数定理是计算某些复变函数沿闭合曲线积分的重要工具。设 \(f(z)\) 在闭合曲线 \(C\) 的内部除有限个孤立奇点 (isolated singularities) \(z_1, z_2, \dots, z_n\) 外解析，则：
\[ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n Res(f, z_k) \]
其中 \(Res(f, z_k)\) 是 \(f(z)\) 在奇点 \(z_k\) 的留数 (residue)。留数 \(Res(f, z_k)\) 可以通过洛朗展开 (Laurent series expansion) 或公式计算。例如，如果 \(z_k\) 是 \(f(z)\) 的一阶极点 (simple pole)，则留数为：
\[ Res(f, z_k) = \lim_{z \to z_k} (z - z_k) f(z) \]

11.5 概率与统计初步 (Introduction to Probability and Statistics)

概率论 (probability theory) 和数理统计 (mathematical statistics) 是研究随机现象规律性的数学分支。在工程物理实验数据分析、统计物理 (statistical physics)、随机过程分析等领域，概率与统计方法是不可或缺的工具。本节将初步介绍概率的基本概念、随机变量与概率分布、以及数理统计的基本概念和方法。

11.5.1 概率的基本概念 (Basic Concepts of Probability)

① 随机事件 (Random Events)：
随机事件 (random events) 是指在随机试验中可能发生也可能不发生的事件。随机事件通常用大写字母 \(A, B, C, \dots\) 表示。基本事件 (elementary event) 是指随机试验的每一个可能结果。样本空间 (sample space) \(\Omega\) 是所有基本事件的集合。

② 概率 (Probability)：
概率 (probability) 是描述随机事件发生可能性大小的度量，取值范围为 \([0, 1]\)。对于随机事件 \(A\)，其概率 \(P(A)\) 满足：
⚝ 非负性： \(P(A) \ge 0\)
⚝ 规范性： \(P(\Omega) = 1\)
⚝ 可加性： 对于互斥事件 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)，有 \(P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = \sum_{i=1}^n P(A_i)\)

③ 条件概率 (Conditional Probability)：
条件概率 (conditional probability) 是指在已知事件 \(B\) 发生的条件下，事件 \(A\) 发生的概率，记为 \(P(A|B)\)，定义为：
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
其中 \(P(B) > 0\)，\(P(A \cap B)\) 是事件 \(A\) 和事件 \(B\) 同时发生的概率。

④ 贝叶斯定理 (Bayes' Theorem)：
贝叶斯定理 (Bayes' theorem) 描述了条件概率与逆条件概率之间的关系。对于事件 \(A\) 和 \(B\)，贝叶斯定理为：
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} \]
贝叶斯定理在统计推断、模式识别、机器学习等领域有重要应用。

11.5.2 随机变量与概率分布 (Random Variables and Probability Distributions)

① 随机变量 (Random Variables)：
随机变量 (random variables) 是指取值具有随机性的变量，通常用大写字母 \(X, Y, Z, \dots\) 表示。随机变量分为离散随机变量 (discrete random variable) 和连续随机变量 (continuous random variable)。
⚝ 离散随机变量：取值只能是有限个或可列个值的随机变量，例如掷骰子的点数、某段时间内到达服务台的顾客人数等。
⚝ 连续随机变量：取值可以在某个连续区间内的随机变量，例如人的身高、温度、电压等。

② 概率分布 (Probability Distributions)：
概率分布 (probability distributions) 描述了随机变量取值的概率规律。
⚝ 离散随机变量的概率分布：用概率质量函数 (probability mass function, PMF) 描述，记为 \(P(X = x_i) = p_i\)，表示随机变量 \(X\) 取值为 \(x_i\) 的概率。常见的离散概率分布包括：
▮▮▮▮⚝ 二项分布 (Binomial Distribution)：描述 \(n\) 次独立重复伯努利试验中成功的次数的分布。
▮▮▮▮⚝ 泊松分布 (Poisson Distribution)：描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的分布，常用于稀有事件的计数。
⚝ 连续随机变量的概率分布：用概率密度函数 (probability density function, PDF) 描述，记为 \(f(x)\)，表示随机变量 \(X\) 在 \(x\) 附近单位长度内的概率密度。随机变量 \(X\) 在区间 \([a, b]\) 内的概率为 \(P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx\)。常见的连续概率分布包括：
▮▮▮▮⚝ 正态分布 (Normal Distribution)：也称高斯分布 (Gaussian distribution)，是最重要的连续概率分布之一，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
▮▮▮▮⚝ 均匀分布 (Uniform Distribution)：在给定区间内概率密度均匀分布的概率分布。
▮▮▮▮⚝ 指数分布 (Exponential Distribution)：描述独立随机事件发生的时间间隔的分布，常用于寿命分析、排队论等。

11.5.3 数理统计初步 (Introduction to Mathematical Statistics)

① 总体与样本 (Population and Sample)：
在数理统计中，总体 (population) 是指研究对象的全体，样本 (sample) 是从总体中抽取的一部分个体。数理统计的任务是通过分析样本数据来推断总体的特征。

② 统计量 (Statistic)：
统计量 (statistic) 是指样本的函数，不依赖于任何未知参数，例如样本均值 (sample mean) \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\)、样本方差 (sample variance) \(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\) 等。

③ 参数估计 (Parameter Estimation)：
参数估计 (parameter estimation) 是指用样本统计量来估计总体参数 (population parameter) 的过程。参数估计分为点估计 (point estimation) 和区间估计 (interval estimation)。
⚝ 点估计：用一个样本统计量的值作为总体参数的估计值。常用的点估计方法包括矩估计法 (method of moments)、最大似然估计法 (maximum likelihood estimation) 等。
⚝ 区间估计：用一个区间来估计总体参数的取值范围，并给出估计的可靠程度（置信水平，confidence level）。

④ 假设检验 (Hypothesis Testing)：
假设检验 (hypothesis testing) 是指根据样本数据判断对总体参数的某种假设是否成立的过程。假设检验的基本思想是小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。假设检验的步骤通常包括：
1. 提出原假设 (null hypothesis) \(H_0\) 和备择假设 (alternative hypothesis) \(H_1\)。
2. 选择适当的检验统计量 (test statistic)。
3. 确定拒绝域 (rejection region) 和显著性水平 (significance level) \(\alpha\)。
4. 计算检验统计量的观测值，并判断是否落入拒绝域。
5. 根据判断结果，做出接受或拒绝原假设的结论。

本章介绍了工程物理学中常用的数学物理方法，包括矢量分析、微分方程、傅里叶分析、复变函数分析和概率与统计。掌握这些数学工具，对于深入理解和应用工程物理学知识至关重要。希望读者通过本章的学习，能够熟练运用这些数学方法，解决实际工程和物理问题，为未来的学习和研究奠定坚实的基础。

Appendix A: 常用物理常数表 (Table of Common Physical Constants)

本附录收录了工程物理学中常用的物理常数，如 light speed in vacuum (真空中光速), Planck constant (普朗克常数), elementary charge (元电荷), electron mass (电子质量), proton mass (质子质量), Boltzmann constant (玻尔兹曼常数), Avogadro constant (阿伏伽德罗常数), gravitational constant (引力常数) 等，方便读者查阅。

Appendix A1: 基本物理常数 (Basic Physical Constants)

本节列出工程物理学中一些最基本且常用的物理常数，这些常数在各个物理分支和工程领域中都有着广泛的应用。

① 真空中光速 (light speed in vacuum)
▮ 符号 (Symbol): \( c \)
▮ 数值 (Value): \( 2.99792458 \times 10^8 \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{m/s} \)
▮ 描述 (Description): 真空中电磁波传播的速度，是狭义相对论的基础，也是长度单位“米 (meter)”的定义依据。

② 普朗克常数 (Planck constant)
▮ 符号 (Symbol): \( h \)
▮ 数值 (Value): \( 6.62607015 \times 10^{-34} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{J⋅s} \) 或 \( \text{eV⋅s} \)
▮ 描述 (Description): 量子力学中最基本的常数，联系了 photon (光子) 的能量和频率，定义了能量量子化的基本尺度。也常用约化普朗克常数 \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \)。

③ 约化普朗克常数 (reduced Planck constant)
▮ 符号 (Symbol): \( \hbar \)
▮ 数值 (Value): \( 1.054571817 \times 10^{-34} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{J⋅s} \) 或 \( \text{eV⋅s} \)
▮ 描述 (Description): 在量子力学计算中比普朗克常数更常用的形式，尤其在角动量和能量的量子化中。\( \hbar = h/2\pi \)。

④ 元电荷 (elementary charge)
▮ 符号 (Symbol): \( e \)
▮ 数值 (Value): \( 1.602176634 \times 10^{-19} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{C} \)
▮ 描述 (Description): 自然界中电荷量的最小单元，proton (质子) 携带正元电荷，electron (电子) 携带负元电荷。

⑤ 电子质量 (electron mass)
▮ 符号 (Symbol): \( m_e \)
▮ 数值 (Value): \( 9.1093837015 \times 10^{-31} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{kg} \) 或 \( \text{MeV/c}^2 \)
▮ 描述 (Description): electron (电子) 的静止质量，是 atomic physics (原子物理学)、solid-state physics (固体物理学) 等领域的重要参数。

⑥ 质子质量 (proton mass)
▮ 符号 (Symbol): \( m_p \)
▮ 数值 (Value): \( 1.67262192369 \times 10^{-27} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{kg} \) 或 \( \text{MeV/c}^2 \)
▮ 描述 (Description): proton (质子) 的静止质量，是 nuclear physics (核物理学)、particle physics (粒子物理学) 等领域的重要参数。

⑦ 中子质量 (neutron mass)
▮ 符号 (Symbol): \( m_n \)
▮ 数值 (Value): \( 1.67492749804 \times 10^{-27} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{kg} \) 或 \( \text{MeV/c}^2 \)
▮ 描述 (Description): neutron (中子) 的静止质量，略大于 proton (质子) 质量，也是 nuclear physics (核物理学)、particle physics (粒子物理学) 等领域的重要参数。

⑧ 玻尔兹曼常数 (Boltzmann constant)
▮ 符号 (Symbol): \( k_B \) 或 \( k \)
▮ 数值 (Value): \( 1.380649 \times 10^{-23} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{J/K} \) 或 \( \text{eV/K} \)
▮ 描述 (Description): 连接 microscopic (微观) 能量尺度和 macroscopic (宏观) 温度尺度的常数，是 statistical mechanics (统计力学) 和 thermodynamics (热力学) 的核心常数。

⑨ 阿伏伽德罗常数 (Avogadro constant)
▮ 符号 (Symbol): \( N_A \)
▮ 数值 (Value): \( 6.02214076 \times 10^{23} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{mol}^{-1} \)
▮ 描述 (Description): 每 mole (摩尔) 物质所包含的 particles (粒子) 数目（例如 atoms (原子) 或 molecules (分子)），是连接 microscopic (微观) 和 macroscopic (宏观) 物质量的桥梁。

⑩ 引力常数 (gravitational constant)
▮ 符号 (Symbol): \( G \)
▮ 数值 (Value): \( 6.67430 \times 10^{-11} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{N⋅m}^2/\text{kg}^2 \) 或 \( \text{m}^3/(\text{kg⋅s}^2) \)
▮ 描述 (Description): Newton's law of universal gravitation (牛顿万有引力定律) 和 Einstein's theory of general relativity (爱因斯坦广义相对论) 中的基本常数，描述了 gravitational interaction (引力相互作用) 的强度。

⑪ 玻尔半径 (Bohr radius)
▮ 符号 (Symbol): \( a_0 \)
▮ 数值 (Value): \( 5.29177210903 \times 10^{-11} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{m} \)
▮ 描述 (Description): hydrogen atom (氢原子) 中 electron (电子) 轨道的最可能半径，是 atomic physics (原子物理学) 中长度的自然单位。

⑫ 真空介电常数 (vacuum permittivity) (或称电常数 electric constant)
▮ 符号 (Symbol): \( \varepsilon_0 \)
▮ 数值 (Value): \( 8.8541878128 \times 10^{-12} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{F/m} \) 或 \( \text{C}^2/(\text{N⋅m}^2) \)
▮ 描述 (Description): 真空中电场的 permittivity (介电性质)，出现在 Coulomb's law (库仑定律) 和 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 中。

⑬ 真空磁导率 (vacuum permeability) (或称磁常数 magnetic constant)
▮ 符号 (Symbol): \( \mu_0 \)
▮ 数值 (Value): \( 4\pi \times 10^{-7} \) (精确值) 或 近似为 \( 1.25663706212 \times 10^{-6} \)
▮ 单位 (Unit): \( \text{H/m} \) 或 \( \text{N/A}^2 \)
▮ 描述 (Description): 真空中磁场的 permeability (磁导性质)，也出现在 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 中，与真空介电常数和光速之间存在关系 \( c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \)。

注意:
⚝ 上述数值均为 2018 CODATA 推荐值 (2018 CODATA recommended values)，实际使用时可能会根据精度要求取近似值。
⚝ 单位 (Unit) 中，\( \text{J} \) 代表焦耳 (joule)，\( \text{s} \) 代表秒 (second)，\( \text{m} \) 代表米 (meter)，\( \text{kg} \) 代表千克 (kilogram)，\( \text{C} \) 代表库仑 (coulomb)，\( \text{K} \) 代表开尔文 (kelvin)，\( \text{mol} \) 代表摩尔 (mole)，\( \text{N} \) 代表牛顿 (newton)，\( \text{F} \) 代表法拉 (farad)，\( \text{H} \) 代表亨利 (henry)，\( \text{eV} \) 代表电子伏特 (electronvolt)。

Appendix B: 常用数学公式与积分表 (Table of Common Mathematical Formulas and Integrals)

本附录整理了工程物理学中常用的数学公式，如 trigonometric functions (三角函数) 公式, derivative formulas (导数公式), integral formulas (积分公式), vector analysis formulas (矢量分析公式) 等，以及常用的不定积分和定积分表，方便读者进行 mathematical calculations (数学计算)。

Appendix B1: 常用三角函数公式 (Common Trigonometric Functions Formulas)

本节整理了工程物理学中常用的 trigonometric functions (三角函数) 公式，包括 fundamental identities (基本恒等式), sum and difference formulas (和差公式), double angle formulas (倍角公式), power reduction formulas (降幂公式), product-to-sum and sum-to-product formulas (积化和差与和差化积公式) 等。

Appendix B1.1: 基本恒等式 (Fundamental Identities)

本小节列出 trigonometric functions (三角函数) 的 fundamental identities (基本恒等式)，是三角函数运算的基础。

① 平方关系 (Pythagorean Identities):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
▮▮▮▮ⓒ \( 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \)
▮▮▮▮ⓓ \( 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \)

② 倒数关系 (Reciprocal Identities):
▮▮▮▮ⓑ \( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \)
▮▮▮▮ⓒ \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \)
▮▮▮▮ⓓ \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)
▮▮▮▮ⓔ \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

③ 商数关系 (Quotient Identities):
▮▮▮▮ⓑ \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
▮▮▮▮ⓒ \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)

④ 负角公式 (Negative Angle Identities):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin (-\theta) = -\sin \theta \)
▮▮▮▮ⓒ \( \cos (-\theta) = \cos \theta \)
▮▮▮▮ⓓ \( \tan (-\theta) = -\tan \theta \)
▮▮▮▮ⓔ \( \csc (-\theta) = -\csc \theta \)
▮▮▮▮ⓕ \( \sec (-\theta) = \sec \theta \)
▮▮▮▮ⓖ \( \cot (-\theta) = -\cot \theta \)

⑤ 互余角公式 (Complementary Angle Identities):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta \)
▮▮▮▮ⓒ \( \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta \)
▮▮▮▮ⓓ \( \tan (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta \)
▮▮▮▮ⓔ \( \csc (\frac{\pi}{2} - \theta) = \sec \theta \)
▮▮▮▮ⓕ \( \sec (\frac{\pi}{2} - \theta) = \csc \theta \)
▮▮▮▮ⓖ \( \cot (\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta \)

Appendix B1.2: 和差公式 (Sum and Difference Formulas)

本小节列出 trigonometric functions (三角函数) 的 sum and difference formulas (和差公式)，用于计算两角和或差的三角函数值。

① 正弦和差角公式 (Sine Sum and Difference Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
▮▮▮▮ⓒ \( \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)

② 余弦和差角公式 (Cosine Sum and Difference Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
▮▮▮▮ⓒ \( \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)

③ 正切和差角公式 (Tangent Sum and Difference Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \)
▮▮▮▮ⓒ \( \tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \)

Appendix B1.3: 倍角公式 (Double Angle Formulas)

本小节列出 trigonometric functions (三角函数) 的 double angle formulas (倍角公式)，用于计算二倍角的三角函数值。

① 正弦倍角公式 (Sine Double Angle Formula):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \)

② 余弦倍角公式 (Cosine Double Angle Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \)
▮▮▮▮ⓒ \( \cos (2\theta) = 2 \cos^2 \theta - 1 \)
▮▮▮▮ⓓ \( \cos (2\theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta \)

③ 正切倍角公式 (Tangent Double Angle Formula):
▮▮▮▮ⓑ \( \tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \)

Appendix B1.4: 降幂公式 (Power Reduction Formulas)

本小节列出 trigonometric functions (三角函数) 的 power reduction formulas (降幂公式)，用于降低三角函数幂次。

① 正弦降幂公式 (Sine Power Reduction Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{2} \)

② 余弦降幂公式 (Cosine Power Reduction Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos (2\theta)}{2} \)

③ 正切降幂公式 (Tangent Power Reduction Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \tan^2 \theta = \frac{1 - \cos (2\theta)}{1 + \cos (2\theta)} \)

Appendix B1.5: 积化和差与和差化积公式 (Product-to-Sum and Sum-to-Product Formulas)

本小节列出 trigonometric functions (三角函数) 的 product-to-sum and sum-to-product formulas (积化和差与和差化积公式)，用于三角函数式的化简和计算。

① 积化和差公式 (Product-to-Sum Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)] \)
▮▮▮▮ⓒ \( \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)] \)
▮▮▮▮ⓓ \( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)] \)
▮▮▮▮ⓔ \( \sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta)] \)

② 和差化积公式 (Sum-to-Product Formulas):
▮▮▮▮ⓑ \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
▮▮▮▮ⓒ \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos (\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin (\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
▮▮▮▮ⓓ \( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
▮▮▮▮ⓔ \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin (\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin (\frac{\alpha - \beta}{2}) \)

Appendix B2: 常用导数公式 (Common Derivative Formulas)

本节整理了工程物理学中常用的 derivative formulas (导数公式)，包括 basic derivative rules (基本导数法则), derivatives of elementary functions (初等函数导数) 等。

Appendix B2.1: 基本导数法则 (Basic Derivative Rules)

本小节列出 derivative operations (导数运算) 的 basic rules (基本法则)。

① 常数法则 (Constant Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (c) = 0 \) (where \( c \) is a constant (常数))

② 幂法则 (Power Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1} \) (for any real number \( n \))

③ 常数倍法则 (Constant Multiple Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} [c f(x)] = c \frac{d}{dx} [f(x)] \) (where \( c \) is a constant (常数))

④ 加法法则 (Sum Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)] + \frac{d}{dx} [g(x)] \)

⑤ 减法法则 (Difference Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} [f(x) - g(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)] - \frac{d}{dx} [g(x)] \)

⑥ 乘法法则 (Product Rule) (Leibniz's rule (莱布尼茨法则)):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] \)

⑦ 除法法则 (Quotient Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2} \)

⑧ 链式法则 (Chain Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) g'(x) \)

Appendix B2.2: 初等函数导数 (Derivatives of Elementary Functions)

本小节列出 elementary functions (初等函数) 的 derivative formulas (导数公式)。

① 指数函数 (Exponential Functions):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (e^x) = e^x \)
▮▮▮▮ⓒ \( \frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln a \) (for \( a > 0, a \neq 1 \))

② 对数函数 (Logarithmic Functions):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \) (for \( x > 0 \))
▮▮▮▮ⓒ \( \frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \) (for \( x > 0, a > 0, a \neq 1 \))

③ 三角函数 (Trigonometric Functions):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \)
▮▮▮▮ⓒ \( \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \)
▮▮▮▮ⓓ \( \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \)
▮▮▮▮ⓔ \( \frac{d}{dx} (\cot x) = -\csc^2 x \)
▮▮▮▮ⓕ \( \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x \)
▮▮▮▮ⓖ \( \frac{d}{dx} (\csc x) = -\csc x \cot x \)

④ 反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) (for \( |x| < 1 \))
▮▮▮▮ⓒ \( \frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) (for \( |x| < 1 \))
▮▮▮▮ⓓ \( \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
▮▮▮▮ⓔ \( \frac{d}{dx} (\text{arccot} x) = -\frac{1}{1 + x^2} \)
▮▮▮▮ⓕ \( \frac{d}{dx} (\text{arcsec} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \) (for \( |x| > 1 \))
▮▮▮▮ⓖ \( \frac{d}{dx} (\text{arccsc} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \) (for \( |x| > 1 \))

⑤ 双曲函数 (Hyperbolic Functions):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (\sinh x) = \cosh x \)
▮▮▮▮ⓒ \( \frac{d}{dx} (\cosh x) = \sinh x \)
▮▮▮▮ⓓ \( \frac{d}{dx} (\tanh x) = \text{sech}^2 x \)
▮▮▮▮ⓔ \( \frac{d}{dx} (\coth x) = -\text{csch}^2 x \)
▮▮▮▮ⓕ \( \frac{d}{dx} (\text{sech} x) = -\text{sech} x \tanh x \)
▮▮▮▮ⓖ \( \frac{d}{dx} (\text{csch} x) = -\text{csch} x \coth x \)

⑥ 反双曲函数 (Inverse Hyperbolic Functions):
▮▮▮▮ⓑ \( \frac{d}{dx} (\text{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
▮▮▮▮ⓒ \( \frac{d}{dx} (\text{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \) (for \( x > 1 \))
▮▮▮▮ⓓ \( \frac{d}{dx} (\text{artanh} x) = \frac{1}{1 - x^2} \) (for \( |x| < 1 \))
▮▮▮▮ⓔ \( \frac{d}{dx} (\text{arcoth} x) = \frac{1}{1 - x^2} \) (for \( |x| > 1 \))
▮▮▮▮ⓕ \( \frac{d}{dx} (\text{arsech} x) = -\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}} \) (for \( 0 < x < 1 \))
▮▮▮▮ⓖ \( \frac{d}{dx} (\text{arcsch} x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 + 1}} \) (for \( x \neq 0 \))

Appendix B3: 常用积分公式 (Common Integral Formulas)

本节整理了工程物理学中常用的 integral formulas (积分公式)，包括 basic integration rules (基本积分法则), common indefinite integrals (常用不定积分) 和 definite integrals (定积分) 等。

Appendix B3.1: 基本积分法则 (Basic Integration Rules)

本小节列出 integral operations (积分运算) 的 basic rules (基本法则)。

① 积分的线性性质 (Linearity of Integration):
▮▮▮▮ⓑ \( \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)
▮▮▮▮ⓒ \( \int c f(x) dx = c \int f(x) dx \) (where \( c \) is a constant (常数))

② 换元积分法 (Substitution Rule):
▮▮▮▮ⓑ \( \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \) where \( u = g(x) \)

③ 分部积分法 (Integration by Parts):
▮▮▮▮ⓑ \( \int u dv = uv - \int v du \)

Appendix B3.2: 常用不定积分表 (Table of Common Indefinite Integrals)

本小节列出 common indefinite integrals (常用不定积分) 表格。

Appendix B3.3: 常用定积分表 (Table of Common Definite Integrals)

本小节列出 common definite integrals (常用定积分) 表格，这些定积分在物理学中经常出现。

Appendix B4: 常用矢量分析公式 (Common Vector Analysis Formulas)

本节整理了工程物理学中常用的 vector analysis formulas (矢量分析公式)，包括 vector operations (矢量运算), gradient (梯度), divergence (散度), curl (旋度) 的在不同坐标系下的表达式，以及 integral theorems (积分定理) 等。

Appendix B4.1: 矢量运算公式 (Vector Operation Formulas)

本小节列出 vector operations (矢量运算) 的常用公式。

① 点积 (Dot Product) (标量积 (Scalar Product)):
▮▮▮▮ⓑ \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta \) (where \( \theta \) is the angle between \( \mathbf{A} \) and \( \mathbf{B} \))
▮▮▮▮ⓒ \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \) (in Cartesian coordinates (直角坐标系))

② 叉积 (Cross Product) (矢量积 (Vector Product)):
▮▮▮▮ⓑ \( |\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta \)
▮▮▮▮ⓒ \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} \) (in Cartesian coordinates (直角坐标系))

③ 标量三重积 (Scalar Triple Product):
▮▮▮▮ⓑ \( \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} \)

④ 矢量三重积 (Vector Triple Product) (BAC-CAB rule (BAC-CAB 法则)):
▮▮▮▮ⓑ \( \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \)

Appendix B4.2: 梯度、散度、旋度公式 (Gradient, Divergence, Curl Formulas)

本小节列出 gradient (梯度), divergence (散度), curl (旋度) 在 Cartesian coordinates (直角坐标系), cylindrical coordinates (柱坐标系), spherical coordinates (球坐标系) 下的表达式。

① Cartesian Coordinates (直角坐标系) \( (x, y, z) \):
▮▮▮▮ⓑ Gradient (梯度) of scalar field \( \phi \): \( \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k} \)
▮▮▮▮ⓒ Divergence (散度) of vector field \( \mathbf{F} = F_x \mathbf{i} + F_y \mathbf{j} + F_z \mathbf{k} \): \( \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \)
▮▮▮▮ⓓ Curl (旋度) of vector field \( \mathbf{F} \): \( \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}) \mathbf{i} + (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}) \mathbf{j} + (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}) \mathbf{k} \)
▮▮▮▮ⓔ Laplacian operator (拉普拉斯算符): \( \nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \)

② Cylindrical Coordinates (柱坐标系) \( (\rho, \phi, z) \):
▮▮▮▮ⓑ Gradient (梯度) of scalar field \( \phi \): \( \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho} \mathbf{e}_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial \phi}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{e}_z \)
▮▮▮▮ⓒ Divergence (散度) of vector field \( \mathbf{F} = F_\rho \mathbf{e}_\rho + F_\phi \mathbf{e}_\phi + F_z \mathbf{e}_z \): \( \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \)
▮▮▮▮ⓓ Curl (旋度) of vector field \( \mathbf{F} \): \( \nabla \times \mathbf{F} = (\frac{1}{\rho} \frac{\partial F_z}{\partial \phi} - \frac{\partial F_\phi}{\partial z}) \mathbf{e}_\rho + (\frac{\partial F_\rho}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial \rho}) \mathbf{e}_\phi + (\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho F_\phi) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial F_\rho}{\partial \phi}) \mathbf{e}_z \)
▮▮▮▮ⓔ Laplacian operator (拉普拉斯算符): \( \nabla^2 \phi = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \frac{\partial \phi}{\partial \rho}) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \)

③ Spherical Coordinates (球坐标系) \( (r, \theta, \phi) \):
▮▮▮▮ⓑ Gradient (梯度) of scalar field \( \phi \): \( \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial \phi}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi \)
▮▮▮▮ⓒ Divergence (散度) of vector field \( \mathbf{F} = F_r \mathbf{e}_r + F_\theta \mathbf{e}_\theta + F_\phi \mathbf{e}_\phi \): \( \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 F_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta F_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} \)
▮▮▮▮ⓓ Curl (旋度) of vector field \( \mathbf{F} \): \( \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{r \sin \theta} [\frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta F_\phi) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi}] \mathbf{e}_r + \frac{1}{r \sin \theta} [\frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} (r F_\phi)] \mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r} [\frac{\partial}{\partial r} (r F_\theta) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta}] \mathbf{e}_\phi \)
▮▮▮▮ⓔ Laplacian operator (拉普拉斯算符): \( \nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 \frac{\partial \phi}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \phi^2} \)

Appendix B4.3: 积分定理 (Integral Theorems)

本小节列出 vector calculus (矢量微积分) 中重要的 integral theorems (积分定理)，包括 gradient theorem (梯度定理), divergence theorem (散度定理), Stokes' theorem (斯托克斯定理) 。

① 梯度定理 (Gradient Theorem) (Fundamental Theorem of Gradient):
▮▮▮▮ⓑ \( \int_a^b \nabla \phi \cdot d\mathbf{l} = \phi(\mathbf{r}_b) - \phi(\mathbf{r}_a) \)

② 散度定理 (Divergence Theorem) (Gauss's Theorem (高斯定理)):
▮▮▮▮ⓑ \( \oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV \)

③ 斯托克斯定理 (Stokes' Theorem):
▮▮▮▮ⓑ \( \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} \)

Appendix C: 物理单位与量纲 (Physical Units and Dimensions)

物理单位与量纲 (Physical Units and Dimensions)

本附录旨在系统介绍国际单位制 (SI units) 的基本单位和常用导出单位，并深入探讨物理量的量纲分析方法。掌握物理单位与量纲 (physical units and dimensions) 是工程物理学 (Engineering Physics) 学习和应用的基础。正确使用物理单位，进行量纲校验，能够有效地保证物理公式和计算的正确性，避免概念混淆和错误结论。本附录将帮助读者建立清晰的单位与量纲体系，培养严谨的科学素养。

1. 国际单位制 (SI Units) 简介 (Introduction to the International System of Units (SI))

国际单位制 (Système International d'Unités)，简称 SI，是全球通用的标准计量系统。它由国际计量大会 (General Conference on Weights and Measures, CGPM) 制定和维护，为科学、工程和商业领域的测量提供了一致的框架。SI 单位制 (SI units) 基于七个基本单位 (base units)，通过定义明确的单位和前缀，构建了一个完整且 coherent (相干) 的单位体系。

1.1 SI 基本单位 (SI Base Units)

SI 单位制 (SI units) 的核心是七个定义明确的基本单位 (base units)，它们是构建整个单位体系的基石。每个基本单位都代表一个基本物理量 (base physical quantity)，其定义经过精确的科学界定，确保了测量的准确性和一致性。

① 长度 (length)：单位为 米 (metre, m) 📏。
▮▮▮▮米 (metre) 的定义： “米是光在真空中 \(1/299\,792\,458\) 秒的时间间隔内所行进的路径长度。” 这个定义将米与光速这一自然常数联系起来，保证了定义的稳定性和复现性。
② 质量 (mass)：单位为 千克 (kilogram, kg) ⚖️。
▮▮▮▮千克 (kilogram) 的定义： “千克是 SI 单位制中质量的单位，它等于普朗克常数 \(h\) 为 \(6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\) J⋅s 时所对应的质量单位。” 新的千克定义基于普朗克常数 \(h\)，实现了与量子力学常数的关联，取代了原先基于国际千克原器的定义，提高了稳定性和精确性。
③ 时间 (time)：单位为 秒 (second, s) ⏱️。
▮▮▮▮秒 (second) 的定义： “秒是铯-133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应辐射的 \(9\,192\,631\,770\) 个周期的时间间隔。” 秒的定义基于原子物理现象，利用原子跃迁频率的稳定性，提供了极高精度的时间标准。
④ 电流 (electric current)：单位为 安培 (ampere, A) ⚡。
▮▮▮▮安培 (ampere) 的定义： “安培是 SI 单位制中电流的单位，它是基本电荷 \(e\) 为 \(1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\) 库仑时，每秒通过某一截面的基本电荷数。” 安培的新定义基于基本电荷 \(e\)，将电流单位与量子化的电荷联系起来。
⑤ 热力学温度 (thermodynamic temperature)：单位为 开尔文 (kelvin, K) 🌡️。
▮▮▮▮开尔文 (kelvin) 的定义： “开尔文是热力学温度的单位，它是玻尔兹曼常数 \(k\) 为 \(1.380\,649 \times 10^{-23}\) J/K 时所对应的温度单位。” 开尔文的新定义基于玻尔兹曼常数 \(k\)，将温度单位与能量和微观粒子运动联系起来。
⑥ 物质的量 (amount of substance)：单位为 摩尔 (mole, mol) 🧪。
▮▮▮▮摩尔 (mole) 的定义： “摩尔是物质的量的单位，它包含 \(6.022\,140\,76 \times 10^{23}\) 个基本单元。使用摩尔时，基本单元必须被指明，它可以是原子、分子、离子、电子、其他粒子，或粒子的特定组合。” 摩尔的定义基于阿伏伽德罗常数 \(N_A\)，明确了物质的量与粒子数量之间的关系。
⑦ 发光强度 (luminous intensity)：单位为 坎德拉 (candela, cd) 💡。
▮▮▮▮坎德拉 (candela) 的定义： “坎德拉是给定方向上的发光强度单位，它是由频率为 \(540 \times 10^{12}\) 赫兹的单色辐射源在给定方向上，每球面度立体角上的辐射强度为 \(1/683\) 瓦特时所发出的发光强度。” 坎德拉的定义与人眼对光的感知有关，用于描述光源的亮度。

1.2 SI 导出单位 (SI Derived Units)

SI 导出单位 (SI derived units) 是通过基本单位 (base units) 之间进行乘、除运算组合而成的单位。它们用于描述各种各样的物理量，涵盖力学、电磁学、热学、光学等各个物理领域。 导出单位可以简化物理量的表达，并使公式更加简洁明了。

① 力 (force)：单位为 牛顿 (newton, N)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\)。 牛顿 (newton) 是使 \(1\,\text{kg}\) 质量的物体产生 \(1\,\text{m/s}^2\) 加速度的力。
② 能量 (energy)、功 (work)、热量 (heat)：单位为 焦耳 (joule, J)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot \text{m} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}\)。 焦耳 (joule) 是 \(1\,\text{N}\) 的力在力的方向上使物体移动 \(1\,\text{m}\) 所做的功。
③ 功率 (power)：单位为 瓦特 (watt, W)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{W} = 1\,\text{J} \cdot \text{s}^{-1} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3}\)。 瓦特 (watt) 是 \(1\,\text{J/s}\) 的能量转换率。
④ 压强 (pressure)、应力 (stress)：单位为 帕斯卡 (pascal, Pa)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{Pa} = 1\,\text{N} \cdot \text{m}^{-2} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}\)。 帕斯卡 (pascal) 是 \(1\,\text{N}\) 的力垂直作用在 \(1\,\text{m}^2\) 面积上的压强。
⑤ 电荷量 (electric charge)：单位为 库仑 (coulomb, C)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{C} = 1\,\text{A} \cdot \text{s}\)。 库仑 (coulomb) 是 \(1\,\text{A}\) 电流在 \(1\,\text{s}\) 时间内通过截面的电荷量。
⑥ 电势差 (electric potential difference)、电压 (voltage)：单位为 伏特 (volt, V)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{V} = 1\,\text{W} \cdot \text{A}^{-1} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-1}\)。 伏特 (volt) 是 \(1\,\text{W/A}\) 的电势差。
⑦ 电阻 (electric resistance)：单位为 欧姆 (ohm, Ω)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\Omega = 1\,\text{V} \cdot \text{A}^{-1} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-2}\)。 欧姆 (ohm) 是 \(1\,\text{V/A}\) 的电阻。
⑧ 电容 (capacitance)：单位为 法拉 (farad, F)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{F} = 1\,\text{C} \cdot \text{V}^{-1} = 1\,\text{A}^2 \cdot \text{s}^4 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{m}^{-2}\)。 法拉 (farad) 是 \(1\,\text{C/V}\) 的电容。
⑨ 磁通量 (magnetic flux)：单位为 韦伯 (weber, Wb)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{Wb} = 1\,\text{V} \cdot \text{s} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \cdot \text{A}^{-1}\)。 韦伯 (weber) 是 \(1\,\text{V} \cdot \text{s}\) 的磁通量。
⑩ 磁感应强度 (magnetic flux density)：单位为 特斯拉 (tesla, T)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{T} = 1\,\text{Wb} \cdot \text{m}^{-2} = 1\,\text{kg} \cdot \text{s}^{-2} \cdot \text{A}^{-1}\)。 特斯拉 (tesla) 是 \(1\,\text{Wb/m}^2\) 的磁感应强度。
⑪ 频率 (frequency)：单位为 赫兹 (hertz, Hz)。
▮▮▮▮定义：\(1\,\text{Hz} = 1\,\text{s}^{-1}\)。 赫兹 (hertz) 是每秒钟发生的周期性事件的次数。

1.3 SI 词头 (SI Prefixes)

为了表示物理量数量级的大小范围，SI 单位制 (SI units) 采用了一系列词头 (prefixes)。这些词头可以添加到 SI 单位 (SI units) 的前面，构成新的单位，方便表示非常大或非常小的数值。常用的 SI 词头如下表所示：

例如：
⚝ \(1\,\text{km} = 10^3\,\text{m}\) (千米)
⚝ \(1\,\text{MHz} = 10^6\,\text{Hz}\) (兆赫兹)
⚝ \(1\,\text{nm} = 10^{-9}\,\text{m}\) (纳米)
⚝ \(1\,\text{μA} = 10^{-6}\,\text{A}\) (微安)

2. 量纲分析 (Dimensional Analysis)

量纲 (dimension) 是物理量的基本属性，它描述了物理量的 nature (本质) 。量纲分析 (dimensional analysis) 是一种强大的工具，用于检查物理公式的正确性、推导物理关系以及进行单位换算。任何物理量都可以用基本量纲 (base dimensions) 的组合来表示。在力学中，常用的基本量纲包括：

⚝ 长度量纲 (dimension of length): \(\text{L}\)
⚝ 质量量纲 (dimension of mass): \(\text{M}\)
⚝ 时间量纲 (dimension of time): \(\text{T}\)

在电磁学中，还需要引入：

⚝ 电流强度量纲 (dimension of electric current): \(\text{I}\)
⚝ 热力学温度量纲 (dimension of thermodynamic temperature): \(\Theta\)
⚝ 物质的量量纲 (dimension of amount of substance): \(\text{N}\)
⚝ 发光强度量纲 (dimension of luminous intensity): \(\text{J}\)

通常，在工程物理学 (Engineering Physics) 中，力学和电磁学是最核心的部分，因此在很多情况下，使用 \(\text{L}\)、\(\text{M}\)、\(\text{T}\) 和 \(\text{I}\) 这四个基本量纲就足够进行量纲分析 (dimensional analysis) 了。

2.1 物理量的量纲表示 (Dimensional Representation of Physical Quantities)

任何物理量 \(Q\) 的量纲 \([Q]\) 可以表示为基本量纲的幂乘积形式：
\[ [Q] = \text{L}^\alpha \text{M}^\beta \text{T}^\gamma \text{I}^\delta \Theta^\epsilon \text{N}^\zeta \text{J}^\eta \]
其中，\(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta\) 为量纲指数 (dimensional exponents)，可以是整数、分数或零。

常见物理量的量纲 (Dimensions of common physical quantities):

无量纲量 (Dimensionless quantities)：有些物理量是 dimensionless (无量纲) 的，即其量纲为 \(1\)，或者所有量纲指数均为零，例如：
⚝ 折射率 (refractive index)
⚝ 相对介电常数 (relative permittivity)
⚝ 角度 (angle) (通常使用弧度 rad 作为单位，但弧度本身是 dimensionless (无量纲) 的，rad = m/m)
⚝ 效率 (efficiency)
⚝ 增益 (gain)

2.2 量纲一致性原则 (Principle of Dimensional Homogeneity)

量纲分析 (dimensional analysis) 的核心原则是 量纲一致性原则 (principle of dimensional homogeneity)。该原则指出：

① 加法和减法运算：只有量纲相同的物理量才能进行加法或减法运算。例如，长度可以加长度，但长度不能加时间。
② 等式两边量纲一致：任何物理方程，等式两边的物理量的量纲必须相同。这是一个物理公式正确的必要条件。

应用示例:

验证运动学公式 \(v = v_0 + at\) 的量纲一致性。
⚝ \([v]\) (末速度的量纲) = \(\text{L} \cdot \text{T}^{-1}\)
⚝ \([v_0]\) (初速度的量纲) = \(\text{L} \cdot \text{T}^{-1}\)
⚝ \([a]\) (加速度的量纲) = \(\text{L} \cdot \text{T}^{-2}\)
⚝ \([t]\) (时间的量纲) = \(\text{T}\)
⚝ \([at]\) (加速度与时间乘积的量纲) = \([a] \cdot [t] = (\text{L} \cdot \text{T}^{-2}) \cdot \text{T} = \text{L} \cdot \text{T}^{-1}\)

因此，公式右边 \(v_0 + at\) 的每一项都具有相同的量纲 \(\text{L} \cdot \text{T}^{-1}\)，与公式左边 \(v\) 的量纲 \(\text{L} \cdot \text{T}^{-1}\) 相同。故此公式满足量纲一致性原则，从量纲角度看是正确的。

验证能量公式 \(E = \frac{1}{2}mv^2\) 的量纲一致性。
⚝ \([E]\) (能量的量纲) = \(\text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}\)
⚝ \([m]\) (质量的量纲) = \(\text{M}\)
⚝ \([v^2]\) (速度平方的量纲) = \([v]^2 = (\text{L} \cdot \text{T}^{-1})^2 = \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}\)
⚝ \([\frac{1}{2}mv^2]\) ( \(\frac{1}{2}mv^2\) 的量纲) = \([\frac{1}{2}] \cdot [m] \cdot [v^2] = 1 \cdot \text{M} \cdot (\text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}) = \text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}\) (\([\frac{1}{2}] = 1\)，因为 \(\frac{1}{2}\) 是无量纲常数)

因此，公式右边 \(\frac{1}{2}mv^2\) 的量纲 \(\text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}\) 与公式左边 \(E\) 的量纲 \(\text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}\) 相同。故此公式满足量纲一致性原则，从量纲角度看是正确的。

2.3 量纲分析的应用 (Applications of Dimensional Analysis)

① 检查公式的正确性 (Checking the correctness of formulas)：
量纲分析 (dimensional analysis) 可以快速检查物理公式是否可能正确。如果公式两边的量纲不一致，则公式一定是错误的。反之，如果量纲一致，公式可能是正确的，但不能保证绝对正确，因为量纲分析无法检查无量纲常数和函数关系。

② 单位换算 (Unit conversion)：
量纲分析 (dimensional analysis) 可以用于不同单位制之间的换算。例如，将厘米每秒 (\(\text{cm/s}\)) 换算成米每秒 (\(\text{m/s}\))：
\[ 1\,\text{cm/s} = 1\,\text{cm} \cdot \text{s}^{-1} = (10^{-2}\,\text{m}) \cdot \text{s}^{-1} = 10^{-2}\,\text{m/s} \]

③ 推导物理关系 (Deriving physical relationships)：
在某些情况下，如果知道物理量之间存在某种函数关系，可以通过量纲分析 (dimensional analysis) 推导出它们之间的具体形式。例如，单摆周期 \(T\) 可能与摆长 \(l\)、质量 \(m\) 和重力加速度 \(g\) 有关。假设关系式为 \(T = C \cdot l^\alpha m^\beta g^\gamma\)，其中 \(C\) 是无量纲常数，\(\alpha, \beta, \gamma\) 是待定指数。根据量纲一致性原则：
\[ [T] = [C] \cdot [l]^\alpha \cdot [m]^\beta \cdot [g]^\gamma \]
\[ \text{T} = 1 \cdot \text{L}^\alpha \cdot \text{M}^\beta \cdot (\text{L} \cdot \text{T}^{-2})^\gamma = \text{L}^{\alpha+\gamma} \cdot \text{M}^\beta \cdot \text{T}^{-2\gamma} \]
比较等式两边基本量纲的指数，得到方程组：
\[ \begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \beta = 0 \\ -2\gamma = 1 \end{cases} \]
解得：\(\alpha = \frac{1}{2}\)，\(\beta = 0\)，\(\gamma = -\frac{1}{2}\)。因此，单摆周期 \(T\) 与 \(l\) 和 \(g\) 的关系为 \(T = C \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\)。 量纲分析 (dimensional analysis) 无法确定无量纲常数 \(C\)，但可以通过实验或理论分析确定 \(C = 2\pi\)，从而得到单摆周期公式 \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)。

总结 (Summary)

本附录详细介绍了物理单位与量纲 (physical units and dimensions) 的基本概念和应用。掌握 SI 单位制 (SI units) 和量纲分析 (dimensional analysis) 是工程物理学 (Engineering Physics) 学习中至关重要的一环。正确使用物理单位和进行量纲校验，不仅能够帮助我们理解物理量的本质，还能有效地避免计算错误，提高解决物理问题的能力。希望读者能够认真学习和掌握本附录的内容，并在后续的物理学习和工程实践中灵活运用。

Appendix D: 工程物理学发展简史与重要人物 (Brief History of Engineering Physics and Important Figures)

Appendix D1: 工程物理学的萌芽：古典物理学的奠基 (The Dawn of Engineering Physics: Foundation of Classical Physics)

Appendix D1.1: 古代的工程实践与物理思想的启蒙 (Ancient Engineering Practices and the Enlightenment of Physical Thought)

工程物理学并非一蹴而就的学科，其根基深植于人类古老的工程实践之中。早在有文字记载的历史之前，人类就已经开始利用简单的物理原理来解决实际问题。例如， ancient Egypt (古埃及) 的 pyramids (金字塔) 的建造，ancient Rome (古罗马) 的 aqueducts (渡槽) 和 bridges (桥梁) 的构建，以及 ancient China (古代中国) 的 Great Wall (长城) 和 irrigation systems (灌溉系统)，无不体现着对 mechanics (力学)、hydraulics (水力学) 等物理知识的朴素应用。

虽然这些早期的工程成就主要依赖于经验积累和 trial and error (试错法)，但同时也孕育了早期的物理思想启蒙。ancient Greek (古希腊) 的 thinkers (思想家)，如 Archimedes (阿基米德) 在 mechanics (力学) 和 hydrostatics (静力学) 方面的贡献，为后世的物理学发展奠定了重要的 conceptual foundation (概念基础)。阿基米德 principle (阿基米德原理) 不仅是物理学史上的里程碑，也直接应用于 shipbuilding (造船) 等工程领域。

Appendix D1.2: 牛顿力学体系的建立：工程物理学的理论基石 (Establishment of Newtonian Mechanics: The Theoretical Cornerstone of Engineering Physics)

工程物理学的真正崛起，与 classical mechanics (古典力学) 的系统性建立密不可分。Sir Isaac Newton (艾萨克·牛顿) 在 17 世纪提出的 Newton's laws of motion (牛顿运动定律) 和 universal gravitation (万有引力定律)，构筑了 classical mechanics (古典力学) 的完整框架，为 engineering applications (工程应用) 提供了强大的 theoretical tool (理论工具)。

① 艾萨克·牛顿 (Isaac Newton, 1643-1727)：
⚝ Newton (牛顿) 被誉为近代科学之父，其在《Principia Mathematica (自然哲学的数学原理)》中系统阐述了 Newton's laws of motion (牛顿运动定律) 和 universal gravitation (万有引力定律)，奠定了 classical mechanics (古典力学) 的基础。
⚝ Newton (牛顿) 的工作不仅 revolutionalized (革新) 了 physics (物理学)，也为 engineering (工程学) 提供了 fundamental principles (基本原理)，例如 structural mechanics (结构力学)、machine design (机械设计) 等领域都直接受益于 Newton's mechanics (牛顿力学)。
⚝ Newton (牛顿) 与 Leibniz (莱布尼茨) 独立发明的 calculus (微积分)，更是为物理学和工程学提供了强有力的 mathematical tool (数学工具)，使得对 continuous change (连续变化) 的精确描述成为可能。

② 牛顿力学体系的深远影响：
⚝ Newton's mechanics (牛顿力学) 使得 engineers (工程师) 能够 precise calculation (精确计算) 物体的运动轨迹、受力分析以及 energy conversion (能量转换) 等问题，从而更加科学地设计 machines (机械)、structures (结构) 和 systems (系统)。
⚝ 从 bridges (桥梁) 和 buildings (建筑) 的 structural analysis (结构分析)，到 machines (机械) 和 vehicles (车辆) 的 dynamics analysis (动力学分析)，再到 projectile motion (抛体运动) 和 fluid mechanics (流体力学) 的初步研究，Newtonian mechanics (牛顿力学) 都扮演了至关重要的角色。
⚝ 18、19 世纪的 Industrial Revolution (工业革命)，很大程度上是建立在 classical mechanics (古典力学) 的理论指导之上的，蒸汽机、内燃机、各种 machines (机械设备) 的 invention (发明) 和 improvement (改进)，都离不开对 mechanics principles (力学原理) 的应用。

Appendix D2: 经典物理学的辉煌：热、光、电磁学的工程应用 (The Glory of Classical Physics: Engineering Applications of Thermodynamics, Optics, and Electromagnetism)

19 世纪是 classical physics (古典物理学) 发展的黄金时期，thermodynamics (热力学)、optics (光学) 和 electromagnetism (电磁学) 等学科相继建立和完善，并迅速渗透到 engineering (工程学) 的各个领域，极大地推动了 engineering technology (工程技术) 的进步。

Appendix D2.1: 热力学的建立与热机工程的兴起 (Establishment of Thermodynamics and the Rise of Thermal Engineering)

thermodynamics (热力学) 的建立，源于对 heat engine (热机) 效率的探索和研究。从早期的 steam engine (蒸汽机) 到内燃机、gas turbine (燃气轮机) 等，thermodynamics (热力学) 为 heat engine (热机) 的 design (设计)、operation (运行) 和 optimization (优化) 提供了 fundamental theory (基础理论)。

① 重要人物与贡献：
⚝ James Prescott Joule (詹姆斯·普雷斯科特·焦耳, 1818-1889)：通过实验精确测量了 mechanical work (机械功) 与 heat (热量) 之间的 equivalent relationship (当量关系)，确立了 energy conservation (能量守恒) 的概念，为 thermodynamics first law (热力学第一定律) 的建立奠定了实验基础。
⚝ William Thomson (Lord Kelvin) (威廉·汤姆森，开尔文勋爵, 1824-1907)：在 thermodynamics (热力学) 的理论体系构建中做出了卓越贡献，提出了 thermodynamics second law (热力学第二定律) 的 Kelvin statement (开尔文表述)，定义了 absolute temperature scale (绝对温标) (Kelvin scale (开尔文温标))，并对 thermodynamics (热力学) 在 engineering (工程学) 中的应用进行了深入研究。
⚝ Rudolf Clausius (鲁道夫·克劳修斯, 1822-1888)：提出了 thermodynamics second law (热力学第二定律) 的 Clausius statement (克劳修斯表述)，引入了 entropy (熵) 的概念，深刻揭示了 irreversible process (不可逆过程) 的本质，为 thermodynamics (热力学) 的完善做出了重要贡献。
⚝ Sadi Carnot (萨迪·卡诺, 1796-1832)：在对 heat engine (热机) 效率的研究中，提出了 Carnot cycle (卡诺循环) 的理想模型，奠定了 classical thermodynamics (古典热力学) 的理论基础，Carnot's theorem (卡诺定理) 指出了 heat engine (热机) 效率的 theoretical limit (理论极限)。

② 热力学在工程中的应用：
⚝ thermodynamics (热力学) 成为了 thermal engineering (热能工程)、动力工程等学科的 theoretical foundation (理论基础)，指导着 steam power plant (蒸汽发电厂)、internal combustion engine (内燃机)、refrigeration (制冷) 和 air conditioning (空调) 等技术的 development (发展)。
⚝ Carnot cycle (卡诺循环) 虽然是理想模型，但其提出的 efficiency (效率) 概念和 optimization (优化) 思路，至今仍是 engineers (工程师) 设计和改进 heat engine (热机) 的重要指导原则。
⚝ thermodynamics (热力学) 还应用于 chemical engineering (化学工程)、materials science (材料科学) 等领域，例如 chemical thermodynamics (化学热力学) 研究 chemical reaction (化学反应) 的 equilibrium (平衡) 和 energy change (能量变化)，materials thermodynamics (材料热力学) 研究 materials (材料) 的 phase transition (相变) 和 thermal properties (热学性质)。

Appendix D2.2: 光学原理的应用与光学工程的发展 (Application of Optical Principles and Development of Optical Engineering)

optics (光学) 的研究，从 geometric optics (几何光学) 到 physical optics (物理光学)，再到 electromagnetic theory of light (光的电磁理论) 的建立，逐步深入，并催生了 optical instruments (光学仪器) 和 optical engineering (光学工程) 的蓬勃发展。

① 重要人物与贡献：
⚝ Christiaan Huygens (克里斯蒂安·惠更斯, 1629-1695)：提出了 Huygens' principle (惠更斯原理)，用波动说解释了 light propagation (光的传播)、reflection (反射) 和 refraction (折射) 等现象，为 physical optics (物理光学) 的发展奠定了基础。
⚝ Thomas Young (托马斯·杨, 1773-1829)：通过 double-slit experiment (双缝干涉实验)，证实了 light's wave nature (光的波动性)，并提出了 superposition principle of waves (波的叠加原理)，为 wave optics (波动光学) 的建立做出了重要贡献。
⚝ Augustin-Jean Fresnel (奥古斯丁·让·菲涅尔, 1788-1827)：在 Huygens' principle (惠更斯原理) 的基础上，发展了更完善的 wave theory of light (光的波动理论)，解释了 diffraction (衍射) 和 interference (干涉) 等复杂的 optical phenomena (光学现象)。
⚝ Joseph von Fraunhofer (约瑟夫·冯·夫琅和费, 1787-1826)：在 optical instrument (光学仪器) 制造方面做出了杰出贡献，发明了 diffraction grating (衍射光栅)，并利用光谱技术发现了 solar spectrum (太阳光谱) 中的 Fraunhofer lines (夫琅和费线)，推动了 spectroscopy (光谱学) 的发展。

② 光学在工程中的应用：
⚝ optics principles (光学原理) 广泛应用于 optical instrument design (光学仪器设计) 和 manufacturing (制造)，如 telescopes (望远镜)、microscopes (显微镜)、cameras (照相机)、spectrometers (光谱仪) 等，极大地拓展了人类的 observation ability (观测能力) 和 measurement means (测量手段)。
⚝ geometric optics (几何光学) 为 lens design (透镜设计)、optical system analysis (光学系统分析) 提供了 theoretical basis (理论基础)，physical optics (物理光学) 则应用于 interference (干涉)、diffraction (衍射) 等精密 optical measurement (光学测量) 和 optical device (光学器件) 的 design (设计)。
⚝ optical technology (光学技术) 还渗透到 communication (通信)、medical treatment (医疗)、manufacturing (制造) 等领域，例如 optical fiber communication (光纤通信)、optical imaging (光学成像)、laser processing (激光加工) 等，成为 modern engineering technology (现代工程技术) 不可或缺的重要组成部分。

Appendix D2.3: 电磁理论的建立与电气工程的革命 (Establishment of Electromagnetic Theory and the Revolution of Electrical Engineering)

electromagnetism (电磁学) 的建立，是 19 世纪 physics (物理学) 最伟大的成就之一。Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 的提出，unified (统一) 了 electricity (电学) 和 magnetism (磁学)，预言了 electromagnetic waves (电磁波) 的存在，并为 electrical engineering (电气工程) 的诞生和飞速发展奠定了 theoretical foundation (理论基础)。

① 重要人物与贡献：
⚝ André-Marie Ampère (安德烈-玛丽·安培, 1775-1836)：通过实验研究，发现了 electric current (电流) 之间的 magnetic force (磁力) 规律，提出了 Ampere's law (安培定律)，奠定了 magnetostatics (静磁学) 的基础。
⚝ Michael Faraday (迈克尔·法拉第, 1791-1867)：发现了 electromagnetic induction (电磁感应) 现象，提出了 Faraday's law of induction (法拉第电磁感应定律)，揭示了 electricity (电) 和 magnetism (磁) 之间的内在联系，为 electric generator (发电机) 和 electric transformer (变压器) 的发明提供了 principle (原理)。
⚝ James Clerk Maxwell (詹姆斯·克拉克·麦克斯韦, 1831-1879)：集 classical electromagnetism (古典电磁学) 之大成，建立了 Maxwell's equations (麦克斯韦方程组)，unified (统一) 了 electricity (电学)、magnetism (磁学) 和 optics (光学)，预言了 electromagnetic waves (电磁波) 的存在，并计算出 electromagnetic wave velocity (电磁波速度) 等于 light speed (光速)，从而揭示了 light (光) 本身就是 electromagnetic wave (电磁波)。

② 电磁理论在工程中的应用：
⚝ Maxwell's equations (麦克斯韦方程组) 不仅是 physics (物理学) 的里程碑，也是 electrical engineering (电气工程) 的理论基石，指导着 electric machines (电机)、electric power systems (电力系统)、communication technology (通信技术) 等领域的 development (发展)。
⚝ electromagnetic induction (电磁感应) 原理直接催生了 electric generator (发电机) 和 electric transformer (变压器) 的发明，使得 large-scale electric power generation (大规模电力生产) 和 transmission (输送) 成为可能，开启了 electric age (电气时代)。
⚝ electromagnetic waves (电磁波) 的发现，直接导致了 radio communication (无线电通信) 的诞生，Hertz (赫兹) 验证了 electromagnetic waves (电磁波) 的存在，Marconi (马可尼) 发明了 radio (无线电)，从此 communication technology (通信技术) 发生了 revolutionary change (革命性变革)。
⚝ electronics (电子学) 的发展也与 electromagnetism (电磁学) 密切相关，vacuum tube (真空管) 和 transistor (晶体管) 等 electronic devices (电子器件) 的发明，都基于对 electron motion (电子运动) 在 electromagnetic field (电磁场) 中 behavior (行为) 的理解和 control (控制)。

Appendix D3: 现代物理学的兴起：工程物理学的新纪元 (The Rise of Modern Physics: A New Era for Engineering Physics)

20 世纪初，quantum mechanics (量子力学) 和 relativity (相对论) 的诞生，标志着 physics (物理学) 进入了 modern physics (现代物理学) 时代。modern physics (现代物理学) 不仅 revolutionalized (革新) 了人类对 micro-world (微观世界) 和 macro-world (宏观世界) 的认识，也为 engineering physics (工程物理学) 开辟了全新的发展方向。

Appendix D3.1: 量子力学的建立与微电子工程的崛起 (Establishment of Quantum Mechanics and the Rise of Microelectronics Engineering)

quantum mechanics (量子力学) 揭示了 micro-world (微观世界) 的 laws (规律)，例如 atomic structure (原子结构)、electron behavior (电子行为)、solid-state properties (固态性质) 等，为 understanding (理解) 和 manipulating (操控) materials (材料) at atomic scale (原子尺度) 提供了 theoretical basis (理论基础)，并直接催生了 microelectronics engineering (微电子工程) 和 related high-tech industries (相关高科技产业) 的崛起。

① 重要人物与贡献：
⚝ Max Planck (马克斯·普朗克, 1858-1947)：提出了 quantum hypothesis (量子假设)，认为 energy exchange (能量交换) 是不continuous (连续) 的，而是以 discrete packets (离散的能量包) (quanta (量子)) 形式进行，开启了 quantum mechanics (量子力学) 的序幕。
⚝ Albert Einstein (阿尔伯特·爱因斯坦, 1879-1955)：提出了 photoelectric effect (光电效应) 的 quantum explanation (量子解释)，进一步证实了 light quanta (光量子) (photons (光子)) 的存在，并发展了 special relativity (狭义相对论)，提出了 mass-energy equivalence (质能等价) \(E=mc^2\)。
⚝ Niels Bohr (尼尔斯·玻尔, 1885-1962)：将 quantum ideas (量子思想) 应用于 atomic structure (原子结构) 研究，提出了 Bohr model of atom (玻尔原子模型)，成功解释了 hydrogen atom spectrum (氢原子光谱)，为 quantum theory of atomic structure (原子结构的量子理论) 奠定了基础。
⚝ Werner Heisenberg (维尔纳·海森堡, 1901-1976)、Erwin Schrödinger (埃尔温·薛定谔, 1887-1961)、Paul Dirac (保罗·狄拉克, 1902-1984) 等：共同建立了 quantum mechanics (量子力学) 的 mathematical formalism (数学形式)，发展了 matrix mechanics (矩阵力学) 和 wave mechanics (波动力学) 等理论，complete (完整) 地描述了 micro-world (微观世界) 的 laws of motion (运动规律)。

② 量子力学在工程中的应用：
⚝ quantum mechanics (量子力学) 是 solid-state physics (固体物理)、semiconductor physics (半导体物理) 等学科的 theoretical foundation (理论基础)，直接指导着 semiconductor devices (半导体器件) 的 design (设计) 和 manufacturing (制造)，如 diode (二极管)、transistor (晶体管)、integrated circuit (集成电路) 等。
⚝ transistor (晶体管) 的 invention (发明) 和 integrated circuit (集成电路) 的出现，引发了 microelectronics revolution (微电子革命)，使得 electronic devices (电子设备) miniaturization (小型化)、high performance (高性能) 和 low cost (低成本) 成为可能，推动了 information technology (信息技术) 的飞速发展。
⚝ laser (激光) 的 invention (发明) 也与 quantum mechanics (量子力学) 密切相关，laser principle (激光原理) 基于 stimulated emission (受激辐射) 和 population inversion (粒子数反转) 等 quantum mechanical processes (量子力学过程)，laser technology (激光技术) 广泛应用于 communication (通信)、medical treatment (医疗)、manufacturing (制造) 等领域。
⚝ materials science (材料科学) 也受益于 quantum mechanics (量子力学)，quantum chemistry (量子化学) 和 condensed matter physics (凝聚态物理) 为 understanding (理解) materials properties (材料性质) 和 design (设计) new materials (新材料) 提供了 powerful tools (强大工具)，例如 new functional materials (新型功能材料)、nanomaterials (纳米材料) 等的 development (发展)。

Appendix D3.2: 相对论的应用与核能工程、航天工程的发展 (Application of Relativity and Development of Nuclear Engineering and Aerospace Engineering)

relativity (相对论) 特别是 nuclear physics (核物理) 相关理论的发展，为 nuclear energy (核能) 的开发和利用提供了 theoretical basis (理论基础)，并推动了 nuclear engineering (核能工程) 的诞生。同时，relativity (相对论) 也对 aerospace engineering (航天工程) 产生了重要影响，特别是在 high-speed flight (高速飞行) 和 space exploration (太空探索) 领域。

① 重要人物与贡献：
⚝ Albert Einstein (阿尔伯特·爱因斯坦, 1879-1955)：除了 quantum mechanics (量子力学) 的贡献外，Einstein (爱因斯坦) 创立了 special relativity (狭义相对论) 和 general relativity (广义相对论)，revolutionalized (革新) 了 spacetime (时空)、gravity (引力) 和 cosmology (宇宙学) 的观念。mass-energy equivalence (质能等价) \(E=mc^2\) 是 nuclear energy (核能) 开发的 theoretical basis (理论基础)。
⚝ Ernest Rutherford (欧内斯特·卢瑟福, 1871-1937)：发现了 atomic nucleus (原子核)，提出了 nuclear atom model (原子核模型)，并实现了 artificial nuclear transmutation (人工核嬗变)，开创了 nuclear physics (核物理) 的实验研究。
⚝ James Chadwick (詹姆斯·查德威克, 1891-1974)：发现了 neutron (中子)，揭示了 atomic nucleus (原子核) 的 composition (组成)，为 understanding (理解) nuclear force (核力) 和 nuclear reaction (核反应) 提供了关键信息。
⚝ Enrico Fermi (恩里科·费米, 1901-1954)：在 neutron-induced radioactivity (中子诱发放射性) 和 nuclear chain reaction (核链式反应) 方面做出了 pioneering work (开创性工作)，领导建造了 world's first nuclear reactor (世界首座核反应堆)，为 nuclear energy (核能) 的 peaceful use (和平利用) 奠定了基础。

② 相对论及核物理在工程中的应用：
⚝ mass-energy equivalence (质能等价) \(E=mc^2\) 揭示了 atomic nucleus (原子核) 中蕴藏着巨大的 energy (能量)，nuclear fission (核裂变) 和 nuclear fusion (核聚变) 是 nuclear energy (核能) 的两种主要释放方式，nuclear power plant (核电站) 利用 nuclear fission (核裂变) 产生 electricity (电力)，正在成为 important energy source (重要能源)。
⚝ nuclear engineering (核能工程) 涉及 nuclear reactor design (核反应堆设计)、nuclear fuel cycle (核燃料循环)、nuclear safety (核安全) 和 radiation protection (辐射防护) 等多个方面，是一门高度综合性的 engineering discipline (工程学科)。
⚝ relativity (相对论) 在 aerospace engineering (航天工程) 中也发挥着重要作用，例如 satellite navigation (卫星导航) 系统 (GPS (全球定位系统) 等) 的 precise positioning (精确定位) 必须考虑 relativistic effects (相对论效应) 的 correction (修正)，high-speed spacecraft design (高速航天器设计) 也需要考虑 relativistic dynamics (相对论动力学) 的影响。
⚝ nuclear technology (核技术) 还应用于 medical diagnosis and treatment (医学诊断与治疗) (nuclear medicine (核医学), radiotherapy (放射疗法))、materials analysis (材料分析) (radiation detection (辐射探测), isotope tracing (同位素示踪))、industrial inspection (工业检测) (non-destructive testing (无损检测)) 等领域，成为 modern science and technology (现代科学技术) 的重要支撑。

Appendix D4: 工程物理学的未来展望：交叉融合与前沿探索 (Future Prospects of Engineering Physics: Interdisciplinary Integration and Frontier Exploration)

进入 21 世纪，engineering physics (工程物理学) 正朝着更加 interdisciplinary (交叉学科) 和 frontier-oriented (前沿导向) 的方向发展。与 materials science (材料科学)、biology (生物学)、computer science (计算机科学)、information science (信息科学) 等学科的深度融合，催生了 new engineering fields (新兴工程领域) 和 technological innovation (技术创新)。

Appendix D4.1: 交叉学科发展趋势：工程物理学与其他学科的融合 (Interdisciplinary Development Trend: Integration of Engineering Physics with Other Disciplines)

① 与 materials science and engineering (材料科学与工程) 的融合：
⚝ materials physics (材料物理) 作为 engineering physics (工程物理学) 的重要分支，与 materials science and engineering (材料科学与工程) 深度融合，共同推动 new materials (新材料) 的 discovery (发现)、design (设计) 和 application (应用)。
⚝ computational materials science (计算材料科学) 利用 computer simulation (计算机模拟) 和 data analysis (数据分析) 等手段，加速 materials discovery (材料发现) 和 design process (设计过程)，例如 first-principles calculation (第一性原理计算)、materials genome initiative (材料基因组计划) 等。
⚝ nanomaterials (纳米材料)、advanced functional materials (先进功能材料)、biomaterials (生物材料) 等 new materials (新材料) 的 development (发展)，都离不开 physics principles (物理原理) 的指导和 engineering techniques (工程技术) 的支撑。

② 与 biology and biomedical engineering (生物学与生物医学工程) 的融合：
⚝ biophysics (生物物理学) 将 physics principles (物理原理) 应用于 biological system (生物系统) 研究，揭示 life phenomena (生命现象) 的 physical mechanisms (物理机制)，为 biomedical engineering (生物医学工程) 提供 theoretical foundation (理论基础)。
⚝ medical imaging (医学影像) technology (X-ray (X射线), CT (计算机断层扫描), MRI (核磁共振成像), ultrasound (超声波))、radiotherapy (放射疗法)、biomedical sensors (生物医学传感器) 等 biomedical technologies (生物医学技术) 都基于 physics principles (物理原理) 和 engineering techniques (工程技术)。
⚝ synthetic biology (合成生物学)、neural engineering (神经工程)、tissue engineering (组织工程) 等 emerging fields (新兴领域) 也与 engineering physics (工程物理学) 密切相关。

③ 与 computer science and information engineering (计算机科学与信息工程) 的融合：
⚝ computational physics (计算物理学) 利用 computer (计算机) 作为 tool (工具) 解决 physics problems (物理问题)，例如 numerical simulation (数值模拟)、data analysis (数据分析)、artificial intelligence (人工智能) 等，成为 physics research (物理学研究) 的重要手段。
⚝ quantum computing (量子计算)、quantum information (量子信息) 是 quantum mechanics (量子力学) 与 computer science (计算机科学) 交叉融合的前沿领域，有望 revolutionalize (革新) information processing (信息处理) and computation methods (计算方法)。
⚝ information physics (信息物理学) 研究 information (信息) 在 physical system (物理系统) 中的 representation (表示)、processing (处理) 和 transmission (传输) 规律，探索 information (信息) 与 energy (能量)、entropy (熵) 等 fundamental physical quantities (基本物理量) 之间的 relationship (关系)。

Appendix D4.2: 前沿领域探索：工程物理学在科技创新中的作用 (Frontier Exploration: Role of Engineering Physics in Scientific and Technological Innovation)

① quantum technology (量子技术)：
⚝ quantum computing (量子计算)、quantum communication (量子通信)、quantum sensing (量子传感) 等 quantum technology (量子技术) 是当前科技前沿的热点领域，engineering physics (工程物理学) 在 quantum device (量子器件) design (设计)、quantum system control (量子系统控制)、quantum algorithm development (量子算法开发) 等方面发挥着关键作用。
⚝ quantum materials (量子材料) 的 discovery (发现) 和 properties research (性质研究)，为 quantum technology (量子技术) 的实现提供了 material basis (材料基础)，topological insulator (拓扑绝缘体)、superconductor (超导体)、quantum dot (量子点) 等新型 quantum materials (量子材料) 成为研究热点。

② 能源与环境 engineering (工程)：
⚝ sustainable energy (可持续能源) technology (solar energy (太阳能), wind energy (风能), nuclear energy (核能), geothermal energy (地热能) 等) 的 development (发展)，离不开 engineering physics (工程物理学) 的支撑，例如 photovoltaic cell (光伏电池) efficiency improvement (效率提升)、nuclear reactor safety enhancement (核反应堆安全增强)、energy storage technology development (储能技术发展) 等。
⚝ environmental physics (环境物理学) 研究 environmental pollution (环境污染) 的 physical processes (物理过程) 和 control methods (控制方法)，为 environmental engineering (环境工程) 提供 scientific basis (科学基础)，例如 air pollution control (大气污染控制)、water pollution treatment (水污染治理)、climate change research (气候变化研究) 等。

③ advanced manufacturing (先进制造)：
⚝ laser manufacturing (激光制造)、additive manufacturing (增材制造) (3D printing (3D打印))、intelligent manufacturing (智能制造) 等 advanced manufacturing technologies (先进制造技术) 的 development (发展)，与 engineering physics (工程物理学) 密切相关，例如 laser processing technology (激光加工技术)、precision measurement technology (精密测量技术)、robotics (机器人技术) 等。
⚝ materials processing (材料加工)、surface engineering (表面工程)、micro-nano manufacturing (微纳制造) 等领域，都 deeply benefit (深受裨益) 于 physics principles (物理原理) 和 engineering techniques (工程技术) 的 innovation (创新)。

工程物理学在不断发展演变，其发展历史既是 physics (物理学) 和 engineering (工程学) 相互促进、共同进步的历史，也是人类不断探索自然、改造世界的生动写照。展望未来，engineering physics (工程物理学) 必将在科技创新和 human civilization progress (人类文明进步) 中发挥更加重要的作用。

Appendix E: 参考文献 (References)

本附录列出了本书编写过程中参考的主要书籍、期刊、论文等文献资料，供读者进一步学习和深入研究。

教材 (Textbooks)

① 普通物理学 (General Physics)

▮ ① 《费恩曼物理学讲义 (The Feynman Lectures on Physics)》, Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands, California Institute of Technology。
▮▮▮▮本书是物理学教育的经典之作，以其深刻的物理洞察力和清晰的讲解而闻名，涵盖了物理学的各个主要领域，从经典力学到量子力学。适合有一定基础的读者深入理解物理学原理。
▮ ② 《大学物理 (University Physics with Modern Physics)》, Hugh D. Young, Roger A. Freedman, Addison-Wesley。
▮▮▮▮作为经典的大学物理教材，内容全面、系统，涵盖了力学、热力学、电磁学、光学以及现代物理学的基础知识。习题丰富，注重概念的理解和应用，适合作为工程物理学的入门教材。
▮ ③ 《物理学 (Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics)》, Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr., Cengage Learning。
▮▮▮▮另一本广泛使用的高等教育物理教材，强调物理概念的清晰表达和实际应用，包含了大量的例题和习题，有助于学生掌握物理学的基本原理和解题技巧。
▮ ④ 《物理学原理 (Principles of Physics)》, David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Wiley。
▮▮▮▮经典物理教材，以严谨的物理推理和深入的分析著称，内容深入浅出，适合希望系统学习物理学的读者。

② 工程物理学 (Engineering Physics)

▮ ① 《工程物理学 (Engineering Physics)》, Malik & Singh, McGraw Hill Education。
▮▮▮▮专门为工程专业学生编写的物理教材，侧重于物理学原理在工程技术中的应用，内容涵盖了经典物理学和现代物理学的基本知识，并结合了大量的工程实例。
▮ ② 《工程物理 (Engineering Physics)》, R. K. Gaur, S.L. Gupta, Dhanpat Rai Publications。
▮▮▮▮印度广泛使用的工程物理教材，内容全面，涵盖了工程物理的各个方面，包括光学、激光、光纤、电磁理论、量子物理和固体物理等。
▮ ③ 《工程物理学教程 (A Textbook of Engineering Physics)》, Avadhanulu M.N., Kshirsagar P.G., TVS Arun Murthy, S. Chand Publishing。
▮▮▮▮另一本常用的工程物理教材，内容系统，理论与实践并重，包含了大量的例题和习题，有助于学生理解和掌握工程物理的知识。

③ 力学 (Mechanics)

▮ ① 《力学 (Mechanics)》, L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann。
▮▮▮▮理论物理学教程的经典之作，从拉格朗日力学和哈密顿力学的角度深入探讨力学原理，理论性强，适合高年级学生和研究人员深入学习。
▮ ② 《经典力学 (Classical Mechanics)》, Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr., John L. Safko, Addison Wesley。
▮▮▮▮经典力学的权威教材，系统、深入地介绍了经典力学的理论体系，包括牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学等，是学习分析力学的必备参考书。
▮ ③ 《工程力学 (Engineering Mechanics: Statics and Dynamics)》, R.C. Hibbeler, Pearson。
▮▮▮▮工程力学的经典教材，分为静力学和动力学两部分，内容系统、实用，强调工程应用，是工程专业学生学习力学的常用教材。

④ 热力学与统计物理学 (Thermodynamics and Statistical Physics)

▮ ① 《热力学与统计物理 (Thermodynamics and Statistical Mechanics)》, F. Reif, McGraw-Hill。
▮▮▮▮热力学和统计物理学的经典教材，以清晰的物理图像和严谨的数学推导著称，深入浅出地介绍了热力学和统计物理学的基本原理和方法。
▮ ② 《热物理学 (Thermal Physics)》, Ralph Baierlein, Cambridge University Press。
▮▮▮▮现代热物理学教材，从微观统计的角度出发，深入探讨热力学现象的本质，内容新颖，注重物理概念的理解。
▮ ③ 《统计物理学 (Statistical Physics)》, L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann。
▮▮▮▮理论物理学教程的经典之作，从统计物理学的角度深入探讨热力学现象，理论性强，适合高年级学生和研究人员深入学习。

⑤ 电磁学 (Electromagnetism)

▮ ① 《电磁学 (Classical Electrodynamics)》, John David Jackson, Wiley。
▮▮▮▮电磁学的权威教材，内容全面、深入，涵盖了经典电磁学的各个方面，包括静电场、静磁场、电磁波、相对论电磁学等，是学习电磁学的必备参考书。
▮ ② 《电磁场与电磁波 (Electromagnetic Fields and Waves)》, Paul Lorrain, Dale R. Corson, François Lorrain, W. H. Freeman。
▮▮▮▮经典的电磁学教材，注重物理概念的理解和数学方法的应用，内容系统、清晰，适合作为电磁学的入门教材。
▮ ③ 《理解电磁学 (Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus)》, H. M. Schey, Wiley。
▮▮▮▮以生动形象的方式讲解矢量分析在电磁学中的应用，帮助读者克服学习电磁学中的数学障碍，深入理解电磁学的物理概念。

⑥ 光学 (Optics)

▮ ① 《光学 (Optics)》, Eugene Hecht, Addison-Wesley。
▮▮▮▮光学领域的权威教材，内容全面、系统，涵盖了几何光学、物理光学、激光、全息术等各个方面，是学习光学的必备参考书。
▮ ② 《光物理学 (Fundamentals of Photonics)》, B.E.A. Saleh, M.C. Teich, Wiley。
▮▮▮▮现代光物理学教材，侧重于光子学的基本原理和应用，内容涵盖了光学、激光、光纤通信、光电子学等领域，反映了光学领域的最新发展。
▮ ③ 《激光原理 (Laser Fundamentals)》, William T. Silfvast, Cambridge University Press。
▮▮▮▮激光技术的经典教材，系统、深入地介绍了激光的产生原理、激光器的类型和激光的应用，是学习激光技术的必备参考书。

⑦ 量子力学 (Quantum Mechanics)

▮ ① 《量子力学原理 (Principles of Quantum Mechanics)》, R. Shankar, Plenum Press。
▮▮▮▮量子力学的经典教材，以清晰的物理图像和严谨的数学推导著称，深入浅出地介绍了量子力学的基本原理和方法。
▮ ② 《量子力学 (Quantum Mechanics)》, David J. Griffiths, Pearson。
▮▮▮▮广泛使用的量子力学入门教材，内容清晰、易懂，强调物理概念的理解和应用，适合作为量子力学的入门教材。
▮ ③ 《量子力学 (Modern Quantum Mechanics)》, J.J. Sakurai, Jim Napolitano, Addison-Wesley。
▮▮▮▮量子力学的经典教材，内容深入、系统，涵盖了量子力学的各个方面，包括量子力学的基本原理、量子力学的应用、相对论量子力学等，是学习量子力学的必备参考书。

⑧ 固体物理学 (Solid State Physics)

▮ ① 《固体物理学 (Solid State Physics)》, Charles Kittel, Wiley。
▮▮▮▮固体物理学的权威教材，内容全面、系统，涵盖了晶体结构、晶格振动、电子能带理论、半导体、超导电性、磁性等固体物理学的各个方面，是学习固体物理学的必备参考书。
▮ ② 《固体物理教程 (Introduction to Solid State Physics)》, Yuri M. Galperin, Cambridge University Press。
▮▮▮▮现代固体物理学教材，内容新颖，注重物理概念的理解和实际应用，反映了固体物理领域的最新发展。
▮ ③ 《半导体物理学与器件 (Semiconductor Physics and Devices)》, Donald A. Neamen, McGraw-Hill。
▮▮▮▮半导体物理学的经典教材，侧重于半导体物理的基本原理和半导体器件的应用，内容系统、实用，是学习半导体物理和器件的常用教材。

⑨ 材料物理学 (Materials Physics)

▮ ① 《材料科学与工程导论 (Materials Science and Engineering: An Introduction)》, William D. Callister Jr., David G. Rethwisch, Wiley。
▮▮▮▮材料科学与工程领域的经典教材，内容全面、系统，涵盖了材料的结构、性能、加工和应用等各个方面，是学习材料科学与工程的必备参考书。
▮ ② 《材料的物理性质 (Physical Properties of Materials)》, Mary Anne White, CRC Press。
▮▮▮▮从物理学的角度系统介绍材料的各种物理性质，包括力学性能、热学性能、电学性能、光学性能和磁学性能等，深入探讨了各种物理性质的微观机制。
▮ ③ 《材料工程学 (Material Science and Engineering)》, James F. Shackelford, Pearson。
▮▮▮▮另一本常用的材料科学与工程教材，内容系统、实用，强调工程应用，是工程专业学生学习材料科学与工程的常用教材。

期刊 (Journals)

① 物理学综合期刊 (General Physics Journals)

▮ ① 《物理评论快报 (Physical Review Letters)》 (Phys. Rev. Lett.)
▮▮▮▮物理学领域最顶级的期刊之一，发表物理学各领域的高水平原创性研究论文，以快速发表重要研究成果而著称。
▮ ② 《物理评论 (Physical Review)》 (Phys. Rev. A, B, C, D, E)
▮▮▮▮美国物理学会 (American Physical Society, APS) 出版的著名物理学期刊系列，分为多个子刊，分别涵盖原子、分子和光学物理 (A), 凝聚态和材料物理 (B), 核物理 (C), 粒子、场、引力和宇宙学 (D), 统计、非线性和软物质物理 (E) 等领域。
▮ ③ 《应用物理快报 (Applied Physics Letters)》 (Appl. Phys. Lett.)
▮▮▮▮应用物理学领域的重要期刊，发表应用物理学各领域具有重要应用价值的原创性研究论文，注重研究成果的应用前景和实际意义。

② 工程物理学与应用物理学期刊 (Engineering Physics and Applied Physics Journals)

▮ ① 《 Journal of Applied Physics (应用物理杂志)》 (J. Appl. Phys.)
▮▮▮▮应用物理学领域的权威期刊，发表应用物理学各领域的高水平原创性研究论文，涵盖了材料物理、凝聚态物理、光学、声学、半导体物理、薄膜、表面科学等领域。
▮ ② 《 IEEE Transactions on Applied Superconductivity (IEEE 应用超导汇刊)》
▮▮▮▮电气与电子工程师协会 (IEEE) 出版的超导应用领域的重要期刊，发表超导材料、超导器件、超导电子学、超导磁体等方面的研究论文。
▮ ③ 《 Journal of Microelectromechanical Systems (微机电系统杂志)》 (J. Microelectromech. Syst.)
▮▮▮▮微机电系统 (MEMS) 领域的重要期刊，发表微纳尺度器件、传感器、执行器、微流控芯片等方面的研究论文。

③ 材料科学与工程期刊 (Materials Science and Engineering Journals)

▮ ① 《 Advanced Materials (先进材料)》
▮▮▮▮材料科学领域的顶级期刊之一，发表材料科学各领域的突破性研究成果，涵盖了纳米材料、生物材料、能源材料、光电材料、结构材料等。
▮ ② 《 Nature Materials (自然·材料)》
▮▮▮▮《自然 (Nature)》杂志的子刊，材料科学领域的顶级期刊，发表材料科学各领域的重大突破和前沿进展。
▮ ③ 《 材料科学与工程 (Materials Science and Engineering)》 (Materials Science and Engineering A, B, C)
▮▮▮▮Elsevier 出版的著名材料科学期刊系列，分为多个子刊，分别涵盖结构材料 (A), 先进材料 (B), 生物材料 (C) 等领域。

④ 光学与光子学期刊 (Optics and Photonics Journals)

▮ ① 《 Optics Letters (光学快报)》
▮▮▮▮光学领域的重要期刊，发表光学和光子学各领域的高水平原创性研究论文，以快速发表最新研究成果而著称。
▮ ② 《 Optics Express (光学快讯)》
▮▮▮▮光学领域的重要开放获取期刊，发表光学和光子学各领域的高水平原创性研究论文，以快速发表和广泛传播研究成果为特点。
▮ ③ 《 Journal of the Optical Society of America B (美国光学学会杂志B)》 (J. Opt. Soc. Am. B)
▮▮▮▮美国光学学会 (OSA) 出版的光学期刊，侧重于光学物理方面的研究，包括激光物理、非线性光学、量子光学、光与物质相互作用等。

⑤ 量子力学与凝聚态物理期刊 (Quantum Mechanics and Condensed Matter Physics Journals)

▮ ① 《 Physical Review B (物理评论B)》 (Phys. Rev. B)
▮▮▮▮《物理评论 (Physical Review)》的子刊，凝聚态和材料物理领域的权威期刊，发表凝聚态物理、材料物理、固体物理、低温物理等领域的高水平原创性研究论文。
▮ ② 《 npj Quantum Information (npj 量子信息)》
▮▮▮▮《自然 (Nature)》合作期刊系列 (npj) 的量子信息领域期刊，发表量子计算、量子通信、量子密码学、量子传感器等方面的研究论文。
▮ ③ 《 Quantum (量子)》
▮▮▮▮开放获取的量子信息科学期刊，发表量子计算、量子通信、量子密码学、量子基础等方面的研究论文。

Appendix F: 术语中英文对照表 (Glossary of Terms in Chinese and English)

Appendix F 术语中英文对照表

本附录提供了本书中常用术语的中英文对照表，方便读者查阅和理解专业术语。

⚝ 工程物理学 (Engineering Physics)
⚝ 物理学 (Physics)
⚝ 力学 (Mechanics)
⚝ 热力学 (Thermodynamics)
⚝ 电磁学 (Electromagnetism)
⚝ 光学 (Optics)
⚝ 量子力学 (Quantum Mechanics)
⚝ 固体物理 (Solid State Physics)
⚝ 材料物理 (Materials Physics)
⚝ 现代物理 (Modern Physics)
⚝ 应用物理 (Applied Physics)
⚝ 物理实验 (Physics Experiments)
⚝ 数学物理方法 (Mathematical Methods in Physics)
⚝ 绪论 (Introduction)
⚝ 地位与作用 (Position and Role)
⚝ 定义与范畴 (Definition and Scope)
⚝ 学科特点 (Disciplinary Characteristics)
⚝ 工程技术 (Engineering Technology)
⚝ 传统工程领域 (Traditional Engineering Fields)
⚝ 新兴工程领域 (Emerging Engineering Fields)
⚝ 内容概要 (Overview of Content)
⚝ 学习方法建议 (Learning Methods Recommendations)
⚝ 理论联系实际 (Theory Linked to Practice)
⚝ 实验验证 (Experimental Verification)
⚝ 案例分析 (Case Study Analysis)
⚝ 力学基础 (Fundamentals of Mechanics)
⚝ 牛顿力学 (Newtonian Mechanics)
⚝ 分析力学 (Analytical Mechanics)
⚝ 质点力学 (Particle Mechanics)
⚝ 刚体力学 (Rigid Body Mechanics)
⚝ 流体力学 (Fluid Mechanics)
⚝ 运动学 (Kinematics)
⚝ 动力学 (Dynamics)
⚝ 位移 (displacement)
⚝ 速度 (velocity)
⚝ 加速度 (acceleration)
⚝ 坐标系 (coordinate system)
⚝ 参考系 (reference frame)
⚝ 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)
⚝ 抛体运动 (projectile motion)
⚝ 圆周运动 (circular motion)
⚝ 功 (work)
⚝ 能 (energy)
⚝ 动能 (kinetic energy)
⚝ 势能 (potential energy)
⚝ 能量守恒定律 (Conservation of Energy Law)
⚝ 刚体 (rigid body)
⚝ 转动 (rotation)
⚝ 力矩 (torque)
⚝ 角动量 (angular momentum)
⚝ 转动惯量 (moment of inertia)
⚝ 转动定律 (Laws of Rotation)
⚝ 平衡 (equilibrium)
⚝ 静力平衡 (static equilibrium)
⚝ 动力平衡 (dynamic equilibrium)
⚝ 流体 (fluid)
⚝ 密度 (density)
⚝ 压强 (pressure)
⚝ 粘度 (viscosity)
⚝ 流体静力学 (Fluid Statics)
⚝ 流体动力学 (Fluid Dynamics)
⚝ 阿基米德原理 (Archimedes' principle)
⚝ 伯努利方程 (Bernoulli's equation)
⚝ 流线 (streamline)
⚝ 流速 (flow velocity)
⚝ 流量 (flow rate)
⚝ 热学 (Thermodynamics)
⚝ 统计物理 (Statistical Physics)
⚝ 热力学定律 (Laws of Thermodynamics)
⚝ 统计分布 (statistical distribution)
⚝ 熵 (entropy)
⚝ 热力学系统 (thermodynamic system)
⚝ 状态参量 (state parameters)
⚝ 热力学过程 (thermodynamic process)
⚝ 准静态过程 (quasi-static process)
⚝ 等温过程 (isothermal process)
⚝ 等压过程 (isobaric process)
⚝ 等容过程 (isochoric process)
⚝ 绝热过程 (adiabatic process)
⚝ 热力学第零定律 (Zeroth Law of Thermodynamics)
⚝ 温度 (temperature)
⚝ 热力学第一定律 (First Law of Thermodynamics)
⚝ 内能 (internal energy)
⚝ 热量 (heat)
⚝ 热力学第二定律 (Second Law of Thermodynamics)
⚝ 能量转换 (energy conversion)
⚝ 热力学第三定律 (Third Law of Thermodynamics)
⚝ 绝对零度 (absolute zero)
⚝ 统计系综 (statistical ensemble)
⚝ 概率分布 (probability distribution)
⚝ 玻尔兹曼分布 (Boltzmann distribution)
⚝ 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 (Maxwell-Boltzmann distribution)
⚝ 微观状态数 (microstates)
⚝ 无序度 (disorder)
⚝ 波动 (Wave)
⚝ 振动 (Oscillation)
⚝ 光学 (Optics)
⚝ 机械振动 (Mechanical Oscillations)
⚝ 机械波 (Mechanical Waves)
⚝ 电磁波 (Electromagnetic Waves)
⚝ 几何光学 (geometric optics)
⚝ 物理光学 (physical optics)
⚝ 激光 (laser)
⚝ 简谐振动 (simple harmonic motion)
⚝ 阻尼振动 (damped oscillation)
⚝ 受迫振动 (forced oscillation)
⚝ 横波 (transverse wave)
⚝ 纵波 (longitudinal wave)
⚝ 叠加原理 (superposition principle)
⚝ 干涉 (interference)
⚝ 衍射 (diffraction)
⚝ 谐振 (resonance)
⚝ 波长 (wavelength)
⚝ 频率 (frequency)
⚝ 振幅 (amplitude)
⚝ 频谱 (spectrum)
⚝ 麦克斯韦方程组 (Maxwell's equations)
⚝ 无线电波 (radio waves)
⚝ 微波 (microwaves)
⚝ 红外线 (infrared)
⚝ 可见光 (visible light)
⚝ 紫外线 (ultraviolet)
⚝ X射线 (X-rays)
⚝ γ射线 (gamma rays)
⚝ 反射 (reflection)
⚝ 折射 (refraction)
⚝ 平面镜 (plane mirror)
⚝ 球面镜 (spherical mirror)
⚝ 透镜 (lens)
⚝ 薄膜干涉 (thin film interference)
⚝ 衍射光栅 (diffraction grating)
⚝ 偏振片 (polarizer)
⚝ 受激辐射 (stimulated emission)
⚝ 粒子数反转 (population inversion)
⚝ 光学谐振腔 (optical resonator)
⚝ 通信 (communication)
⚝ 医疗 (medical treatment)
⚝ 制造 (manufacturing)
⚝ 电磁学 (Electromagnetism)
⚝ 静电场 (Electrostatics)
⚝ 静磁场 (Magnetostatics)
⚝ 时变电磁场 (Time-Varying Electromagnetic Fields)
⚝ 电磁感应 (electromagnetic induction)
⚝ 电荷 (electric charge)
⚝ 库仑定律 (Coulomb's law)
⚝ 电场 (electric field)
⚝ 电势 (electric potential)
⚝ 电容 (capacitance)
⚝ 磁场 (magnetic field)
⚝ 磁场力 (magnetic force)
⚝ 毕奥-萨伐尔定律 (Biot-Savart law)
⚝ 安培环路定律 (Ampere's law)
⚝ 磁感应 (magnetic induction)
⚝ 运动电荷 (moving charges)
⚝ 载流导体 (current-carrying conductors)
⚝ 磁介质 (magnetic materials)
⚝ 磁化 (magnetization)
⚝ 电场线 (electric field lines)
⚝ 等势面 (equipotential surfaces)
⚝ 导体 (conductor)
⚝ 电介质 (dielectric)
⚝ 静电屏蔽 (electrostatic shielding)
⚝ 极化 (polarization)
⚝ 平行板电容器 (parallel plate capacitor)
⚝ 电容器的串并联 (series and parallel connection of capacitors)
⚝ 静电能 (electrostatic energy)
⚝ 洛伦兹力 (Lorentz force)
⚝ 圆形电流环 (circular current loop)
⚝ 螺线管 (solenoid)
⚝ 抗磁性 (diamagnetism)
⚝ 顺磁性 (paramagnetism)
⚝ 铁磁性 (ferromagnetism)
⚝ 法拉第电磁感应定律 (Faraday's law of induction)
⚝ 感应电动势 (induced electromotive force)
⚝ 感应电流 (induced current)
⚝ 自感 (self-induction)
⚝ 互感 (mutual inductance)
⚝ 电感 (inductance)
⚝ 电感器 (inductor)
⚝ 动生电动势 (motional EMF)
⚝ 感生电动势 (induced EMF)
⚝ 坡印廷矢量 (Poynting vector)
⚝ 量子力学 (Quantum Mechanics)
⚝ 波粒二象性 (wave-particle duality)
⚝ 不确定性原理 (uncertainty principle)
⚝ 薛定谔方程 (Schrödinger equation)
⚝ 量子算符 (quantum operators)
⚝ 原子与分子物理 (atomic and molecular physics)
⚝ 固体物理 (solid-state physics)
⚝ 黑体辐射 (blackbody radiation)
⚝ 光电效应 (photoelectric effect)
⚝ 原子光谱 (atomic spectra)
⚝ 普朗克常数 (Planck's constant)
⚝ 光子 (photon)
⚝ 物质波 (matter waves)
⚝ 德布罗意波长 (de Broglie wavelength)
⚝ 海森堡不确定性原理 (Heisenberg uncertainty principle)
⚝ 位置-动量不确定关系 (position-momentum uncertainty)
⚝ 能量-时间不确定关系 (energy-time uncertainty)
⚝ 量子态 (quantum states)
⚝ 波函数 (wave function)
⚝ 概率诠释 (probability interpretation)
⚝ 含时薛定谔方程 (time-dependent Schrödinger equation)
⚝ 定态薛定谔方程 (time-independent Schrödinger equation)
⚝ 定态 (stationary states)
⚝ 位置算符 (position operator)
⚝ 动量算符 (momentum operator)
⚝ 能量算符 (energy operator)
⚝ 固体物理 (Solid State Physics)
⚝ 晶体结构 (crystal structure)
⚝ 能带理论 (band theory)
⚝ 半导体 (semiconductors)
⚝ 超导电性 (superconductivity)
⚝ 固态器件 (solid-state devices)
⚝ 材料科学 (materials science)
⚝ 晶体 (crystalline solids)
⚝ 非晶体 (amorphous solids)
⚝ 晶格 (crystal lattice)
⚝ 晶胞 (unit cell)
⚝ 晶系 (crystal systems)
⚝ 密勒指数 (Miller indices)
⚝ 简单立方 (simple cubic)
⚝ 体心立方 (body-centered cubic)
⚝ 面心立方 (face-centered cubic)
⚝ 六方密堆积 (hexagonal close-packed)
⚝ 能带 (energy bands)
⚝ 能隙 (energy gaps)
⚝ 金属 (metals)
⚝ 绝缘体 (insulators)
⚝ 电导率 (electrical conductivity)
⚝ 光学性质 (optical properties)
⚝ 本征半导体 (intrinsic semiconductors)
⚝ 杂质半导体 (extrinsic semiconductors)
⚝ 掺杂 (doping)
⚝ 载流子浓度 (carrier concentration)
⚝ 载流子输运 (carrier transport)
⚝ 载流子迁移率 (carrier mobility)
⚝ 扩散系数 (diffusion coefficient)
⚝ 零电阻 (zero resistance)
⚝ 迈斯纳效应 (Meissner effect)
⚝ 特性 (characteristic properties)
⚝ BCS理论 (BCS theory)
⚝ 高温超导电性 (high-temperature superconductivity)
⚝ 超导材料 (superconducting materials)
⚝ 工程应用 (engineering applications)
⚝ 原子轨道 (atomic orbitals)
⚝ 允许带 (allowed bands)
⚝ 禁带 (forbidden bands)
⚝ n型 (n-type)
⚝ p型 (p-type)
⚝ 漂移 (drift)
⚝ 扩散 (diffusion)
⚝ 机制 (mechanisms)
⚝ 库珀对 (Cooper pairs)
⚝ 玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensation)
⚝ 材料物理 (Materials Physics)
⚝ 材料 (materials)
⚝ 结构 (structure)
⚝ 性质 (properties)
⚝ 性能 (performance)
⚝ 材料分类 (materials classification)
⚝ 力学性能 (mechanical properties)
⚝ 热学性能 (thermal properties)
⚝ 电学性能 (electrical properties)
⚝ 光学性能 (optical properties)
⚝ 磁学性能 (magnetic properties)
⚝ 材料工程 (materials engineering)
⚝ 材料选择 (materials selection)
⚝ 金属材料 (metals)
⚝ 陶瓷材料 (ceramics)
⚝ 聚合物材料 (polymers)
⚝ 复合材料 (composites)
⚝ 密度 (density)
⚝ 熔点 (melting point)
⚝ 硬度 (hardness)
⚝ 热导率 (thermal conductivity)
⚝ 应力 (stress)
⚝ 应变 (strain)
⚝ 弹性 (elasticity)
⚝ 塑性 (plasticity)
⚝ 强度 (strength)
⚝ 韧性 (toughness)
⚝ 疲劳 (fatigue)
⚝ 蠕变 (creep)
⚝ 力学测试 (mechanical testing)
⚝ 拉应力 (tensile stress)
⚝ 压应力 (compressive stress)
⚝ 剪应力 (shear stress)
⚝ 拉应变 (tensile strain)
⚝ 压应变 (compressive strain)
⚝ 剪应变 (shear strain)
⚝ 弹性形变 (elastic deformation)
⚝ 塑性形变 (plastic deformation)
⚝ 断裂 (fracture)
⚝ 断裂机制 (fracture mechanisms)
⚝ 疲劳失效 (fatigue failure)
⚝ 蠕变形变 (creep deformation)
⚝ 比热容 (specific heat)
⚝ 热膨胀系数 (thermal expansion coefficient)
⚝ 电阻率 (resistivity)
⚝ 介电常数 (dielectric constant)
⚝ 击穿强度 (breakdown strength)
⚝ 折射率 (refractive index)
⚝ 吸收系数 (absorption coefficient)
⚝ 反射率 (reflectivity)
⚝ 透射率 (transmittance)
⚝ 磁导率 (magnetic permeability)
⚝ 磁化率 (magnetic susceptibility)
⚝ 矫顽力 (coercivity)
⚝ 剩磁 (remanence)
⚝ 重要性 (importance)
⚝ 现代物理专题 (Topics in Modern Physics)
⚝ 相对论 (relativity)
⚝ 核物理 (nuclear physics)
⚝ 粒子物理 (particle physics)
⚝ 宇宙学 (cosmology)
⚝ 物理学研究 (physics research)
⚝ 相对论基础 (Fundamentals of Relativity)
⚝ 狭义相对论 (special relativity)
⚝ 广义相对论 (general relativity)
⚝ 时空 (spacetime)
⚝ 时间膨胀 (time dilation)
⚝ 长度收缩 (length contraction)
⚝ 质能等价 (mass-energy equivalence)
⚝ 引力场 (gravitational field)
⚝ 相对论效应 (relativistic effects)
⚝ 引力透镜 (gravitational lensing)
⚝ 引力波 (gravitational waves)
⚝ 核物理与原子核工程 (Nuclear Physics and Nuclear Engineering)
⚝ 原子核 (atomic nucleus)
⚝ 核力 (nuclear force)
⚝ 放射性 (radioactivity)
⚝ 核反应 (nuclear reactions)
⚝ 核裂变 (nuclear fission)
⚝ 核聚变 (nuclear fusion)
⚝ 核能 (nuclear energy)
⚝ 安全 (safety)
⚝ 质子 (protons)
⚝ 中子 (neutrons)
⚝ 核结合能 (nuclear binding energy)
⚝ 核稳定性 (nuclear stability)
⚝ α衰变 (alpha decay)
⚝ β衰变 (beta decay)
⚝ γ衰变 (gamma decay)
⚝ 核衰变规律 (nuclear decay law)
⚝ 半衰期 (half-life)
⚝ 能量释放 (energy release)
⚝ 粒子物理初步 (Introduction to Particle Physics)
⚝ 基本粒子 (elementary particles)
⚝ 基本相互作用 (fundamental forces)
⚝ 标准模型 (Standard Model)
⚝ 夸克 (quarks)
⚝ 轻子 (leptons)
⚝ 玻色子 (bosons)
⚝ 粒子加速器 (particle accelerators)
⚝ 费米子 (fermions)
⚝ 代 (generations)
⚝ 强相互作用 (strong force)
⚝ 电磁相互作用 (electromagnetic force)
⚝ 弱相互作用 (weak force)
⚝ 引力 (gravitational force)
⚝ 力载体 (force carriers)
⚝ 宇宙学简介 (Introduction to Cosmology)
⚝ 大爆炸理论 (Big Bang theory)
⚝ 宇宙膨胀 (expanding universe)
⚝ 宇宙微波背景辐射 (cosmic microwave background radiation)
⚝ 暗物质 (dark matter)
⚝ 暗能量 (dark energy)
⚝ 宇宙演化 (cosmic evolution)
⚝ 早期阶段 (early stage)
⚝ 演化过程 (evolution process)
⚝ 观测证据 (observational evidence)
⚝ 哈勃定律 (Hubble's law)
⚝ 意义 (significance)
⚝ 理论模型 (theoretical models)
⚝ 工程物理实验 (Engineering Physics Experiments)
⚝ 实验技能 (experimental skills)
⚝ 科学思维 (scientific thinking)
⚝ 实验基本方法 (Basic Experimental Methods)
⚝ 误差分析 (Error Analysis)
⚝ 经典力学实验 (Classical Mechanics Experiments)
⚝ 热学实验 (Thermal Experiments)
⚝ 光学实验 (Optical Experiments)
⚝ 近代物理实验 (Modern Physics Experiments)
⚝ 实验报告撰写 (experimental report writing)
⚝ 测量 (measurement)
⚝ 数据采集 (data acquisition)
⚝ 数据处理 (data processing)
⚝ 实验报告撰写规范 (Standard for Experimental Report Writing)
⚝ 直接测量 (direct measurement)
⚝ 间接测量 (indirect measurement)
⚝ 测量仪器 (measurement instruments)
⚝ 校准 (calibration)
⚝ 系统误差 (systematic error)
⚝ 随机误差 (random error)
⚝ 误差传递 (error propagation)
⚝ 图解法 (graphical method)
⚝ 标准格式 (standard format)
⚝ 内容要求 (content requirements)
⚝ 标题 (title)
⚝ 摘要 (abstract)
⚝ 引言 (introduction)
⚝ 方法 (methods)
⚝ 结果 (results)
⚝ 讨论 (discussion)
⚝ 结论 (conclusion)
⚝ 参考文献 (references)
⚝ 重力加速度测量 (measurement of gravitational acceleration)
⚝ 机械能守恒定律验证 (verification of conservation of mechanical energy)
⚝ 转动惯量测量 (moment of inertia measurement)
⚝ 力学原理 (mechanics principles)
⚝ 单摆 (simple pendulum)
⚝ 自由落体法 (free fall method)
⚝ 斜面 (inclined plane)
⚝ 气垫导轨 (air track)
⚝ 扭摆 (torsion pendulum)
⚝ 转动运动仪 (rotational motion apparatus)
⚝ 热导率测量 (measurement of thermal conductivity)
⚝ 反射定律和折射定律验证 (verification of laws of reflection and refraction)
⚝ 光波波长测量 (measurement of wavelength of light)
⚝ 热学原理 (thermodynamics principles)
⚝ 光学原理 (optics principles)
⚝ 稳态法 (steady-state method)
⚝ 瞬态法 (transient method)
⚝ 光学平台 (optical bench)
⚝ 测角仪 (goniometer)
⚝ 双缝干涉 (double-slit interference)
⚝ 衍射光栅 (diffraction grating)
⚝ 电磁学实验 (electromagnetism experiments)
⚝ 近代物理实验 (modern physics experiments)
⚝ 电磁学理论 (electromagnetism theories)
⚝ 近代物理理论 (modern physics theories)
⚝ 螺线管磁场测量 (measurement of magnetic field of solenoid)
⚝ 法拉第电磁感应定律验证 (verification of Faraday's law of induction)
⚝ 光电效应实验 (photoelectric effect experiment)
⚝ 霍尔传感器 (Hall sensor)
⚝ 磁场计 (magnetic field meter)
⚝ 感应线圈 (induction coil)
⚝ 检流计 (galvanometer)
⚝ 光电管 (photoelectric tube)
⚝ 遏止电压 (stopping voltage)
⚝ 普朗克常数 (Planck's constant)
⚝ 数学物理方法 (Mathematical Methods in Physics)
⚝ 数学方法 (mathematical methods)
⚝ 矢量分析 (vector analysis)
⚝ 微分方程 (differential equations)
⚝ 傅里叶分析 (Fourier analysis)
⚝ 复变函数分析 (complex analysis)
⚝ 概率与统计 (probability and statistics)
⚝ 数学工具 (mathematical tools)
⚝ 物理问题 (physics problems)
⚝ 矢量代数 (vector algebra)
⚝ 矢量微积分 (vector calculus)
⚝ 曲线坐标系 (curvilinear coordinates)
⚝ 矢量运算 (vector operations)
⚝ 梯度 (gradient)
⚝ 散度 (divergence)
⚝ 旋度 (curl)
⚝ 线积分 (line integral)
⚝ 面积分 (surface integral)
⚝ 体积分 (volume integral)
⚝ 柱坐标系 (cylindrical coordinates)
⚝ 球坐标系 (spherical coordinates)
⚝ 标量场 (scalar field)
⚝ 矢量场 (vector field)
⚝ 坐标变换 (coordinate transformation)
⚝ 常微分方程 (ordinary differential equations)
⚝ 偏微分方程 (partial differential equations)
⚝ 概念 (concepts)
⚝ 求解方法 (solving methods)
⚝ 一阶微分方程 (first-order differential equations)
⚝ 二阶线性微分方程 (second-order linear differential equations)
⚝ 分离变量法 (separation of variables)
⚝ 拉普拉斯方程 (Laplace's equation)
⚝ 泊松方程 (Poisson's equation)
⚝ 波动方程 (wave equation)
⚝ 热传导方程 (heat conduction equation)
⚝ 积分因子法 (integrating factor method)
⚝ 待定系数法 (method of undetermined coefficients)
⚝ 常数变易法 (method of variation of parameters)
⚝ 类型 (types)
⚝ 椭圆形 (elliptic)
⚝ 抛物线形 (parabolic)
⚝ 双曲线形 (hyperbolic)
⚝ 傅里叶级数 (Fourier series)
⚝ 傅里叶变换 (Fourier transform)
⚝ 离散傅里叶变换 (discrete Fourier transform)
⚝ 理论 (theory)
⚝ 应用 (application)
⚝ 周期函数 (periodic function)
⚝ 傅里叶级数展开 (Fourier series expansion)
⚝ 非周期函数 (non-periodic function)
⚝ 信号处理 (signal processing)
⚝ 傅里叶系数 (Fourier coefficients)
⚝ 计算方法 (calculation method)
⚝ 收敛条件 (convergence condition)
⚝ 信号分析 (signal analysis)
⚝ 光学 (optics)
⚝ 定义 (definition)
⚝ 性质 (properties)
⚝ 算法 (algorithm)
⚝ 快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform) (FFT)
⚝ 数字信号处理 (digital signal processing)
⚝ 复数 (complex numbers)
⚝ 复变函数 (complex functions)
⚝ 复变函数微分 (complex differentiation)
⚝ 复变函数积分 (complex integration)
⚝ 定理 (theorems)
⚝ 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations)
⚝ 柯西积分定理 (Cauchy's integral theorem)
⚝ 留数定理 (residue theorem)
⚝ 高等物理专题 (advanced physics topics)
⚝ 代数形式 (algebraic form)
⚝ 极坐标形式 (polar form)
⚝ 解析函数 (analytic functions)
⚝ 概率论 (probability theory)
⚝ 数理统计 (mathematical statistics)
⚝ 随机事件 (random events)
⚝ 概率 (probability)
⚝ 随机变量 (random variables)
⚝ 概率分布 (probability distributions)
⚝ 数学期望 (mathematical expectation)
⚝ 方差 (variance)
⚝ 统计推断 (statistical inference)
⚝ 假设检验 (hypothesis testing)
⚝ 实验数据分析 (experimental data analysis)
⚝ 统计物理 (statistical physics)
⚝ 条件概率 (conditional probability)
⚝ 贝叶斯定理 (Bayes' theorem)
⚝ 离散随机变量 (discrete random variable)
⚝ 连续随机变量 (continuous random variable)
⚝ 二项分布 (binomial distribution)
⚝ 泊松分布 (Poisson distribution)
⚝ 正态分布 (normal distribution)
⚝ 样本 (sample)
⚝ 总体 (population)
⚝ 常用物理常数表 (Table of Common Physical Constants)
⚝ 真空中光速 (light speed in vacuum)
⚝ 元电荷 (elementary charge)
⚝ 电子质量 (electron mass)
⚝ 质子质量 (proton mass)
⚝ 玻尔兹曼常数 (Boltzmann constant)
⚝ 阿伏伽德罗常数 (Avogadro constant)
⚝ 引力常数 (gravitational constant)
⚝ 常用数学公式与积分表 (Table of Common Mathematical Formulas and Integrals)
⚝ 三角函数 (trigonometric functions)
⚝ 导数公式 (derivative formulas)
⚝ 积分公式 (integral formulas)
⚝ 矢量分析公式 (vector analysis formulas)
⚝ 数学计算 (mathematical calculations)
⚝ 物理单位与量纲 (Physical Units and Dimensions)
⚝ 国际单位制 (SI units)
⚝ 基本单位 (base units)
⚝ 导出单位 (derived units)
⚝ 量纲分析 (dimensional analysis)
⚝ 量纲校验 (dimensional verification)
⚝ 工程物理学发展简史与重要人物 (Brief History of Engineering Physics and Important Figures)
⚝ 重要事件 (important events)
⚝ 关键人物 (key figures)
⚝ 参考文献 (References)
⚝ 术语中英文对照表 (Glossary of Terms in Chinese and English)