015 《电气工程原理与实践：从入门到精通 (Principles and Practice of Electrical Engineering: From Beginner to Expert)》

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书籍大纲

▮▮ 1. 电气工程导论 (Introduction to Electrical Engineering)
▮▮▮▮ 1.1 1.1 什么是电气工程？(What is Electrical Engineering?)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.1 1.1.1 电气工程的定义与范畴 (Definition and Scope of Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.2 1.1.2 电气工程的重要性与应用 (Importance and Applications of Electrical Engineering)
▮▮▮▮ 1.2 1.2 电气工程的历史与发展 (History and Development of Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 1.2.1 电气工程的早期发展 (Early Development of Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 1.2.2 近现代电气工程的飞速发展 (Rapid Development of Modern Electrical Engineering)
▮▮▮▮ 1.3 1.3 电气工程的主要分支领域 (Major Branches of Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.1 1.3.1 电力系统 (Power Systems)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.2 1.3.2 电机与电器 (Electrical Machines and Appliances)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.3 1.3.3 电力电子 (Power Electronics)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.4 1.3.4 控制理论与控制工程 (Control Theory and Control Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.5 1.3.5 通信工程 (Communication Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.6 1.3.6 电子科学与技术 (Electronic Science and Technology)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.7 1.3.7 计算机科学与技术 (Computer Science and Technology)
▮▮▮▮ 1.4 1.4 电气工程的未来发展趋势 (Future Trends in Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.4.1 1.4.1 智能化电气工程 (Intelligent Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.4.2 1.4.2 绿色电气工程 (Green Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.4.3 1.4.3 融合化电气工程 (Integrated Electrical Engineering)
▮▮ 2. 电路理论基础 (Fundamentals of Circuit Theory)
▮▮▮▮ 2.1 2.1 电路的基本概念与定律 (Basic Concepts and Laws of Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.1 2.1.1 电路与电路模型 (Circuits and Circuit Models)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.2 2.1.2 电压、电流与功率 (Voltage, Current, and Power)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.3 2.1.3 电阻、电容与电感 (Resistance, Capacitance, and Inductance)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.4 2.1.4 欧姆定律 (Ohm's Law)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.5 2.1.5 基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Laws)
▮▮▮▮ 2.2 2.2 电阻电路的分析 (Analysis of Resistive Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.1 2.2.1 电阻的串联与并联 (Series and Parallel Connection of Resistors)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.2 2.2.2 电压分配与电流分配 (Voltage Division and Current Division)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.3 2.2.3 网孔分析法与节点分析法 (Mesh Analysis and Nodal Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.4 2.2.4 叠加定理与戴维宁定理 (Superposition Theorem and Thévenin's Theorem)
▮▮▮▮ 2.3 2.3 动态电路的分析 (Analysis of Dynamic Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 2.3.1 一阶电路的瞬态响应 (Transient Response of First-Order Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 2.3.2 二阶电路的瞬态响应 (Transient Response of Second-Order Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.3 2.3.3 正弦稳态分析 (Sinusoidal Steady-State Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.4 2.3.4 频率响应 (Frequency Response)
▮▮ 3. 电磁场理论 (Electromagnetic Field Theory)
▮▮▮▮ 3.1 3.1 静电场 (Electrostatic Fields)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.1 3.1.1 电荷与库仑定律 (Electric Charge and Coulomb's Law)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.2 3.1.2 电场强度与电势 (Electric Field Intensity and Electric Potential)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.3 3.1.3 静电场中的导体与电介质 (Conductors and Dielectrics in Electrostatic Fields)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.4 3.1.4 电容与电容率 (Capacitance and Permittivity)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.5 3.1.5 高斯定律及其应用 (Gauss's Law and its Applications)
▮▮▮▮ 3.2 3.2 静磁场 (Magnetostatic Fields)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 3.2.1 磁场与磁感应强度 (Magnetic Field and Magnetic Flux Density)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 3.2.2 毕奥-萨伐尔定律与安培环路定律 (Biot-Savart Law and Ampere's Circuital Law)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.3 3.2.3 磁场中的物质 (Matter in Magnetic Fields)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.4 3.2.4 磁导率与磁路 (Permeability and Magnetic Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.5 3.2.5 电感与互感 (Inductance and Mutual Inductance)
▮▮▮▮ 3.3 3.3 时变电磁场与麦克斯韦方程组 (Time-Varying Electromagnetic Fields and Maxwell's Equations)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 3.3.1 法拉第电磁感应定律 (Faraday's Law of Electromagnetic Induction)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 3.3.2 位移电流 (Displacement Current)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.3 3.3.3 麦克斯韦方程组 (Maxwell's Equations)
▮▮▮▮ 3.4 3.4 电磁波 (Electromagnetic Waves)
▮▮▮▮▮▮ 3.4.1 3.4.1 电磁波的传播 (Propagation of Electromagnetic Waves)
▮▮▮▮▮▮ 3.4.2 3.4.2 电磁波的能量与坡印廷矢量 (Energy of Electromagnetic Waves and Poynting Vector)
▮▮▮▮▮▮ 3.4.3 3.4.3 电磁波的应用 (Applications of Electromagnetic Waves)
▮▮ 4. 电子技术 (Electronics)
▮▮▮▮ 4.1 4.1 半导体器件 (Semiconductor Devices)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.1 4.1.1 半导体材料 (Semiconductor Materials)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.2 4.1.2 二极管 (Diodes)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.3 4.1.3 双极型晶体管 (Bipolar Junction Transistors, BJTs)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.4 4.1.4 场效应晶体管 (Field-Effect Transistors, FETs)
▮▮▮▮ 4.2 4.2 模拟电子电路 (Analog Electronic Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 4.2.1 基本放大电路 (Basic Amplifier Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 4.2.2 运算放大器 (Operational Amplifiers, Op-Amps)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.3 4.2.3 滤波器与振荡器 (Filters and Oscillators)
▮▮▮▮ 4.3 4.3 数字电子电路 (Digital Electronic Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.1 4.3.1 数字逻辑基础 (Digital Logic Fundamentals)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.2 4.3.2 逻辑门电路 (Logic Gates)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.3 4.3.3 组合逻辑电路 (Combinational Logic Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.4 4.3.4 时序逻辑电路 (Sequential Logic Circuits)
▮▮▮▮ 4.4 4.4 电子电路应用实例 (Examples of Electronic Circuit Applications)
▮▮▮▮▮▮ 4.4.1 4.4.1 传感器接口电路 (Sensor Interface Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 4.4.2 4.4.2 电源电路 (Power Supply Circuits)
▮▮▮▮▮▮ 4.4.3 4.4.3 简单通信电路 (Simple Communication Circuits)
▮▮ 5. 电力系统分析 (Power System Analysis)
▮▮▮▮ 5.1 5.1 电力系统概述 (Overview of Power Systems)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 5.1.1 电力系统的组成 (Components of Power Systems)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 5.1.2 电力系统的功能与运行 (Function and Operation of Power Systems)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.3 5.1.3 电力系统的发展趋势 (Development Trends of Power Systems)
▮▮▮▮ 5.2 5.2 电力系统元件模型 (Power System Component Models)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 5.2.1 发电机模型 (Generator Models)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 5.2.2 变压器模型 (Transformer Models)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.3 5.2.3 输电线路模型 (Transmission Line Models)
▮▮▮▮ 5.3 5.3 电力系统稳态分析 (Power System Steady-State Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.1 5.3.1 潮流计算 (Power Flow Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.2 5.3.2 电力系统经济运行 (Economic Operation of Power Systems)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.3 5.3.3 电力系统电压稳定 (Power System Voltage Stability)
▮▮▮▮ 5.4 5.4 电力系统暂态分析 (Power System Transient Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 5.4.1 5.4.1 电力系统故障分析 (Power System Fault Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 5.4.2 5.4.2 电力系统暂态稳定 (Power System Transient Stability)
▮▮▮▮▮▮ 5.4.3 5.4.3 电力系统保护 (Power System Protection)
▮▮ 6. 控制系统 (Control Systems)
▮▮▮▮ 6.1 6.1 控制系统基础 (Fundamentals of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 6.1.1 控制系统的基本概念 (Basic Concepts of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.2 6.1.2 控制系统的分类 (Classification of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.3 6.1.3 控制系统的组成 (Components of Control Systems)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.4 6.1.4 控制系统的数学模型 (Mathematical Models of Control Systems)
▮▮▮▮ 6.2 6.2 经典控制理论 (Classical Control Theory)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.1 6.2.1 时域分析法 (Time-Domain Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.2 6.2.2 频域分析法 (Frequency-Domain Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.3 6.2.3 根轨迹分析法 (Root Locus Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.4 6.2.4 控制器设计 (Controller Design)
▮▮▮▮ 6.3 6.3 现代控制理论 (Modern Control Theory)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.1 6.3.1 状态空间法 (State-Space Method)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.2 6.3.2 状态反馈控制 (State Feedback Control)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.3 6.3.3 最优控制 (Optimal Control)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.4 6.3.4 鲁棒控制 (Robust Control)
▮▮▮▮ 6.4 6.4 控制系统应用实例 (Examples of Control System Applications)
▮▮▮▮▮▮ 6.4.1 6.4.1 电机调速系统 (Motor Speed Control Systems)
▮▮▮▮▮▮ 6.4.2 6.4.2 温度控制系统 (Temperature Control Systems)
▮▮▮▮▮▮ 6.4.3 6.4.3 飞行器控制系统 (Aircraft Control Systems)
▮▮ 7. 电机学 (Electrical Machines)
▮▮▮▮ 7.1 7.1 电机学基础 (Fundamentals of Electrical Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.1 7.1.1 电机的工作原理 (Operating Principles of Electrical Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.2 7.1.2 电机的磁路分析 (Magnetic Circuit Analysis of Electrical Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.3 7.1.3 电磁力与转矩的产生 (Generation of Electromagnetic Force and Torque)
▮▮▮▮ 7.2 7.2 变压器 (Transformers)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 7.2.1 变压器的结构与工作原理 (Structure and Operating Principle of Transformers)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 7.2.2 变压器的等值电路与参数 (Equivalent Circuit and Parameters of Transformers)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.3 7.2.3 变压器的运行特性 (Operating Characteristics of Transformers)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.4 7.2.4 特种变压器与应用 (Special Transformers and Applications)
▮▮▮▮ 7.3 7.3 直流电机 (DC Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.1 7.3.1 直流电机的结构与工作原理 (Structure and Operating Principle of DC Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.2 7.3.2 直流电机的分类与特性 (Classification and Characteristics of DC Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.3 7.3.3 直流电机的调速与控制 (Speed Control and Control of DC Machines)
▮▮▮▮ 7.4 7.4 交流电机 (AC Machines)
▮▮▮▮▮▮ 7.4.1 7.4.1 异步电机 (感应电机) (Induction Motors (Asynchronous Motors))
▮▮▮▮▮▮ 7.4.2 7.4.2 异步电机的控制与调速 (Control and Speed Control of Induction Motors)
▮▮▮▮▮▮ 7.4.3 7.4.3 同步电机 (Synchronous Motors)
▮▮▮▮▮▮ 7.4.4 7.4.4 同步电机的控制 (Control of Synchronous Motors)
▮▮ 8. 信号处理 (Signal Processing)
▮▮▮▮ 8.1 8.1 信号与系统 (Signals and Systems)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.1 8.1.1 信号的分类与基本信号 (Classification of Signals and Basic Signals)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.2 8.1.2 信号的基本运算 (Basic Operations on Signals)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.3 8.1.3 系统的概念与分类 (Concepts and Classification of Systems)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.4 8.1.4 线性时不变系统 (Linear Time-Invariant Systems, LTI Systems)
▮▮▮▮ 8.2 8.2 连续时间信号处理 (Continuous-Time Signal Processing)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.1 8.2.1 傅里叶级数 (Fourier Series)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.2 8.2.2 傅里叶变换 (Fourier Transform)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.3 8.2.3 连续时间系统的频域分析 (Frequency-Domain Analysis of Continuous-Time Systems)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.4 8.2.4 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)
▮▮▮▮ 8.3 8.3 离散时间信号处理 (Discrete-Time Signal Processing)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.1 8.3.1 采样定理 (Sampling Theorem)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.2 8.3.2 离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.3 8.3.3 Z变换 (Z-transform)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.4 8.3.4 离散时间系统的频域分析 (Frequency-Domain Analysis of Discrete-Time Systems)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.5 8.3.5 数字滤波器 (Digital Filters)
▮▮▮▮ 8.4 8.4 信号处理应用实例 (Examples of Signal Processing Applications)
▮▮▮▮▮▮ 8.4.1 8.4.1 音频信号处理 (Audio Signal Processing)
▮▮▮▮▮▮ 8.4.2 8.4.2 图像信号处理 (Image Signal Processing)
▮▮▮▮▮▮ 8.4.3 8.4.3 通信信号处理 (Communication Signal Processing)
▮▮ 9. 通信技术 (Communication Technology)
▮▮▮▮ 9.1 9.1 通信系统概述 (Overview of Communication Systems)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 9.1.1 通信系统的基本组成 (Basic Components of Communication Systems)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 9.1.2 通信系统的分类 (Classification of Communication Systems)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.3 9.1.3 通信系统的性能指标 (Performance Metrics of Communication Systems)
▮▮▮▮ 9.2 9.2 模拟通信 (Analog Communication)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.1 9.2.1 幅度调制 (Amplitude Modulation, AM)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.2 9.2.2 频率调制 (Frequency Modulation, FM)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.3 9.2.3 相位调制 (Phase Modulation, PM)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.4 9.2.4 模拟调制系统的抗噪声性能 (Noise Performance of Analog Modulation Systems)
▮▮▮▮ 9.3 9.3 数字通信 (Digital Communication)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.1 9.3.1 脉冲编码调制 (Pulse Code Modulation, PCM)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.2 9.3.2 幅移键控 (Amplitude Shift Keying, ASK)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.3 9.3.3 频移键控 (Frequency Shift Keying, FSK)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.4 9.3.4 相移键控 (Phase Shift Keying, PSK)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.5 9.3.5 正交幅度调制 (Quadrature Amplitude Modulation, QAM)
▮▮▮▮ 9.4 9.4 现代通信网络 (Modern Communication Networks)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.1 9.4.1 移动通信 (Mobile Communication)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.2 9.4.2 光纤通信 (Optical Fiber Communication)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.3 9.4.3 卫星通信 (Satellite Communication)
▮▮▮▮▮▮ 9.4.4 9.4.4 互联网 (Internet)
▮▮ 10. 电气工程前沿技术 (Cutting-Edge Technologies in Electrical Engineering)
▮▮▮▮ 10.1 10.1 可再生能源技术 (Renewable Energy Technologies)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.1 10.1.1 太阳能发电技术 (Solar Power Generation Technologies)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.2 10.1.2 风力发电技术 (Wind Power Generation Technologies)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.3 10.1.3 生物质能与地热能 (Biomass Energy and Geothermal Energy)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.4 10.1.4 可再生能源并网技术 (Grid Integration Technologies for Renewable Energy)
▮▮▮▮ 10.2 10.2 智能电网技术 (Smart Grid Technologies)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.1 10.2.1 智能电网的概念与特点 (Concepts and Characteristics of Smart Grids)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.2 10.2.2 智能电网的关键技术 (Key Technologies of Smart Grids)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.3 10.2.3 智能电网的应用 (Applications of Smart Grids)
▮▮▮▮ 10.3 10.3 物联网技术及其在电气工程中的应用 (Internet of Things (IoT) Technologies and Applications in Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.1 10.3.1 物联网的概念与体系结构 (Concepts and Architecture of the Internet of Things)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.2 10.3.2 物联网的关键技术 (Key Technologies of the Internet of Things)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.3 10.3.3 物联网在电气工程中的应用 (Applications of the Internet of Things in Electrical Engineering)
▮▮▮▮ 10.4 10.4 人工智能技术及其在电气工程中的应用 (Artificial Intelligence (AI) Technologies and Applications in Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 10.4.1 10.4.1 人工智能的基本概念与主要分支 (Basic Concepts and Major Branches of Artificial Intelligence)
▮▮▮▮▮▮ 10.4.2 10.4.2 人工智能在电气工程中的应用 (Applications of Artificial Intelligence in Electrical Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 10.4.3 10.4.3 电气工程与人工智能的未来展望 (Future Prospects of Electrical Engineering and Artificial Intelligence)
▮▮ 附录A: 常用电气工程公式 (Commonly Used Electrical Engineering Formulas)
▮▮ 附录B: 电气工程常用单位与符号 (Common Units and Symbols in Electrical Engineering)
▮▮ 附录C: 参考文献 (References)

1. 电气工程导论 (Introduction to Electrical Engineering)

1.1 什么是电气工程？(What is Electrical Engineering?)

电气工程 (Electrical Engineering) 是一门研究电能的产生、传输、分配、利用和控制的工程学科。它涵盖了从微观的电子器件到宏观的电力系统的广泛领域，是现代科技和社会发展的重要基石。电气工程不仅关注电本身，还深入研究电与磁现象的内在联系，以及如何利用这些现象来创造和改善人类的生活。

1.1.1 电气工程的定义与范畴 (Definition and Scope of Electrical Engineering)

电气工程，顾名思义，是以电和电气为核心的研究对象。但其范畴远不止于此，它是一门综合性的学科，涉及多个层次和方面：

① 基础理论层面：电气工程以物理学、数学为理论基础，特别是电磁学是其核心理论支柱。它深入研究电磁现象的本质规律，例如电场、磁场、电磁波的产生、传播和相互作用。

② 技术应用层面：电气工程致力于将理论知识转化为实际应用技术，解决现实世界中的各种工程问题。这包括：
▮▮▮▮ⓑ 电力系统 (Power Systems)：研究电能的大规模生产、高效传输和可靠分配，确保社会各行各业和千家万户的用电需求。
▮▮▮▮ⓒ 电子技术 (Electronics)：研究各种电子器件和电路，实现信息的获取、处理、存储和传输，是现代信息技术的基石。
▮▮▮▮ⓓ 控制系统 (Control Systems)：研究如何设计和实现自动化控制系统，提高生产效率、产品质量和系统性能。
▮▮▮▮ⓔ 电机与电器 (Electrical Machines and Appliances)：研究电能与机械能、热能等其他能量形式的转换，为工业生产和日常生活提供动力和便利。
▮▮▮▮ⓕ 通信技术 (Communication Technology)：研究信息的有效、可靠传输，构建现代通信网络，实现全球互联互通。

③ 交叉融合层面：随着科技的进步，电气工程不断与其他学科交叉融合，拓展新的研究方向和应用领域。例如：
▮▮▮▮ⓑ 智能电网 (Smart Grid)：电气工程与信息技术、控制技术深度融合，构建更高效、更智能的电力网络。
▮▮▮▮ⓒ 可再生能源 (Renewable Energy)：电气工程在太阳能、风能等可再生能源发电技术中发挥关键作用，推动能源绿色转型。
▮▮▮▮ⓓ 物联网 (Internet of Things, IoT)：电气工程为物联网提供感知、通信和控制技术支撑，实现万物互联。
▮▮▮▮ⓔ 人工智能 (Artificial Intelligence, AI)：电气工程与人工智能技术结合，推动智能化电气设备的研发和应用。

总而言之，电气工程是一门博大精深的学科，其定义和范畴随着时代发展而不断扩展。它不仅关注传统的电力和电子领域，更积极拥抱新技术革命，在智能化、绿色化、融合化的浪潮中扮演着至关重要的角色。

1.1.2 电气工程的重要性与应用 (Importance and Applications of Electrical Engineering)

电气工程的重要性体现在它对现代社会各个领域的深刻影响和广泛应用。可以说，没有电气工程的进步，就没有现代文明的繁荣。

① 能源领域：电力是现代社会最重要的能源形式。电气工程在发电、输电、变电、配电等各个环节都发挥着核心作用。从大型水电站、火电站、核电站，到新兴的太阳能发电站 (Solar Power Plant)、风力发电场 (Wind Farm)，都离不开电气工程师的设计、建设和运维。高效可靠的电力系统 (Power System) 是国民经济和社会发展的能源保障。

② 信息领域：信息技术是现代社会发展的引擎。电子技术 (Electronics) 作为电气工程的重要分支，是信息技术的基石。从半导体器件 (Semiconductor Devices)、集成电路 (Integrated Circuit, IC) 到各种电子设备 (Electronic Equipment)，都凝聚着电气工程师的智慧和创新。通信工程 (Communication Engineering) 则构建了现代通信网络，使得信息能够快速、便捷地在全球范围内传输。

③ 工业领域：工业是国民经济的支柱。电气工程为工业生产提供了强大的动力和自动化手段。各种电机 (Electrical Machine) 和电器 (Electrical Appliance) 被广泛应用于工业生产的各个环节，例如工业机器人 (Industrial Robot)、自动化生产线 (Automated Production Line)、数控机床 (Computer Numerical Control Machine, CNC Machine) 等。控制系统 (Control System) 的应用则大大提高了工业生产的效率和精度。

④ 交通领域：现代交通系统也高度依赖电气工程技术。电气化铁路 (Electrified Railway)、城市轨道交通 (Urban Rail Transit)、电动汽车 (Electric Vehicle, EV) 等都采用了先进的电气驱动和控制技术。智能交通系统 (Intelligent Transportation System, ITS) 的发展也离不开电气工程的支持，例如交通信号控制系统 (Traffic Signal Control System)、车辆导航系统 (Vehicle Navigation System) 等。

⑤ 医疗领域：医疗技术的进步同样离不开电气工程。各种医疗设备 (Medical Equipment)，例如X光机 (X-ray Machine)、CT (Computed Tomography) 扫描仪、核磁共振 (Nuclear Magnetic Resonance, NMR) 成像仪、心电图机 (Electrocardiograph, ECG) 等，都采用了精密的电气和电子技术。生物医学工程 (Biomedical Engineering) 作为电气工程与医学的交叉学科，正在不断推动医疗技术的创新发展。

⑥ 日常生活：电气工程的应用也渗透到我们日常生活的方方面面。家用电器 (Home Appliance)，例如冰箱 (Refrigerator)、洗衣机 (Washing Machine)、空调 (Air Conditioner)、电视机 (Television Set)、电脑 (Computer)、智能手机 (Smart Phone) 等，极大地提高了生活质量和便利性。照明系统 (Lighting System)、供暖系统 (Heating System)、安防系统 (Security System) 等也都离不开电气工程的支持。

总而言之，电气工程的重要性在于它几乎影响着现代社会的每一个角落。从国家的基础设施建设到个人的日常生活，从传统产业的升级改造到新兴产业的蓬勃发展，电气工程都扮演着不可或缺的角色。随着科技的不断进步，电气工程的应用领域还将继续拓展，其重要性也将日益凸显。

1.2 电气工程的历史与发展 (History and Development of Electrical Engineering)

电气工程的发展历史是一部充满探索、创新和突破的科学史。从对电现象的懵懂认知到如今构建起庞大复杂的电气工程体系，经历了漫长而辉煌的历程。

1.2.1 电气工程的早期发展 (Early Development of Electrical Engineering)

电气工程的早期发展可以追溯到古代人们对电现象的初步认识和探索。

① 古代的电现象认知：早在公元前600年左右，古希腊哲学家泰勒斯 (Thales of Miletus) 就记录了琥珀摩擦生电的现象，这是人类最早对电现象的科学记录。此后，古代中国、埃及等地也有关于电鳗等生物电现象的记载。但这些都只是零星的观察，尚未形成系统的科学认识。

② 电学的启蒙时代：17世纪至18世纪，随着科学革命的兴起，电学研究开始进入启蒙时代。科学家们开始系统地研究静电现象，例如奥托·冯·格里克 (Otto von Guericke) 发明了摩擦起电机 (Friction Generator)，本杰明·富兰克林 (Benjamin Franklin) 进行了著名的风筝实验，证明了闪电也是一种电现象，并提出了电荷守恒定律 (Law of Conservation of Electric Charge) 的雏形。库仑 (Charles-Augustin de Coulomb) 通过实验精确地测量了电荷之间的作用力，提出了库仑定律 (Coulomb's Law)，奠定了静电学的定量基础。伏特 (Alessandro Volta) 发明了伏特电池 (Voltaic Pile)，首次实现了稳定电流的产生，开启了电流研究的新纪元。

③ 电磁学的建立：19世纪初，奥斯特 (Hans Christian Ørsted) 发现了电流的磁效应 (Magnetic Effect of Electric Current)，揭示了电与磁之间的联系。安培 (André-Marie Ampère) 深入研究了电流之间的相互作用，提出了安培定律 (Ampere's Law)。法拉第 (Michael Faraday) 通过实验发现了电磁感应现象 (Electromagnetic Induction)，即磁场变化可以产生电场，为发电机的诞生奠定了理论基础。麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 在前人研究的基础上，建立了麦克斯韦方程组 (Maxwell's Equations)，完整地描述了电场、磁场和电磁波的规律，统一了电磁理论，预言了电磁波的存在，并指出光也是一种电磁波。麦克斯韦方程组是经典电磁理论的巅峰之作，也是电气工程的理论基石。

④ 早期电气技术的应用：电磁理论的建立推动了早期电气技术的应用。电报 (Telegraph) 和电话 (Telephone) 的发明，实现了远距离的电信号传输，开启了通信工程 (Communication Engineering) 的先河。电灯 (Electric Lamp) 的发明，改变了人类的照明方式，带来了光明的夜晚。发电机 (Generator) 和电动机 (Electric Motor) 的出现，实现了电能与机械能的相互转换，为工业革命注入了新的活力。

总的来说，电气工程的早期发展主要集中在对电磁现象的科学认知和早期电气技术的萌芽。从对电的神秘感到逐步揭示其内在规律，从简单的静电实验到伏特电池、电报、电话、电灯的出现，这一时期为近现代电气工程的飞速发展奠定了坚实的理论和技术基础。

1.2.2 近现代电气工程的飞速发展 (Rapid Development of Modern Electrical Engineering)

19世纪末至20世纪，是电气工程飞速发展的时期。电力系统 (Power System)、电子技术 (Electronics)、计算机技术 (Computer Technology) 的兴起，极大地推动了电气工程的进步，并深刻地改变了世界。

① 电力系统的建立与发展：19世纪80年代，爱迪生 (Thomas Edison) 在纽约建立了世界上第一个商业化电力系统 (Commercial Power System)，标志着电力时代的到来。交流电 (Alternating Current, AC) 输电技术的成熟，解决了直流电 (Direct Current, DC) 输电距离受限的问题，使得电能能够经济高效地传输到远方。特斯拉 (Nikola Tesla) 在交流电机 (AC Motor) 和交流输电系统 (AC Power Transmission System) 方面做出了杰出贡献。随着发电机 (Generator)、变压器 (Transformer)、输电线路 (Transmission Line)、配电设备 (Distribution Equipment) 等电力设备技术的不断进步，电力系统逐渐发展成为庞大而复杂的工程系统，为工业、农业、交通、城市建设和人民生活提供了可靠的电力保障。

② 电子技术的诞生与兴起：20世纪初，真空电子器件 (Vacuum Electronic Device) 的发明，开启了电子技术 (Electronics) 的时代。电子管 (Vacuum Tube) 被广泛应用于无线电通信 (Radio Communication)、雷达 (Radar)、电子计算机 (Electronic Computer) 等领域。1947年，晶体管 (Transistor) 的发明，标志着半导体电子技术 (Semiconductor Electronics) 的诞生。晶体管体积小、功耗低、寿命长、可靠性高，迅速取代了电子管，成为电子电路 (Electronic Circuit) 的核心元件。集成电路 (Integrated Circuit, IC) 的出现，更是将大量的晶体管、电阻 (Resistor)、电容 (Capacitor) 等元件集成在一块芯片 (Chip) 上，实现了电子电路的高度集成化和微型化，极大地提高了电子设备的性能和功能。

③ 计算机技术的崛起与应用：电子技术的发展推动了计算机技术 (Computer Technology) 的崛起。早期的电子计算机体积庞大、功耗惊人，主要用于科学计算和军事领域。随着集成电路技术的进步，计算机的体积越来越小、性能越来越强、价格越来越低，逐渐普及到各个领域。微处理器 (Microprocessor) 的发明，使得个人计算机 (Personal Computer, PC) 成为可能。互联网 (Internet) 的兴起，更是将全球的计算机连接起来，形成了信息高速公路，彻底改变了人们的生活和工作方式。计算机技术不仅自身成为一个重要的工程领域，也深刻地影响着电气工程的其他分支，例如电力系统自动化 (Power System Automation)、电机控制 (Motor Control)、通信网络 (Communication Network) 等。

④ 控制理论与自动化技术的发展：随着工业生产规模的扩大和自动化程度的提高，控制理论 (Control Theory) 和自动化技术 (Automation Technology) 得到了迅速发展。经典控制理论 (Classical Control Theory)，例如反馈控制 (Feedback Control)、PID控制 (Proportional-Integral-Derivative Control) 等，被广泛应用于工业控制领域。现代控制理论 (Modern Control Theory)，例如状态空间法 (State-Space Method)、最优控制 (Optimal Control)、鲁棒控制 (Robust Control) 等，为复杂系统的控制提供了更强大的理论和方法。可编程逻辑控制器 (Programmable Logic Controller, PLC)、分布式控制系统 (Distributed Control System, DCS)、现场总线 (Fieldbus) 等自动化控制系统的应用，大大提高了工业生产的自动化水平和生产效率。

⑤ 通信技术的日新月异：无线电通信 (Radio Communication)、微波通信 (Microwave Communication)、卫星通信 (Satellite Communication)、光纤通信 (Optical Fiber Communication) 等通信技术不断创新，使得信息传输的速度越来越快、容量越来越大、距离越来越远、成本越来越低。移动通信 (Mobile Communication) 的普及，使得人们可以随时随地进行通信。互联网 和 移动互联网 的发展，构建了全球互联互通的信息网络，深刻地改变了社会信息传播的方式和格局。

总而言之，近现代电气工程的飞速发展，是电力系统、电子技术、计算机技术、控制理论、通信技术 等多个分支相互促进、共同进步的结果。这些技术的突破和应用，极大地提高了社会生产力，改善了人们的生活水平，推动了人类文明的进步。

1.3 电气工程的主要分支领域 (Major Branches of Electrical Engineering)

电气工程经过一百多年的发展，已经形成了庞大而复杂的技术体系，根据不同的研究对象和应用领域，可以划分为多个主要分支领域。这些分支领域既有相对独立的特点，又相互联系、交叉融合，共同构成了电气工程的完整学科体系。

1.3.1 电力系统 (Power Systems)

电力系统 (Power Systems) 是电气工程最重要的分支领域之一，主要研究电能的生产、传输、分配和利用。其核心目标是构建安全、可靠、经济、高效、清洁的电力网络，为社会经济发展和人民生活提供优质的电力保障。

① 电力系统的组成：一个完整的电力系统 通常由以下几个主要环节组成：
▮▮▮▮ⓑ 发电厂 (Power Plant)：负责将一次能源（如煤炭、石油、天然气、水能、核能、太阳能、风能等）转换为电能。根据所用一次能源的不同，发电厂可以分为火电厂 (Thermal Power Plant)、水电站 (Hydropower Station)、核电站 (Nuclear Power Plant)、太阳能发电站 (Solar Power Plant)、风力发电场 (Wind Farm) 等。
▮▮▮▮ⓒ 变电站 (Substation)：负责对电压进行变换，以适应不同电压等级的输电 (Power Transmission) 和配电 (Power Distribution) 的需要。变电站主要包括变压器 (Transformer)、断路器 (Circuit Breaker)、隔离开关 (Disconnector)、互感器 (Instrument Transformer)、控制保护设备 (Control and Protection Equipment) 等。
▮▮▮▮ⓓ 输电线路 (Transmission Line)：负责将发电厂发出的电能远距离输送到负荷中心或配电网 (Distribution Network)。输电线路 通常采用高电压等级，以减少输电损耗 (Transmission Loss)。
▮▮▮▮ⓔ 配电线路 (Distribution Line)：负责将输电网 (Transmission Network) 输送来的电能分配给各个用户。配电线路 通常采用中低电压等级，直接连接到工业用户 (Industrial Customer)、商业用户 (Commercial Customer) 和居民用户 (Residential Customer)。
▮▮▮▮ⓕ 用户负荷 (Load)：指电力系统供电的对象，包括各种用电设备，例如电机 (Motor)、照明设备 (Lighting Equipment)、家用电器 (Home Appliance)、工业设备 (Industrial Equipment) 等。

② 电力系统的运行与控制：电力系统 是一个复杂的动态系统，其运行状态受到发电、输电、配电 和 负荷 等多个因素的影响。为了保证电力系统 的安全、稳定、经济运行，需要进行有效的运行控制和调度。电力系统运行与控制 (Power System Operation and Control) 主要研究以下内容：
▮▮▮▮ⓑ 潮流计算 (Power Flow Analysis)：计算电力系统 在稳态运行 conditions 下的电压 (Voltage)、电流 (Current)、功率 (Power) 分布，为电力系统 的规划、运行和分析提供依据。
▮▮▮▮ⓒ 电力系统稳态分析 (Power System Steady-State Analysis)：分析电力系统 在稳态运行 conditions 下的电压稳定 (Voltage Stability)、频率稳定 (Frequency Stability) 和 经济运行 (Economic Operation) 等问题，为提高电力系统 运行性能提供理论指导。
▮▮▮▮ⓓ 电力系统暂态分析 (Power System Transient Analysis)：分析电力系统 在受到扰动（例如短路故障 (Short Circuit Fault)、负荷突变 (Load Change) 等）后的动态响应过程，研究电力系统 的暂态稳定 (Transient Stability) 问题，为电力系统 安全稳定运行提供保障。
▮▮▮▮ⓔ 电力系统继电保护 (Power System Relay Protection)：研究在电力系统 发生故障时，如何快速、可靠地切除故障设备，防止故障扩大，保障电力系统 安全运行。
▮▮▮▮ⓕ 电力系统自动化 (Power System Automation)：利用计算机技术 (Computer Technology)、通信技术 (Communication Technology) 和 控制技术 (Control Technology)，实现电力系统 的监视 (Monitoring)、控制 (Control)、保护 (Protection) 和 管理 (Management) 的自动化，提高电力系统 的运行效率和可靠性。

③ 电力系统的发展趋势：随着能源革命和信息技术的发展，电力系统 正朝着智能化 (Intelligent)、绿色化 (Green)、融合化 (Integrated) 的方向发展。智能电网 (Smart Grid)、可再生能源并网 (Grid Integration of Renewable Energy)、分布式发电 (Distributed Generation)、微电网 (Microgrid) 等新技术和新概念不断涌现，为电力系统 的未来发展注入了新的活力。

1.3.2 电机与电器 (Electrical Machines and Appliances)

电机与电器 (Electrical Machines and Appliances) 是电气工程的重要分支领域，主要研究电能 与 机械能、热能、光能 等其他能量形式的相互转换，以及各种电气设备 (Electrical Equipment) 的设计、制造、运行和控制。

① 电机 (Electrical Machine)：电机 是实现电能 与 机械能 相互转换的电气设备，主要分为发电机 (Generator) 和 电动机 (Electric Motor) 两大类。
▮▮▮▮ⓑ 发电机 (Generator)：将机械能 或其他形式的能量转换为电能。常见的发电机 包括同步发电机 (Synchronous Generator)、异步发电机 (Asynchronous Generator)、直流发电机 (DC Generator) 等。发电机 是发电厂 的核心设备。
▮▮▮▮ⓒ 电动机 (Electric Motor)：将电能 转换为机械能。电动机 是应用最广泛的电气设备 之一，广泛应用于工业、农业、交通、家用电器等各个领域。常见的电动机 包括交流电动机 (AC Motor)（如异步电动机 (Asynchronous Motor)、同步电动机 (Synchronous Motor)）和 直流电动机 (DC Motor)。

② 电器 (Electrical Appliance)：电器 是指各种用于控制、保护、配电、转换 和 利用电能 的电气设备，种类繁多，应用广泛。常见的电器 包括：
▮▮▮▮ⓑ 变压器 (Transformer)：用于变换电压 等级，是电力系统 的重要组成部分。
▮▮▮▮ⓒ 开关电器 (Switchgear)：用于接通、分断 电路，控制 电流，保护 电气设备和线路。常见的开关电器 包括断路器 (Circuit Breaker)、隔离开关 (Disconnector)、接触器 (Contactor)、继电器 (Relay) 等。
▮▮▮▮ⓓ 低压电器 (Low-Voltage Electrical Apparatus)：指用于低压配电系统 (Low-Voltage Distribution System) 和 控制系统 (Control System) 的电器，例如空气开关 (Air Circuit Breaker)、漏电保护器 (Residual Current Device, RCD)、熔断器 (Fuse)、接触器 (Contactor)、按钮 (Button)、指示灯 (Indicator Light) 等。
▮▮▮▮ⓔ 家用电器 (Home Appliance)：指在家庭生活中使用的各种电器设备，例如冰箱 (Refrigerator)、洗衣机 (Washing Machine)、空调 (Air Conditioner)、电视机 (Television Set)、电饭煲 (Electric Rice Cooker)、微波炉 (Microwave Oven) 等。

③ 电机与电器的研究内容：电机与电器 领域的研究内容主要包括：
▮▮▮▮ⓑ 电机理论 (Electrical Machine Theory)：研究各种电机 的工作原理 (Operating Principle)、电磁场 (Electromagnetic Field)、磁路 (Magnetic Circuit)、等值电路 (Equivalent Circuit)、运行特性 (Operating Characteristic) 和 控制方法 (Control Method)。
▮▮▮▮ⓒ 电器理论 (Electrical Appliance Theory)：研究各种电器 的 结构 (Structure)、原理 (Principle)、特性 (Characteristic) 和 应用 (Application)。
▮▮▮▮ⓓ 电机设计 (Electrical Machine Design)：根据用户的需求，进行电机 的电磁设计 (Electromagnetic Design)、结构设计 (Structural Design)、散热设计 (Heat Dissipation Design)、控制系统设计 (Control System Design) 等。
▮▮▮▮ⓔ 电器设计 (Electrical Appliance Design)：根据用户的需求，进行各种电器 的 设计 (Design) 和 选型 (Selection)。
▮▮▮▮ⓕ 电机控制 (Motor Control)：研究各种电机 的 调速 (Speed Control)、调压 (Voltage Control)、起动 (Starting)、制动 (Braking) 和 保护 (Protection) 等控制方法。
▮▮▮▮ⓖ 电器智能化 (Intelligent Electrical Appliance)：将智能技术 (Intelligent Technology) 应用于电机 和 电器，提高其 性能 (Performance)、可靠性 (Reliability)、自动化水平 (Automation Level) 和 节能水平 (Energy Saving Level)。

1.3.3 电力电子 (Power Electronics)

电力电子 (Power Electronics) 是一门新兴的电气工程分支领域，主要研究利用电力电子器件 (Power Electronic Device) 对电能 进行变换 (Conversion) 和 控制 (Control) 的技术。电力电子技术 是现代电力技术的重要组成部分，广泛应用于电力系统 (Power System)、工业自动化 (Industrial Automation)、交通运输 (Transportation)、新能源 (New Energy)、家用电器 (Home Appliance) 等领域。

① 电力电子器件 (Power Electronic Device)：电力电子器件 是电力电子技术 的核心元件，是实现电能变换 和 控制 的关键。常见的电力电子器件 包括：
▮▮▮▮ⓑ 电力二极管 (Power Diode)：具有单向导电性，用于整流 (Rectification)、续流 (Freewheeling) 等。
▮▮▮▮ⓒ 电力晶体管 (Power Transistor)：包括电力双极型晶体管 (Power Bipolar Junction Transistor, Power BJT)、电力场效应晶体管 (Power Field-Effect Transistor, Power MOSFET)、绝缘栅双极型晶体管 (Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT) 等，具有开关特性 (Switching Characteristic)，用于逆变 (Inversion)、斩波 (Chopping)、变频 (Frequency Conversion) 等。
▮▮▮▮ⓓ 晶闸管 (Thyristor)：又称可控硅 (Silicon Controlled Rectifier, SCR)，具有单向可控导通特性 (Unidirectional Controllable Conduction Characteristic)，用于可控整流 (Controlled Rectification)、交流调压 (AC Voltage Regulation) 等。
▮▮▮▮ⓔ 门极可关断晶闸管 (Gate Turn-Off Thyristor, GTO)：具有可控导通 和 可控关断特性 (Controllable Turn-On and Turn-Off Characteristic)，用于大功率逆变器 (High-Power Inverter)、变频器 (Frequency Converter) 等。
▮▮▮▮ⓕ 智能功率模块 (Intelligent Power Module, IPM)：将电力电子器件、驱动电路 (Driver Circuit)、保护电路 (Protection Circuit) 等集成在一起的模块，简化了电力电子电路 (Power Electronic Circuit) 的设计和应用。

② 电力电子变换器 (Power Electronic Converter)：电力电子变换器 是利用电力电子器件 构成的电路 (Circuit)，实现电能 的 变换 (Conversion)。常见的电力电子变换器 包括：
▮▮▮▮ⓑ 整流器 (Rectifier)：将交流电 (AC) 转换为直流电 (DC)。
▮▮▮▮ⓒ 逆变器 (Inverter)：将直流电 (DC) 转换为交流电 (AC)。
▮▮▮▮ⓓ 斩波器 (Chopper)：将直流电 (DC) 转换为可调直流电 (Adjustable DC)。
▮▮▮▮ⓔ 交流调压器 (AC Voltage Regulator)：调节交流电压 (AC Voltage) 的有效值。
▮▮▮▮ⓕ 变频器 (Frequency Converter)：改变交流电 的 频率 (Frequency) 和 电压 (Voltage)。

③ 电力电子技术的应用：电力电子技术 广泛应用于各个领域：
▮▮▮▮ⓑ 电力系统 (Power System)：高压直流输电 (High-Voltage Direct Current Transmission, HVDC)、柔性交流输电系统 (Flexible AC Transmission System, FACTS)、静止无功补偿器 (Static Var Compensator, SVC)、有源滤波器 (Active Power Filter, APF) 等。
▮▮▮▮ⓒ 工业自动化 (Industrial Automation)：变频调速 (Variable Frequency Drive, VFD)、伺服驱动 (Servo Drive)、不间断电源 (Uninterruptible Power Supply, UPS)、焊接电源 (Welding Power Supply)、电镀电源 (Electroplating Power Supply) 等。
▮▮▮▮ⓓ 交通运输 (Transportation)：电力机车 (Electric Locomotive)、电动汽车 (Electric Vehicle, EV)、轨道交通供电系统 (Rail Transit Power Supply System)、船舶电力推进 (Ship Electric Propulsion)、航空电源 (Aircraft Power Supply) 等。
▮▮▮▮ⓔ 新能源 (New Energy)：光伏逆变器 (Photovoltaic Inverter)、风力发电变流器 (Wind Power Converter)、储能变流器 (Energy Storage Converter)、燃料电池变换器 (Fuel Cell Converter) 等。
▮▮▮▮ⓕ 家用电器 (Home Appliance)：变频空调 (Variable Frequency Air Conditioner)、变频冰箱 (Variable Frequency Refrigerator)、开关电源 (Switching Mode Power Supply, SMPS)、电子镇流器 (Electronic Ballast)、LED驱动电源 (LED Driver Power Supply) 等。

1.3.4 控制理论与控制工程 (Control Theory and Control Engineering)

控制理论与控制工程 (Control Theory and Control Engineering) 是电气工程的重要分支领域，主要研究控制系统 (Control System) 的 建模 (Modeling)、分析 (Analysis)、设计 (Design) 和 实现 (Implementation)。控制系统 广泛应用于工业、农业、交通、军事、航空航天等各个领域，是实现自动化、智能化生产和运行的关键技术。

① 控制系统的基本概念：
▮▮▮▮ⓑ 控制系统 (Control System)：由相互作用的元件 (Component) 或 子系统 (Subsystem) 组成的集合，其目的是使被控对象 (Controlled Object) 的 输出 (Output) 按照预定的 期望 (Desired Value) 或 轨迹 (Trajectory) 运行。
▮▮▮▮ⓒ 被控对象 (Controlled Object)：也称 受控对象 (Plant)，是需要进行控制 的 系统 (System) 或 过程 (Process)。
▮▮▮▮ⓓ 控制器 (Controller)：根据期望输入 (Desired Input) 和 实际输出 (Actual Output) 之间的 偏差 (Error)，产生 控制作用 (Control Action)，使 被控对象 的 输出 趋于 期望输入。
▮▮▮▮ⓔ 传感器 (Sensor)：用于 检测 (Detection) 或 测量 (Measurement) 被控对象 的 输出 或 状态 (State)，并将 测量结果 (Measurement Result) 转换为 电信号 (Electrical Signal) 或其他形式的信号，反馈给 控制器。
▮▮▮▮ⓕ 执行器 (Actuator)：也称 执行机构 (Actuating Mechanism)，接收 控制器 发出的 控制信号 (Control Signal)，并作用于 被控对象，实现 控制作用。

② 控制系统的分类：控制系统 可以根据不同的标准进行分类：
▮▮▮▮ⓑ 开环控制系统 (Open-Loop Control System) 和 闭环控制系统 (Closed-Loop Control System)：根据是否具有 反馈 (Feedback)，控制系统 可以分为 开环控制系统 和 闭环控制系统。闭环控制系统 又称 反馈控制系统 (Feedback Control System)。
▮▮▮▮ⓒ 线性控制系统 (Linear Control System) 和 非线性控制系统 (Nonlinear Control System)：根据 系统模型 (System Model) 是否满足 线性叠加原理 (Principle of Superposition) 和 齐次性原理 (Principle of Homogeneity)，控制系统 可以分为 线性控制系统 和 非线性控制系统。
▮▮▮▮ⓓ 连续控制系统 (Continuous Control System) 和 离散控制系统 (Discrete Control System)：根据 系统信号 (System Signal) 在 时间域 (Time Domain) 上是否连续，控制系统 可以分为 连续控制系统 和 离散控制系统。离散控制系统 又称 采样控制系统 (Sampled-Data Control System) 或 数字控制系统 (Digital Control System)。
▮▮▮▮ⓔ 定常控制系统 (Time-Invariant Control System) 和 时变控制系统 (Time-Varying Control System)：根据 系统参数 (System Parameter) 是否随 时间 (Time) 变化，控制系统 可以分为 定常控制系统 和 时变控制系统。

③ 控制理论的主要内容：控制理论 主要研究 控制系统 的 分析 (Analysis) 和 设计 (Design) 方法，主要内容包括：
▮▮▮▮ⓑ 控制系统建模 (Control System Modeling)：建立 控制系统 的 数学模型 (Mathematical Model)，常用的 数学模型 包括 传递函数模型 (Transfer Function Model)、状态空间模型 (State-Space Model) 等。
▮▮▮▮ⓒ 控制系统稳定性分析 (Control System Stability Analysis)：分析 控制系统 的 稳定性 (Stability)，常用的 稳定性判据 (Stability Criterion) 包括 劳斯判据 (Routh Criterion)、奈奎斯特判据 (Nyquist Criterion) 等。
▮▮▮▮ⓓ 控制系统性能分析 (Control System Performance Analysis)：分析 控制系统 的 动态性能 (Dynamic Performance) 和 稳态性能 (Steady-State Performance)，常用的 性能指标 (Performance Index) 包括 超调量 (Overshoot)、调节时间 (Settling Time)、稳态误差 (Steady-State Error) 等。
▮▮▮▮ⓔ 控制系统设计 (Control System Design)：根据 控制系统 的 性能指标要求 (Performance Index Requirement)，设计合适的 控制器 (Controller)，常用的 控制器设计方法 (Controller Design Method) 包括 PID控制 (Proportional-Integral-Derivative Control)、根轨迹法 (Root Locus Method)、频率响应法 (Frequency Response Method)、状态反馈控制 (State Feedback Control)、最优控制 (Optimal Control)、鲁棒控制 (Robust Control) 等。

④ 控制工程的应用：控制工程 广泛应用于各个领域：
▮▮▮▮ⓑ 工业自动化 (Industrial Automation)：过程控制 (Process Control)、运动控制 (Motion Control)、机器人控制 (Robot Control)、数控系统 (Numerical Control System) 等。
▮▮▮▮ⓒ 航空航天 (Aerospace Engineering)：飞行器控制 (Aircraft Control)、卫星姿态控制 (Satellite Attitude Control)、导弹制导 (Missile Guidance) 等。
▮▮▮▮ⓓ 交通运输 (Transportation)：车辆控制 (Vehicle Control)、船舶控制 (Ship Control)、列车运行控制 (Train Operation Control)、交通信号控制 (Traffic Signal Control) 等。
▮▮▮▮ⓔ 电力系统自动化 (Power System Automation)：发电厂自动控制 (Power Plant Automatic Control)、变电站自动化 (Substation Automation)、电力系统调度自动化 (Power System Dispatch Automation) 等。
▮▮▮▮ⓕ 家用电器 (Home Appliance)：空调温度控制 (Air Conditioner Temperature Control)、洗衣机程序控制 (Washing Machine Program Control)、电饭煲煮饭控制 (Electric Rice Cooker Cooking Control) 等。

1.3.5 通信工程 (Communication Engineering)

通信工程 (Communication Engineering) 是电气工程的重要分支领域，主要研究 信息 (Information) 的 产生 (Generation)、传输 (Transmission)、交换 (Switching)、处理 (Processing) 和 存储 (Storage)。通信技术 是现代信息社会的基础，广泛应用于 移动通信 (Mobile Communication)、互联网 (Internet)、广播电视 (Radio and Television Broadcasting)、卫星通信 (Satellite Communication)、光纤通信 (Optical Fiber Communication) 等领域。

① 通信系统的基本组成：一个典型的 通信系统 由以下几个基本部分组成：
▮▮▮▮ⓑ 信源 (Source)：产生 信息 的 源头 (Origin)，信息 可以是 语音 (Voice)、图像 (Image)、文字 (Text)、数据 (Data) 等。
▮▮▮▮ⓒ 发射机 (Transmitter)：将 信源 产生的 原始信号 (Original Signal) 进行 调制 (Modulation)、编码 (Coding) 等处理，转换为适合在 信道 (Channel) 中传输的 信号 (Signal)，并 发射 (Transmit) 出去。
▮▮▮▮ⓓ 信道 (Channel)：信号 传输的 媒介 (Medium)，可以是 有线信道 (Wired Channel)（如 电缆 (Cable)、光纤 (Optical Fiber)）或 无线信道 (Wireless Channel)（如 自由空间 (Free Space)、大气 (Atmosphere)）。信道 中通常存在 噪声 (Noise) 和 干扰 (Interference)，会影响 信号 的 质量 (Quality)。
▮▮▮▮ⓔ 接收机 (Receiver)：接收从 信道 传输来的 信号 (Signal)，进行 解调 (Demodulation)、解码 (Decoding) 等处理，恢复出 原始信号 (Original Signal)，并尽可能 消除噪声 (Noise) 和 干扰 (Interference) 的影响。
▮▮▮▮ⓕ 信宿 (Sink)：信息 的 目的地 (Destination)，接收 接收机 恢复出的 信息，并进行 处理 (Processing) 或 显示 (Display)。

② 通信系统的分类：通信系统 可以根据不同的标准进行分类：
▮▮▮▮ⓑ 模拟通信系统 (Analog Communication System) 和 数字通信系统 (Digital Communication System)：根据传输的 信号 类型，通信系统 可以分为 模拟通信系统 和 数字通信系统。模拟通信系统 传输 模拟信号 (Analog Signal)，数字通信系统 传输 数字信号 (Digital Signal)。
▮▮▮▮ⓒ 有线通信系统 (Wired Communication System) 和 无线通信系统 (Wireless Communication System)：根据 信道 类型，通信系统 可以分为 有线通信系统 和 无线通信系统。
▮▮▮▮ⓓ 单工通信 (Simplex Communication)、半双工通信 (Half-Duplex Communication) 和 全双工通信 (Full-Duplex Communication)：根据 通信方向 (Communication Direction)，通信系统 可以分为 单工通信、半双工通信 和 全双工通信。

③ 通信技术的主要内容：通信技术 主要研究 信息 的 有效 (Effective)、可靠 (Reliable)、安全 (Secure) 传输，主要内容包括：
▮▮▮▮ⓑ 信源编码 (Source Coding)：压缩 (Compression) 信源 产生的 原始信息 (Original Information)，去除 冗余信息 (Redundant Information)，提高 信息传输效率 (Information Transmission Efficiency)。
▮▮▮▮ⓒ 信道编码 (Channel Coding)：增加 冗余信息 (Redundant Information)，用于 纠正 (Correction) 或 检测 (Detection) 信道 中 噪声 (Noise) 和 干扰 (Interference) 引起的 错误 (Error)，提高 信息传输可靠性 (Information Transmission Reliability)。
▮▮▮▮ⓓ 调制与解调 (Modulation and Demodulation)：将 数字基带信号 (Digital Baseband Signal) 或 模拟基带信号 (Analog Baseband Signal) 转换为适合在 信道 中传输的 已调信号 (Modulated Signal)，并在 接收端 (Receiving End) 将 已调信号 恢复为 基带信号 (Baseband Signal)。常见的 调制方式 (Modulation Method) 包括 幅度调制 (Amplitude Modulation, AM)、频率调制 (Frequency Modulation, FM)、相位调制 (Phase Modulation, PM)、幅移键控 (Amplitude Shift Keying, ASK)、频移键控 (Frequency Shift Keying, FSK)、相移键控 (Phase Shift Keying, PSK)、正交幅度调制 (Quadrature Amplitude Modulation, QAM) 等。
▮▮▮▮ⓔ 多路复用 (Multiplexing) 和 多址接入 (Multiple Access)：多路复用 是指在 同一信道 (Same Channel) 上 同时 (Simultaneously) 传输 多路信号 (Multiple Signals) 的技术，提高 信道利用率 (Channel Utilization)。多址接入 是指 多个用户 (Multiple Users) 共享 (Share) 同一信道 进行 通信 的技术，例如 频分多址 (Frequency Division Multiple Access, FDMA)、时分多址 (Time Division Multiple Access, TDMA)、码分多址 (Code Division Multiple Access, CDMA)、正交频分多址 (Orthogonal Frequency Division Multiple Access, OFDMA) 等。
▮▮▮▮ⓕ 信道均衡 (Channel Equalization)：补偿 (Compensation) 信道特性 (Channel Characteristic) 引起的 信号失真 (Signal Distortion)，提高 信号质量 (Signal Quality)。
▮▮▮▮ⓖ 同步技术 (Synchronization Technology)：保证 发射端 (Transmitting End) 和 接收端 (Receiving End) 的 时钟 (Clock) 和 载波 (Carrier) 同步 (Synchronous)，实现 正确 (Correct) 的 解调 (Demodulation) 和 解码 (Decoding))。

④ 现代通信网络：随着 通信技术 和 计算机技术 的发展，现代 通信网络 日益复杂和多样化，主要包括：
▮▮▮▮ⓑ 移动通信网络 (Mobile Communication Network)：例如 2G (Second Generation)、3G (Third Generation)、4G (Fourth Generation)、5G (Fifth Generation) 等 移动通信系统 (Mobile Communication System)。
▮▮▮▮ⓒ 光纤通信网络 (Optical Fiber Communication Network)：利用 光纤 (Optical Fiber) 作为 传输介质 (Transmission Medium) 的 通信网络，具有 传输容量大 (Large Transmission Capacity)、传输距离远 (Long Transmission Distance)、抗干扰能力强 (Strong Anti-Interference Ability) 等优点。
▮▮▮▮ⓓ 卫星通信网络 (Satellite Communication Network)：利用 通信卫星 (Communication Satellite) 作为 中继站 (Relay Station) 的 通信网络，覆盖范围广，适用于 远距离通信 (Long-Distance Communication) 和 移动通信 (Mobile Communication)。
▮▮▮▮ⓔ 互联网 (Internet)：全球最大的 计算机网络 (Computer Network)，基于 TCP/IP协议 (Transmission Control Protocol/Internet Protocol)，实现 全球互联互通 (Global Interconnection)。

1.3.6 电子科学与技术 (Electronic Science and Technology)

电子科学与技术 (Electronic Science and Technology) 是电气工程的重要分支领域，主要研究 电子材料 (Electronic Material)、电子器件 (Electronic Device)、电子电路 (Electronic Circuit) 和 电子系统 (Electronic System) 的 理论 (Theory)、设计 (Design)、制造 (Manufacturing) 和 应用 (Application)。电子技术 是现代信息技术的核心，广泛应用于 通信 (Communication)、计算机 (Computer)、控制 (Control)、测量 (Measurement)、医疗 (Medical Treatment)、家用电器 (Home Appliance) 等领域。

① 电子材料 (Electronic Material)：电子材料 是构成 电子器件 和 电子电路 的 基础材料 (Basic Material)，主要分为：
▮▮▮▮ⓑ 半导体材料 (Semiconductor Material)：电导率 (Electrical Conductivity) 介于 导体 (Conductor) 和 绝缘体 (Insulator) 之间的 材料 (Material)，例如 硅 (Silicon, Si)、锗 (Germanium, Ge)、砷化镓 (Gallium Arsenide, GaAs) 等。半导体材料 是 半导体器件 的 核心材料 (Core Material)。
▮▮▮▮ⓒ 导体材料 (Conductor Material)：电导率 高的 材料，例如 铜 (Copper, Cu)、铝 (Aluminum, Al)、金 (Gold, Au)、银 (Silver, Ag) 等。导体材料 用于 导线 (Wire)、电极 (Electrode)、连接线 (Connecting Wire) 等。
▮▮▮▮ⓓ 绝缘材料 (Insulator Material)：电导率 低的 材料，例如 陶瓷 (Ceramic)、玻璃 (Glass)、塑料 (Plastic)、橡胶 (Rubber) 等。绝缘材料 用于 绝缘 (Insulation)、封装 (Encapsulation) 等。
▮▮▮▮ⓔ 磁性材料 (Magnetic Material)：具有 磁性 (Magnetism) 的 材料，例如 铁 (Iron, Fe)、镍 (Nickel, Ni)、钴 (Cobalt, Co)、铁氧体 (Ferrite) 等。磁性材料 用于 变压器 (Transformer)、电感器 (Inductor)、磁头 (Magnetic Head) 等。

② 电子器件 (Electronic Device)：电子器件 是利用 电子材料 的 电特性 (Electrical Characteristic)、磁特性 (Magnetic Characteristic) 或 光特性 (Optical Characteristic) 制成的 基本电子元件 (Basic Electronic Component)，主要分为：
▮▮▮▮ⓑ 半导体器件 (Semiconductor Device)：利用 半导体材料 的 半导体特性 (Semiconductor Characteristic) 制成的 电子器件，例如 二极管 (Diode)、晶体管 (Transistor)、场效应管 (Field-Effect Transistor, FET)、集成电路 (Integrated Circuit, IC) 等。半导体器件 是现代 电子技术 的核心。
▮▮▮▮ⓒ 真空电子器件 (Vacuum Electronic Device)：利用 真空 (Vacuum) 中 电子 (Electron) 的 运动 (Motion) 和 相互作用 (Interaction) 制成的 电子器件，例如 电子管 (Vacuum Tube)、显像管 (Picture Tube)、微波管 (Microwave Tube) 等。真空电子器件 曾是 电子技术 的重要组成部分，但现在已被 半导体器件 大量取代，但在 高频 (High Frequency)、大功率 (High Power) 等领域仍有应用。
▮▮▮▮ⓓ 光电子器件 (Optoelectronic Device)：利用 光 (Light) 与 电子 的 相互作用 (Interaction) 制成的 电子器件，例如 发光二极管 (Light-Emitting Diode, LED)、激光二极管 (Laser Diode, LD)、光电二极管 (Photodiode)、光电晶体管 (Phototransistor)、光纤 (Optical Fiber) 等。光电子器件 在 光通信 (Optical Communication)、光显示 (Optical Display)、光存储 (Optical Storage) 等领域有重要应用。
▮▮▮▮ⓔ 传感器 (Sensor)：感知 (Sense) 或 检测 (Detect) 物理量 (Physical Quantity)（如 温度 (Temperature)、压力 (Pressure)、湿度 (Humidity)、光强 (Light Intensity)、磁场 (Magnetic Field) 等）并将其转换为 电信号 (Electrical Signal) 的 电子器件。传感器 是 信息采集 (Information Acquisition) 的重要手段，广泛应用于 自动化 (Automation)、智能化 (Intelligentization)、物联网 (Internet of Things) 等领域。

③ 电子电路 (Electronic Circuit)：电子电路 是由 电子器件 和 连接线 (Connecting Wire) 等组成的 电路 (Circuit)，用于 实现 (Realize) 各种 电子功能 (Electronic Function)，主要分为：
▮▮▮▮ⓑ 模拟电子电路 (Analog Electronic Circuit)：处理 模拟信号 (Analog Signal) 的 电子电路，例如 放大器 (Amplifier)、滤波器 (Filter)、振荡器 (Oscillator)、运算放大器 (Operational Amplifier, Op-Amp) 等。
▮▮▮▮ⓒ 数字电子电路 (Digital Electronic Circuit)：处理 数字信号 (Digital Signal) 的 电子电路，例如 逻辑门电路 (Logic Gate Circuit)、触发器 (Flip-Flop)、计数器 (Counter)、寄存器 (Register)、存储器 (Memory)、微处理器 (Microprocessor)、数字信号处理器 (Digital Signal Processor, DSP)、现场可编程门阵列 (Field-Programmable Gate Array, FPGA)、专用集成电路 (Application-Specific Integrated Circuit, ASIC) 等。
▮▮▮▮ⓓ 混合信号电路 (Mixed-Signal Circuit)：同时处理 模拟信号 和 数字信号 的 电子电路，例如 模数转换器 (Analog-to-Digital Converter, ADC)、数模转换器 (Digital-to-Analog Converter, DAC)、混合信号集成电路 (Mixed-Signal Integrated Circuit) 等。

④ 电子系统的应用：电子系统 是由 电子电路 组成的 复杂系统 (Complex System)，用于 实现 (Realize) 各种 电子功能 (Electronic Function) 和 应用 (Application)，例如：
▮▮▮▮ⓑ 通信系统 (Communication System)：移动通信系统 (Mobile Communication System)、光纤通信系统 (Optical Fiber Communication System)、卫星通信系统 (Satellite Communication System)、无线局域网 (Wireless Local Area Network, WLAN)、蓝牙 (Bluetooth) 等。
▮▮▮▮ⓒ 计算机系统 (Computer System)：个人计算机 (Personal Computer, PC)、服务器 (Server)、工作站 (Workstation)、嵌入式系统 (Embedded System)、超级计算机 (Supercomputer) 等。
▮▮▮▮ⓓ 控制系统 (Control System)：工业控制系统 (Industrial Control System)、自动化生产线 (Automated Production Line)、机器人 (Robot)、数控机床 (Numerical Control Machine)、智能家居 (Smart Home) 等。
▮▮▮▮ⓔ 测量与仪器仪表 (Measurement and Instrumentation)：电子测量仪器 (Electronic Measuring Instrument)、传感器网络 (Sensor Network)、虚拟仪器 (Virtual Instrument) 等。
▮▮▮▮ⓕ 医疗电子 (Medical Electronics)：医疗设备 (Medical Equipment)、生物医学仪器 (Biomedical Instrument)、医学影像系统 (Medical Imaging System)、远程医疗 (Telemedicine) 等。
▮▮▮▮ⓖ 消费电子 (Consumer Electronics)：智能手机 (Smart Phone)、平板电脑 (Tablet Computer)、笔记本电脑 (Laptop Computer)、电视机 (Television Set)、音响 (Audio Equipment)、数码相机 (Digital Camera)、可穿戴设备 (Wearable Device) 等。

1.3.7 计算机科学与技术 (Computer Science and Technology)

计算机科学与技术 (Computer Science and Technology) 虽然在传统的学科分类中不完全属于电气工程，但由于 计算机 本身是建立在 电子技术 之上的，并且 计算机技术 与 电气工程 的其他分支领域（如 控制工程、通信工程、电力系统自动化 等）密切相关，因此，计算机科学与技术 常常被认为是电气工程的一个重要交叉和支撑领域。

① 计算机系统的组成：一个完整的 计算机系统 (Computer System) 由 硬件 (Hardware) 和 软件 (Software) 两大部分组成：
▮▮▮▮ⓑ 计算机硬件 (Computer Hardware)：构成 计算机系统 的 物理实体 (Physical Entity)，包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮❸ 中央处理器 (Central Processing Unit, CPU)：计算机 的 运算和控制核心 (Arithmetic and Control Core)，负责 指令 (Instruction) 的 执行 (Execution) 和 数据 (Data) 的 处理 (Processing))。
▮▮▮▮▮▮▮▮❹ 存储器 (Memory)：用于 存储 (Store) 程序 (Program) 和 数据 (Data) 的 部件 (Component)，分为 内存储器 (Internal Memory)（简称 内存 (Memory)，如 随机存取存储器 (Random Access Memory, RAM)、只读存储器 (Read-Only Memory, ROM))) 和 外存储器 (External Memory)（简称 外存 (External Storage)，如 硬盘 (Hard Disk Drive, HDD)、固态硬盘 (Solid State Drive, SSD)、光盘 (Optical Disk)、U盘 (USB Flash Drive))。
▮▮▮▮▮▮▮▮❺ 输入设备 (Input Device)：用于将 外部信息 (External Information) 输入到 计算机 的 设备 (Device)，例如 键盘 (Keyboard)、鼠标 (Mouse)、扫描仪 (Scanner)、摄像头 (Camera)、麦克风 (Microphone) 等。
▮▮▮▮▮▮▮▮❻ 输出设备 (Output Device)：用于将 计算机 的 处理结果 (Processing Result) 输出到 外部 (External) 的 设备 (Device)，例如 显示器 (Monitor)、打印机 (Printer)、扬声器 (Speaker) 等。
▮▮▮▮▮▮▮▮❼ 总线 (Bus)：计算机 各个 硬件部件 之间 传输数据 (Data Transmission) 的 公共通道 (Common Channel)。
▮▮▮▮ⓗ 计算机软件 (Computer Software)：运行在 计算机硬件 之上的 程序 (Program) 和 数据 (Data) 的 集合 (Collection)，分为：
▮▮▮▮▮▮▮▮❾ 系统软件 (System Software)：用于 管理 (Manage)、控制 (Control) 和 维护 (Maintain) 计算机系统 的 软件，例如 操作系统 (Operating System, OS)、编译程序 (Compiler)、解释程序 (Interpreter)、数据库管理系统 (Database Management System, DBMS)、网络管理软件 (Network Management Software) 等。
▮▮▮▮▮▮▮▮❿ 应用软件 (Application Software)：为 用户 (User) 提供 特定功能 (Specific Function) 的 软件，例如 文字处理软件 (Word Processing Software)、电子表格软件 (Spreadsheet Software)、演示文稿软件 (Presentation Software)、图形图像处理软件 (Graphics and Image Processing Software)、音视频播放软件 (Audio and Video Playback Software)、游戏软件 (Game Software)、行业应用软件 (Industry Application Software) 等。

② 计算机科学的主要分支：计算机科学 (Computer Science) 主要研究 计算机 的 理论基础 (Theoretical Foundation)、设计原理 (Design Principle)、算法 (Algorithm) 和 应用 (Application)，主要分支包括：
▮▮▮▮ⓑ 计算机体系结构 (Computer Architecture)：研究 计算机硬件系统 的 组成 (Composition)、组织 (Organization)、设计 (Design) 和 性能评价 (Performance Evaluation)。
▮▮▮▮ⓒ 操作系统 (Operating System)：研究 操作系统 的 原理 (Principle)、设计 (Design) 和 实现 (Implementation)，例如 进程管理 (Process Management)、存储管理 (Memory Management)、文件系统 (File System)、设备管理 (Device Management)、用户界面 (User Interface) 等。
▮▮▮▮ⓓ 计算机网络 (Computer Network)：研究 计算机网络 的 体系结构 (Architecture)、协议 (Protocol)、技术 (Technology) 和 应用 (Application)，例如 网络协议 (Network Protocol)、网络拓扑 (Network Topology)、网络安全 (Network Security)、互联网技术 (Internet Technology)、无线网络技术 (Wireless Network Technology) 等。
▮▮▮▮ⓔ 数据库系统 (Database System)：研究 数据库 (Database) 的 原理 (Principle)、设计 (Design)、实现 (Implementation) 和 应用 (Application)，例如 数据模型 (Data Model)、数据库设计 (Database Design)、数据库查询 (Database Query)、事务处理 (Transaction Processing)、数据挖掘 (Data Mining)、大数据技术 (Big Data Technology) 等。
▮▮▮▮ⓕ 人工智能 (Artificial Intelligence, AI)：研究 智能 (Intelligence) 的 本质 (Essence)、原理 (Principle) 和 实现方法 (Implementation Method)，以及 智能系统 (Intelligent System) 的 设计 (Design) 和 应用 (Application)，例如 机器学习 (Machine Learning)、深度学习 (Deep Learning)、自然语言处理 (Natural Language Processing, NLP)、计算机视觉 (Computer Vision)、专家系统 (Expert System)、机器人 (Robot) 等。
▮▮▮▮ⓖ 计算机图形学 (Computer Graphics)：研究 计算机 生成 图像 (Image) 和 动画 (Animation) 的 技术 (Technology) 和 方法 (Method)，例如 图形建模 (Graphics Modeling)、图形渲染 (Graphics Rendering)、虚拟现实 (Virtual Reality, VR)、增强现实 (Augmented Reality, AR) 等。
▮▮▮▮ⓗ 软件工程 (Software Engineering)：研究 软件 (Software) 的 开发 (Development)、维护 (Maintenance) 和 管理 (Management) 的 理论 (Theory)、方法 (Method) 和 技术 (Technology)，例如 软件需求分析 (Software Requirements Analysis)、软件设计 (Software Design)、软件测试 (Software Testing)、软件项目管理 (Software Project Management) 等。
▮▮▮▮ⓘ 算法与数据结构 (Algorithm and Data Structure)：研究 算法 的 设计 (Design)、分析 (Analysis) 和 优化 (Optimization)，以及 数据 的 组织 (Organization)、存储 (Storage) 和 管理 (Management)，是 计算机科学 的 核心基础 (Core Foundation)。

③ 计算机技术在电气工程中的应用：计算机技术 广泛应用于 电气工程 的各个分支领域，例如：
▮▮▮▮ⓑ 电力系统自动化 (Power System Automation)：电力系统 的 监视 (Monitoring)、控制 (Control)、保护 (Protection) 和 管理 (Management) 广泛采用 计算机技术，例如 能量管理系统 (Energy Management System, EMS)、配电管理系统 (Distribution Management System, DMS)、变电站自动化系统 (Substation Automation System, SAS)、广域测量系统 (Wide Area Measurement System, WAMS) 等。
▮▮▮▮ⓒ 电机控制 (Motor Control)：电机 的 高性能控制 (High-Performance Control)（如 矢量控制 (Vector Control)、直接转矩控制 (Direct Torque Control, DTC))) 和 智能化控制 (Intelligent Control) 离不开 计算机技术 和 数字信号处理技术 (Digital Signal Processing Technology)。
▮▮▮▮ⓓ 电力电子技术 (Power Electronics Technology)：电力电子变换器 的 数字化控制 (Digital Control) 和 智能化控制 (Intelligent Control) 广泛采用 微处理器 (Microprocessor)、数字信号处理器 (Digital Signal Processor, DSP) 和 现场可编程门阵列 (Field-Programmable Gate Array, FPGA) 等 计算机技术。
▮▮▮▮ⓔ 通信工程 (Communication Engineering)：现代 通信系统 和 通信网络 都是 计算机网络 的重要组成部分，计算机技术 是 通信技术 发展的重要支撑。
▮▮▮▮ⓕ 电子设计自动化 (Electronic Design Automation, EDA)：集成电路设计 (Integrated Circuit Design)、印刷电路板设计 (Printed Circuit Board Design, PCB Design)、电子系统设计 (Electronic System Design) 等都离不开 EDA工具软件 (EDA Tool Software) 的支持，EDA技术 是 电子科学与技术 发展的重要工具。

1.4 电气工程的未来发展趋势 (Future Trends in Electrical Engineering)

展望未来，电气工程将继续朝着智能化 (Intelligent)、绿色化 (Green)、融合化 (Integrated) 的方向发展，以应对日益复杂的社会需求和全球挑战。

1.4.1 智能化电气工程 (Intelligent Electrical Engineering)

智能化 (Intelligentization) 是电气工程未来发展的重要趋势。人工智能 (Artificial Intelligence, AI)、大数据 (Big Data)、云计算 (Cloud Computing)、物联网 (Internet of Things, IoT) 等新一代信息技术与电气工程的深度融合，将推动电气工程向 智能化电气工程 (Intelligent Electrical Engineering) 转型。

① 人工智能在电气工程中的应用：人工智能技术，特别是 机器学习 (Machine Learning) 和 深度学习 (Deep Learning)，在电气工程领域具有广阔的应用前景：
▮▮▮▮ⓑ 智能电力系统 (Intelligent Power System)：利用 人工智能技术 实现 电力系统 的 智能调度 (Intelligent Dispatch)、智能控制 (Intelligent Control)、智能诊断 (Intelligent Diagnosis)、智能预测 (Intelligent Prediction) 和 智能决策 (Intelligent Decision-Making)，提高 电力系统 的 运行效率 (Operation Efficiency)、可靠性 (Reliability)、安全性 (Safety) 和 经济性 (Economy))。例如，智能电网 (Smart Grid)、微电网 (Microgrid)、虚拟电厂 (Virtual Power Plant, VPP) 等都将广泛应用 人工智能技术。
▮▮▮▮ⓒ 智能电机与电器 (Intelligent Electrical Machines and Appliances)：将 人工智能技术 应用于 电机 和 电器 的 设计 (Design)、制造 (Manufacturing)、运行 (Operation) 和 维护 (Maintenance)，提高 电机 和 电器 的 性能 (Performance)、可靠性 (Reliability)、自动化水平 (Automation Level) 和 节能水平 (Energy Saving Level))。例如，智能电机 (Intelligent Motor)、智能变压器 (Intelligent Transformer)、智能开关 (Intelligent Switch)、智能家用电器 (Intelligent Home Appliance) 等。
▮▮▮▮ⓓ 智能控制系统 (Intelligent Control System)：利用 人工智能技术 设计 智能控制器 (Intelligent Controller)，实现 复杂系统 (Complex System) 的 自适应控制 (Adaptive Control)、鲁棒控制 (Robust Control)、优化控制 (Optimal Control) 和 预测控制 (Predictive Control)，提高 控制系统 的 控制性能 (Control Performance) 和 智能化水平 (Intelligent Level))。例如，智能交通系统 (Intelligent Transportation System, ITS)、智能制造系统 (Intelligent Manufacturing System)、智能建筑 (Intelligent Building) 等。
▮▮▮▮ⓔ 智能通信系统 (Intelligent Communication System)：利用 人工智能技术 实现 通信系统 的 智能资源管理 (Intelligent Resource Management)、智能频谱分配 (Intelligent Spectrum Allocation)、智能网络优化 (Intelligent Network Optimization)、智能安全 (Intelligent Security) 和 智能服务 (Intelligent Service)，提高 通信系统 的 性能 (Performance)、效率 (Efficiency) 和 用户体验 (User Experience))。例如，5G (Fifth Generation) 和 未来 6G (Sixth Generation) 移动通信系统 将广泛应用 人工智能技术。
▮▮▮▮ⓕ 智能电子器件与电路 (Intelligent Electronic Devices and Circuits)：将 人工智能技术 应用于 电子器件 和 电子电路 的 设计 (Design)、制造 (Manufacturing) 和 应用 (Application)，提高 电子器件 和 电子电路 的 性能 (Performance)、智能化水平 (Intelligent Level) 和 自动化水平 (Automation Level))。例如，智能传感器 (Intelligent Sensor)、智能芯片 (Intelligent Chip)、神经形态计算 (Neuromorphic Computing) 等。

② 大数据在电气工程中的应用：大数据技术 为 电气工程 提供了 海量数据 (Massive Data) 的 采集 (Collection)、存储 (Storage)、处理 (Processing) 和 分析 (Analysis) 能力，可以从中挖掘 有价值的信息 (Valuable Information) 和 知识 (Knowledge)，为 电气工程 的 智能化应用 提供 数据支撑 (Data Support)。例如：
▮▮▮▮ⓑ 电力系统大数据分析 (Power System Big Data Analysis)：利用 大数据技术 分析 电力系统运行数据 (Power System Operation Data)、故障数据 (Fault Data)、气象数据 (Meteorological Data)、用户用电数据 (User Electricity Consumption Data) 等，实现 电力系统状态估计 (Power System State Estimation)、故障诊断 (Fault Diagnosis)、负荷预测 (Load Forecasting)、设备状态评估 (Equipment Condition Assessment)、用户行为分析 (User Behavior Analysis) 和 需求侧管理 (Demand Side Management, DSM))。
▮▮▮▮ⓒ 电机与电器大数据分析 (Electrical Machines and Appliances Big Data Analysis)：利用 大数据技术 分析 电机 和 电器 的 运行数据 (Operation Data)、维护数据 (Maintenance Data)、故障数据 (Fault Data) 等，实现 电机 和 电器 的 状态监测 (Condition Monitoring)、故障预警 (Fault Early Warning)、寿命预测 (Life Prediction) 和 优化运行 (Optimal Operation))。
▮▮▮▮ⓓ 控制系统大数据分析 (Control System Big Data Analysis)：利用 大数据技术 分析 控制系统运行数据 (Control System Operation Data)、环境数据 (Environmental Data)、工艺数据 (Process Data) 等，实现 控制系统 的 性能优化 (Performance Optimization)、参数自整定 (Parameter Self-Tuning)、故障诊断 (Fault Diagnosis) 和 预测性维护 (Predictive Maintenance))。
▮▮▮▮ⓔ 通信系统大数据分析 (Communication System Big Data Analysis)：利用 大数据技术 分析 通信网络数据 (Communication Network Data)、用户行为数据 (User Behavior Data)、业务数据 (Service Data) 等，实现 通信网络优化 (Communication Network Optimization)、用户行为分析 (User Behavior Analysis)、个性化服务 (Personalized Service) 和 网络安全 (Network Security))。

1.4.2 绿色电气工程 (Green Electrical Engineering)

绿色化 (Greenization) 是电气工程未来发展的另一个重要趋势。应对全球气候变化和能源危机，推动 能源转型 (Energy Transition) 和 可持续发展 (Sustainable Development)，电气工程需要朝着 绿色电气工程 (Green Electrical Engineering) 方向发展。

① 可再生能源发电技术 (Renewable Energy Power Generation Technology)：大力发展 太阳能发电 (Solar Power Generation)、风力发电 (Wind Power Generation)、生物质能发电 (Biomass Power Generation)、地热能发电 (Geothermal Power Generation)、海洋能发电 (Ocean Energy Power Generation) 等 可再生能源发电技术，替代 化石能源发电 (Fossil Fuel Power Generation)，减少 碳排放 (Carbon Emission) 和 环境污染 (Environmental Pollution)。
▮▮▮▮ⓑ 高效太阳能电池 (High-Efficiency Solar Cell)：提高 太阳能电池 的 光电转换效率 (Photoelectric Conversion Efficiency)，降低 太阳能发电成本 (Solar Power Generation Cost)。
▮▮▮▮ⓒ 大型风力发电机组 (Large-Scale Wind Turbine Generator Unit)：发展 大型化 (Large-Scale)、轻量化 (Lightweight)、智能化 (Intelligent) 的 风力发电机组，提高 风力发电效率 (Wind Power Generation Efficiency) 和 可靠性 (Reliability))。
▮▮▮▮ⓓ 可再生能源并网技术 (Grid Integration Technology of Renewable Energy)：研究 可再生能源发电 的 并网技术 (Grid Integration Technology)，解决 可再生能源发电 的 间歇性 (Intermittency)、波动性 (Volatility) 和 随机性 (Randomness) 对 电力系统 的影响，保证 电力系统 的 安全稳定运行 (Safe and Stable Operation))。

② 节能技术 (Energy Saving Technology)：提高 能源利用效率 (Energy Utilization Efficiency)，减少 能源消耗 (Energy Consumption)，是实现 绿色电气工程 的重要途径。
▮▮▮▮ⓑ 高效节能电机 (High-Efficiency Energy-Saving Motor)：研发和推广 高效节能电机，替代 传统电机 (Traditional Motor)，降低 电机运行能耗 (Motor Operation Energy Consumption)。
▮▮▮▮ⓒ 高效节能电器 (High-Efficiency Energy-Saving Electrical Appliance)：研发和推广 高效节能电器，例如 节能灯 (Energy-Saving Lamp)、LED照明 (LED Lighting)、变频家用电器 (Variable Frequency Home Appliance) 等，降低 电器运行能耗 (Electrical Appliance Operation Energy Consumption))。
▮▮▮▮ⓓ 智能照明系统 (Intelligent Lighting System)：利用 传感器 (Sensor)、控制技术 (Control Technology) 和 通信技术 (Communication Technology)，实现 照明系统 的 按需照明 (Lighting on Demand) 和 智能控制 (Intelligent Control)，降低 照明能耗 (Lighting Energy Consumption))。
▮▮▮▮ⓔ 智能建筑节能 (Intelligent Building Energy Saving)：利用 智能控制技术 (Intelligent Control Technology) 和 物联网技术 (Internet of Things Technology)，实现 建筑 的 能源管理 (Energy Management) 和 优化控制 (Optimal Control)，降低 建筑能耗 (Building Energy Consumption))。
▮▮▮▮ⓕ 工业节能 (Industrial Energy Saving)：在 工业生产过程 (Industrial Production Process) 中，采用 先进的节能技术 (Advanced Energy Saving Technology) 和 优化控制方法 (Optimal Control Method)，降低 工业能耗 (Industrial Energy Consumption))。

③ 储能技术 (Energy Storage Technology)：储能技术 可以 存储 (Store) 电能，平衡 电力供需 (Power Supply and Demand)，提高 电力系统 的 灵活性 (Flexibility) 和 可靠性 (Reliability)，促进 可再生能源 的 消纳 (Consumption) 和 利用 (Utilization)。
▮▮▮▮ⓑ 抽水蓄能 (Pumped Hydro Energy Storage)：利用 水泵 (Water Pump) 将 低处的水 (Low-Level Water) 抽到 高处的水库 (High-Level Reservoir) 存储 能量 (Energy)，在 需要时 (When Needed) 再将 高处的水 (High-Level Water) 放下 发电 (Generate Electricity)。抽水蓄能 是 技术成熟 (Mature Technology)、容量大 (Large Capacity)、成本相对较低 (Relatively Low Cost) 的 储能方式 (Energy Storage Method)。
▮▮▮▮ⓒ 电化学储能 (Electrochemical Energy Storage)：利用 电池 (Battery) 存储 电能，例如 锂离子电池 (Lithium-ion Battery)、铅酸蓄电池 (Lead-Acid Battery)、钠硫电池 (Sodium-Sulfur Battery)、液流电池 (Flow Battery) 等。电化学储能 具有 响应速度快 (Fast Response Speed)、能量密度高 (High Energy Density)、布置灵活 (Flexible Arrangement) 等优点，广泛应用于 电动汽车 (Electric Vehicle, EV)、便携式电子设备 (Portable Electronic Device)、分布式储能 (Distributed Energy Storage) 和 电网储能 (Grid-Scale Energy Storage))。
▮▮▮▮ⓓ 其他储能技术 (Other Energy Storage Technologies)：例如 压缩空气储能 (Compressed Air Energy Storage, CAES)、飞轮储能 (Flywheel Energy Storage)、超导储能 (Superconducting Magnetic Energy Storage, SMES)、超级电容器储能 (Supercapacitor Energy Storage)、热储能 (Thermal Energy Storage) 等，这些 储能技术 各有特点，在特定领域具有应用潜力。

1.4.3 融合化电气工程 (Integrated Electrical Engineering)

融合化 (Integration) 是电气工程未来发展的又一个重要趋势。学科交叉融合 (Interdisciplinary Integration)、技术融合 (Technology Integration)、产业融合 (Industry Integration) 将成为推动 电气工程 创新发展的重要动力。

① 学科交叉融合：电气工程 与 信息科学 (Information Science)、材料科学 (Materials Science)、环境科学 (Environmental Science)、生物医学工程 (Biomedical Engineering)、人工智能 (Artificial Intelligence) 等学科的交叉融合，将催生新的学科方向和技术领域。
▮▮▮▮ⓑ 电气工程与信息科学的融合：智能电网 (Smart Grid)、物联网 (Internet of Things, IoT)、工业互联网 (Industrial Internet)、边缘计算 (Edge Computing)、云计算 (Cloud Computing)、大数据 (Big Data)、人工智能 (Artificial Intelligence) 等新兴技术，都是 电气工程 与 信息科学 深度融合的产物。
▮▮▮▮ⓒ 电气工程与材料科学的融合：新型半导体材料 (New Semiconductor Material)、纳米材料 (Nanomaterial)、超导材料 (Superconducting Material)、石墨烯 (Graphene)、碳纳米管 (Carbon Nanotube) 等 新材料 的研发和应用，将为 电子器件、电机 和 电器 的 性能提升 (Performance Improvement) 和 功能拓展 (Function Expansion) 提供 材料基础 (Material Basis)。
▮▮▮▮ⓓ 电气工程与环境科学的融合：可再生能源发电 (Renewable Energy Power Generation)、节能技术 (Energy Saving Technology)、环境保护技术 (Environmental Protection Technology)、碳捕获与封存 (Carbon Capture and Storage, CCS)、碳利用 (Carbon Utilization) 等技术，都是 电气工程 为解决 环境问题 (Environmental Problem)、实现 可持续发展 (Sustainable Development) 所做出的贡献。
▮▮▮▮ⓔ 电气工程与生物医学工程的融合：生物医学电子 (Biomedical Electronics)、医学影像 (Medical Imaging)、生物医学仪器 (Biomedical Instrument)、远程医疗 (Telemedicine)、康复工程 (Rehabilitation Engineering)、脑机接口 (Brain-Computer Interface, BCI) 等领域，都是 电气工程 与 生物医学工程 交叉融合的成果。

② 技术融合：电气工程 内部各分支领域之间的技术融合，以及 电气工程技术 与 其他工程领域技术的融合，将促进 综合性 (Comprehensive)、集成化 (Integrated)、智能化 (Intelligent) 的 工程系统 的发展。
▮▮▮▮ⓑ 电力系统与通信系统的融合：智能电网 (Smart Grid) 的建设，需要 电力系统技术 与 通信技术 的深度融合，实现 电力信息双向互动 (Two-Way Interaction of Power Information) 和 电力系统 的 智能化运行 (Intelligent Operation))。
▮▮▮▮ⓒ 电力电子技术与电机控制技术的融合：电力电子技术 和 电机控制技术 的融合，推动了 高性能电机驱动系统 (High-Performance Motor Drive System) 的发展，广泛应用于 工业机器人 (Industrial Robot)、电动汽车 (Electric Vehicle, EV)、高速列车 (High-Speed Train) 等领域。
▮▮▮▮ⓓ 电子技术与计算机技术的融合：电子技术 和 计算机技术 的融合，推动了 信息技术 (Information Technology) 的发展，计算机、智能手机 (Smart Phone)、物联网设备 (Internet of Things Device) 等 电子产品 (Electronic Product) 都离不开 电子技术 和 计算机技术 的协同发展。
▮▮▮▮ⓔ 电气工程技术与其他工程领域技术的融合：电气工程技术 与 机械工程 (Mechanical Engineering)、土木工程 (Civil Engineering)、化学工程 (Chemical Engineering)、材料工程 (Materials Engineering) 等其他工程领域技术的融合，将推动 复杂工程系统 (Complex Engineering System) 的发展，例如 智能制造系统 (Intelligent Manufacturing System)、智能交通系统 (Intelligent Transportation System)、智慧城市 (Smart City) 等。

③ 产业融合：电气工程 相关产业与其他产业的融合，将拓展 电气工程 的 应用领域 (Application Field) 和 产业边界 (Industry Boundary)，形成新的 产业形态 (Industry Form) 和 商业模式 (Business Model)。
▮▮▮▮ⓑ 能源产业与信息产业的融合：能源互联网 (Energy Internet)、虚拟电厂 (Virtual Power Plant, VPP)、能源服务 (Energy Service) 等 新业态 (New Business Form)，都是 能源产业 与 信息产业 融合的体现。
▮▮▮▮ⓒ 制造业与服务业的融合：智能制造 (Intelligent Manufacturing)、工业互联网 (Industrial Internet)、远程运维 (Remote Operation and Maintenance)、预测性维护 (Predictive Maintenance)、产品服务化 (Product Servitization) 等 新模式 (New Model)，都是 制造业 与 服务业 融合的趋势。
▮▮▮▮ⓓ 交通运输业与信息产业的融合：智能交通系统 (Intelligent Transportation System, ITS)、自动驾驶 (Autonomous Driving)、车联网 (Internet of Vehicles)、共享出行 (Shared Mobility) 等 新应用 (New Application)，都是 交通运输业 与 信息产业 融合的体现。
▮▮▮▮ⓔ 电气工程产业与金融产业的融合：能源金融 (Energy Finance)、绿色金融 (Green Finance)、碳金融 (Carbon Finance)、能源投资 (Energy Investment)、智能电网投资 (Smart Grid Investment) 等 新领域 (New Field)，都是 电气工程产业 与 金融产业 融合的体现。

总而言之，智能化、绿色化、融合化 是 电气工程 未来发展的主旋律。电气工程师 需要不断学习新知识、掌握新技能、迎接新挑战，为 电气工程 的 创新发展 和 人类社会 的 进步 做出贡献。

2. 电路理论基础 (Fundamentals of Circuit Theory)

2.1 电路的基本概念与定律 (Basic Concepts and Laws of Circuits)

本节将介绍电路分析的基石，包括电路的基本组成元素和描述电路行为的基本定律。理解这些概念和定律是进一步学习和分析复杂电路的基础。

2.1.1 电路与电路模型 (Circuits and Circuit Models)

电路 (Circuit) 是由电气元件 (Electrical components) 相互连接而形成的电流 (Electric current) 通路。电路的核心功能是实现电能的传输、分配和转换。为了简化电路的分析和设计，我们通常使用电路模型 (Circuit model) 来抽象实际电路。

① 电路的定义
电路是由导线和电气元件组成的闭合回路，为电荷的定向移动提供通道。一个完整的电路通常包含以下基本要素：
▮▮▮▮ⓐ 电源 (Source): 提供电能的装置，例如电压源 (Voltage source) 和电流源 (Current source)。
▮▮▮▮ⓑ 负载 (Load): 消耗或利用电能的元件，例如电阻 (Resistor)、电容 (Capacitor) 和电感 (Inductor)。
▮▮▮▮ⓒ 导线 (Wire): 连接电路元件，传输电流的导体，理想导线电阻忽略不计。
▮▮▮▮ⓓ 开关 (Switch): 控制电路通断的元件。

② 理想电路元件模型
在电路分析中，为了简化计算，我们通常使用理想化的电路元件模型。常见的理想元件模型包括：
▮▮▮▮ⓐ 理想电压源 (Ideal Voltage Source): 能够提供恒定电压，且内阻为零的电源。无论流过电压源的电流如何变化，其两端电压始终保持不变。
▮▮▮▮ⓑ 理想电流源 (Ideal Current Source): 能够提供恒定电流，且内阻为无穷大的电源。无论电流源两端电压如何变化，流过电流源的电流始终保持不变。
▮▮▮▮ⓒ 电阻 (Resistor): 阻碍电流流动的元件，将电能转化为热能。理想电阻的阻值是常数，与电压和电流无关。
▮▮▮▮ⓓ 电容 (Capacitor): 存储电荷和电场能量的元件。理想电容的电容值是常数，与电压和电流的变化率有关。
▮▮▮▮ⓔ 电感 (Inductor): 存储磁场能量，并能感应电动势的元件。理想电感的电感值是常数，与电流的变化率有关。

需要注意的是，理想元件模型是对实际元件的近似，在实际应用中，元件的特性会受到多种因素的影响，例如温度、频率等。

2.1.2 电压、电流与功率 (Voltage, Current, and Power)

电压 (Voltage)、电流 (Current) 和功率 (Power) 是描述电路状态和能量转换的基本物理量。

① 电压 (Voltage)
电压，也称为电势差 (Potential difference)，是衡量电场力做功能力大小的物理量，表示单位电荷在电场中从一点移动到另一点时电势能的变化。电压的单位是伏特 (Volt, V)。在电路中，电压通常指元件两端的电势差，是驱动电流流动的电动势 (Electromotive force, EMF) 的度量。

② 电流 (Current)
电流是电荷定向移动形成的宏观运动。更精确地说，电流定义为单位时间内通过导体横截面的电荷量。电流的单位是安培 (Ampere, A)。电流的方向规定为正电荷定向移动的方向。在金属导体中，电流主要是由自由电子的定向移动形成的，方向与电子移动方向相反。

③ 功率 (Power)
功率是描述电能转换或传输速率的物理量，表示单位时间内电路元件吸收或发出的电能。功率的单位是瓦特 (Watt, W)。

对于一个电路元件，如果其两端电压为 \( u \)，流过元件的电流为 \( i \)，则该元件的瞬时功率 \( p \) 为：
\[ p = u \cdot i \]
式中，
▮▮▮▮⚝ \( p > 0 \) 表示元件吸收功率 (负载)。
▮▮▮▮⚝ \( p < 0 \) 表示元件发出功率 (电源)。

对于直流电路，电压和电流均为恒定值，则功率也为恒定值 \( P = U \cdot I \)。

2.1.3 电阻、电容与电感 (Resistance, Capacitance, and Inductance)

电阻 (Resistance)、电容 (Capacitance) 和电感 (Inductance) 是电路中三种最基本的被动元件 (Passive components)，它们分别体现了电路对电流的阻碍、电荷存储和磁场能量存储的能力。

① 电阻 (Resistance)
电阻是导体对电流的阻碍作用的度量。电阻元件的主要功能是将电能转换为热能。电阻的单位是欧姆 (Ohm, Ω)。电阻的大小取决于导体的材料、长度、横截面积和温度。

对于均匀导体，其电阻 \( R \) 可以表示为：
\[ R = \rho \frac{l}{A} \]
式中，
▮▮▮▮⚝ \( \rho \) 是导体的电阻率 (Resistivity)，与材料有关，单位为 Ω⋅m。
▮▮▮▮⚝ \( l \) 是导体的长度，单位为 m。
▮▮▮▮⚝ \( A \) 是导体的横截面积，单位为 m²。

② 电容 (Capacitance)
电容是衡量电容器存储电荷能力的物理量。电容器主要用于存储电能、滤波、耦合等。电容的单位是法拉 (Farad, F)。电容的大小取决于电容器的结构、介质材料和极板面积。

对于平行板电容器，其电容 \( C \) 可以近似表示为：
\[ C = \varepsilon \frac{A}{d} \]
式中，
▮▮▮▮⚝ \( \varepsilon \) 是介质的介电常数 (Permittivity)，单位为 F/m。
▮▮▮▮⚝ \( A \) 是极板的面积，单位为 m²。
▮▮▮▮⚝ \( d \) 是极板间的距离，单位为 m。

③ 电感 (Inductance)
电感是衡量电感器存储磁场能量能力的物理量，也反映了电感器产生感应电动势的能力。电感器主要用于滤波、储能、变压等。电感的单位是亨利 (Henry, H)。电感的大小取决于电感器的形状、线圈匝数和磁芯材料。

对于螺线管电感器，其电感 \( L \) 可以近似表示为：
\[ L = \mu \frac{N^2 A}{l} \]
式中，
▮▮▮▮⚝ \( \mu \) 是磁芯的磁导率 (Permeability)，单位为 H/m。
▮▮▮▮⚝ \( N \) 是线圈的匝数。
▮▮▮▮⚝ \( A \) 是线圈的横截面积，单位为 m²。
▮▮▮▮⚝ \( l \) 是线圈的长度，单位为 m。

2.1.4 欧姆定律 (Ohm's Law)

欧姆定律 (Ohm's Law) 是描述电阻元件电压、电流和电阻之间关系的基本定律。它指出，在线性电阻 (Linear resistor) 中，流过电阻的电流与电阻两端的电压成正比，与电阻值成反比。

其数学表达式为：
\[ U = I \cdot R \]
或
\[ I = \frac{U}{R} \]
或
\[ R = \frac{U}{I} \]
式中，
▮▮▮▮⚝ \( U \) 是电阻两端的电压，单位为 V。
▮▮▮▮⚝ \( I \) 是流过电阻的电流，单位为 A。
▮▮▮▮⚝ \( R \) 是电阻值，单位为 Ω。

欧姆定律是电路分析中最基本、最重要的定律之一，广泛应用于直流电路和交流电路的分析计算。需要注意的是，欧姆定律只适用于线性电阻，即电阻值不随电压或电流变化的电阻。对于某些非线性元件，例如二极管、热敏电阻等，欧姆定律不再适用。

2.1.5 基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Laws)

基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Laws) 是电路分析中两个最基本的定律，包括基尔霍夫电流定律 (Kirchhoff's Current Law, KCL) 和基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff's Voltage Law, KVL)。它们是分析复杂电路的有力工具。

① 基尔霍夫电流定律 (KCL)
基尔霍夫电流定律 (Kirchhoff's Current Law, KCL)，又称节点电流定律 (Nodal current law)，描述了电路中节点 (Node) 电流的约束关系。其内容是：在任一节点处，流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。也可以表述为：在任一节点处，所有电流的代数和为零。

数学表达式为：
\[ \sum I_{流入} = \sum I_{流出} \]
或
\[ \sum_{节点} I = 0 \]

在应用 KCL 时，需要先确定电路中的节点。节点是指电路中多个元件的连接点。通常，导线连接的区域可以视为一个节点。在选择电流方向时，可以任意假设，但要保持一致性。流入节点的电流取正号，流出节点的电流取负号，或反之亦可，但必须统一。

② 基尔霍夫电压定律 (KVL)
基尔霍夫电压定律 (Kirchhoff's Voltage Law, KVL)，又称回路电压定律 (Loop voltage law)，描述了电路中回路 (Loop) 电压的约束关系。其内容是：在任一闭合回路中，沿回路绕行方向，所有电压升之和等于所有电压降之和。也可以表述为：在任一闭合回路中，所有电压的代数和为零。

数学表达式为：
\[ \sum U_{升} = \sum U_{降} \]
或
\[ \sum_{回路} U = 0 \]

在应用 KVL 时，需要先确定电路中的回路。回路是指电路中任一闭合路径。在选择绕行方向时，可以顺时针或逆时针，但要保持一致性。电压升和电压降的判断需要根据元件类型和电流方向来确定。例如，沿电流方向经过电阻，电压为降；沿电流方向经过电压源，如果从负极到正极，电压为升，反之则为降。

基尔霍夫定律是电路分析的基础，对于任何线性或非线性电路，无论电路的结构多么复杂，基尔霍夫定律都适用。通过应用 KCL 和 KVL，可以建立电路的方程组，从而求解电路中的电压和电流。

2.2 电阻电路的分析 (Analysis of Resistive Circuits)

本节将介绍电阻电路的基本分析方法，包括电阻的串并联、电压分配、电流分配，以及网孔分析法、节点分析法、叠加定理和戴维宁定理等。这些方法是分析和计算只包含电阻和独立源的线性电路的关键工具。

2.2.1 电阻的串联与并联 (Series and Parallel Connection of Resistors)

电阻的串联 (Series connection) 和并联 (Parallel connection) 是电路中最基本的连接方式。通过电阻的串并联组合，可以构成各种复杂的电阻网络。

① 电阻的串联
串联连接是指将多个电阻首尾依次相连，形成一条电流通路。在串联电路中，流过每个电阻的电流相等，而总电压等于各电阻两端电压之和。

对于 \( n \) 个电阻 \( R_1, R_2, \dots, R_n \) 串联，其等效电阻 \( R_{eq} \) 为：
\[ R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n = \sum_{i=1}^{n} R_i \]

串联电阻具有以下特点：
▮▮▮▮ⓐ 流过每个电阻的电流相等：\( I = I_1 = I_2 = \dots = I_n \)。
▮▮▮▮ⓑ 总电压等于各电阻两端电压之和：\( U = U_1 + U_2 + \dots + U_n \)。
▮▮▮▮ⓒ 等效电阻大于任何一个串联电阻的值：\( R_{eq} > R_i \) (for all \( i \)).
▮▮▮▮ⓓ 串联电阻起分压作用，电压分配与电阻值成正比：\( U_i = \frac{R_i}{R_{eq}} U \)。

② 电阻的并联
并联连接是指将多个电阻的首端连接在一起，尾端也连接在一起，形成多条电流通路。在并联电路中，每个电阻两端的电压相等，而总电流等于各电阻支路电流之和。

对于 \( n \) 个电阻 \( R_1, R_2, \dots, R_n \) 并联，其等效电阻 \( R_{eq} \) 的倒数为：
\[ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i} \]
或
\[ R_{eq} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}} \]

对于两个电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 并联，其等效电阻为：
\[ R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]

并联电阻具有以下特点：
▮▮▮▮ⓐ 每个电阻两端的电压相等：\( U = U_1 = U_2 = \dots = U_n \)。
▮▮▮▮ⓑ 总电流等于各电阻支路电流之和：\( I = I_1 + I_2 + \dots + I_n \)。
▮▮▮▮ⓒ 等效电阻小于任何一个并联电阻的值：\( R_{eq} < R_i \) (for all \( i \)).
▮▮▮▮ⓓ 并联电阻起分流作用，电流分配与电阻值成反比：\( I_i = \frac{R_{eq}}{R_i} I \)。

2.2.2 电压分配与电流分配 (Voltage Division and Current Division)

电压分配 (Voltage division) 和电流分配 (Current division) 是基于电阻串并联特性的重要电路分析技巧，用于快速计算串联电路中各电阻的电压和并联电路中各支路的电流。

① 电压分配
在串联电路中，总电压按照电阻值的大小比例分配到各个电阻上。对于两个串联电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \)，总电压为 \( U \)，则电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 两端的电压 \( U_1 \) 和 \( U_2 \) 分别为：
\[ U_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} U \]
\[ U_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} U \]

推广到 \( n \) 个串联电阻 \( R_1, R_2, \dots, R_n \)，电阻 \( R_i \) 两端的电压 \( U_i \) 为：
\[ U_i = \frac{R_i}{\sum_{j=1}^{n} R_j} U \]

② 电流分配
在并联电路中，总电流按照电阻值倒数的大小比例分配到各个支路。对于两个并联电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \)，总电流为 \( I \)，则流过电阻 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 的电流 \( I_1 \) 和 \( I_2 \) 分别为：
\[ I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} I \]
\[ I_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} I \]

推广到 \( n \) 个并联电阻 \( R_1, R_2, \dots, R_n \)，流过电阻 \( R_i \) 的电流 \( I_i \) 为：
\[ I_i = \frac{G_i}{\sum_{j=1}^{n} G_j} I = \frac{1/R_i}{\sum_{j=1}^{n} 1/R_j} I \]
式中，\( G_i = 1/R_i \) 是电阻 \( R_i \) 的电导 (Conductance)。

电压分配和电流分配公式在电路分析中非常实用，可以简化复杂电路的计算过程。

2.2.3 网孔分析法与节点分析法 (Mesh Analysis and Nodal Analysis)

网孔分析法 (Mesh analysis) 和节点分析法 (Nodal analysis) 是系统分析复杂电阻电路的两种基本方法。它们基于基尔霍夫定律，将电路方程系统化，便于求解电路中的电压和电流。

① 网孔分析法 (Mesh Analysis)
网孔分析法，又称回路分析法 (Loop analysis)，适用于平面电路 (Planar circuit)，即可以在平面上绘制且导线没有交叉的电路。网孔分析法以网孔电流 (Mesh current) 为未知量，利用 KVL 列写方程组求解。

网孔分析法的步骤如下：
▮▮▮▮ⓐ 识别网孔 (Identify meshes): 将电路分解为若干个网孔。网孔是指电路中不包含其他网孔的最小闭合回路。
▮▮▮▮ⓑ 定义网孔电流 (Define mesh currents): 在每个网孔中，假定一个绕行方向 (通常为顺时针)，并定义一个网孔电流。网孔电流是假想的绕网孔流动的电流。
▮▮▮▮ⓒ 列写 KVL 方程 (Write KVL equations): 对每个网孔，根据 KVL 列写方程。方程中，电阻上的电压用网孔电流和电阻值表示，电压源的电压直接使用给定值。注意，公共支路上的电阻电压应考虑两个相邻网孔电流的影响。
▮▮▮▮ⓓ 求解方程组 (Solve the equations): 得到包含网孔电流的线性方程组，求解方程组得到各网孔电流的值。
▮▮▮▮ⓔ 计算支路电流和电压 (Calculate branch currents and voltages): 根据网孔电流和元件参数，计算各支路电流和电压。支路电流可能是某个网孔电流，也可能是几个网孔电流的叠加。

② 节点分析法 (Nodal Analysis)
节点分析法，又称节点电压法 (Nodal voltage analysis)，适用于各种类型的电路，包括平面电路和非平面电路。节点分析法以节点电压 (Nodal voltage) 为未知量，利用 KCL 列写方程组求解。

节点分析法的步骤如下：
▮▮▮▮ⓐ 选择参考节点 (Choose a reference node): 在电路中选择一个参考节点 (通常是电路的公共地)，并将其电位设为零。
▮▮▮▮ⓑ 定义节点电压 (Define nodal voltages): 将电路中除参考节点外的其他独立节点 (Independent node) 的电位定义为节点电压。节点电压是相对于参考节点的电位差。
▮▮▮▮ⓒ 列写 KCL 方程 (Write KCL equations): 对每个独立节点，根据 KCL 列写方程。方程中，流过电阻的电流用节点电压和电阻值表示，电流源的电流直接使用给定值。
▮▮▮▮ⓓ 求解方程组 (Solve the equations): 得到包含节点电压的线性方程组，求解方程组得到各节点电压的值。
▮▮▮▮ⓔ 计算支路电流和电压 (Calculate branch currents and voltages): 根据节点电压和元件参数，计算各支路电流和电压。支路电压是两个节点电压之差，支路电流可以根据欧姆定律计算。

网孔分析法和节点分析法是电路分析的常用方法，选择哪种方法取决于电路的结构特点。一般来说，当电路中网孔数目较少时，采用网孔分析法较为方便；当电路中节点数目较少时，采用节点分析法较为方便。对于包含电压源较多的电路，网孔分析法可能更简洁；对于包含电流源较多的电路，节点分析法可能更简洁。

2.2.4 叠加定理与戴维宁定理 (Superposition Theorem and Thévenin's Theorem)

叠加定理 (Superposition theorem) 和戴维宁定理 (Thévenin's theorem) 是简化线性电路分析的重要定理。它们可以将复杂电路简化为更易于分析的等效电路，从而快速求解电路的响应。

① 叠加定理 (Superposition Theorem)
叠加定理适用于线性电路 (Linear circuit)。其内容是：在线性电路中，任一支路的电流或电压，可以看作是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路中产生的电流或电压的代数和。

应用叠加定理的步骤如下：
▮▮▮▮ⓐ 每次只保留一个独立电源 (Consider one independent source at a time): 将电路中除一个独立电源外的所有其他独立电源置零 (电压源短路，电流源开路)。
▮▮▮▮ⓑ 计算由该电源单独作用产生的响应 (Calculate the response due to this source alone): 分析简化后的电路，计算所求支路的电流或电压。
▮▮▮▮ⓒ 重复步骤 a 和 b，直到所有独立电源都单独作用过 (Repeat steps a and b for each independent source).
▮▮▮▮ⓓ 将各电源单独作用产生的响应叠加 (Sum up the responses): 将各个独立电源单独作用时，在所求支路中产生的电流或电压进行代数叠加，得到总响应。

叠加定理的实质是利用线性电路的线性性质 (Linearity)，将复杂的多源电路分解为多个简单的单源电路进行分析，然后将结果叠加。叠加定理只适用于线性电路，且只能用于求解电流和电压，不能直接用于求解功率，因为功率是电压和电流的非线性函数。

② 戴维宁定理 (Thévenin's Theorem)
戴维宁定理 (Thévenin's Theorem) 提供了一种将复杂线性二端网络 (Two-terminal network) 等效为一个简单的戴维宁等效电路 (Thévenin equivalent circuit) 的方法。戴维宁等效电路由一个等效电压源 (Thévenin voltage) \( U_{TH} \) 与一个等效电阻 (Thévenin resistance) \( R_{TH} \) 串联组成。

戴维宁定理的内容是：任何一个包含线性电阻和独立源的二端网络，都可以用一个电压源 \( U_{TH} \) 与一个电阻 \( R_{TH} \) 串联的等效电路来代替。其中，\( U_{TH} \) 是原二端网络开路时的开路电压，\( R_{TH} \) 是将原二端网络中所有独立源置零后，从输出端看进去的等效电阻。

求解戴维宁等效电路参数 \( U_{TH} \) 和 \( R_{TH} \) 的方法如下：
▮▮▮▮ⓐ 计算戴维宁等效电压 \( U_{TH} \) (Calculate Thévenin voltage \( U_{TH} \)): 将二端网络的输出端开路 (Open circuit)，计算输出端之间的开路电压，即为 \( U_{TH} \)。
▮▮▮▮ⓑ 计算戴维宁等效电阻 \( R_{TH} \) (Calculate Thévenin resistance \( R_{TH} \)): 将二端网络中所有独立电源置零 (电压源短路，电流源开路)，从输出端看进去，计算等效电阻，即为 \( R_{TH} \)。

得到戴维宁等效电路后，可以将复杂的二端网络替换为简单的等效电路，从而简化后续的电路分析和计算。戴维宁定理特别适用于分析电路中某个特定元件的电压或电流，或者分析负载变化对电路的影响。与戴维宁定理对偶的定理是诺顿定理 (Norton's theorem)，它将二端网络等效为一个电流源与一个电阻并联的形式。

2.3 动态电路的分析 (Analysis of Dynamic Circuits)

本节将介绍包含动态元件 (Dynamic components) (电容和电感) 的电路分析方法。与电阻电路不同，动态电路的响应不仅与激励有关，还与时间有关。本节主要介绍一阶电路 (First-order circuit) 和二阶电路 (Second-order circuit) 的瞬态响应 (Transient response) 和正弦稳态分析 (Sinusoidal steady-state analysis)，以及频率响应 (Frequency response) 的概念。

2.3.1 一阶电路的瞬态响应 (Transient Response of First-Order Circuits)

一阶电路是指电路中只包含一个动态元件 (电容或电感) 和电阻的电路。典型的一阶电路包括 RC 电路 (Resistor-Capacitor circuit) 和 RL 电路 (Resistor-Inductor circuit)。瞬态响应是指电路从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态的过程，通常发生在电路的激励发生变化或电路结构发生改变时。

① RC 电路的瞬态响应
考虑一个简单的 RC 串联电路，由电阻 \( R \)、电容 \( C \) 和电压源 \( U_s \) 组成。分析电容电压 \( u_C(t) \) 和电路电流 \( i(t) \) 的瞬态响应。

RC 电路的微分方程 (Differential equation) 为：
\[ RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = U_s \]
或
\[ R C \frac{di(t)}{dt} + i(t) = \frac{U_s}{R} \]

RC 电路的瞬态响应通常包含两个部分：零输入响应 (Zero-input response) 和 零状态响应 (Zero-state response)。

▮▮▮▮ⓐ 零输入响应 (Zero-input response): 指在没有外部激励 (电压源或电流源置零) 的情况下，仅由初始储能 (电容或电感的初始电压或电流) 引起的响应。RC 电路的零输入响应表现为指数衰减形式。
▮▮▮▮ⓑ 零状态响应 (Zero-state response): 指在初始储能为零 的情况下，仅由外部激励 引起的响应。RC 电路的零状态响应取决于激励的类型。

对于阶跃激励 (例如，电压源从 0 阶跃到 \( U_s \))，RC 电路的零状态响应也表现为指数形式，最终达到稳态值。RC 电路的时间常数 (Time constant) 为 \( \tau = RC \)，反映了瞬态过程的快慢。时间常数越大，瞬态过程越慢。

② RL 电路的瞬态响应
考虑一个简单的 RL 串联电路，由电阻 \( R \)、电感 \( L \) 和电压源 \( U_s \) 组成。分析电感电流 \( i_L(t) \) 和电路电流 \( i(t) \) 的瞬态响应。

RL 电路的微分方程为：
\[ \frac{L}{R} \frac{di_L(t)}{dt} + i_L(t) = \frac{U_s}{R} \]
或
\[ \frac{L}{R} \frac{di(t)}{dt} + i(t) = \frac{U_s}{R} \]

RL 电路的瞬态响应也包含零输入响应和零状态响应，形式与 RC 电路类似，也表现为指数形式。RL 电路的时间常数为 \( \tau = L/R \)。

一阶电路的瞬态响应分析是动态电路分析的基础，掌握一阶电路的瞬态响应特性对于理解更复杂的电路行为至关重要。

2.3.2 二阶电路的瞬态响应 (Transient Response of Second-Order Circuits)

二阶电路是指电路中包含两个独立动态元件 (电容和/或电感) 和电阻的电路。典型的二阶电路包括 RLC 串联电路 (Resistor-Inductor-Capacitor series circuit) 和 RLC 并联电路 (Resistor-Inductor-Capacitor parallel circuit)。二阶电路的瞬态响应比一阶电路更为复杂，可能出现振荡 (Oscillation) 现象。

① RLC 串联电路的瞬态响应
考虑一个 RLC 串联电路，由电阻 \( R \)、电感 \( L \)、电容 \( C \) 和电压源 \( U_s \) 组成。分析电容电压 \( u_C(t) \) 或电路电流 \( i(t) \) 的瞬态响应。

RLC 串联电路的二阶微分方程 (Second-order differential equation) 为：
\[ LC \frac{d^2 u_C(t)}{dt^2} + RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = U_s \]
或
\[ LC \frac{d^2 i(t)}{dt^2} + RC \frac{di(t)}{dt} + i(t) = \frac{U_s}{R} \]

二阶电路的瞬态响应类型取决于特征方程 (Characteristic equation) 的根，即阻尼比 (Damping ratio) \( \zeta \) 和自然角频率 (Natural angular frequency) \( \omega_n \)。

▮▮▮▮ⓐ 过阻尼 (Overdamped, \( \zeta > 1 \)): 特征方程有两个不相等的实根。瞬态响应表现为两个指数衰减项的叠加，响应缓慢且无振荡。
▮▮▮▮ⓑ 临界阻尼 (Critically damped, \( \zeta = 1 \)): 特征方程有两个相等的实根。瞬态响应衰减最快且无振荡，是过渡到稳态的最快方式。
▮▮▮▮ⓒ 欠阻尼 (Underdamped, \( 0 < \zeta < 1 \)): 特征方程有一对共轭复根。瞬态响应表现为衰减振荡形式，响应快速但有超调和振荡。
▮▮▮▮ⓓ 无阻尼 (Undamped, \( \zeta = 0 \)): 特征方程有一对纯虚根。瞬态响应表现为等幅振荡形式，不衰减。

阻尼比 \( \zeta \) 和自然角频率 \( \omega_n \) 与电路参数 \( R \)、\( L \)、\( C \) 的关系为：
\[ \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
\[ \zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{2 \omega_n L} = \frac{R}{2} \omega_n C \]

② RLC 并联电路的瞬态响应
RLC 并联电路的瞬态响应分析与 RLC 串联电路类似，只是微分方程的形式略有不同，但瞬态响应的类型 (过阻尼、临界阻尼、欠阻尼) 和判断条件是相同的。

二阶电路的瞬态响应分析在许多电气工程领域都有重要应用，例如在控制系统、滤波器设计、电力系统暂态分析等方面。

2.3.3 正弦稳态分析 (Sinusoidal Steady-State Analysis)

正弦稳态分析 (Sinusoidal steady-state analysis) 是分析电路在正弦激励 (Sinusoidal excitation) 下，稳态响应 (Steady-state response) 的方法。当电路受到正弦激励后，经过一段瞬态过程，电路的响应 (电压和电流) 也将变为同频率的正弦波，这种状态称为正弦稳态。

相量法 (Phasor method) 是进行正弦稳态分析的有效工具。相量法将时域的正弦量 (电压和电流) 转换为频域的相量 (Phasor) 表示，将电路中的微分方程转换为代数方程，从而简化分析过程。

① 相量的概念
任何一个正弦量 \( x(t) = X_m \cos(\omega t + \phi) \) 可以用一个相量 \( \mathbf{X} \) 表示：
\[ \mathbf{X} = X_m e^{j\phi} = X_m \angle \phi \]
式中，
▮▮▮▮⚝ \( X_m \) 是正弦量的幅值 (Amplitude)。
▮▮▮▮⚝ \( \phi \) 是正弦量的初相位 (Initial phase)。
▮▮▮▮⚝ \( \omega \) 是正弦量的角频率 (Angular frequency)。
▮▮▮▮⚝ \( j \) 是虚数单位。

相量是一个复数，可以用极坐标形式 \( X_m \angle \phi \) 或直角坐标形式 \( X_{Re} + jX_{Im} \) 表示。

② 元件的相量模型
在相量域中，电阻、电容和电感可以用阻抗 (Impedance) \( \mathbf{Z} \) 或导纳 (Admittance) \( \mathbf{Y} \) 来表示。

▮▮▮▮ⓐ 电阻 (Resistor): 阻抗 \( \mathbf{Z}_R = R \)，导纳 \( \mathbf{Y}_R = \frac{1}{R} = G \)。
▮▮▮▮ⓑ 电感 (Inductor): 阻抗 \( \mathbf{Z}_L = j\omega L \)，导纳 \( \mathbf{Y}_L = \frac{1}{j\omega L} = \frac{-j}{\omega L} \)。
▮▮▮▮ⓒ 电容 (Capacitor): 阻抗 \( \mathbf{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{-j}{\omega C} \)，导纳 \( \mathbf{Y}_C = j\omega C \)。

阻抗 \( \mathbf{Z} \) 是电压相量与电流相量的比值：\( \mathbf{Z} = \frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}} \)。导纳 \( \mathbf{Y} \) 是阻抗的倒数：\( \mathbf{Y} = \frac{1}{\mathbf{Z}} = \frac{\mathbf{I}}{\mathbf{U}} \)。阻抗和导纳都是复数，包含实部和虚部。阻抗的实部称为电阻 (Resistance)，虚部称为电抗 (Reactance)。导纳的实部称为电导 (Conductance)，虚部称为电纳 (Susceptance)。

③ 相量域电路分析
在相量域中，电阻电路的分析方法 (例如，串并联、电压分配、电流分配、网孔分析法、节点分析法、叠加定理、戴维宁定理) 仍然适用，只需将电阻替换为阻抗，电导替换为导纳，电压和电流替换为相量即可。

正弦稳态分析是交流电路分析的基础，广泛应用于电力系统、电子电路、通信系统等领域。

2.3.4 频率响应 (Frequency Response)

频率响应 (Frequency response) 描述了线性时不变系统 (Linear Time-Invariant System, LTI System) 在不同频率正弦激励下的稳态响应特性。频率响应通常用幅频特性 (Magnitude response) 和相频特性 (Phase response) 两个曲线来表示。

① 幅频特性 (Magnitude Response)
幅频特性描述了系统输出信号的幅值与输入信号幅值之比 (幅值比，或增益) 随频率变化的规律。通常用分贝 (Decibel, dB) 表示增益，增益 \( A_{dB} \) 与幅值比 \( A \) 的关系为：
\[ A_{dB} = 20 \log_{10}(A) \]
幅频特性曲线通常以对数坐标 (Logarithmic scale) 绘制，横轴为频率的对数，纵轴为增益的分贝值。

② 相频特性 (Phase Response)
相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号相位之差 (相移) 随频率变化的规律。相频特性曲线通常以线性坐标 (Linear scale) 或对数坐标绘制，横轴为频率的对数，纵轴为相移的度数或弧度值。

③ 频率响应的计算
对于一个线性电路，其频率响应可以通过以下步骤计算：
▮▮▮▮ⓐ 建立系统的传递函数 (Establish the transfer function): 将电路表示为传递函数 \( H(s) \) 的形式，其中 \( s = j\omega \) 是复频率。
▮▮▮▮ⓑ 计算频率响应函数 (Calculate the frequency response function): 将 \( s = j\omega \) 代入传递函数 \( H(s) \)，得到频率响应函数 \( H(j\omega) \)。
▮▮▮▮ⓒ 提取幅频特性和相频特性 (Extract magnitude and phase responses): 将频率响应函数 \( H(j\omega) \) 表示为极坐标形式 \( |H(j\omega)| \angle \phi(\omega) \)，其中 \( |H(j\omega)| \) 为幅频特性，\( \phi(\omega) \) 为相频特性。

频率响应是分析系统性能的重要工具，广泛应用于滤波器设计、放大器设计、控制系统分析等领域。通过频率响应，可以了解系统对不同频率信号的响应能力，例如通带、阻带、截止频率、谐振频率等特性。常用的频率响应分析工具包括 伯德图 (Bode plot) 和 奈奎斯特图 (Nyquist plot)。

频率响应分析是电路理论的重要组成部分，是连接时域分析和频域分析的桥梁，为更深入地理解和应用电路理论奠定了基础。

3. 电磁场理论 (Electromagnetic Field Theory)

本章介绍电磁场的基本理论，包括静电场、静磁场、时变电磁场和电磁波。

3.1 静电场 (Electrostatic Fields)

介绍静电场的概念、电场强度、电势、高斯定律、电容等。

3.1.1 电荷与库仑定律 (Electric Charge and Coulomb's Law)

介绍电荷的概念和库仑定律。

电荷 (Electric Charge) 是物质的一种基本属性，是构成物质的基本粒子所携带的电性。电荷有两种类型：正电荷 (positive charge) 和负电荷 (negative charge)。同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引。电荷的最小单元是元电荷 (elementary charge)，通常用符号 \(e\) 表示，其数值约为 \(1.602 \times 10^{-19}\) 库仑 (Coulomb, C)。电子 (electron) 携带负电荷 \(-e\)，质子 (proton) 携带正电荷 \(+e\)。

库仑定律 (Coulomb's Law) 描述了真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。定律指出，两个点电荷 \(q_1\) 和 \(q_2\) 之间的作用力 \(F\) 的大小与它们电荷量的乘积成正比，与它们之间距离 \(r\) 的平方成反比。作用力的方向沿着两个点电荷的连线。在真空中，库仑定律的数学表达式为：

\[ \mathbf{F}_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}}_{12} \]

其中：
⚝ \(\mathbf{F}_{12}\) 是电荷 \(q_2\) 对电荷 \(q_1\) 的作用力（矢量，Vector）。
⚝ \(k\) 是库仑常数 (Coulomb's constant)，在真空中，\(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)。
⚝ \(\epsilon_0\) 是真空介电常数 (permittivity of free space)，\(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\) (法拉/米)。
⚝ \(q_1\) 和 \(q_2\) 是两个点电荷的电荷量（标量，Scalar），单位为库仑 (C)。
⚝ \(r\) 是两个点电荷之间的距离（标量，Scalar），单位为米 (m)。
⚝ \(\mathbf{\hat{r}}_{12}\) 是从电荷 \(q_2\) 指向电荷 \(q_1\) 的单位矢量 (unit vector)。

如果 \(q_1 q_2 > 0\)，则作用力为斥力；如果 \(q_1 q_2 < 0\)，则作用力为引力。库仑定律是静电场理论的基础，它定量地描述了电荷之间的相互作用。

3.1.2 电场强度与电势 (Electric Field Intensity and Electric Potential)

定义电场强度和电势，介绍其物理意义。

电场强度 (Electric Field Intensity)

电场 (Electric Field) 是指存在于带电物体周围空间中的一种特殊物质，它对放入其中的其他电荷产生力的作用。为了定量描述电场的强弱和方向，引入了电场强度的概念。电场强度 \(\mathbf{E}\) 定义为单位正电荷在电场中所受的电场力。如果一个试探电荷 \(q_0\) 在电场中某点受到电场力 \(\mathbf{F}\)，则该点的电场强度为：

\[ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q_0} \]

电场强度 \(\mathbf{E}\) 是一个矢量，其方向与正电荷在该点所受电场力方向相同，单位是牛顿/库仑 (N/C) 或伏特/米 (V/m)。电场强度反映了电场本身的性质，与试探电荷无关。

电势 (Electric Potential)

电势是描述电场中各点能量特性的物理量。为了将电场的能量性质数量化，引入了电势的概念。电势 \(\varphi\) 定义为将单位正电荷从参考点（通常为无穷远处或零电势点）移动到电场中某点时，电场力所做的功。电势是一个标量，单位是伏特 (Volt, V)。

电势与电场强度之间存在密切关系。电场力做功与电势能 (electric potential energy) 的变化有关。电势差 (potential difference) \(U_{AB}\) 定义为电场中两点 A 和 B 之间的电势之差：

\[ U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = -\int_B^A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \]

其中，积分路径是从 B 点到 A 点的任意路径，\(d\mathbf{l}\) 是路径上的微分线元。负号表示电场力做功导致电势能降低。电场强度 \(\mathbf{E}\) 与电势 \(\varphi\) 之间的关系也可以用梯度 (gradient) 表示：

\[ \mathbf{E} = -\nabla \varphi = -\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{\hat{y}} + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{\hat{z}} \right) \]

在笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinate system) 中，\(\mathbf{\hat{x}}\)、\(\mathbf{\hat{y}}\)、\(\mathbf{\hat{z}}\) 分别是 x、y、z 方向的单位矢量。这个公式表明，电场强度 \(\mathbf{E}\) 是电势 \(\varphi\) 梯度 (Gradient) 的负值，电场强度的方向指向电势降低最快的方向。

物理意义

⚝ 电场强度 \(\mathbf{E}\) 描述了电场在空间中某一点的力的性质，表示单位正电荷在该点所受的力。
⚝ 电势 \(\varphi\) 描述了电场在空间中某一点的能量性质，表示单位正电荷在该点所具有的电势能。
⚝ 电势差 \(U_{AB}\) 表示将单位正电荷从一点移动到另一点时，电场力所做的功，也即能量的转换。

电场强度和电势是描述静电场的两个基本物理量，它们从不同角度反映了电场的特性，并在静电场分析中起着至关重要的作用。

3.1.3 静电场中的导体与电介质 (Conductors and Dielectrics in Electrostatic Fields)

介绍导体和电介质在静电场中的特性。

导体 (Conductors)

导体是容易导电的物质，其内部含有大量的自由电荷 (free charges)，如金属。在静电平衡状态下，导体具有以下重要特性：

① 导体内部电场强度为零：由于导体内部存在大量自由电荷，当导体内部存在电场时，自由电荷会迅速移动以抵消电场，直至电场强度为零。因此，在静电平衡状态下，导体内部的电场强度 \(\mathbf{E} = 0\)。

② 导体表面是等势面：由于导体内部电场强度为零，沿着导体表面移动电荷时，电场力不做功，因此导体表面各点电势相等，导体表面是一个等势面 (equipotential surface)。

③ 电荷分布在导体表面：由于导体内部电场强度为零，根据高斯定律 (Gauss's Law)，导体内部净电荷密度为零。因此，静电荷只能分布在导体的表面。

④ 导体表面电场强度垂直于表面：如果导体表面电场强度存在切向分量，则会驱动表面电荷移动，破坏静电平衡状态。因此，在静电平衡状态下，导体表面附近的电场强度必须垂直于导体表面。

⑤ 尖端放电效应：导体表面曲率半径越小的地方（如尖端），电荷密度越高，电场强度也越大，容易发生尖端放电 (corona discharge) 现象。

电介质 (Dielectrics)

电介质是不容易导电的物质，也称为绝缘体 (insulators)，如玻璃、陶瓷、塑料等。电介质内部几乎没有自由电荷，但存在大量的束缚电荷 (bound charges)，即原子或分子内的电荷。当电介质置于外电场中时，电介质会发生极化 (polarization) 现象。

① 电介质的极化：在外电场作用下，电介质内部的分子或原子会发生电偶极矩 (electric dipole moment) 的取向排列或形变，使得电介质内部产生附加电场，称为极化电场 (polarization field) \(\mathbf{E}_P\)。极化电场的方向与外电场方向相反，从而减弱了电介质内部的合电场。

② 相对介电常数 (relative permittivity)：描述电介质极化程度的物理量是相对介电常数 \(\epsilon_r\)，也称为介质常数。它表示电介质中电场强度减弱的程度。电介质中的电场强度 \(\mathbf{E}\) 与外电场强度 \(\mathbf{E}_0\) 的关系为：

\[ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{E}_0}{\epsilon_r} \]

相对介电常数 \(\epsilon_r \ge 1\)，真空的相对介电常数为 1。

③ 电位移矢量 (electric displacement vector)：为了方便描述电介质中的电场，引入了电位移矢量 \(\mathbf{D}\)。电位移矢量 \(\mathbf{D}\)、电场强度 \(\mathbf{E}\) 和电极化强度 \(\mathbf{P}\) 之间的关系为：

\[ \mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf{E} = \epsilon \mathbf{E} \]

其中，\(\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r\) 是电介质的介电常数 (permittivity)。电位移矢量 \(\mathbf{D}\) 的高斯定律形式与自由空间中的电场强度 \(\mathbf{E}\) 的高斯定律形式类似，但源项只包含自由电荷。

导体与电介质的应用

⚝ 导体常用于制作导线、电极、屏蔽罩等，利用其良好的导电性和等势性。
⚝ 电介质常用于制作电容器的介质、绝缘材料等，利用其极化特性和绝缘性能。
⚝ 导体和电介质的组合应用是构成各种电气设备和电子器件的基础。

3.1.4 电容与电容率 (Capacitance and Permittivity)

定义电容，介绍电容率的概念。

电容 (Capacitance)

电容是描述电容器 (capacitor) 存储电荷能力 (charge storage capacity) 的物理量。电容器是由两个彼此绝缘的导体（极板，plates）组成的器件。当在两个极板之间施加电压时，极板上会积累电荷。电容 \(C\) 定义为电容器极板上存储的电荷量 \(Q\) 与极板间电压 \(U\) 的比值：

\[ C = \frac{Q}{U} \]

电容 \(C\) 的单位是法拉 (Farad, F)，简称法。1 法拉 = 1 库仑/伏特 (1 F = 1 C/V)。在实际应用中，常用的电容单位有微法 (μF)、纳法 (nF) 和皮法 (pF)，换算关系为：1 μF = \(10^{-6}\) F，1 nF = \(10^{-9}\) F，1 pF = \(10^{-12}\) F。

平行板电容器 (parallel plate capacitor)

对于平行板电容器，其电容值与极板面积 \(S\) 成正比，与极板间距离 \(d\) 成反比，还与极板间介质的介电常数 \(\epsilon\) 有关。平行板电容器的电容计算公式为：

\[ C = \epsilon \frac{S}{d} = \epsilon_0 \epsilon_r \frac{S}{d} \]

其中：
⚝ \(S\) 是极板的有效面积（标量，Scalar），单位为平方米 (m\(^2\))。
⚝ \(d\) 是两极板之间的距离（标量，Scalar），单位为米 (m)。
⚝ \(\epsilon\) 是极板间介质的介电常数（标量，Scalar），单位为法拉/米 (F/m)。
⚝ \(\epsilon_0\) 是真空介电常数，\(\epsilon_r\) 是相对介电常数。

电容率 (Permittivity)

电容率 \(\epsilon\) 也称为介电常数，是描述介质电极化特性的物理量，表示介质对电场的容纳能力。电容率越大，介质中能够建立的电场强度越弱，或者说在相同电场强度下，介质中能够存储的电场能量越大。电容率 \(\epsilon\) 通常表示为真空介电常数 \(\epsilon_0\) 和相对介电常数 \(\epsilon_r\) 的乘积：

\[ \epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r \]

⚝ 真空介电常数 \(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\) 是一个基本物理常数，表示真空的电容率。
⚝ 相对介电常数 \(\epsilon_r\) 是无量纲的 (dimensionless)，表示某种介质的电容率相对于真空电容率的倍数。不同介质的相对介电常数不同，例如，空气的 \(\epsilon_r \approx 1\)，水的 \(\epsilon_r \approx 80\)，常用的电介质材料的 \(\epsilon_r\) 值通常在 2 到 10 之间。

电容和电容率是静电场分析和电容器设计中的重要参数。电容决定了电容器的储能能力，而电容率则反映了介质的电极化特性和对电场的影响。

3.1.5 高斯定律及其应用 (Gauss's Law and its Applications)

阐述高斯定律的内容及其在计算电场中的应用。

高斯定律 (Gauss's Law)

高斯定律是静电场中的一个基本定律，它描述了电场强度通量 (electric flux) 与包围的电荷之间的关系。高斯定律指出，穿过任意闭合曲面 (closed surface) 的电场强度通量 \(\Phi_E\) 等于该闭合曲面内包围的总电荷 \(Q_{enc}\) 除以真空介电常数 \(\epsilon_0\)。

高斯定律的积分形式 (integral form) 为：

\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} \]

其中：
⚝ \(\oint_S\) 表示对闭合曲面 \(S\) 进行积分。
⚝ \(\mathbf{E}\) 是电场强度矢量 (vector field)。
⚝ \(d\mathbf{S}\) 是闭合曲面 \(S\) 上的微分面积矢量，其方向垂直于曲面并指向外部。
⚝ \(Q_{enc}\) 是闭合曲面 \(S\) 内包围的总电荷量（标量，Scalar）。
⚝ \(\epsilon_0\) 是真空介电常数。

高斯定律的微分形式 (differential form) 是用散度 (divergence) 表示的：

\[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \]

其中：
⚝ \(\nabla \cdot \mathbf{E}\) 是电场强度 \(\mathbf{E}\) 的散度。
⚝ \(\rho\) 是电荷体密度 (charge volume density)，表示单位体积内的电荷量，单位为库仑/立方米 (C/m\(^3\))。

高斯定律的应用

高斯定律是计算具有高度对称性电荷分布产生的电场强度 (electric field intensity) 的有效工具。应用高斯定律计算电场强度的步骤通常包括：

① 选择合适的高斯面 (Gaussian surface)：根据电荷分布的对称性，选择一个能够简化计算的闭合曲面作为高斯面。通常选择球对称、柱对称或平面对称的高斯面。高斯面应尽可能与电场强度方向垂直或平行，使得 \(\mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}\) 易于计算。

② 计算高斯面上的电场强度通量：根据电荷分布的对称性，分析高斯面上电场强度的大小和方向，计算电场强度通量 \(\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}\)。

③ 计算高斯面内包围的总电荷量：根据电荷分布，计算高斯面内包围的总电荷量 \(Q_{enc}\)。

④ 应用高斯定律求解电场强度：根据高斯定律 \(\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\)，求解电场强度 \(\mathbf{E}\)。

应用实例

⚝ 点电荷的电场：选择以点电荷为球心，半径为 \(r\) 的球面作为高斯面。由于球对称性，电场强度 \(\mathbf{E}\) 沿径向方向，大小相等。高斯定律简化为 \(E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}\)，解得 \(E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\)。

⚝ 均匀带电无限长直线的电场：选择以带电直线为轴线，半径为 \(r\)，长度为 \(l\) 的圆柱面作为高斯面。由于柱对称性，电场强度 \(\mathbf{E}\) 沿径向方向，大小相等。高斯定律简化为 \(E \cdot 2\pi r l = \frac{\lambda l}{\epsilon_0}\)，其中 \(\lambda\) 是线电荷密度 (line charge density)，解得 \(E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\)。

⚝ 均匀带电无限大平面的电场：选择平行于带电平面，上下底面面积为 \(S\) 的圆柱形或长方体形作为高斯面，且上下底面分别位于带电平面两侧对称位置。由于平面对称性，电场强度 \(\mathbf{E}\) 垂直于平面，大小相等。高斯定律简化为 \(2 E \cdot S = \frac{\sigma S}{\epsilon_0}\)，其中 \(\sigma\) 是面电荷密度 (surface charge density)，解得 \(E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\)。

高斯定律为计算具有对称性电荷分布的电场强度提供了简便方法，是静电场分析的重要工具。

4. 电子技术 (Electronics)

4.1 半导体器件 (Semiconductor Devices)

4.1.1 半导体材料 (Semiconductor Materials)

半导体材料是电子技术的基石，其电导率介于导体和绝缘体之间。与导体和绝缘体相比，半导体材料最显著的特点是其电导率可以通过掺杂（doping）和温度等外部条件进行有效控制。常用的半导体材料主要包括硅 (Silicon, Si)、锗 (Germanium, Ge) 以及化合物半导体如砷化镓 (Gallium Arsenide, GaAs) 等。在现代电子技术中，硅由于其储量丰富、易于提纯和工艺成熟等优点，占据着绝对主导地位。

① 本征半导体 (Intrinsic Semiconductor)：
▮▮▮▮本征半导体是指完全纯净的半导体材料，内部没有掺入任何杂质。例如，理想的纯硅晶体就是一种本征半导体。在本征半导体中，导电性主要来源于热激发。当温度高于绝对零度时，价带中的一部分电子会吸收能量跃迁到导带，形成自由电子，并在价带中留下空穴。自由电子和空穴共同参与导电，本征半导体的导电能力较弱，且受温度影响显著，温度升高，导电性增强。
▮▮▮▮ 在理想的本征半导体中，自由电子浓度 \(n_i\) 与空穴浓度 \(p_i\) 相等，统称为本征载流子浓度。可以用以下公式表示：
\[ n_i = p_i = n \]
其中，\(n\) 代表本征载流子浓度。

② 杂质半导体 (Extrinsic Semiconductor)：
▮▮▮▮为了提高半导体的导电性能并实现特定类型的导电特性，通常需要向本征半导体中掺入微量的特定杂质，这个过程称为掺杂。掺杂后的半导体称为杂质半导体。根据掺入杂质的不同，杂质半导体又可以分为 N 型半导体 和 P 型半导体 两种类型。

③ N 型半导体 (N-type Semiconductor)：
▮▮▮▮N 型半导体是指在本征半导体中掺入五价元素（如磷 (Phosphorus, P)、砷 (Arsenic, As) 等）形成的半导体。五价杂质原子最外层有五个价电子，当其取代硅晶格中的硅原子时，其中四个价电子与周围的硅原子形成共价键，剩余一个价电子成为自由电子。这些杂质原子贡献自由电子，因此被称为施主杂质 (donor impurity)。
▮▮▮▮ 在 N 型半导体中，自由电子是多数载流子，空穴是少数载流子。自由电子的浓度远大于空穴浓度。N 型半导体的导电性主要由自由电子贡献。

④ P 型半导体 (P-type Semiconductor)：
▮▮▮▮P 型半导体是指在本征半导体中掺入三价元素（如硼 (Boron, B)、镓 (Gallium, Ga) 等）形成的半导体。三价杂质原子最外层只有三个价电子，当其取代硅晶格中的硅原子时，与周围的硅原子形成共价键时会缺少一个电子，形成一个空穴。这些杂质原子接受电子，从而产生空穴，因此被称为受主杂质 (acceptor impurity)。
▮▮▮▮ 在 P 型半导体中，空穴是多数载流子，自由电子是少数载流子。空穴的浓度远大于自由电子浓度。P 型半导体的导电性主要由空穴贡献。

4.1.2 二极管 (Diodes)

二极管 (Diode) 是一种具有非线性伏安特性的半导体器件，其核心结构是 PN 结 (PN junction)。二极管最主要的特性是单向导电性，即正向偏置时导通，反向偏置时截止，利用这一特性，二极管在电路中可以实现整流、开关、稳压等多种功能。

① PN 结 (PN junction)：
▮▮▮▮PN 结是由 P 型半导体 和 N 型半导体 通过特殊工艺制作在同一块半导体衬底上形成的界面区域。在 PN 结形成过程中，由于浓度差的存在，N 区的自由电子会向 P 区扩散，与 P 区的空穴复合；P 区的空穴会向 N 区扩散，与 N 区的自由电子复合。
▮▮▮▮ 在扩散过程中，N 区失去自由电子带正电，P 区失去空穴带负电，在 PN 结界面区域形成空间电荷区 (space charge region) 或耗尽层 (depletion region)，并建立起内建电场 (built-in electric field)，内建电场的方向由 N 区指向 P 区，阻碍载流子的进一步扩散，最终达到动态平衡。
▮▮▮▮ PN 结的特性是二极管单向导电性的根本原因。

② 二极管的伏安特性 (V-I Characteristics of Diodes)：
▮▮▮▮二极管的伏安特性曲线描述了二极管两端电压与流过二极管电流之间的关系，呈现显著的非线性。

⚝ 正向偏置 (Forward Bias)：当 P 区接正极，N 区接负极 时，称为正向偏置。外加正向电压削弱了 PN 结的内建电场，耗尽层变窄，势垒降低，多数载流子（P 区空穴和 N 区电子）容易越过 PN 结势垒而形成较大的正向电流。正向电压越大，正向电流越大，二极管呈现低电阻状态，近似导通。
⚝ 反向偏置 (Reverse Bias)：当 P 区接负极，N 区接正极 时，称为反向偏置。外加反向电压增强了 PN 结的内建电场，耗尽层变宽，势垒增高，多数载流子难以越过 PN 结势垒，只有少数载流子（由热激发产生的少数电子和空穴）漂移运动形成微小的反向饱和电流 \(I_S\)。反向电压在一定范围内变化时，反向电流基本保持不变，二极管呈现高电阻状态，近似截止。
⚝ 击穿 (Breakdown)：当反向电压超过击穿电压 \(V_{BR}\) 时，反向电流会急剧增大，二极管失去单向导电性，甚至可能因过热而损坏。击穿分为雪崩击穿 (avalanche breakdown) 和 齐纳击穿 (Zener breakdown) 两种机制。

③ 整流电路 (Rectifier Circuits)：
▮▮▮▮利用二极管的单向导电性，可以将交流电转换为直流电，这种电路称为整流电路。常见的整流电路包括半波整流电路 (half-wave rectifier)、全波整流电路 (full-wave rectifier) 和 桥式整流电路 (bridge rectifier)。

⚝ 半波整流电路：电路结构简单，但只利用了交流电的半个周期，整流效率低，输出直流电压的脉动成分大。
⚝ 全波整流电路：利用变压器的中心抽头和两只二极管，可以利用交流电的正负两个半周期，整流效率较高，输出直流电压的脉动成分较半波整流小。
⚝ 桥式整流电路：使用四只二极管组成桥式结构，无需中心抽头变压器，可以充分利用交流电的正负两个半周期，整流效果最好，是应用最广泛的整流电路形式。

④ 开关电路 (Switching Circuits)：
▮▮▮▮二极管具有正向导通和反向截止的开关特性，可以用于构建各种开关电路。例如，续流二极管 (freewheeling diode) 常用于感性负载电路中，保护开关器件免受感应电动势的冲击；钳位二极管 (clamping diode) 可以限制电路中电压的幅度，保护后续电路免受过电压的影响。

4.1.3 双极型晶体管 (Bipolar Junction Transistors, BJTs)

双极型晶体管 (Bipolar Junction Transistor, BJT) 是一种电流控制型半导体器件，内部包含两个 PN 结，根据结构和掺杂方式的不同，分为 NPN 型晶体管 和 PNP 型晶体管 两种类型。BJT 主要应用于放大电路和开关电路中，是模拟电路和数字电路的重要组成部分。

① BJT 的结构 (Structure of BJTs)：
▮▮▮▮BJT 由三个掺杂区构成，分别是 发射区 (Emitter, E)、基区 (Base, B) 和 集电区 (Collector, C)。其中，基区最薄，掺杂浓度最低，发射区掺杂浓度最高。
▮▮▮▮ NPN 型晶体管的结构是 N 型发射区 - P 型基区 - N 型集电区，形成两个 PN 结：发射结 (Emitter Junction, EBJ) 和 集电结 (Collector Junction, CBJ)。PNP 型晶体管的结构则相反，为 P 型发射区 - N 型基区 - P 型集电区。

② BJT 的工作原理 (Working Principle of BJTs)：
▮▮▮▮以 NPN 型晶体管 为例，说明其工作原理。BJT 的工作状态取决于两个 PN 结的偏置情况。通常情况下，BJT 主要工作在放大区和截止区/饱和区（用于开关）。

⚝ 放大区 (Active Region)：发射结正向偏置，集电结反向偏置。
▮▮▮▮⚝ 发射结正向偏置时，发射区向基区注入大量电子，这些电子在基区中扩散，由于基区很薄，只有少量电子与基区空穴复合，绝大部分电子会漂移到集电结耗尽区，并在集电结电场的作用下被集电区收集，形成集电极电流 \(I_C\)。
▮▮▮▮⚝ 基区电流 \(I_B\) 主要由基区空穴的注入电流和少量复合电流构成，远小于集电极电流 \(I_C\)。
▮▮▮▮⚝ 发射极电流 \(I_E\) 近似等于集电极电流 \(I_C\) 和基极电流 \(I_B\) 之和，即 \(I_E = I_C + I_B\)。
▮▮▮▮⚝ 在放大区，集电极电流 \(I_C\) 主要受基极电流 \(I_B\) 控制，\(I_C\) 与 \(I_B\) 近似成线性关系，电流放大系数 \(\beta = I_C / I_B\)（共发射极直流电流放大系数）通常很大（几十到几百），体现了 BJT 的电流放大作用。

⚝ 截止区 (Cut-off Region)：发射结反向偏置，集电结反向偏置。
▮▮▮▮⚝ 两个 PN 结都处于反向偏置状态，只有很小的反向漏电流，集电极电流 \(I_C\) 和基极电流 \(I_B\) 都接近于零，晶体管近似截止。

⚝ 饱和区 (Saturation Region)：发射结正向偏置，集电结也为正向偏置 （或者集电结反向偏置但 \(V_{CE}\) 非常小）。
▮▮▮▮⚝ 发射结和集电结均为正向偏置时，集电极电流 \(I_C\) 随基极电流 \(I_B\) 的增大而增大，但当 \(I_B\) 增大到一定程度后，\(I_C\) 几乎不再随 \(I_B\) 增大而增大，晶体管进入饱和状态。此时，集电极和发射极之间电压 \(V_{CE}\) 很小，晶体管近似导通。

③ BJT 的放大特性 (Amplification Characteristics of BJTs)：
▮▮▮▮BJT 的放大特性主要体现在电流放大和电压放大两个方面。通过合理配置外围电路，可以将微弱的输入信号放大，得到幅度较大的输出信号。
▮▮▮▮ 共发射极 (Common Emitter, CE) 电路 是最常用的放大电路配置，具有较高的电压放大倍数、电流放大倍数和功率放大倍数，但输入电阻和输出电阻适中。共集电极 (Common Collector, CC) 电路 （也称射极跟随器）具有高输入电阻、低输出电阻和接近于 1 的电压放大倍数，常用于电压缓冲和阻抗匹配。共基极 (Common Base, CB) 电路 具有低输入电阻、高输出电阻和较高的电压放大倍数，电流放大倍数接近于 1，常用于高频放大电路。

④ BJT 的开关特性 (Switching Characteristics of BJTs)：
▮▮▮▮BJT 可以工作在开关状态，利用其截止区和饱和区两种工作状态，可以实现电路的通断控制。当基极电流 \(I_B = 0\) 时，BJT 处于截止区，集电极电流 \(I_C\) 很小，相当于开关断开；当基极电流 \(I_B\) 足够大时，BJT 进入饱和区，集电极电流 \(I_C\) 达到最大值，集电极和发射极之间压降 \(V_{CE}\) 很小，相当于开关闭合。
▮▮▮▮ BJT 开关电路常用于数字电路和功率开关电路中。

4.1.4 场效应晶体管 (Field-Effect Transistors, FETs)

场效应晶体管 (Field-Effect Transistor, FET) 是一种电压控制型半导体器件，与 BJT 不同，FET 的导电沟道中只有一种载流子参与导电，因此又称为单极型晶体管 (unipolar transistor)。根据结构和工作原理的不同，FET 主要分为 结型场效应晶体管 (Junction Field-Effect Transistor, JFET) 和 金属-氧化物-半导体场效应晶体管 (Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor, MOSFET) 两种类型。MOSFET 是现代集成电路中应用最广泛的器件。

① JFET 的结构与工作原理 (Structure and Operating Principle of JFETs)：
▮▮▮▮结型场效应晶体管 (Junction Field-Effect Transistor, JFET) 主要由 P 沟道 JFET 和 N 沟道 JFET 两种类型。以 N 沟道 JFET 为例，其结构主要包括：
▮▮▮▮⚝ N 型半导体沟道 (N-channel)：作为载流子传输的主要通道，两端分别连接 漏极 (Drain, D) 和 源极 (Source, S)。
▮▮▮▮⚝ P 型栅极 (Gate, G)：包围在沟道周围的 P 型区，与 N 沟道形成 PN 结。
▮▮▮▮ JFET 的工作原理是利用栅极电压控制沟道宽度，从而控制漏极电流 \(I_D\)。当栅极和源极之间电压 \(V_{GS} = 0\) 时，沟道最宽，漏极电流 \(I_D\) 最大。当施加负向栅极电压 \(V_{GS} < 0\) 时（对于 N 沟道 JFET），栅极 PN 结反向偏置，耗尽层扩展到沟道中，沟道宽度减小，漏极电流 \(I_D\) 减小。当 \(V_{GS}\) 负向电压增大到一定程度时，耗尽层完全夹断沟道，漏极电流 \(I_D\) 趋于零，JFET 截止。
▮▮▮▮ JFET 是电压控制电流源，栅极输入阻抗很高，噪声较低，但放大倍数相对较低。

② MOSFET 的结构与工作原理 (Structure and Operating Principle of MOSFETs)：
▮▮▮▮金属-氧化物-半导体场效应晶体管 (Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor, MOSFET) 是应用最广泛的 FET 类型，也分为 N 沟道 MOSFET (NMOS) 和 P 沟道 MOSFET (PMOS)。MOSFET 又根据沟道形成方式的不同，分为 增强型 MOSFET (enhancement-mode MOSFET) 和 耗尽型 MOSFET (depletion-mode MOSFET)。增强型 MOSFET 是最常用的类型。以 N 沟道增强型 MOSFET 为例，其结构主要包括：
▮▮▮▮⚝ P 型硅衬底 (P-substrate)：作为 MOSFET 的衬底。
▮▮▮▮⚝ N+ 源区和漏区 (N+ source and drain regions)：在衬底上扩散形成的高掺杂 N 型区，分别作为源极 (S) 和漏极 (D) 的引出端。
▮▮▮▮⚝ 二氧化硅绝缘层 (SiO2 insulating layer)：覆盖在沟道区域的绝缘层。
▮▮▮▮⚝ 金属栅极 (Metal gate) 或 多晶硅栅极 (polysilicon gate)：覆盖在绝缘层上的导电栅极 (G)。
▮▮▮▮ 在栅极和衬底之间未施加电压时，源极和漏极之间是两个反向 PN 结，无法导通。当在栅极和源极之间施加正向栅极电压 \(V_{GS} > 0\) 且超过阈值电压 \(V_{TH}\) 时，栅极下方的 P 型衬底表面会反型，形成 N 型反型层沟道 (inversion layer channel)，连接源区和漏区，形成导电沟道，漏极电流 \(I_D\) 开始增大。栅极电压 \(V_{GS}\) 越高，沟道越宽，漏极电流 \(I_D\) 越大。
▮▮▮▮ MOSFET 也是电压控制电流源，栅极输入阻抗极高（由于栅极和沟道之间有绝缘层隔离），开关速度快，功耗低，是构建大规模集成电路的首选器件。

③ FET 的特性 (Characteristics of FETs)：
▮▮▮▮FET 具有以下主要特性：
▮▮▮▮⚝ 电压控制型器件：通过栅极电压控制漏极电流，输入阻抗高，输入电流小。
▮▮▮▮⚝ 单极型器件：导电沟道中只有一种载流子参与导电，噪声较低。
▮▮▮▮⚝ 开关速度快：适用于高速开关电路和数字电路。
▮▮▮▮⚝ 功耗低：特别是在 CMOS 电路中，静态功耗极低。
▮▮▮▮⚝ 热稳定性好：FET 的温度系数通常为负，不易发生热失控。

4.2 模拟电子电路 (Analog Electronic Circuits)

4.2.1 基本放大电路 (Basic Amplifier Circuits)

放大电路 (Amplifier Circuit) 是模拟电子电路的核心组成部分，用于放大微弱的电信号。根据晶体管类型的不同，放大电路可以分为 BJT 放大电路 和 FET 放大电路。根据电路结构和信号输入输出方式的不同，基本放大电路又可以分为 共射极 (CE) 放大电路、共集电极 (CC) 放大电路 和 共基极 (CB) 放大电路 (针对 BJT) 以及 共源极 (CS) 放大电路、共漏极 (CD) 放大电路 和 共栅极 (CG) 放大电路 (针对 FET)。

① 共射极放大电路 (Common Emitter Amplifier Circuit)：
▮▮▮▮共射极 (CE) 放大电路 是 BJT 放大电路中最基本、最常用 的电路形式。其特点是发射极作为输入信号和输出信号的公共端。
▮▮▮▮ 电路结构：输入信号从基极输入，输出信号从集电极输出，发射极接地（作为公共端）。电路中通常包含偏置电阻、集电极负载电阻、耦合电容等元件。
▮▮▮▮ 工作原理：输入信号通过耦合电容加到晶体管的基极，引起基极电流 \(i_b\) 的变化，由于晶体管的电流放大作用，集电极电流 \(i_c\) 的变化量 \(\beta i_b\) 远大于 \(i_b\)。集电极电流 \(i_c\) 在集电极负载电阻 \(R_C\) 上产生电压降，从而在输出端得到放大了的电压信号。
▮▮▮▮ 主要性能：
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_v\) 高：电压放大倍数约为 \( - \beta R_C / r_{be} \)，负号表示输出电压与输入电压反相。
▮▮▮▮⚝ 电流放大倍数 \(A_i\) 高：电流放大倍数约为 \(\beta\)。
▮▮▮▮⚝ 功率放大倍数 \(A_p\) 高：功率放大倍数约为 \(A_v \times A_i\)。
▮▮▮▮⚝ 输入电阻 \(R_i\) 中等：输入电阻约为 \(r_{be}\)。
▮▮▮▮⚝ 输出电阻 \(R_o\) 中等：输出电阻约为 \(R_C\)。
▮▮▮▮⚝ 频率响应：频率响应特性受晶体管和电路寄生参数的影响，高频特性相对较差。

② 共集电极放大电路 (Common Collector Amplifier Circuit)：
▮▮▮▮共集电极 (CC) 放大电路 也称为 射极跟随器 (Emitter Follower)，其特点是集电极作为输入信号和输出信号的公共端。
▮▮▮▮ 电路结构：输入信号从基极输入，输出信号从发射极输出，集电极接电源（作为公共端）。电路中通常包含偏置电阻、射极负载电阻、耦合电容等元件。
▮▮▮▮ 工作原理：输入信号加到晶体管的基极，引起基极电流 \(i_b\) 的变化，集电极电流 \(i_c\) 和发射极电流 \(i_e\) 也随之变化。发射极电流 \(i_e\) 在射极负载电阻 \(R_E\) 上产生电压降，作为输出电压。由于输出电压 \(v_o\) 与输入电压 \(v_i\) 同相且幅度接近，输出电压跟随输入电压变化，故称为射极跟随器。
▮▮▮▮ 主要性能：
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_v\) 接近于 1：电压放大倍数略小于 1，但接近于 1。
▮▮▮▮⚝ 电流放大倍数 \(A_i\) 高：电流放大倍数约为 \(1 + \beta\)。
▮▮▮▮⚝ 功率放大倍数 \(A_p\) 中等：功率放大倍数约为 \(A_i\)。
▮▮▮▮⚝ 输入电阻 \(R_i\) 高：输入电阻约为 \(r_{be} + (1+\beta)R_E\)。
▮▮▮▮⚝ 输出电阻 \(R_o\) 低：输出电阻约为 \(R_E // (r_{ce} + r_{be}/\beta)\)。
▮▮▮▮⚝ 频率响应：频率响应特性较好，高频特性优于 CE 电路。
▮▮▮▮ 应用：常用于电压缓冲、阻抗匹配 和 电流放大 场合。

③ 共基极放大电路 (Common Base Amplifier Circuit)：
▮▮▮▮共基极 (CB) 放大电路 的特点是基极作为输入信号和输出信号的公共端。
▮▮▮▮ 电路结构：输入信号从发射极输入，输出信号从集电极输出，基极接地（作为公共端）。电路中通常包含偏置电阻、集电极负载电阻、耦合电容等元件。
▮▮▮▮ 工作原理：输入信号加到晶体管的发射极，引起发射极电流 \(i_e\) 和集电极电流 \(i_c\) 的变化。集电极电流 \(i_c\) 在集电极负载电阻 \(R_C\) 上产生电压降，作为输出电压。
▮▮▮▮ 主要性能：
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_v\) 高：电压放大倍数约为 \(R_C / r_{eb}\)。
▮▮▮▮⚝ 电流放大倍数 \(A_i\) 接近于 1：电流放大倍数略小于 1，但接近于 1。
▮▮▮▮⚝ 功率放大倍数 \(A_p\) 中等：功率放大倍数约为 \(A_v\)。
▮▮▮▮⚝ 输入电阻 \(R_i\) 低：输入电阻约为 \(r_{eb}\)。
▮▮▮▮⚝ 输出电阻 \(R_o\) 高：输出电阻约为 \(R_C\)。
▮▮▮▮⚝ 频率响应：频率响应特性最好，高频特性优于 CE 和 CC 电路。
▮▮▮▮ 应用：常用于高频放大、低噪声放大 和 阻抗变换 场合。

4.2.2 运算放大器 (Operational Amplifiers, Op-Amps)

运算放大器 (Operational Amplifier, Op-Amp) 是一种高增益、高输入阻抗、低输出阻抗 的集成电路放大器，是模拟电子电路中最重要的组成部分之一。理想运算放大器具有无限大的开环增益、无限大的输入阻抗、零输出阻抗和无限带宽 等理想特性。实际运算放大器虽然达不到理想特性，但也具有高增益、高输入阻抗和低输出阻抗 的特点，可以近似看作理想运放进行分析。

① 理想运算放大器 (Ideal Operational Amplifier)：
▮▮▮▮理想运算放大器 具有以下理想特性：
▮▮▮▮⚝ 开环电压增益 \(A_{OL} = \infty\)：输出电压 \(v_o = A_{OL} (v_+ - v_-)\)，当 \(A_{OL} \rightarrow \infty\) 时，只要输入端存在微小差分电压 \((v_+ - v_-)\)，输出电压就会趋于无穷大或无穷小。在实际应用中，通常通过负反馈 将运放的输出电压限制在一定范围内。
▮▮▮▮⚝ 输入阻抗 \(R_i = \infty\)：输入端电流 \(i_+ = i_- = 0\)，理想运放输入端不从信号源吸取电流。
▮▮▮▮⚝ 输出阻抗 \(R_o = 0\)：理想运放的输出电压不受负载影响，具有理想的电压源特性。
▮▮▮▮⚝ 带宽 \(BW = \infty\)：理想运放可以放大任何频率的信号。
▮▮▮▮⚝ 共模抑制比 (Common-Mode Rejection Ratio, CMRR) = \(\infty\)：理想运放只放大差模信号，完全抑制共模信号。
▮▮▮▮⚝ 失调电压 \(V_{OS} = 0\) 和 失调电流 \(I_{OS} = 0\)：当输入电压为零时，输出电压也为零。

② 差分放大器 (Differential Amplifier)：
▮▮▮▮差分放大器 是运算放大器的基本电路结构，具有两个输入端：同相输入端 (+) (non-inverting input) 和 反相输入端 (-) (inverting input)。运算放大器放大的是两个输入端之间的电压差 \(v_d = v_+ - v_-\)，输出电压 \(v_o\) 与差分输入电压 \(v_d\) 成正比：
\[ v_o = A_{OL} (v_+ - v_-) = A_{OL} v_d \]
其中，\(A_{OL}\) 为运算放大器的开环电压增益 (open-loop voltage gain)。
▮▮▮▮ 差分放大器具有抑制共模信号、放大差模信号 的能力，广泛应用于各种模拟电路中。

③ 反相放大器 (Inverting Amplifier)：
▮▮▮▮反相放大器 是运算放大器最常用的负反馈配置 之一。
▮▮▮▮ 电路结构：输入信号 \(v_i\) 从反相输入端 (-) 输入，同相输入端 (+) 接地。在反相输入端和输出端之间接入反馈电阻 \(R_f\)，在反相输入端和地之间接入输入电阻 \(R_1\)。
▮▮▮▮ 工作原理：由于理想运放的开环增益趋于无穷大，且存在负反馈，反相输入端虚地 (virtual ground)，即反相输入端电位近似为零。根据虚地概念和 KCL 定律，可以推导出反相放大器的闭环电压增益 \(A_f\):
\[ A_f = \frac{v_o}{v_i} = - \frac{R_f}{R_1} \]
▮▮▮▮ 特点：
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_f\) 由外部电阻 \(R_1\) 和 \(R_f\) 的比值决定，与运放本身的开环增益无关，精度高，稳定性好。
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_f\) 为负值，输出电压与输入电压反相。
▮▮▮▮⚝ 输入阻抗 \(R_{in} \approx R_1\)。
▮▮▮▮⚝ 输出阻抗 \(R_{out}\) 低。

④ 同相放大器 (Non-inverting Amplifier)：
▮▮▮▮同相放大器 是运算放大器另一种常用的负反馈配置。
▮▮▮▮ 电路结构：输入信号 \(v_i\) 从同相输入端 (+) 输入，反相输入端 (-) 通过电阻 \(R_1\) 接地，并在反相输入端和输出端之间接入反馈电阻 \(R_f\)。
▮▮▮▮ 工作原理：由于负反馈的作用，运放会调整输出电压，使得反相输入端电位 \(v_-\) 尽可能接近同相输入端电位 \(v_+\)，即 \(v_- \approx v_+\)。由于同相输入端电压 \(v_+ = v_i\)，反相输入端电压 \(v_- \approx v_i\)。根据分压公式，反相输入端电压 \(v_- = \frac{R_1}{R_1 + R_f} v_o\)。因此，可以推导出同相放大器的闭环电压增益 \(A_f\):
\[ A_f = \frac{v_o}{v_i} = 1 + \frac{R_f}{R_1} \]
▮▮▮▮ 特点：
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_f\) 由外部电阻 \(R_1\) 和 \(R_f\) 的比值决定，与运放本身的开环增益无关，精度高，稳定性好。
▮▮▮▮⚝ 电压放大倍数 \(A_f\) 大于等于 1，输出电压与输入电压同相。
▮▮▮▮⚝ 输入阻抗 \(R_{in}\) 很高 (理想运放输入阻抗)。
▮▮▮▮⚝ 输出阻抗 \(R_{out}\) 低。
▮▮▮▮ 电压跟随器 (Voltage Follower)：当同相放大电路中，反馈电阻 \(R_f = 0\)，输入电阻 \(R_1 = \infty\) 时（即直接将输出端连接到反相输入端），构成电压跟随器。电压跟随器的电压放大倍数 \(A_f = 1\)，输入阻抗极高，输出阻抗极低，常用于电压缓冲 和 隔离。

⑤ 常用运算电路 (Common Operational Amplifier Circuits)：
▮▮▮▮利用运算放大器及其负反馈配置，可以构建各种功能丰富的运算电路，例如：
▮▮▮▮⚝ 加法器 (Adder)：可以实现多个输入信号的加法运算，包括 反相加法器 和 同相加法器。
▮▮▮▮⚝ 减法器 (Subtractor)：可以实现两个输入信号的减法运算，例如 差分放大器 本身就是一种减法器。
▮▮▮▮⚝ 积分器 (Integrator)：可以实现输入信号的积分运算，常用于波形变换和模拟计算。
▮▮▮▮⚝ 微分器 (Differentiator)：可以实现输入信号的微分运算，常用于脉冲信号的产生和波形整形。
▮▮▮▮⚝ 对数放大器 (Logarithmic Amplifier) 和 指数放大器 (Exponential Amplifier)：可以实现对数和指数运算，常用于信号压缩和扩展。

4.2.3 滤波器与振荡器 (Filters and Oscillators)

① 有源滤波器 (Active Filters)：
▮▮▮▮滤波器 (Filter) 是一种选频电路，允许特定频率范围内的信号通过，而抑制或阻止其他频率范围内的信号通过。有源滤波器 (Active Filter) 是指利用运算放大器和 RC 元件 构成的滤波器。与无源滤波器 (Passive Filter) 相比，有源滤波器具有 无需电感元件、增益可调、输入阻抗高、输出阻抗低 等优点，易于集成化，在低频和中频信号处理中得到广泛应用。
▮▮▮▮ 根据通带和阻带的不同，有源滤波器可以分为以下几种基本类型：
▮▮▮▮⚝ 低通滤波器 (Low-Pass Filter, LPF)：允许低频信号通过，抑制高频信号。
▮▮▮▮⚝ 高通滤波器 (High-Pass Filter, HPF)：允许高频信号通过，抑制低频信号。
▮▮▮▮⚝ 带通滤波器 (Band-Pass Filter, BPF)：允许一定频带范围内的信号通过，抑制频带之外的信号。
▮▮▮▮⚝ 带阻滤波器 (Band-Stop Filter, BSF) 或 陷波滤波器 (Notch Filter)：抑制一定频带范围内的信号，允许频带之外的信号通过。
▮▮▮▮ 常用的有源滤波器电路包括一阶有源滤波器、二阶有源滤波器 和 多阶有源滤波器。二阶有源滤波器是最常用的基本单元，可以级联构成高阶滤波器，以获得更陡峭的频率响应特性。常用的二阶有源滤波器电路结构包括 压控电压源 (Voltage-Controlled Voltage Source, VCVS) 型（如 Sallen-Key 滤波器）和 多路反馈 (Multiple Feedback, MFB) 型 等。

② 振荡器 (Oscillators)：
▮▮▮▮振荡器 (Oscillator) 是一种能够产生周期性信号（如正弦波、方波、三角波等）的电路，无需外部输入信号。振荡器是各种电子设备中必不可少的基本电路，为系统提供时钟信号或载波信号。
▮▮▮▮ 振荡器的基本原理是正反馈。振荡电路通常由放大电路 和 选频网络 组成，利用正反馈使电路产生自激振荡。要使电路产生持续振荡，必须满足 巴克豪森振荡判据 (Barkhausen stability criterion)：
▮▮▮▮⚝ 环路增益 (loop gain) 的模值等于 1，即 \(|A \beta| = 1\)。
▮▮▮▮⚝ 环路相移 (loop phase shift) 为 0 或 2π 的整数倍，即 \(\angle (A \beta) = 2n\pi\)，其中 \(n\) 为整数。
▮▮▮▮ 常用的振荡电路类型包括：
▮▮▮▮⚝ 正弦波振荡器 (Sinusoidal Oscillators)：产生正弦波信号，如 RC 桥式振荡器 (Wien-bridge oscillator)、LC 振荡器 (LC oscillator)（如 考毕兹振荡器 (Colpitts oscillator)、哈特莱振荡器 (Hartley oscillator)）和 晶体振荡器 (crystal oscillator)。晶体振荡器 具有频率稳定性高 的优点，常用于高精度时钟电路。
▮▮▮▮⚝ 非正弦波振荡器 (Non-sinusoidal Oscillators) 或 弛豫振荡器 (Relaxation Oscillators)：产生方波、三角波、锯齿波等非正弦波信号，如 多谐振荡器 (astable multivibrator)、单稳态触发器 (monostable multivibrator) 和 施密特触发器 (Schmitt trigger) 等。多谐振荡器 可以产生方波，施密特触发器 可以用于波形整形和脉冲展宽。

4.3 数字电子电路 (Digital Electronic Circuits)

4.3.1 数字逻辑基础 (Digital Logic Fundamentals)

数字电子电路 (Digital Electronic Circuits) 是处理数字信号 的电路，数字信号在时间和幅度上都是离散的，通常只有两个状态：高电平 和 低电平，分别代表逻辑 “1” 和 “0”。数字电路是现代电子技术的核心，广泛应用于计算机、通信、控制等领域。数字逻辑基础是学习数字电路的先决条件，主要包括数制、码制、逻辑代数 和 逻辑运算 等内容。

① 数制 (Number Systems)：
▮▮▮▮数制 是表示数值的方法，常用的数制包括：
▮▮▮▮⚝ 十进制 (Decimal) (基数 10)：使用 0-9 十个数字，逢十进一。人类最常用的数制。
▮▮▮▮⚝ 二进制 (Binary) (基数 2)：使用 0 和 1 两个数字，逢二进一。数字电路中最基本的数制，易于物理实现。
▮▮▮▮⚝ 八进制 (Octal) (基数 8)：使用 0-7 八个数字，逢八进一。常用于简化二进制数的表示。
▮▮▮▮⚝ 十六进制 (Hexadecimal) (基数 16)：使用 0-9 和 A-F (或 a-f) 十六个数字，逢十六进一。更简洁地表示二进制数，常用于计算机领域。
▮▮▮▮ 不同数制之间可以进行相互转换。例如，二进制转十进制 可以使用按权展开求和 的方法，十进制转二进制 可以使用除基取余法。二进制与八进制、十六进制之间 的转换则更为简便，可以 每 3 位二进制数转换为 1 位八进制数，每 4 位二进制数转换为 1 位十六进制数。

② 码制 (Codes)：
▮▮▮▮码制 是用特定规则 将数字或符号 编码成 二进制代码 的方法。常用的码制包括：
▮▮▮▮⚝ 二进制码 (Binary Code)：直接用二进制数表示数值。
▮▮▮▮⚝ 十进制代码 (Decimal Codes)：用二进制代码表示十进制数位，如 8421 BCD 码 (Binary-Coded Decimal)、5421 BCD 码 和 2421 BCD 码 等。8421 BCD 码 是最常用的 BCD 码，每位十进制数用 4 位二进制数表示，各位的权值从高到低分别为 8、4、2、1。
▮▮▮▮⚝ 格雷码 (Gray Code)：相邻代码之间只有一位二进制数不同的编码，也称 循环码 (cyclic code)。格雷码常用于减少数字电路中跳变，降低功耗和噪声。
▮▮▮▮⚝ 字符编码 (Character Codes)：用于表示字符的编码，如 ASCII 码 (American Standard Code for Information Interchange) 和 Unicode 码。ASCII 码 使用 7 位或 8 位二进制数表示 128 或 256 个常用字符。Unicode 码 是一种更通用的字符编码标准，可以表示世界上几乎所有的字符。

③ 逻辑代数 (Boolean Algebra)：
▮▮▮▮逻辑代数 (Boolean Algebra) 又称 布尔代数，是 研究逻辑运算规律 的数学工具，由英国数学家 乔治·布尔 (George Boole) 创立。逻辑代数的基本运算包括 与 (AND)、或 (OR) 和 非 (NOT) 运算。
▮▮▮▮ 基本逻辑运算：
▮▮▮▮⚝ 与 (AND) 运算：逻辑与运算，用符号 “\(\cdot\)" 或 “\(\land\)" 表示。当且仅当所有输入都为真 (1) 时，输出才为真 (1)，否则为假 (0)。
▮▮▮▮⚝ 或 (OR) 运算：逻辑或运算，用符号 “\(+\)" 或 “\(\lor\)" 表示。当至少有一个输入为真 (1) 时，输出为真 (1)，否则为假 (0)。
▮▮▮▮⚝ 非 (NOT) 运算：逻辑非运算，用符号 “\(-\)" 或 “\(\neg\)" 或 上划线 “\(^{-}\)" 表示。对输入取反，输入为真 (1) 时，输出为假 (0)，输入为假 (0) 时，输出为真 (1)。
▮▮▮▮ 常用逻辑公式和定理：
▮▮▮▮⚝ 交换律 (Commutative Law)：\(A \cdot B = B \cdot A\)，\(A + B = B + A\)。
▮▮▮▮⚝ 结合律 (Associative Law)：\((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\)，\((A + B) + C = A + (B + C)\)。
▮▮▮▮⚝ 分配律 (Distributive Law)：\(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\)，\(A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)\)。
▮▮▮▮⚝ 吸收律 (Absorption Law)：\(A + A \cdot B = A\)，\(A \cdot (A + B) = A\)。
▮▮▮▮⚝ 反演律 (De Morgan's Law)：\(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)，\(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)。
▮▮▮▮⚝ 对偶律 (Duality Principle)：对于任何一个逻辑表达式，将其中的 “\(\cdot\)" 换成 “\(+\)"，“\(+\)" 换成 “\(\cdot\)"，“0" 换成 “1"，“1" 换成 “0"，原表达式的值不变。

④ 逻辑运算 (Logic Operations)：
▮▮▮▮逻辑运算 是指按照逻辑代数规则 对逻辑变量 进行的运算。逻辑运算可以通过 逻辑门电路 来实现。利用逻辑运算和逻辑门电路，可以构建各种复杂的数字电路系统。
▮▮▮▮ 常用的逻辑运算包括：与、或、非、与非 (NAND)、或非 (NOR)、异或 (XOR)、同或 (XNOR) 等。其中，与非门 和 或非门 是 通用门 (universal gate)，可以单独或组合实现所有其他的逻辑运算。

4.3.2 逻辑门电路 (Logic Gates)

逻辑门电路 (Logic Gates) 是实现基本逻辑运算 的基本电路单元，是构成各种数字电路的基础。逻辑门电路使用晶体管等半导体器件作为开关元件，根据输入信号的状态，输出特定的逻辑状态。常用的逻辑门电路包括 基本逻辑门 和 CMOS 逻辑门电路 等。

① 基本逻辑门 (Basic Logic Gates)：
▮▮▮▮基本逻辑门 包括 与门 (AND gate)、或门 (OR gate)、非门 (NOT gate)、与非门 (NAND gate)、或非门 (NOR gate) 和 异或门 (XOR gate) 等。

⚝ 与门 (AND gate)：实现 与逻辑运算 的门电路。当所有输入端都为高电平 (1) 时，输出端才为高电平 (1)，否则为低电平 (0)。
⚝ 或门 (OR gate)：实现 或逻辑运算 的门电路。当至少有一个输入端为高电平 (1) 时，输出端为高电平 (1)，否则为低电平 (0)。
⚝ 非门 (NOT gate) 或 反相器 (Inverter)：实现 非逻辑运算 的门电路。对输入信号进行反相，输入为高电平 (1) 时，输出为低电平 (0)，输入为低电平 (0) 时，输出为高电平 (1)。
⚝ 与非门 (NAND gate)：实现 与非逻辑运算 的门电路。相当于先进行与运算，再进行非运算。当所有输入端都为高电平 (1) 时，输出端为低电平 (0)，否则为高电平 (1)。
⚝ 或非门 (NOR gate)：实现 或非逻辑运算 的门电路。相当于先进行或运算，再进行非运算。当所有输入端都为低电平 (0) 时，输出端为高电平 (1)，否则为低电平 (0)。
⚝ 异或门 (XOR gate) 或 模 2 加法器 (Modulo-2 Adder)：实现 异或逻辑运算 的门电路。当两个输入端状态不同 时，输出端为高电平 (1)，否则为低电平 (0)。

② CMOS 逻辑门电路 (CMOS Logic Gates)：
▮▮▮▮互补金属氧化物半导体 (Complementary Metal-Oxide-Semiconductor, CMOS) 逻辑门电路是 现代数字集成电路中最主流 的逻辑门电路类型。CMOS 逻辑门电路功耗极低、集成度高、开关速度快，广泛应用于各种数字电路系统。
▮▮▮▮ CMOS 逻辑门电路的基本单元是 CMOS 反相器 (CMOS Inverter)，由一个 PMOS 管 (P-channel MOSFET) 和一个 NMOS 管 (N-channel MOSFET) 互补连接而成。PMOS 管和 NMOS 管的栅极连接作为输入端，漏极连接作为输出端。当输入为低电平时，PMOS 管导通，NMOS 管截止，输出为高电平；当输入为高电平时，PMOS 管截止，NMOS 管导通，输出为低电平。
▮▮▮▮ 基于 CMOS 反相器，可以构建各种 CMOS 逻辑门电路，如 CMOS 与非门 (CMOS NAND gate)、CMOS 或非门 (CMOS NOR gate)、CMOS 与门 (CMOS AND gate)、CMOS 或门 (CMOS OR gate) 和 CMOS 异或门 (CMOS XOR gate) 等。CMOS 逻辑门电路具有 静态功耗极低 的优点，只有在开关状态切换时才产生功耗。

4.3.3 组合逻辑电路 (Combinational Logic Circuits)

组合逻辑电路 (Combinational Logic Circuits) 是指输出状态仅仅取决于当前输入状态，而与电路过去的输入状态无关的逻辑电路。组合逻辑电路主要由各种逻辑门电路组成，用于实现各种逻辑功能。常用的组合逻辑电路包括 编码器 (Encoder)、译码器 (Decoder)、数据选择器 (Multiplexer, MUX)、加法器 (Adder) 和 比较器 (Comparator) 等。

① 编码器 (Encoder)：
▮▮▮▮编码器 (Encoder) 是一种将特定输入信号 转换为 二进制代码输出 的组合逻辑电路。编码器通常有 \(2^n\) 个输入端和 \(n\) 个输出端。在 \(2^n\) 个输入信号中，任何时刻只允许一个输入信号有效（例如，高电平），编码器根据有效的输入信号的位置，输出相应的 \(n\) 位二进制代码。
▮▮▮▮ 常用的编码器类型包括：
▮▮▮▮⚝ 普通编码器 (Ordinary Encoder)：例如，8 线-3 线编码器、16 线-4 线编码器等。
▮▮▮▮⚝ 优先编码器 (Priority Encoder)：允许多个输入信号同时有效，但只对优先级最高 的有效输入信号进行编码。例如，74HC148 是一种 8 线-3 线优先编码器。优先编码器常用于中断控制和总线仲裁等场合。

② 译码器 (Decoder)：
▮▮▮▮译码器 (Decoder) 是一种将 二进制代码输入 转换为 特定输出信号 的组合逻辑电路。译码器通常有 \(n\) 个输入端和 \(2^n\) 个输出端。根据输入的 \(n\) 位二进制代码，译码器在 \(2^n\) 个输出端中只有一个输出端有效（例如，高电平或低电平），其余输出端无效。
▮▮▮▮ 常用的译码器类型包括：
▮▮▮▮⚝ 二进制译码器 (Binary Decoder)：例如，3 线-8 线译码器 (74HC138)、4 线-16 线译码器 (74HC154) 等。
▮▮▮▮⚝ BCD 译码器 (BCD Decoder)：将 BCD 码转换为十进制输出信号，常用于驱动数码管显示。例如，7447 是一种 BCD-七段显示译码器。
▮▮▮▮⚝ 显示译码器 (Display Decoder)：用于驱动各种显示器件，如数码管、液晶显示器 (LCD) 等。

③ 数据选择器 (Multiplexer, MUX) 或 多路开关 (Multiplexer)：
▮▮▮▮数据选择器 (Multiplexer, MUX) 是一种 多路输入、单路输出 的组合逻辑电路。数据选择器根据 地址选择输入 (address select inputs) 或 控制输入 (control inputs) 的状态，从多个输入信号中选择一个，将其输出到公共输出端。数据选择器的输入通道数可以是 2、4、8、16 等。
▮▮▮▮ 例如，4 选 1 数据选择器 (4-to-1 MUX) 有 4 个数据输入端 \(D_0, D_1, D_2, D_3\)，2 个地址选择输入端 \(S_1, S_0\) 和 1 个输出端 \(Y\)。根据 \(S_1, S_0\) 的不同组合，可以选择 \(D_0, D_1, D_2, D_3\) 中的一个输入信号作为输出 \(Y\)。数据选择器常用于 数据通道选择、函数发生器 和 并行数据传输 等场合。

④ 加法器 (Adder)：
▮▮▮▮加法器 (Adder) 是一种实现 二进制加法运算 的组合逻辑电路。根据加法器是否考虑来自低位的进位输入，可以分为 半加器 (Half Adder, HA) 和 全加器 (Full Adder, FA)。
▮▮▮▮⚝ 半加器 (Half Adder, HA)：对两个 1 位二进制数 \(A\) 和 \(B\) 进行相加，输出 和 (Sum, S) 和 进位 (Carry, C)，但不考虑来自低位的进位输入。
▮▮▮▮⚝ 全加器 (Full Adder, FA)：对两个 1 位二进制数 \(A\) 和 \(B\) 以及来自低位的进位输入 \(C_{in}\) 进行相加，输出 和 (Sum, S) 和 进位输出 \(C_{out}\)。全加器可以实现多位二进制数的加法运算，通过 级联 的方式将低位的进位输出连接到高位的进位输入，构成 多位加法器 (Multi-bit Adder)，如 串行进位加法器 (Ripple Carry Adder) 和 超前进位加法器 (Carry-Lookahead Adder)。超前进位加法器 具有 运算速度快 的优点，常用于高速运算场合。

⑤ 比较器 (Comparator)：
▮▮▮▮比较器 (Comparator) 是一种对 两个二进制数的大小进行比较 的组合逻辑电路。比较器可以比较两个数是否相等，以及大小关系（大于、小于或等于）。
▮▮▮▮ 常用的比较器类型包括：
▮▮▮▮⚝ 数值比较器 (Magnitude Comparator)：比较两个多位二进制数 \(A\) 和 \(B\) 的大小，输出 \(A > B\)、\(A < B\) 和 \(A = B\) 三种比较结果。例如，74HC85 是一种 4 位数值比较器。
▮▮▮▮⚝ 相等比较器 (Equality Comparator)：只比较两个数是否相等，输出相等或不相等两种结果。异或门和同或门可以实现 1 位二进制数的相等比较。

4.3.4 时序逻辑电路 (Sequential Logic Circuits)

时序逻辑电路 (Sequential Logic Circuits) 是指输出状态不仅取决于当前的输入状态，而且还与电路过去的输入状态有关 的逻辑电路。时序逻辑电路具有 记忆功能，可以存储电路的状态。时序逻辑电路的基本单元是 触发器 (Flip-Flop, FF)，常用的时序逻辑电路包括 寄存器 (Register)、计数器 (Counter) 和 状态机 (State Machine) 等。

① 触发器 (Flip-Flop, FF)：
▮▮▮▮触发器 (Flip-Flop, FF) 是一种具有两种稳定状态 的 双稳态电路 (bistable circuit)，可以 存储 1 位二进制信息。触发器是构成时序逻辑电路的基本存储单元。触发器根据输入信号和时钟信号的变化，在两种稳定状态之间转换。
▮▮▮▮ 常用的触发器类型包括：
▮▮▮▮⚝ SR 触发器 (Set-Reset Flip-Flop)：具有 置位 (Set, S) 和 复位 (Reset, R) 两个输入端。当 S=1, R=0 时，触发器置位，输出 \(Q=1\)；当 S=0, R=1 时，触发器复位，输出 \(Q=0\)；当 S=0, R=0 时，触发器保持原状态；当 S=1, R=1 时，输出状态不确定（在实际应用中应避免 S=1, R=1 的情况）。
▮▮▮▮⚝ JK 触发器 (JK Flip-Flop)：是 SR 触发器的改进型，克服了 SR 触发器在 S=1, R=1 时状态不确定的问题。JK 触发器具有 J (类似 Set) 和 K (类似 Reset) 两个输入端。当 J=0, K=0 时，触发器保持原状态；当 J=0, K=1 时，触发器复位，输出 \(Q=0\)；当 J=1, K=0 时，触发器置位，输出 \(Q=1\)；当 J=1, K=1 时，触发器状态翻转 (toggle)，输出 \(Q\) 在 0 和 1 之间交替变化。
▮▮▮▮⚝ D 触发器 (Data Flip-Flop) 或 延迟触发器 (Delay Flip-Flop)：只有一个数据输入端 D (Data) 和一个时钟输入端 CLK (Clock)。在时钟信号的有效边沿（上升沿或下降沿）到来时，将 D 端的数据传送到输出端 Q。D 触发器常用于 数据锁存 和 移位寄存器。
▮▮▮▮⚝ T 触发器 (Toggle Flip-Flop) 或 翻转触发器 (Toggle Flip-Flop)：只有一个触发输入端 T (Toggle) 和一个时钟输入端 CLK。当 T=1 时，在时钟信号的有效边沿到来时，触发器状态翻转；当 T=0 时，触发器状态保持不变。T 触发器可以实现 计数 和 分频 功能。
▮▮▮▮ 触发器根据时钟信号的触发方式，又可以分为 边沿触发器 (Edge-Triggered Flip-Flop) 和 电平触发器 (Level-Triggered Flip-Flop)。边沿触发器 只在时钟信号的 上升沿或下降沿 瞬间触发状态翻转，对时钟信号的电平变化不敏感，抗干扰能力强。电平触发器 在时钟信号为 高电平或低电平 期间，输出状态随输入信号变化，对时钟信号的电平变化敏感。

② 寄存器 (Register)：
▮▮▮▮寄存器 (Register) 是由 多个触发器 组成的，用于 存储多位二进制数据 的时序逻辑电路。N 位寄存器由 N 个触发器组成，可以存储 N 位二进制数据。寄存器根据功能的不同，可以分为 并行寄存器 (Parallel Register) 和 移位寄存器 (Shift Register)。
▮▮▮▮⚝ 并行寄存器 (Parallel Register)：数据可以 并行输入和并行输出。所有触发器的时钟输入端连接到同一个时钟信号，数据同时写入或读出。并行寄存器常用于 数据暂存 和 数据缓冲。
▮▮▮▮⚝ 移位寄存器 (Shift Register)：数据可以 串行或并行输入，串行或并行输出。数据在时钟信号的控制下，可以在寄存器中 逐位移动。移位寄存器可以实现 数据移位、串并转换 和 并串转换 等功能。移位寄存器根据数据移动方向的不同，可以分为 左移寄存器 (Left Shift Register)、右移寄存器 (Right Shift Register) 和 双向移位寄存器 (Bidirectional Shift Register)。

③ 计数器 (Counter)：
▮▮▮▮计数器 (Counter) 是一种用于 计数脉冲信号 的时序逻辑电路。计数器可以记录输入脉冲的个数，并以二进制或其他码制形式输出计数值。计数器主要由 触发器 和 组合逻辑门电路 组成。
▮▮▮▮ 计数器根据计数方式的不同，可以分为 二进制计数器 (Binary Counter)、十进制计数器 (Decimal Counter) 和 任意进制计数器 (Arbitrary Modulo Counter)。根据计数方向的不同，可以分为 加法计数器 (Up Counter)、减法计数器 (Down Counter) 和 可逆计数器 (Up/Down Counter)。根据时钟信号的触发方式，可以分为 同步计数器 (Synchronous Counter) 和 异步计数器 (Asynchronous Counter) 或 行波计数器 (Ripple Counter)。同步计数器 的所有触发器的时钟信号都由同一个时钟源提供，计数速度快。异步计数器 的触发器的时钟信号由前一级触发器的输出提供，电路结构简单。

④ 状态机 (State Machine) 或 有限状态机 (Finite State Machine, FSM)：
▮▮▮▮状态机 (State Machine) 或 有限状态机 (Finite State Machine, FSM) 是一种 描述系统状态和状态转移 的数学模型，也是 设计复杂时序逻辑电路 的重要工具。状态机由 状态寄存器 和 组合逻辑电路 组成。状态寄存器用于存储当前状态，组合逻辑电路根据当前状态和输入信号，产生 输出信号 和 下一个状态。
▮▮▮▮ 状态机可以分为 Moore 型状态机 (Moore State Machine) 和 Mealy 型状态机 (Mealy State Machine) 两种类型。
▮▮▮▮⚝ Moore 型状态机：输出信号只取决于 当前状态，与输入信号无关。
▮▮▮▮⚝ Mealy 型状态机：输出信号不仅取决于 当前状态，而且还与 输入信号 有关。
▮▮▮▮ 状态机的设计步骤主要包括：
▮▮▮▮⚝ 状态图 (State Diagram) 或 状态转移图 (State Transition Diagram)：用图形化的方式描述状态机的状态、状态转移条件和输出。
▮▮▮▮⚝ 状态表 (State Table) 或 状态转移表 (State Transition Table)：用表格的方式描述状态机的状态、状态转移条件和输出。
▮▮▮▮⚝ 状态编码 (State Encoding)：将状态用二进制代码表示。
▮▮▮▮⚝ 状态方程 (State Equation) 和 输出方程 (Output Equation)：根据状态表或状态图，写出状态机的状态方程和输出方程。
▮▮▮▮⚝ 逻辑电路实现 (Logic Circuit Implementation)：根据状态方程和输出方程，选择合适的触发器和逻辑门电路，设计状态机的逻辑电路。
▮▮▮▮ 状态机广泛应用于 控制器设计、协议分析、数字系统建模 和 嵌入式系统设计 等领域。

4.4 电子电路应用实例 (Examples of Electronic Circuit Applications)

4.4.1 传感器接口电路 (Sensor Interface Circuits)

传感器 (Sensor) 是一种检测和转换外界物理量（如温度、湿度、压力、光照、声音、位移、速度等）为电信号 的器件。传感器接口电路 (Sensor Interface Circuit) 是指 连接传感器和后续处理电路 的电子电路，用于 信号调理 (signal conditioning)、放大、滤波、转换 和 隔离 等，使传感器输出的信号能够被后续电路有效地接收和处理。

① 常用传感器类型：
▮▮▮▮常用的传感器类型包括：
▮▮▮▮⚝ 温度传感器 (Temperature Sensor)：如 热敏电阻 (thermistor)、热电偶 (thermocouple)、集成温度传感器 (integrated temperature sensor) (如 LM35、DS18B20) 等。
▮▮▮▮⚝ 湿度传感器 (Humidity Sensor)：如 湿敏电阻 (humidity-sensitive resistor)、湿敏电容 (humidity-sensitive capacitor)、相对湿度传感器 (relative humidity sensor) (如 DHT11、DHT22) 等。
▮▮▮▮⚝ 压力传感器 (Pressure Sensor)：如 压阻式压力传感器 (piezoresistive pressure sensor)、压电式压力传感器 (piezoelectric pressure sensor)、电容式压力传感器 (capacitive pressure sensor) 等。
▮▮▮▮⚝ 光传感器 (Light Sensor)：如 光敏电阻 (photoresistor)、光敏二极管 (photodiode)、光敏三极管 (phototransistor)、光电耦合器 (photocoupler)、环境光传感器 (ambient light sensor) (如 BH1750) 等。
▮▮▮▮⚝ 声音传感器 (Sound Sensor) 或 麦克风 (Microphone)：如 驻极体麦克风 (electret microphone)、动圈式麦克风 (dynamic microphone)、MEMS 麦克风 (MEMS microphone) 等。
▮▮▮▮⚝ 位移传感器 (Displacement Sensor)：如 电位器式位移传感器 (potentiometric displacement sensor)、电感式位移传感器 (inductive displacement sensor)、电容式位移传感器 (capacitive displacement sensor)、霍尔效应位移传感器 (Hall effect displacement sensor)、光电编码器 (photoelectric encoder) 等。
▮▮▮▮⚝ 速度传感器 (Speed Sensor) 或 转速传感器 (Rotational Speed Sensor)：如 霍尔效应速度传感器 (Hall effect speed sensor)、光电速度传感器 (photoelectric speed sensor)、磁电式速度传感器 (magnetoelectric speed sensor) 等。

② 传感器接口电路设计要点：
▮▮▮▮传感器接口电路的设计需要根据传感器的类型、输出特性和应用需求进行考虑。一般而言，传感器接口电路的设计要点包括：
▮▮▮▮⚝ 信号放大 (Signal Amplification)：传感器输出的信号通常幅度较小、噪声干扰大，需要通过放大电路 提高信号幅度，增强信号强度。常用的放大电路包括 运算放大器构成的放大电路、仪表放大器 (instrumentation amplifier) 和 差分放大器 等。仪表放大器 具有 高共模抑制比、高输入阻抗、低输出阻抗和增益可调 等优点，特别适用于微弱信号的放大。
▮▮▮▮⚝ 信号滤波 (Signal Filtering)：传感器输出的信号中可能包含各种噪声干扰，需要通过滤波器 滤除噪声，提高信噪比。常用的滤波器包括 低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器 和 带阻滤波器。根据噪声频率特性选择合适的滤波器类型，例如，滤除高频噪声可以使用低通滤波器，滤除工频干扰可以使用带阻滤波器。
▮▮▮▮⚝ 信号线性化 (Signal Linearization)：某些传感器的输出特性是非线性 的，例如，热敏电阻的阻值随温度变化呈非线性关系。为了 提高测量精度，需要对传感器输出信号进行 线性化处理。常用的线性化方法包括 硬件线性化 和 软件线性化。硬件线性化 通过 设计特定的电路 来补偿传感器的非线性特性。软件线性化 通过 建立数学模型，利用 查表法 或 拟合算法 在 微控制器 (Microcontroller, MCU) 或 数字信号处理器 (Digital Signal Processor, DSP) 中进行线性化处理。
▮▮▮▮⚝ 模数转换 (Analog-to-Digital Conversion, ADC)：传感器输出的信号通常是 模拟信号，而数字系统只能处理 数字信号。因此，需要使用 模数转换器 (Analog-to-Digital Converter, ADC) 将传感器输出的模拟信号转换为 数字信号，以便 数字系统进行处理、分析和控制。ADC 的选择需要根据 信号带宽、精度要求和成本 等因素进行考虑。常用的 ADC 类型包括 逐次逼近型 ADC (Successive Approximation ADC)、积分型 ADC (Integrating ADC)、Σ-Δ ADC (Sigma-Delta ADC) 和 并行比较型 ADC (Flash ADC) 等。
▮▮▮▮⚝ 信号隔离 (Signal Isolation)：在某些应用场合，为了 保护后续电路免受传感器侧的干扰或高电压冲击，或者 消除共模干扰，需要在传感器接口电路中加入 隔离器件。常用的隔离器件包括 光电耦合器 和 隔离放大器 (isolation amplifier)。光电耦合器 利用 光信号 传输电信号，实现 电气隔离。隔离放大器 是一种具有 电气隔离功能的放大器，可以同时实现信号放大和隔离。
▮▮▮▮⚝ 桥式电路 (Bridge Circuit)：对于某些电阻式传感器（如应变片、热敏电阻等），为了 提高灵敏度、抑制共模干扰和实现温度补偿，常采用 桥式电路 作为传感器接口电路。常用的桥式电路包括 惠斯通电桥 (Wheatstone bridge) 和 差动电桥 (differential bridge)。

③ 常用传感器接口电路实例：
⚝▮▮▮ 热敏电阻温度传感器接口电路：可以使用 分压电路 或 桥式电路 将热敏电阻的阻值变化转换为电压变化。为了 提高线性度，可以采用 桥式电路 和 线性化电阻。为了 放大信号，可以使用 运算放大器构成的差分放大电路 或 仪表放大器。为了 滤除噪声，可以加入 低通滤波器。
⚝▮▮▮ 压阻式压力传感器接口电路：压阻式压力传感器通常采用 惠斯通电桥结构，输出差分电压信号。可以使用 仪表放大器 放大差分电压信号，并进行 零点校准 和 增益调节。为了 补偿温度漂移，可以采用 温度补偿电路 或 软件补偿算法。
⚝▮▮▮ 光电二极管光传感器接口电路：光电二极管在 反向偏置 下工作，光照强度变化会引起反向电流变化。可以使用 跨阻放大器 (transimpedance amplifier, TIA) 将光电流转换为电压信号。为了 提高灵敏度，可以使用 高增益运算放大器 和 低噪声电阻。为了 滤除环境光干扰，可以采用 调制解调技术*。

4.4.2 电源电路 (Power Supply Circuits)

电源电路 (Power Supply Circuit) 是为电子设备 提供稳定、可靠电能 的电路。电源电路的功能是将 市电交流电 (AC power) 或 电池直流电 (DC power) 转换为电子设备所需的 直流电压 (DC voltage) 或 交流电压 (AC voltage)。电源电路是各种电子设备不可或缺的组成部分。

① 线性稳压电源 (Linear Regulated Power Supply)：
▮▮▮▮线性稳压电源 (Linear Regulated Power Supply) 是一种 利用线性稳压器 (linear regulator) 实现稳压的电源电路。线性稳压电源具有 纹波小、噪声低、响应速度快 等优点，但 效率较低、发热量大、体积较大。线性稳压电源主要由 变压器 (transformer)、整流电路 (rectifier circuit)、滤波电路 (filter circuit) 和 线性稳压器 (linear regulator) 组成。
▮▮▮▮⚝ 变压器 (Transformer)：将市电交流电压 降压 到合适的电压范围。
▮▮▮▮⚝ 整流电路 (Rectifier Circuit)：将交流电压 转换为脉动直流电压，常用的整流电路包括 桥式整流电路 和 全波整流电路。
▮▮▮▮⚝ 滤波电路 (Filter Circuit)：滤除脉动直流电压中的交流纹波成分，得到 平滑的直流电压。常用的滤波电路包括 电容滤波电路 (capacitor filter)、LC 滤波电路 (LC filter) 和 π 型滤波电路 (π-type filter)。
▮▮▮▮⚝ 线性稳压器 (Linear Regulator)：稳定输出电压，使其不受输入电压波动和负载变化的影响。常用的线性稳压器包括 串联型稳压器 (series regulator) 和 并联型稳压器 (shunt regulator)。串联型稳压器 的调整管 (如晶体管或 MOSFET) 串联在输出回路中，通过 调节调整管的导通程度 来稳定输出电压。并联型稳压器 的调整管 并联在输出回路中，通过 调节调整管的分流电流 来稳定输出电压。常用的线性稳压器集成电路 (IC) 包括 78XX 系列 (正电压稳压器) 和 79XX 系列 (负电压稳压器)，以及 低压差线性稳压器 (Low Dropout Regulator, LDO)。LDO 具有 输入输出压差小 的优点，适用于低电压应用场合。

② 开关稳压电源 (Switching Regulated Power Supply)：
▮▮▮▮开关稳压电源 (Switching Regulated Power Supply) 或 开关电源 (Switching Power Supply, SMPS) 是一种 利用开关器件 (开关管) 工作在 开关状态 实现稳压的电源电路。开关稳压电源具有 效率高、体积小、重量轻 等优点，但 纹波和噪声相对较大、电路复杂。开关稳压电源主要由 输入滤波器 (input filter)、整流和滤波电路 (rectifier and filter circuit)、开关管 (switching transistor)、高频变压器 (high-frequency transformer) (某些拓扑结构中没有)、输出整流和滤波电路 (output rectifier and filter circuit)、控制电路 (control circuit) 和 保护电路 (protection circuit) 等组成。
▮▮▮▮ 常用的开关稳压电源拓扑结构包括：
▮▮▮▮⚝ 反激式变换器 (Flyback Converter)：结构简单、成本低，适用于 小功率 应用场合。
▮▮▮▮⚝ 正激式变换器 (Forward Converter)：效率较高，适用于 中等功率 应用场合。
▮▮▮▮⚝ 推挽式变换器 (Push-Pull Converter)：功率较大，适用于 大功率 应用场合。
▮▮▮▮⚝ 半桥式变换器 (Half-Bridge Converter) 和 全桥式变换器 (Full-Bridge Converter)：功率更大，适用于 高功率 应用场合。
▮▮▮▮⚝ 升压变换器 (Boost Converter)：将输入电压 升高 到更高的输出电压。
▮▮▮▮⚝ 降压变换器 (Buck Converter)：将输入电压 降低 到更低的输出电压。
▮▮▮▮⚝ 升降压变换器 (Buck-Boost Converter)：输出电压可以 高于或低于 输入电压。
▮▮▮▮ 开关稳压电源的 控制方式 主要有 脉宽调制 (Pulse Width Modulation, PWM) 和 频率调制 (Frequency Modulation, FM)。PWM 控制 是通过 调节开关管的导通时间 (脉冲宽度) 来稳定输出电压，FM 控制 是通过 调节开关管的工作频率 来稳定输出电压。PWM 控制 是最常用的控制方式。
▮▮▮▮ 现代开关稳压电源通常采用 集成电路 (IC) 控制器，如 PWM 控制器芯片 (PWM controller IC)，简化了电路设计，提高了电源性能。常用的 PWM 控制器芯片包括 TL494、UC3842 和 SG3525 等。

③ 电源电路保护：
▮▮▮▮为了 提高电源电路的可靠性和安全性，电源电路通常需要加入各种 保护电路，例如：
▮▮▮▮⚝ 过流保护 (Overcurrent Protection, OCP)：当输出电流超过额定值时，自动切断输出，防止 过载 或 短路 损坏电源或负载。
▮▮▮▮⚝ 过压保护 (Overvoltage Protection, OVP)：当输出电压超过额定值时，自动切断输出，防止 过电压 损坏负载。常用的过压保护器件包括 稳压二极管 (Zener diode)、瞬态电压抑制器 (Transient Voltage Suppressor, TVS) 和 可控硅 (Silicon Controlled Rectifier, SCR)。
▮▮▮▮⚝ 过温保护 (Overtemperature Protection, OTP)：当电源电路温度过高时，自动切断输出，防止 过热 损坏电源或器件。通常使用 热敏电阻 或 温度开关 检测温度，并控制保护电路动作。
▮▮▮▮⚝ 输入过压保护 (Input Overvoltage Protection) 和 输入欠压保护 (Input Undervoltage Protection)：防止输入电压 过高或过低 损坏电源电路。

4.4.3 简单通信电路 (Simple Communication Circuits)

通信电路 (Communication Circuit) 是 实现信息传输 的电子电路。根据传输信号类型的不同，通信电路可以分为 模拟通信电路 (Analog Communication Circuit) 和 数字通信电路 (Digital Communication Circuit)。根据传输介质的不同，可以分为 有线通信电路 (Wired Communication Circuit) 和 无线通信电路 (Wireless Communication Circuit)。本节主要介绍一些 简单的调制解调电路 和 通信接口电路。

① 简单调制解调电路 (Simple Modulation and Demodulation Circuits)：
▮▮▮▮调制 (Modulation) 是指 将基带信号 (baseband signal) 的频谱搬移到高频载波 (carrier wave) 上 的过程，以便于信号在信道中传输。解调 (Demodulation) 是指 从接收到的已调信号中恢复出原始基带信号 的过程。常用的简单调制解调电路包括 幅度调制 (Amplitude Modulation, AM) 电路 和 频率调制 (Frequency Modulation, FM) 电路。
▮▮▮▮⚝ 幅度调制 (AM) 电路：幅度调制 (AM) 是指 用基带信号控制载波信号的幅度 的调制方式。简单的 AM 调制电路 可以使用 模拟乘法器 (analog multiplier) 或 二极管非线性电路 实现。AM 解调电路 可以使用 二极管检波电路 (diode detector) 或 包络检波电路 (envelope detector) 实现。二极管检波电路 由 二极管、电容和电阻 组成，利用二极管的 单向导电性 和 电容的充放电特性，提取 AM 信号的包络，从而恢复出基带信号。
▮▮▮▮⚝ 频率调制 (FM) 电路：频率调制 (FM) 是指 用基带信号控制载波信号的频率 的调制方式。简单的 FM 调制电路 可以使用 压控振荡器 (Voltage-Controlled Oscillator, VCO) 实现。VCO 的输出频率随输入控制电压的变化而变化，用基带信号作为控制电压，即可实现 FM 调制。FM 解调电路 可以使用 鉴频器 (frequency discriminator) 或 锁相环 (Phase-Locked Loop, PLL) 解调器 实现。鉴频器 将 FM 信号的频率变化转换为幅度变化，再进行检波，恢复出基带信号。PLL 解调器 利用 锁相环的频率跟踪特性，将 VCO 的控制电压作为解调输出，恢复出基带信号。

② 通信接口电路 (Communication Interface Circuits)：
▮▮▮▮通信接口电路 (Communication Interface Circuit) 是 连接不同通信设备或系统 的电路，用于 实现信号的电平转换、协议转换、隔离 等功能。常用的通信接口电路包括 串行通信接口 (Serial Communication Interface) 和 并行通信接口 (Parallel Communication Interface)。
▮▮▮▮⚝ 串行通信接口 (Serial Communication Interface)：串行通信 是一种 数据逐位按顺序传输 的通信方式，只需要 一对传输线 (单工) 或 两对传输线 (全双工)。常用的串行通信接口标准包括 RS-232 (Recommended Standard 232)、RS-485 (Recommended Standard 485)、通用串行总线 (Universal Serial Bus, USB) 和 串行外围设备接口 (Serial Peripheral Interface, SPI)、集成电路总线 (Inter-Integrated Circuit, I2C) 等。RS-232 是一种 单端不平衡传输 方式，传输距离较短，抗干扰能力较差，但 接口简单、应用广泛。RS-485 是一种 差分平衡传输 方式，传输距离较远，抗干扰能力强，适用于 工业控制 和 远距离通信 场合。USB 是一种 高速串行总线标准，广泛应用于 计算机外设 和 移动设备 的连接。SPI 和 I2C 是一种 短距离、低速串行总线，常用于 集成电路内部或电路板上的芯片间通信。串行通信接口电路 主要实现 电平转换 和 协议转换 功能。例如，RS-232 接口电路 使用 电平转换芯片 (如 MAX232) 将 TTL/CMOS 电平 转换为 RS-232 电平 (±12V)。USB 接口电路 使用 USB 接口芯片 (如 CH340) 实现 USB 协议 和 串行数据 之间的转换。
▮▮▮▮⚝ 并行通信接口 (Parallel Communication Interface)：并行通信 是一种 数据多位同时传输 的通信方式，需要 多条传输线。并行通信 传输速度快，但 线路复杂、成本高、抗干扰能力差，适用于 短距离、高速数据传输 场合。常用的并行通信接口标准包括 并行端口 (Parallel Port)、通用接口总线 (General Purpose Interface Bus, GPIB) 或 IEEE-488 等。并行端口 常用于 打印机 和 扫描仪 等外设的连接。GPIB 是一种 高速并行总线，常用于 仪器仪表 和 数据采集系统。并行通信接口电路 主要实现 电平转换 和 数据缓冲 功能。

5. 电力系统分析 (Power System Analysis)

本章介绍电力系统 (Power System) 的基本组成、运行特性、稳态分析 (Steady-State Analysis) 和暂态分析 (Transient Analysis)。电力系统是现代社会赖以生存的关键基础设施，其安全、稳定、经济运行至关重要。本章旨在为读者构建电力系统分析的知识框架，掌握电力系统分析的基本方法，为后续深入学习和工程实践奠定基础。

5.1 电力系统概述 (Overview of Power Systems)

本节介绍电力系统的组成、功能和发展趋势，包括发电 (Power Generation)、输电 (Power Transmission)、配电 (Power Distribution) 和用电 (Power Consumption) 环节。电力系统是一个庞大而复杂的网络，涉及电能的生产、传输、分配和使用，是实现电能从能源转换到最终用户的重要桥梁。

5.1.1 电力系统的组成 (Components of Power Systems)

电力系统是一个由多个相互连接的电气设备组成的整体，其主要组成部分包括：

① 发电厂 (Power Plants)：是电能生产的核心环节，将各种一次能源（如化石燃料、水能、核能、太阳能、风能等）转换为电能。常见的发电厂类型包括：
▮▮▮▮ⓑ 火力发电厂 (Thermal Power Plants)：利用燃烧化石燃料（煤、石油、天然气）产生的热能驱动汽轮机或燃气轮机发电。
▮▮▮▮ⓒ 水力发电厂 (Hydroelectric Power Plants)：利用水能的势能驱动水轮机发电。
▮▮▮▮ⓓ 核电厂 (Nuclear Power Plants)：利用核裂变产生的热能驱动汽轮机发电。
▮▮▮▮ⓔ 新能源发电厂 (Renewable Energy Power Plants)：包括太阳能光伏发电 (Photovoltaic Power Generation)、太阳能光热发电 (Concentrated Solar Power Generation)、风力发电 (Wind Power Generation) 等，利用可再生能源发电。

② 变电站 (Substations)：是电力系统中电压等级变换、电能分配和控制的关键节点。变电站的主要功能包括：
▮▮▮▮ⓑ 升压变电站 (Step-Up Substations)：将发电机发出的较低电压升高，以减少输电过程中的损耗，通常位于发电厂附近。
▮▮▮▮ⓒ 降压变电站 (Step-Down Substations)：将高压输电线路输送来的电能电压降低，以适应配电和用户用电的需求，分布在输电系统和配电系统之间，以及配电系统内部。
▮▮▮▮ⓓ 开关站 (Switching Substations)：主要用于连接和断开输电线路、母线和电气设备，实现电力系统的运行控制和保护。

③ 输电线路 (Transmission Lines)：是电力系统的主干道，用于远距离、大容量输送电能。输电线路根据电压等级可分为：
▮▮▮▮ⓑ 超高压输电线路 (Ultra-High Voltage Transmission Lines, UHV)：电压等级通常在 750kV 及以上，用于特远距离、特大容量输电。
▮▮▮▮ⓒ 特高压输电线路 (Extra-High Voltage Transmission Lines, EHV)：电压等级通常在 330kV 至 750kV 之间，用于远距离、大容量输电。
▮▮▮▮ⓓ 高压输电线路 (High Voltage Transmission Lines, HV)：电压等级通常在 110kV 至 220kV 之间，用于中等距离输电。

④ 配电线路 (Distribution Lines)：是将电能从输电系统分配到各类用户的网络。配电线路电压等级相对较低，网络结构较为复杂，通常呈辐射状或环状结构。配电线路根据电压等级可分为：
▮▮▮▮ⓑ 中压配电线路 (Medium Voltage Distribution Lines, MV)：电压等级通常在 6kV 至 35kV 之间，用于城市和乡村配电网的主干线。
▮▮▮▮ⓒ 低压配电线路 (Low Voltage Distribution Lines, LV)：电压等级通常在 380V/220V，直接连接用户，为用户提供电能。

⑤ 用户负荷 (Loads)：是电力系统的最终用户，消耗电能的设备和装置的总称。用户负荷种类繁多，特性各异，按照用途可分为：
▮▮▮▮ⓑ 工业负荷 (Industrial Loads)：如电机、电炉、电焊机等工业生产设备。
▮▮▮▮ⓒ 商业负荷 (Commercial Loads)：如照明、空调、办公设备、商业设施等。
▮▮▮▮ⓓ 居民负荷 (Residential Loads)：如家用电器、照明、生活用电等。
▮▮▮▮ⓔ 农业负荷 (Agricultural Loads)：如灌溉、农产品加工、农村生活用电等。
▮▮▮▮ⓕ 交通运输负荷 (Transportation Loads)：如电气化铁路、城市轨道交通、电动汽车充电桩等。

电力系统的各个组成部分相互协作，共同完成电能的生产、传输、分配和使用，形成一个完整的电力供应体系。

5.1.2 电力系统的功能与运行 (Function and Operation of Power Systems)

电力系统的主要功能可以概括为以下几个方面：

① 电能的产生 (Power Generation)：通过各种发电厂将一次能源转换为电能，满足社会用电需求。发电环节是电力系统的源头，电能质量和可靠性直接影响整个系统的运行。

② 电能的传输 (Power Transmission)：利用输电线路将发电厂产生的电能远距离输送到负荷中心或配电区域。输电环节是电力系统的骨干，决定了电能的输送能力和损耗水平。

③ 电能的分配 (Power Distribution)：通过配电线路将电能分配到各类用户。配电环节是电力系统的末梢，直接面向用户，关系到供电质量和用户满意度。

④ 电能的控制 (Power Control)：通过各种控制设备和技术，维持电力系统电压、频率、功率等运行参数在允许范围内，保证电力系统的安全、稳定、经济运行。控制环节贯穿电力系统的各个环节，是保证系统正常运行的核心。

⑤ 电能的保护 (Power Protection)：通过继电保护装置和安全自动装置，及时检测和切除电力系统故障，防止故障扩大，减少经济损失，保障人身和设备安全。保护环节是电力系统安全运行的最后一道防线。

电力系统的正常运行状态是指在满足用户用电需求的前提下，系统电压、频率稳定，各设备运行在额定范围内，系统运行经济高效。电力系统运行需要满足以下基本要求：

① 可靠性 (Reliability)：电力系统应具有高度的可靠性，保证持续、稳定地向用户供电，减少停电事故的发生。

② 安全性 (Security)：电力系统应具有足够的安全裕度，能够承受各种扰动和故障，保证系统稳定运行，避免发生大面积停电事故。

③ 经济性 (Economy)：电力系统应在保证可靠性和安全性的前提下，尽可能降低运行成本，提高经济效益。

④ 电能质量 (Power Quality)：电力系统应提供高质量的电能，保证电压和频率的稳定，减少谐波污染，满足用户对电能质量的要求。

为了实现电力系统的安全、稳定、经济运行，需要对电力系统进行精细化的运行控制和管理，包括：

⚝ 负荷预测 (Load Forecasting)：准确预测未来负荷需求，为发电计划和系统运行提供依据。
⚝ 发电调度 (Generation Scheduling)：合理安排发电厂的发电计划，满足负荷需求，降低发电成本。
⚝ 无功功率优化 (Reactive Power Optimization)：优化无功功率分布，提高电压稳定性和降低网损。
⚝ 电压控制 (Voltage Control)：调节系统电压，保证电压质量，提高系统稳定性。
⚝ 频率控制 (Frequency Control)：维持系统频率稳定，保证电能质量。
⚝ 故障诊断与恢复 (Fault Diagnosis and Restoration)：快速诊断和处理系统故障，尽快恢复供电。

5.1.3 电力系统的发展趋势 (Development Trends of Power Systems)

随着社会经济发展和科技进步，电力系统正朝着智能化、绿色化、高效化的方向发展，呈现出以下主要发展趋势：

① 智能电网 (Smart Grid)：是未来电力系统的发展方向，旨在利用先进的通信、信息和控制技术，构建一个高度自动化、高度互动、高度灵活的电力网络。智能电网的主要特点包括：
▮▮▮▮ⓑ 自愈能力 (Self-healing)：能够快速检测、隔离和恢复故障，提高供电可靠性。
▮▮▮▮ⓒ 互动性 (Interactive)：实现用户与电网的双向互动，促进需求侧响应 (Demand Response, DR)。
▮▮▮▮ⓓ 兼容性 (Compatible)：能够有效接入大规模可再生能源和分布式电源 (Distributed Generation, DG)。
▮▮▮▮ⓔ 优化运行 (Optimized Operation)：实现电力系统的优化运行和资源优化配置。
▮▮▮▮ⓕ 安全性 (Security)：提高电力系统的安全性和抵御网络攻击的能力。

② 可再生能源并网 (Renewable Energy Grid Integration)：为了应对能源危机和环境污染，可再生能源发电（如太阳能、风能）在电力系统中的比例日益提高。可再生能源并网面临的主要挑战包括：
▮▮▮▮ⓑ 间歇性与波动性 (Intermittency and Variability)：可再生能源发电出力受天气条件影响，具有间歇性和波动性，对电力系统稳定运行带来挑战。
▮▮▮▮ⓒ 分布性 (Distribution)：可再生能源发电通常分布在偏远地区，需要长距离输电，增加了输电网的负担。
▮▮▮▮ⓓ 低惯量 (Low Inertia)：新能源发电电源惯量较低，降低了电力系统的频率稳定性。

为了解决可再生能源并网带来的挑战，需要发展以下关键技术：
⚝ 储能技术 (Energy Storage Technologies)：平滑可再生能源发电出力波动，提高系统稳定性。
⚝ 智能调度技术 (Intelligent Dispatching Technologies)：优化可再生能源发电调度，提高可再生能源消纳能力。
⚝ 柔性交流输电技术 (Flexible AC Transmission System, FACTS) 和 高压直流输电技术 (High Voltage Direct Current Transmission, HVDC)：提高电网的灵活性和可控性，增强可再生能源输送能力。

③ 分布式发电 (Distributed Generation, DG)：是指靠近用户侧的小型发电单元，如燃气轮机、燃料电池、太阳能光伏、风力发电等。分布式发电的优点包括：
▮▮▮▮ⓑ 减少输电损耗 (Reduced Transmission Losses)：靠近负荷中心发电，减少了输电距离和损耗。
▮▮▮▮ⓒ 提高供电可靠性 (Improved Power Supply Reliability)：分散式电源可以提高局部供电可靠性，减少大面积停电风险。
▮▮▮▮ⓓ 能源综合利用 (Integrated Energy Utilization)：可以实现冷热电联供 (Combined Cooling, Heating and Power, CCHP)，提高能源利用效率。

分布式发电的大规模接入对配电网带来了新的挑战，需要发展 主动配电网 (Active Distribution Network, ADN) 技术，实现配电网的智能化和可控性，有效接纳和管理分布式电源。

④ 电力系统与信息通信技术融合 (Integration of Power System and Information Communication Technology, ICT)：电力系统与信息通信技术深度融合是智能电网发展的必然趋势。信息通信技术在电力系统中的应用包括：
▮▮▮▮ⓑ 高级量测体系 (Advanced Metering Infrastructure, AMI)：实现用电信息的实时采集和双向通信，为需求侧管理和智能用电提供数据支撑。
▮▮▮▮ⓒ 广域测量系统 (Wide Area Measurement System, WAMS)：实现电力系统运行状态的实时监测和分析，提高系统安全预警和控制能力。
▮▮▮▮ⓓ 电力通信网络 (Power Communication Network)：构建安全可靠的电力通信网络，支撑智能电网各项应用。

⑤ 能源互联网 (Energy Internet)：是未来能源发展的新模式，旨在构建一个开放、共享、互联互通的能源网络，实现能源的智能化生产、传输、存储和消费。能源互联网将电力系统与天然气、热力、交通等多种能源网络融合，实现多种能源的协同优化和高效利用。

5.2 电力系统元件模型 (Power System Component Models)

为了对电力系统进行分析和计算，需要建立电力系统中主要元件的等值电路模型 (Equivalent Circuit Models)。等值电路模型是用理想电路元件（如电阻 (Resistance)、电抗 (Reactance)、电容 (Capacitance)、电压源 (Voltage Source)、电流源 (Current Source) 等）来等效实际电力设备电气特性的电路模型。本节介绍电力系统中发电机 (Generator)、变压器 (Transformer) 和输电线路 (Transmission Line) 的常用等值电路模型。

5.2.1 发电机模型 (Generator Models)

电力系统分析中常用的发电机模型主要是同步发电机 (Synchronous Generator) 的模型。同步发电机是将机械能转换为电能的关键设备，其等值电路模型主要用于描述发电机的电气特性，以便进行电力系统潮流计算 (Power Flow Analysis)、故障分析 (Fault Analysis) 和稳定分析 (Stability Analysis)。

同步发电机的常用等值电路模型包括：

① 稳态模型 (Steady-State Model)：稳态模型主要用于电力系统潮流计算和静态稳定分析。稳态模型通常采用 经典模型 (Classical Model) 或 详细模型 (Detailed Model)。

⚝ 经典模型：将同步发电机等效为一个内电势 \( \dot{E}_q \) 串联一个同步电抗 \( X_d \)，内电势幅值恒定，相位角 \( \delta \) 为功角 (Power Angle)，如图 5.1 所示。经典模型忽略了发电机的暂态过程和阻尼效应，适用于静态稳定分析和初步的潮流计算。

                                
                                    

                            
1
                            
                                     +
                        

                            
2
                            
                    发电机端电压 (Terminal Voltage)  V∠δ
                        

                            
3
                            
        内电势 E_q∠δ ──串联── 同步电抗 X_d ──┬──>  输出电流 I
                        

                            
4
                            
                                         │
                        

                            
5
                            
                                         └── 接至系统 (System)
                        

                            
6
                            
                                     -
                        
                                
                            

⚝ 详细模型：考虑了同步发电机的励磁系统 (Excitation System) 和调速系统 (Governor System) 的影响，模型更为复杂，能够更准确地描述发电机的稳态特性。详细模型通常采用二轴模型 (Two-Axis Model)，分别考虑直轴 (d-axis) 和交轴 (q-axis) 的电抗和电势。

② 暂态模型 (Transient Model)：暂态模型主要用于电力系统暂态稳定分析。暂态模型需要考虑发电机的暂态过程和动态特性。常用的暂态模型包括 二阶模型 (Second-Order Model) 和 次暂态模型 (Subtransient Model)。

⚝ 二阶模型：将同步发电机等效为一个暂态内电势 \( \dot{E}'_q \) 串联一个暂态电抗 \( X'_d \)，暂态内电势幅值随时间变化，反映了发电机励磁绕组的暂态过程，如图 5.2 所示。二阶模型适用于暂态稳定分析，能够较好地反映发电机的功角振荡特性。

                                
                                    

                            
1
                            
                                     +
                        

                            
2
                            
                    发电机端电压 (Terminal Voltage)  V∠δ
                        

                            
3
                            
        暂态内电势 E'_q∠δ ──串联── 暂态电抗 X'_d ──┬──>  输出电流 I
                        

                            
4
                            
                                         │
                        

                            
5
                            
                                         └── 接至系统 (System)
                        

                            
6
                            
                                     -
                        
                                
                            

⚝ 次暂态模型：进一步考虑了同步发电机定子绕组和阻尼绕组的暂态过程，模型更为复杂，能够更准确地描述发电机在短路故障初期的动态特性。次暂态模型通常采用三阶或更高阶模型，适用于短路故障分析和详细的暂态稳定分析。

同步发电机模型参数主要包括：

⚝ 同步电抗 (Synchronous Reactance)：\( X_d \) (直轴同步电抗), \( X_q \) (交轴同步电抗)。
⚝ 暂态电抗 (Transient Reactance)：\( X'_d \) (直轴暂态电抗), \( X'_q \) (交轴暂态电抗)。
⚝ 次暂态电抗 (Subtransient Reactance)：\( X''_d \) (直轴次暂态电抗), \( X''_q \) (交轴次暂态电抗)。
⚝ 时间常数 (Time Constants)：\( T'_{d0} \) (直轴暂态开路时间常数), \( T''_{d0} \) (直轴次暂态开路时间常数), \( T'_{q0} \) (交轴暂态开路时间常数), \( T''_{q0} \) (交轴次暂态开路时间常数)。
⚝ 阻尼系数 (Damping Coefficient)：\( D \)。

这些参数可以通过发电机出厂试验或参数辨识方法获得。在电力系统分析中，需要根据分析目的和精度要求选择合适的发电机模型和参数。

5.2.2 变压器模型 (Transformer Models)

变压器是电力系统中电压等级变换的关键设备，其等值电路模型主要用于描述变压器的电气特性，以便进行电力系统潮流计算、故障分析和保护配置。常用的变压器模型包括 理想变压器模型 (Ideal Transformer Model) 和 实用变压器模型 (Practical Transformer Model)。

① 理想变压器模型：理想变压器忽略了变压器的励磁电流 (Excitation Current) 和漏磁抗抗 (Leakage Reactance) 以及电阻损耗 (Resistance Loss)，只考虑了电压和电流的变换关系。理想变压器的等值电路模型如图 5.3 所示。

                                
                                    

                            
1
                            
                                 ┌───:n───┐
                        

                            
2
                            
    原边电压 U_1 ──┬── 理想变压器 ──┬── 副边电压 U_2
                        

                            
3
                            
                   │              │
                        

                            
4
                            
    原边电流 I_1 ──┴────────┴── 副边电流 I_2
                        
                                
                            

理想变压器的电压和电流关系为：
\[ \frac{\dot{U}_1}{\dot{U}_2} = \frac{N_1}{N_2} = n \]
\[ \frac{\dot{I}_1}{\dot{I}_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{n} \]
其中，\( N_1 \) 和 \( N_2 \) 分别为原边和副边绕组的匝数，\( n \) 为变比 (Turns Ratio)。

② 实用变压器模型：实用变压器考虑了变压器的励磁支路 (Excitation Branch)、漏抗和电阻损耗，能够更准确地描述变压器的电气特性。实用变压器的等值电路模型如图 5.4 所示，通常将参数折算到同一侧（如高压侧或低压侧）。

                                
                                    

                            
1
                            
                                     ┌───:n───┐
                        

                            
2
                            
    原边电压 U'_1 ──┬── R_1 + jX_1 ──┬──  jX_m ──┬── 理想变压器 ──┬── 副边电压 U_2
                        

                            
3
                            
                   │                   │             │                  │
                        

                            
4
                            
    原边电流 I_1 ──┴─────────┴── R_c      ──┴──────────┴── 副边电流 I_2
                        

                            
5
                            
                                                  │
                        

                            
6
                            
                                                  └── R'_2 + jX'_2
                        
                                
                            

其中：
⚝ \( R_1 \)、\( X_1 \)：原边绕组的电阻和漏抗。
⚝ \( R'_2 \)、\( X'_2 \)：折算到原边的副边绕组的电阻和漏抗。
⚝ \( R_c \)：励磁电阻，反映铁心损耗 (Core Loss)。
⚝ \( X_m \)：励磁电抗，反映励磁电流。

变压器模型参数主要包括：

⚝ 短路阻抗 (Short-Circuit Impedance)：\( Z_k = R_k + jX_k \)，通常以标幺值 (Per-Unit Value) 或百分值 (%) 表示，由变压器短路试验 (Short-Circuit Test) 获得。
⚝ 空载损耗 (No-Load Loss)：\( P_0 \)，由变压器空载试验 (No-Load Test) 获得，用于计算励磁电阻 \( R_c \)。
⚝ 空载电流 (No-Load Current)：\( I_0 \)，由变压器空载试验获得，用于计算励磁电抗 \( X_m \)。
⚝ 变比 (Turns Ratio)：\( n \)。

对于三相变压器 (Three-Phase Transformer)，可以采用单相等值电路模型进行分析，也可以采用三相模型进行更精细的分析。三相变压器的连接方式 (如 Y-Y, Y-Δ, Δ-Y, Δ-Δ) 会影响其等值电路参数和运行特性。

5.2.3 输电线路模型 (Transmission Line Models)

输电线路是电力系统中传输电能的重要组成部分，其等值电路模型主要用于描述输电线路的电气特性，以便进行电力系统潮流计算、故障分析和稳定分析。输电线路模型根据线路长度和电压等级，可以分为 短线模型 (Short Line Model)、中长线模型 (Medium Line Model) 和 长线模型 (Long Line Model)。

① 短线模型：适用于线路长度小于 80km 或电压等级较低的输电线路。短线模型忽略了线路的分布电容 (Distributed Capacitance)，只考虑了线路的串联电阻 \( R \) 和串联电感 \( L \)。短线模型的等值电路如图 5.5(a) 所示。

                                
                                    

                            
1
                            
(a) 短线模型 (Short Line Model)           (b) 中长线 π 型模型 (Medium Line π Model)
                        

                            
2
                            

                        

                            
3
                            
      发送端 (Sending End)                       发送端 (Sending End)
                        

                            
4
                            
U_S ──┬── R + jX ──┬── U_R          U_S ──┬── R + jX ──┬── U_R
                        

                            
5
                            
      │             │               │             │
                        

                            
6
                            
      └───> I_S ──┴───────> I_R      └───> I_S ──┴───────> I_R
                        

                            
7
                            
                                                   │             │
                        

                            
8
                            
                                                 jB/2          jB/2
                        

                            
9
                            
                                                   │             │
                        

                            
10
                            
                                                 └──┴────────┴──
                        

                            
11
                            
                                                 接收端 (Receiving End)          接收端 (Receiving End)
                        

                            
12
                            

                        

                            
13
                            
(c) 长线 T 型模型 (Long Line T Model)         (d) 长线 π 型模型 (Long Line π Model)
                        

                            
14
                            

                        

                            
15
                            
      发送端 (Sending End)                       发送端 (Sending End)
                        

                            
16
                            
U_S ──┬── Z'/2 ──┬── Y'/2 ──┬── U_R          U_S ──┬── Y'/2 ──┬── U_R
                        

                            
17
                            
      │             │             │               │             │
                        

                            
18
                            
      └───> I_S ──┴───────┴───────> I_R      └───> I_S ──┴───────> I_R
                        

                            
19
                            
                                                   │             │
                        

                            
20
                            
                                                 Z'            Z'
                        

                            
21
                            
                                                   │             │
                        

                            
22
                            
                                                 Y'/2          Y'/2
                        

                            
23
                            
                                                   │             │
                        

                            
24
                            
                                                 └──┴────────┴──
                        

                            
25
                            
                                                 接收端 (Receiving End)          接收端 (Receiving End)
                        
                                
                            

② 中长线模型：适用于线路长度在 80km 至 250km 之间的输电线路。中长线模型需要考虑线路的分布电容，通常采用 π 型等值电路 (π Model) 或 T 型等值电路 (T Model)。常用的中长线模型是 π 型等值电路，如图 5.5(b) 所示。π 型等值电路将线路总电容 \( C \) 分成两半，分别接在线路的首末两端，形成 π 型结构。

③ 长线模型：适用于线路长度超过 250km 或电压等级较高的输电线路，如超高压和特高压输电线路。长线模型需要精确考虑线路参数的分布特性，采用 分布参数模型 (Distributed Parameter Model)。长线模型用 双曲函数 (Hyperbolic Functions) 来描述线路的电压和电流关系，等值电路可以用 T 型 (T Model) 或 π 型 (π Model) 表示，如图 5.5(c) 和 5.5(d) 所示。长线模型的参数包括 串联阻抗 (Series Impedance) \( Z' \) 和 并联导纳 (Shunt Admittance) \( Y' \)，它们是与线路长度相关的复数。

输电线路模型参数主要包括：

⚝ 串联电阻 (Series Resistance)：\( R \) (Ω/km)。
⚝ 串联电抗 (Series Reactance)：\( X \) (Ω/km)。
⚝ 并联电纳 (Shunt Susceptance)：\( B \) (S/km)。
⚝ 并联电导 (Shunt Conductance)：\( G \) (S/km)，通常忽略不计。

这些参数可以通过输电线路的设计参数和线路结构计算获得，也可以通过线路参数测试获得。在电力系统分析中，需要根据线路长度和精度要求选择合适的输电线路模型。

5.3 电力系统稳态分析 (Power System Steady-State Analysis)

电力系统稳态分析是指在电力系统运行于稳态 (Steady State) 的情况下，对系统进行分析和计算，研究系统的运行特性和性能指标。稳态是指电力系统运行状态在较长时间内保持相对稳定，系统电压、电流、功率等参数不随时间快速变化。电力系统稳态分析的主要内容包括 潮流计算 (Power Flow Analysis)、电力系统经济运行 (Economic Operation of Power Systems) 和 电力系统电压稳定 (Power System Voltage Stability) 分析。

5.3.1 潮流计算 (Power Flow Analysis)

潮流计算是电力系统稳态分析的核心内容，也是电力系统运行分析和规划设计的基础。潮流计算的主要目的是在给定电力系统网络结构、元件参数、负荷数据和发电机运行方式的条件下，计算电力系统各节点的电压 (Voltage) 和相角 (Phase Angle)、各支路的功率 (Power) 分布以及网损 (Network Loss) 等运行参数。

潮流计算的结果可以用于：

⚝ 检验电力系统在给定运行方式下是否满足安全约束 (Safety Constraints)，如电压是否在允许范围内，线路和变压器是否过负荷。
⚝ 评估电力系统运行的经济性 (Economy)，如网损大小，发电成本等。
⚝ 为电力系统运行优化和控制提供依据，如无功功率优化、电压控制等。
⚝ 为电力系统规划设计提供基础数据，如确定新建线路和变电站的容量和位置。

常用的潮流计算方法主要有 高斯-赛德尔法 (Gauss-Seidel Method) 和 牛顿-拉夫逊法 (Newton-Raphson Method)。

① 高斯-赛德尔法 (Gauss-Seidel Method)：是一种迭代法 (Iterative Method)，其基本思想是将电力系统节点方程 (Nodal Equations) 改写成迭代格式，通过不断迭代计算，逐步逼近潮流方程的解。高斯-赛德尔法的优点是算法简单、程序容易实现，但收敛速度 (Convergence Speed) 较慢，尤其是在大型电力系统中，收敛性可能较差。

高斯-赛德尔法的迭代公式如下：
\[ \dot{V}_i^{(k+1)} = \frac{1}{Y_{ii}} \left( \frac{P_i - jQ_i}{\dot{V}_i^{(k)}} - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} Y_{ij} \dot{V}_j^{(k)} \right) \]
其中，\( \dot{V}_i^{(k)} \) 是节点 \( i \) 在第 \( k \) 次迭代后的电压相量，\( Y_{ij} \) 是节点导纳矩阵 (Nodal Admittance Matrix) 的元素，\( P_i \) 和 \( Q_i \) 是节点 \( i \) 的注入有功功率 (Active Power) 和无功功率 (Reactive Power)。

② 牛顿-拉夫逊法 (Newton-Raphson Method)：是一种基于泰勒级数展开 (Taylor Series Expansion) 的迭代法，其收敛速度快、收敛性好，是目前应用最广泛的潮流计算方法。牛顿-拉夫逊法的基本思想是将非线性潮流方程组线性化 (Linearization)，然后求解线性方程组，得到电压修正量，再迭代计算，直至满足收敛判据 (Convergence Criterion)。

牛顿-拉夫逊法的迭代公式如下：
\[ \begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{\delta}^{(k)} \\ \Delta \boldsymbol{|V|}^{(k)} \end{bmatrix} = - \mathbf{J}^{-1} \begin{bmatrix} \Delta \mathbf{P}^{(k)} \\ \Delta \mathbf{Q}^{(k)} \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{\delta}^{(k+1)} \\ \boldsymbol{|V|}^{(k+1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\delta}^{(k)} \\ \boldsymbol{|V|}^{(k)} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{\delta}^{(k)} \\ \Delta \boldsymbol{|V|}^{(k)} \end{bmatrix} \]
其中，\( \mathbf{J} \) 是雅可比矩阵 (Jacobian Matrix)，\( \Delta \mathbf{P}^{(k)} \) 和 \( \Delta \mathbf{Q}^{(k)} \) 是功率不平衡量 (Power Mismatches) 向量，\( \Delta \boldsymbol{\delta}^{(k)} \) 和 \( \Delta \boldsymbol{|V|}^{(k)} \) 是电压相角和幅值修正量向量。

除了高斯-赛德尔法和牛顿-拉夫逊法，还有一些改进的潮流计算方法，如 PQ 分解法 (PQ Decomposition Method)、快速解耦法 (Fast Decoupled Method) 等，这些方法在保证计算精度的前提下，进一步提高了计算速度和收敛性。

5.3.2 电力系统经济运行 (Economic Operation of Power Systems)

电力系统经济运行是指在满足负荷需求和安全约束的条件下，通过优化调度发电厂的出力，使得电力系统运行成本 (Operation Cost) 最小化。电力系统经济运行的主要目标是实现 电力系统经济调度 (Economic Dispatch) 和 最优潮流 (Optimal Power Flow, OPF)。

① 电力系统经济调度 (Economic Dispatch, ED)：是指在给定负荷需求和系统安全约束的条件下，合理分配各发电厂的有功出力，使得系统发电总成本最小。经济调度通常在日前 (Day-Ahead) 或实时 (Real-Time) 进行，根据负荷预测和发电厂的运行特性，确定各发电厂的经济运行方式。

经济调度的基本原理是 等微增率准则 (Equal Incremental Cost Criterion)，即在最优运行状态下，所有在线运行发电厂的燃料成本微增率 (Incremental Fuel Cost) 应该相等。燃料成本微增率是指发电厂每增加单位有功出力所增加的燃料成本，通常用燃料成本对有功出力的导数表示。

经济调度的数学模型可以描述为：
\[ \min \sum_{i=1}^{N_G} C_i(P_{Gi}) \]
\[ \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{N_G} P_{Gi} = P_D + P_L \]
\[ P_{Gi}^{\min} \leq P_{Gi} \leq P_{Gi}^{\max} \]
其中，\( C_i(P_{Gi}) \) 是第 \( i \) 台发电机的燃料成本函数，\( P_{Gi} \) 是第 \( i \) 台发电机的有功出力，\( N_G \) 是发电机台数，\( P_D \) 是系统总负荷，\( P_L \) 是系统网损，\( P_{Gi}^{\min} \) 和 \( P_{Gi}^{\max} \) 是第 \( i \) 台发电机的有功出力上下限。

② 最优潮流 (Optimal Power Flow, OPF)：是在潮流计算的基础上，考虑经济性指标（如发电成本、网损等）和运行约束（如电压、功率、稳定性等），通过优化算法，寻找满足约束条件的最优潮流分布。最优潮流比经济调度更全面，不仅优化有功出力，还可以优化无功出力、变压器变比、FACTS 设备控制量等，实现电力系统的综合优化运行。

最优潮流的数学模型可以描述为：
\[ \min f(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \]
\[ \text{s.t.} \quad \mathbf{g}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) = 0 \]
\[ \mathbf{h}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \leq 0 \]
其中，\( f(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \) 是目标函数，如发电成本、网损等，\( \mathbf{x} \) 是状态变量，如节点电压幅值和相角，\( \mathbf{u} \) 是控制变量，如发电机有功和无功出力、变压器变比、FACTS 设备控制量等，\( \mathbf{g}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) = 0 \) 是潮流方程约束，\( \mathbf{h}(\mathbf{x}, \mathbf{u}) \leq 0 \) 是运行约束，如电压上下限、线路和变压器容量约束、稳定性约束等。

最优潮流的求解方法主要有 非线性规划方法 (Nonlinear Programming Methods)、线性规划方法 (Linear Programming Methods)、内点法 (Interior Point Method) 等。随着智能优化算法 (Intelligent Optimization Algorithms) 的发展，如遗传算法 (Genetic Algorithm, GA)、粒子群算法 (Particle Swarm Optimization, PSO)、模拟退火算法 (Simulated Annealing, SA) 等，也被应用于求解最优潮流问题。

5.3.3 电力系统电压稳定 (Power System Voltage Stability)

电力系统电压稳定是指电力系统在受到扰动后，维持所有节点电压在可接受范围内的能力。电压不稳定 (Voltage Instability) 可能导致系统电压崩溃 (Voltage Collapse)，引发大面积停电事故。电压稳定分析 (Voltage Stability Analysis) 的目的是评估电力系统的电压稳定性水平，识别电压薄弱环节，采取措施提高电压稳定性。

电压稳定的基本概念包括：

⚝ 静态电压稳定 (Static Voltage Stability)：是指电力系统在缓慢扰动下维持电压稳定的能力，主要关注负荷功率变化引起的电压变化。
⚝ 暂态电压稳定 (Transient Voltage Stability)：是指电力系统在大的扰动（如短路故障、发电机跳闸）后，维持电压稳定的能力，需要考虑电力系统动态过程的影响。
⚝ 小干扰电压稳定 (Small-Disturbance Voltage Stability)：是指电力系统在小干扰（如负荷微小波动）下维持电压稳定的能力，主要关注系统的小干扰稳定性。
⚝ 大干扰电压稳定 (Large-Disturbance Voltage Stability)：是指电力系统在大的扰动下维持电压稳定的能力，主要关注系统的暂态电压稳定性。

电压不稳定的主要原因是 无功功率不足 (Reactive Power Deficiency)。当电力系统负荷增加或系统受到扰动时，需要大量的无功功率来维持电压水平。如果系统无功功率供应不足，会导致电压下降，进一步增加负荷对无功功率的需求，形成恶性循环，最终导致电压崩溃。

电压稳定分析的方法主要有：

⚝ P-V 曲线分析 (P-V Curve Analysis)：通过绘制节点电压 \( V \) 随负荷有功功率 \( P \) 变化的曲线（P-V 曲线），分析系统的电压稳定性裕度 (Voltage Stability Margin) 和电压崩溃点 (Voltage Collapse Point)。P-V 曲线的 鼻尖点 (Nose Point) 对应电压崩溃点，鼻尖点与当前运行点之间的距离反映了电压稳定性裕度。

⚝ V-Q 灵敏度分析 (V-Q Sensitivity Analysis)：通过计算节点电压对无功功率注入的灵敏度 (Sensitivity)，评估系统的电压稳定性。V-Q 灵敏度越大，说明节点电压对无功功率变化越敏感，电压稳定性越差。V-Q 灵敏度的倒数称为 电压稳定系数 (Voltage Stability Factor)，电压稳定系数越小，电压稳定性越好。

⚝ 模态分析 (Modal Analysis)：利用状态空间模型 (State-Space Model) 分析电力系统的电压稳定模态 (Voltage Stability Modes) 和参与因子 (Participation Factors)，识别电压薄弱环节和影响电压稳定的主要因素。

提高电力系统电压稳定性的措施主要包括：

⚝ 增加无功功率补偿 (Reactive Power Compensation)：在电压薄弱节点安装并联电容器 (Shunt Capacitor, SC)、静止无功补偿器 (Static Var Compensator, SVC)、同步调相机 (Synchronous Condenser) 等无功补偿装置，提高系统无功功率供应能力。
⚝ 优化无功功率调度 (Reactive Power Dispatch)：合理调度发电机和无功补偿装置的无功出力，优化系统无功功率分布，提高电压稳定性。
⚝ 提高电压控制水平 (Voltage Control Level)：采用先进的电压控制策略，如自动电压控制 (Automatic Voltage Control, AVC)、协调电压控制 (Coordinated Voltage Control, CVC) 等，提高电压控制的快速性和精确性。
⚝ 加强电网网架结构 (Grid Infrastructure Reinforcement)：加强输电网建设，提高电网互联强度，增强系统的电压支撑能力。
⚝ 实施需求侧响应 (Demand Side Response, DR)：通过需求侧管理，减少负荷高峰期的用电需求，降低系统负荷水平，提高电压稳定性。

5.4 电力系统暂态分析 (Power System Transient Analysis)

电力系统暂态分析是指在电力系统受到大的扰动（如短路故障、发电机跳闸、线路切除等）后，系统从初始稳态过渡到新的稳态或失稳的过程分析。暂态过程通常持续几秒到几十秒，主要研究电力系统在扰动下的 暂态稳定 (Transient Stability)、故障电流 (Fault Current) 和 继电保护 (Relay Protection) 等问题。电力系统暂态分析是保证电力系统安全稳定运行的重要手段。

5.4.1 电力系统故障分析 (Power System Fault Analysis)

电力系统故障分析是指分析电力系统发生各种短路故障 (Short-Circuit Fault) 时，系统中各处的电流 (Current) 和电压 (Voltage) 分布情况，特别是短路电流的大小。故障分析的结果可以用于：

⚝ 设备选型 (Equipment Selection)：根据最大短路电流选择断路器 (Circuit Breaker)、隔离开关 (Disconnect Switch)、互感器 (Instrument Transformer) 等电气设备的额定参数和动热稳定校验。
⚝ 继电保护配置 (Relay Protection Configuration)：为继电保护装置的整定计算提供依据，保证继电保护的正确动作和快速切除故障。
⚝ 安全稳定分析 (Safety and Stability Analysis)：为电力系统稳定分析提供故障类型和故障位置等参数。

电力系统常见的短路故障类型包括 对称故障 (Symmetrical Fault) 和 不对称故障 (Unsymmetrical Fault)。

① 对称故障 (Symmetrical Fault)：是指三相短路故障 (Three-Phase Short-Circuit Fault)，三相之间发生完全相同的短路，系统仍然保持三相对称性。对称故障是最严重的短路故障，短路电流最大，对电力系统的冲击最大。对称故障分析通常采用 正序网络 (Positive-Sequence Network) 进行计算。

② 不对称故障 (Unsymmetrical Fault)：是指相间短路故障 (Phase-to-Phase Short-Circuit Fault)、单相接地短路故障 (Single Phase-to-Ground Short-Circuit Fault)、两相接地短路故障 (Two-Phase-to-Ground Short-Circuit Fault) 等，三相之间发生不对称的短路，系统失去三相对称性。不对称故障分析需要采用 对称分量法 (Method of Symmetrical Components)，将不对称的三相系统分解为正序 (Positive-Sequence)、负序 (Negative-Sequence) 和零序 (Zero-Sequence) 三个对称序分量系统，分别建立序网络 (Sequence Networks)，然后将序网络连接起来进行计算。

⚝ 正序网络 (Positive-Sequence Network)：与对称故障分析相同，电力设备的参数通常采用正序参数。
⚝ 负序网络 (Negative-Sequence Network)：电力设备的正序和负序参数通常相等或接近相等，但旋转电机（如同步发电机、异步电机）的负序电抗与正序电抗有所不同。
⚝ 零序网络 (Zero-Sequence Network)：零序网络的结构和参数与电力系统的接地方式 (Grounding System) 有关，需要考虑变压器的接线组别和中性点接地方式。

短路电流计算的基本步骤包括：

1. 建立电力系统序网络 (Sequence Networks)：根据故障类型和系统接地方式，建立正序、负序和零序网络。
2. 网络简化 (Network Reduction)：将序网络简化为戴维南等值电路 (Thévenin Equivalent Circuit) 或诺顿等值电路 (Norton Equivalent Circuit)。
3. 计算短路电流 (Short-Circuit Current Calculation)：根据等值电路计算故障点的短路电流，并根据序分量关系计算各相短路电流。

短路电流的计算方法主要有 标幺值法 (Per-Unit Method) 和 有名值法 (Actual Value Method)。标幺值法简化了计算过程，应用广泛。

5.4.2 电力系统暂态稳定 (Power System Transient Stability)

电力系统暂态稳定是指电力系统在受到大的扰动后，能否保持同步运行 (Synchronous Operation) 的能力。暂态失稳 (Transient Instability) 通常表现为发电机功角 (Power Angle) 振荡发散，导致系统频率 (Frequency) 崩溃，引发大面积停电事故。暂态稳定分析 (Transient Stability Analysis) 的目的是评估电力系统的暂态稳定性水平，识别暂态失稳模式，采取措施提高暂态稳定性。

暂态稳定分析主要采用 时域仿真法 (Time-Domain Simulation Method)，通过建立电力系统动态模型 (Dynamic Model)，求解电力系统微分方程组 (Differential Equations)，模拟电力系统在扰动下的动态过程，判断系统是否稳定。电力系统动态模型主要包括：

⚝ 发电机模型 (Generator Models)：如经典模型、二阶模型、详细模型等，根据精度要求选择合适的发电机模型。
⚝ 励磁系统模型 (Excitation System Models)：描述发电机励磁控制系统的动态特性，如自动电压调节器 (Automatic Voltage Regulator, AVR)。
⚝ 调速系统模型 (Governor System Models)：描述发电机调速控制系统的动态特性，如调速器 (Governor)。
⚝ 负荷模型 (Load Models)：描述负荷功率随电压和频率变化的特性，如恒阻抗负荷 (Constant Impedance Load)、恒电流负荷 (Constant Current Load)、恒功率负荷 (Constant Power Load) 等。
⚝ 输电线路模型 (Transmission Line Models)：通常采用 π 型等值电路模型。
⚝ 变压器模型 (Transformer Models)：通常采用实用变压器模型。
⚝ 控制和保护系统模型 (Control and Protection System Models)：如 FACTS 设备控制系统、继电保护装置模型等。

暂态稳定分析的基本步骤包括：

1. 建立电力系统动态模型 (Dynamic Model)：根据系统结构和元件参数，建立电力系统动态数学模型。
2. 设置扰动 (Disturbance Setting)：设置扰动的类型、位置、持续时间等，如三相短路故障、线路跳闸等。
3. 时域仿真 (Time-Domain Simulation)：采用数值积分方法 (Numerical Integration Methods)，如龙格-库塔法 (Runge-Kutta Method)、欧拉法 (Euler Method) 等，求解电力系统动态方程组，模拟系统动态过程。
4. 稳定性判据 (Stability Criterion)：根据仿真结果判断系统是否稳定。常用的稳定性判据是 功角判据 (Power Angle Criterion) 和 电压判据 (Voltage Criterion)。功角判据关注发电机功角是否发散，电压判据关注节点电压是否跌落至不可接受水平。

提高电力系统暂态稳定性的措施主要包括：

⚝ 提高发电机励磁控制水平 (Improved Generator Excitation Control)：采用快速励磁调节器 (Fast Excitation Regulator)、电力系统稳定器 (Power System Stabilizer, PSS) 等，增强发电机励磁系统的稳定控制能力。
⚝ 采用快速切除故障的继电保护 (Fast Fault Clearing Relay Protection)：缩短故障切除时间，减少故障对系统的冲击。
⚝ 安装 FACTS 设备 (FACTS Devices Installation)：如 SVC、TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor)、STATCOM (Static Synchronous Compensator) 等，提高系统的暂态稳定裕度。
⚝ 优化系统运行方式 (Optimized System Operation Mode)：合理安排系统运行方式，提高系统的稳定水平。
⚝ 切机切负荷 (Generator and Load Shedding)：在系统发生严重扰动时，采取切除部分发电机或负荷的紧急控制措施，防止系统失稳。

5.4.3 电力系统保护 (Power System Protection)

电力系统保护是指采用继电保护装置 (Relay Protection Devices) 和安全自动装置 (Security and Automatic Devices)，在电力系统发生故障或异常运行时，能够快速、选择性、可靠地切除故障元件，隔离故障区域，防止故障扩大，保障电力系统安全稳定运行，减少经济损失，保障人身和设备安全。

继电保护的基本原理是 选择性 (Selectivity)、速动性 (Speed)、灵敏性 (Sensitivity)、可靠性 (Reliability)。

⚝ 选择性 (Selectivity)：继电保护装置应能正确识别故障区域，只切除故障元件，不误动或拒动，避免扩大停电范围。
⚝ 速动性 (Speed)：继电保护装置应能快速动作，尽快切除故障，减少故障持续时间和对系统的冲击。
⚝ 灵敏性 (Sensitivity)：继电保护装置应能灵敏地反映故障或异常运行状态，及时动作。
⚝ 可靠性 (Reliability)：继电保护装置应具有高度的可靠性，保证在需要动作时可靠动作，不需要动作时不误动作。

常用的继电保护装置类型包括：

⚝ 过电流保护 (Overcurrent Protection)：利用故障电流增大来动作的保护，适用于线路、变压器、母线等设备的短路故障保护。
⚝ 距离保护 (Distance Protection)：利用故障点到保护安装点的距离（阻抗）来动作的保护，适用于输电线路的相间短路故障保护。
⚝ 差动保护 (Differential Protection)：利用被保护元件两侧电流差值来动作的保护，适用于变压器、发电机、母线等设备的内部故障保护。
⚝ 零序电流保护 (Zero-Sequence Current Protection)：利用零序电流增大来动作的保护，适用于接地短路故障保护。
⚝ 低电压保护 (Undervoltage Protection)：利用电压降低来动作的保护，适用于防止电压崩溃和低电压运行。
⚝ 频率保护 (Frequency Protection)：利用频率变化来动作的保护，适用于防止系统频率崩溃和低频减载。

电力系统继电保护的配置原则是 分级保护 (Graded Protection) 和 后备保护 (Backup Protection)。

⚝ 分级保护 (Graded Protection)：根据保护范围和重要性，设置多级保护，实现主保护 (Main Protection) 和后备保护的配合，保证保护的选择性和速动性。
⚝ 后备保护 (Backup Protection)：为了防止主保护拒动或保护装置本身故障，设置后备保护，作为主保护的补充和后援，提高保护的可靠性。

随着智能电网的发展，数字化继电保护 (Digital Relay Protection) 和网络化继电保护 (Networked Relay Protection) 得到广泛应用，提高了继电保护的智能化水平和保护性能。智能变电站 (Smart Substation) 采用 过程层 (Process Bus) 和 站控层 (Station Bus) 的网络化保护方案，实现了保护信息的数字化传输和共享，提高了保护系统的可靠性和灵活性。

6. 控制系统 (Control Systems)

6.1 控制系统基础 (Fundamentals of Control Systems)

6.1.1 控制系统的基本概念 (Basic Concepts of Control Systems)

控制系统 (Control System) 是指由相互关联的元件或环节组成的，为了达到特定的性能指标，对被控对象 (Plant) 进行控制的系统。简单来说，控制系统的目标是使系统的输出按照期望的方式运行。控制系统广泛应用于工业自动化、航空航天、交通运输、生物医学等领域，例如，工业机器人、飞行器自动驾驶系统、恒温箱、以及心脏起搏器等，都离不开控制系统的应用。

控制系统可以根据其控制方式的不同，分为开环控制系统 (Open-loop Control System) 和闭环控制系统 (Closed-loop Control System)。

① 开环控制系统 (Open-loop Control System)

开环控制系统，也称为前馈控制系统 (Feedforward Control System)，其特点是控制作用是单向的，系统的输出对控制器的决策没有影响。换句话说，控制器只根据输入信号产生控制作用，而不考虑实际的输出结果。

⚝ 开环控制系统的结构框图

                                
                                    

                            
1
                            
[Input] ----> [Controller] ----> [Actuator] ----> [Plant] ----> [Output]
                        
                                
                            

⚝ 开环控制系统的工作原理

开环控制系统的工作原理非常直接：
▮▮▮▮⚝ 输入信号 (Input)：系统接收期望的输入信号，例如，在电饭煲中，输入信号是用户设定的煮饭时间。
▮▮▮▮⚝ 控制器 (Controller)：控制器根据预设的控制规律，将输入信号转换为控制信号。例如，电饭煲的定时器就是一个简单的控制器，它根据设定的时间来控制加热器的开关。
▮▮▮▮⚝ 执行器 (Actuator)：执行器接收控制信号，并将其转换为对被控对象的实际操作。例如，电饭煲的加热器就是执行器，它根据控制信号（开关信号）来加热。
▮▮▮▮⚝ 被控对象 (Plant)：被控对象是需要被控制的系统或设备。例如，电饭煲中的米饭和水是被控对象。
▮▮▮▮⚝ 输出信号 (Output)：系统产生实际的输出信号。例如，煮熟的米饭就是电饭煲的输出。

⚝ 开环控制系统的优点
▮▮▮▮⚝ 结构简单，易于设计和实现。
▮▮▮▮⚝ 成本较低。
▮▮▮▮⚝ 系统稳定性较容易保证。

⚝ 开环控制系统的缺点
▮▮▮▮⚝ 控制精度较低，易受外部扰动和系统内部参数变化的影响。由于没有反馈环节，系统无法根据实际输出调整控制策略，因此一旦出现扰动或参数变化，输出就可能偏离期望值。
▮▮▮▮⚝ 鲁棒性差。对于未知的或变化的扰动，开环控制系统难以有效应对。

⚝ 开环控制系统的应用场景
▮▮▮▮⚝ 对控制精度要求不高，扰动较小且可预测的系统。
▮▮▮▮⚝ 例如：定时器控制的家电（如老式洗衣机、定时烤箱）、步进电机开环控制系统等。

② 闭环控制系统 (Closed-loop Control System)

闭环控制系统，也称为反馈控制系统 (Feedback Control System)，其特点是控制作用是双向的，系统的输出被反馈到输入端，参与控制器的决策，形成一个闭合的环路。控制器根据期望输入与实际输出之间的偏差 (Error) 来调整控制作用，从而实现对输出的精确控制。

⚝ 闭环控制系统的结构框图

                                
                                    

                            
1
                            
[Reference Input] ----> [+] ----> [Controller] ----> [Actuator] ----> [Plant] ----> [Output] ----> [Sensor] ----> [-] ----> Feedback to [+]
                        

                            
2
                            
                                     ^
                        

                            
3
                            
                                     |
                        

                            
4
                            
                                    [Feedback Path]
                        
                                
                            

其中，[+] 表示加法器，[-] 表示减法器。

⚝ 闭环控制系统的工作原理

闭环控制系统的工作原理基于负反馈机制 (Negative Feedback Mechanism)：
▮▮▮▮⚝ 参考输入 (Reference Input)：系统接收期望的参考输入信号，代表期望的系统输出。例如，在温控系统中，参考输入是用户设定的目标温度。
▮▮▮▮⚝ 加法器 (+)：将参考输入信号与反馈信号进行比较，计算偏差信号 (Error Signal)。偏差信号 \(e(t) = r(t) - y(t)\)，其中 \(r(t)\) 是参考输入，\(y(t)\) 是实际输出。
▮▮▮▮⚝ 控制器 (Controller)：控制器根据偏差信号，按照一定的控制算法产生控制信号，以减小偏差。例如，温控系统中的PID控制器会根据温度偏差来调整加热或制冷功率。
▮▮▮▮⚝ 执行器 (Actuator)：执行器接收控制信号，并将其转换为对被控对象的实际操作。例如，温控系统中的加热器或制冷器就是执行器。
▮▮▮▮⚝ 被控对象 (Plant)：被控对象是被控制的系统或设备。例如，温控系统中的房间或设备是被控对象。
▮▮▮▮⚝ 输出信号 (Output)：系统产生实际的输出信号。例如，房间的实际温度是温控系统的输出。
▮▮▮▮⚝ 传感器 (Sensor)：传感器测量系统的实际输出，并将其转换为反馈信号。例如，温控系统中的温度传感器测量实际温度。
▮▮▮▮⚝ 反馈路径 (Feedback Path)：反馈信号通过反馈路径传递回输入端，与参考输入进行比较。

⚝ 闭环控制系统的优点
▮▮▮▮⚝ 控制精度高，能够有效地克服外部扰动和系统参数变化的影响。通过负反馈机制，系统能够自动调整控制作用，减小偏差，使输出更接近期望值。
▮▮▮▮⚝ 鲁棒性好，对未知或变化的扰动具有一定的适应能力。
▮▮▮▮⚝ 可以实现复杂的控制功能，例如，跟踪控制、抗扰控制、最优控制等。

⚝ 闭环控制系统的缺点
▮▮▮▮⚝ 结构相对复杂，设计和实现难度较高。
▮▮▮▮⚝ 成本较高，需要传感器、反馈路径等额外的元件。
▮▮▮▮⚝ 系统稳定性问题可能较为突出，设计不当可能导致系统振荡甚至不稳定。

⚝ 闭环控制系统的应用场景
▮▮▮▮⚝ 对控制精度要求高，存在扰动或参数不确定性的系统。
▮▮▮▮⚝ 例如：工业过程控制、飞行器姿态控制、机器人伺服控制、汽车自动驾驶系统等。

③ 开环控制与闭环控制的比较

在实际工程应用中，选择开环控制还是闭环控制，需要根据具体的控制目标、系统特性、成本预算以及对控制性能的要求进行综合权衡。对于一些简单的、对精度要求不高的应用，开环控制可能是一个经济有效的选择；而对于需要高精度、高鲁棒性的复杂系统，闭环控制则是不可或缺的。

6.1.2 控制系统的分类 (Classification of Control Systems)

控制系统可以从不同的角度进行分类，常见的分类方式包括：

① 按系统特性分类

⚝ 线性系统与非线性系统 (Linear Systems and Nonlinear Systems)

▮▮▮▮⚝ 线性系统 (Linear System)：如果系统满足叠加原理 (Superposition Principle) 和齐次性原理 (Homogeneity Principle)，则称该系统为线性系统。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 叠加原理 (Superposition Principle)：若输入 \(u_1(t)\) 产生输出 \(y_1(t)\)，输入 \(u_2(t)\) 产生输出 \(y_2(t)\)，则输入 \(u_1(t) + u_2(t)\) 产生的输出为 \(y_1(t) + y_2(t)\)。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 齐次性原理 (Homogeneity Principle)：若输入 \(u(t)\) 产生输出 \(y(t)\)，则输入 \(au(t)\) (其中 \(a\) 为常数) 产生的输出为 \(ay(t)\)。

线性系统可以用线性微分方程或线性差分方程来描述，其分析和设计方法相对成熟和简单。例如，由线性元件（电阻 (Resistor)、电容 (Capacitor)、电感 (Inductor)）组成的电路系统，在一定条件下可以近似为线性系统。

▮▮▮▮⚝ 非线性系统 (Nonlinear System)：不满足叠加原理或齐次性原理的系统称为非线性系统。非线性系统广泛存在于实际工程中，例如，包含饱和特性、死区特性、迟滞特性等非线性元件的系统。非线性系统的行为复杂多样，分析和设计难度较大，通常需要采用非线性控制理论方法。例如，电机 (Motor) 的磁饱和特性、液压阀的流量饱和特性等都会导致系统呈现非线性特性。

⚝ 连续系统与离散系统 (Continuous Systems and Discrete Systems)

▮▮▮▮⚝ 连续系统 (Continuous System)：系统中信号在时间上是连续变化的系统称为连续系统。连续系统通常用微分方程 (Differential Equation) 来描述。例如，模拟电路、机械运动系统、温度控制系统等，在没有数字元件引入的情况下，通常可以视为连续系统。

▮▮▮▮⚝ 离散系统 (Discrete System)：系统中信号在时间上是离散的，即只在离散的时间点上取值的系统称为离散系统。离散系统通常用差分方程 (Difference Equation) 来描述。例如，数字控制系统、采样系统、计算机控制系统等，由于数字计算机只能处理离散信号，因此引入了离散的概念。

在现代控制系统中，由于数字计算机的广泛应用，离散时间控制系统 (Discrete-time Control System) 变得越来越重要。将连续系统离散化，采用数字控制器 (Digital Controller) 进行控制，是现代控制技术的一个重要发展方向。

⚝ 定常系统与时变系统 (Time-Invariant Systems and Time-Varying Systems)

▮▮▮▮⚝ 定常系统 (Time-Invariant System)：系统的参数不随时间变化的系统称为定常系统，也称为时不变系统。对于定常系统，如果输入信号延迟一段时间，则输出信号也只延迟相同的时间，而输出信号的形状和幅值不会发生改变。线性定常系统 (Linear Time-Invariant System, LTI System) 是控制理论中研究最多、分析方法最完善的一类系统。

▮▮▮▮⚝ 时变系统 (Time-Varying System)：系统的参数随时间变化的系统称为时变系统。例如，火箭 (Rocket) 飞行过程中，随着燃料的消耗，质量会不断变化，因此火箭的动力学模型是时变的。时变系统的分析和设计通常比定常系统复杂。

② 按控制目的分类

⚝ 伺服系统 (Servomechanism)

▮▮▮▮⚝ 伺服系统是以跟踪或复现给定的输入信号 (参考输入) 为主要目的的控制系统。伺服系统要求系统的输出能够快速、准确地跟随输入信号的变化。例如，雷达天线 (Radar Antenna) 的跟踪系统、数控机床 (Numerical Control Machine Tool) 的进给系统、机器人关节控制系统等都属于伺服系统。伺服系统通常要求具有较高的动态性能和稳态精度。

⚝ 调节系统 (Regulator System)

▮▮▮▮⚝ 调节系统是以保持系统的某个输出量 (被调量) 恒定在给定的期望值 (设定值) 为主要目的的控制系统。调节系统通常需要抑制各种扰动的影响，使输出量尽可能稳定在设定值附近。例如，工业过程控制中的温度调节系统、压力调节系统、液位调节系统等都属于调节系统。调节系统通常更关注系统的稳态性能和抗扰性能。

⚝ 程序控制系统 (Program Control System)

▮▮▮▮⚝ 程序控制系统是按照预先设定的时间程序或轨迹来控制系统运行的系统。程序控制系统的输入信号是随时间变化的预定程序。例如，自动洗衣机 (Automatic Washing Machine) 的洗涤程序、导弹 (Missile) 的飞行轨迹控制系统、数控机床的加工程序控制系统等都属于程序控制系统。程序控制系统既要保证系统的动态性能，又要确保系统能够严格按照预定的程序运行。

③ 按控制结构分类

⚝ 单变量控制系统与多变量控制系统 (Single-Variable Control Systems and Multi-Variable Control Systems)

▮▮▮▮⚝ 单变量控制系统 (Single-Variable Control System, SISO)：系统中只有一个输入和一个输出的控制系统称为单变量控制系统。前面介绍的开环控制系统和闭环控制系统的结构框图，通常都是针对单变量控制系统而言的。

▮▮▮▮⚝ 多变量控制系统 (Multi-Variable Control System, MIMO)：系统中存在多个输入和多个输出，且输入与输出之间存在耦合关系的控制系统称为多变量控制系统。例如，化工过程控制、飞行器姿态控制、电力系统控制等，往往涉及到多个被控变量，需要同时控制多个输入来实现对多个输出的期望性能。多变量控制系统的分析和设计比单变量控制系统复杂得多，需要采用多变量控制理论 (Multivariable Control Theory) 的方法。

⚝ 集中控制系统与分散控制系统 (Centralized Control Systems and Decentralized Control Systems)

▮▮▮▮⚝ 集中控制系统 (Centralized Control System)：系统的所有控制功能都由一个中央控制器 (Central Controller) 完成的控制系统称为集中控制系统。集中控制系统结构简单，易于管理和维护，但可靠性较低，扩展性较差，不适用于大规模、复杂的系统。

▮▮▮▮⚝ 分散控制系统 (Decentralized Control System)：系统的控制功能由多个控制器 (Local Controllers) 分散承担，控制器之间通过通信网络 (Communication Network) 相互协调和配合的控制系统称为分散控制系统，也称为分布式控制系统 (Distributed Control System, DCS)。分散控制系统可靠性高，扩展性好，适用于大规模、复杂的系统，例如，大型工业自动化系统、智能电网 (Smart Grid)、交通控制系统等。

④ 按控制理论分类

⚝ 经典控制系统与现代控制系统 (Classical Control Systems and Modern Control Systems)

▮▮▮▮⚝ 经典控制系统 (Classical Control System)：主要基于经典控制理论 (Classical Control Theory) 设计的控制系统。经典控制理论主要研究单输入单输出 (SISO)、线性定常系统，采用传递函数 (Transfer Function) 作为数学模型，主要使用时域分析法 (Time-Domain Analysis)、频域分析法 (Frequency-Domain Analysis) 和根轨迹法 (Root Locus Method) 等方法进行系统分析和控制器设计。经典控制理论在工程实践中得到了广泛应用，例如，PID控制及其各种改进算法。

▮▮▮▮⚝ 现代控制系统 (Modern Control System)：主要基于现代控制理论 (Modern Control Theory) 设计的控制系统。现代控制理论可以处理多输入多输出 (MIMO)、非线性、时变系统，采用状态空间模型 (State-Space Model) 作为数学模型，主要使用状态空间法 (State-Space Method)、最优控制理论 (Optimal Control Theory)、鲁棒控制理论 (Robust Control Theory)、自适应控制理论 (Adaptive Control Theory)、智能控制理论 (Intelligent Control Theory) 等方法进行系统分析和控制器设计。现代控制理论为解决复杂控制问题提供了强大的工具，在航空航天、机器人、智能制造等领域得到了广泛应用。

6.1.3 控制系统的组成 (Components of Control Systems)

一个典型的闭环控制系统，通常由以下几个基本组成部分构成：

① 控制器 (Controller)

控制器是控制系统的核心部件，其作用是根据偏差信号 (Error Signal)，按照一定的控制规律产生控制信号 (Control Signal)，以驱动执行器，最终实现对被控对象的控制。控制器的设计是控制系统设计的关键环节，控制器的性能直接决定了整个控制系统的性能。

⚝ 常见的控制器类型
▮▮▮▮⚝ PID控制器 (Proportional-Integral-Derivative Controller)：PID控制器是最经典、应用最广泛的控制器类型，其控制规律由比例 (Proportional)、积分 (Integral)、微分 (Derivative) 三个环节组成。PID控制器结构简单，参数整定方便，能够有效地消除稳态误差，改善动态性能。
▮▮▮▮⚝ 超前-滞后控制器 (Lead-Lag Controller)：超前-滞后控制器是一种常用的串联校正控制器，可以改善系统的相位裕度 (Phase Margin) 和幅值裕度 (Gain Margin)，提高系统的稳定性和动态性能。
▮▮▮▮⚝ 状态反馈控制器 (State Feedback Controller)：状态反馈控制器是现代控制理论中的重要控制器类型，通过反馈系统的状态变量，实现对系统极点 (Poles) 的配置，从而达到期望的控制性能。
▮▮▮▮⚝ 最优控制器 (Optimal Controller)：最优控制器是根据某种性能指标 (Performance Index) 进行优化的控制器，例如，线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR)。最优控制器能够使系统在满足一定约束条件下，达到最优的控制性能。
▮▮▮▮⚝ 鲁棒控制器 (Robust Controller)：鲁棒控制器是针对系统模型不确定性 (Model Uncertainty) 和外部扰动设计的控制器，能够保证系统在一定的不确定性范围内，仍然具有良好的控制性能和稳定性。
▮▮▮▮⚝ 自适应控制器 (Adaptive Controller)：自适应控制器能够根据系统运行过程中参数的变化或环境的变化，自动调整控制器的参数，以保持系统的控制性能。
▮▮▮▮⚝ 智能控制器 (Intelligent Controller)：智能控制器是基于人工智能技术 (Artificial Intelligence, AI) 的控制器，例如，模糊控制器 (Fuzzy Controller)、神经网络控制器 (Neural Network Controller)、专家系统控制器 (Expert System Controller) 等。智能控制器具有学习能力、推理能力和自组织能力，能够处理复杂的、不确定的控制问题。

② 被控对象 (Plant)

被控对象是控制系统要控制的对象，也称为受控对象或过程 (Process)。被控对象可以是任何需要进行控制的物理系统、设备或过程，例如，电机、机器人、飞行器、化工反应器、温度控制炉等。被控对象的特性决定了控制系统的设计难度和控制性能的上限。

⚝ 被控对象的数学模型

为了进行控制系统的分析和设计，需要建立被控对象的数学模型 (Mathematical Model)。常用的数学模型包括：
▮▮▮▮⚝ 传递函数模型 (Transfer Function Model)：传递函数是描述线性定常系统输入输出关系的频域模型，定义为系统输出的拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 与输入的拉普拉斯变换之比，零初始条件下。传递函数模型适用于描述单输入单输出线性定常系统。
▮▮▮▮⚝ 状态空间模型 (State-Space Model)：状态空间模型是描述系统动态行为的时域模型，用一组一阶微分方程 (或差分方程) 来描述系统的状态变量 (State Variables)、输入变量 (Input Variables) 和输出变量 (Output Variables) 之间的关系。状态空间模型可以描述多输入多输出、线性或非线性、定常或时变系统，是一种更通用的系统模型。

③ 执行器 (Actuator)

执行器也称为操纵机构 (Manipulating Mechanism)，是控制系统中直接对被控对象施加控制作用的部件。执行器接收来自控制器的控制信号，并将其转换为能够直接作用于被控对象的物理量，例如，力、力矩、流量、电压、电流等。

⚝ 常见的执行器类型
▮▮▮▮⚝ 电机 (Motor)：直流电机 (DC Motor)、交流电机 (AC Motor)、步进电机 (Stepper Motor)、伺服电机 (Servo Motor) 等，用于提供旋转运动或直线运动。
▮▮▮▮⚝ 液压执行器 (Hydraulic Actuator)：液压缸 (Hydraulic Cylinder)、液压马达 (Hydraulic Motor) 等，用于提供大力的直线运动或旋转运动。
▮▮▮▮⚝ 气动执行器 (Pneumatic Actuator)：气缸 (Pneumatic Cylinder)、气动马达 (Pneumatic Motor) 等，用于提供直线运动或旋转运动。
▮▮▮▮⚝ 阀门 (Valve)：电磁阀 (Solenoid Valve)、比例阀 (Proportional Valve)、伺服阀 (Servo Valve) 等，用于调节流体的流量、压力或方向。
▮▮▮▮⚝ 加热器 (Heater)：电加热器、燃气加热器等，用于提供热量，控制温度。
▮▮▮▮⚝ 制冷器 (Cooler)：压缩机、制冷片等，用于降低温度。
▮▮▮▮⚝ 变频器 (Frequency Converter)：用于调节交流电机的转速。
▮▮▮▮⚝ 电力电子器件 (Power Electronic Devices)：晶闸管 (Thyristor)、功率晶体管 (Power Transistor)、绝缘栅双极型晶体管 (Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT) 等，用于电力变换和控制。

④ 传感器 (Sensor)

传感器是控制系统中用于检测被控对象的输出量 (或状态量) 的装置。传感器将被测量的物理量 (例如，温度、压力、位移、速度、流量、电压、电流等) 转换为电信号 (例如，电压信号、电流信号、数字信号)，以便控制器进行处理和反馈。传感器的精度、灵敏度、响应速度等性能指标直接影响控制系统的测量精度和控制性能。

⚝ 常见的传感器类型
▮▮▮▮⚝ 温度传感器 (Temperature Sensor)：热电偶 (Thermocouple)、热电阻 (Resistance Temperature Detector, RTD)、热敏电阻 (Thermistor)、集成温度传感器 (Integrated Temperature Sensor) 等，用于测量温度。
▮▮▮▮⚝ 压力传感器 (Pressure Sensor)：压阻式压力传感器 (Piezoresistive Pressure Sensor)、压电式压力传感器 (Piezoelectric Pressure Sensor)、电容式压力传感器 (Capacitive Pressure Sensor) 等，用于测量压力。
▮▮▮▮⚝ 位移传感器 (Displacement Sensor)：电位器式位移传感器 (Potentiometric Displacement Sensor)、电感式位移传感器 (Inductive Displacement Sensor)、电容式位移传感器 (Capacitive Displacement Sensor)、光栅位移传感器 (Grating Displacement Sensor)、激光位移传感器 (Laser Displacement Sensor) 等，用于测量位移或位置。
▮▮▮▮⚝ 速度传感器 (Velocity Sensor)：测速发电机 (Tachogenerator)、光电编码器 (Photoelectric Encoder)、磁电式速度传感器 (Magnetoelectric Velocity Sensor) 等，用于测量速度或转速。
▮▮▮▮⚝ 流量传感器 (Flow Sensor)：涡轮流量计 (Turbine Flow Meter)、电磁流量计 (Electromagnetic Flow Meter)、超声波流量计 (Ultrasonic Flow Meter)、差压流量计 (Differential Pressure Flow Meter) 等，用于测量流体流量。
▮▮▮▮⚝ 液位传感器 (Level Sensor)：浮球液位传感器 (Float Level Sensor)、电容式液位传感器 (Capacitive Level Sensor)、超声波液位传感器 (Ultrasonic Level Sensor)、雷达液位传感器 (Radar Level Sensor) 等，用于测量液位。
▮▮▮▮⚝ 电流传感器 (Current Sensor)：霍尔电流传感器 (Hall Current Sensor)、电流互感器 (Current Transformer) 等，用于测量电流。
▮▮▮▮⚝ 电压传感器 (Voltage Sensor)：电阻分压器 (Voltage Divider)、电压互感器 (Voltage Transformer) 等，用于测量电压。
▮▮▮▮⚝ 光传感器 (Optical Sensor)：光电二极管 (Photodiode)、光电三极管 (Phototransistor)、光敏电阻 (Photoresistor)、图像传感器 (Image Sensor) 等，用于测量光强度、光照度、图像等。
▮▮▮▮⚝ 接近传感器 (Proximity Sensor)：电感式接近传感器 (Inductive Proximity Sensor)、电容式接近传感器 (Capacitive Proximity Sensor)、光电式接近传感器 (Photoelectric Proximity Sensor)、超声波接近传感器 (Ultrasonic Proximity Sensor) 等，用于检测物体是否接近或到达某一位置。

⑤ 反馈路径 (Feedback Path)

反馈路径是将传感器检测到的输出信号反馈到输入端的通道。反馈路径通常由传感器、信号调理电路 (Signal Conditioning Circuit) 和反馈元件 (Feedback Element) 组成。信号调理电路用于对传感器输出的信号进行放大、滤波、转换等处理，使其满足控制器输入的要求。反馈元件可以是简单的电阻、电容、运放电路，也可以是复杂的信号处理算法。

6.1.4 控制系统的数学模型 (Mathematical Models of Control Systems)

数学模型 (Mathematical Model) 是对控制系统进行分析、设计和仿真研究的基础。控制系统的数学模型是用数学语言 (例如，方程、函数、图形等) 对系统的动态特性、静态特性以及输入输出关系进行描述。建立精确、简洁的数学模型是控制系统分析和设计的首要任务。

① 传递函数模型 (Transfer Function Model)

传递函数模型是描述线性定常 (LTI) 系统输入输出关系的频域模型。对于单输入单输出线性定常系统，其传递函数 \(G(s)\) 定义为系统输出 \(Y(s)\) 的拉普拉斯变换与输入 \(U(s)\) 的拉普拉斯变换之比，在零初始条件下：

\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \]

其中，\(s\) 是复频率变量，\(Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}\) 是系统输出 \(y(t)\) 的拉普拉斯变换，\(U(s) = \mathcal{L}\{u(t)\}\) 是系统输入 \(u(t)\) 的拉普拉斯变换，\(\mathcal{L}\{\cdot\}\) 表示拉普拉斯变换。

⚝ 传递函数的性质
▮▮▮▮⚝ 传递函数只适用于线性定常系统。
▮▮▮▮⚝ 传递函数是系统本身的属性，与输入信号的形式无关。
▮▮▮▮⚝ 传递函数包含了系统的动态特性信息，例如，系统的固有频率 (Natural Frequency)、阻尼比 (Damping Ratio)、时间常数 (Time Constant) 等。
▮▮▮▮⚝ 传递函数可以方便地进行系统的串联、并联和反馈连接的运算。
▮▮▮▮⚝ 传递函数可以通过实验方法 (例如，频率响应测试) 或理论分析方法 (例如，根据系统的微分方程模型进行拉普拉斯变换) 得到。

⚝ 传递函数的表示形式

传递函数通常表示为有理分式的形式：

\[ G(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} = \frac{N(s)}{D(s)} \]

其中，\(N(s) = b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_1 s + b_0\) 是分子多项式，\(D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0\) 是分母多项式，\(a_i\) 和 \(b_j\) 是常系数，\(n\) 是分母多项式的阶次，称为系统的阶次，\(m\) 是分子多项式的阶次，通常 \(m \leq n\)。

⚝ 零点与极点 (Zeros and Poles)

▮▮▮▮⚝ 零点 (Zeros)：使传递函数分子多项式 \(N(s) = 0\) 的 \(s\) 值称为传递函数的零点，记为 \(z_1, z_2, \cdots, z_m\)。零点决定了系统输出为零的频率成分。
▮▮▮▮⚝ 极点 (Poles)：使传递函数分母多项式 \(D(s) = 0\) 的 \(s\) 值称为传递函数的极点，记为 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\)。极点决定了系统的稳定性和动态响应特性。

② 状态空间模型 (State-Space Model)

状态空间模型是描述系统动态行为的时域模型，可以描述多输入多输出 (MIMO)、线性或非线性、定常或时变系统，是一种更通用的系统模型。线性定常系统的状态空间模型通常表示为以下形式：

\[ \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \end{aligned} \]

其中：
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{x}(t)\) 是 \(n\) 维状态向量 (State Vector)，表示系统的状态变量。状态变量是能够完全描述系统动态行为的最小一组变量。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{u}(t)\) 是 \(r\) 维输入向量 (Input Vector)，表示系统的输入信号。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{y}(t)\) 是 \(p\) 维输出向量 (Output Vector)，表示系统的输出信号。
▮▮▮▮⚝ \(\dot{\mathbf{x}}(t)\) 是状态向量 \(\mathbf{x}(t)\) 的时间导数。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{A}\) 是 \(n \times n\) 状态矩阵 (State Matrix)，描述系统状态变量之间的相互关系。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{B}\) 是 \(n \times r\) 输入矩阵 (Input Matrix)，描述输入信号如何影响状态变量。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{C}\) 是 \(p \times n\) 输出矩阵 (Output Matrix)，描述状态变量如何影响输出信号。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{D}\) 是 \(p \times r\) 直接传递矩阵 (Direct Transmission Matrix)，描述输入信号直接传递到输出信号的部分，通常在物理系统中 \(\mathbf{D} = \mathbf{0}\)。

第一式称为状态方程 (State Equation)，描述系统状态随时间变化的规律；第二式称为输出方程 (Output Equation)，描述系统输出与状态和输入的关系。 \(\{\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}\}\) 称为状态空间模型的系统矩阵 (System Matrices)。

⚝ 状态空间模型的优点
▮▮▮▮⚝ 可以描述多输入多输出系统。
▮▮▮▮⚝ 可以描述线性或非线性系统。
▮▮▮▮⚝ 可以描述定常或时变系统。
▮▮▮▮⚝ 可以提供系统的内部状态信息，而不仅仅是输入输出关系。
▮▮▮▮⚝ 现代控制理论的许多方法，例如，状态反馈控制、最优控制、鲁棒控制等，都是基于状态空间模型提出的。

⚝ 状态空间模型与传递函数模型的转换

对于单输入单输出线性定常系统，状态空间模型和传递函数模型之间可以相互转换。

▮▮▮▮⚝ 由状态空间模型求传递函数：
\[ G(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D} \]
其中，\(\mathbf{I}\) 是 \(n \times n\) 单位矩阵，\((s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\) 是矩阵 \((s\mathbf{I} - \mathbf{A})\) 的逆矩阵。

▮▮▮▮⚝ 由传递函数模型求状态空间模型：
由传递函数模型转换到状态空间模型，不是唯一的，存在多种实现方式，例如，能控标准型 (Controllable Canonical Form)、能观标准型 (Observable Canonical Form)、对角线标准型 (Diagonal Canonical Form) 等。

在控制系统分析和设计中，根据具体问题的特点和需要，选择合适的数学模型非常重要。传递函数模型适用于分析单输入单输出线性定常系统的频率响应、稳定性等问题，而状态空间模型更适用于分析多输入多输出系统、非线性系统、时变系统，以及进行现代控制理论的设计。

6.2 经典控制理论 (Classical Control Theory)

6.2.1 时域分析法 (Time-Domain Analysis)

时域分析法 (Time-Domain Analysis) 是经典控制理论中一种重要的系统分析方法。它直接在时间域内研究系统的动态响应特性，通过分析系统在典型输入信号作用下的输出响应，来评估系统的性能。时域分析法直观、物理意义明确，是控制系统设计和性能评估的重要手段。

① 典型输入信号 (Typical Input Signals)

为了研究系统的动态响应特性，通常采用一些具有典型特征的输入信号来激励系统。常用的典型输入信号包括：

⚝ 阶跃信号 (Step Signal)

▮▮▮▮⚝ 阶跃信号 \(u(t)\) 在 \(t=0\) 时刻从零突变到一个常值，数学表达式为：
\[ u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ A, & t \geq 0 \end{cases} \]
其中，\(A\) 是阶跃信号的幅值，通常取 \(A=1\) 的单位阶跃信号进行分析。阶跃信号常用于模拟系统输入量的突变，例如，开关的突然闭合、设定值的突然改变等。阶跃响应 (Step Response) 是系统对阶跃输入信号的输出响应，包含了系统动态特性的丰富信息，是时域分析中最常用的响应形式。

⚝ 脉冲信号 (Impulse Signal)

▮▮▮▮⚝ 理想脉冲信号 \(\delta(t)\) 是一个持续时间极短、幅值无限大的信号，其积分面积为1，数学上用狄拉克 \(\delta\) 函数 (Dirac \(\delta\) function) 表示。在实际应用中，脉冲信号可以用一个短时间、大幅值的矩形脉冲信号近似。脉冲信号常用于模拟系统受到的瞬时冲击或扰动。脉冲响应 (Impulse Response) 是系统对脉冲输入信号的输出响应，也包含了系统的全部动态特性信息。

⚝ 斜坡信号 (Ramp Signal)

▮▮▮▮⚝ 斜坡信号 \(u(t)\) 是一个随时间线性增长的信号，数学表达式为：
\[ u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ Kt, & t \geq 0 \end{cases} \]
其中，\(K\) 是斜坡信号的斜率。斜坡信号常用于模拟系统输入量随时间匀速变化的情况，例如，跟踪匀速运动的目标。斜坡响应 (Ramp Response) 可以反映系统跟踪随动输入的能力。

⚝ 正弦信号 (Sinusoidal Signal)

▮▮▮▮⚝ 正弦信号 \(u(t)\) 是一个周期性振荡信号，数学表达式为：
\[ u(t) = A \sin(\omega t + \varphi) \]
其中，\(A\) 是幅值，\(\omega\) 是角频率，\(\varphi\) 是初相位。正弦信号常用于分析系统的频率响应特性，例如，系统的幅频特性 (Magnitude Frequency Response) 和相频特性 (Phase Frequency Response)。正弦响应 (Sinusoidal Response) 可以反映系统对不同频率正弦信号的响应能力。

② 时域性能指标 (Time-Domain Performance Metrics)

时域性能指标是定量描述系统动态响应特性的参数，通常基于系统对阶跃输入信号的阶跃响应来定义。常用的时域性能指标包括：

⚝ 上升时间 \(t_r\) (Rise Time)

▮▮▮▮⚝ 上升时间是指阶跃响应从稳态值的 \(10\%\) 上升到 \(90\%\) (或 \(5\%\) 上升到 \(95\%\) 或 \(0\%\) 上升到 \(100\%\)) 所需的时间。上升时间反映了系统响应的快速性，\(t_r\) 越小，响应越快。

⚝ 峰值时间 \(t_p\) (Peak Time)

▮▮▮▮⚝ 峰值时间是指阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值 (最大值) 所需的时间。峰值时间反映了系统响应的超调速度。

⚝ 最大超调量 \(M_p\) (Maximum Overshoot)

▮▮▮▮⚝ 最大超调量是指阶跃响应的最大峰值与稳态值之差，相对于稳态值的百分比。最大超调量反映了系统响应的超调程度，\(M_p\) 越小，超调越小，响应越平稳。
\[ M_p = \frac{y_{max} - y_{ss}}{y_{ss}} \times 100\% \]
其中，\(y_{max}\) 是阶跃响应的最大峰值，\(y_{ss}\) 是稳态值。

⚝ 调节时间 \(t_s\) (Settling Time)

▮▮▮▮⚝ 调节时间是指阶跃响应进入并保持在稳态值 \(\pm 5\%\) (或 \(\pm 2\%\)) 误差带内所需的最短时间。调节时间反映了系统响应的稳定速度，\(t_s\) 越小，响应越快达到稳态。

⚝ 稳态误差 \(e_{ss}\) (Steady-State Error)

▮▮▮▮⚝ 稳态误差是指系统响应达到稳态后，输出稳态值与期望输入值 (或参考输入) 之间的偏差。稳态误差反映了系统跟踪输入信号的精度。对于单位阶跃输入，稳态误差定义为：
\[ e_{ss} = \lim_{t \to \infty} [r(t) - y(t)] = \lim_{s \to 0} s E(s) = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{1+G(s)H(s)} R(s) \]
其中，\(R(s)\) 是输入信号的拉普拉斯变换，\(Y(s)\) 是输出信号的拉普拉斯变换，\(E(s) = R(s) - Y(s)H(s)\) 是偏差信号的拉普拉斯变换，\(G(s)\) 是前向通道传递函数，\(H(s)\) 是反馈通道传递函数 (通常 \(H(s) = 1\))。

③ 稳定性分析 (Stability Analysis) - 劳斯判据 (Routh Criterion)

稳定性 (Stability) 是控制系统最重要的性能指标之一。一个稳定的系统，其输出响应是收敛的，不会无限发散或持续振荡。对于线性定常系统，稳定性可以通过分析系统的特征方程 (Characteristic Equation) 的根 (即系统的极点) 来判断。劳斯判据 (Routh Criterion) 是一种判断线性定常系统稳定性的代数方法，不需要求解特征方程的根，只需根据特征方程的系数构造劳斯表 (Routh Table)，即可判断系统的稳定性。

⚝ 特征方程 (Characteristic Equation)

闭环控制系统的特征方程是由闭环传递函数的分母多项式 \(D_{CL}(s)\) 确定的方程：
\[ D_{CL}(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 \]
系统的稳定性取决于特征方程的根，即闭环极点的位置。

⚝ 劳斯判据 (Routh Criterion) 的内容

对于特征方程 \(D(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0\)，其中 \(a_n > 0\)，构造劳斯表如下：

其中，劳斯表的第一行和第二行由特征方程的系数交错排列构成，从第三行开始，每一行的元素由前两行元素按以下规律计算得到：

\[ b_1 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3} \end{vmatrix} = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}}, \quad b_2 = -\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_n & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5} \end{vmatrix} = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}}, \quad \cdots \]

\[ c_1 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = \frac{b_1 a_{n-3} - a_{n-1} b_2}{b_1}, \quad c_2 = -\frac{1}{b_1} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-5} \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} = \frac{b_1 a_{n-5} - a_{n-1} b_3}{b_1}, \quad \cdots \]

依此类推，直到计算到第 \(n+1\) 行。

劳斯稳定性判据：线性定常系统稳定的充要条件是：劳斯表第一列元素 \(a_n, a_{n-1}, b_1, c_1, \cdots, g_1\) 全部为正数。如果劳斯表第一列元素出现符号改变的次数为 \(k\) 次，则特征方程有 \(k\) 个正实部根，系统不稳定。

⚝ 劳斯判据的特殊情况

▮▮▮▮⚝ 第一列某行第一元素为零，但该行不全为零：用一个很小的正数 \(\epsilon\) 代替该零元素，继续完成劳斯表，然后根据 \(\epsilon \to 0^+\) 时的符号变化情况判断稳定性。
▮▮▮▮⚝ 第一列某行全为零：表明特征方程存在实部为零或共轭虚根，此时需要构造辅助方程 (Auxiliary Equation) 进行分析。辅助方程的系数由全零行的上一行元素构成 (对应 \(s\) 的偶次幂)，辅助方程的根就是特征方程在虚轴上的根。

6.2.2 频域分析法 (Frequency-Domain Analysis)

频域分析法 (Frequency-Domain Analysis) 是经典控制理论中另一种重要的系统分析方法。它在频率域内研究系统的频率响应特性，通过分析系统对不同频率正弦信号的稳态响应，来评估系统的性能。频域分析法物理意义明确，设计方法简便，尤其适用于线性定常系统的分析和串联校正设计。

① 频率响应 (Frequency Response)

频率响应是指线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出信号相对于输入信号的幅值比和相位差随输入信号频率变化的特性。频率响应全面描述了系统对不同频率信号的响应能力，是系统频域特性的重要体现。

⚝ 频率响应的定义

对于线性定常系统，当输入为正弦信号 \(u(t) = A\sin(\omega t)\) 时，系统的稳态输出也是同频率的正弦信号 \(y_{ss}(t) = B\sin(\omega t + \varphi)\)。频率响应就是描述输出信号的幅值 \(B\) 与输入信号的幅值 \(A\) 之比 \(M(\omega) = B/A\)，以及输出信号的相位 \(\varphi\) 相对于输入信号的相位差 \(\Phi(\omega) = \varphi\)，随频率 \(\omega\) 变化的规律。

⚝ 频率响应的表示形式

频率响应可以用以下几种形式表示：

▮▮▮▮⚝ 幅频特性 (Magnitude Frequency Response) \(M(\omega)\)：描述输出信号幅值与输入信号幅值之比随频率 \(\omega\) 变化的规律，通常用分贝 (dB) 值表示：\(20\log_{10}M(\omega)\)。
▮▮▮▮⚝ 相频特性 (Phase Frequency Response) \(\Phi(\omega)\)：描述输出信号相位与输入信号相位之差随频率 \(\omega\) 变化的规律，通常用角度 (度或弧度) 表示。
▮▮▮▮⚝ 奈奎斯特图 (Nyquist Plot)：在复平面上，以频率 \(\omega\) 为参数，绘制频率响应复数 \(G(j\omega) = M(\omega)e^{j\Phi(\omega)}\) 的轨迹。奈奎斯特图直观地反映了系统在整个频率范围内的幅值和相位特性。
▮▮▮▮⚝ 伯德图 (Bode Plot)：将幅频特性和相频特性分别绘制在对数坐标系中，幅频特性曲线的横坐标为对数频率 \(\log_{10}\omega\)，纵坐标为幅值分贝值 \(20\log_{10}M(\omega)\)；相频特性曲线的横坐标为对数频率 \(\log_{10}\omega\)，纵坐标为相角 \(\Phi(\omega)\)。伯德图简洁明了，易于绘制和分析。

⚝ 频率响应的求取

频率响应可以通过以下方法求取：

▮▮▮▮⚝ 实验法：向系统输入不同频率的正弦信号，测量稳态输出信号的幅值和相位，计算幅值比和相位差，得到频率响应数据，然后绘制频率响应曲线。
▮▮▮▮⚝ 解析法：对于已知传递函数 \(G(s)\) 的系统，将传递函数中的复变量 \(s\) 用 \(j\omega\) 代替，得到频率响应函数 \(G(j\omega)\)。
\[ G(j\omega) = M(\omega)e^{j\Phi(\omega)} = \text{Re}[G(j\omega)] + j\text{Im}[G(j\omega)] \]
幅频特性 \(M(\omega) = |G(j\omega)| = \sqrt{\text{Re}^2[G(j\omega)] + \text{Im}^2[G(j\omega)]}\)，相频特性 \(\Phi(\omega) = \angle G(j\omega) = \arctan\left(\frac{\text{Im}[G(j\omega)]}{\text{Re}[G(j\omega)]}\right)\)。

② 伯德图 (Bode Plot)

伯德图 (Bode Plot) 是频率域分析中最常用的图形工具，它由幅频特性曲线和相频特性曲线两部分组成，横坐标均为对数频率 \(\log_{10}\omega\)，幅频特性曲线的纵坐标为幅值分贝值 \(20\log_{10}|G(j\omega)|\)，相频特性曲线的纵坐标为相角 \(\angle G(j\omega)\)。伯德图绘制方便，可以近似用直线段逼近，易于分析系统的频率特性和稳定性。

⚝ 典型环节的伯德图

▮▮▮▮⚝ 比例环节 \(G(s) = K\)：幅频特性为水平直线 \(20\log_{10}|K|\) dB，相频特性为水平直线 \(0^\circ\) (当 \(K>0\)) 或 \(-180^\circ\) (当 \(K<0\))。
▮▮▮▮⚝ 积分环节 \(G(s) = \frac{1}{s}\)：幅频特性为斜率为 \(-20\) dB/dec 的直线，穿越 \(0\) dB 轴的频率为 \(\omega = 1\) rad/s，相频特性为水平直线 \(-90^\circ\)。
▮▮▮▮⚝ 微分环节 \(G(s) = s\)：幅频特性为斜率为 \(+20\) dB/dec 的直线，穿越 \(0\) dB 轴的频率为 \(\omega = 1\) rad/s，相频特性为水平直线 \(+90^\circ\)。
▮▮▮▮⚝ 一阶惯性环节 \(G(s) = \frac{1}{Ts+1}\)：幅频特性在 \(\omega < 1/T\) 时近似为 \(0\) dB 水平直线，在 \(\omega > 1/T\) 时近似为斜率为 \(-20\) dB/dec 的直线，转折频率为 \(\omega_c = 1/T\)；相频特性从 \(0^\circ\) 逐渐下降到 \(-90^\circ\)，在 \(\omega = 1/T\) 处相移为 \(-45^\circ\)。
▮▮▮▮⚝ 一阶微分环节 \(G(s) = Ts+1\)：幅频特性在 \(\omega < 1/T\) 时近似为 \(0\) dB 水平直线，在 \(\omega > 1/T\) 时近似为斜率为 \(+20\) dB/dec 的直线，转折频率为 \(\omega_c = 1/T\)；相频特性从 \(0^\circ\) 逐渐上升到 \(+90^\circ\)，在 \(\omega = 1/T\) 处相移为 \(+45^\circ\)。
▮▮▮▮⚝ 二阶振荡环节 \(G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\)：幅频特性在 \(\omega \approx \omega_n\) 附近出现峰值，峰值大小与阻尼比 \(\zeta\) 有关，\(\zeta\) 越小，峰值越高；相频特性从 \(0^\circ\) 逐渐下降到 \(-180^\circ\)，在 \(\omega = \omega_n\) 处相移为 \(-90^\circ\)。

⚝ 复杂系统的伯德图绘制

复杂系统的传递函数可以分解为若干个典型环节的乘积或组合，复杂系统的伯德图可以近似为各典型环节伯德图的叠加。绘制复杂系统伯德图的步骤：
1. 将传递函数分解为典型环节的乘积形式。
2. 分别绘制各典型环节的伯德图。
3. 将各环节的幅频特性曲线和相频特性曲线分别叠加 (幅频特性曲线叠加为分贝值相加，相频特性曲线叠加为相角相加)。
4. 修正转折频率附近的曲线，得到更精确的伯德图。

③ 奈奎斯特判据 (Nyquist Criterion)

奈奎斯特判据 (Nyquist Criterion) 是频率域分析中判断闭环系统稳定性的重要方法。它基于开环频率特性 (奈奎斯特图) 与闭环系统稳定性的关系，通过分析开环奈奎斯特图是否包围临界点 \((-1, j0)\)，来判断闭环系统的稳定性。奈奎斯特判据适用于线性定常系统，包括开环不稳定系统。

⚝ 奈奎斯特图 (Nyquist Plot)

奈奎斯特图是在复平面上绘制的开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 的频率响应曲线 \(G(j\omega)H(j\omega)\)，其中 \(\omega\) 从 \(-\infty\) 变化到 \(+\infty\)。通常只需要绘制 \(\omega\) 从 \(0\) 变化到 \(+\infty\) 的部分，即正频率部分，负频率部分与正频率部分关于实轴对称。

⚝ 奈奎斯特判据的内容

设开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 的右半 \(s\) 平面极点数为 \(P\)，闭环传递函数 \(T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\) 的右半 \(s\) 平面极点数为 \(Z\)，奈奎斯特图顺时针包围临界点 \((-1, j0)\) 的圈数为 \(N\)。则有奈奎斯特稳定性判据公式：

\[ Z = N + P \]

奈奎斯特稳定性判据：闭环系统稳定的充要条件是 \(Z = 0\)，即闭环系统在右半 \(s\) 平面没有极点。因此，闭环系统稳定的充要条件是 \(N = -P\)。

▮▮▮▮⚝ 若开环系统稳定 (P=0)，则闭环系统稳定的充要条件是奈奎斯特图不包围临界点 \((-1, j0)\) (即 \(N=0\)，从而 \(Z=0\))。
▮▮▮▮⚝ 若开环系统不稳定 (P>0)，则闭环系统稳定的充要条件是奈奎斯特图逆时针包围临界点 \((-1, j0)\) 的圈数为 \(N = -P\) (即 \(N\) 为负数，逆时针包围，从而 \(Z=0\))。

对于稳定的开环系统 (P=0)，奈奎斯特判据可以简化为：闭环系统稳定的充要条件是奈奎斯特图不包围临界点 \((-1, j0)\)。

⚝ 稳定裕度 (Stability Margins)

稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标，反映了系统抵抗扰动和参数变化的能力。常用的稳定裕度指标包括：

▮▮▮▮⚝ 相角裕度 (Phase Margin, PM)：相角裕度是指当开环幅值 \(|G(j\omega)H(j\omega)| = 1\) (即 \(0\) dB) 时，开环相角 \(\angle G(j\omega)H(j\omega)\) 与 \(-180^\circ\) 的差值。相角裕度越大，系统稳定性越好，通常要求 \(PM > 30^\circ \sim 60^\circ\)。在伯德图上，相角裕度是在幅频特性曲线穿越 \(0\) dB 线时，相频特性曲线与 \(-180^\circ\) 线的距离。
▮▮▮▮⚝ 幅值裕度 (Gain Margin, GM)：幅值裕度是指当开环相角 \(\angle G(j\omega)H(j\omega) = -180^\circ\) 时，开环幅值 \(|G(j\omega)H(j\omega)|\) 的倒数的对数值 (dB)。幅值裕度越大，系统稳定性越好，通常要求 \(GM > 6 \sim 10\) dB。在伯德图上，幅值裕度是在相频特性曲线穿越 \(-180^\circ\) 线时，幅频特性曲线与 \(0\) dB 线的距离。

相角裕度和幅值裕度越大，系统的相对稳定性越好，动态响应越平稳，抗扰能力越强。但过大的稳定裕度可能会降低系统的快速性。在工程设计中，需要在稳定性和快速性之间进行折衷。

6.2.3 根轨迹分析法 (Root Locus Analysis)

根轨迹分析法 (Root Locus Analysis) 是经典控制理论中一种图解分析方法，用于研究闭环系统特征方程的根 (闭环极点) 随系统某个参数 (通常是开环增益) 连续变化的轨迹。根轨迹直观地反映了闭环极点的位置与系统参数的关系，可以分析系统的稳定性、动态性能，并为控制器设计提供依据。

① 根轨迹的概念 (Concept of Root Locus)

根轨迹是指当系统某个参数 (例如，开环增益 \(K\)) 从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 \(s\) 平面上所描绘出来的轨迹。根轨迹是 \(s\) 平面上的曲线集合，每条曲线代表一个闭环极点随参数变化的轨迹。

② 根轨迹方程 (Root Locus Equation)

对于单位负反馈系统，开环传递函数为 \(G(s)\)，闭环传递函数为 \(T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}\)，闭环特征方程为 \(1+G(s) = 0\)。若开环传递函数表示为 \(G(s) = \frac{KN(s)}{D(s)}\)，其中 \(K\) 是开环增益，\(N(s)\) 和 \(D(s)\) 是多项式，则闭环特征方程为 \(1 + \frac{KN(s)}{D(s)} = 0\)，即 \(D(s) + KN(s) = 0\)。根轨迹方程可以写为：

\[ G(s) = -\frac{1}{K} \]

或等价地：

\[ |G(s)| = \frac{1}{K}, \quad \angle G(s) = (2k+1)180^\circ, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \]

根轨迹是满足上述幅值条件 \(|G(s)| = \frac{1}{K}\) 和相角条件 \(\angle G(s) = (2k+1)180^\circ\) 的 \(s\) 点的集合。

③ 根轨迹的绘制规则 (Rules for Plotting Root Locus)

为了快速准确地绘制根轨迹，可以遵循以下常用规则：

⚝ 起点和终点

▮▮▮▮⚝ 当 \(K=0\) 时，闭环极点就是开环极点，根轨迹从开环极点出发。
▮▮▮▮⚝ 当 \(K \to \infty\) 时，\(n-m\) 条根轨迹趋于无穷远，沿着渐近线方向；\(m\) 条根轨迹趋于开环零点。其中，\(n\) 是开环极点数，\(m\) 是开环零点数 (包括无穷远处的零点)。

⚝ 分支数

▮▮▮▮⚝ 根轨迹的分支数等于开环极点数 \(n\)，也等于闭环极点数。

⚝ 对称性

▮▮▮▮⚝ 根轨迹关于实轴对称。

⚝ 实轴上的根轨迹

▮▮▮▮⚝ 实轴上的某一段是根轨迹，当且仅当该段轴线上右侧的开环实轴零点和实轴极点总数为奇数。

⚝ 渐近线

▮▮▮▮⚝ 当 \(n > m\) 时，有 \(n-m\) 条根轨迹趋于无穷远，渐近线与实轴的交角为：
\[ \theta_a = \frac{(2k+1)180^\circ}{n-m}, \quad k = 0, 1, \cdots, n-m-1 \]
▮▮▮▮⚝ 渐近线与实轴的交点 (渐近线中心) 为：
\[ \sigma_a = \frac{\sum_{i=1}^n p_i - \sum_{j=1}^m z_j}{n-m} \]
其中，\(p_i\) 是开环极点，\(z_j\) 是开环零点。

⚝ 分离点和会合点 (Breakaway Points and Break-in Points)

▮▮▮▮⚝ 分离点是指根轨迹从实轴上分离出去的点，会合点是指根轨迹会合到实轴上的点。分离点和会合点可以通过求解方程 \(\frac{dK}{ds} = 0\) 或 \(\frac{d}{ds} \left( -\frac{1}{G(s)} \right) = 0\) 的实根得到。

⚝ 与虚轴的交点

▮▮▮▮⚝ 根轨迹与虚轴的交点可以通过劳斯判据或令特征方程中的 \(s = j\omega\)，分离实部和虚部，解方程组得到。与虚轴的交点对应的 \(K\) 值是系统临界稳定的增益值。

⚝ 起始角和终止角

▮▮▮▮⚝ 复数极点出发的根轨迹的起始角 \(\theta_{pi}\) 可以通过相角条件计算得到：\(\sum_{j=1}^m \angle(p_i - z_j) - \sum_{j=1, j \neq i}^n \angle(p_i - p_j) - \theta_{pi} = (2k+1)180^\circ\)。
▮▮▮▮⚝ 根轨迹趋于复数零点的终止角 \(\phi_{zj}\) 可以通过相角条件计算得到：\(\phi_{zj} + \sum_{i=1, i \neq j}^m \angle(z_j - z_i) - \sum_{i=1}^n \angle(z_j - p_i) = (2k+1)180^\circ\)。

④ 根轨迹的应用 (Applications of Root Locus)

⚝ 分析闭环系统的稳定性

▮▮▮▮⚝ 根据根轨迹与虚轴的交点，可以确定系统临界稳定的开环增益值。
▮▮▮▮⚝ 根据根轨迹在右半 \(s\) 平面的分布情况，可以判断系统在不同开环增益下的稳定性。
▮▮▮▮⚝ 若根轨迹始终位于左半 \(s\) 平面，则闭环系统稳定；若根轨迹进入右半 \(s\) 平面，则闭环系统不稳定。

⚝ 分析闭环系统的动态性能

▮▮▮▮⚝ 根据根轨迹上闭环极点的位置，可以估算系统的动态性能指标，例如，阻尼比 \(\zeta\)、固有频率 \(\omega_n\)、调节时间 \(t_s\)、超调量 \(M_p\) 等。
▮▮▮▮⚝ 靠近虚轴的极点主要影响系统的动态响应速度和振荡性，远离虚轴的极点影响较小。
▮▮▮▮⚝ 主导极点 (Dominant Poles) 是指对系统动态响应影响最大的闭环极点，通常是实部绝对值最小的极点。

⚝ 控制器设计

▮▮▮▮⚝ 通过根轨迹分析，可以了解开环增益对闭环系统性能的影响，为选择合适的开环增益提供依据。
▮▮▮▮⚝ 可以通过在开环传递函数中添加零点和极点 (例如，采用超前校正、滞后校正、超前-滞后校正等方法)，改变根轨迹的形状，从而改善闭环系统的性能。
▮▮▮▮⚝ 根轨迹法可以用于设计串联校正、反馈校正等控制器。

6.2.4 控制器设计 (Controller Design) - PID控制器 (Proportional-Integral-Derivative Controller)

PID控制器 (Proportional-Integral-Derivative Controller)，即比例-积分-微分控制器，是工业控制领域应用最广泛、最经典的控制器类型。PID控制器结构简单、参数整定方便、鲁棒性好，能够有效地消除稳态误差，改善系统的动态性能。PID控制器的控制规律由比例 (P)、积分 (I)、微分 (D) 三个环节组成，通过调节这三个环节的参数，可以满足不同的控制需求。

① PID控制器的控制规律 (Control Law of PID Controller)

连续时间PID控制器的时域表达式为：

\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]

其中：
▮▮▮▮⚝ \(u(t)\) 是控制器的输出信号 (控制信号)。
▮▮▮▮⚝ \(e(t) = r(t) - y(t)\) 是偏差信号，\(r(t)\) 是参考输入信号，\(y(t)\) 是系统输出信号。
▮▮▮▮⚝ \(K_p\) 是比例增益 (Proportional Gain)，调节比例环节的作用强度。
▮▮▮▮⚝ \(K_i\) 是积分增益 (Integral Gain)，调节积分环节的作用强度。
▮▮▮▮⚝ \(K_d\) 是微分增益 (Derivative Gain)，调节微分环节的作用强度。

PID控制器的传递函数形式为：

\[ G_c(s) = \frac{U(s)}{E(s)} = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s} \]

② PID各环节的作用 (Roles of P, I, D Terms)

⚝ 比例 (P) 环节

▮▮▮▮⚝ 比例环节的作用是快速响应偏差，偏差一旦产生，比例环节立即产生控制作用，以减小偏差。比例增益 \(K_p\) 越大，比例作用越强，系统响应速度越快，但过大的 \(K_p\) 会导致系统超调增大，甚至引起振荡。
▮▮▮▮⚝ 比例环节不能消除稳态误差。对于存在恒定扰动或设定值不变的情况，仅有比例控制的系统，输出与设定值之间通常存在稳态误差。

⚝ 积分 (I) 环节

▮▮▮▮⚝ 积分环节的作用是消除稳态误差。只要存在偏差，积分环节就会不断累积偏差，产生积分控制作用，最终使稳态误差趋于零。积分增益 \(K_i\) 越大，积分作用越强，消除稳态误差的速度越快，但过大的 \(K_i\) 会使系统动态响应变慢，甚至引起积分饱和 (Integral Windup)。
▮▮▮▮⚝ 积分环节会降低系统的动态响应速度，并可能降低系统的稳定性。

⚝ 微分 (D) 环节

▮▮▮▮⚝ 微分环节的作用是预测偏差变化趋势，提前产生控制作用，抑制偏差的变化，减小超调，提高系统的动态性能。微分环节对偏差的变化率敏感，当偏差变化较快时，微分作用较强；当偏差变化缓慢或恒定时，微分作用较弱。微分增益 \(K_d\) 越大，微分作用越强，超调抑制效果越明显，但过大的 \(K_d\) 会使系统对噪声敏感，降低系统的抗干扰能力。
▮▮▮▮⚝ 微分环节不能消除稳态误差，对恒定偏差不起作用。

③ PID参数整定方法 (PID Parameter Tuning Methods)

PID参数 \(K_p\), \(K_i\), \(K_d\) 的整定是PID控制器设计的关键环节。PID参数整定方法主要分为理论计算整定法和工程试凑整定法两大类。

⚝ 理论计算整定法

▮▮▮▮⚝ 理论计算整定法是基于被控对象的数学模型，通过理论分析和计算，确定PID参数的方法。常用的理论计算整定方法包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 临界比例度法 (Ziegler-Nichols First Method)：通过实验确定系统的临界振荡周期 \(T_{cr}\) 和临界比例增益 \(K_{cr}\)，然后根据经验公式计算PID参数。适用于开环阶跃响应呈S形曲线的系统。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 响应曲线法 (Ziegler-Nichols Second Method)：根据开环阶跃响应曲线的特征参数 (最大斜率 \(R\) 和延迟时间 \(L\))，利用经验公式计算PID参数。适用于开环阶跃响应呈单调上升曲线的系统。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 内模控制 (Internal Model Control, IMC) 整定法：基于内模控制原理，根据被控对象的模型，设计IMC控制器，然后将IMC控制器转换为PID控制器形式，得到PID参数。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 最优控制方法：根据某种性能指标 (例如，最小积分绝对误差 (Integral Absolute Error, IAE)、最小积分平方误差 (Integral Square Error, ISE))，通过优化算法 (例如，梯度下降法、遗传算法) 搜索最优PID参数。

⚝ 工程试凑整定法

▮▮▮▮⚝ 工程试凑整定法是在实际系统或仿真系统中，通过反复试验和调整PID参数，观察系统响应，逐步逼近期望性能的方法。工程试凑整定法简单易行，不需要精确的系统模型，适用于模型难以建立或模型精度不高的情况。常用的工程试凑整定方法包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 手动试凑法：首先只调节比例增益 \(K_p\)，观察系统响应，增大 \(K_p\) 使系统响应速度加快，但超调可能增大；然后引入微分环节，调节微分增益 \(K_d\)，减小超调，改善动态性能；最后引入积分环节，调节积分增益 \(K_i\)，消除稳态误差。调整过程中，需要反复试验和微调，逐步优化PID参数。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 经验法：根据工程经验和调试经验，结合系统特性，初步估计PID参数范围，然后在此范围内进行试凑和微调。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 专家系统法：利用专家系统或模糊推理等智能方法，模拟人工调试过程，自动整定PID参数。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 自动整定方法：利用自动整定算法 (例如，继电器反馈法、频率响应法) 自动辨识系统特性，并计算PID参数。

④ PID控制器的改进与应用 (Improvements and Applications of PID Controller)

为了克服标准PID控制器的不足，适应更复杂的控制需求，人们提出了许多PID控制器的改进形式，例如：

⚝ 积分分离PID控制：在偏差较大时，取消积分作用，减小积分饱和的影响，提高系统的快速性；当偏差较小时，恢复积分作用，消除稳态误差。

⚝ 微分先行PID控制：将微分环节作用于输入信号和输出信号之差，而不是偏差信号，可以减小设定值突变引起的微分冲击。

⚝ 不完全微分PID控制：在微分环节中引入一阶惯性环节，减小高频噪声对微分作用的影响。

⚝ 模糊PID控制：利用模糊逻辑，根据偏差和偏差变化率，在线调整PID参数，实现自适应控制。

⚝ 神经网络PID控制：利用神经网络，学习PID控制器的控制规律，或在线优化PID参数。

PID控制器广泛应用于工业过程控制、运动控制、温度控制、液位控制、流量控制、压力控制等各个领域。例如，化工、冶金、电力、机械、轻工、纺织、食品、制药等行业的自动化控制系统，以及机器人、数控机床、伺服系统、飞行器控制系统、汽车自动驾驶系统等，都离不开PID控制器的应用。

6.3 现代控制理论 (Modern Control Theory)

6.3.1 状态空间法 (State-Space Method)

状态空间法 (State-Space Method) 是现代控制理论的核心分析和设计工具。它基于状态空间模型 (State-Space Model) 描述系统的动态行为，可以处理多输入多输出 (MIMO)、线性或非线性、定常或时变系统。状态空间法不仅可以分析系统的输入输出关系，还可以深入研究系统的内部状态变量的动态特性，为控制系统的综合设计提供了更广阔的理论基础和方法。

① 状态空间模型的建立 (Establishment of State-Space Model)

建立系统的状态空间模型，关键在于选择合适的状态变量，并根据系统的物理规律 (例如，电路定律、牛顿定律、热力学定律等)，推导出状态方程和输出方程。状态变量的选择不是唯一的，但需要满足以下条件：

⚝ 状态变量的独立性

▮▮▮▮⚝ 状态变量之间应是线性独立的，即任何一个状态变量都不能由其他状态变量线性组合表示。

⚝ 状态变量的完备性

▮▮▮▮⚝ 状态变量应能够完全描述系统的动态行为，即在已知初始状态和输入的情况下，可以唯一确定系统未来的状态和输出。

⚝ 状态变量的物理意义

▮▮▮▮⚝ 状态变量最好具有明确的物理意义，例如，位移、速度、电流、电压、温度、浓度等，便于理解和应用。

⚝ 状态变量的最小性

▮▮▮▮⚝ 状态变量的个数应尽可能少，即选择最小维数的状态向量。

对于机电系统，通常可以选择位置、速度、加速度等作为状态变量；对于电路系统，通常可以选择电容电压、电感电流等作为状态变量；对于热力系统，通常可以选择温度、热流量等作为状态变量；对于化工系统，通常可以选择浓度、温度、压力、液位等作为状态变量。

建立状态空间模型的步骤：

1. 选择状态变量：根据系统的物理特性和建模目的，选择一组合适的、最小个数的状态变量 \(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t)\)，组成状态向量 \(\mathbf{x}(t) = [x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t)]^T\)。
2. 确定输入变量和输出变量：确定系统的输入变量 \(u_1(t), u_2(t), \cdots, u_r(t)\)，组成输入向量 \(\mathbf{u}(t) = [u_1(t), u_2(t), \cdots, u_r(t)]^T\)，以及输出变量 \(y_1(t), y_2(t), \cdots, y_p(t)\)，组成输出向量 \(\mathbf{y}(t) = [y_1(t), y_2(t), \cdots, y_p(t)]^T\)。
3. 建立状态方程：根据系统的动态特性和物理规律，建立状态变量的一阶微分方程组，表示为向量矩阵形式：\(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)\)。确定状态矩阵 \(\mathbf{A}\) 和输入矩阵 \(\mathbf{B}\)。
4. 建立输出方程：根据系统的输出定义和测量方式，建立输出变量与状态变量和输入变量之间的代数方程组，表示为向量矩阵形式：\(\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)\)。确定输出矩阵 \(\mathbf{C}\) 和直接传递矩阵 \(\mathbf{D}\)。

② 状态空间模型解的分析 (Analysis of State-Space Model Solution)

对于线性定常状态空间模型：
\[ \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \end{aligned} \]

⚝ 状态方程的解

▮▮▮▮⚝ 零输入响应 (Zero-Input Response)：当输入 \(\mathbf{u}(t) = \mathbf{0}\) 时，状态方程为齐次方程 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t)\)，其解为：
\[ \mathbf{x}_{zi}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0) \]
其中，\(e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{1}{2!}(\mathbf{A}t)^2 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\mathbf{A}t)^k}{k!}\) 是状态转移矩阵 (State Transition Matrix)，记为 \(\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t}\)。状态转移矩阵描述了系统状态在零输入作用下，从初始状态 \(\mathbf{x}(0)\) 到时刻 \(t\) 的转移规律。

▮▮▮▮⚝ 零状态响应 (Zero-State Response)：当初始状态 \(\mathbf{x}(0) = \mathbf{0}\) 时，状态方程为非齐次方程 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)\)，其解为：
\[ \mathbf{x}_{zs}(t) = \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau = \int_0^t \mathbf{\Phi}(t-\tau) \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau \]
零状态响应描述了系统在零初始状态下，由输入 \(\mathbf{u}(t)\) 引起的状态响应。

▮▮▮▮⚝ 全解 (Complete Solution)：当初始状态 \(\mathbf{x}(0) \neq \mathbf{0}\) 且输入 \(\mathbf{u}(t) \neq \mathbf{0}\) 时，状态方程的全解为零输入响应和零状态响应之和：
\[ \mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_{zi}(t) + \mathbf{x}_{zs}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0) + \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau \]

⚝ 输出方程的解

▮▮▮▮⚝ 系统的输出响应为：
\[ \mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) = \mathbf{C} e^{\mathbf{A}t} \mathbf{x}(0) + \mathbf{C} \int_0^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B} \mathbf{u}(\tau) d\tau + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \]

⚝ 状态转移矩阵的性质

▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{\Phi}(0) = e^{\mathbf{A} \cdot 0} = \mathbf{I}\) (单位矩阵)
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t}\) 可逆，且 \(\mathbf{\Phi}^{-1}(t) = e^{-\mathbf{A}t} = \mathbf{\Phi}(-t)\)
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{\Phi}(t_1 + t_2) = e^{\mathbf{A}(t_1 + t_2)} = e^{\mathbf{A}t_1} e^{\mathbf{A}t_2} = \mathbf{\Phi}(t_1) \mathbf{\Phi}(t_2)\)
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{\Phi}(t_2 - t_1) \mathbf{\Phi}(t_1 - t_0) = \mathbf{\Phi}(t_2 - t_0)\)
▮▮▮▮⚝ \(\frac{d}{dt} \mathbf{\Phi}(t) = \mathbf{A} e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{A} \mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{A} = \mathbf{\Phi}(t) \mathbf{A}\)

⚝ 状态转移矩阵的计算

▮▮▮▮⚝ 拉普拉斯反变换法：\(\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\}\)，其中 \(\mathcal{L}^{-1}\{\cdot\}\) 表示拉普拉斯反变换。
▮▮▮▮⚝ 级数展开法：\(\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{1}{2!}(\mathbf{A}t)^2 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\mathbf{A}t)^k}{k!}\)。
▮▮▮▮⚝ 相似变换法：若矩阵 \(\mathbf{A}\) 可以对角化，即存在非奇异矩阵 \(\mathbf{P}\) 使得 \(\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{\Lambda} = \text{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}\)，其中 \(\lambda_i\) 是矩阵 \(\mathbf{A}\) 的特征值，则 \(\mathbf{\Phi}(t) = e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{P} e^{\mathbf{\Lambda}t} \mathbf{P}^{-1} = \mathbf{P} \text{diag}\{e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, \cdots, e^{\lambda_n t}\} \mathbf{P}^{-1}\)。

③ 可控性与可观性分析 (Controllability and Observability Analysis)

可控性 (Controllability) 和可观性 (Observability) 是状态空间模型的重要结构特性，反映了系统状态和输出的可操作性和可获取性。

⚝ 可控性 (Controllability)

▮▮▮▮⚝ 定义：系统在有限时间内，通过输入 \(\mathbf{u}(t)\) 的作用，能否将系统的任意初始状态 \(\mathbf{x}(0)\) 转移到任意期望的终端状态 \(\mathbf{x}(t_f)\)，如果能，则称系统是状态完全可控 (Completely State Controllable)，简称可控。否则，称系统不可控。可控性是系统状态能够被控制的性质。

▮▮▮▮⚝ 可控性判据：对于线性定常系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)\)，系统状态完全可控的充要条件是可控性判别矩阵 (Controllability Matrix) \(\mathbf{C}_o\) 的秩 (Rank) 等于系统状态向量的维数 \(n\)。
\[ \mathbf{C}_o = [\mathbf{B}, \mathbf{A}\mathbf{B}, \mathbf{A}^2\mathbf{B}, \cdots, \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}] \]
即 \(\text{rank}(\mathbf{C}_o) = n\)。

⚝ 可观性 (Observability)

▮▮▮▮⚝ 定义：系统在有限时间内，能否通过输出 \(\mathbf{y}(t)\) 的观测，唯一确定系统的初始状态 \(\mathbf{x}(0)\)，如果能，则称系统是状态完全可观 (Completely State Observable)，简称可观。否则，称系统不可观。可观性是系统状态能够被观测的性质。

▮▮▮▮⚝ 可观性判据：对于线性定常系统 \(\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \end{aligned}\)，系统状态完全可观的充要条件是可观性判别矩阵 (Observability Matrix) \(\mathbf{O}_b\) 的秩等于系统状态向量的维数 \(n\)。
\[ \mathbf{O}_b = \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix} \]
即 \(\text{rank}(\mathbf{O}_b) = n\)。

可控性和可观性是状态反馈控制和状态观测器设计的前提条件。只有当系统可控时，才能通过状态反馈控制任意配置闭环极点，实现期望的控制性能；只有当系统可观时，才能根据输出观测器重构系统的状态，实现状态反馈控制。

6.3.2 状态反馈控制 (State Feedback Control)

状态反馈控制 (State Feedback Control) 是现代控制理论中一种重要的控制策略。它通过反馈系统的状态变量，构成控制规律，实现对系统闭环性能的精确控制。状态反馈控制的核心思想是极点配置 (Pole Placement)，通过合理设计状态反馈增益矩阵，可以将闭环系统的极点配置到期望的位置，从而获得期望的动态性能。

① 状态反馈控制的结构 (Structure of State Feedback Control)

对于线性定常系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)\)，状态反馈控制的控制规律为：

\[ \mathbf{u}(t) = -\mathbf{K} \mathbf{x}(t) + \mathbf{N} \mathbf{r}(t) \]

其中：
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{K}\) 是 \(r \times n\) 状态反馈增益矩阵 (State Feedback Gain Matrix)，需要设计。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{r}(t)\) 是 \(p\) 维参考输入向量 (Reference Input Vector)。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{N}\) 是 \(r \times p\) 前馈增益矩阵 (Feedforward Gain Matrix)，用于调节系统的稳态性能，例如，消除稳态误差。

闭环系统状态方程为：

\[ \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} (-\mathbf{K} \mathbf{x}(t) + \mathbf{N} \mathbf{r}(t)) = (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{N} \mathbf{r}(t) \]

闭环系统输出方程仍为：\(\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t)\)。

闭环系统状态矩阵为 \(\mathbf{A}_{CL} = \mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}\)，闭环系统输入矩阵为 \(\mathbf{B}_{CL} = \mathbf{B}\mathbf{N}\)，闭环系统输出矩阵和直接传递矩阵与开环系统相同，分别为 \(\mathbf{C}\) 和 \(\mathbf{D}\)。

② 极点配置 (Pole Placement)

极点配置是状态反馈控制的核心设计方法。通过合理选择状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\)，可以将闭环系统状态矩阵 \(\mathbf{A}_{CL} = \mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}\) 的特征值 (即闭环极点) 配置到期望的位置，从而获得期望的动态性能。

⚝ 极点配置定理

对于单输入单输出 (SISO) 可控系统，通过状态反馈可以任意配置闭环系统的 \(n\) 个极点。对于多输入多输出 (MIMO) 可控系统，通过状态反馈可以配置闭环系统的部分或全部极点。

⚝ 极点配置的设计步骤

1. 确定期望的闭环极点：根据期望的动态性能指标 (例如，阻尼比 \(\zeta\)、固有频率 \(\omega_n\)、调节时间 \(t_s\)、超调量 \(M_p\) 等)，确定期望的闭环极点 \(s_{d1}, s_{d2}, \cdots, s_{dn}\)。期望闭环极点应位于左半 \(s\) 平面，且共轭复极点应成对出现。
2. 构造期望特征多项式：根据期望闭环极点，构造期望特征多项式 \(D_d(s) = (s-s_{d1})(s-s_{d2})\cdots(s-s_{dn}) = s^n + \alpha_{n-1} s^{n-1} + \cdots + \alpha_1 s + \alpha_0\)。
3. 计算状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\)：
   ▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 直接配置法：将状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\) 的元素设为未知数，写出闭环特征多项式 \(\text{det}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}_{CL}) = \text{det}(s\mathbf{I} - (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}))\)，并将其与期望特征多项式 \(D_d(s)\) 的系数进行比较，解代数方程组，求得 \(\mathbf{K}\)。适用于低阶系统。
   ▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 阿克曼公式 (Ackermann's Formula)：对于单输入单输出可控系统，状态反馈增益向量 \(\mathbf{k} = [k_1, k_2, \cdots, k_n]\) 可以用阿克曼公式计算：
   \[ \mathbf{k}^T = [0, 0, \cdots, 0, 1] \mathbf{C}_o^{-1} D_d(\mathbf{A}) \]
   其中，\(\mathbf{C}_o = [\mathbf{B}, \mathbf{A}\mathbf{B}, \cdots, \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}]\) 是可控性判别矩阵，\(D_d(\mathbf{A}) = \mathbf{A}^n + \alpha_{n-1} \mathbf{A}^{n-1} + \cdots + \alpha_1 \mathbf{A} + \alpha_0 \mathbf{I}\) 是矩阵多项式。阿克曼公式计算简便，适用于单输入系统。
   ▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 基于MATLAB的计算：使用MATLAB控制系统工具箱中的 place 或 acker 函数，可以直接计算状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\)。

③ 状态观测器设计 (State Observer Design)

状态反馈控制需要反馈系统的全部状态变量，但在实际系统中，状态变量往往不能全部直接测量，或者测量成本过高。状态观测器 (State Observer) 的作用是根据系统的输入和输出信号，重构 (估计) 系统的状态变量，为状态反馈控制提供所需的状态信息。

⚝ 状态观测器的类型

▮▮▮▮⚝ 全维状态观测器 (Full-Order State Observer)：估计系统的全部状态变量。
▮▮▮▮⚝ 降维状态观测器 (Reduced-Order State Observer)：只估计系统中不能直接测量的状态变量，对于可以直接测量的状态变量，直接使用测量值。

⚝ 全维状态观测器的结构

对于线性定常系统 \(\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C} \mathbf{x}(t) + \mathbf{D} \mathbf{u}(t) \end{aligned}\)，全维状态观测器的状态方程为：

\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t) + \mathbf{L} (\mathbf{y}(t) - \mathbf{C} \hat{\mathbf{x}}(t) - \mathbf{D} \mathbf{u}(t)) \]

其中：
▮▮▮▮⚝ \(\hat{\mathbf{x}}(t)\) 是状态估计向量。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{L}\) 是 \(n \times p\) 观测器增益矩阵 (Observer Gain Matrix)，需要设计。
▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{y}(t) - \mathbf{C} \hat{\mathbf{x}}(t) - \mathbf{D} \mathbf{u}(t)\) 是输出估计误差。

观测器误差定义为 \(\mathbf{e}(t) = \mathbf{x}(t) - \hat{\mathbf{x}}(t)\)，则观测器误差方程为：

\[ \dot{\mathbf{e}}(t) = \dot{\mathbf{x}}(t) - \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{L}\mathbf{C}) \mathbf{e}(t) \]

观测器误差动态特性由观测器误差矩阵 \(\mathbf{A}_e = \mathbf{A} - \mathbf{L}\mathbf{C}\) 的特征值 (即观测器极点) 决定。为了使状态估计误差快速收敛到零，需要将观测器极点配置到左半 \(s\) 平面。

⚝ 观测器极点配置

观测器极点配置与状态反馈极点配置类似，通过合理选择观测器增益矩阵 \(\mathbf{L}\)，可以将观测器误差矩阵 \(\mathbf{A}_e = \mathbf{A} - \mathbf{L}\mathbf{C}\) 的特征值 (即观测器极点) 配置到期望的位置。

⚝ 对偶原理 (Duality Principle)

状态反馈极点配置和观测器极点配置具有对偶性。状态反馈设计的可控性条件对应于观测器设计的可观性条件，状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}\) 的设计对应于观测器增益矩阵 \(\mathbf{L}\) 的设计。状态反馈极点配置问题可以通过解代数方程组或使用阿克曼公式等方法求解，观测器极点配置问题也可以采用类似的方法求解。例如，观测器增益矩阵 \(\mathbf{L}\) 可以通过以下对偶阿克曼公式计算：

\[ \mathbf{L} = D_o(\mathbf{A}^T) (\mathbf{O}_b^T (\mathbf{O}_b \mathbf{O}_b^T)^{-1})^T = D_o(\mathbf{A}) (\mathbf{O}_b (\mathbf{O}_b^T \mathbf{O}_b)^{-1}) \]
或更简洁的形式：
\[ \mathbf{L} = D_o(\mathbf{A}) \mathbf{O}_b^+ [0; \cdots; 0; \mathbf{I}_p] \]
其中 \(D_o(s)\) 是期望观测器特征多项式，\(\mathbf{O}_b\) 是可观性矩阵，\(\mathbf{O}_b^+\) 是 \(\mathbf{O}_b\) 的Moore-Penrose伪逆，\(\mathbf{I}_p\) 是 \(p \times p\) 单位矩阵。

⚝ 分离定理 (Separation Theorem)

在状态反馈控制系统中，如果采用状态观测器重构状态变量进行状态反馈，则闭环系统的特征多项式等于状态反馈控制器和状态观测器特征多项式的乘积。即控制器极点和观测器极点可以独立设计，互不影响，这就是分离定理。分离定理为基于状态观测器的状态反馈控制系统设计提供了理论依据。

6.3.3 最优控制 (Optimal Control) - 线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 设计

最优控制 (Optimal Control) 是现代控制理论的一个重要分支，其目标是设计控制器，使系统在满足一定约束条件下，达到最优的性能指标。线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 是最优控制中最经典、应用最广泛的一种设计方法。LQR针对线性定常系统，以二次型性能指标为优化目标，设计状态反馈控制器，使闭环系统具有最优的动态性能和稳态性能。

① LQR问题的描述 (Problem Description of LQR)

对于线性定常系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)\)，设计状态反馈控制 \(\mathbf{u}(t) = -\mathbf{K} \mathbf{x}(t)\)，使系统性能指标

\[ J = \int_0^\infty (\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q} \mathbf{x}(t) + \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R} \mathbf{u}(t)) dt \]

达到最小值。其中，\(\mathbf{Q}\) 是 \(n \times n\) 半正定状态权矩阵 (State Weighting Matrix)，\(\mathbf{R}\) 是 \(r \times r\) 正定控制权矩阵 (Control Weighting Matrix)。\(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 的选择反映了对状态变量和控制输入的加权惩罚，决定了控制系统的性能指标。

② LQR问题的求解 (Solution of LQR Problem) - Riccati方程

LQR问题的最优控制律为状态反馈控制 \(\mathbf{u}^*(t) = -\mathbf{K}^* \mathbf{x}(t)\)，最优状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}^*\) 由下式确定：

\[ \mathbf{K}^* = \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} \]

其中，\(\mathbf{P}\) 是 \(n \times n\) 对称正定矩阵，是以下代数Riccati方程 (Algebraic Riccati Equation, ARE) 的唯一正定解：

\[ \mathbf{A}^T \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A} - \mathbf{P} \mathbf{B} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} + \mathbf{Q} = \mathbf{0} \]

求解代数Riccati方程，可以得到最优状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}^*\)，从而得到最优控制律 \(\mathbf{u}^*(t) = -\mathbf{K}^* \mathbf{x}(t)\)。代数Riccati方程是一个非线性矩阵方程，通常采用数值方法求解，例如，迭代法、特征向量法等。MATLAB控制系统工具箱中的 lqr 函数可以直接求解代数Riccati方程，并计算最优状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}^*\)。

③ 权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 的选择 (Selection of Weighting Matrices \(\mathbf{Q}\) and \(\mathbf{R}\))

权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 的选择对LQR控制器的性能影响很大。

⚝ 状态权矩阵 \(\mathbf{Q}\)

▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{Q}\) 反映了对状态变量的惩罚程度，\(\mathbf{Q}\) 越大，表示对状态变量的约束越强，系统状态收敛到零的速度越快，超调越小，但控制作用可能增大。
▮▮▮▮⚝ 通常选择 \(\mathbf{Q}\) 为对角矩阵或半正定矩阵。如果只关注某些状态变量的性能，可以将 \(\mathbf{Q}\) 中对应于这些状态变量的对角元素设置得较大，其他元素设置为零或较小值。
▮▮▮▮⚝ 常用的选择方法：试凑法、特征值配置法、迭代法等。

⚝ 控制权矩阵 \(\mathbf{R}\)

▮▮▮▮⚝ \(\mathbf{R}\) 反映了对控制输入的惩罚程度，\(\mathbf{R}\) 越大，表示对控制输入的约束越强，控制作用越小，系统响应速度可能变慢，但控制能量消耗较小。
▮▮▮▮⚝ 通常选择 \(\mathbf{R}\) 为对角矩阵或正定矩阵。如果希望限制控制输入的幅值或能量，可以将 \(\mathbf{R}\) 中对续写 6.3.3 节 “最优控制 (Optimal Control) - 线性二次型调节器 (Linear Quadratic Regulator, LQR) 设计”。

④ LQR闭环系统的特性 (Properties of LQR Closed-Loop System)

采用LQR方法设计的闭环控制系统，具有以下主要特性：

⚝ 稳定性 (Stability)

▮▮▮▮⚝ LQR设计的闭环系统一定是渐近稳定的。只要系统是状态可控的，且权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 满足一定的条件 (例如，\(\mathbf{Q}\) 半正定，\(\mathbf{R}\) 正定，且 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{A}\) 满足可检测性条件)，则LQR闭环系统一定是稳定的。这意味着系统的状态变量和输出变量最终会收敛到零 (对于调节问题)。

⚝ 最优性 (Optimality)

▮▮▮▮⚝ LQR控制器是最优的，因为它最小化了预先设定的二次型性能指标 \(J = \int_0^\infty (\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q} \mathbf{x}(t) + \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R} \mathbf{u}(t)) dt\)。在所有可能的线性状态反馈控制器中，LQR控制器能够使性能指标达到最小值。

⚝ 良好的动态性能 (Good Dynamic Performance)

▮▮▮▮⚝ 通过合理选择权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\)，可以调整闭环系统的动态性能，例如，响应速度、超调量、阻尼比等。增大 \(\mathbf{Q}\) 或减小 \(\mathbf{R}\) 通常会加快响应速度，减小超调，但可能会增大控制作用。

⚝ 鲁棒性 (Robustness)

▮▮▮▮⚝ LQR控制器具有一定的鲁棒性，对系统参数变化和外部扰动具有一定的抑制能力。但是，LQR的鲁棒性并非绝对的，当系统模型与实际系统偏差较大时，LQR的性能可能会下降，甚至导致不稳定。

⑤ LQR设计步骤总结 (Summary of LQR Design Procedure)

LQR控制器的设计步骤可以总结如下：

1. 建立线性定常状态空间模型：根据被控对象的物理特性，建立线性定常状态空间模型 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)\)。
2. 选择权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\)：根据控制目标和工程经验，选择合适的半正定状态权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和正定控制权矩阵 \(\mathbf{R}\)。\(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 的选择需要在系统性能和控制能量之间进行折衷。
3. 求解代数Riccati方程 (ARE)：求解代数Riccati方程 \(\mathbf{A}^T \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A} - \mathbf{P} \mathbf{B} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P} + \mathbf{Q} = \mathbf{0}\)，得到正定解 \(\mathbf{P}\)。可以使用MATLAB中的 lqr 函数求解。
4. 计算最优状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}^*\)：根据公式 \(\mathbf{K}^* = \mathbf{R}^{-1} \mathbf{B}^T \mathbf{P}\)，计算最优状态反馈增益矩阵 \(\mathbf{K}^*\)。
5. 构建LQR控制器：构建状态反馈控制律 \(\mathbf{u}^*(t) = -\mathbf{K}^* \mathbf{x}(t)\)。
6. 闭环系统性能评估与调整：对LQR闭环系统进行仿真或实验验证，评估系统的稳定性、动态性能和稳态性能。如果性能不满足要求，需要重新调整权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\)，重复步骤 2-5，直到满足性能要求。

⑥ LQR的优点与局限性 (Advantages and Limitations of LQR)

⚝ LQR的优点

▮▮▮▮⚝ 最优性：LQR控制器在二次型性能指标下是最优的。
▮▮▮▮⚝ 稳定性保证：LQR设计的闭环系统具有稳定性保证。
▮▮▮▮⚝ 设计方法成熟：LQR设计方法理论完善，计算方便，易于实现。
▮▮▮▮⚝ 可调参数少：LQR设计只需要调整权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\)，参数整定相对简单。
▮▮▮▮⚝ 适用于MIMO系统：LQR方法可以方便地应用于多输入多输出系统。

⚝ LQR的局限性

▮▮▮▮⚝ 依赖精确模型：LQR设计依赖于被控对象的精确数学模型，模型误差会影响控制性能。
▮▮▮▮⚝ 权矩阵选择 trial-and-error：权矩阵 \(\mathbf{Q}\) 和 \(\mathbf{R}\) 的选择通常需要 trial-and-error 尝试，缺乏系统化的选择方法。
▮▮▮▮⚝ 鲁棒性有限：LQR控制器对模型不确定性和外部扰动的鲁棒性有限，可能需要结合鲁棒控制方法 (如 \(H_\infty\) 控制、\(\mu\) 控制) 提高鲁棒性。
▮▮▮▮⚝ 状态全反馈：LQR需要反馈系统的全部状态变量，当状态变量不可直接测量时，需要结合状态观测器使用，增加了系统复杂性。
▮▮▮▮⚝ 线性系统适用：LQR主要适用于线性系统，对于非线性系统，需要进行线性化近似处理，或者采用非线性最优控制方法。

6.3.4 鲁棒控制 (Robust Control)

鲁棒控制 (Robust Control) 是现代控制理论的一个重要分支，主要研究在系统模型存在不确定性 (Model Uncertainty) 和外部扰动 (External Disturbance) 的情况下，如何设计控制器，使闭环系统仍然保持稳定性和期望的性能。鲁棒控制旨在提高控制系统对模型误差和扰动的鲁棒性 (Robustness)，即健壮性或强壮性。

① 模型不确定性 (Model Uncertainty)

模型不确定性是指实际系统与数学模型之间的偏差，是控制系统设计中普遍存在的问题。模型不确定性主要来源于：

⚝ 参数不确定性 (Parametric Uncertainty)

▮▮▮▮⚝ 系统参数的实际值与模型参数值之间存在偏差，例如，电阻、电容、电感元件的实际值与标称值存在误差，电机、机械部件的参数随工作条件变化等。参数不确定性可以用参数在一定范围内变化来描述。

⚝ 未建模动态 (Unmodeled Dynamics)

▮▮▮▮⚝ 系统模型忽略了一些高频动态特性、非线性特性、时变特性等，这些未建模动态在某些工作条件下可能对系统性能产生显著影响。未建模动态可以用频率特性在高频段的偏差来描述。

⚝ 结构不确定性 (Structural Uncertainty)

▮▮▮▮⚝ 系统结构发生变化，例如，系统阶次变化、连接方式变化、元件失效等。结构不确定性通常用不同的模型结构来描述。

② 外部扰动 (External Disturbance)

外部扰动是指来自系统外部，对系统输出产生不利影响的信号。外部扰动是控制系统面临的另一个主要问题。外部扰动主要包括：

⚝ 负载扰动 (Load Disturbance)

▮▮▮▮⚝ 作用于系统输出端的扰动，例如，电机负载变化、机械系统外部力矩干扰、温度控制系统环境温度变化等。

⚝ 输入扰动 (Input Disturbance)

▮▮▮▮⚝ 作用于系统输入端的扰动，例如，控制信号噪声、执行器误差等。

⚝ 测量噪声 (Measurement Noise)

▮▮▮▮⚝ 传感器测量信号中混入的噪声，例如，热噪声、量化噪声、电磁干扰等。

③ 鲁棒控制的基本概念 (Basic Concepts of Robust Control)

⚝ 标称性能 (Nominal Performance, NP)

▮▮▮▮⚝ 在标称模型 (Nominal Model) 下，闭环系统满足的性能指标，例如，稳定性、跟踪精度、响应速度、阻尼比等。标称性能是系统在理想情况下的性能。

⚝ 鲁棒稳定性 (Robust Stability, RS)

▮▮▮▮⚝ 在存在模型不确定性的情况下，闭环系统仍然保持稳定。鲁棒稳定性是保证系统基本功能的前提。

⚝ 鲁棒性能 (Robust Performance, RP)

▮▮▮▮⚝ 在存在模型不确定性和外部扰动的情况下，闭环系统仍然满足期望的性能指标，例如，保持一定的跟踪精度、抑制扰动能力、动态响应特性等。鲁棒性能是提高系统实际应用价值的关键。

⚝ 鲁棒控制设计目标

▮▮▮▮⚝ 在存在模型不确定性和外部扰动的情况下，设计控制器，使闭环系统同时满足鲁棒稳定性 (RS) 和鲁棒性能 (RP)。通常，鲁棒稳定性是首要目标，鲁棒性能是在保证鲁棒稳定性的前提下，尽可能提高系统的性能。

④ 常用的鲁棒控制方法 (Commonly Used Robust Control Methods)

⚝ \(H_\infty\) 控制 (H-infinity Control)

▮▮▮▮⚝ \(H_\infty\) 控制是一种频率域鲁棒控制方法，以\(H_\infty\) 范数作为性能指标，设计控制器，使闭环系统具有最小的灵敏度函数峰值和补灵敏度函数峰值，从而提高系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能。\(H_\infty\) 控制可以有效地抑制模型不确定性和外部扰动的影响。

⚝ \(\mu\) 控制 (Mu Control)

▮▮▮▮⚝ \(\mu\) 控制是 \(H_\infty\) 控制的扩展，专门用于处理结构化模型不确定性 (Structured Uncertainty) 问题。\(\mu\) 控制采用结构奇异值 \(\mu\) 作为鲁棒性指标，设计控制器，使闭环系统具有最大的鲁棒稳定裕度和鲁棒性能裕度。\(\mu\) 控制能够更精确地分析和设计具有复杂不确定性结构的系统。

⚝ 滑模控制 (Sliding Mode Control, SMC)

▮▮▮▮⚝ 滑模控制是一种非线性鲁棒控制方法，通过设计滑模面 (Sliding Surface) 和不连续控制律 (Discontinuous Control Law)，迫使系统状态轨迹在有限时间内到达滑模面，并沿着滑模面滑动到平衡点。滑模控制对系统参数变化和外部扰动具有很强的鲁棒性，且响应速度快、抗扰能力强，但可能存在抖振 (Chattering) 问题。

⚝ 自适应控制 (Adaptive Control)

▮▮▮▮⚝ 自适应控制是一种在线辨识和控制相结合的鲁棒控制方法。自适应控制系统能够在线估计系统参数或扰动信息，并自适应地调整控制器参数，以补偿模型不确定性和外部扰动的影响，保持系统的控制性能。自适应控制适用于系统参数变化或扰动特性未知的场合。

⚝ 模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC)

▮▮▮▮⚝ 模型预测控制是一种基于模型预测和滚动优化的控制方法。MPC在每个采样时刻，根据系统模型预测未来一段时间的系统输出，并通过优化算法求解未来一段时间的最优控制序列，然后将第一个控制量作用于系统。MPC能够有效地处理约束、时滞、多变量等复杂控制问题，具有良好的鲁棒性和动态性能。

鲁棒控制是现代控制理论的重要研究方向，在航空航天、机器人、过程控制、电力系统、交通控制等领域得到了广泛应用。随着控制系统复杂性和性能要求的不断提高，鲁棒控制技术将发挥越来越重要的作用。

6.4 控制系统应用实例 (Examples of Control System Applications)

6.4.1 电机调速系统 (Motor Speed Control Systems)

电机调速系统 (Motor Speed Control Systems) 是控制系统在工业自动化和电气传动领域的重要应用。电机的转速控制精度和动态响应特性直接影响生产效率和产品质量。根据电机类型和控制要求，可以选择不同的调速方法和控制策略。

① 直流电机调速系统 (DC Motor Speed Control Systems)

直流电机 (DC Motor) 具有良好的调速性能，调速方法简单灵活，广泛应用于需要精确调速的场合，例如，数控机床、机器人、轧钢机、电梯等。

⚝ 直流电机调速方法

▮▮▮▮⚝ 改变电枢电压调速 (Armature Voltage Control)：保持励磁电流恒定，通过调节电枢电压来改变电机转速。电枢电压调速属于恒转矩调速，在基速以下调速，调速范围广，效率高，动态响应好，是直流电机最常用的调速方法。
▮▮▮▮⚝ 改变励磁电流调速 (Field Flux Control)：保持电枢电压恒定，通过调节励磁电流来改变电机转速。励磁电流调速属于恒功率调速，在基速以上调速，调速范围有限，励磁电流过小会导致电机过励磁，影响电机性能，甚至损坏电机。
▮▮▮▮⚝ 电枢回路电阻调速 (Armature Resistance Control)：在电枢回路串入电阻，通过调节电阻值来改变电机转速。电枢电阻调速属于有级调速，调速范围有限，效率低，发热量大，只适用于对调速性能要求不高的小功率直流电机。

⚝ 直流电机调速控制系统

▮▮▮▮⚝ 开环调速系统：采用可控整流器或斩波器等电力电子器件，调节电枢电压或励磁电流，实现开环调速。开环调速系统结构简单，成本低，但调速精度和抗扰能力差，适用于对调速性能要求不高的场合。
▮▮▮▮⚝ 闭环调速系统：采用速度传感器 (例如，测速发电机、光电编码器) 检测电机转速，构成速度负反馈闭环控制系统。闭环调速系统可以提高调速精度和抗扰能力，实现恒速控制、转速跟踪控制等高性能调速。常用的闭环控制策略包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ PID控制：采用PID控制器调节电枢电压或励磁电流，实现速度闭环控制。PID控制结构简单，参数整定方便，能够满足一般的调速性能要求。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 状态反馈控制：基于直流电机的状态空间模型，设计状态反馈控制器，实现精确的极点配置，获得期望的动态性能。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 最优控制 (LQR)：基于LQR理论，设计最优状态反馈控制器，使系统性能指标达到最优。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 鲁棒控制：针对直流电机参数变化和负载扰动，设计鲁棒控制器 (例如，\(H_\infty\) 控制、滑模控制)，提高系统的鲁棒性。

② 交流电机调速系统 (AC Motor Speed Control Systems)

交流电机 (AC Motor) 主要指异步电机 (感应电机) 和同步电机。交流电机调速技术是电力传动自动化的重要组成部分。

⚝ 异步电机调速方法 (Induction Motor Speed Control Methods)

▮▮▮▮⚝ 变频调速 (Variable Frequency Drive, VFD)：通过改变电源频率来调节电机转速，是异步电机最主要的调速方法。变频调速可以实现无级调速，调速范围广，调速精度高，节能效果显著，广泛应用于工业、交通、家电等领域。变频调速又可分为：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 标量控制 (V/f 控制)：保持电压与频率比值恒定，控制简单，成本低，适用于对调速性能要求不高的场合，例如，风机、水泵等。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 矢量控制 (Vector Control, 磁场定向控制 (Field-Oriented Control, FOC))：将电机定子电流分解为励磁电流分量和转矩电流分量，分别进行控制，实现对电机转矩的精确控制。矢量控制调速性能优良，动态响应快，调速范围广，适用于高性能调速场合，例如，伺服系统、机器人、数控机床等。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 直接转矩控制 (Direct Torque Control, DTC)：直接控制电机定子磁链和转矩，控制结构简单，动态响应快，鲁棒性好，适用于高性能调速场合。

▮▮▮▮⚝ 变极调速 (Pole-Changing Control)：通过改变电机定子绕组的连接方式，改变电机的极对数，实现有级调速。变极调速结构简单，可靠性高，但调速范围有限，只能实现有级调速，适用于对调速精度要求不高的场合。
▮▮▮▮⚝ 变转差率调速 (Slip Power Recovery Control)：主要用于绕线式异步电机，通过回收转子绕组的转差功率，实现调速。变转差率调速效率高，但控制复杂，成本高，应用较少。

⚝ 同步电机调速方法 (Synchronous Motor Speed Control Methods)

▮▮▮▮⚝ 变频调速 (Variable Frequency Drive, VFD)：同步电机的调速主要采用变频调速，与异步电机变频调速类似，通过改变电源频率来调节电机转速。同步电机变频调速可以实现高精度、高性能调速，广泛应用于伺服系统、高精度传动系统等。
▮▮▮▮⚝ 励磁控制 (Field Control)：对于永磁同步电机 (Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)，励磁磁场恒定，无法通过励磁控制调速。对于电励磁同步电机，可以通过调节励磁电流来改变电机转速，但调速范围有限，主要用于同步发电机的调频调速。

⚝ 交流电机调速控制系统

▮▮▮▮⚝ 开环调速系统：采用变频器实现开环V/f控制，结构简单，成本低，适用于对调速性能要求不高的场合。
▮▮▮▮⚝ 闭环调速系统：采用速度传感器 (例如，光电编码器、旋转变压器) 或无速度传感器控制技术，构成速度负反馈闭环控制系统。闭环调速系统可以实现高精度、高性能调速，常用的闭环控制策略包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 矢量控制 (FOC)：实现转速、转矩的精确控制，动态性能优良。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 直接转矩控制 (DTC)：实现快速转矩响应和鲁棒控制。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 模型预测控制 (MPC)：实现多目标优化控制和约束控制。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 自适应控制：补偿电机参数变化和负载扰动，提高系统的鲁棒性。

6.4.2 温度控制系统 (Temperature Control Systems)

温度控制系统 (Temperature Control Systems) 是控制系统在工业过程控制、暖通空调、家用电器、科学实验等领域的重要应用。精确的温度控制对于保证生产工艺、产品质量、能源效率和舒适性至关重要。

① 温度控制对象 (Temperature Controlled Objects)

温度控制对象可以是各种需要进行温度控制的设备、空间或物质，例如：

▮▮▮▮⚝ 工业炉 (Industrial Furnace)：用于材料加热、热处理、熔炼等工艺，需要精确控制炉温，保证加热质量和节能。
▮▮▮▮⚝ 恒温箱 (Thermostatic Chamber)：用于生物培养、药品储存、环境模拟实验等，需要精确保持箱内温度恒定。
▮▮▮▮⚝ 反应釜 (Reactor)：用于化工反应、生物反应等过程，需要精确控制反应温度，保证反应效率和产品质量。
▮▮▮▮⚝ 空调系统 (Air Conditioning System)：用于室内环境温度调节，提高舒适性，节能。
▮▮▮▮⚝ 冰箱、冷柜 (Refrigerator, Freezer)：用于食品保鲜、冷藏，需要精确控制冷藏室和冷冻室温度。
▮▮▮▮⚝ 热水器 (Water Heater)：用于提供热水，需要稳定控制出水温度。
▮▮▮▮⚝ 电子设备散热系统 (Electronic Device Cooling System)：用于电子元器件、芯片散热，保证设备正常运行。

② 温度传感器 (Temperature Sensors)

温度传感器是温度控制系统的关键组成部分，用于检测被控对象的温度。常用的温度传感器包括：

▮▮▮▮⚝ 热电偶 (Thermocouple)：基于塞贝克效应，测量范围广，耐高温，结构简单，但精度较低，需要冷端补偿。
▮▮▮▮⚝ 热电阻 (RTD)：基于金属电阻的温度系数，精度高，稳定性好，但测量范围有限，响应速度较慢。
▮▮▮▮⚝ 热敏电阻 (Thermistor)：基于半导体材料的电阻温度特性，灵敏度高，体积小，但线性度差，稳定性较差。
▮▮▮▮⚝ 集成温度传感器 (Integrated Temperature Sensor)：将温度敏感元件和信号调理电路集成在一起，输出线性电压或电流信号，使用方便，精度较高。
▮▮▮▮⚝ 红外温度传感器 (Infrared Temperature Sensor)：非接触式温度测量，响应速度快，适用于测量运动物体或高温物体温度。

③ 温度执行器 (Temperature Actuators)

温度执行器是温度控制系统中用于调节加热或制冷功率的装置。常用的温度执行器包括：

▮▮▮▮⚝ 电加热器 (Electric Heater)：利用电阻发热原理，将电能转换为热能，加热效率高，控制方便。
▮▮▮▮⚝ 燃气加热器 (Gas Heater)：利用燃气燃烧产生热量，加热功率大，适用于大功率加热场合。
▮▮▮▮⚝ 制冷器 (Cooler)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 压缩式制冷器 (Compressor Refrigerator)：利用制冷剂的蒸发和冷凝循环，实现制冷，制冷效率高，应用广泛。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 半导体制冷器 (Thermoelectric Cooler, TEC, 珀尔帖元件 (Peltier Element))：基于珀尔帖效应，利用半导体材料的载流子运动产生制冷效应，体积小，无噪音，但制冷效率较低，适用于小功率制冷场合。

④ 温度控制策略 (Temperature Control Strategies)

温度控制系统常用的控制策略包括：

▮▮▮▮⚝ 开关控制 (On-Off Control)：最简单的温度控制方法，根据设定温度和实际温度的比较结果，控制加热器或制冷器全功率开启或关闭。开关控制结构简单，成本低，但控制精度较差，容易引起温度振荡。
▮▮▮▮⚝ PID控制：采用PID控制器调节加热器或制冷器的功率，实现精确温度控制。PID控制能够有效地消除稳态误差，改善动态性能，应用广泛。
▮▮▮▮⚝ 模糊控制：采用模糊逻辑，根据温度偏差和偏差变化率，模糊推理控制加热或制冷功率，实现非线性温度控制。模糊控制适用于模型难以建立或模型不精确的温度控制系统。
▮▮▮▮⚝ 模型预测控制 (MPC)：基于温度控制对象的模型，预测未来温度变化趋势，优化控制加热或制冷功率，实现精确温度控制和节能。MPC适用于对控制性能和节能要求较高的温度控制系统。
▮▮▮▮⚝ 自适应控制：针对环境温度变化、负载变化等扰动，自适应调整控制器参数，保持系统的控制性能。

6.4.3 飞行器控制系统 (Aircraft Control Systems)

飞行器控制系统 (Aircraft Control Systems) 是控制系统在航空航天领域的最复杂、最关键的应用之一。飞行器控制系统需要保证飞行器的安全、稳定、精确飞行，完成各种飞行任务。飞行器控制系统涉及到多个子系统，例如，姿态控制系统、飞行轨迹控制系统、发动机控制系统、导航系统等。

① 飞行器姿态控制系统 (Aircraft Attitude Control System)

姿态控制系统 (Attitude Control System, ACS) 的目标是控制飞行器的姿态角 (Attitude Angles)，包括滚转角 (Roll Angle, \(\phi\))、俯仰角 (Pitch Angle, \(\theta\)) 和偏航角 (Yaw Angle, \(\psi\))，使其按照期望的指令变化，或者保持稳定。姿态控制是飞行器稳定飞行的基础。

⚝ 姿态传感器 (Attitude Sensors)

▮▮▮▮⚝ 陀螺仪 (Gyroscope)：测量飞行器的角速度，例如，速率陀螺仪、光纤陀螺仪、激光陀螺仪、MEMS陀螺仪等。
▮▮▮▮⚝ 加速度计 (Accelerometer)：测量飞行器的线加速度，用于姿态估计和惯性导航。
▮▮▮▮⚝ 磁强计 (Magnetometer)：测量地磁场强度和方向，用于航向角 (偏航角) 确定。
▮▮▮▮⚝ 姿态参考系统 (Attitude Reference System, ARS)：集成陀螺仪、加速度计、磁强计等传感器，提供飞行器姿态角、角速度、加速度等信息。
▮▮▮▮⚝ 全球定位系统 (Global Positioning System, GPS)：提供飞行器位置、速度、姿态等信息，用于导航和姿态辅助估计。

⚝ 姿态执行器 (Attitude Actuators)

▮▮▮▮⚝ 气动舵面 (Aerodynamic Control Surfaces)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 副翼 (Aileron)：控制滚转运动。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 升降舵 (Elevator)：控制俯续写 6.4.3 节 “飞行器控制系统 (Aircraft Control Systems)”。

▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 方向舵 (Rudder)：控制偏航运动。
气动舵面通过改变舵面的偏转角度，产生气动力矩，从而控制飞行器的姿态。气动舵面控制力矩大，响应速度快，是传统飞行器姿态控制的主要执行机构，但气动舵面控制效果受飞行速度和大气密度的影响，在低速或稀薄大气中效率降低。
▮▮▮▮⚝ 推力矢量控制 (Thrust Vector Control, TVC)：通过改变发动机推力的方向，产生控制力矩，从而控制飞行器的姿态。推力矢量控制力矩大，控制效率高，不受飞行速度和大气密度的限制，适用于高性能飞行器和航天飞行器，例如，战斗机、火箭、导弹等。
▮▮▮▮⚝ 反作用轮 (Reaction Wheel)：利用电机驱动飞轮高速旋转，通过改变飞轮转速，产生反作用力矩，从而控制飞行器的姿态。反作用轮控制精度高，响应速度快，无外部干扰，适用于空间飞行器和高精度姿态控制场合，例如，卫星、空间站、望远镜等。
▮▮▮▮⚝ 控制力矩陀螺 (Control Moment Gyro, CMG)：利用陀螺效应，通过改变陀螺框架的角速度，产生较大的控制力矩，从而控制飞行器的姿态。控制力矩陀螺控制力矩大，效率高，适用于大型空间飞行器和需要快速姿态机动的场合，例如，空间站、大型卫星等。
▮▮▮▮⚝ 姿态控制喷气 (Attitude Control Thrusters)：利用小型火箭发动机喷射气体，产生推力，从而产生控制力矩，控制飞行器的姿态。姿态控制喷气控制力矩大，响应速度快，适用于空间飞行器和需要大范围姿态机动的场合，例如，卫星姿态调整、轨道机动等。

⚝ 姿态控制系统设计 (Attitude Control System Design)

▮▮▮▮⚝ 经典PID控制：针对滚转、俯仰、偏航三个姿态通道，分别设计PID控制器，进行解耦控制或串级控制。PID控制结构简单，易于实现，适用于对姿态控制精度要求不高的场合。
▮▮▮▮⚝ 状态反馈控制：基于飞行器姿态动力学模型，设计状态反馈控制器，实现精确的姿态极点配置，获得期望的动态性能。状态反馈控制可以实现姿态角、角速度的同时控制，提高控制精度和响应速度。
▮▮▮▮⚝ 最优控制 (LQR)：基于LQR理论，设计最优状态反馈控制器，使姿态控制系统在满足性能指标的同时，能量消耗最小。LQR控制可以优化姿态控制系统的综合性能。
▮▮▮▮⚝ 鲁棒控制：针对飞行器模型不确定性、气动参数变化、外部风场扰动等因素，设计鲁棒控制器 (例如，\(H_\infty\) 控制、滑模控制、自适应控制)，提高姿态控制系统的鲁棒性。鲁棒控制能够保证飞行器在复杂环境下的姿态稳定性和控制性能。
▮▮▮▮⚝ 自适应控制：针对飞行器飞行过程中气动参数、质量特性等参数变化，设计自适应控制器，在线估计参数变化，自适应调整控制器参数，保持姿态控制系统的性能。自适应控制能够提高飞行器对环境变化的适应能力。

② 飞行轨迹控制系统 (Aircraft Flight Path Control System)

飞行轨迹控制系统 (Flight Path Control System) 的目标是控制飞行器的飞行轨迹 (Flight Path)，使其按照期望的航迹飞行，完成起飞、爬升、巡航、下降、着陆等飞行阶段的任务。飞行轨迹控制是在姿态控制的基础上，更高层次的控制目标。

⚝ 飞行轨迹传感器 (Flight Path Sensors)

▮▮▮▮⚝ 全球定位系统 (GPS)：提供飞行器三维位置、速度信息，是飞行轨迹控制最主要的传感器。GPS精度高，覆盖范围广，但易受干扰，在复杂环境下可靠性降低。
▮▮▮▮⚝ 惯性导航系统 (Inertial Navigation System, INS)：利用加速度计和陀螺仪测量飞行器的加速度和角速度，通过积分运算得到飞行器的位置、速度、姿态等信息。INS自主性强，精度高，不受外界干扰，但误差随时间累积。
▮▮▮▮⚝ 气压高度计 (Barometric Altimeter)：测量大气压力，计算飞行器相对于海平面的高度。气压高度计精度受大气条件影响。
▮▮▮▮⚝ 雷达高度计 (Radar Altimeter)：发射无线电波，测量飞行器相对于地面的高度。雷达高度计精度高，不受大气条件影响，但易受地形和障碍物影响。
▮▮▮▮⚝ 空速管 (Airspeed Indicator)：测量飞行器相对于空气的速度。空速是飞行器气动性能和控制的重要参数。
▮▮▮▮⚝ 迎角/侧滑角传感器 (Angle of Attack/Sideslip Angle Sensor)：测量飞行器迎角和侧滑角，用于飞行状态监测和控制。

⚝ 飞行轨迹执行器 (Flight Path Actuators)

▮▮▮▮⚝ 油门 (Throttle)：控制发动机推力大小，影响飞行器的速度和高度。
▮▮▮▮⚝ 升降舵 (Elevator)：控制俯仰角，影响飞行器的升降和速度。
▮▮▮▮⚝ 副翼 (Aileron)：控制滚转角，影响飞行器的横向运动和转弯。
▮▮▮▮⚝ 方向舵 (Rudder)：控制偏航角，影响飞行器的航向和侧滑。
▮▮▮▮⚝ 襟翼、缝翼 (Flaps, Slats)：增加机翼升力和阻力，用于起飞和着陆阶段的低速飞行控制。
▮▮▮▮⚝ 减速板 (Speed Brake)：增加飞行器阻力，用于减速和快速下降。

⚝ 飞行轨迹控制系统设计 (Flight Path Control System Design)

▮▮▮▮⚝ 经典控制方法：采用PID控制、串级控制等经典控制方法，设计高度保持控制、速度保持控制、航向保持控制等子系统。经典控制方法结构简单，易于实现，适用于对飞行轨迹控制精度要求不高的场合。
▮▮▮▮⚝ 自动驾驶仪 (Autopilot)：集成姿态控制、飞行轨迹控制、导航系统等功能，实现飞行器的自动飞行控制。自动驾驶仪是现代飞行器不可或缺的组成部分，可以减轻飞行员负担，提高飞行安全性和效率。
▮▮▮▮⚝ 飞行管理系统 (Flight Management System, FMS)：更高级的飞行控制系统，集成导航、飞行计划、性能计算、自动驾驶等功能，实现飞行任务的全程自动化管理和控制。FMS是现代民用飞机和先进军用飞机的重要组成部分。
▮▮▮▮⚝ 航路点跟踪控制 (Waypoint Tracking Control)：控制飞行器按照预先设定的航路点序列飞行。航路点跟踪控制是飞行轨迹控制的基本功能，可以实现飞行器的自动导航和航线飞行。
▮▮▮▮⚝ 终端区机动控制 (Terminal Area Maneuvering Control)：控制飞行器在机场终端区进行起飞、着陆、进近、离场等机动飞行。终端区机动控制是飞行轨迹控制的难点和关键，需要保证飞行安全和飞行效率。
▮▮▮▮⚝ 自主飞行控制 (Autonomous Flight Control)：利用人工智能、机器学习等技术，实现飞行器在复杂环境下的自主决策、自主规划和自主控制。自主飞行控制是未来飞行器控制的重要发展方向，可以应用于无人机、智能飞行器等领域。

飞行器控制系统是一个高度复杂、高度集成的系统，涉及到控制理论、航空工程、电子技术、计算机技术等多个学科领域。随着科技的不断进步，飞行器控制系统将朝着更智能、更自主、更可靠的方向发展，为人类的航空航天事业做出更大的贡献。

7. 电机学 (Electrical Machines)

章节概要

本章介绍电机学的基本原理、各类电机的结构、特性和控制方法。电机学是电气工程领域的核心分支之一，涵盖了电能与机械能相互转换的各种装置，是现代工业、交通、能源等领域不可或缺的关键技术。本章旨在为读者构建电机学的完整知识框架，从基础理论出发，深入到各类电机的具体分析与应用，帮助读者理解电机的运行原理、掌握电机的特性分析方法，并了解先进的电机控制技术。通过本章的学习，读者将能够为后续深入学习电力系统、电力电子、控制工程等相关领域奠定坚实的基础。

7.1 电机学基础 (Fundamentals of Electrical Machines)

章节概要

本节介绍电机的工作原理、磁路分析、电磁力与转矩的产生，为理解各种电机的运行机制奠定理论基础。电机作为电能与机械能转换的关键设备，其工作原理基于电磁感应定律和电磁力定律。磁路分析是研究电机磁场分布和性能的重要手段，而电磁力与转矩的产生则是电机实现能量转换的核心。

7.1.1 电机的工作原理 (Operating Principles of Electrical Machines)

电机，作为实现电能与机械能相互转换的装置，其核心工作原理建立在电磁感应定律 (Law of Electromagnetic Induction) 和 电磁力定律 (Law of Electromagnetic Force) 之上。理解这两个基本定律是掌握电机学的基础。

① 电磁感应定律 (Law of Electromagnetic Induction)：

法拉第电磁感应定律指出，当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中会产生感应电动势 (Electromotive Force, EMF)。感应电动势的大小与磁通量变化率成正比，方向则由楞次定律 (Lenz's Law) 确定，即感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量变化。

可以用公式表示为：

\[ e = - \frac{d\Phi}{dt} \]

其中：
\( e \) 是感应电动势 (单位：伏特, V)。
\( \Phi \) 是穿过回路的磁通量 (单位：韦伯, Wb)。
\( t \) 是时间 (单位：秒, s)。
负号表示感应电动势的方向与磁通量变化方向相反，符合楞次定律。

在电机中，电磁感应定律是发电机 (发电机 (Generator)) 产生电能的基础。当电机中的转子 (Rotor) 在磁场中旋转时，导体切割磁力线，导致穿过导体回路的磁通量发生变化，从而产生感应电动势。

② 电磁力定律 (Law of Electromagnetic Force)：

电磁力定律描述了载流导体在磁场中受力的现象。当通有电流的导体置于磁场中时，磁场会对运动的电荷施加力，宏观上表现为导体受到机械力的作用。这个力称为电磁力 (Electromagnetic Force) 或安培力 (Ampere Force)。

电磁力的大小与磁感应强度 (Magnetic Flux Density) \( B \)、电流 \( I \) 和导体长度 \( L \) 成正比，方向由左手定则 (Left-hand rule) 确定。对于直线导体，电磁力 \( F \) 的大小可以表示为：

\[ F = B I L \sin\theta \]

其中：
\( F \) 是电磁力 (单位：牛顿, N)。
\( B \) 是磁感应强度 (单位：特斯拉, T)。
\( I \) 是导体中的电流 (单位：安培, A)。
\( L \) 是导体在磁场中的有效长度 (单位：米, m)。
\( \theta \) 是电流方向与磁场方向之间的夹角。当电流方向与磁场方向垂直时，\(\sin\theta = 1\)，电磁力最大。

在电机中，电磁力定律是电动机 (电动机 (Motor)) 产生转矩 (Torque) 的基础。当电流通过电机转子绕组时，转子绕组产生的磁场与定子 (Stator) 磁场相互作用，产生电磁力，从而驱动转子旋转，实现电能到机械能的转换。

总结：

电机的工作原理是电磁感应定律和电磁力定律的综合应用。发电机利用电磁感应定律将机械能转换为电能，而电动机则利用电磁力定律将电能转换为机械能。理解这两个定律是深入学习各种电机类型和特性的前提。

7.1.2 电机的磁路分析 (Magnetic Circuit Analysis of Electrical Machines)

磁路分析是研究电机内部磁场分布、磁通量大小以及磁动势 (Magnetomotive Force, MMF) 与磁阻 (Reluctance) 之间关系的重要方法。类似于电路分析中的欧姆定律，磁路分析也有一套相应的基本概念和定律。

① 基本概念：

⚝ 磁动势 (Magnetomotive Force, MMF) \( F_m \)：产生磁通势的原因，类似于电路中的电动势。磁动势的大小等于绕组的匝数 \( N \) 与通过绕组的电流 \( I \) 的乘积。单位是安匝 (Ampere-turns, At) 或安 (Ampere, A)。

\[ F_m = N I \]

⚝ 磁通量 (Magnetic Flux) \( \Phi \)：通过磁路的磁力线总数。单位是韦伯 (Weber, Wb)。磁通量是磁场强度的度量。

⚝ 磁阻 (Reluctance) \( R_m \)：磁路对磁通量的阻碍作用，类似于电路中的电阻。磁阻的大小与磁路的长度 \( l \) 成正比，与磁导率 \( \mu \) 和磁路截面积 \( A \) 成反比。单位是安匝/韦伯 (At/Wb) 或 亨利\(^{-1}\) (H\(^{-1}\)).

\[ R_m = \frac{l}{\mu A} \]

其中：
\( l \) 是磁路的平均长度 (单位：米, m)。
\( \mu \) 是磁导率 (单位：亨利/米, H/m)。磁导率表示介质导磁能力的强弱，对于真空为 \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \) H/m，对于铁磁材料则远大于 \( \mu_0 \)。
\( A \) 是磁路的横截面积 (单位：平方米, m\(^2\)).

⚝ 磁导 (Permeance) \( P_m \)：磁阻的倒数，表示磁路导磁能力的强弱，类似于电路中的电导。单位是韦伯/安匝 (Wb/At) 或 亨利 (H)。

\[ P_m = \frac{1}{R_m} = \frac{\mu A}{l} \]

② 磁路欧姆定律 (Ohm's Law for Magnetic Circuits)：

磁路欧姆定律描述了磁动势、磁通量和磁阻之间的关系，类似于电路中的欧姆定律 \( V = IR \)。磁路欧姆定律表示为：

\[ \Phi = \frac{F_m}{R_m} \]

或

\[ F_m = \Phi R_m \]

这个公式表明，磁通量与磁动势成正比，与磁阻成反比。

③ 磁路的串联与并联：

类似于电阻电路，磁路也可以进行串联和并联。

⚝ 磁路串联：当多个磁路段依次连接，磁通量在各段中相等，总磁阻等于各段磁阻之和，总磁动势等于各段磁动势之和。

⚝ 磁路并联：当磁通量在节点处分支，各分支磁动势相等，总磁阻的倒数等于各分支磁阻倒数之和，总磁通量等于各分支磁通量之和。

④ 磁路分析的应用：

电机磁路通常由铁磁材料 (如硅钢片) 和气隙 (Air gap) 组成。铁磁材料的磁导率很高，磁阻很小；而气隙的磁导率与空气磁导率相近，磁阻较大。电机的主要磁阻通常集中在气隙部分。

磁路分析在电机设计和性能计算中至关重要，可以用于：

⚝ 计算电机的磁通量分布。
⚝ 估算电机的励磁电流需求。
⚝ 分析气隙磁场对电机性能的影响。
⚝ 优化电机结构，提高磁路效率。

实际应用中，电机磁路分析通常需要考虑磁路的复杂性，例如磁路的饱和 (Saturation)、漏磁 (Leakage Flux) 和边缘效应 (Fringing Effect) 等。对于复杂磁路，常采用数值计算方法，如有限元分析法 (Finite Element Analysis, FEA)，进行精确的磁场分析。

7.1.3 电磁力与转矩的产生 (Generation of Electromagnetic Force and Torque)

电磁力是电动机产生转矩的直接原因，而转矩则是电机驱动负载旋转的关键。理解电磁力与转矩的产生机理，对于掌握电机的运行特性至关重要。

① 电磁力的产生机理：

电磁力的产生基于电磁力定律，即载流导体在磁场中受到力的作用。在电机中，电磁力主要产生于转子绕组和定子磁场之间的相互作用。

⚝ 导体受力：如前所述，直线导体在磁场中受到的电磁力 \( F = B I L \sin\theta \)。

⚝ 力矩的产生：在电机中，导体通常分布在转子圆周上，电磁力作用在导体上，产生相对于转轴的力矩 (转矩, Torque) \( T \)。转矩是力对转轴的力矩效应，使转子发生旋转运动。

② 转矩的计算方法：

电机的转矩计算方法有多种，常用的方法包括：

⚝ 基于电磁力的计算：对于旋转电机，可以考虑作用在转子导体上的电磁力，并计算其对转轴的力矩。例如，对于直流电机 (直流电机 (DC Machine))，可以基于电枢导体 (Armature Conductor) 受到的电磁力计算电磁转矩。

\[ T = k \Phi I_a \]

其中：
\( T \) 是电磁转矩 (单位：牛顿·米, N·m)。
\( k \) 是与电机结构参数相关的常数。
\( \Phi \) 是每极磁通量 (单位：韦伯, Wb)。
\( I_a \) 是电枢电流 (单位：安培, A)。

⚝ 基于磁场能量或磁场共能的计算：可以利用磁场能量或磁场共能的变化来计算电磁力矩。这种方法更具有普遍性，适用于各种类型的电机。例如，可以利用虚位移原理 (Virtual Displacement Principle) 或能量转换关系推导转矩公式。

对于一个磁场系统，其磁场共能 \( W'_{field} \) 与电机的机械位置 \( \theta \) 和电流 \( i \) 有关，电磁转矩 \( T \) 可以表示为磁场共能对机械位置的偏导数：

\[ T = \frac{\partial W'_{field}(i, \theta)}{\partial \theta} \bigg|_{i=const.} \]

这种方法需要先确定电机的磁场共能表达式，然后通过求偏导数得到转矩。

③ 转矩的方向：

转矩的方向决定了电机的旋转方向。根据左手定则或右手定则 (右手定则通常用于发电机)，可以确定电磁力的方向，进而判断转矩的方向。对于电动机，电磁转矩的方向应与转子旋转方向一致，驱动转子克服阻力矩 (Load Torque) 旋转。对于发电机，电磁转矩的方向与转子旋转方向相反，阻碍转子旋转，需要外部机械力矩驱动。

④ 影响转矩的因素：

电机的转矩大小受到多种因素的影响，主要包括：

⚝ 磁场强度：磁场越强，电磁力越大，转矩也越大。提高磁场强度可以通过增强励磁 (Excitation) 或优化磁路设计实现。
⚝ 电流大小：电流越大，载流导体受到的电磁力越大，转矩也越大。但电流受电机绕组的额定电流限制。
⚝ 电机结构：电机的结构参数，如极对数 (Number of Poles)、绕组分布、气隙大小等，都会影响转矩的大小和特性。

总结：

电磁力与转矩是电机实现能量转换的关键物理量。理解电磁力与转矩的产生机理和计算方法，对于电机设计、运行控制和性能分析都至关重要。不同类型电机的转矩特性和控制方法有所不同，将在后续章节中详细介绍。

7.2 变压器 (Transformers)

章节概要

本节介绍变压器的结构、工作原理、等值电路、运行特性和应用。变压器是一种利用电磁感应原理改变交流电压 (Alternating Current Voltage) 的电气设备，广泛应用于电力系统、电子设备等领域。变压器本身不消耗电能，只进行电能的变换和传输，是电力系统中不可或缺的关键组件。

7.2.1 变压器的结构与工作原理 (Structure and Operating Principle of Transformers)

变压器主要由铁心 (Iron Core) 和 绕组 (Winding) 两部分组成。根据绕组的相数，可以分为单相变压器 (Single-phase Transformer) 和 三相变压器 (Three-phase Transformer)。

① 结构组成：

⚝ 铁心 (Iron Core)：变压器的磁路部分，通常由硅钢片叠压而成，以减小涡流损耗 (Eddy Current Loss)。铁心提供磁通 (Magnetic Flux) 通路，增强绕组之间的磁耦合 (Magnetic Coupling)。铁心的基本结构形式有心式 (Core-type) 和壳式 (Shell-type) 两种。

▮▮▮▮⚝ 心式铁心：绕组包围铁心柱，磁路主要在铁心中。结构简单，制造方便，适用于高压大容量变压器。
▮▮▮▮⚝ 壳式铁心：铁心包围绕组，磁路主要在铁心中。漏磁小，机械强度高，适用于低压大电流变压器。

⚝ 绕组 (Winding)：变压器的电路部分，由绝缘导线绕制而成。变压器有两个或多个绕组，分别称为原边绕组 (Primary Winding) (也称一次绕组) 和 副边绕组 (Secondary Winding) (也称二次绕组)。

▮▮▮▮⚝ 原边绕组：接输入电源，用于输入电能。
▮▮▮▮⚝ 副边绕组：接负载，用于输出电能。

为了实现电压变换，原、副边绕组的匝数 (Number of Turns) 通常不同。匝数较多的绕组为高压侧 (High Voltage Side)，匝数较少的绕组为低压侧 (Low Voltage Side)。

② 工作原理：

变压器的工作原理基于电磁感应定律 (Law of Electromagnetic Induction)。当原边绕组接入交流电源时，绕组中流过交流电流，产生交变磁通 (Alternating Magnetic Flux)。交变磁通在铁心中形成主磁通 (Main Magnetic Flux)，并同时穿过原边和副边绕组。

⚝ 原边感应电动势：交变主磁通穿过原边绕组，根据电磁感应定律，在原边绕组中产生自感应电动势 (Self-induced Electromotive Force) \( e_1 \)，其方向与原边电压方向相反，起平衡作用。

⚝ 副边感应电动势：交变主磁通同时穿过副边绕组，根据互感现象 (Mutual Inductance)，在副边绕组中产生互感应电动势 (Mutually Induced Electromotive Force) \( e_2 \)。副边感应电动势即为变压器的输出电压。

⚝ 电压变换关系：在理想变压器 (Ideal Transformer) 中，忽略损耗和漏磁，原、副边绕组的感应电动势与匝数成正比，电压比 (Voltage Ratio) 等于匝数比 (Turns Ratio)：

\[ \frac{U_1}{U_2} \approx \frac{E_1}{E_2} = \frac{N_1}{N_2} = k \]

其中：
\( U_1 \) 和 \( U_2 \) 分别是原边和副边电压的有效值。
\( E_1 \) 和 \( E_2 \) 分别是原边和副边感应电动势的有效值。
\( N_1 \) 和 \( N_2 \) 分别是原边和副边绕组的匝数。
\( k \) 是变压器的匝数比或变比 (Turns Ratio)。当 \( k > 1 \) 时，为降压变压器 (Step-down Transformer)；当 \( k < 1 \) 时，为升压变压器 (Step-up Transformer)；当 \( k = 1 \) 时，为隔离变压器 (Isolation Transformer)。

⚝ 电流变换关系：在理想变压器中，输入功率等于输出功率 (忽略损耗)，原、副边电压与电流成反比，电流比 (Current Ratio) 等于匝数比的倒数：

\[ \frac{I_1}{I_2} \approx \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{k} \]

其中：
\( I_1 \) 和 \( I_2 \) 分别是原边和副边电流的有效值。

总结：

变压器通过电磁感应原理实现电压变换，其核心是铁心和绕组的磁耦合作用。电压比主要由原、副边绕组的匝数比决定。理想变压器模型为分析变压器工作原理提供了基础，实际变压器还需考虑损耗和漏磁等因素。

7.2.2 变压器的等值电路与参数 (Equivalent Circuit and Parameters of Transformers)

为了便于分析和计算变压器的性能，通常采用等值电路 (Equivalent Circuit) 来模拟实际变压器的电气特性。等值电路将实际变压器的各种损耗和参数集中表示在理想变压器 (Ideal Transformer) 的外围电路元件中。

① 理想变压器模型：

理想变压器是等值电路的基础，它具有以下特点：

⚝ 无损耗 (No Losses)：不考虑铁心损耗 (铁损 (Iron Loss)) 和铜损 (Copper Loss)。
⚝ 无漏磁 (No Leakage Flux)：所有磁通都交链原、副边绕组。
⚝ 磁导率无限大 (Infinite Permeability)：铁心磁阻为零。

理想变压器的等值电路只包含理想变压器本身，电压比和电流比完全由匝数比决定。

② 实际变压器的等值电路：

实际变压器存在各种损耗和非理想因素，为了更准确地描述其特性，需要引入等值电路参数。实际变压器的等值电路通常包括以下元件：

⚝ 励磁支路参数：用于模拟铁心损耗和励磁特性。
▮▮▮▮⚝ 励磁电阻 (Exciting Resistance) \( R_m \)：模拟铁心损耗 (磁滞损耗 (Hysteresis Loss) 和涡流损耗)。
▮▮▮▮⚝ 励磁电抗 (Exciting Reactance) \( X_m \)：模拟励磁电感 (Exciting Inductance)，反映建立主磁通所需的无功功率 (Reactive Power)。

⚝ 漏抗参数：用于模拟绕组的漏磁现象。
▮▮▮▮⚝ 原边漏抗 (Primary Leakage Reactance) \( X_{σ1} \)：模拟原边绕组的漏磁通产生的电抗。
▮▮▮▮⚝ 副边漏抗 (Secondary Leakage Reactance) \( X_{σ2} \)：模拟副边绕组的漏磁通产生的电抗。

⚝ 绕组电阻：用于模拟绕组的铜损 (Copper Loss)。
▮▮▮▮⚝ 原边绕组电阻 (Primary Winding Resistance) \( R_1 \)。
▮▮▮▮⚝ 副边绕组电阻 (Secondary Winding Resistance) \( R_2 \)。

⚝ 理想变压器：表示电压和电流的理想变换关系。

③ 等值电路的表示形式：

实际变压器的等值电路可以表示为T型等值电路或Γ型等值电路。常用的形式是将所有参数折算到原边或副边。

⚝ 折算到原边的等值电路：将副边参数通过匝数比折算到原边，使等值电路只在原边侧。折算公式如下：

\[ R'_{2} = k^2 R_{2} \]
\[ X'_{σ2} = k^2 X_{σ2} \]
\[ U'_{2} = k U_{2} \]
\[ I'_{2} = \frac{I_{2}}{k} \]

其中，带撇号 \(' \) 的参数是折算到原边的值，\( k = N_1 / N_2 \) 是匝数比。

⚝ 折算到副边的等值电路：将原边参数通过匝数比折算到副边，使等值电路只在副边侧。折算公式类似，只需将 \( k \) 替换为 \( 1/k \)。

④ 变压器参数的测试：

变压器等值电路的参数可以通过短路试验 (Short-circuit Test) 和 空载试验 (Open-circuit Test) 测定。

⚝ 短路试验：将副边绕组短路，在原边施加低电压，逐渐增加电压至原边电流达到额定值。此时，铁心磁通很小，励磁支路可以忽略，主要测量绕组电阻和漏抗参数。

▮▮▮▮⚝ 短路阻抗 (Short-circuit Impedance) \( Z_{sc} = R_{sc} + jX_{sc} \approx (R_1 + R'_{2}) + j(X_{σ1} + X'_{σ2}) \)
▮▮▮▮⚝ 短路电阻 (Short-circuit Resistance) \( R_{sc} \approx R_1 + R'_{2} \)
▮▮▮▮⚝ 短路电抗 (Short-circuit Reactance) \( X_{sc} \approx X_{σ1} + X'_{σ2} \)

⚝ 空载试验：副边绕组开路，在原边施加额定电压。此时，原边电流很小，主要为励磁电流，主要测量励磁支路参数和铁心损耗。

▮▮▮▮⚝ 励磁导纳 (Exciting Admittance) \( Y_{0} = G_{0} - jB_{0} = \frac{1}{R_{m}} - j\frac{1}{X_{m}} \)
▮▮▮▮⚝ 励磁电导 (Exciting Conductance) \( G_{0} = \frac{1}{R_{m}} \)
▮▮▮▮⚝ 励磁电纳 (Exciting Susceptance) \( B_{0} = \frac{1}{X_{m}} \)

通过短路试验和空载试验，可以确定变压器等值电路中的所有参数，从而进行性能分析和计算。

7.2.3 变压器的运行特性 (Operating Characteristics of Transformers)

变压器的运行特性主要包括空载运行 (No-load Operation)、负载运行 (On-load Operation) 和 效率 (Efficiency)。理解这些特性对于变压器的合理应用和运行维护至关重要。

① 空载运行 (No-load Operation)：

空载运行指变压器原边接入额定电压，副边开路 (不接负载) 的运行状态。此时，原边电流称为空载电流 (No-load Current) \( I_{0} \)，副边电压称为空载电压 (No-load Voltage) \( U_{20} \)。

⚝ 空载电流 \( I_{0} \)：主要用于建立铁心磁通和补偿铁心损耗。空载电流较小，通常为额定电流的 5%～10%。\( I_{0} \) 包括励磁电流 (Magnetizing Current) \( I_{μ} \) (用于建立磁通) 和 铁损电流 (Iron Loss Current) \( I_{Fe} \) (用于补偿铁损)。\( I_{μ} \) 滞后于原边电压 \( U_{1} \) 90°，\( I_{Fe} \) 与 \( U_{1} \) 同相，\( I_{0} \) 是 \( I_{μ} \) 和 \( I_{Fe} \) 的向量和。

⚝ 空载损耗 (No-load Loss) \( P_{0} \)：主要为铁心损耗 \( P_{Fe} \)，因为空载电流很小，铜损可以忽略不计。空载损耗主要与施加电压和铁心材料有关，与负载大小无关。

⚝ 空载电压 \( U_{20} \)：副边电压近似等于原边电压按匝数比变换的值。实际空载电压略低于理想值，因为存在少量电压降落在原边阻抗上。

② 负载运行 (On-load Operation)：

负载运行指变压器原边接入额定电压，副边接有负载的运行状态。随着负载增加，副边电流 \( I_{2} \) 和原边电流 \( I_{1} \) 都会增大，变压器输出功率增加。

⚝ 电压变化率 (Voltage Regulation)：负载运行时，由于变压器内部阻抗的存在，副边电压 \( U_{2} \) 会随负载电流 \( I_{2} \) 的增大而降低。电压变化率 \( \Delta U\% \) 用来衡量副边电压随负载变化的程度，定义为：

\[ \Delta U\% = \frac{U_{20} - U_{2N}}{U_{2N}} \times 100\% \]

其中：
\( U_{20} \) 是空载电压。
\( U_{2N} \) 是额定负载电压。
电压变化率越小，变压器的稳压性能越好。

⚝ 短路运行 (Short-circuit Operation)：当副边绕组发生短路故障 (Short Circuit Fault) 时，副边电压 \( U_{2} \) 骤降，副边电流 \( I_{2} \) 和原边电流 \( I_{1} \) 剧增。短路电流远远超过额定电流，可能导致变压器过热损坏。电力系统中的继电保护装置 (Relay Protection Device) 需要快速切除短路故障，保护变压器。

③ 效率 (Efficiency) \( \eta \)：

变压器的效率是输出功率 \( P_{out} \) 与输入功率 \( P_{in} \) 之比，表示变压器能量转换的有效程度。

\[ \eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\% = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_{loss}} \times 100\% \]

其中，\( P_{loss} \) 是变压器的总损耗，主要包括铁损 (Iron Loss) \( P_{Fe} \) 和 铜损 (Copper Loss) \( P_{Cu} \)。

⚝ 铁损 \( P_{Fe} \)：主要发生在铁心中，由磁滞损耗和涡流损耗组成，与电压 (磁通密度) 和频率有关，基本与负载电流无关。在变压器运行中，铁损基本恒定。

⚝ 铜损 \( P_{Cu} \)：主要发生在绕组中，由绕组电阻引起，与负载电流的平方成正比。铜损随负载电流的增大而增大。

变压器的效率通常较高，可达 95%～99% 以上。为了提高效率，需要合理设计变压器，减小铁损和铜损。变压器的最大效率通常发生在负载率 (Load Factor) 约为 60%～80% 时。

7.2.4 特种变压器与应用 (Special Transformers and Applications)

除了常见的电力变压器 (Power Transformer)，还有许多特种变压器 (Special Transformer)，根据不同的用途和特点进行设计和应用。

① 自耦变压器 (Autotransformer)：

自耦变压器的原、副边绕组在结构上是共用的，只有一个绕组，部分线圈既属于原边又属于副边。自耦变压器节省材料，体积小，效率高，但原、副边之间没有电气隔离 (Electrical Isolation)。

⚝ 结构：只有一个绕组，在绕组中间抽头，分为原边和副边。
⚝ 原理：基于自感和互感原理工作，电压变换主要通过匝数比实现。
⚝ 特点：
▮▮▮▮⚝ 节省材料，体积小，重量轻，成本低。
▮▮▮▮⚝ 效率高，损耗小。
▮▮▮▮⚝ 原、副边没有电气隔离，安全性较低。
▮▮▮▮⚝ 适用于电压比接近 1:1 的场合，如升压或降压幅度不大的场合。

⚝ 应用：
▮▮▮▮⚝ 调压器 (电压调节器 (Voltage Regulator))：用于调节电压，如感应调压器 (Induction Voltage Regulator)。
▮▮▮▮⚝ 启动变压器 (Starting Transformer)：用于电机启动，降低启动电流。
▮▮▮▮⚝ 电力系统中的电压调整。

② 仪用变压器 (Instrument Transformer)：

仪用变压器是用于测量电路中电压和电流的特种变压器，主要包括电压互感器 (Voltage Transformer, VT) 和 电流互感器 (Current Transformer, CT)。仪用变压器可以将高电压、大电流变换为低电压、小电流，供测量仪表和继电保护装置使用，实现安全测量和保护。

⚝ 电压互感器 (Voltage Transformer, VT)：用于测量高电压。原边绕组并联在被测电路中，副边绕组接电压表或电压继电器。VT 的电压比准确，容量小，通常为降压变压器。

⚝ 电流互感器 (Current Transformer, CT)：用于测量大电流。原边绕组串联在被测电路中 (或直接用导线穿过 CT 铁心)，副边绕组接电流表或电流继电器。CT 的电流比准确，容量小，副边绝对不允许开路运行，否则会产生危险的高电压。

⚝ 应用：
▮▮▮▮⚝ 电力系统测量与计量。
▮▮▮▮⚝ 继电保护装置的信号采集。
▮▮▮▮⚝ 高压试验与测量。

③ 隔离变压器 (Isolation Transformer)：

隔离变压器的原、副边绕组匝数比通常为 1:1，主要用于实现电气隔离，防止触电危险，抑制共模干扰 (Common-mode Interference)。

⚝ 特点：
▮▮▮▮⚝ 原、副边绕组之间电气隔离，安全性高。
▮▮▮▮⚝ 抑制共模干扰，提高设备运行可靠性。
▮▮▮▮⚝ 电压变换比通常为 1:1，也可根据需要设计为升压或降压。

⚝ 应用：
▮▮▮▮⚝ 安全隔离：用于医疗设备、精密仪器等对安全要求高的场合。
▮▮▮▮⚝ 抗干扰：用于电子设备、控制系统等易受干扰的场合。
▮▮▮▮⚝ 电源隔离：隔离敏感电路与电源系统。

④ 其他特种变压器：

⚝ 整流变压器 (Rectifier Transformer)：用于整流电路 (Rectifier Circuit)，向整流设备提供交流电源。
⚝ 电炉变压器 (Electric Furnace Transformer)：用于电炉设备，提供低电压、大电流电源。
⚝ 焊接变压器 (Welding Transformer)：用于焊接设备，提供低电压、大电流电源，具有良好的短路特性。
⚝ 移相变压器 (Phase-shifting Transformer)：用于电力系统，调节电压相位，控制潮流 (Power Flow)。

总结：

特种变压器是根据特定应用需求设计的变压器，具有特殊的结构、特性和功能。自耦变压器、仪用变压器、隔离变压器等在各自的应用领域发挥着重要作用。了解各种特种变压器的特点和应用，有助于拓宽变压器应用的视野。

7.3 直流电机 (DC Machines)

章节概要

本节介绍直流电机的结构、工作原理、分类、特性和调速方法。直流电机是一种重要的电机类型，广泛应用于需要精确调速和控制的场合，如电动车辆、工业自动化设备等。理解直流电机的运行原理和控制方法，对于掌握电机驱动技术至关重要。

7.3.1 直流电机的结构与工作原理 (Structure and Operating Principle of DC Machines)

直流电机主要由定子 (Stator) 和 转子 (Rotor) 两大部分组成。定子产生磁场，转子是电机旋转部分，包含电枢绕组 (Armature Winding) 和换向器 (Commutator)。

① 结构组成：

⚝ 定子 (Stator)：直流电机的静止部分，主要由主磁极 (Main Pole)、换向极 (Interpole) 和 机座 (Yoke) 组成。

▮▮▮▮⚝ 主磁极 (Main Pole)：产生直流电机的主磁场。由主磁极铁心 (Main Pole Core) 和 励磁绕组 (Excitation Winding) 组成。励磁绕组通入直流电流，产生磁动势，在主磁极间形成磁场。
▮▮▮▮⚝ 换向极 (Interpole)：也称中间极或辅助极，位于主磁极之间，用于改善换向 (Commutation) 性能，减小换向火花 (Commutation Spark)。换向极上也绕有绕组，称为换向极绕组 (Interpole Winding)，串联在电枢回路中。
▮▮▮▮⚝ 机座 (Yoke)：直流电机的外壳，通常由铸钢或钢板焊接而成。机座的主要作用是：支撑主磁极、换向极和端盖 (End Cover) 等部件；作为电机磁路的组成部分；机械保护和散热。

⚝ 转子 (Rotor)：直流电机的旋转部分，主要由电枢铁心 (Armature Core)、电枢绕组 (Armature Winding) 和 换向器 (Commutator) 组成。

▮▮▮▮⚝ 电枢铁心 (Armature Core)：转子的磁路部分，通常由硅钢片叠压而成，槽内嵌放电枢绕组。
▮▮▮▮⚝ 电枢绕组 (Armature Winding)：直流电机的主电路，是产生电磁转矩 (Electromagnetic Torque) 和感应电动势 (Induced Electromotive Force) 的关键部件。电枢绕组通常采用叠绕组 (Lap Winding) 或波绕组 (Wave Winding) 形式。
▮▮▮▮⚝ 换向器 (Commutator)：直流电机特有的部件，由多个铜质换向片 (Commutator Segment) 组成，换向片之间用绝缘材料隔离。换向器的作用是：将电刷 (Brush) 引入的直流电流转换为电枢绕组中的交流电流，保证电磁转矩方向恒定不变；将电枢绕组中产生的交流感应电动势转换为电刷端输出的直流电压。

⚝ 电刷装置 (Brush Gear)：用于引入或引出电枢电流的滑动接触装置。主要由电刷 (Brush)、刷握 (Brush Holder) 和 刷架 (Brush Rocker) 组成。电刷通常采用石墨材料，与换向器表面滑动接触，将外部电路与旋转的电枢绕组连接。

② 工作原理：

直流电机的工作原理基于电磁力定律 (Law of Electromagnetic Force) 和 电磁感应定律 (Law of Electromagnetic Induction)。

⚝ 电动机运行原理：当直流电压施加到电枢绕组上时，电枢绕组中流过电流，载流电枢绕组在定子磁场中受到电磁力作用，产生电磁转矩，驱动转子旋转。换向器和电刷的作用是使电枢绕组中的电流方向始终与磁场方向保持一定的角度，保证电磁转矩方向不变，使电机持续旋转。

⚝ 发电机运行原理：当原动机 (Prime Mover) 驱动直流电机转子旋转时，电枢绕组在定子磁场中切割磁力线，根据电磁感应定律，在电枢绕组中产生感应电动势。通过换向器和电刷的整流作用，将电枢绕组中的交流感应电动势转换为电刷端输出的直流电压，对外供电。

⚝ 换向原理：换向是直流电机特有的工作过程，目的是在转子旋转过程中，及时改变电枢绕组中某些线圈的电流方向，以保证电磁转矩方向恒定不变。换向过程由换向器和电刷共同完成。当电枢线圈从一个磁极下转到另一个磁极下时，换向器将该线圈从原回路中切断，并接入电流方向相反的回路，实现电流方向的换向。理想换向应保证换向过程中电流平稳过渡，避免产生火花和过电压。

7.3.2 直流电机的分类与特性 (Classification and Characteristics of DC Machines)

直流电机根据励磁方式 (Excitation Method) 的不同，可以分为多种类型，不同类型的直流电机具有不同的运行特性和应用场合。主要的分类方式包括：

① 按励磁方式分类：

⚝ 他励直流电机 (Separately Excited DC Motor)：励磁绕组和电枢绕组分别由独立的直流电源供电。励磁电流 \( I_f \) 与电枢电流 \( I_a \) 相互独立，可以灵活调节电机的励磁磁场和电枢电压，实现较好的调速性能和控制性能。

⚝ 并励直流电机 (Shunt Excited DC Motor)：励磁绕组与电枢绕组并联在同一直流电源上。励磁绕组电压等于电枢电压，励磁电流随电枢电压变化而变化。并励直流电机的转速 (Speed) 变化率较小，运行较稳定，适用于恒速运行的场合。

⚝ 串励直流电机 (Series Excited DC Motor)：励磁绕组与电枢绕组串联在同一直流电源上。励磁电流等于电枢电流，励磁磁场随电枢电流变化而变化。串励直流电机的启动转矩 (Starting Torque) 大，但转速随负载变化大，空载时转速可能过高甚至飞车 (Overspeed)，不宜在空载或轻载下运行。适用于启动转矩要求高、负载变化范围大的场合，如起重机、牵引电机等。

⚝ 复励直流电机 (Compound Excited DC Motor)：电机同时具有并励绕组和串励绕组。根据串励绕组的连接方式，又可分为积复励 (Cumulative Compound) 和 差复励 (Differential Compound)。复励直流电机综合了并励和串励电机的特性，可以通过调节并、串励绕组的匝数比例，获得不同的运行特性。

② 各类直流电机的特性：

⚝ 他励直流电机：

▮▮▮▮⚝ 优点：调速性能好，调速范围宽，控制灵活，转速变化率小。
▮▮▮▮⚝ 缺点：需要独立的励磁电源，结构较复杂，成本较高。
▮▮▮▮⚝ 特性：转速基本恒定，启动转矩适中，过载能力较强。
▮▮▮▮⚝ 应用：广泛应用于需要精确调速和控制的场合，如数控机床 (Numerical Control Machine Tool)、精密传动系统、伺服电机 (Servo Motor) 等。

⚝ 并励直流电机：

▮▮▮▮⚝ 优点：运行稳定，转速变化率小，调速较方便。
▮▮▮▮⚝ 缺点：启动转矩较小，调速范围有限。
▮▮▮▮⚝ 特性：转速接近恒定，启动转矩较小，过载能力一般。
▮▮▮▮⚝ 应用：适用于对转速稳定性要求较高，启动转矩要求不高的场合，如机床主轴驱动、风机、水泵等。

⚝ 串励直流电机：

▮▮▮▮⚝ 优点：启动转矩大，过载能力强，结构简单，成本低。
▮▮▮▮⚝ 缺点：转速随负载变化大，空载时转速过高，易飞车，不宜空载运行。
▮▮▮▮⚝ 特性：启动转矩大，转速变化范围大，过载能力强。
▮▮▮▮⚝ 应用：适用于启动转矩要求高、负载变化范围大的场合，如起重机、电动葫芦 (Electric Hoist)、电车、矿山机械等。

⚝ 复励直流电机：

▮▮▮▮⚝ 优点：综合了并励和串励电机的优点，可以根据需要调节并、串励比例，获得不同的特性。积复励电机具有较大的启动转矩和一定的稳速性能；差复励电机具有良好的稳速性能和较小的转速变化率。
▮▮▮▮⚝ 缺点：结构较复杂，成本较高。
▮▮▮▮⚝ 特性：特性介于并励和串励电机之间，可根据应用需求调整。
▮▮▮▮⚝ 应用：适用于对启动转矩和稳速性能都有一定要求的场合，如轧钢机 (Rolling Mill)、剪床 (Shearing Machine)、大型机床等。

7.3.3 直流电机的调速与控制 (Speed Control and Control of DC Machines)

直流电机的调速性能好，调速方法多样，可以实现宽范围、平滑的调速。常用的直流电机调速方法主要有：

① 调压调速 (Armature Voltage Control)：

通过改变电枢电压 \( U_a \) 来调节电机转速，保持励磁电压 \( U_f \) 和励磁电流 \( I_f \) 不变。调压调速是直流电机最常用的调速方法，适用于基速以下调速。

⚝ 原理：根据直流电机转速公式：

\[ n = \frac{U_a - I_a R_a}{k \Phi} \]

当励磁磁通 \( \Phi \) 基本不变时，转速 \( n \) 与电枢电压 \( U_a \) 近似成正比。降低电枢电压 \( U_a \)，转速 \( n \) 降低；升高电枢电压 \( U_a \)，转速 \( n \) 升高。

⚝ 实现方法：

▮▮▮▮⚝ 可控硅整流器 (Thyristor Rectifier)：利用可控硅 (Thyristor) 组成的整流电路，调节触发角 (Firing Angle)，改变输出直流电压的平均值，实现电枢电压的调节。可控硅调压调速具有效率高、调速范围宽、响应速度快等优点，是目前直流调速的主流方式。
▮▮▮▮⚝ 晶体管斩波器 (Transistor Chopper)：利用功率晶体管 (Power Transistor) 组成的斩波电路，通过改变脉冲宽度 (Pulse Width Modulation, PWM) 或频率 (Frequency Modulation, FM)，调节输出直流电压的平均值。晶体管斩波调压调速适用于低压小功率直流电机。

⚝ 特点：

▮▮▮▮⚝ 恒转矩调速：在调压调速过程中，励磁磁通 \( \Phi \) 基本不变，电机允许输出的最大转矩基本不变，属于恒转矩调速。
▮▮▮▮⚝ 调速范围宽：可以实现从零速到基速的宽范围平滑调速。
▮▮▮▮⚝ 效率高：可控硅和晶体管调压调速效率较高，节能效果好。
▮▮▮▮⚝ 适用于基速以下调速：电枢电压不能无限提高，调压调速一般适用于基速以下调速。

② 弱磁调速 (Field Weakening Control)：

通过减小励磁磁通 \( \Phi \) 来提高电机转速，保持电枢电压 \( U_a \) 基本不变。弱磁调速适用于基速以上调速。

⚝ 原理：根据转速公式：

\[ n = \frac{U_a - I_a R_a}{k \Phi} \]

当电枢电压 \( U_a \) 基本不变时，转速 \( n \) 与励磁磁通 \( \Phi \) 成反比。减小励磁磁通 \( \Phi \)，转速 \( n \) 升高；增大励磁磁通 \( \Phi \)，转速 \( n \) 降低。

⚝ 实现方法：

▮▮▮▮⚝ 调节励磁电阻 (Field Rheostat)：在励磁回路中串入可变电阻 (变阻器 (Rheostat))，增大励磁回路总电阻，减小励磁电流 \( I_f \)，从而减小励磁磁通 \( \Phi \)。
▮▮▮▮⚝ 可控硅励磁调节器：利用可控硅组成的励磁调节器，调节励磁电压 \( U_f \) 或励磁电流 \( I_f \)，实现励磁磁通的调节。

⚝ 特点：

▮▮▮▮⚝ 恒功率调速：在弱磁调速过程中，电枢电压 \( U_a \) 基本不变，电机允许输出的最大功率基本不变，属于恒功率调速。
▮▮▮▮⚝ 调速范围有限：励磁磁通 \( \Phi \) 不能无限减小，过弱的磁场会导致电机运行不稳定，调速范围有限。
▮▮▮▮⚝ 转矩能力下降：由于磁通减弱，电机的转矩能力下降，过载能力减弱。
▮▮▮▮⚝ 适用于基速以上调速：弱磁调速一般适用于基速以上调速，与调压调速配合使用，可实现宽范围调速。

③ 斩波调速 (Chopper Control)：

斩波调速是一种脉冲宽度调制 (PWM) 调速方法，通过控制斩波器 (Chopper) 的开关周期和占空比 (Duty Cycle)，调节施加在电枢绕组上的平均电压，实现调速。

⚝ 原理：通过斩波器快速开关，将直流电源电压断续地施加到电枢绕组上，改变电压脉冲的宽度 (占空比)，调节电枢电压的平均值。

⚝ 实现方法：利用功率半导体器件 (如晶体管、绝缘栅双极晶体管 (Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT)) 组成斩波电路，控制开关频率和占空比。

⚝ 特点：

▮▮▮▮⚝ 效率高：斩波调速采用开关方式，功率器件损耗小，效率高。
▮▮▮▮⚝ 响应速度快：斩波频率高，调速响应速度快。
▮▮▮▮⚝ 调速范围宽：可以通过调节占空比实现从零速到最高速的宽范围调速。
▮▮▮▮⚝ 适用于低压直流电机：斩波调速主要应用于低压直流电机调速系统。

直流电机控制系统：

现代直流电机控制系统通常采用闭环控制 (Closed-loop Control) 方式，实现精确的转速、转矩或位置控制。常用的控制策略包括：

⚝ 转速闭环控制：通过转速传感器 (如测速发电机 (Tachogenerator)、光电编码器 (Photoelectric Encoder)) 检测电机转速，与给定转速比较，形成转速偏差，经控制器 (如比例-积分-微分控制器 (PID Controller)) 调节，控制电枢电压或励磁电流，实现转速的稳定和精确控制。

⚝ 电流闭环控制：通过电流传感器 (如霍尔传感器 (Hall Sensor)、电流互感器) 检测电枢电流，限制电枢电流在安全范围内，实现电机的过流保护和转矩控制。

⚝ 双闭环控制：采用转速外环和电流内环的双闭环控制系统，综合利用转速闭环和电流闭环的优点，提高系统的动态性能和抗扰动能力。

总结：

直流电机具有良好的调速性能和控制性能，调压调速、弱磁调速和斩波调速是常用的调速方法。现代直流电机控制系统多采用闭环控制方式，实现精确的转速、转矩或位置控制。直流电机在各种需要精确调速和控制的场合仍具有重要的应用价值。

7.4 交流电机 (AC Machines)

章节概要

本节介绍交流电机的主要类型：异步电机 (感应电机 (Induction Motor)) 和 同步电机 (Synchronous Motor) 的结构、工作原理、特性和控制方法。交流电机是应用最广泛的电机类型，占据电机总量的绝大部分，广泛应用于工业、农业、交通、家用电器等各个领域。

7.4.1 异步电机 (感应电机) (Induction Motors (Asynchronous Motors))

异步电机，又称感应电机，是利用电磁感应原理 (Electromagnetic Induction Principle) 工作的交流电机。异步电机转子转速 (Rotor Speed) 略低于定子旋转磁场 (Rotating Magnetic Field) 的同步转速 (Synchronous Speed)，存在转速差 (Speed Difference) 或转差率 (Slip Rate)，因此称为异步电机。异步电机结构简单、运行可靠、维护方便、价格低廉，是应用最广泛的交流电机。

① 结构组成：

异步电机主要由定子 (Stator) 和 转子 (Rotor) 两大部分组成。

⚝ 定子 (Stator)：异步电机的静止部分，主要由定子铁心 (Stator Core) 和 定子绕组 (Stator Winding) 组成。

▮▮▮▮⚝ 定子铁心 (Stator Core)：由硅钢片叠压而成，槽内嵌放定子绕组。定子铁心的作用是构成电机的主磁路，并支撑定子绕组。
▮▮▮▮⚝ 定子绕组 (Stator Winding)：也称电枢绕组，是异步电机的电路部分，与交流电源连接，产生旋转磁场。定子绕组通常为对称的三相绕组，按一定的规律分布在定子铁心槽内，通入三相对称交流电后，产生旋转磁场。

⚝ 转子 (Rotor)：异步电机的旋转部分，主要由转子铁心 (Rotor Core) 和 转子绕组 (Rotor Winding) 组成。

▮▮▮▮⚝ 转子铁心 (Rotor Core)：由硅钢片叠压而成，槽内嵌放转子绕组。转子铁心的作用是构成电机的主磁路，并支撑转子绕组。
▮▮▮▮⚝ 转子绕组 (Rotor Winding)：异步电机的感应回路，不直接与外部电源连接，而是通过电磁感应从定子获得能量。根据转子绕组结构的不同，异步电机分为鼠笼式异步电机 (Squirrel-cage Induction Motor) 和 绕线式异步电机 (Wound-rotor Induction Motor)。

▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 鼠笼式转子 (Squirrel-cage Rotor)：转子绕组由插入转子槽内的铜条或铝条组成，两端用短路环焊接在一起，形成类似鼠笼的结构。鼠笼式转子绕组结构简单、坚固耐用、维护方便。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 绕线式转子 (Wound-rotor Rotor)：转子绕组采用与定子绕组类似的对称三相绕组，绕组首尾引出到转子轴端的滑环 (Slip Ring) 上，通过电刷与外部电路连接。绕线式转子电机可以通过外接电阻或电抗器，改善电机的启动性能和调速性能。

⚝ 端盖 (End Cover)、轴承 (Bearing)、机座 (Frame) 等部件：支撑和保护电机内部部件，保证电机正常运行。

② 工作原理：

异步电机的工作原理基于电磁感应原理 (Electromagnetic Induction Principle) 和 电磁力定律 (Law of Electromagnetic Force)。

⚝ 旋转磁场的产生：定子绕组通入三相对称交流电后，在电机气隙中产生旋转磁场 (Rotating Magnetic Field)。旋转磁场的转速称为同步转速 (Synchronous Speed) \( n_s \)，与电源频率 \( f \) 和电机极对数 \( p \) 有关：

\[ n_s = \frac{60f}{p} \]

单位：转/分钟 (rpm)。

⚝ 转子感应电动势和电流：旋转磁场切割转子绕组，根据电磁感应定律，在转子绕组中感应出感应电动势 (Induced Electromotive Force)。由于鼠笼式转子绕组是闭合的，或绕线式转子绕组外接负载后也是闭合的，因此在转子绕组中产生感应电流 (Induced Current)。

⚝ 电磁转矩的产生：载流转子绕组在旋转磁场中受到电磁力作用，产生电磁转矩 (Electromagnetic Torque)，驱动转子旋转。电磁转矩的方向与旋转磁场方向一致，使转子朝旋转磁场方向旋转。

⚝ 转差率 (Slip Rate)：由于转子绕组中的感应电动势和电流是由旋转磁场切割转子绕组产生的，因此转子转速 \( n \) 必须低于同步转速 \( n_s \)，才能有相对运动，才能产生感应电动势和电流。转子转速 \( n \) 与同步转速 \( n_s \) 之间的差值称为转速差 (Speed Difference)，通常用转差率 (Slip Rate) \( s \) 来表示：

\[ s = \frac{n_s - n}{n_s} \]

通常用百分数表示，\( s\% = \frac{n_s - n}{n_s} \times 100\% \)。正常运行时，异步电机的转差率较小，一般在 2%～5% 左右。当转差率 \( s = 0 \) 时，转子转速等于同步转速，转子绕组不切割磁力线，不产生感应电动势和电流，电机无法产生转矩，因此异步电机不能在同步转速下稳定运行，转子转速总是异步于旋转磁场的转速，故称异步电机。

③ 等值电路 (Equivalent Circuit)：

为了便于分析异步电机的性能，可以建立异步电机的等值电路。异步电机的等值电路类似于变压器的等值电路，可以分为T型等值电路和 Γ型等值电路，通常采用每相等值电路 (Per-phase Equivalent Circuit) 进行分析。

⚝ 定子侧参数：
▮▮▮▮⚝ 定子绕组电阻 \( R_1 \)。
▮▮▮▮⚝ 定子漏抗 \( X_{σ1} \)。
▮▮▮▮⚝ 励磁电抗 \( X_m \)。

⚝ 转子侧参数 (折算到定子侧)：
▮▮▮▮⚝ 转子绕组电阻 (折算值) \( R'_{2} \)。
▮▮▮▮⚝ 转子漏抗 (折算值) \( X'_{σ2} \)。

⚝ 负载电阻 \( R \)：等效于机械负载和转子铜损，与转差率 \( s \) 有关：

\[ R = R'_{2} \frac{1-s}{s} \]

通过等值电路，可以分析异步电机的电流、电压、功率、转矩等性能参数。

④ 特性 (Characteristics)：

异步电机的主要运行特性包括转矩-转速特性 (Torque-Speed Characteristic)、电流特性 (Current Characteristic)、效率特性 (Efficiency Characteristic) 等。

⚝ 转矩-转速特性：描述电机转矩与转速之间关系的曲线，是异步电机最重要的运行特性。典型的鼠笼式异步电机转矩-转速特性曲线呈倒V型，可分为启动区、运行区 和 制动区。

▮▮▮▮⚝ 启动转矩 (Starting Torque)：电机启动时 (转速 \( n = 0 \)，转差率 \( s = 1 \)) 的转矩，也称堵转转矩 (Locked-rotor Torque)。启动转矩是电机克服静摩擦力，带动负载启动的关键。
▮▮▮▮⚝ 最大转矩 (Maximum Torque)：转矩-转速曲线上的峰值转矩，也称临界转矩 (Breakdown Torque) 或失速转矩 (Pull-out Torque)。最大转矩是电机短时过载能力的重要指标。
▮▮▮▮⚝ 额定转矩 (Rated Torque)：电机在额定运行状态下输出的转矩。
▮▮▮▮⚝ 运行区：转速接近同步转速，转差率较小，转矩-转速曲线近似线性，运行效率高。
▮▮▮▮⚝ 启动区：转速较低，转差率较大，转矩随转速增加而增大。

⚝ 电流特性：电机电流随负载增加而增大。启动电流 (Starting Current) 远大于额定电流，通常为额定电流的 5～8 倍。

⚝ 效率特性：电机效率随负载增加先增大后减小，在额定负载附近效率最高。

7.4.2 异步电机的控制与调速 (Control and Speed Control of Induction Motors)

异步电机的控制和调速技术是提高电机运行性能、满足不同应用需求的关键。异步电机的控制目标主要是转速、转矩或位置控制。常用的控制与调速方法包括：

① 传统调速方法：

⚝ 变极对数调速 (Pole-changing Speed Control)：通过改变定子绕组的连接方式，改变电机的极对数 \( p \)，从而改变同步转速 \( n_s = 60f/p \)，实现调速。变极对数调速是有级调速，调速范围有限，效率较低，但结构简单，成本低廉。

⚝ 变频调速 (Variable Frequency Drive, VFD)：通过改变电源频率 \( f \)，从而改变同步转速 \( n_s = 60f/p \)，实现调速。变频调速是异步电机最主要的调速方法，可以实现无级调速，调速范围宽，调速精度高，节能效果显著，是现代交流调速的主流方式。

⚝ 变压调速 (Voltage Control)：通过改变定子电压 \( U_1 \)，调节电机转矩，实现调速。变压调速属于有损调速，效率较低，调速范围有限，适用于风机、水泵等负载转矩随转速平方变化的场合。

⚝ 转子串电阻调速 (Rotor Resistance Control) (仅适用于绕线式异步电机)：在转子回路串入外部电阻，增大转子回路总电阻，改变电机的转矩-转速特性，实现调速。转子串电阻调速属于有损调速，效率较低，但可以改善电机的启动性能，增加启动转矩，减小启动电流。

② 矢量控制 (Vector Control) (磁场定向控制 (Field-oriented Control, FOC))：

矢量控制是一种高性能的异步电机控制方法，通过控制定子电流矢量 (Stator Current Vector) 的大小和方向，精确控制电机的磁场和转矩，实现类似直流电机的控制效果。矢量控制的核心思想是将定子电流分解为励磁电流分量 (Magnetizing Current Component) 和 转矩电流分量 (Torque Current Component)，分别进行控制，实现转矩和磁场的解耦控制 (Decoupled Control)。

⚝ 控制原理：

▮▮▮▮⚝ 坐标变换 (Coordinate Transformation)：将三相定子电流 \( i_{a}, i_{b}, i_{c} \) 变换到旋转坐标系 \( d-q \) 轴上，得到直轴电流 \( i_{d} \) 和交轴电流 \( i_{q} \)。\( d \) 轴与转子磁链方向对齐，\( q \) 轴与 \( d \) 轴正交。
▮▮▮▮⚝ 解耦控制：将直轴电流 \( i_{d} \) 用于控制励磁磁场，交轴电流 \( i_{q} \) 用于控制电磁转矩。通过独立控制 \( i_{d} \) 和 \( i_{q} \)，实现转矩和磁场的解耦控制。
▮▮▮▮⚝ 电流环和速度环：通常采用电流内环和速度外环的双闭环控制系统，实现转速或转矩的精确控制。
▮▮▮▮⚝ 逆变器 (Inverter) 控制：通过控制逆变器输出电压的幅值、频率和相位，实现对定子电流的精确控制。

⚝ 优点：

▮▮▮▮⚝ 高性能控制：矢量控制可以实现异步电机的高精度转速、转矩和位置控制，具有良好的动态性能和稳态性能。
▮▮▮▮⚝ 宽调速范围：可以实现宽范围、平滑的调速。
▮▮▮▮⚝ 高效率运行：可以实现电机的最佳效率控制，节能效果显著。

⚝ 应用：

▮▮▮▮⚝ 高性能交流伺服系统 (AC Servo System)。
▮▮▮▮⚝ 高精度工业自动化设备。
▮▮▮▮⚝ 电动汽车 (Electric Vehicle) 驱动系统。
▮▮▮▮⚝ 风力发电 (Wind Power Generation) 系统。

③ 直接转矩控制 (Direct Torque Control, DTC)：

直接转矩控制是一种新型的高性能异步电机控制方法，直接控制电机的磁链和转矩，无需坐标变换和解耦控制，控制结构简单，动态响应速度快。

⚝ 控制原理：

▮▮▮▮⚝ 磁链和转矩观测：通过测量电机的电压和电流，实时观测电机的磁链和转矩。
▮▮▮▮⚝ 磁链和转矩比较：将观测到的磁链和转矩与给定值进行比较，得到磁链偏差和转矩偏差。
▮▮▮▮⚝ 开关表控制 (Switching Table Control)：根据磁链偏差和转矩偏差，以及定子磁链扇区位置，查阅开关表，选择合适的逆变器开关状态，直接控制逆变器输出电压，调节电机的磁链和转矩。

⚝ 优点：

▮▮▮▮⚝ 动态响应速度快：直接控制磁链和转矩，动态响应速度快，控制带宽高。
▮▮▮▮⚝ 控制结构简单：无需坐标变换和解耦控制，控制结构简单，易于实现。
▮▮▮▮⚝ 鲁棒性好：对电机参数变化不敏感，鲁棒性好。

⚝ 应用：

▮▮▮▮⚝ 高性能交流伺服系统。
▮▮▮▮⚝ 快速响应的工业自动化设备。
▮▮▮▮⚝ 高动态性能的驱动系统。

7.4.3 同步电机 (Synchronous Motors)

同步电机是一种转子转速与定子旋转磁场同步的交流电机，即转子转速 \( n \) 等于同步转速 \( n_s = 60f/p \)，转差率 \( s = 0 \)。同步电机主要用于需要精确转速控制或对功率因数 (Power Factor) 有要求的场合。同步电机可以分为凸极式同步电机 (Salient-pole Synchronous Motor) 和 隐极式同步电机 (Non-salient-pole Synchronous Motor)。

① 结构组成：

同步电机主要由定子 (Stator) 和 转子 (Rotor) 两大部分组成。

⚝ 定子 (Stator)：与异步电机定子结构类似，由定子铁心和定子绕组组成。定子绕组通常为对称三相绕组，产生旋转磁场。

⚝ 转子 (Rotor)：同步电机的旋转部分，与异步电机转子结构不同，同步电机转子需要提供直流励磁 (DC Excitation)，以建立转子磁场。根据转子结构的不同，同步电机分为凸极式和隐极式两种。

▮▮▮▮⚝ 凸极式转子 (Salient-pole Rotor)：转子磁极凸出，磁极间气隙不均匀，磁阻沿直轴 (Direct Axis) 和交轴 (Quadrature Axis) 方向不同。凸极式转子主要用于低速同步电机，如汽轮发电机 (Steam Turbine Generator)、水轮发电机 (Hydro Generator)。
▮▮▮▮⚝ 隐极式转子 (Non-salient-pole Rotor)：转子外形呈圆柱形，磁极不凸出，磁极间气隙均匀，磁阻沿直轴和交轴方向近似相等。隐极式转子主要用于高速同步电机，如汽轮发电机、燃气轮发电机 (Gas Turbine Generator)。

⚝ 励磁系统 (Excitation System)：为同步电机转子提供直流励磁电流的装置。励磁系统可以分为直流励磁机 (DC Exciter) 励磁和 无刷励磁 (Brushless Excitation) 等方式。现代大型同步电机多采用无刷励磁或静止励磁 (Static Excitation)。

② 工作原理：

同步电机的工作原理基于磁场相互作用原理 (Magnetic Field Interaction Principle)。

⚝ 旋转磁场的产生：定子绕组通入三相对称交流电后，在电机气隙中产生旋转磁场。

⚝ 转子磁场的建立：转子绕组通入直流励磁电流，建立恒定磁场 (Constant Magnetic Field)。对于永磁同步电机 (Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)，转子磁场由永磁体 (Permanent Magnet) 提供，无需外部励磁。

⚝ 磁场同步：定子旋转磁场与转子磁场相互作用，产生电磁转矩 (Electromagnetic Torque)，驱动转子旋转。在稳定运行时，转子磁场与定子旋转磁场保持相对静止，即转子转速与定子旋转磁场同步，故称同步电机。

⚝ 功角 (Power Angle)：转子磁场轴线与定子旋转磁场轴线之间的夹角称为功角 (Power Angle) \( \delta \) 或 负载角 (Load Angle)。功角的大小与负载大小有关，负载增大，功角增大；负载减小，功角减小。电磁转矩 \( T_e \) 与功角 \( \delta \) 近似成正弦关系：

\[ T_e \propto \sin\delta \]

当功角 \( \delta = 90^\circ \) 时，电磁转矩最大，称为最大同步转矩 (Maximum Synchronous Torque) 或 失步转矩 (Pull-out Torque)。当功角超过失步转矩对应的角度时，电机可能失步 (Step-out) 运行，失去同步。

③ 特性 (Characteristics)：

同步电机的主要运行特性包括V形曲线 (V-curve)、功角特性 (Power Angle Characteristic)、调压特性 (Voltage Regulation Characteristic) 等。

⚝ V形曲线：描述同步电机定子电流 \( I_1 \) 和功率因数 \( \cos\varphi \) 随励磁电流 \( I_f \) 变化的曲线，呈V形。通过调节励磁电流 \( I_f \)，可以改变同步电机的功率因数。

▮▮▮▮⚝ 欠励磁 (Under-excitation)：励磁电流 \( I_f \) 较小，定子电流 \( I_1 \) 较大，功率因数 \( \cos\varphi \) 滞后 (感性负载特性)。
▮▮▮▮⚝ 正常励磁 (Normal-excitation)：励磁电流 \( I_f \) 适中，定子电流 \( I_1 \) 最小，功率因数 \( \cos\varphi \approx 1 \) (接近1)。
▮▮▮▮⚝ 过励磁 (Over-excitation)：励磁电流 \( I_f \) 较大，定子电流 \( I_1 \) 增大，功率因数 \( \cos\varphi \) 超前 (容性负载特性)。
同步电机可以通过调节励磁电流，实现功率因数补偿 (Power Factor Correction)，提高电力系统运行效率。

⚝ 功角特性：描述同步电机电磁转矩 \( T_e \) 与功角 \( \delta \) 之间关系的曲线。在稳定运行范围内，电磁转矩 \( T_e \) 随功角 \( \delta \) 增大而增大，呈近似正弦关系。超过最大同步转矩后，电机可能失步。

⚝ 调压特性：同步发电机 (Synchronous Generator) 的调压特性描述发电机端电压 \( U \) 随负载电流 \( I \) 变化的曲线。通过调节励磁电流 \( I_f \)，可以调节发电机端电压，保持电压稳定。

7.4.4 同步电机的控制 (Control of Synchronous Motors)

同步电机的控制目标主要是转速、转矩或位置控制。同步电机的控制方法比异步电机更为复杂，但可以实现更高的控制性能。常用的控制方法包括：

① 励磁控制 (Excitation Control)：

通过调节励磁电流 \( I_f \)，控制同步电机的励磁磁场，主要用于调节同步电机的功率因数 (Power Factor) 和 端电压 (Terminal Voltage)。在同步发电机中，励磁控制用于调节发电机端电压，保持电压稳定；在同步电动机中，励磁控制用于调节电机的功率因数，提高运行效率。

⚝ 恒功率因数控制 (Constant Power Factor Control)：根据设定的功率因数 \( \cos\varphi_{ref} \)，调节励磁电流 \( I_f \)，使电机功率因数保持在设定值附近。

⚝ 恒端电压控制 (Constant Terminal Voltage Control)：在同步发电机中，根据设定的端电压 \( U_{ref} \)，调节励磁电流 \( I_f \)，使发电机端电压保持稳定。

② 矢量控制 (Vector Control) (磁场定向控制 (Field-oriented Control, FOC))：

类似于异步电机矢量控制，同步电机矢量控制也是一种高性能的控制方法，通过控制定子电流矢量的大小和方向，精确控制电机的磁场和转矩，实现类似直流电机的控制效果。永磁同步电机 (PMSM) 矢量控制应用最为广泛。

⚝ 控制原理：

▮▮▮▮⚝ 坐标变换：将三相定子电流 \( i_{a}, i_{b}, i_{c} \) 变换到转子磁场定向的 \( d-q \) 旋转坐标系上。对于表贴式永磁同步电机 (Surface-mounted PMSM)，\( d \) 轴与永磁体磁场方向对齐，\( q \) 轴与 \( d \) 轴正交。
▮▮▮▮⚝ 解耦控制：将直轴电流 \( i_{d} \) 用于控制励磁磁场 (对于永磁同步电机，\( i_{d} = 0 \) 控制，无需励磁电流)，交轴电流 \( i_{q} \) 用于控制电磁转矩。
▮▮▮▮⚝ 电流环和速度环：通常采用电流内环和速度外环的双闭环控制系统，实现转速或转矩的精确控制。
▮▮▮▮⚝ 逆变器控制：通过控制逆变器输出电压的幅值、频率和相位，实现对定子电流的精确控制。

⚝ 优点：

▮▮▮▮⚝ 高性能控制：矢量控制可以实现同步电机的高精度转速、转矩和位置控制，具有良好的动态性能和稳态性能。
▮▮▮▮⚝ 宽调速范围：可以实现宽范围、平滑的调速。
▮▮▮▮⚝ 高效率运行：可以实现电机的最佳效率控制，节能效果显著。

⚝ 应用：

▮▮▮▮⚝ 高性能交流伺服系统 (永磁同步伺服电机)。
▮▮▮▮⚝ 机器人 (Robot) 关节驱动。
▮▮▮▮⚝ 数控机床。
▮▮▮▮⚝ 电动汽车驱动系统。
▮▮▮▮⚝ 风力发电系统。

③ 无速度传感器控制 (Sensorless Control)：

为了降低成本、提高可靠性，现代同步电机控制系统越来越倾向于采用无速度传感器控制 (Sensorless Control) 技术，即不使用速度传感器 (如光电编码器、旋转变压器 (Resolver))，仅通过测量电机的电压和电流，估算电机转速和位置，实现闭环控制。常用的无速度传感器控制方法包括：

⚝ 反电动势法 (Back-EMF Method)：通过检测电机端电压和电流，估算反电动势 (Back Electromotive Force, Back-EMF)，进而估算转速和位置。反电动势法适用于中高速运行，低速性能较差。

⚝ 磁链观测器法 (Flux Observer Method)：建立电机数学模型，设计磁链观测器，通过观测电机电压和电流，实时估算电机磁链，进而估算转速和位置。磁链观测器法具有较好的全速段控制性能。

⚝ 高频注入法 (High-frequency Injection Method)：在定子绕组中注入高频电压或电流信号，利用电机凸极效应 (Salient Effect) 或饱和特性，检测高频响应信号，提取转子位置信息。高频注入法适用于低速和静止状态，可以实现零速控制。

总结：

交流电机包括异步电机和同步电机两大类，是应用最广泛的电机类型。异步电机结构简单、运行可靠、价格低廉，广泛应用于通用工业场合；同步电机具有精确转速控制和功率因数调节能力，适用于高性能和特定应用场合。矢量控制和直接转矩控制是高性能交流电机控制的主流方法，无速度传感器控制技术是未来发展趋势。

8. 信号处理 (Signal Processing)

本章介绍信号处理的基本概念、常用方法和应用，包括连续时间信号处理和离散时间信号处理。

8.1 信号与系统 (Signals and Systems)

介绍信号的分类、基本运算和系统的概念、分类及线性时不变系统 (Linear Time-Invariant System, LTI System)。

8.1.1 信号的分类与基本信号 (Classification of Signals and Basic Signals)

介绍连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号，以及常用基本信号。

① 信号的定义 📢

信号 (signal) 是指载有信息并随时间或空间变化的函数。在电气工程中，信号可以是电压、电流、电磁波等物理量。信号处理 (signal processing) 的目的是对信号进行分析、变换、提取信息和进行各种操作，以便于更好地利用信号所携带的信息。

② 信号的分类 📊

信号可以根据不同的特性进行分类：

▮ 按时间特性分类

⚝ 连续时间信号 (continuous-time signal)：在连续时间轴上都有定义的信号。数学上，连续时间信号 \(x(t)\) 对于任意时间 \(t \in \mathbb{R}\) 都有确定的值。现实世界中的许多信号，如语音信号、温度信号等，在本质上都是连续时间信号。
⚝ 离散时间信号 (discrete-time signal)：仅在离散的时间点上有定义的信号。离散时间信号 \(x[n]\) 仅在整数时间索引 \(n\) 上有定义，通常由对连续时间信号进行采样得到。例如，数字音频信号就是离散时间信号。

▮ 按周期性分类

⚝ 周期信号 (periodic signal)：周期信号是指在时间上按一定周期重复出现的信号。对于连续时间信号 \(x(t)\)，如果存在一个正的常数 \(T\) (周期)，使得对于所有 \(t\) 都有 \(x(t+T) = x(t)\)，则 \(x(t)\) 为周期信号，\(T\) 为其周期。对于离散时间信号 \(x[n]\)，如果存在一个正整数 \(N\) (周期)，使得对于所有 \(n\) 都有 \(x[n+N] = x[n]\)，则 \(x[n]\) 为周期信号，\(N\) 为其周期。
⚝ 非周期信号 (aperiodic signal)：不具有周期性的信号。非周期信号在时间上不重复出现。

▮ 按能量和功率分类

⚝ 能量信号 (energy signal)：能量信号是指在整个时间范围内能量有限的信号。连续时间信号 \(x(t)\) 的能量 \(E\) 定义为：
\[ E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt \]
离散时间信号 \(x[n]\) 的能量 \(E\) 定义为：
\[ E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 \]
如果信号的能量 \(0 < E < \infty\)，则该信号为能量信号。能量信号的平均功率为零。
⚝ 功率信号 (power signal)：功率信号是指平均功率有限且不为零的信号。连续时间信号 \(x(t)\) 的平均功率 \(P\) 定义为：
\[ P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt \]
离散时间信号 \(x[n]\) 的平均功率 \(P\) 定义为：
\[ P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 \]
如果信号的平均功率 \(0 < P < \infty\)，则该信号为功率信号。功率信号的总能量通常是无限的。周期信号通常是功率信号，而持续时间有限的信号通常是能量信号。

③ 常用基本信号 🚀

⚝ 单位阶跃信号 (unit step signal)：连续时间单位阶跃信号 \(u(t)\) 定义为：
\[ u(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases} \]
离散时间单位阶跃序列 \(u[n]\) 定义为：
\[ u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases} \]
单位阶跃信号常用于表示信号的突然接入或系统的阶跃响应。

⚝ 单位冲激信号 (unit impulse signal)：连续时间单位冲激信号 \( \delta(t) \) (狄拉克 \(\delta\) 函数 (Dirac delta function)) 满足：
\[ \delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \ne 0 \end{cases} \]
且
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1 \]
离散时间单位冲激序列 \( \delta[n] \) 定义为：
\[ \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases} \]
单位冲激信号常用于表示瞬时冲击或系统的冲激响应，是系统分析中的重要基本信号。

⚝ 指数信号 (exponential signal)：连续时间复指数信号形式为 \(x(t) = Ae^{st}\)，其中 \(A\) 和 \(s\) 均为复数。当 \(s\) 为纯虚数 \(j\omega\) 时，\(x(t) = Ae^{j\omega t}\) 表示复正弦信号。
离散时间复指数信号形式为 \(x[n] = A z^n\)，其中 \(A\) 和 \(z\) 均为复数。当 \(z = e^{j\omega}\) 时，\(x[n] = Ae^{j\omega n}\) 表示离散时间复正弦信号。

⚝ 正弦信号 (sinusoidal signal)：连续时间正弦信号形式为 \(x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\)，其中 \(A\) 是幅度，\(\omega\) 是角频率，\(\phi\) 是初相位。
离散时间正弦信号形式为 \(x[n] = A\cos(\omega n + \phi)\)。正弦信号是信号分析和通信中最重要的周期信号之一。

⚝ 矩形脉冲信号 (rectangular pulse signal)：连续时间矩形脉冲信号 \(rect(t/T)\) 定义为：
\[ rect\left(\frac{t}{T}\right) = \begin{cases} 1, & |t| < T/2 \\ 0, & |t| > T/2 \end{cases} \]
矩形脉冲信号常用于表示有限持续时间的脉冲信号。

8.1.2 信号的基本运算 (Basic Operations on Signals)

介绍信号的加法、乘法、尺度变换、时移、反褶等运算。

① 信号的加法与乘法 ➕ ✖️

⚝ 加法：两个信号 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) (或 \(x_1[n]\) 和 \(x_2[n]\)) 的加法运算定义为对应时间点上信号值的相加，得到新的信号 \(y(t) = x_1(t) + x_2(t)\) (或 \(y[n] = x_1[n] + x_2[n]\)). 加法运算常用于信号的叠加，例如噪声与信号的叠加。
⚝ 乘法：两个信号 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) (或 \(x_1[n]\) 和 \(x_2[n]\)) 的乘法运算定义为对应时间点上信号值的相乘，得到新的信号 \(y(t) = x_1(t)x_2(t)\) (或 \(y[n] = x_1[n]x_2[n]\)). 乘法运算常用于调制和混频等应用。

② 尺度变换 (scaling) 📏

⚝ 幅度尺度变换：对信号的幅度进行缩放。对于信号 \(x(t)\) (或 \(x[n]\))，幅度尺度变换后的信号为 \(y(t) = ax(t)\) (或 \(y[n] = ax[n]\))，其中 \(a\) 为尺度因子。当 \(|a| > 1\) 时，信号幅度被放大；当 \(0 < |a| < 1\) 时，信号幅度被缩小；当 \(a < 0\) 时，信号幅度反向。
⚝ 时间尺度变换：对信号的时间轴进行缩放。对于信号 \(x(t)\)，时间尺度变换后的信号为 \(y(t) = x(at)\)，其中 \(a\) 为时间尺度因子。当 \(|a| > 1\) 时，信号时间轴被压缩；当 \(0 < |a| < 1\) 时，信号时间轴被扩展；当 \(a < 0\) 时，时间轴反向。对于离散时间信号，时间尺度变换通常不太直接，但在某些情况下也有应用，例如抽取和插值。

③ 时移 (time shifting) ⏱️

时移运算是指将信号在时间轴上平移。对于连续时间信号 \(x(t)\)，时移 \(t_0\) 后的信号为 \(y(t) = x(t - t_0)\)。当 \(t_0 > 0\) 时，信号向右平移（延迟）；当 \(t_0 < 0\) 时，信号向左平移（超前）。对于离散时间信号 \(x[n]\)，时移 \(n_0\) 后的信号为 \(y[n] = x[n - n_0]\)。当 \(n_0 > 0\) 时，信号向右平移（延迟）；当 \(n_0 < 0\) 时，信号向左平移（超前）。

④ 反褶 (time reversal/folding) 🔄

反褶运算是指将信号的时间轴反转。对于信号 \(x(t)\) (或 \(x[n]\))，反褶后的信号为 \(y(t) = x(-t)\) (或 \(y[n] = x[-n]\)). 反褶运算在卷积运算和相关运算中非常重要。

⑤ 微分与积分 (differentiation and integration) 📈 📉

⚝ 微分：连续时间信号 \(x(t)\) 的微分定义为 \(\frac{dx(t)}{dt}\)。微分运算可以突出信号的变化率，常用于检测信号的边缘和突变。
⚝ 积分：连续时间信号 \(x(t)\) 的积分定义为 \(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau\)。积分运算可以平滑信号，常用于累积信号的值。对于离散时间信号，微分和积分运算对应于差分和求和运算。

⑥ 卷积 (convolution) 💫

卷积是信号与系统分析中最重要的运算之一。

⚝ 连续时间卷积：两个连续时间信号 \(x(t)\) 和 \(h(t)\) 的卷积 \(y(t) = (x * h)(t)\) 定义为：
\[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)x(t-\tau) d\tau \]
卷积运算具有交换律、结合律和分配律。

⚝ 离散时间卷积：两个离散时间信号 \(x[n]\) 和 \(h[n]\) 的卷积 \(y[n] = (x * h)[n]\) 定义为：
\[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]x[n-k] \]
卷积运算在分析线性时不变系统 (LTI system) 的输出响应中起着核心作用。如果 \(h(t)\) 或 \(h[n]\) 是 LTI 系统的单位冲激响应，那么输入信号 \(x(t)\) 或 \(x[n]\) 与 \(h(t)\) 或 \(h[n]\) 的卷积就是系统的输出响应。

8.1.3 系统的概念与分类 (Concepts and Classification of Systems)

定义系统，介绍线性系统与非线性系统、时变系统与时不变系统、因果系统与非因果系统、稳定系统与不稳定系统。

① 系统的定义 ⚙️

系统 (system) 是指对输入信号进行处理，并产生输出信号的实体。系统可以是物理设备、算法或过程。在电气工程中，例如电路、滤波器、放大器、控制算法等都可以看作系统。系统可以用数学模型来描述其输入-输出关系。

② 系统的分类 🗂️

▮ 线性系统与非线性系统 (linear system vs. nonlinear system)

⚝ 线性系统 (linear system)：如果一个系统满足叠加原理和齐次性原理，则称该系统为线性系统。
▮▮▮▮⚝ 叠加原理 (superposition principle)：若输入 \(x_1(t)\) 产生输出 \(y_1(t)\)，输入 \(x_2(t)\) 产生输出 \(y_2(t)\)，则输入 \(x_1(t) + x_2(t)\) 必须产生输出 \(y_1(t) + y_2(t)\)。
▮▮▮▮⚝ 齐次性原理 (homogeneity principle)：若输入 \(x(t)\) 产生输出 \(y(t)\)，则输入 \(ax(t)\) (其中 \(a\) 为常数) 必须产生输出 \(ay(t)\)。
同时满足叠加原理和齐次性原理的系统才是线性系统。线性系统的分析和设计相对简单，许多实际系统在一定条件下可以近似为线性系统。
⚝ 非线性系统 (nonlinear system)：不满足线性系统条件的系统。非线性系统不满足叠加原理或齐次性原理，其输入-输出关系不是线性的。非线性系统的分析和设计通常更为复杂。

▮ 时变系统与时不变系统 (time-varying system vs. time-invariant system)

⚝ 时不变系统 (time-invariant system)：如果一个系统的特性不随时间变化，则称该系统为时不变系统。若输入 \(x(t)\) 产生输出 \(y(t)\)，则对于任意时移 \(t_0\)，输入 \(x(t-t_0)\) 必须产生输出 \(y(t-t_0)\)。换句话说，系统的响应特性与输入信号施加的时间无关。
⚝ 时变系统 (time-varying system)：系统特性随时间变化的系统。时变系统不满足时不变系统的条件，其响应特性会随时间变化。

▮ 因果系统与非因果系统 (causal system vs. non-causal system)

⚝ 因果系统 (causal system)：因果系统是指系统的当前输出只取决于当前的输入和过去的输入，而与未来的输入无关。现实世界中的物理系统通常都是因果系统，因为物理实现上，系统的输出不可能预先知道未来的输入。
⚝ 非因果系统 (non-causal system)：非因果系统是指系统的当前输出不仅取决于当前的输入和过去的输入，还可能取决于未来的输入。非因果系统在实时系统中无法物理实现，但在离线信号处理中，例如在存储数据上进行处理时，可以使用非因果系统。

▮ 稳定系统与不稳定系统 (stable system vs. unstable system)

稳定性是系统的重要特性。这里主要介绍有界输入有界输出 (Bounded-Input Bounded-Output, BIBO) 稳定性。

⚝ 稳定系统 (stable system) (BIBO 稳定)：如果对于任何有界输入，系统产生的输出也是有界的，则称该系统为稳定系统。即，如果 \(|x(t)| \le M < \infty\) (对于所有 \(t\))，则必须有 \(|y(t)| \le N < \infty\) (对于所有 \(t\))，其中 \(M\) 和 \(N\) 是有限常数。
⚝ 不稳定系统 (unstable system)：如果存在有界输入，使得系统产生无界输出，则称该系统为不稳定系统。不稳定系统在工程应用中通常是不可接受的，因为它可能导致系统输出失控。

8.1.4 线性时不变系统 (Linear Time-Invariant Systems, LTI Systems)

介绍 LTI 系统的特性和重要性。

① LTI 系统的定义 📚

线性时不变系统 (LTI system) 是同时满足线性和时不变特性的系统。LTI 系统是信号与系统分析中的核心概念，因为：

⚝ 广泛适用性：许多实际系统在一定条件下可以近似为 LTI 系统，或者可以用 LTI 系统来建模其主要特性。
⚝ 分析工具完善：对于 LTI 系统，有一套完善的分析工具，如卷积、傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换等，使得对其进行分析、设计和优化成为可能。

② LTI 系统的基本特性 🔑

⚝ 卷积特性 (convolution property)：LTI 系统的输出可以通过输入信号与系统的单位冲激响应进行卷积得到。设 \(h(t)\) 是连续时间 LTI 系统的单位冲激响应，\(x(t)\) 是输入信号，则输出信号 \(y(t)\) 为：
\[ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau \]
对于离散时间 LTI 系统，设 \(h[n]\) 是单位冲激响应，\(x[n]\) 是输入信号，则输出信号 \(y[n]\) 为：
\[ y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \]
单位冲激响应 \(h(t)\) 或 \(h[n]\) 完全表征了 LTI 系统的特性。

⚝ 频域分析特性 (frequency-domain analysis property)：LTI 系统对复指数信号具有特征函数特性。当输入为复指数信号 \(x(t) = e^{j\omega t}\) 时，LTI 系统的输出 \(y(t)\) 仍然是相同频率的复指数信号，只是幅度和相位可能发生变化：
\[ y(t) = H(j\omega)e^{j\omega t} \]
其中 \(H(j\omega)\) 是系统的频率响应 (frequency response)，是复数函数，描述了系统对不同频率分量的响应特性。频率响应 \(H(j\omega)\) 是单位冲激响应 \(h(t)\) 的傅里叶变换：
\[ H(j\omega) = \mathcal{F}\{h(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j\omega t} dt \]
类似地，对于离散时间 LTI 系统，当输入为 \(x[n] = e^{j\omega n}\) 时，输出为：
\[ y[n] = H(e^{j\omega})e^{j\omega n} \]
其中 \(H(e^{j\omega})\) 是离散时间系统的频率响应，是单位冲激响应 \(h[n]\) 的离散时间傅里叶变换 (DTFT)：
\[ H(e^{j\omega}) = \mathcal{DTFT}\{h[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]e^{-j\omega n} \]
频域分析方法，如傅里叶分析和拉普拉斯变换 (对于连续时间系统)、Z 变换 (对于离散时间系统)，为分析 LTI 系统提供了强大的工具。

⚝ 稳定性判据 (stability criteria)：LTI 系统的稳定性可以根据其单位冲激响应或频率响应来判断。
▮▮▮▮⚝ 时域稳定性判据：连续时间 LTI 系统稳定的充要条件是其单位冲激响应 \(h(t)\) 绝对可积：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty \]
离散时间 LTI 系统稳定的充要条件是其单位冲激响应 \(h[n]\) 绝对可和：
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty \]
▮▮▮▮⚝ 频域稳定性判据：连续时间 LTI 系统稳定的充要条件是其频率响应 \(H(j\omega)\) 在 \(j\omega\) 轴上没有极点，且所有极点都位于复平面的左半平面。对于用拉普拉斯变换描述的系统，系统函数 \(H(s)\) 的所有极点都必须位于左半平面。
离散时间 LTI 系统稳定的充要条件是其频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 在单位圆上没有极点，且所有极点都位于单位圆内。对于用 Z 变换描述的系统，系统函数 \(H(z)\) 的所有极点都必须位于单位圆内。

③ LTI 系统的重要性 ⭐

LTI 系统理论是信号处理、控制系统、通信系统等领域的基础。理解 LTI 系统的特性和分析方法，对于学习和应用这些领域的知识至关重要。LTI 系统的分析方法不仅为理解系统行为提供了理论框架，也为系统设计和性能优化提供了有效工具。

8.2 连续时间信号处理 (Continuous-Time Signal Processing)

介绍傅里叶变换 (Fourier Transform) 及其在连续时间信号分析中的应用。

8.2.1 傅里叶级数 (Fourier Series)

介绍周期信号的傅里叶级数展开。

① 周期信号的分解 🎼

傅里叶级数 (Fourier series) 是将周期信号分解为一系列复指数函数 (或正弦和余弦函数) 的线性组合的数学工具。对于一个周期为 \(T\) 的周期信号 \(x(t)\)，它可以表示为无穷级数的形式：
\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \]
其中 \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\) 是基频 (fundamental frequency)，\(a_k\) 是傅里叶级数系数 (Fourier series coefficients)，表示频率为 \(k\omega_0\) 的复指数分量的复幅度。

② 傅里叶级数系数的计算 🧮

傅里叶级数系数 \(a_k\) 可以通过积分计算得到：
\[ a_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt \]
其中 \(\int_{T}\) 表示在任意一个周期 \(T\) 内的积分。通常选择 \([-T/2, T/2]\) 或 \([0, T]\) 作为积分区间。

③ 傅里叶级数的不同形式 🎭

⚝ 复指数形式 (complex exponential form)：
\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \]
系数：\( a_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt \)

⚝ 三角形式 (trigonometric form)：利用欧拉公式 \(e^{j k \omega_0 t} = \cos(k\omega_0 t) + j\sin(k\omega_0 t)\)，可以将复指数形式转换为三角形式：
\[ x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} [A_k \cos(k\omega_0 t) + B_k \sin(k\omega_0 t)] \]
其中，
\[ a_0 = a_0 = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) dt \]
\[ A_k = a_k + a_{-k} = \frac{2}{T} \int_{T} x(t) \cos(k\omega_0 t) dt \]
\[ B_k = j(a_k - a_{-k}) = \frac{2}{T} \int_{T} x(t) \sin(k\omega_0 t) dt \]
\(a_0\) 是直流分量 (DC component)，\(A_k\) 和 \(B_k\) 分别是频率为 \(k\omega_0\) 的余弦分量和正弦分量的幅度。

⚝ 幅度-相位形式 (amplitude-phase form)：三角形式还可以进一步表示为幅度-相位形式：
\[ x(t) = C_0 + \sum_{k=1}^{\infty} C_k \cos(k\omega_0 t - \theta_k) \]
其中，
\[ C_0 = a_0 \]
\[ C_k = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} = 2|a_k| \]
\[ \theta_k = \arctan\left(\frac{B_k}{A_k}\right) = \angle a_k \]
\(C_k\) 是频率为 \(k\omega_0\) 的谐波分量的幅度，\(\theta_k\) 是相位。

④ 傅里叶级数的性质 ⚙️

⚝ 线性性 (linearity)：如果 \(x_1(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_{1k}\) 和 \(x_2(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_{2k}\)，则对于任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\)，有 \(c_1x_1(t) + c_2x_2(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} c_1a_{1k} + c_2a_{2k}\)。
⚝ 时移性 (time shifting)：如果 \(x(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_k\)，则 \(x(t-t_0) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_k e^{-j k \omega_0 t_0}\)。
⚝ 时域微分 (differentiation in time domain)：如果 \(x(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_k\)，且 \(x(t)\) 的导数存在，则 \(\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} (j k \omega_0) a_k\)。
⚝ 时域积分 (integration in time domain)：如果 \(x(t) \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} a_k\)，且 \(a_0 = 0\)，则 \(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \stackrel{FS}{\longleftrightarrow} \frac{1}{j k \omega_0} a_k\), \(k \ne 0\)。
⚝ 帕塞瓦尔定理 (Parseval's theorem)：周期信号 \(x(t)\) 的平均功率等于其傅里叶级数系数平方的能量之和：
\[ \frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2 \]
帕塞瓦尔定理揭示了信号时域能量与频域能量之间的关系。

⑤ 傅里叶级数的应用 💡

傅里叶级数广泛应用于信号分析、电路分析、通信系统等领域。例如，在音频处理中，傅里叶级数可以用于分析乐器的音色；在电力系统中，可以用于分析周期性非正弦波形的谐波成分；在通信系统中，可以用于分析周期性信号的频谱特性。

8.2.2 傅里叶变换 (Fourier Transform)

介绍非周期信号的傅里叶变换及其性质。

① 从傅里叶级数到傅里叶变换 🌉

傅里叶变换 (Fourier transform) 是傅里叶分析的另一种重要形式，用于分析非周期信号的频谱成分。傅里叶变换可以看作是傅里叶级数在周期 \(T \to \infty\) 时的极限形式。当周期信号的周期 \(T\) 趋于无穷大时，周期信号就变成了非周期信号，傅里叶级数的基频 \(\omega_0 = 2\pi/T\) 趋于无穷小，离散的频谱线变得越来越密集，最终趋于连续频谱。

② 傅里叶变换的定义 ✍️

对于非周期信号 \(x(t)\)，其傅里叶变换 \(X(j\omega) = \mathcal{F}\{x(t)\}\) 定义为：
\[ X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt \]
\(X(j\omega)\) 是频率 \(\omega\) 的复函数，称为信号 \(x(t)\) 的频谱密度函数 (spectral density function) 或频谱。它表示信号在不同频率分量上的幅度和相位信息。

反傅里叶变换 (inverse Fourier transform) 用于从频谱 \(X(j\omega)\) 恢复原始信号 \(x(t)\)：
\[ x(t) = \mathcal{F}^{-1}\{X(j\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
傅里叶变换对 \((x(t), X(j\omega))\) 构成了信号的时域表示和频域表示之间的桥梁。通常用符号 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\) 表示傅里叶变换对。

③ 傅里叶变换存在的条件 📝

并非所有信号都存在傅里叶变换。狄里赫利条件 (Dirichlet conditions) 给出了信号存在傅里叶变换的充分条件 (非必要条件)：

⚝ \(x(t)\) 在任意有限区间内绝对可积，即 \(\int_{-T}^{T} |x(t)| dt < \infty\) 对于任何有限 \(T > 0\)。
⚝ \(x(t)\) 在任意有限区间内只有有限个不连续点。
⚝ \(x(t)\) 在任意有限区间内只有有限个极大值和极小值。

实际上，能量有限的信号 (能量信号) 都满足傅里叶变换存在的条件。

④ 常用信号的傅里叶变换 📚

⚝ 单位冲激信号：\(\delta(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 1\)
⚝ 常数信号：\(1 \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi\delta(\omega)\)
⚝ 单位阶跃信号：\(u(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)\)
⚝ 符号函数：\(sgn(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2}{j\omega}\)
⚝ 矩形脉冲信号：\(rect\left(\frac{t}{T}\right) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} T\cdot sinc\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right) = T\cdot \frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2}\)
⚝ 高斯脉冲信号：\(e^{-\pi t^2} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} e^{-\omega^2/4\pi}\)

⑤ 傅里叶变换的性质 ⚙️

傅里叶变换具有许多重要性质，这些性质简化了信号的频谱分析和系统的频域分析。

⚝ 线性性 (linearity)：如果 \(x_1(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_1(j\omega)\) 和 \(x_2(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_2(j\omega)\)，则对于任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\)，有 \(c_1x_1(t) + c_2x_2(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} c_1X_1(j\omega) + c_2X_2(j\omega)\)。
⚝ 时移性 (time shifting)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)，则 \(x(t-t_0) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega) e^{-j\omega t_0}\)。时域时移对应频域相移。
⚝ 频移性 (frequency shifting) (调制性质)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)，则 \(x(t)e^{j\omega_0 t} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j(\omega-\omega_0))\)。时域调制对应频域频谱搬移。
⚝ 时间尺度变换 (time scaling)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)，则 \(x(at) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|}X\left(\frac{j\omega}{a}\right)\)。时域压缩对应频域扩展，反之亦然。
⚝ 时域微分 (differentiation in time domain)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)，且 \(x'(t)\) 的傅里叶变换存在，则 \(\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} j\omega X(j\omega)\)。时域微分对应频域乘 \(j\omega\)。
⚝ 频域微分 (differentiation in frequency domain)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)，则 \(-jtx(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{dX(j\omega)}{d\omega}\)。
⚝ 时域积分 (integration in time domain)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\)，且 \(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau\) 的傅里叶变换存在，则 \(\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)\)。
⚝ 卷积定理 (convolution theorem)：时域卷积对应频域乘积：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\) 和 \(h(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} H(j\omega)\)，则 \(y(t) = (x * h)(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)\)。
⚝ 乘积定理 (multiplication theorem) (频域卷积定理)：时域乘积对应频域卷积 (尺度变换)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)\) 和 \(h(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} H(j\omega)\)，则 \(y(t) = x(t)h(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} Y(j\omega) = \frac{1}{2\pi}(X * H)(j\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\theta)H(j(\omega-\theta)) d\theta\)。
⚝ 帕塞瓦尔定理 (Parseval's theorem) (能量守恒定理)：信号 \(x(t)\) 的能量等于其频谱 \(X(j\omega)\) 的能量 (尺度变换)：
\[ E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega = \frac{1}{2\pi} E_X \]

⑥ 傅里叶变换的应用 🚀

傅里叶变换是信号处理和系统分析中最基本、最重要的工具之一，广泛应用于：

⚝ 频谱分析：分析信号的频率成分，例如音频信号的频谱分析、振动信号的频谱分析。
⚝ 滤波器设计：在频域设计滤波器，例如理想滤波器、实际滤波器的频域特性分析。
⚝ 通信系统：调制解调、信道均衡、频谱分析等。
⚝ 图像处理：图像滤波、图像增强、图像压缩等。
⚝ 系统分析：LTI 系统的频率响应分析、系统稳定性分析。

8.2.3 连续时间系统的频域分析 (Frequency-Domain Analysis of Continuous-Time Systems)

介绍利用傅里叶变换分析 LTI 系统的频率响应。

① 频率响应的定义 🎧

对于连续时间 LTI 系统，其频率响应 \(H(j\omega)\) 定义为系统对复指数信号 \(e^{j\omega t}\) 的稳态响应与输入信号之比。当输入为 \(x(t) = e^{j\omega t}\) 时，输出为 \(y(t) = H(j\omega)e^{j\omega t}\)。频率响应 \(H(j\omega)\) 是复函数，可以表示为幅度响应 \(|H(j\omega)|\) 和相位响应 \(\angle H(j\omega)\) 的形式：
\[ H(j\omega) = |H(j\omega)| e^{j\angle H(j\omega)} \]
⚝ 幅度响应 (magnitude response) \(|H(j\omega)|\) 表示系统对不同频率分量的放大或衰减程度。
⚝ 相位响应 (phase response) \(\angle H(j\omega)\) 表示系统对不同频率分量的相位移动。

频率响应 \(H(j\omega)\) 完全表征了 LTI 系统在频域的特性。

② 频率响应与单位冲激响应的关系 🔗

LTI 系统的频率响应 \(H(j\omega)\) 是其单位冲激响应 \(h(t)\) 的傅里叶变换：
\[ H(j\omega) = \mathcal{F}\{h(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j\omega t} dt \]
反之，单位冲激响应 \(h(t)\) 是频率响应 \(H(j\omega)\) 的反傅里叶变换：
\[ h(t) = \mathcal{F}^{-1}\{H(j\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} H(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
通过单位冲激响应和频率响应，可以将 LTI 系统的时域特性和频域特性联系起来。

③ 系统输出的频域表示 📤

利用卷积定理，LTI 系统的输出 \(y(t)\) 的傅里叶变换 \(Y(j\omega)\) 可以表示为输入信号 \(x(t)\) 的傅里叶变换 \(X(j\omega)\) 与系统频率响应 \(H(j\omega)\) 的乘积：
\[ Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega) \]
这个关系式是 LTI 系统频域分析的基础。通过频域分析，可以将复杂的时域卷积运算转化为简单的频域乘积运算，大大简化了系统分析的难度。

④ 理想滤波器的频率响应 🎛️

理想滤波器 (ideal filter) 是一种在频域具有理想特性的滤波器，虽然在物理上难以精确实现，但作为理论模型，对于理解滤波器原理和设计具有重要意义。常见的理想滤波器包括：

⚝ 理想低通滤波器 (ideal low-pass filter)：允许低频信号通过，阻止高频信号。其频率响应为：
\[ H_{LP}(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| \le \omega_c \\ 0, & |\omega| > \omega_c \end{cases} \]
其中 \(\omega_c\) 是截止频率 (cutoff frequency)。

⚝ 理想高通滤波器 (ideal high-pass filter)：允许高频信号通过，阻止低频信号。其频率响应为：
\[ H_{HP}(j\omega) = \begin{cases} 0, & |\omega| \le \omega_c \\ 1, & |\omega| > \omega_c \end{cases} \]

⚝ 理想带通滤波器 (ideal band-pass filter)：允许一定频带内的信号通过，阻止频带外的信号。其频率响应为：
\[ H_{BP}(j\omega) = \begin{cases} 1, & \omega_1 \le |\omega| \le \omega_2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
其中 \([\omega_1, \omega_2]\) 是通带 (passband)。

⚝ 理想带阻滤波器 (ideal band-stop filter) (带陷滤波器 (notch filter))：阻止一定频带内的信号通过，允许频带外的信号通过。其频率响应为：
\[ H_{BS}(j\omega) = \begin{cases} 0, & \omega_1 \le |\omega| \le \omega_2 \\ 1, & \text{otherwise} \end{cases} \]

⑤ 波特图 (Bode plot) 📈

波特图 (Bode plot) 是一种常用的频率响应图形表示方法，由幅度波特图和相位波特图两部分组成。

⚝ 幅度波特图 (magnitude Bode plot)：以分贝 (dB) 为单位表示幅度响应 \(20\log_{10}|H(j\omega)|\) 与频率 \(\omega\) (通常使用对数坐标) 的关系曲线。
⚝ 相位波特图 (phase Bode plot)：以度 (degree) 或弧度 (radian) 为单位表示相位响应 \(\angle H(j\omega)\) 与频率 \(\omega\) (对数坐标) 的关系曲线。

波特图可以直观地显示系统在不同频率下的幅度放大或衰减以及相位移动情况，是分析和设计滤波器、放大器和控制系统的重要工具。

8.2.4 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

介绍拉普拉斯变换及其在系统分析中的应用。

① 拉普拉斯变换的定义 ✍️

拉普拉斯变换 (Laplace transform) 是傅里叶变换的推广，用于分析更广泛的信号和系统，特别是对于不满足傅里叶变换存在条件的信号，以及分析系统的瞬态响应。对于连续时间信号 \(x(t)\)，其单边拉普拉斯变换 \(X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}\) 定义为：
\[ X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt \]
其中 \(s = \sigma + j\omega\) 是复频率变量，\(\sigma\) 和 \(\omega\) 分别是实部和虚部。拉普拉斯变换将时域信号 \(x(t)\) 变换为复频域函数 \(X(s)\)。

反拉普拉斯变换 (inverse Laplace transform) 用于从复频域函数 \(X(s)\) 恢复时域信号 \(x(t)\)：
\[ x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} X(s) e^{st} ds \]
其中积分路径 \(\sigma\) 必须在 \(X(s)\) 的收敛域 (Region of Convergence, ROC) 内。拉普拉斯变换对 \((x(t), X(s))\) 构成了信号的时域表示和复频域表示之间的桥梁。通常用符号 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\) 表示拉普拉斯变换对。

② 收敛域 (ROC) 🌏

收敛域 (ROC) 是指复平面上使得拉普拉斯变换积分收敛的 \(s\) 值区域。对于不同的信号，收敛域可能不同。收敛域对于拉普拉斯变换的唯一性和反变换至关重要。常见的收敛域类型包括左半平面、右半平面、带状区域等。

③ 常用信号的拉普拉斯变换 📚

⚝ 单位阶跃信号：\(u(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{s}\), ROC: \(\text{Re}(s) > 0\)
⚝ 指数信号：\(e^{at}u(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{s-a}\), ROC: \(\text{Re}(s) > \text{Re}(a)\)
⚝ 斜坡信号：\(tu(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{s^2}\), ROC: \(\text{Re}(s) > 0\)
⚝ 正弦信号：\(\sin(\omega_0 t)u(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}\), ROC: \(\text{Re}(s) > 0\)
⚝ 余弦信号：\(\cos(\omega_0 t)u(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{s}{s^2 + \omega_0^2}\), ROC: \(\text{Re}(s) > 0\)
⚝ 单位冲激信号：\(\delta(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} 1\), ROC: 全平面

④ 拉普拉斯变换的性质 ⚙️

拉普拉斯变换也具有许多重要性质，类似于傅里叶变换的性质。

⚝ 线性性 (linearity)：如果 \(x_1(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X_1(s)\) 和 \(x_2(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X_2(s)\)，则对于任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\)，有 \(c_1x_1(t) + c_2x_2(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} c_1X_1(s) + c_2X_2(s)\), ROC 至少为 \(ROC_{X_1} \cap ROC_{X_2}\)。
⚝ 时移性 (time shifting)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\)，则 \(x(t-t_0)u(t-t_0) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s) e^{-st_0}\), ROC 与 \(X(s)\) 相同。
⚝ s 域平移 (s-domain shifting) (频移性)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\)，则 \(e^{at}x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s-a)\), ROC 为 \(ROC_X\) 右移 \(\text{Re}(a)\)。
⚝ 时间尺度变换 (time scaling)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\)，则 \(x(at) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|}X\left(\frac{s}{a}\right)\), ROC 为 \(ROC_X\) 尺度变换为 \(a\)。
⚝ 时域微分 (differentiation in time domain)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\)，且 \(x'(t)\) 的拉普拉斯变换存在，则 \(\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} sX(s) - x(0^-)\)。若初始条件为零，即 \(x(0^-) = 0\)，则 \(\frac{dx(t)}{dt} \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} sX(s)\)。
⚝ 时域积分 (integration in time domain)：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\)，则 \(\int_{0}^{t} x(\tau) d\tau \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{s}X(s)\), ROC 包含 \(ROC_X\) 和 \(\text{Re}(s) > 0\)。
⚝ 卷积定理 (convolution theorem)：时域卷积对应 s 域乘积：如果 \(x(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X(s)\) 和 \(h(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} H(s)\)，则 \(y(t) = (x * h)(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} Y(s) = X(s)H(s)\), ROC 至少为 \(ROC_X \cap ROC_H\)。
⚝ 初值定理 (initial value theorem)：如果 \(\lim_{s \to \infty} sX(s)\) 存在，则 \(x(0^+) = \lim_{s \to \infty} sX(s)\)。
⚝ 终值定理 (final value theorem)：如果 \(\lim_{t \to \infty} x(t)\) 存在，且 \(sX(s)\) 的所有极点都位于左半平面 (除了可能在原点有一个简单极点)，则 \(\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0} sX(s)\)。

⑤ 系统函数 (system function) 与系统分析 ⚙️

对于 LTI 系统，其系统函数 (system function) \(H(s)\) 定义为系统单位冲激响应 \(h(t)\) 的拉普拉斯变换：
\[ H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} \]
系统函数 \(H(s)\) 也等于系统输出 \(Y(s)\) 的拉普拉斯变换与输入 \(X(s)\) 的拉普拉斯变换之比 (在零初始条件下)：
\[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \]
系统函数 \(H(s)\) 完全表征了 LTI 系统的特性，包括：

⚝ 系统稳定性：LTI 系统稳定的充要条件是其系统函数 \(H(s)\) 的所有极点都位于复平面的左半平面。
⚝ 系统因果性：对于因果 LTI 系统，其系统函数 \(H(s)\) 的收敛域是右半平面。
⚝ 系统频率响应：系统的频率响应 \(H(j\omega)\) 可以通过将系统函数 \(H(s)\) 中的 \(s\) 替换为 \(j\omega\) 得到，即 \(H(j\omega) = H(s)|_{s=j\omega}\)。

拉普拉斯变换和系统函数是分析和设计连续时间 LTI 系统的强大工具，广泛应用于电路分析、控制系统、通信系统等领域。例如，在电路分析中，可以用拉普拉斯变换分析电路的瞬态响应和稳态响应；在控制系统中，可以用系统函数分析系统的稳定性、可控性和可观测性。

8.3 离散时间信号处理 (Discrete-Time Signal Processing)

介绍离散时间信号的采样、Z 变换 (Z-transform) 及其在离散时间信号分析中的应用。

8.3.1 采样定理 (Sampling Theorem)

介绍奈奎斯特采样定理及其在信号采样中的应用。

① 采样的概念 ⏺️

采样 (sampling) 是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。采样过程是在连续时间信号 \(x_c(t)\) 的时间轴上，以一定的时间间隔 \(T_s\) (采样周期 (sampling period)) 抽取信号的值，得到离散时间信号 \(x[n] = x_c(nT_s)\)，其中 \(n\) 为整数，\(f_s = 1/T_s\) 称为采样频率 (sampling frequency) 或采样率 (sampling rate)。

② 理想采样 🌠

理想采样 (ideal sampling) 模型可以用冲激串采样 (impulse train sampling) 来描述。设连续时间信号为 \(x_c(t)\)，冲激采样函数为 \(s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)\)，则理想采样信号 \(x_s(t)\) 为：
\[ x_s(t) = x_c(t)s(t) = x_c(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_c(nT_s) \delta(t-nT_s) \]
离散时间信号 \(x[n]\) 可以看作是理想采样信号 \(x_s(t)\) 的采样值序列 \(x[n] = x_c(nT_s)\)。

③ 奈奎斯特采样定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) 📜

奈奎斯特采样定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) 指出了在无失真地从采样信号恢复原始连续时间信号所需的最小采样频率。定理内容为：

如果连续时间信号 \(x_c(t)\) 的最高频率分量为 \(f_m\) (即信号的频谱 \(X_c(j\omega)\) 在 \(|\omega| > 2\pi f_m\) 时为零)，为了能够从采样信号 \(x[n]\) 无失真地恢复 \(x_c(t)\)，采样频率 \(f_s\) 必须满足：
\[ f_s \ge 2f_m \]
或等价地，采样周期 \(T_s\) 必须满足：
\[ T_s \le \frac{1}{2f_m} \]
最小采样频率 \(f_{Nyquist} = 2f_m\) 称为奈奎斯特频率 (Nyquist frequency) 或奈奎斯特率 (Nyquist rate)。当采样频率满足奈奎斯特采样定理时，可以通过理想低通滤波器 (理想重构滤波器) 从采样信号中完全恢复原始信号。

④ 频谱混叠 (aliasing) 👻

当采样频率 \(f_s\) 低于奈奎斯特频率 \(2f_m\) 时，采样后信号的频谱会发生混叠 (aliasing) 现象。频谱混叠是指原始信号的高频成分在采样后与低频成分混叠在一起，导致无法通过滤波等方法恢复原始信号。频谱混叠是采样过程中产生信息损失的根本原因。

为了避免频谱混叠，在采样前通常需要对连续时间信号进行抗混叠滤波 (anti-aliasing filtering)，即使用低通滤波器滤除高于 \(f_s/2\) 的频率成分，然后再进行采样。实际应用中，采样频率通常会选择略高于奈奎斯特频率，以留有一定的裕量。

⑤ 信号重构 (signal reconstruction) 🏗️

当采样频率满足奈奎斯特采样定理时，可以通过信号重构 (signal reconstruction) 从采样信号 \(x[n]\) 恢复原始连续时间信号 \(x_c(t)\)。理想重构可以通过理想低通滤波器实现。设采样信号的频谱为 \(X(e^{j\omega})\)，理想重构滤波器的频率响应为：
\[ H_r(j\omega) = \begin{cases} T_s, & |\omega| \le \pi/T_s \\ 0, & |\omega| > \pi/T_s \end{cases} \]
则重构信号 \(x_r(t)\) 的傅里叶变换 \(X_r(j\omega)\) 为：
\[ X_r(j\omega) = X(e^{j\omega T_s}) H_r(j\omega) \]
在满足奈奎斯特采样定理的条件下，\(X_r(j\omega) = X_c(j\omega)\)，即重构信号 \(x_r(t)\) 与原始信号 \(x_c(t)\) 完全相同。

实际应用中，理想重构滤波器是无法物理实现的，通常使用近似的重构滤波器，例如零阶保持器 (zero-order hold) 或线性插值器 (linear interpolator)。

⑥ 采样定理的应用 💡

采样定理是数字信号处理的基础，广泛应用于：

⚝ 音频信号数字化：例如 CD 音频采样率 44.1kHz，满足人耳听觉范围 (最高约 20kHz) 的奈奎斯特采样定理。
⚝ 图像信号数字化：例如数码相机、数字电视等图像采集设备。
⚝ 通信系统：模拟信号数字化传输、数字调制解调等。
⚝ 数据采集系统：传感器信号采集、工业过程监控等。

8.3.2 离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)

介绍 DTFT 及其性质。

① DTFT 的定义 ✍️

离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time Fourier Transform, DTFT) 是傅里叶分析在离散时间信号上的应用，用于分析离散时间信号的频谱成分。对于离散时间信号 \(x[n]\)，其 DTFT \(X(e^{j\omega}) = \mathcal{DTFT}\{x[n]\}\) 定义为：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \]
\(X(e^{j\omega})\) 是关于 \(\omega\) 的周期为 \(2\pi\) 的连续函数，称为离散时间信号 \(x[n]\) 的频谱。由于 \(e^{j\omega}\) 是周期函数，因此 \(X(e^{j\omega})\) 也是周期函数。

反离散时间傅里叶变换 (Inverse Discrete-Time Fourier Transform, IDTFT) 用于从频谱 \(X(e^{j\omega})\) 恢复原始离散时间信号 \(x[n]\)：
\[ x[n] = \mathcal{DTFT}^{-1}\{X(e^{j\omega})\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega \]
DTFT 对 \((x[n], X(e^{j\omega}))\) 构成了离散时间信号的时域表示和频域表示之间的桥梁。通常用符号 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\) 表示 DTFT 对。

② DTFT 存在的条件 📝

离散时间信号 \(x[n]\) 存在 DTFT 的充分条件 (非必要条件) 是 \(x[n]\) 绝对可和，即：
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| < \infty \]
能量有限的离散时间信号 (能量信号) 都满足 DTFT 存在的条件。

③ 常用序列的 DTFT 📚

⚝ 单位冲激序列：\(\delta[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} 1\)
⚝ 单位阶跃序列：\(u[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} + \pi\delta(\omega)\), \(|\omega| \le \pi\) (周期延拓)
⚝ 复指数序列：\(a^n u[n]\) (\(|a| < 1\)) \(\stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1-ae^{-j\omega}}\)
⚝ 矩形序列：\(R_N[n] = \begin{cases} 1, & 0 \le n \le N-1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega(N-1)/2} \frac{\sin(\omega N/2)}{\sin(\omega/2)}\)

④ DTFT 的性质 ⚙️

DTFT 具有许多重要性质，与连续时间傅里叶变换的性质类似。

⚝ 线性性 (linearity)：如果 \(x_1[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X_1(e^{j\omega})\) 和 \(x_2[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X_2(e^{j\omega})\)，则对于任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\)，有 \(c_1x_1[n] + c_2x_2[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} c_1X_1(e^{j\omega}) + c_2X_2(e^{j\omega})\)。
⚝ 时移性 (time shifting)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\)，则 \(x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega}) e^{-j\omega n_0}\)。
⚝ 频移性 (frequency shifting) (调制性质)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\)，则 \(x[n]e^{j\omega_0 n} \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})\)。
⚝ 时间反褶 (time reversal)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\)，则 \(x[-n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{-j\omega})\)。
⚝ 共轭对称性 (conjugation)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\)，则 \(x^*[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})\)。
⚝ 差分性质 (differentiation in time domain) (一阶后向差分)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\)，则 \(x[n] - x[n-1] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} (1 - e^{-j\omega})X(e^{j\omega})\)。
⚝ 累加性质 (accumulation) (时域积分)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\)，则 \(\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega}) + \pi X(e^{j0})\delta(\omega)\), \(|\omega| \le \pi\) (周期延拓)。
⚝ 卷积定理 (convolution theorem)：时域卷积对应频域乘积：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\) 和 \(h[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} H(e^{j\omega})\)，则 \(y[n] = (x * h)[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\)。
⚝ 乘积定理 (multiplication theorem) (频域卷积定理)：时域乘积对应频域周期卷积 (尺度变换)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j\omega})\) 和 \(h[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} H(e^{j\omega})\)，则 \(y[n] = x[n]h[n] \stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow} Y(e^{j\omega}) = \frac{1}{2\pi}(X \circledast H)(e^{j\omega}) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\theta})H(e^{j(\omega-\theta)}) d\theta\)。
⚝ 帕塞瓦尔定理 (Parseval's theorem) (能量守恒定理)：离散时间信号 \(x[n]\) 的能量等于其频谱 \(X(e^{j\omega})\) 的能量 (尺度变换)：
\[ E_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega = \frac{1}{2\pi} E_X \]

⑤ DTFT 的应用 🚀

DTFT 是离散时间信号处理的基本工具，广泛应用于：

⚝ 离散时间信号频谱分析：分析数字音频、数字图像、数字通信信号等的频谱成分。
⚝ 数字滤波器设计：在频域设计数字滤波器，例如 FIR 滤波器、IIR 滤波器。
⚝ 离散时间系统分析：LTI 离散时间系统的频率响应分析、系统稳定性分析。
⚝ 数字通信系统：数字调制解调、信道均衡、频谱分析等。
⚝ 音频和图像处理：数字音频滤波、图像增强、图像压缩等。

8.3.3 Z 变换 (Z-transform)

介绍 Z 变换及其性质，收敛域。

① Z 变换的定义 ✍️

Z 变换 (Z-transform) 是拉普拉斯变换在离散时间信号中的对应，用于分析更广泛的离散时间信号和系统，特别是对于不满足 DTFT 存在条件的序列，以及分析系统的瞬态响应和稳定性。对于离散时间信号 \(x[n]\)，其单边 Z 变换 \(X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}\) 定义为：
\[ X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \]
其中 \(z\) 是复变量。Z 变换将时域序列 \(x[n]\) 变换为复频域函数 \(X(z)\)。

双边 Z 变换 (bilateral Z-transform) 定义为：
\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \]
本书主要讨论单边 Z 变换。

反 Z 变换 (inverse Z-transform) 用于从复频域函数 \(X(z)\) 恢复时域序列 \(x[n]\)：
\[ x[n] = \mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz \]
其中 \(C\) 是在 \(X(z)\) 的收敛域 (ROC) 内围绕原点的逆时针闭合积分路径。Z 变换对 \((x[n], X(z))\) 构成了离散时间信号的时域表示和复频域表示之间的桥梁。通常用符号 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\) 表示 Z 变换对。

② 收敛域 (ROC) 🌏

收敛域 (Region of Convergence, ROC) 是指复平面上使得 Z 变换级数收敛的 \(z\) 值区域。对于不同的序列，收敛域可能不同。收敛域对于 Z 变换的唯一性和反变换至关重要。常见的收敛域类型包括圆内区域、圆外区域、环状区域等。

对于因果序列 (causal sequence) (即 \(x[n] = 0\) for \(n < 0\))，其 Z 变换的收敛域总是圆外区域，即 \(|z| > R\)，其中 \(R\) 是收敛半径 (radius of convergence)。

③ 常用序列的 Z 变换 📚

⚝ 单位冲激序列：\(\delta[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} 1\), ROC: 全平面 (除了 \(z=0\) 和 \(z=\infty\) 对于双边 Z 变换)
⚝ 单位阶跃序列：\(u[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{z-1} = \frac{1}{1-z^{-1}}\), ROC: \(|z| > 1\)
⚝ 指数序列：\(a^n u[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-az^{-1}}\), ROC: \(|z| > |a|\)
⚝ 斜坡序列：\(nu[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{(z-1)^2} = \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}\), ROC: \(|z| > 1\)
⚝ 正弦序列：\(\sin(\omega_0 n)u[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z\sin(\omega_0)}{z^2 - 2z\cos(\omega_0) + 1}\), ROC: \(|z| > 1\)
⚝ 余弦序列：\(\cos(\omega_0 n)u[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z(z-\cos(\omega_0))}{z^2 - 2z\cos(\omega_0) + 1}\), ROC: \(|z| > 1\)

④ Z 变换的性质 ⚙️

Z 变换也具有许多重要性质，类似于拉普拉斯变换和 DTFT 的性质。

⚝ 线性性 (linearity)：如果 \(x_1[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X_1(z)\) 和 \(x_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X_2(z)\)，则对于任意常数 \(c_1\) 和 \(c_2\)，有 \(c_1x_1[n] + c_2x_2[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} c_1X_1(z) + c_2X_2(z)\), ROC 至少为 \(ROC_{X_1} \cap ROC_{X_2}\)。
⚝ 时移性 (time shifting)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\)，则 \(x[n-n_0] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}X(z)\), ROC 与 \(X(z)\) 相同 (可能排除 \(z=0\) 或 \(z=\infty\))。
⚝ z 域尺度变换 (z-domain scaling) (序列乘以指数序列)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\)，则 \(a^n x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z/a)\), ROC 为 \(ROC_X\) 尺度变换为 \(|a|\)。
⚝ 时域反褶 (time reversal)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\)，则 \(x[-n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z^{-1})\), ROC 为 \(ROC_X\) 反转。
⚝ 差分性质 (differentiation in time domain) (一阶前向差分)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\)，则 \(x[n+1] - x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} (z-1)X(z) - zx[0]\)。对于零初始条件，\(x[n+1] - x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} (z-1)X(z)\)。
⚝ 累加性质 (accumulation) (时域积分)：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\)，则 \(\sum_{k=0}^{n} x[k] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{z-1}X(z) = \frac{1}{1-z^{-1}}X(z)\), ROC 包含 \(ROC_X \cap |z| > 1\)。
⚝ 卷积定理 (convolution theorem)：时域卷积对应 z 域乘积：如果 \(x[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)\) 和 \(h[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} H(z)\)，则 \(y[n] = (x * h)[n] \stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} Y(z) = X(z)H(z)\), ROC 至少为 \(ROC_X \cap ROC_H\)。
⚝ 初值定理 (initial value theorem)：如果 \(\lim_{z \to \infty} X(z)\) 存在，则 \(x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)\)。
⚝ 终值定理 (final value theorem)：如果 \(\lim_{n \to \infty} x[n]\) 存在，且 \((z-1)X(z)\) 的所有极点都位于单位圆内 (除了可能在 \(z=1\) 有一个简单极点)，则 \(\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z-1)X(z)\)。

⑤ 系统函数 (system function) 与系统分析 ⚙️

对于离散时间 LTI 系统，其系统函数 (system function) \(H(z)\) 定义为系统单位冲激响应 \(h[n]\) 的 Z 变换：
\[ H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\} \]
系统函数 \(H(z)\) 也等于系统输出 \(Y(z)\) 的 Z 变换与输入 \(X(z)\) 的 Z 变换之比 (在零初始条件下)：
\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]
系统函数 \(H(z)\) 完全表征了离散时间 LTI 系统的特性，包括：

⚝ 系统稳定性：LTI 系统稳定的充要条件是其系统函数 \(H(z)\) 的所有极点都位于单位圆内。
⚝ 系统因果性：对于因果 LTI 系统，其系统函数 \(H(z)\) 的收敛域是单位圆外区域。
⚝ 系统频率响应：系统的频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 可以通过将系统函数 \(H(z)\) 中的 \(z\) 替换为 \(e^{j\omega}\) 得到，即 \(H(e^{j\omega}) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}\)。

Z 变换和系统函数是分析和设计离散时间 LTI 系统的强大工具，广泛应用于数字信号处理、数字控制系统、数字通信系统等领域。例如，在数字滤波器设计中，可以用 Z 变换分析滤波器的频率响应、设计滤波器的系数；在数字控制系统中，可以用系统函数分析系统的稳定性、设计控制器。

8.3.4 离散时间系统的频域分析 (Frequency-Domain Analysis of Discrete-Time Systems)

介绍利用 Z 变换分析离散时间系统的频率响应。

① 离散时间系统的频率响应 🎧

对于离散时间 LTI 系统，其频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 定义为系统对复指数序列 \(e^{j\omega n}\) 的稳态响应与输入序列之比。当输入为 \(x[n] = e^{j\omega n}\) 时，输出为 \(y[n] = H(e^{j\omega})e^{j\omega n}\)。频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 是关于 \(\omega\) 的周期为 \(2\pi\) 的复函数，可以表示为幅度响应 \(|H(e^{j\omega})|\) 和相位响应 \(\angle H(e^{j\omega})\) 的形式：
\[ H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})| e^{j\angle H(e^{j\omega})} \]
⚝ 幅度响应 (magnitude response) \(|H(e^{j\omega})|\) 表示系统对不同频率分量的放大或衰减程度。
⚝ 相位响应 (phase response) \(\angle H(e^{j\omega})\) 表示系统对不同频率分量的相位移动。

频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 完全表征了离散时间 LTI 系统在频域的特性。

② 频率响应与系统函数的关系 🔗

离散时间 LTI 系统的频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 可以通过系统函数 \(H(z)\) 在单位圆上取值得到，即：
\[ H(e^{j\omega}) = H(z)|_{z=e^{j\omega}} \]
前提是系统函数 \(H(z)\) 的收敛域包含单位圆。由于因果稳定系统的极点都位于单位圆内，因此对于因果稳定系统，其系统函数 \(H(z)\) 的收敛域包含单位圆，频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 存在。

反之，系统函数 \(H(z)\) 是频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 的 Z 变换，但通常通过单位冲激响应 \(h[n]\) 的 Z 变换来求系统函数。

③ 系统输出的频域表示 📤

利用卷积定理，离散时间 LTI 系统的输出 \(y[n]\) 的 DTFT \(Y(e^{j\omega})\) 可以表示为输入序列 \(x[n]\) 的 DTFT \(X(e^{j\omega})\) 与系统频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 的乘积：
\[ Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) \]
这个关系式是离散时间 LTI 系统频域分析的基础。通过频域分析，可以将复杂的时域卷积运算转化为简单的频域乘积运算，大大简化了系统分析的难度。

④ 理想数字滤波器的频率响应 🎛️

理想数字滤波器 (ideal digital filter) 是在离散时间系统中实现的理想滤波器，与连续时间理想滤波器类似，包括理想低通滤波器、理想高通滤波器、理想带通滤波器和理想带阻滤波器。数字滤波器的频率响应是关于 \(\omega\) 的周期为 \(2\pi\) 的周期函数。

⚝ 理想数字低通滤波器 (ideal digital low-pass filter)：
\[ H_{LP}(e^{j\omega}) = \begin{cases} 1, & |\omega| \le \omega_c \\ 0, & \omega_c < |\omega| \le \pi \end{cases} \]
在 \(\omega = 2\pi k\) (\(k\) 为整数) 处周期延拓。

⚝ 理想数字高通滤波器 (ideal digital high-pass filter)：
\[ H_{HP}(e^{j\omega}) = \begin{cases} 0, & |\omega| \le \omega_c \\ 1, & \omega_c < |\omega| \le \pi \end{cases} \]
在 \(\omega = 2\pi k\) (\(k\) 为整数) 处周期延拓。

⚝ 理想数字带通滤波器 (ideal digital band-pass filter)：
\[ H_{BP}(e^{j\omega}) = \begin{cases} 1, & \omega_1 \le |\omega| \le \omega_2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]
在 \(\omega = 2\pi k\) (\(k\) 为整数) 处周期延拓，其中 \([\omega_1, \omega_2]\) 是通带，且 \(0 \le \omega_1 < \omega_2 \le \pi\)。

⚝ 理想数字带阻滤波器 (ideal digital band-stop filter)：
\[ H_{BS}(e^{j\omega}) = \begin{cases} 0, & \omega_1 \le |\omega| \le \omega_2 \\ 1, & \text{otherwise} \end{cases} \]
在 \(\omega = 2\pi k\) (\(k\) 为整数) 处周期延拓，其中 \([\omega_1, \omega_2]\) 是阻带 (stopband)，且 \(0 \le \omega_1 < \omega_2 \le \pi\)。

⑤ 数字滤波器的频率响应表示 📈

数字滤波器的频率响应通常用幅度响应 \(|H(e^{j\omega})|\) 和相位响应 \(\angle H(e^{j\omega})\) 的图形表示。幅度响应通常用分贝 (dB) 单位 \(20\log_{10}|H(e^{j\omega})|\) 表示。频率 \(\omega\) 通常在 \([0, \pi]\) 或 \([-\pi, \pi]\) 范围内表示，因为频率响应是周期为 \(2\pi\) 的周期函数。

数字滤波器的频率响应特性是滤波器设计和性能分析的重要依据。

8.3.5 数字滤波器 (Digital Filters)

介绍有限长单位冲激响应 (Finite Impulse Response, FIR) 滤波器和无限长单位冲激响应 (Infinite Impulse Response, IIR) 滤波器的设计。

① 数字滤波器的分类 🗂️

数字滤波器 (digital filter) 是利用数字计算技术对离散时间信号进行滤波处理的系统。根据单位冲激响应的持续时间，数字滤波器可以分为：

⚝ 有限长单位冲激响应滤波器 (Finite Impulse Response filter, FIR 滤波器)：FIR 滤波器的单位冲激响应 \(h[n]\) 是有限长的，即只有有限个非零值。FIR 滤波器的特点是：
▮▮▮▮⚝ 总是稳定的。
▮▮▮▮⚝ 可以实现线性相位特性。
▮▮▮▮⚝ 设计相对简单。
▮▮▮▮⚝ 实现相同的滤波性能，阶数可能较高。

⚝ 无限长单位冲激响应滤波器 (Infinite Impulse Response filter, IIR 滤波器)：IIR 滤波器的单位冲激响应 \(h[n]\) 是无限长的。IIR 滤波器的特点是：
▮▮▮▮⚝ 可能不稳定。
▮▮▮▮⚝ 难以实现严格线性相位。
▮▮▮▮⚝ 设计相对复杂。
▮▮▮▮⚝ 实现相同的滤波性能，阶数可以较低，计算效率较高。

② FIR 滤波器设计 🛠️

常用的 FIR 滤波器设计方法包括：

⚝ 窗函数设计法 (window design method)：
1. 根据理想滤波器的频率响应 \(H_d(e^{j\omega})\) (例如理想低通滤波器)，计算其反 DTFT 得到理想单位冲激响应 \(h_d[n]\)。
2. 选择合适的窗函数 \(w[n]\) (例如矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等)，截取 \(h_d[n]\) 得到有限长单位冲激响应 \(h[n] = h_d[n]w[n]\)。
3. FIR 滤波器的频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 是 \(h[n]\) 的 DTFT。

窗函数设计法的优点是设计简单，缺点是过渡带较宽，阻带衰减有限。

⚝ 频率采样设计法 (frequency sampling design method)：
1. 在频域均匀采样理想频率响应 \(H_d(e^{j\omega})\) 得到采样值 \(H_k = H_d(e^{j2\pi k/N})\), \(k = 0, 1, \ldots, N-1\)。
2. 通过 IDTFT 计算得到 FIR 滤波器的单位冲激响应 \(h[n]\)：
\[ h[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} H_k e^{j2\pi kn/N}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1 \]
3. FIR 滤波器的频率响应 \(H(e^{j\omega})\) 是 \(h[n]\) 的 DTFT。

频率采样设计法的优点是设计灵活，可以精确控制某些频率点的响应，缺点是频率响应在采样点之间可能存在较大波动，过渡带特性较差。

⚝ 最优 FIR 滤波器设计法 (Parks-McClellan 算法)：利用切比雪夫 (Chebyshev) 逼近理论，在通带和阻带内分别设置期望的幅度响应和允许的误差，通过迭代算法 (例如 Parks-McClellan 算法) 设计出在通带和阻带内具有最小最大误差的 FIR 滤波器。最优 FIR 滤波器设计法可以得到性能最优的 FIR 滤波器，但设计过程相对复杂。

③ IIR 滤波器设计 🛠️

常用的 IIR 滤波器设计方法主要基于模拟滤波器原型 (analog filter prototype) 变换而来。首先设计具有所需特性的模拟滤波器，然后通过一定的变换方法将模拟滤波器转换为数字滤波器。常用的变换方法包括：

⚝ 脉冲响应不变法 (impulse invariance method)：
1. 设计满足指标的模拟滤波器 \(H_a(s)\)。
2. 计算模拟滤波器的单位冲激响应 \(h_a(t)\)。
3. 对 \(h_a(t)\) 进行采样得到离散时间序列 \(h[n] = T_s h_a(nT_s)\)，其中 \(T_s\) 是采样周期。
4. IIR 滤波器的系统函数 \(H(z)\) 是 \(h[n]\) 的 Z 变换。

脉冲响应不变法的优点是设计简单，时域响应与模拟滤波器相似，缺点是频率响应可能发生混叠，不适用于设计高通和带阻滤波器。

⚝ 双线性变换法 (bilinear transformation method)：
1. 设计满足指标的模拟滤波器 \(H_a(s)\)。
2. 通过双线性变换 \(s = \frac{2}{T_s} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\) 将模拟滤波器系统函数 \(H_a(s)\) 转换为数字滤波器系统函数 \(H(z)\)：
\[ H(z) = H_a\left(\frac{2}{T_s} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right) \]
3. 确定数字滤波器系数。

双线性变换法的优点是频率响应不发生混叠，模拟滤波器的稳定数字滤波器也稳定，可以设计各种类型的数字滤波器，缺点是频率轴发生非线性压缩 (频率弯曲 (frequency warping))，需要进行预补偿。

常用的模拟滤波器原型包括巴特沃斯滤波器 (Butterworth filter)、切比雪夫滤波器 (Chebyshev filter)、椭圆滤波器 (Elliptic filter) 等。

④ 数字滤波器的实现结构 🏗️

数字滤波器可以用多种结构实现，常见的 FIR 滤波器实现结构包括：

⚝ 直接型 (direct form)
⚝ 级联型 (cascade form)
⚝ 线性相位型 (linear-phase form)
⚝ 频率采样型 (frequency-sampling form)

常见的 IIR 滤波器实现结构包括：

⚝ 直接型 I 型 (direct form I)
⚝ 直接型 II 型 (direct form II) (典范型 (canonical form))
⚝ 级联型 (cascade form)
⚝ 并联型 (parallel form)

不同的实现结构在计算复杂度、存储量、量化噪声特性等方面有所不同，需要根据具体应用选择合适的实现结构。

8.4 信号处理应用实例 (Examples of Signal Processing Applications)

通过实例介绍信号处理在实际工程中的应用，如音频信号处理、图像信号处理、通信信号处理等。

8.4.1 音频信号处理 (Audio Signal Processing)

介绍音频信号的采集、分析、滤波和压缩。

① 音频信号的采集 🎤

音频信号 (audio signal) 是指人耳可以听到的声音信号，频率范围通常在 20Hz 到 20kHz 之间。音频信号的采集 (audio acquisition) 是将声音转换为电信号的过程，通常使用麦克风 (microphone) 作为传感器。麦克风将声波的振动转换为模拟电信号。

为了将模拟音频信号转换为数字音频信号，需要进行采样、量化和编码等步骤。采样过程按照奈奎斯特采样定理进行，采样率通常选择 44.1kHz (CD 音频) 或 48kHz (数字音频工作站)。量化是将连续幅度的采样值离散化为有限个量化级别的过程，量化位数 (bit depth) 决定了音频信号的动态范围和精度，例如 16 位、24 位等。编码是将量化后的数字信号按照一定的格式进行存储和传输，例如 PCM 编码。

② 音频信号的分析 🎵

音频信号分析 (audio signal analysis) 是指对音频信号进行频谱分析、特征提取等处理，以便于理解和应用音频信号。常用的音频信号分析方法包括：

⚝ 频谱分析：利用傅里叶变换 (例如快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT)) 分析音频信号的频谱成分，例如频谱图 (spectrogram) 可以显示音频信号频率随时间变化的情况。
⚝ 时域分析：分析音频信号的时域波形，例如幅度、能量、过零率等时域特征。
⚝ 特征提取：提取音频信号的 Mel 频率倒谱系数 (Mel-Frequency Cepstral Coefficients, MFCCs)、线性预测编码 (Linear Predictive Coding, LPC) 系数等特征，用于音频识别、语音识别、音乐信息检索等应用。

③ 音频信号的滤波 🎧

音频信号滤波 (audio signal filtering) 是指利用数字滤波器对音频信号进行频率选择性处理，例如去除噪声、均衡音色、提取特定频率成分等。常用的音频滤波器包括：

⚝ 均衡器 (equalizer)：用于调整音频信号在不同频段的幅度，改变音色。
⚝ 噪声滤波器 (noise filter)：用于降低音频信号中的噪声，提高信噪比 (Signal-to-Noise Ratio, SNR)。
⚝ 带通滤波器 (band-pass filter)：用于提取特定频段的音频信号，例如人声频段提取。
⚝ 低通滤波器 (low-pass filter)：用于去除高频噪声或限制音频信号的带宽。
⚝ 高通滤波器 (high-pass filter)：用于去除低频噪声或直流分量。

④ 音频信号的压缩 💾

音频信号压缩 (audio signal compression) 是指在保证一定音质的前提下，减小音频信号的数据量，以便于存储和传输。音频压缩技术可以分为：

⚝ 无损压缩 (lossless compression)：压缩后的数据可以完全恢复原始数据，例如 FLAC、APE、WAVPack 等格式。无损压缩的压缩比通常较低，约为 2:1 左右。
⚝ 有损压缩 (lossy compression)：压缩过程中会丢失一部分信息，但可以获得较高的压缩比，例如 MP3、AAC、Ogg Vorbis 等格式。有损压缩的压缩比通常较高，可达 10:1 甚至更高。

常用的音频压缩编码方法包括：

⚝ 时域编码：例如脉冲编码调制 (PCM)、差分脉冲编码调制 (DPCM)、自适应差分脉冲编码调制 (ADPCM) 等。
⚝ 频域编码：例如变换编码 (transform coding)，如 MP3、AAC 等格式采用的改进离散余弦变换 (Modified Discrete Cosine Transform, MDCT)。
⚝ 参数编码：例如语音编码中常用的线性预测编码 (LPC)、码激励线性预测 (Code-Excited Linear Prediction, CELP) 等。