006 《力学原理与工程结构分析 (Mechanics Principles and Structural Analysis)》

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书籍大纲

▮▮ 1. 绪论 (Introduction)
▮▮▮▮ 1.1 力学与结构分析概述 (Overview of Mechanics and Structural Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.1 力学的定义与分支 (Definition and Branches of Mechanics)
▮▮▮▮▮▮ 1.1.2 结构分析的目的与意义 (Purpose and Significance of Structural Analysis)
▮▮▮▮ 1.2 工程结构分析的重要性 (Importance of Structural Analysis in Engineering)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.1 结构分析在不同工程领域的应用 (Applications in Various Engineering Fields)
▮▮▮▮▮▮ 1.2.2 结构分析对工程安全与经济性的影响 (Impact on Engineering Safety and Economy)
▮▮▮▮ 1.3 本书结构与学习方法 (Book Structure and Learning Methods)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.1 章节内容概要 (Chapter Content Summary)
▮▮▮▮▮▮ 1.3.2 学习建议与资源推荐 (Learning Suggestions and Resource Recommendations)
▮▮ 2. 力学基本原理 (Fundamental Principles of Mechanics)
▮▮▮▮ 2.1 静力学基础 (Fundamentals of Statics)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.1 力与力系 (Force and Force Systems)
▮▮▮▮▮▮ 2.1.2 平衡条件与自由体图 (Equilibrium Conditions and Free Body Diagram)
▮▮▮▮ 2.2 动力学基础 (Fundamentals of Dynamics)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.1 运动学 (Kinematics)
▮▮▮▮▮▮ 2.2.2 动力学 (Kinetics) 与运动定律 (Laws of Motion)
▮▮▮▮ 2.3 材料力学性能 (Mechanical Properties of Materials)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.1 应力与应变 (Stress and Strain)
▮▮▮▮▮▮ 2.3.2 弹性、塑性与本构关系 (Elasticity, Plasticity, and Constitutive Relations)
▮▮ 3. 杆件的力学分析 (Mechanics Analysis of Bars)
▮▮▮▮ 3.1 轴向拉伸与压缩 (Axial Tension and Compression)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.1 正应力与轴向变形 (Normal Stress and Axial Deformation)
▮▮▮▮▮▮ 3.1.2 强度与刚度条件 (Strength and Stiffness Conditions)
▮▮▮▮ 3.2 扭转 (Torsion)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.1 扭转剪应力与扭转角 (Torsional Shear Stress and Angle of Twist)
▮▮▮▮▮▮ 3.2.2 扭转强度与刚度 (Torsional Strength and Stiffness)
▮▮▮▮ 3.3 弯曲 (Bending)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.1 弯曲正应力与剪应力 (Bending Normal Stress and Shear Stress)
▮▮▮▮▮▮ 3.3.2 梁的挠度计算 (Deflection Calculation of Beams)
▮▮▮▮ 3.4 组合变形 (Combined Deformations)
▮▮▮▮▮▮ 3.4.1 叠加原理 (Superposition Principle)
▮▮▮▮▮▮ 3.4.2 强度理论 (Strength Theories)
▮▮ 4. 结构分析基础 (Fundamentals of Structural Analysis)
▮▮▮▮ 4.1 结构类型与特点 (Types and Characteristics of Structures)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.1 梁、桁架、框架 (Beams, Trusses, Frames)
▮▮▮▮▮▮ 4.1.2 拱、索、壳 (Arches, Cables, Shells)
▮▮▮▮ 4.2 支座与荷载 (Supports and Loads)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.1 支座类型与约束 (Types of Supports and Constraints)
▮▮▮▮▮▮ 4.2.2 荷载类型与分类 (Types and Classification of Loads)
▮▮▮▮ 4.3 结构的静定与超静定 (Determinacy and Indeterminacy of Structures)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.1 静定结构的判别 (Determination of Statically Determinate Structures)
▮▮▮▮▮▮ 4.3.2 超静定结构的特点 (Characteristics of Statically Indeterminate Structures)
▮▮ 5. 静定结构分析 (Analysis of Statically Determinate Structures)
▮▮▮▮ 5.1 静定梁的分析 (Analysis of Statically Determinate Beams)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.1 支座反力计算 (Support Reaction Calculation)
▮▮▮▮▮▮ 5.1.2 剪力图与弯矩图 (Shear Force and Bending Moment Diagrams)
▮▮▮▮ 5.2 静定桁架的分析 (Analysis of Statically Determinate Trusses)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.1 节点法 (Method of Joints)
▮▮▮▮▮▮ 5.2.2 截面法 (Method of Sections)
▮▮▮▮ 5.3 静定框架的分析 (Analysis of Statically Determinate Frames)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.1 分解法与直接法 (Decomposition Method and Direct Method)
▮▮▮▮▮▮ 5.3.2 框架内力图 (Internal Force Diagrams of Frames)
▮▮ 6. 超静定结构分析 (Analysis of Statically Indeterminate Structures)
▮▮▮▮ 6.1 力法 (Force Method)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.1 力法基本原理与基本体系 (Basic Principles and Primary Structure of Force Method)
▮▮▮▮▮▮ 6.1.2 力法方程的建立与求解 (Establishment and Solution of Force Method Equations)
▮▮▮▮ 6.2 位移法 (Displacement Method)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.1 位移法基本思想与基本未知量 (Basic Ideas and Primary Unknowns of Displacement Method)
▮▮▮▮▮▮ 6.2.2 位移法方程的建立与求解 (Establishment and Solution of Displacement Method Equations)
▮▮▮▮ 6.3 力法与位移法的比较 (Comparison of Force Method and Displacement Method)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.1 方法特点对比 (Comparison of Method Characteristics)
▮▮▮▮▮▮ 6.3.2 方法选择建议 (Method Selection Suggestions)
▮▮ 7. 能量法 (Energy Methods)
▮▮▮▮ 7.1 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.1 虚功原理的内容与推导 (Content and Derivation of Principle of Virtual Work)
▮▮▮▮▮▮ 7.1.2 虚功原理的应用 (Applications of Principle of Virtual Work)
▮▮▮▮ 7.2 最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.1 最小势能原理的内容与物理意义 (Content and Physical Meaning of Principle of Minimum Potential Energy)
▮▮▮▮▮▮ 7.2.2 最小势能原理的应用 (Applications of Principle of Minimum Potential Energy)
▮▮▮▮ 7.3 卡氏定理 (Castigliano's Theorems)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.1 卡氏第一定理与第二定理 (Castigliano's First and Second Theorems)
▮▮▮▮▮▮ 7.3.2 卡氏定理的应用 (Applications of Castigliano's Theorems)
▮▮ 8. 有限元法基础 (Fundamentals of Finite Element Method)
▮▮▮▮ 8.1 有限元法基本概念 (Basic Concepts of Finite Element Method)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.1 有限元法的基本思想与发展 (Basic Ideas and Development of Finite Element Method)
▮▮▮▮▮▮ 8.1.2 有限元法的应用领域与优势 (Application Fields and Advantages of Finite Element Method)
▮▮▮▮ 8.2 有限元法基本步骤 (Basic Steps of Finite Element Method)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.1 前处理：模型建立与网格划分 (Pre-processing: Model Building and Mesh Generation)
▮▮▮▮▮▮ 8.2.2 求解与后处理 (Solution and Post-processing)
▮▮▮▮ 8.3 单元类型与形函数 (Element Types and Shape Functions)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.1 常用单元类型 (Common Element Types)
▮▮▮▮▮▮ 8.3.2 形函数的概念与构造 (Concepts and Construction of Shape Functions)
▮▮ 9. 结构动力分析基础 (Fundamentals of Structural Dynamics)
▮▮▮▮ 9.1 动力分析基本概念 (Basic Concepts of Dynamic Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.1 动力荷载与动力响应 (Dynamic Loads and Dynamic Responses)
▮▮▮▮▮▮ 9.1.2 结构动力分析的目的与意义 (Purpose and Significance of Structural Dynamic Analysis)
▮▮▮▮ 9.2 单自由度体系动力分析 (Dynamic Analysis of Single Degree of Freedom Systems)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.1 运动方程与自由振动 (Equation of Motion and Free Vibration)
▮▮▮▮▮▮ 9.2.2 强迫振动与共振 (Forced Vibration and Resonance)
▮▮▮▮ 9.3 多自由度体系动力分析 (Dynamic Analysis of Multi Degree of Freedom Systems)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.1 运动方程与模态分析 (Equation of Motion and Modal Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 9.3.2 反应谱分析 (Response Spectrum Analysis)
▮▮ 10. 结构稳定分析基础 (Fundamentals of Structural Stability Analysis)
▮▮▮▮ 10.1 稳定分析基本概念 (Basic Concepts of Stability Analysis)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.1 结构稳定性与失稳形式 (Structural Stability and Buckling Modes)
▮▮▮▮▮▮ 10.1.2 临界荷载与稳定系数 (Critical Load and Stability Factor)
▮▮▮▮ 10.2 压杆稳定 (Column Buckling)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.1 欧拉公式与临界应力 (Euler's Formula and Critical Stress)
▮▮▮▮▮▮ 10.2.2 有效长度系数与压杆设计 (Effective Length Factor and Column Design)
▮▮▮▮ 10.3 梁和框架的稳定 (Stability of Beams and Frames)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.1 梁的侧向弯扭屈曲 (Lateral Torsional Buckling of Beams)
▮▮▮▮▮▮ 10.3.2 框架的整体稳定 (Overall Stability of Frames)
▮▮ 附录A: 常用材料力学性能参数 (Mechanical Properties of Common Materials)
▮▮ 附录B: 常用截面几何性质 (Geometric Properties of Common Cross-Sections)
▮▮ 附录C: 结构分析常用公式汇总 (Summary of Common Formulas for Structural Analysis)
▮▮ 附录D: 有限元分析软件简介 (Introduction to Finite Element Analysis Software)

1. 绪论 (Introduction)

1.1 力学与结构分析概述 (Overview of Mechanics and Structural Analysis)

1.1.1 力学的定义与分支 (Definition and Branches of Mechanics)

力学 (Mechanics) 是研究物体在力的作用下运动和平衡规律的科学。更具体地说，力学关注的是力、运动以及物体形状和材料特性之间的相互作用。它是一门历史悠久且应用广泛的学科，是物理学和工程学的重要基础。

力学主要可以分为以下几个主要分支：

① 静力学 (Statics)：
▮▮▮▮静力学是力学的一个分支，主要研究物体在静止状态或匀速运动状态下的平衡条件。它关注的是作用在物体上的力系，以及如何通过力的平衡来分析和解决工程问题。静力学是结构分析的基础，例如，桥梁、建筑物等结构的稳定性分析就离不开静力学的原理。
▮▮▮▮静力学核心概念包括：
▮▮▮▮ⓐ 力 (Force)：力是物体之间相互作用的矢量，是改变物体运动状态或形状的原因。力的单位是牛顿 (Newton, N)。
▮▮▮▮ⓑ 力系 (Force System)：作用在物体上的一个或多个力的组合称为力系。常见的力系有共点力系、平面力系、空间力系等。
▮▮▮▮ⓒ 平衡 (Equilibrium)：物体在力的作用下保持静止或匀速运动的状态称为平衡状态。静力学的基本任务就是研究物体保持平衡的条件。
▮▮▮▮静力学在工程领域应用广泛，例如：
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 结构静力分析：计算结构在静力荷载作用下的内力、应力、变形，评估结构的强度和刚度。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 机械平衡设计：设计机械零件和机构，使其在工作状态下保持平衡，确保机器的平稳运行。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 土木工程稳定分析：分析土坡、挡土墙等土木工程结构的稳定性，防止滑坡、坍塌等灾害。

② 动力学 (Dynamics)：
▮▮▮▮动力学是力学的另一个重要分支，研究物体在非平衡力作用下的运动规律。与静力学不同，动力学不仅考虑力的作用，还关注力与运动之间的关系，以及时间对运动的影响。动力学是研究运动和变化的力学，是理解和解决各种运动问题的关键。
▮▮▮▮动力学又可以进一步细分为：
▮▮▮▮ⓐ 运动学 (Kinematics)：运动学是动力学的基础，它描述物体的运动，但不涉及引起运动的力。运动学主要研究位移、速度、加速度等运动学参数，以及它们随时间的变化规律。
▮▮▮▮ⓑ 动力学 (Kinetics)：动力学则进一步研究力与运动之间的关系，它基于牛顿运动定律等基本原理，分析物体在力的作用下的运动行为。动力学的核心任务是揭示物体运动的原因和规律。
▮▮▮▮动力学在工程领域也具有至关重要的作用，例如：
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 结构动力分析：研究结构在动力荷载（如地震、风振、冲击）作用下的动力响应，评估结构的抗震性能、抗风性能和抗冲击性能。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 机械动力学：分析机械系统的振动、冲击、碰撞等动力学问题，优化机械设计，提高机器的运动精度和稳定性。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 车辆工程：研究车辆的行驶动力学、制动动力学、碰撞动力学等，提高车辆的安全性、平稳性和操控性。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 航空航天工程：分析飞行器的飞行力学、控制力学、结构动力学等，确保飞行器的安全可靠飞行。

③ 材料力学 (Mechanics of Materials)：
▮▮▮▮材料力学，也称为变形体力学 (Mechanics of Deformable Bodies) 或弹性力学 (Elasticity) (在一定程度上)，是力学中研究固体材料在外力、温度变化等因素作用下，如何产生应力 (Stress)、应变 (Strain)、变形 (Deformation)，以及如何进行强度 (Strength)、刚度 (Stiffness) 和稳定性 (Stability) 分析的学科。材料力学是工程结构设计和分析的重要理论基础。
▮▮▮▮材料力学主要研究：
▮▮▮▮ⓐ 杆件 (Bars) 的基本变形：包括轴向拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲等。这些是工程结构中最常见的构件形式和受力状态。
▮▮▮▮ⓑ 应力与应变分析 (Stress and Strain Analysis)：研究物体内部的应力分布和应变分布，揭示材料的力学行为。
▮▮▮▮ⓒ 强度理论 (Strength Theory)：研究材料在复杂应力状态下的强度极限，为结构设计提供强度准则。
▮▮▮▮ⓓ 刚度分析 (Stiffness Analysis)：研究结构的变形特性，保证结构在工作状态下具有足够的刚度，满足使用要求。
▮▮▮▮ⓔ 稳定性分析 (Stability Analysis)：研究结构在荷载作用下保持稳定平衡的能力，防止结构发生失稳破坏。
▮▮▮▮材料力学在工程设计中扮演着至关重要的角色，例如：
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 结构构件设计：根据材料力学原理，设计梁、柱、轴等结构构件的尺寸和形状，使其满足强度、刚度和稳定性要求。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 材料选择：根据工程结构的受力特点和使用环境，选择合适的工程材料，如钢材、混凝土、木材、复合材料等。
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 结构失效分析：分析工程结构失效的原因，如强度不足、刚度不足、失稳破坏等，为工程事故的预防和处理提供科学依据。

这三个分支并非相互独立，而是相互关联、相互支撑的。静力学是动力学和材料力学的基础，动力学和材料力学则在静力学的基础上进一步发展，共同构成了完整的力学体系。在工程结构分析中，这三个分支的知识都不可或缺，需要综合运用。

1.1.2 结构分析的目的与意义 (Purpose and Significance of Structural Analysis)

结构分析 (Structural Analysis) 是工程力学的一个重要分支，其核心目的在于预测工程结构在各种荷载作用下的力学响应，包括结构的内力 (Internal Force)、应力 (Stress)、应变 (Strain) 和变形 (Deformation) 等。通过结构分析，工程师可以评估结构的安全性 (Safety)、适用性 (Serviceability) 和耐久性 (Durability)，从而为工程结构的设计、建造和维护提供科学依据。

结构分析的主要意义体现在以下几个方面：

① 保障结构安全 (Ensuring Structural Safety)：
▮▮▮▮这是结构分析最根本的目的。任何工程结构，如桥梁、建筑、飞机、船舶等，都必须保证在预期的使用寿命内安全可靠地工作，防止发生结构破坏事故，造成人员伤亡和财产损失。
▮▮▮▮结构分析可以帮助工程师：
▮▮▮▮ⓐ 评估结构的强度：判断结构构件是否会发生强度破坏，如断裂、屈服等。
▮▮▮▮ⓑ 评估结构的刚度：判断结构的变形是否过大，影响正常使用功能或美观。
▮▮▮▮ⓒ 评估结构的稳定性：判断结构是否会发生失稳破坏，如屈曲、倾覆等。
▮▮▮▮通过结构分析，可以预先发现结构设计中的薄弱环节，采取相应的加固措施，确保结构在各种不利工况下都能安全可靠地工作。

② 优化结构设计 (Optimizing Structural Design)：
▮▮▮▮结构分析不仅可以用于安全评估，还可以用于结构优化设计。在满足安全、适用和耐久性要求的前提下，工程师希望设计的结构经济、高效、美观。
▮▮▮▮结构分析可以帮助工程师：
▮▮▮▮ⓐ 降低材料用量：通过精确的结构分析，可以避免过度保守的设计，减少结构构件的尺寸和材料用量，降低工程造价。
▮▮▮▮ⓑ 提高结构性能：通过分析不同结构方案的力学性能，可以选择最优的结构形式和参数，提高结构的承载能力、抗震性能、抗风性能等。
▮▮▮▮ⓒ 改善结构外观：结构分析可以为结构美学设计提供力学支持，例如，通过优化结构曲线和线条，可以使结构更加轻盈、优美。

③ 降低工程成本 (Reducing Project Cost)：
▮▮▮▮结构分析在降低工程成本方面也发挥着重要作用。通过优化结构设计，减少材料用量，可以直接降低工程造价。此外，结构分析还可以：
▮▮▮▮ⓐ 减少试验成本：在结构设计阶段，可以通过数值模拟分析代替部分物理试验，降低试验成本和周期。
▮▮▮▮ⓑ 缩短设计周期：现代结构分析软件功能强大，可以快速完成复杂结构的分析计算，缩短设计周期，提高工程效率。
▮▮▮▮ⓒ 降低维护成本：通过合理的结构设计和分析，可以提高结构的耐久性，减少后期维护和维修成本。

④ 促进技术进步 (Promoting Technological Advancement)：
▮▮▮▮结构分析的发展与工程技术的进步相辅相成。一方面，工程技术的进步对结构分析提出了更高的要求，推动结构分析理论和方法不断创新。另一方面，结构分析技术的进步也为工程技术的创新提供了有力支撑。
▮▮▮▮例如，有限元法 (Finite Element Method, FEM) 的发展和应用，使得复杂结构的分析成为可能，极大地推动了航空航天、汽车、桥梁、建筑等工程领域的技术进步。随着计算机技术的不断发展，结构分析软件的功能越来越强大，分析精度越来越高，应用范围越来越广泛，将继续为工程技术进步做出重要贡献。

总而言之，结构分析是现代工程设计中不可或缺的重要环节。它不仅是保障结构安全的关键手段，也是优化结构设计、降低工程成本、促进技术进步的重要推动力。掌握结构分析的基本原理和方法，对于每一位工程技术人员都至关重要。

1.2 工程结构分析的重要性 (Importance of Structural Analysis in Engineering)

1.2.1 结构分析在不同工程领域的应用 (Applications in Various Engineering Fields)

结构分析作为工程力学的核心组成部分，在众多工程领域中都发挥着至关重要的作用。不同的工程领域，由于其工程结构的特点、所承受的荷载类型以及对结构性能的要求各不相同，结构分析的具体应用也各有侧重。以下将列举几个典型工程领域，阐述结构分析的应用：

① 土木工程 (Civil Engineering)：
▮▮▮▮土木工程是结构分析应用最为广泛和深入的领域之一。土木工程结构，如桥梁 (Bridges)、建筑 (Buildings)、隧道 (Tunnels)、水坝 (Dams) 等，都是关系国计民生的基础设施，其安全性和可靠性至关重要。
▮▮▮▮在土木工程领域，结构分析主要应用于：
▮▮▮▮ⓐ 桥梁设计：桥梁结构复杂，承受车辆、行人、风、地震等多种荷载。结构分析在桥梁设计中用于确定桥梁的内力分布、应力水平、变形情况，评估桥梁的承载能力、抗震性能、抗风性能和稳定性，优化桥梁结构形式和尺寸，确保桥梁安全运营。例如，悬索桥、斜拉桥等大跨度桥梁的设计，更离不开精细的结构分析。
▮▮▮▮ⓑ 建筑设计：高层建筑、大型公共建筑等结构复杂，对结构安全性和适用性要求高。结构分析在建筑设计中用于计算建筑结构的竖向荷载、风荷载、地震荷载，分析结构的内力、位移、应力，进行强度校核、刚度校核和稳定性校核，确保建筑结构安全可靠，满足使用功能要求。例如，高层建筑的抗震设计、超高层建筑的风振分析，都离不开结构分析。
▮▮▮▮ⓒ 隧道工程：隧道结构承受围岩压力、水压力等复杂荷载。结构分析在隧道工程中用于评估隧道的围岩稳定性、衬砌结构强度和稳定性，优化隧道支护方案，确保隧道安全掘进和运营。例如，软岩隧道、深埋隧道等复杂地质条件下的隧道设计，需要进行精细的结构分析。
▮▮▮▮ⓓ 水利工程：水坝、水闸等水利结构承受巨大的水压力和水流冲击力。结构分析在水利工程中用于计算水工结构的水压力、渗流力、地震力，分析结构的应力、变形、稳定性，评估结构的抗渗性、抗滑稳定性和抗震性能，确保水利结构安全可靠，发挥水利工程效益。例如，高坝的应力分析、溢洪道的抗冲磨分析，都离不开结构分析。

② 机械工程 (Mechanical Engineering)：
▮▮▮▮机械工程中，各种机器 (Machines)、设备 (Equipments)、零部件 (Components) 的设计和制造，也离不开结构分析。机械结构通常承受静力荷载、动力荷载、热荷载等多种荷载，对其强度、刚度、振动、疲劳等性能有严格要求。
▮▮▮▮在机械工程领域，结构分析主要应用于：
▮▮▮▮ⓐ 机器零部件设计：如齿轮、轴、轴承、连杆、弹簧、机架等零部件，需要进行强度分析、刚度分析、疲劳分析、振动分析等，确保零部件在工作状态下安全可靠，寿命长久。例如，高速旋转机械的转子动力学分析、发动机关键零部件的热-结构耦合分析，都需要用到结构分析。
▮▮▮▮ⓑ 工程机械设计：如起重机、挖掘机、装载机、压路机等工程机械，结构复杂，工作环境恶劣，承受重载、冲击载荷。结构分析在工程机械设计中用于评估机械结构的承载能力、稳定性、疲劳寿命，优化结构设计，提高机械的工作效率和可靠性。例如，大型起重机的吊臂强度分析、挖掘机的工作臂动力学分析，都离不开结构分析。
▮▮▮▮ⓒ 车辆工程：汽车、火车、轮船等车辆结构，既要保证安全，又要追求轻量化、舒适性、经济性。结构分析在车辆工程中用于分析车辆结构的强度、刚度、振动、碰撞等性能，优化车身结构设计，提高车辆的安全性、操控性、舒适性和燃油经济性。例如，汽车车身碰撞安全分析、高速列车的车体结构强度分析，都需要用到结构分析。

③ 航空航天工程 (Aerospace Engineering)：
▮▮▮▮航空航天工程对结构的安全性和轻量化要求极为苛刻。飞机 (Airplanes)、火箭 (Rockets)、卫星 (Satellites)、空间站 (Space Stations) 等航天器结构，工作环境极端复杂，承受气动载荷、惯性力、热载荷、振动载荷等多种复杂荷载，对其强度、刚度、稳定性、疲劳、气动弹性等性能要求极高。
▮▮▮▮在航空航天工程领域，结构分析主要应用于：
▮▮▮▮ⓐ 飞行器结构强度分析：飞机机翼、机身、尾翼、发动机等关键部件，需要进行静强度分析、动强度分析、疲劳分析、断裂力学分析等，确保飞行器结构在各种飞行工况下安全可靠。例如，飞机机翼的气动弹性分析、火箭发动机的结构热分析，都是非常复杂的结构分析问题。
▮▮▮▮ⓑ 航天器结构动力学分析：卫星、空间站等航天器结构，在发射、在轨运行过程中，会受到振动、冲击、热循环等动力荷载的作用。结构分析在航天器设计中用于分析结构的模态特性、动力响应、热变形、微振动等，确保航天器结构在空间环境下正常工作。例如，卫星的模态分析、空间站的对接动力学分析，都需要用到结构分析。
▮▮▮▮ⓒ 轻量化设计：航空航天结构对重量极其敏感，每减轻一点重量都能带来巨大的经济效益和性能提升。结构分析在航空航天轻量化设计中发挥着关键作用，通过拓扑优化 (Topology Optimization)、尺寸优化 (Size Optimization)、形状优化 (Shape Optimization) 等方法，在满足结构性能要求的前提下，最大限度地减轻结构重量。例如，飞机机翼的拓扑优化设计、火箭壳体的轻量化设计，都离不开结构分析。

除了上述领域，结构分析还在船舶工程 (Marine Engineering)、能源工程 (Energy Engineering)、化工工程 (Chemical Engineering)、生物医学工程 (Biomedical Engineering) 等领域有着广泛的应用。随着工程技术的不断发展，结构分析的应用领域还将继续拓展，其重要性也将日益凸显。

1.2.2 结构分析对工程安全与经济性的影响 (Impact on Engineering Safety and Economy)

结构分析对工程的安全 (Safety) 和经济性 (Economy) 具有深远的影响，二者是工程实践中需要权衡的重要目标。结构分析的合理应用，可以在保障工程安全的前提下，最大限度地提高工程的经济效益。

① 结构分析对工程安全的影响：
▮▮▮▮工程安全是工程建设的生命线。结构分析作为保障工程安全的关键技术手段，其作用主要体现在以下几个方面：
▮▮▮▮ⓐ 预防结构破坏事故：结构分析能够预先预测结构在各种荷载作用下的力学响应，识别结构设计中的薄弱环节，评估结构的强度、刚度、稳定性是否满足安全要求。通过结构分析，工程师可以在设计阶段发现问题、解决问题，避免结构在实际使用过程中发生破坏事故，如桥梁垮塌、房屋倒塌、飞机解体等。这些事故一旦发生，往往会造成重大的人员伤亡和财产损失。
▮▮▮▮ⓑ 提高结构抗灾能力：自然灾害，如地震、台风、洪水等，对工程结构构成巨大威胁。结构分析可以用于评估结构在灾害荷载作用下的抗灾能力，例如，抗震分析 (Seismic Analysis)、抗风分析 (Wind Analysis)、抗洪分析 (Flood Analysis) 等。通过结构分析，可以优化结构抗灾设计，提高结构的抗灾性能，减轻灾害造成的损失。例如，建筑结构的抗震设计，桥梁结构的抗风设计，水坝结构的抗震设计，都离不开结构分析。
▮▮▮▮ⓒ 保障结构耐久性：工程结构的耐久性 (Durability)，即结构在预期使用寿命内保持安全可靠工作的能力，也是工程安全的重要组成部分。结构分析可以用于评估结构在长期荷载、环境腐蚀、材料老化等因素作用下的耐久性能，优化结构耐久性设计，延长结构使用寿命，减少结构维护和维修成本，从长远来看也是保障工程安全的重要措施。例如，混凝土结构的耐久性分析、钢结构的防腐设计，都需要用到结构分析。

② 结构分析对工程经济性的影响：
▮▮▮▮工程经济性是工程建设的重要目标之一。在满足安全、适用、耐久性等要求的前提下，工程师总是希望设计的结构经济、高效、美观。结构分析在提高工程经济性方面也发挥着重要作用，其作用主要体现在以下几个方面：
▮▮▮▮ⓐ 节约材料用量：传统的结构设计方法，往往采用经验公式和简化计算，设计结果偏于保守，导致材料用量偏大，工程造价偏高。现代结构分析方法，如有限元法 (Finite Element Method)，可以对结构进行精细化分析，准确预测结构的力学响应，优化结构构件的尺寸和形状，减少不必要的材料浪费，节约工程材料用量，降低工程造价。尤其对于大型工程结构，材料费往往占工程总造价的很大比例，通过结构分析节约材料用量，经济效益十分显著。
▮▮▮▮ⓑ 优化结构形式：不同的结构形式，其力学性能和经济性差异很大。结构分析可以用于比较不同结构形式的优缺点，选择最优的结构形式。例如，对于大跨度桥梁，可以选择悬索桥、斜拉桥、拱桥等不同的结构形式，通过结构分析比较不同方案的技术可行性、经济合理性，选择最优方案。同样，对于建筑结构，可以选择框架结构、剪力墙结构、筒体结构、组合结构等不同的结构形式，通过结构分析优化结构布局，提高结构承载效率，降低工程造价。
▮▮▮▮ⓒ 缩短设计周期：传统的结构设计过程，往往需要进行大量的物理模型试验，耗时长、成本高、效率低。现代结构分析软件功能强大，可以快速完成复杂结构的分析计算，减少对物理模型试验的依赖，缩短设计周期，提高工程效率，降低设计成本。同时，缩短设计周期也意味着工程可以尽早开工、尽早投入使用，提前产生经济效益。

然而，需要强调的是，工程安全和经济性并非总是完全一致的，有时甚至存在一定的矛盾。例如，为了追求更高的安全性，可能需要增加材料用量，提高结构强度等级，采用更复杂的结构形式，这些都会增加工程造价。因此，在工程设计中，需要在安全和经济之间进行权衡，在保障安全的前提下，尽可能地提高经济效益。结构分析的作用，正是为这种权衡提供科学依据，帮助工程师做出最优决策。

1.3 本书结构与学习方法 (Book Structure and Learning Methods)

1.3.1 章节内容概要 (Chapter Content Summary)

本书旨在系统、全面、深入地介绍 力学原理 (Mechanics Principles) 与 工程结构分析 (Structural Analysis) 的基本理论、分析方法和工程应用。本书共分为 十章 和 四个附录，章节内容安排由浅入深、循序渐进，力求理论与实践相结合，帮助读者系统掌握力学原理，并能有效应用于解决实际工程结构问题。

本书的章节内容概要如下：

① 第1章 绪论 (Introduction)：
▮▮▮▮本章作为全书的开篇，首先概述了 力学 (Mechanics) 与 结构分析 (Structural Analysis) 的基本概念、定义和分支，阐述了 结构分析的目的与意义 以及 在工程领域的重要性。随后，介绍了本书的编写目的、内容结构、章节安排 和 学习方法，为读者提供全书的导读和学习指南，帮助读者建立对全书知识体系的整体认知。

② 第2章 力学基本原理 (Fundamental Principles of Mechanics)：
▮▮▮▮本章系统介绍了 静力学 (Statics)、动力学 (Dynamics) 和 材料力学 (Mechanics of Materials) 的基本原理，包括 力的概念、平衡条件、运动定律 以及 材料的力学性能。这些基本原理是结构分析的理论基础，本章旨在为后续章节的学习 奠定坚实的理论基础。

③ 第3章 杆件的力学分析 (Mechanics Analysis of Bars)：
▮▮▮▮本章深入探讨了 杆件 (Bars) 在 轴向拉伸与压缩 (Axial Tension and Compression)、扭转 (Torsion)、弯曲 (Bending) 等基本受力状态下的 力学行为，包括 应力 (Stress)、应变 (Strain)、变形 (Deformation) 的计算方法，以及 强度 (Strength) 和 刚度 (Stiffness) 校核。杆件是工程结构中 最基本、最常用 的构件形式，掌握杆件的力学分析是进行结构分析的 重要前提。

④ 第4章 结构分析基础 (Fundamentals of Structural Analysis)：
▮▮▮▮本章介绍了 结构分析的基本概念、结构类型 (Types of Structures)、支座类型 (Types of Supports)、荷载类型 (Types of Loads)，以及 结构的静定与超静定 (Determinacy and Indeterminacy of Structures)、几何组成分析 等内容。这些内容是进行结构力学分析的 基本知识，本章旨在为后续章节的结构分析学习 做好铺垫。

⑤ 第5章 静定结构分析 (Analysis of Statically Determinate Structures)：
▮▮▮▮本章系统介绍了 静定结构 (Statically Determinate Structures) 的 内力分析方法，包括 几何法、静力法、叠加法 等，重点讲解了 静定梁 (Statically Determinate Beams)、静定桁架 (Statically Determinate Trusses) 和 静定框架 (Statically Determinate Frames) 的 内力计算方法。静定结构是结构分析的 入门内容，掌握静定结构的分析方法是学习 超静定结构分析 (Analysis of Statically Indeterminate Structures) 的基础。

⑥ 第6章 超静定结构分析 (Analysis of Statically Indeterminate Structures)：
▮▮▮▮本章系统介绍了 超静定结构 (Statically Indeterminate Structures) 分析的 基本方法，包括 力法 (Force Method) 和 位移法 (Displacement Method)，重点讲解了 力法的基本原理、方程建立 和 求解步骤，以及 位移法的基本思想 和 应用。超静定结构是工程结构中 常见的结构形式，掌握超静定结构的分析方法是进行 复杂结构分析 的 必要技能。

⑦ 第7章 能量法 (Energy Methods)：
▮▮▮▮本章介绍了 能量法 (Energy Methods) 在结构分析中的应用，包括 虚功原理 (Principle of Virtual Work)、最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy)、卡氏定理 (Castigliano's Theorems) 等，并讲解了 能量法 在 求解结构位移 和 内力 方面的应用。能量法是结构分析的 重要方法，具有 概念清晰、方法灵活 等优点，尤其适用于求解 复杂结构 的 位移 和 应力。

⑧ 第8章 有限元法基础 (Fundamentals of Finite Element Method)：
▮▮▮▮本章介绍了 有限元法 (Finite Element Method, FEM) 的 基本概念、基本步骤 和 应用领域，重点讲解了 有限元法的离散化过程、单元类型 (Element Types)、形函数 (Shape Functions) 和 单元刚度矩阵 (Element Stiffness Matrix) 的建立，为后续深入学习 有限元法 奠定基础。有限元法是 现代结构分析 的 核心技术，是解决 复杂结构力学问题 的 有效工具。

⑨ 第9章 结构动力分析基础 (Fundamentals of Structural Dynamics)：
▮▮▮▮本章介绍了 结构动力分析 (Structural Dynamics Analysis) 的 基本概念、单自由度体系 (Single Degree of Freedom Systems) 和 多自由度体系 (Multi Degree of Freedom Systems) 的 动力响应分析方法，以及 结构振动的模态分析 (Modal Analysis) 和 反应谱分析 (Response Spectrum Analysis) 等内容。结构动力分析是工程结构抗震设计、抗风设计、抗冲击设计 的 重要理论基础。

⑩ 第10章 结构稳定分析基础 (Fundamentals of Structural Stability Analysis)：
▮▮▮▮本章介绍了 结构稳定分析 (Structural Stability Analysis) 的 基本概念、压杆稳定理论 (Column Buckling Theory)、梁 (Beams) 和 框架 (Frames) 的 稳定分析，以及 提高结构稳定性 的措施。结构稳定性是结构安全的重要保障，结构稳定分析是工程结构设计中 不可或缺 的环节。

附录部分，本书提供了以下四个附录，旨在为读者提供 实用 的 工程数据 和 参考资料：

⚝ 附录A 常用材料力学性能参数 (Mechanical Properties of Common Materials)：
▮▮▮▮本附录 汇总 了 常用工程材料 的 力学性能参数，如 弹性模量 (Elastic Modulus)、泊松比 (Poisson's Ratio)、屈服强度 (Yield Strength)、抗拉强度 (Tensile Strength) 等，方便读者在结构分析中 查阅使用。

⚝ 附录B 常用截面几何性质 (Geometric Properties of Common Cross-Sections)：
▮▮▮▮本附录 列出 了 常用截面形状 的 几何性质，如 面积 (Area)、惯性矩 (Moment of Inertia)、截面系数 (Section Modulus) 等，方便读者进行 截面特性计算。

⚝ 附录C 结构分析常用公式汇总 (Summary of Common Formulas for Structural Analysis)：
▮▮▮▮本附录 汇总 了 结构分析中常用的公式，包括 杆件变形公式、强度条件、刚度条件、稳定条件 等，方便读者 快速查阅 和 使用。

⚝ 附录D 有限元分析软件简介 (Introduction to Finite Element Analysis Software)：
▮▮▮▮本附录 简要介绍 了 常用的有限元分析软件，如 ANSYS, ABAQUS, COMSOL 等，以及它们的 基本功能 和 应用特点，为读者 进一步学习有限元分析软件 提供参考。

1.3.2 学习建议与资源推荐 (Learning Suggestions and Resource Recommendations)

为了帮助读者更好地学习和掌握本书内容，特提出以下学习建议和资源推荐：

学习建议：

① 循序渐进，夯实基础：
▮▮▮▮本书章节内容安排由浅入深，建议读者按照章节顺序 循序渐进 地学习。第二章 和 第四章 介绍了力学和结构分析的 基本原理 和 基本概念，是后续章节学习的 基础，务必认真学习，夯实基础。

② 理论联系实际，注重应用：
▮▮▮▮本书不仅注重理论知识的讲解，更强调理论知识在 工程实践中的应用。建议读者在学习理论知识的同时， 结合工程实例 进行思考和理解， 尝试 将所学知识 应用于解决实际工程问题。

③ 勤于思考，积极实践：
▮▮▮▮力学原理和结构分析是一门 实践性很强 的学科，学习过程中要 勤于思考，积极实践。对于书中的 例题 和 习题，要认真 独立完成，并 思考 解题思路和方法， 加深理解 和 掌握 所学知识。

④ 善用学习资源，拓展视野：
▮▮▮▮本书提供了丰富的学习资源，如 参考文献、附录 等。建议读者 善用 这些学习资源， 拓展视野， 深入学习 感兴趣的内容。同时，也可以 查阅 其他 相关书籍、期刊论文、在线课程 等资源， 丰富学习内容， 提高学习效果。

⑤ 注重知识体系的构建：
▮▮▮▮学习过程中，要注重 知识体系的构建，将 分散的知识点 串联起来，形成 完整的知识框架。本书的 章节内容概要 部分，已经为读者 梳理 了全书的 知识体系，读者可以 参考 该概要， 构建 自己的知识体系。

资源推荐：

① 参考书籍：
▮▮▮▮以下是一些经典的 力学原理 和 结构分析 参考书籍，可以作为本书的 补充阅读材料：
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 《理论力学》 (Theoretical Mechanics)，哈尔滨工业大学理论力学教研室 编
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 《材料力学》 (Mechanics of Materials)，孙训方 等 编
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 《结构力学》 (Structural Mechanics)，李廉锟 等 编
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 《有限单元法基础教程》 (Introduction to Finite Element Method)，曾攀 编
⚝▮▮▮▮▮▮▮- 《结构动力学》 (Structural Dynamics)，克拉夫 (R.W. Clough)，彭津 (J. Penzien) 著

② 在线课程：
▮▮▮▮以下是一些 国内外知名大学 提供的 力学原理 和 结构分析 在线课程，读者可以通过 在线学习平台 (如 Coursera, edX, 学堂在线, 中国大学MOOC 等) 免费或付费学习：
⚝▮▮▮▮▮▮▮- “Mechanics of Materials I: Fundamentals of Stress & Strain and Axial Loading”，Georgia Institute of Technology (Coursera)
⚝▮▮▮▮▮▮▮- “Mechanics of Materials II: Stress, Strain, and Material Behavior”，Massachusetts Institute of Technology (edX)
⚝▮▮▮▮▮▮▮- “Finite Element Analysis for Specific Engineering Problems”，MIT OpenCourseWare
⚝▮▮▮▮▮▮▮- “工程力学”，清华大学 (学堂在线)
⚝▮▮▮▮▮▮▮- “结构力学”，同济大学 (中国大学MOOC)

③ 专业软件：
▮▮▮▮学习结构分析， 实践操作 非常重要。建议读者 学习使用 一些 常用的结构分析软件，如 ANSYS, ABAQUS, COMSOL 等。这些软件功能强大，可以进行 各种类型 的 结构分析，帮助读者 深入理解 结构分析的 原理 和 方法， 提高 解决实际工程问题的 能力。本书 附录D 对常用有限元分析软件进行了 简要介绍，读者可以 参考 该附录， 选择 合适的软件进行学习。

希望以上学习建议和资源推荐能够帮助读者更好地学习 力学原理与工程结构分析 这门课程，取得优异的学习成果！

2. 力学基本原理 (Fundamental Principles of Mechanics)

概述 (Summary)

本章系统介绍了静力学、动力学和材料力学的基本原理，包括力的概念、平衡条件、运动定律以及材料的力学性能，为后续结构分析的学习奠定理论基础。力学是工程学科的基石，而结构分析则是力学原理在工程实践中的重要应用。掌握力学的基本原理，对于理解和解决工程结构中的各种力学问题至关重要。本章内容旨在为读者构建扎实的力学理论基础，以便更好地学习和应用后续章节的结构分析方法。

2.1 静力学基础 (Fundamentals of Statics)

概述 (Summary)

本节讲解了力的基本概念、力的合成与分解、力矩、力偶等静力学基本概念，以及物体平衡的条件和应用，为静力分析奠定基础。静力学是力学的一个重要分支，主要研究物体在静止状态或匀速运动状态下的受力平衡问题。理解静力学的基本原理是进行结构静力分析的前提。本节将从力的基本概念入手，逐步深入到物体平衡的条件，并介绍自由体图这一重要的分析工具。

2.1.1 力与力系 (Force and Force Systems)

概述 (Summary)

定义了力的概念，介绍了力的单位、力的矢量性，以及常见的力系类型，如共点力系、平面力系、空间力系等。力是物体之间相互作用的 механическое действие (mechanical action) 的度量，是静力学研究的核心概念。理解力的性质和分类是进行力学分析的基础。

① 力的定义 (Definition of Force)

力 (force) 是物体对物体的相互作用，这种相互作用趋于改变物体的运动状态或形状。力是矢量，既有大小，又有方向，还具有作用点。在国际单位制 (SI units) 中，力的单位是 牛顿 (Newton)，简称 牛 (N)。1 牛顿定义为使质量为 1 公斤 (kg) 的物体产生 1 米每二次方秒 (m/s²) 加速度的力。

② 力的要素 (Elements of Force)

一个力完全由三个要素确定：
▮ 大小 (Magnitude): 力的大小是力的强度，用数值表示，单位为 牛顿 (N) 或 千牛 (kN) 等。
▮ 方向 (Direction): 力的方向是力作用的空间指向，可以用与坐标轴的夹角或指向线的方向来表示。
▮ 作用点 (Point of Application): 力的作用点是力作用在物体上的位置。对于刚体，力的作用点可以沿力的作用线移动，而不改变力对刚体的作用效果，这被称为力的可传递性原理 (Principle of Transmissibility of Forces)。

③ 力的矢量性 (Vector Nature of Force)

力是矢量，遵循矢量运算规则。力的矢量性体现在：
▮ 平行四边形法则 (Parallelogram Law): 两个力 \( \mathbf{F}_1 \) 和 \( \mathbf{F}_2 \) 的合力 \( \mathbf{R} \) 可以通过平行四边形法则求得。以 \( \mathbf{F}_1 \) 和 \( \mathbf{F}_2 \) 为邻边作平行四边形，其对角线所表示的矢量即为合力 \( \mathbf{R} \)。
\[ \mathbf{R} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 \]
▮ 力的分解 (Resolution of Force): 一个力可以分解为两个或多个分力。力的分解是力合成的逆过程，同样遵循平行四边形法则。在直角坐标系中，力 \( \mathbf{F} \) 可以分解为沿 \( x \)、\( y \)、\( z \) 轴的分力 \( \mathbf{F}_x \)、\( \mathbf{F}_y \)、\( \mathbf{F}_z \)。
\[ \mathbf{F} = \mathbf{F}_x + \mathbf{F}_y + \mathbf{F}_z \]

④ 力系 (Force Systems)

力系 (force system) 是作用在物体上的多个力的组合。根据力的作用点和作用线的分布，力系可以分为不同的类型：
▮ 共点力系 (Concurrent Force System): 作用线交于一点的力系。对于共点力系，合力的作用点仍然是该交点。
▮ 平面力系 (Coplanar Force System): 所有力的作用线位于同一平面内的力系。平面力系是工程结构中常见的一种力系。
▮ 平行力系 (Parallel Force System): 所有力的作用线相互平行的平面力系。
▮ 汇交平面力系 (Coplanar Concurrent Force System): 作用线交于一点的平面力系，是共点力系在平面上的特例。
▮ 一般平面力系 (General Coplanar Force System): 作用线不交于一点，也不平行的平面力系。
▮ 空间力系 (Spatial Force System): 所有力的作用线不在同一平面内的力系。
▮ 空间共点力系 (Spatial Concurrent Force System): 作用线交于一点的空间力系，是共点力系在空间中的一般情况。
▮ 空间平行力系 (Spatial Parallel Force System): 所有力的作用线相互平行的空间力系。
▮ 一般空间力系 (General Spatial Force System): 作用线不交于一点，也不平行的空间力系。

理解不同类型力系的特点，有助于选择合适的力学分析方法。

2.1.2 平衡条件与自由体图 (Equilibrium Conditions and Free Body Diagram)

概述 (Summary)

阐述了物体平衡的必要和充分条件，详细讲解了自由体图 (Free Body Diagram, FBD) 的绘制方法和步骤，强调自由体图在静力分析中的重要作用。平衡条件是静力学分析的核心，而自由体图则是应用平衡条件进行求解的关键工具。

① 平衡状态 (Equilibrium State)

物体处于平衡状态 (equilibrium state) 是指物体相对于惯性参考系，保持静止或匀速直线运动状态。在静力学中，主要研究静止状态的平衡。

② 平衡条件 (Equilibrium Conditions)

物体要保持平衡状态，必须满足一定的条件。对于刚体，平衡条件可以分为力平衡条件和力矩平衡条件。

▮ 力平衡条件 (Force Equilibrium Conditions): 作用在物体上的所有外力的矢量和必须为零。
▮ 平面力系平衡条件: 在平面直角坐标系 \( Oxy \) 中，平面力系平衡的必要和充分条件是：
\[ \sum F_x = 0 \]
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum M_z = 0 \]
其中，\( \sum F_x \) 和 \( \sum F_y \) 分别为所有外力在 \( x \) 轴和 \( y \) 轴上的分力之和，\( \sum M_z \) 为所有外力对 \( z \) 轴（垂直于 \( Oxy \) 平面）的力矩之和。
▮ 空间力系平衡条件: 在空间直角坐标系 \( Oxyz \) 中，空间力系平衡的必要和充分条件是：
\[ \sum F_x = 0 \]
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum F_z = 0 \]
\[ \sum M_x = 0 \]
\[ \sum M_y = 0 \]
\[ \sum M_z = 0 \]
其中，\( \sum F_x \)、\( \sum F_y \)、\( \sum F_z \) 分别为所有外力在 \( x \)、\( y \)、\( z \) 轴上的分力之和，\( \sum M_x \)、\( \sum M_y \)、\( \sum M_z \) 分别为所有外力对 \( x \)、\( y \)、\( z \) 轴的力矩之和。

▮ 力矩平衡条件 (Moment Equilibrium Conditions): 作用在物体上的所有外力对任一点的力矩的矢量和必须为零。力矩 (moment of force) 是力使物体绕轴转动的效应的度量。力矩的大小等于力的大小乘以力臂，力臂 (moment arm) 是力作用线到力矩中心的垂直距离。力矩的方向可以用右手螺旋法则 (Right-hand Rule) 确定。

③ 自由体图 (Free Body Diagram, FBD)

自由体图 (FBD) 是静力分析中最重要的工具之一。绘制自由体图的过程是将研究对象从周围环境中隔离出来，只画出研究对象本身，并将所有作用在研究对象上的外力（包括主动力和约束反力）完整地表示在图上。

绘制自由体图的步骤如下：
① 确定研究对象 (Identify the Body of Interest): 明确需要分析的物体或结构部分，将其作为研究对象。
② 隔离研究对象 (Isolate the Body): 将研究对象从周围环境和约束中隔离出来，用轮廓线或简图表示研究对象。
③ 画出主动力 (Draw Active Forces): 画出所有作用在研究对象上的已知外力，即主动力 (active forces)，包括重力、外加荷载等。主动力是已知或可以确定的力。
④ 画出约束反力 (Draw Reactive Forces): 画出所有约束对研究对象的反作用力，即约束反力 (reactive forces)。约束反力是由于约束的存在而产生的，是未知力，需要通过平衡方程求解。常见的约束类型及其反力将在后续章节详细介绍。
⑤ 标注力的要素 (Label Forces): 在图上标明每个力的大小、方向和作用线，并注明坐标轴和参考方向。

自由体图的重要性:
▮ 清晰地展现受力情况: 自由体图能够清晰地展现研究对象的受力情况，避免遗漏或重复计算力。
▮ 正确应用平衡条件的基础: 只有在正确的自由体图基础上，才能列出正确的平衡方程，从而求解未知力。
▮ 简化复杂问题: 对于复杂的结构或系统，通过绘制自由体图，可以将问题分解为若干个简单的平衡问题进行分析。

示例: 考虑一个简支梁，梁上承受集中荷载 \( P \)。绘制简支梁的自由体图。
① 研究对象: 简支梁。
② 隔离研究对象: 画出梁的简图。
③ 主动力: 集中荷载 \( P \) 垂直向下作用在梁上。
④ 约束反力: 简支梁两端分别受到竖向支座反力 \( R_A \) 和 \( R_B \)。假设 \( A \) 端为铰支座，\( B \) 端为滚动支座，则 \( A \) 端有竖向和水平反力，\( B \) 端只有竖向反力。由于梁只承受竖向荷载，水平反力为零。
⑤ 标注力的要素: 在简图上标出 \( P \)、\( R_A \)、\( R_B \) 的方向和作用位置。

通过绘制自由体图，可以将实际工程问题转化为力学模型，为后续的静力分析奠定基础。

2.2 动力学基础 (Fundamentals of Dynamics)

概述 (Summary)

介绍了运动学 (kinematics) 和动力学 (kinetics) 的基本概念，包括位移 (displacement)、速度 (velocity)、加速度 (acceleration)、牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)、功 (work)、能 (energy)、动量 (momentum) 等，为动力分析提供理论工具。动力学是力学的另一个重要分支，研究物体在力作用下的运动规律。动力学分析是结构动力分析的基础，对于理解结构的动态响应至关重要。

2.2.1 运动学 (Kinematics)

概述 (Summary)

讲解了描述物体运动的基本物理量，如位移、速度、加速度，以及各种运动类型，如直线运动 (rectilinear motion)、曲线运动 (curvilinear motion)、匀速运动 (uniform motion)、变速运动 (non-uniform motion) 等。运动学主要研究物体的几何运动，不涉及引起运动的力。它是动力学的基础，为动力学分析提供运动描述。

① 位移、速度、加速度 (Displacement, Velocity, Acceleration)

▮ 位移 (Displacement) \( \mathbf{r} \): 描述物体位置变化的矢量。位移是从物体运动的起始位置指向终止位置的有向线段。位移是矢量，既有大小，又有方向。
▮ 速度 (Velocity) \( \mathbf{v} \): 描述物体位置变化快慢和方向的矢量。速度是位移对时间的导数。
▮ 平均速度 (Average Velocity): 在时间间隔 \( \Delta t \) 内，位移 \( \Delta \mathbf{r} \) 与时间间隔的比值。
\[ \mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} \]
▮ 瞬时速度 (Instantaneous Velocity): 当时间间隔 \( \Delta t \) 趋近于零时，平均速度的极限值。
\[ \mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]
速度也是矢量，单位是 米每秒 (m/s)。
▮ 加速度 (Acceleration) \( \mathbf{a} \): 描述物体速度变化快慢和方向的矢量。加速度是速度对时间的导数。
▮ 平均加速度 (Average Acceleration): 在时间间隔 \( \Delta t \) 内，速度变化 \( \Delta \mathbf{v} \) 与时间间隔的比值。
\[ \mathbf{\bar{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} \]
▮ 瞬时加速度 (Instantaneous Acceleration): 当时间间隔 \( \Delta t \) 趋近于零时，平均加速度的极限值。
\[ \mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \]
加速度也是矢量，单位是 米每二次方秒 (m/s²)。

② 运动类型 (Types of Motion)

根据运动轨迹和速度变化，物体的运动可以分为不同的类型：
▮ 直线运动 (Rectilinear Motion): 物体沿着直线轨迹运动。
▮ 匀速直线运动 (Uniform Rectilinear Motion): 速度大小和方向均保持不变的直线运动。加速度为零。
▮ 匀变速直线运动 (Uniformly Varied Rectilinear Motion): 加速度大小和方向均保持不变的直线运动。
▮ 匀加速直线运动 (Uniformly Accelerated Rectilinear Motion): 加速度方向与速度方向相同的匀变速直线运动。速度大小逐渐增大。
▮ 匀减速直线运动 (Uniformly Decelerated Rectilinear Motion): 加速度方向与速度方向相反的匀变速直线运动。速度大小逐渐减小。
▮ 曲线运动 (Curvilinear Motion): 物体沿着曲线轨迹运动。
▮ 平面曲线运动 (Planar Curvilinear Motion): 运动轨迹位于同一平面内的曲线运动。
▮ 空间曲线运动 (Spatial Curvilinear Motion): 运动轨迹不在同一平面内的曲线运动。
▮ 圆周运动 (Circular Motion): 物体沿着圆形轨迹运动的平面曲线运动。
▮ 匀速圆周运动 (Uniform Circular Motion): 速度大小保持不变，但速度方向不断变化的圆周运动。存在向心加速度 (centripetal acceleration)，方向始终指向圆心。
\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]
其中，\( v \) 是线速度大小，\( r \) 是圆周半径。
▮ 变速圆周运动 (Non-uniform Circular Motion): 速度大小和方向均可能变化的圆周运动。除了向心加速度外，还可能存在切向加速度 (tangential acceleration)，方向沿着圆周切线。
\[ a_t = \frac{dv}{dt} \]

理解不同运动类型的特点，有助于分析物体的运动状态和规律。

2.2.2 动力学 (Kinetics) 与运动定律 (Laws of Motion)

概述 (Summary)

深入剖析了牛顿第一、第二、第三运动定律 (Newton's First, Second, and Third Laws of Motion)，阐述了力与运动的关系，以及动量定理 (Theorem of Momentum)、动能定理 (Theorem of Kinetic Energy) 等动力学基本定理。动力学主要研究力与运动的关系，即力如何引起物体的运动状态改变。牛顿运动定律是动力学的基石，而动量定理和动能定理则是解决动力学问题的有力工具。

① 牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)

牛顿运动定律是经典力学的基础，描述了力与物体运动状态之间的关系。
▮ 牛顿第一定律 (Newton's First Law) - 惯性定律 (Law of Inertia): 任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变这种状态为止。惯性 (inertia) 是物体保持原有运动状态的性质。质量 (mass) 是物体惯性大小的度量。质量越大，惯性越大，越难改变其运动状态。
▮ 牛顿第二定律 (Newton's Second Law) - 动力学基本定律 (Fundamental Law of Dynamics): 物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。数学表达式为：
\[ \mathbf{F} = m\mathbf{a} \]
其中，\( \mathbf{F} \) 是作用在物体上的合力，\( m \) 是物体的质量，\( \mathbf{a} \) 是物体产生的加速度。牛顿第二定律揭示了力是改变物体运动状态的原因。
▮ 牛顿第三定律 (Newton's Third Law) - 作用力与反作用力定律 (Law of Action and Reaction): 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上，但作用在不同的物体上。作用力 (action force) 和反作用力 (reaction force) 成对出现，同时产生，同时消失，性质相同。

② 动量与动量定理 (Momentum and Theorem of Momentum)

▮ 动量 (Momentum) \( \mathbf{p} \): 描述物体运动状态的物理量，等于物体的质量与速度的乘积。动量是矢量。
\[ \mathbf{p} = m\mathbf{v} \]
动量的单位是 千克·米每秒 (kg·m/s)。
▮ 冲量 (Impulse) \( \mathbf{I} \): 力对时间的累积效应。冲量等于力对时间的积分。对于恒力 \( \mathbf{F} \) 作用时间 \( \Delta t \)，冲量为：
\[ \mathbf{I} = \mathbf{F} \Delta t \]
冲量也是矢量，方向与力的方向相同，单位是 牛顿·秒 (N·s)。
▮ 动量定理 (Theorem of Momentum): 物体动量的变化量等于作用在物体上的合外力的冲量。
\[ \Delta \mathbf{p} = \mathbf{I} \]
\[ \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} dt \]
对于恒力作用的情况，动量定理可以写成：
\[ m\mathbf{v}_2 - m\mathbf{v}_1 = \mathbf{F} \Delta t \]
动量定理揭示了冲量是改变物体动量的原因。动量定理适用于惯性参考系，也适用于变质量系统。

③ 功与能、动能定理 (Work and Energy, Theorem of Kinetic Energy)

▮ 功 (Work) \( W \): 力在物体位移方向上所产生的积累效应。功是标量，单位是 焦耳 (J)。1 焦耳等于 1 牛顿的力使物体在力的方向上发生 1 米的位移所做的功。
▮ 恒力做功: 恒力 \( \mathbf{F} \) 作用下，物体发生位移 \( \mathbf{s} \)，力做的功为：
\[ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} = Fs\cos\theta \]
其中，\( \theta \) 是力 \( \mathbf{F} \) 与位移 \( \mathbf{s} \) 之间的夹角。
▮ 变力做功: 变力 \( \mathbf{F} \) 作用下，物体沿曲线 \( C \) 从 \( A \) 运动到 \( B \)，力做的功为：
\[ W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{t_A}^{t_B} \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} dt \]
▮ 能 (Energy) \( E \): 物体做功的本领。能量是标量，单位与功相同，都是 焦耳 (J)。力学中常见的能量形式有动能 (kinetic energy)、势能 (potential energy) 等。
▮ 动能 (Kinetic Energy) \( E_k \): 物体由于运动而具有的能量。质量为 \( m \)、速度大小为 \( v \) 的物体的动能为：
\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]
▮ 势能 (Potential Energy) \( E_p \): 物体由于在力场中的位置而具有的能量。常见的势能有重力势能 (gravitational potential energy) 和弹性势能 (elastic potential energy)。
▮ 重力势能: 物体在重力场中，高度为 \( h \) 时的重力势能为：
\[ E_{pg} = mgh \]
其中，\( g \) 是重力加速度，\( h \) 是物体相对于零势能面的高度。
▮ 弹性势能: 弹性物体发生弹性变形时储存的能量。例如，弹簧的弹性势能为：
\[ E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2 \]
其中，\( k \) 是弹簧的劲度系数 (spring stiffness)，\( x \) 是弹簧的变形量。

▮ 动能定理 (Theorem of Kinetic Energy): 合外力对物体所做的总功等于物体动能的改变。
\[ W_{总} = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \]
动能定理揭示了功是能量转化的量度。动能定理适用于质点和刚体，也适用于保守力和非保守力。

④ 机械能守恒定律 (Law of Conservation of Mechanical Energy)

如果系统只受保守力 (conservative force) 作用，则系统的机械能 (mechanical energy) 守恒。机械能 \( E \) 定义为动能和势能之和：
\[ E = E_k + E_p \]
机械能守恒定律表明，在只有保守力做功的情况下，系统的总机械能保持不变，动能和势能可以相互转化，但总和不变。保守力是指做功与路径无关，只与始末位置有关的力，如重力、弹性力等。非保守力 (non-conservative force) 是指做功与路径有关的力，如摩擦力、空气阻力等。在存在非保守力做功的情况下，机械能不守恒，部分机械能会转化为内能或其他形式的能量。

理解动力学的基本原理和定理，有助于分析结构在动力荷载作用下的运动响应。

2.3 材料力学性能 (Mechanical Properties of Materials)

概述 (Summary)

介绍了材料的应力 (stress)、应变 (strain)、弹性 (elasticity)、塑性 (plasticity)、强度 (strength)、刚度 (stiffness) 等基本力学性能，以及材料的本构关系 (constitutive relations)，为结构分析中材料的选择和应用提供依据。材料力学性能是结构分析的重要基础。工程结构的安全性、可靠性和耐久性都与所用材料的力学性能密切相关。本节将介绍材料在力作用下的基本力学行为，以及描述这些行为的物理量和模型。

2.3.1 应力与应变 (Stress and Strain)

概述 (Summary)

定义了应力（正应力 (normal stress)、剪应力 (shear stress)）和应变（正应变 (normal strain)、剪应变 (shear strain)）的概念，阐述了应力应变分析在材料力学中的核心地位。应力 (stress) 和应变 (strain) 是描述材料内部力学状态的基本物理量。应力反映了材料内部的内力强度，应变反映了材料的变形程度。应力应变分析是材料力学和结构力学的核心内容。

① 应力 (Stress)

应力 (stress) 是物体内部单位面积上的内力。当物体受到外力作用时，内部会产生内力以抵抗外力，并保持平衡。应力是内力的集度，反映了材料内部的应力状态。应力是张量 (tensor)，具有方向性。根据内力与作用面的关系，应力可以分为正应力 (normal stress) 和剪应力 (shear stress)。

▮ 正应力 (Normal Stress) \( \sigma \): 垂直于作用面的内力分量引起的应力。正应力通常用 \( \sigma \) 表示。如果内力垂直于作用面并指向外侧，则为拉应力 (tensile stress)，为正值；如果内力垂直于作用面并指向内侧，则为压应力 (compressive stress)，为负值。
\[ \sigma = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_n}{\Delta A} = \frac{dF_n}{dA} \]
其中，\( \Delta F_n \) 是垂直于面积 \( \Delta A \) 的内力分量。工程上常取平均正应力 \( \bar{\sigma} = \frac{F_n}{A} \)，其中 \( F_n \) 是作用在面积 \( A \) 上的总正压力或拉力。正应力的单位是 帕斯卡 (Pascal)，简称 帕 (Pa) 或兆帕 (MPa)。\( 1 \mathrm{MPa} = 10^6 \mathrm{Pa} = 1 \mathrm{N/mm^2} \)。
▮ 剪应力 (Shear Stress) \( \tau \): 平行于作用面的内力分量引起的应力。剪应力通常用 \( \tau \) 表示。
\[ \tau = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_s}{\Delta A} = \frac{dF_s}{dA} \]
其中，\( \Delta F_s \) 是平行于面积 \( \Delta A \) 的内力分量。工程上常取平均剪应力 \( \bar{\tau} = \frac{F_s}{A} \)，其中 \( F_s \) 是作用在面积 \( A \) 上的总剪力。剪应力的单位与正应力相同，也是 帕斯卡 (Pa) 或兆帕 (MPa)。

② 应变 (Strain)

应变 (strain) 是物体内部变形程度的度量。当物体受到外力作用时，会发生变形。应变反映了物体变形的大小和形状变化。应变也是张量，具有方向性。类似于应力，应变也可以分为正应变 (normal strain) 和剪应变 (shear strain)。

▮ 正应变 (Normal Strain) \( \varepsilon \): 描述物体线段长度相对变化的应变。正应变通常用 \( \varepsilon \) 表示。如果线段长度伸长，则为拉应变 (tensile strain)，为正值；如果线段长度缩短，则为压应变 (compressive strain)，为负值。
\[ \varepsilon = \lim_{\Delta L \to 0} \frac{\Delta l}{\Delta L} = \frac{dl}{dL} \]
其中，\( \Delta l \) 是线段长度 \( \Delta L \) 的变形量。工程上常取平均正应变 \( \bar{\varepsilon} = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0} \)，其中 \( L_0 \) 是原始长度，\( L \) 是变形后的长度。正应变是无量纲的量，通常用百分比 (%) 或千分比 (‰) 表示，也可以用微应变 (με) 表示，\( 1 \mathrm{με} = 10^{-6} \)。
▮ 剪应变 (Shear Strain) \( \gamma \): 描述物体角度变化的应变。剪应变通常用 \( \gamma \) 表示。剪应变等于物体直角初始角度的改变量，通常用弧度 (rad) 表示。对于小变形，剪应变近似等于角度的改变量。
\[ \gamma = \tan \phi \approx \phi \]
其中，\( \phi \) 是直角初始角度的改变量，单位为弧度 (rad)。剪应变也是无量纲的量。

③ 应力状态与应变状态 (Stress State and Strain State)

物体内部某一点的应力状态 (stress state) 和应变状态 (strain state) 是指该点周围无限小单元体上的应力分量和应变分量。在三维空间中，应力状态可以用六个独立分量表示：\( \sigma_x \)、\( \sigma_y \)、\( \sigma_z \)、\( \tau_{xy} \)、\( \tau_{yz} \)、\( \tau_{zx} \)。应变状态也可以用六个独立分量表示：\( \varepsilon_x \)、\( \varepsilon_y \)、\( \varepsilon_z \)、\( \gamma_{xy} \)、\( \gamma_{yz} \)、\( \gamma_{zx} \)。在平面应力状态 (plane stress state) 或平面应变状态 (plane strain state) 下，应力状态和应变状态可以简化为三个独立分量。

理解应力与应变的概念，是进行材料力学性能分析和结构强度分析的基础。

2.3.2 弹性、塑性与本构关系 (Elasticity, Plasticity, and Constitutive Relations)

概述 (Summary)

详细讲解了材料的弹性行为 (elastic behavior)、塑性行为 (plastic behavior) 和粘弹性行为 (viscoelastic behavior)，以及描述材料力学性能的常用本构模型 (constitutive models)，如线弹性模型 (linear elastic model)、理想塑性模型 (ideal plastic model) 等。材料的力学行为是结构分析中材料选择和模型建立的关键。本节将介绍材料在不同应力水平下的力学响应，以及描述这些响应的本构模型。

① 弹性行为 (Elastic Behavior)

弹性 (elasticity) 是指材料在外力作用下发生变形，卸载后能够完全恢复原始形状和尺寸的性质。在弹性范围内，材料的变形是可逆的。理想弹性材料的应力应变关系是线性的，符合胡克定律 (Hooke's Law)。

▮ 线弹性 (Linear Elasticity): 应力与应变成线性关系的弹性行为。对于单向拉伸或压缩，线弹性材料的应力 \( \sigma \) 与正应变 \( \varepsilon \) 之间的关系为：
\[ \sigma = E\varepsilon \]
其中，\( E \) 是弹性模量 (Elastic Modulus) 或 杨氏模量 (Young's Modulus)，是材料刚度的度量，反映了材料抵抗弹性变形的能力。弹性模量越大，材料刚度越大，越不容易发生弹性变形。弹性模量的单位与应力相同，为 帕斯卡 (Pa) 或 兆帕 (MPa)。
对于剪切，线弹性材料的剪应力 \( \tau \) 与剪应变 \( \gamma \) 之间的关系为：
\[ \tau = G\gamma \]
其中，\( G \) 是剪切模量 (Shear Modulus) 或 刚性模量 (Rigidity Modulus)，反映了材料抵抗剪切变形的能力。剪切模量的单位与应力相同。
弹性模量 \( E \)、剪切模量 \( G \) 和泊松比 (Poisson's Ratio) \( \nu \) 之间存在关系：
\[ G = \frac{E}{2(1+\nu)} \]
泊松比 \( \nu \) 是材料在单向拉伸或压缩时，横向正应变与轴向正应变的绝对值之比，反映了材料横向变形与轴向变形的耦合程度。泊松比是无量纲的量，通常在 0 到 0.5 之间。

② 塑性行为 (Plastic Behavior)

塑性 (plasticity) 是指材料在外力作用下发生变形，卸载后不能完全恢复原始形状和尺寸，留下永久变形的性质。在塑性范围内，材料的变形是不可逆的。塑性变形通常发生在应力超过材料的屈服强度 (yield strength) 后。

▮ 屈服强度 (Yield Strength) \( \sigma_y \): 材料开始发生显著塑性变形的应力值。对于低碳钢等具有明显屈服阶段的材料，屈服强度是应力-应变曲线上屈服阶段的起始应力。对于铝合金、高强度钢等没有明显屈服阶段的材料，通常采用规定塑性延伸强度 (proof strength) 作为屈服强度，例如 \( \sigma_{p0.2} \)，表示产生 0.2% 永久塑性应变时的应力。
▮ 强度 (Strength): 材料抵抗破坏的能力。强度指标包括屈服强度、抗拉强度 (tensile strength) 或极限强度 (ultimate strength) \( \sigma_u \) 等。抗拉强度是材料在拉伸过程中所能承受的最大应力。
▮ 塑性模型 (Plasticity Models): 描述材料塑性行为的数学模型。理想塑性模型 (ideal plastic model) 假设材料在屈服后应力保持不变，应变持续增加。强化塑性模型 (hardening plastic model) 考虑材料在塑性变形过程中强度提高的现象，例如线弹性理想塑性模型 (linear elastic-ideal plastic model)、弹塑性强化模型 (elastic-plastic hardening model) 等。

③ 粘弹性行为 (Viscoelastic Behavior)

粘弹性 (viscoelasticity) 是指材料同时具有粘性 (viscosity) 和弹性 (elasticity) 的性质。粘弹性材料的力学行为与时间和加载速率有关。粘弹性材料的应力应变关系不仅与当前的应变有关，还与应变的历史和应变速率有关。聚合物、橡胶、生物组织等材料通常表现出粘弹性行为。

▮ 蠕变 (Creep): 在恒定应力作用下，材料应变随时间持续增加的现象。
▮ 松弛 (Relaxation): 在恒定应变条件下，材料应力随时间逐渐减小的现象。
▮ 粘弹性模型 (Viscoelastic Models): 描述粘弹性材料力学行为的数学模型。常用的粘弹性模型有麦克斯韦模型 (Maxwell model)、开尔文-沃伊特模型 (Kelvin-Voigt model)、标准线性固体模型 (standard linear solid model) 等。这些模型通常由弹簧 (spring) 和粘壶 (dashpot) 等基本元件组合而成。

④ 本构关系 (Constitutive Relations)

本构关系 (constitutive relations) 是描述材料应力与应变之间关系的数学方程。本构关系反映了材料的力学特性，是结构力学分析的基础。根据材料的力学行为，可以建立不同的本构模型，如弹性本构模型、塑性本构模型、粘弹性本构模型等。选择合适的本构模型对于准确预测结构的力学响应至关重要。

常用本构模型:
▮ 线弹性模型 (Linear Elastic Model): 适用于描述弹性范围内材料的力学行为。应力应变关系符合胡克定律。
▮ 理想塑性模型 (Ideal Plastic Model): 适用于描述弹塑性材料在塑性阶段的简化行为。假设材料在屈服后应力保持不变。
▮ 双线性强化模型 (Bilinear Hardening Model): 考虑材料在塑性阶段的线性强化行为。应力应变曲线由两条直线段组成，弹性阶段为直线，塑性阶段为斜率较小的直线。
▮ 多线性强化模型 (Multilinear Hardening Model): 用多条直线段逼近材料的应力应变曲线，更精确地描述材料的强化行为。
▮ 非线性弹性模型 (Nonlinear Elastic Model): 适用于描述弹性范围内应力应变关系为非线性的材料。

选择合适的材料模型，需要根据具体的工程应用和材料的力学特性进行综合考虑。

3. 杆件的力学分析 (Mechanics Analysis of Bars)

3.1 轴向拉伸与压缩 (Axial Tension and Compression)

3.1.1 正应力与轴向变形 (Normal Stress and Axial Deformation)

本节将深入探讨杆件在轴向拉伸或压缩载荷作用下的力学响应。轴向拉伸与压缩是最基本的杆件受力形式之一，广泛存在于各种工程结构中，例如桥梁的拉索、建筑结构的柱子、以及机械设备中的连杆等。理解轴向拉伸与压缩的力学行为是进行结构分析和设计的基础。

① 正应力 (Normal Stress)

▮ 当杆件受到轴向拉伸或压缩载荷 \(F\) 作用时，在杆件的横截面上会产生与截面垂直的内力，单位面积上的内力称为正应力 (Normal Stress)，通常用符号 \( \sigma \) 表示。

▮ 计算公式: 假设杆件横截面面积为 \(A\)，且载荷 \(F\) 均匀分布在横截面上，则正应力 \( \sigma \) 的计算公式为：
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
其中：
\( \sigma \) — 正应力 (单位：Pa 或 N/m\(^2\), MPa, kPa)
\( F \) — 轴向载荷，拉伸时为正值，压缩时为负值 (单位：N, kN)
\( A \) — 杆件的横截面面积 (单位：m\(^2\), mm\(^2\))

▮ 应力正负号规定:
⚝ 拉应力 (Tensile Stress)：由拉伸载荷引起的正应力，通常为正值 (\( \sigma > 0 \))，表示材料内部质点之间存在相互拉开的趋势。
⚝ 压应力 (Compressive Stress)：由压缩载荷引起的正应力，通常为负值 (\( \sigma < 0 \))，表示材料内部质点之间存在相互挤压的趋势。

▮ 均匀性假设: 上述公式成立的前提是假设应力在横截面上均匀分布。对于细长杆件，当载荷作用在杆件的形心轴线上，且横截面变化缓慢时，可以近似认为正应力在横截面上均匀分布。但在载荷作用点附近、截面突变处或杆件弯曲处，应力分布会变得不均匀，需要采用更复杂的理论进行分析。

② 轴向变形 (Axial Deformation)

▮ 当杆件受到轴向拉伸或压缩载荷作用时，除了产生正应力外，还会发生轴向变形，即长度的伸长或缩短。轴向变形的大小与载荷大小、杆件的材料性质和杆件的几何尺寸有关。

▮ 线应变 (Linear Strain): 为了描述杆件的变形程度，引入线应变 (Linear Strain) 的概念，用符号 \( \varepsilon \) 表示。线应变定义为杆件轴向变形量 \( \Delta L \) 与原长度 \( L \) 之比。
\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \]
其中：
\( \varepsilon \) — 线应变 (无量纲)
\( \Delta L \) — 杆件的轴向变形量，伸长时为正值，缩短时为负值 (单位：m, mm)
\( L \) — 杆件的原长度 (单位：m, mm)

▮ 胡克定律 (Hooke's Law): 在弹性范围内，材料的应力与应变成正比关系，这就是著名的胡克定律 (Hooke's Law)。对于轴向拉伸与压缩，胡克定律可以表示为：
\[ \sigma = E \varepsilon \]
或
\[ \varepsilon = \frac{\sigma}{E} \]
其中：
\( E \) — 材料的弹性模量 (Elastic Modulus) 或杨氏模量 (Young's Modulus)，是材料抵抗弹性变形能力的度量，单位与应力相同 (Pa, MPa, GPa)。弹性模量 \(E\) 是材料的固有属性，反映了材料的刚度。

▮ 轴向变形计算公式: 结合正应力计算公式和胡克定律，可以推导出轴向变形 \( \Delta L \) 的计算公式：
\[ \Delta L = \varepsilon L = \frac{\sigma}{E} L = \frac{F}{AE} L = \frac{FL}{AE} \]
这个公式表明，轴向变形与载荷 \(F\) 和杆件长度 \(L\) 成正比，与杆件的横截面面积 \(A\) 和材料的弹性模量 \(E\) 成反比。乘积 \(AE\) 称为杆件的轴向刚度 (Axial Stiffness)，反映了杆件抵抗轴向变形的能力。

③ 影响因素分析

▮ 载荷 \(F\): 轴向载荷 \(F\) 是引起正应力和轴向变形的直接原因。载荷越大，正应力和轴向变形也越大。拉伸载荷引起拉应力和伸长变形，压缩载荷引起压应力和缩短变形。

▮ 横截面面积 \(A\): 横截面面积 \(A\) 影响正应力的大小。在相同轴力 \(F\) 下，横截面面积越小，正应力越大，反之亦然。横截面面积也影响轴向变形，面积越大，轴向刚度越大，轴向变形越小。

▮ 杆件长度 \(L\): 杆件长度 \(L\) 直接影响轴向变形的大小。在其他条件相同的情况下，杆件越长，轴向变形越大。长度不影响正应力的大小 (假设横截面面积不变)。

▮ 材料的弹性模量 \(E\): 弹性模量 \(E\) 是材料的固有属性，反映了材料的刚度。弹性模量越大，材料的刚度越大，在相同应力水平下，应变越小，轴向变形也越小。不同材料的弹性模量差异很大，例如钢材的弹性模量远大于铝合金和塑料。

④ 案例分析

例题: 一根钢制圆杆，直径 \(d = 20\) mm，长度 \(L = 2\) m，承受轴向拉力 \(F = 50\) kN。已知钢材的弹性模量 \(E = 200\) GPa。试计算杆件内的正应力和轴向伸长量。

解:

1. 计算横截面面积 \(A\):
   \[ A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (20 \times 10^{-3} \text{m})^2}{4} = 3.1416 \times 10^{-4} \text{m}^2 \]

2. 计算正应力 \( \sigma \):
   \[ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{50 \times 10^3 \text{N}}{3.1416 \times 10^{-4} \text{m}^2} = 159.15 \times 10^6 \text{Pa} = 159.15 \text{MPa} \]

3. 计算轴向伸长量 \( \Delta L \):
   \[ \Delta L = \frac{FL}{AE} = \frac{(50 \times 10^3 \text{N}) \times (2 \text{m})}{(3.1416 \times 10^{-4} \text{m}^2) \times (200 \times 10^9 \text{Pa})} = 1.59 \times 10^{-3} \text{m} = 1.59 \text{mm} \]

结论: 该钢杆内的正应力为 159.15 MPa (拉应力)，轴向伸长量为 1.59 mm。

通过本节的学习，我们掌握了轴向拉伸与压缩时正应力和轴向变形的计算方法，理解了影响因素，为后续强度和刚度校核奠定了基础。

3.1.2 强度与刚度条件 (Strength and Stiffness Conditions)

在工程设计中，为了保证结构的安全可靠运行，杆件不仅需要满足强度要求，还需要满足刚度要求。强度条件保证杆件在载荷作用下不会发生破坏，刚度条件保证杆件的变形在允许范围内，满足正常使用功能的要求。

① 强度条件 (Strength Condition)

▮ 强度 (Strength): 材料抵抗破坏的能力称为强度 (Strength)。对于轴向拉伸与压缩杆件，强度主要指材料抵抗拉伸或压缩破坏的能力。材料的强度指标通常通过实验确定，例如拉伸试验得到抗拉强度 (Tensile Strength) \( \sigma_b \)，压缩试验得到抗压强度 (Compressive Strength) \( \sigma_c \)。

▮ 容许应力 (Allowable Stress) [ \( \sigma \)]: 为了保证结构的安全可靠性，工程设计中通常不直接使用材料的强度极限，而是采用容许应力 (Allowable Stress) [ \( \sigma \)]。容许应力是在材料的强度极限 (如 \( \sigma_b \) 或 \( \sigma_c \)) 的基础上，除以一个安全系数 \(n\) 得到的。
对于拉伸：
\[ [\sigma_t] = \frac{\sigma_b}{n_t} \]
对于压缩：
\[ [\sigma_c] = \frac{\sigma_c}{n_c} \]
其中：
\( [\sigma_t] \) — 拉伸容许应力
\( [\sigma_c] \) — 压缩容许应力
\( \sigma_b \) — 材料的抗拉强度
\( \sigma_c \) — 材料的抗压强度
\( n_t \) — 拉伸安全系数，通常 \( n_t > 1 \)
\( n_c \) — 压缩安全系数，通常 \( n_c > 1 \)

安全系数 \(n\) 的取值需要根据结构的重要性、载荷的性质、材料的可靠性以及可能产生的后果等因素综合确定。对于重要的、承受冲击载荷的或使用环境恶劣的结构，安全系数应取较大值。

▮ 强度条件表达式: 轴向拉伸与压缩杆件的强度条件是指杆件内的最大正应力 \( \sigma_{max} \) 不得超过材料的容许应力 [ \( \sigma \)]。
\[ \sigma_{max} \leq [\sigma] \]
或展开为：
\[ \frac{F}{A} \leq [\sigma] \]
强度条件是进行杆件强度校核和强度设计的基本依据。

② 刚度条件 (Stiffness Condition)

▮ 刚度 (Stiffness): 材料或结构抵抗变形的能力称为刚度 (Stiffness)。对于轴向拉伸与压缩杆件，刚度主要指杆件抵抗轴向变形的能力。刚度指标通常用变形量来衡量，例如轴向变形 \( \Delta L \)。

▮ 容许变形 (Allowable Deformation) [ \( \Delta L \)]: 工程结构对变形通常有一定的限制，过大的变形会影响结构的正常使用功能，甚至引起二次应力或破坏。因此，需要对结构的变形进行限制，规定容许变形 (Allowable Deformation) [ \( \Delta L \)]。容许变形的大小根据结构的具体使用要求和规范规定确定。

▮ 刚度条件表达式: 轴向拉伸与压缩杆件的刚度条件是指杆件的轴向变形 \( \Delta L \) 不得超过容许变形 [ \( \Delta L \)]。
\[ \Delta L \leq [\Delta L] \]
或展开为：
\[ \frac{FL}{AE} \leq [\Delta L] \]
刚度条件是进行杆件刚度校核和刚度设计的基本依据。

③ 强度校核与刚度校核 (Strength Check and Stiffness Check)

▮ 强度校核: 已知杆件的尺寸、材料和载荷，校核杆件的强度是否满足要求。
⚝ 计算杆件内的最大正应力 \( \sigma_{max} = \frac{F}{A} \)。
⚝ 查阅材料的容许应力 [ \( \sigma \)]。
⚝ 比较 \( \sigma_{max} \) 和 [ \( \sigma \)]，若 \( \sigma_{max} \leq [\sigma] \)，则强度满足要求；否则，强度不足，需要重新设计。

▮ 刚度校核: 已知杆件的尺寸、材料和载荷，校核杆件的刚度是否满足要求。
⚝ 计算杆件的轴向变形 \( \Delta L = \frac{FL}{AE} \)。
⚝ 查阅或根据规范确定容许变形 [ \( \Delta L \)]。
⚝ 比较 \( \Delta L \) 和 [ \( \Delta L \)]，若 \( \Delta L \leq [\Delta L] \)，则刚度满足要求；否则，刚度不足，需要重新设计。

④ 强度设计与刚度设计 (Strength Design and Stiffness Design)

▮ 强度设计: 在满足强度条件的前提下，确定杆件的横截面尺寸。
⚝ 根据强度条件 \( \frac{F}{A} \leq [\sigma] \)，反解出所需的最小横截面面积 \( A_{min} \geq \frac{F}{[\sigma]} \)。
⚝ 根据 \( A_{min} \) 选择合适的截面形状和尺寸，例如圆形截面、矩形截面等。

▮ 刚度设计: 在满足刚度条件的前提下，确定杆件的横截面尺寸或材料。
⚝ 根据刚度条件 \( \frac{FL}{AE} \leq [\Delta L] \)，反解出所需的最小刚度 \( (AE)_{min} \geq \frac{FL}{[\Delta L]} \)。
⚝ 可以通过增大横截面面积 \(A\) 或选择弹性模量 \(E\) 更大的材料来提高刚度，满足刚度要求。

▮ 强度设计与刚度设计的综合考虑: 在工程设计中，强度和刚度往往都需要满足。通常情况下，强度是首要条件，必须首先满足强度要求。在强度满足的前提下，再考虑刚度要求。有时强度和刚度可能互相制约，需要综合权衡，选择最优的设计方案。例如，为了提高刚度而过分增大截面尺寸，可能会导致材料浪费和结构自重增加，经济性降低。

⑤ 案例分析

例题: 一根钢制拉杆，承受轴向拉力 \(F = 100\) kN，长度 \(L = 3\) m。钢材的容许拉应力 [ \( \sigma_t \)] = 170 MPa，容许伸长量 [ \( \Delta L \)] = 2 mm，弹性模量 \(E = 200\) GPa。试设计圆截面拉杆的直径 \(d\)，并进行强度和刚度校核。

解:

1. 强度设计:
   根据强度条件 \( \frac{F}{A} \leq [\sigma_t] \)，所需最小横截面面积 \( A_{min} = \frac{F}{[\sigma_t]} = \frac{100 \times 10^3 \text{N}}{170 \times 10^6 \text{Pa}} = 5.88 \times 10^{-4} \text{m}^2 \)。
   圆截面面积 \( A = \frac{\pi d^2}{4} \)，则所需最小直径 \( d_{min} = \sqrt{\frac{4A_{min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 5.88 \times 10^{-4} \text{m}^2}{\pi}} = 27.4 \times 10^{-3} \text{m} = 27.4 \text{mm} \)。
   取直径 \(d = 30\) mm (取稍大的整数值，保证安全和便于加工)。实际横截面面积 \( A = \frac{\pi (30 \times 10^{-3} \text{m})^2}{4} = 7.07 \times 10^{-4} \text{m}^2 \)。

2. 强度校核:
   实际正应力 \( \sigma = \frac{F}{A} = \frac{100 \times 10^3 \text{N}}{7.07 \times 10^{-4} \text{m}^2} = 141.4 \times 10^6 \text{Pa} = 141.4 \text{MPa} \)。
   因为 \( \sigma = 141.4 \text{MPa} < [\sigma_t] = 170 \text{MPa} \)，所以强度满足要求。

3. 刚度校核:
   轴向伸长量 \( \Delta L = \frac{FL}{AE} = \frac{(100 \times 10^3 \text{N}) \times (3 \text{m})}{(7.07 \times 10^{-4} \text{m}^2) \times (200 \times 10^9 \text{Pa})} = 2.12 \times 10^{-3} \text{m} = 2.12 \text{mm} \)。
   因为 \( \Delta L = 2.12 \text{mm} > [\Delta L] = 2 \text{mm} \)，所以刚度不满足要求。

4. 重新进行刚度设计:
   根据刚度条件 \( \frac{FL}{AE} \leq [\Delta L] \)，所需最小刚度 \( (AE)_{min} = \frac{FL}{[\Delta L]} = \frac{(100 \times 10^3 \text{N}) \times (3 \text{m})}{2 \times 10^{-3} \text{m}} = 1.5 \times 10^{8} \text{N} \)。
   所需最小横截面面积 \( A_{min} = \frac{(AE)_{min}}{E} = \frac{1.5 \times 10^{8} \text{N}}{200 \times 10^9 \text{Pa}} = 7.5 \times 10^{-4} \text{m}^2 \)。
   所需最小直径 \( d_{min} = \sqrt{\frac{4A_{min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \times 7.5 \times 10^{-4} \text{m}^2}{\pi}} = 30.9 \times 10^{-3} \text{m} = 30.9 \text{mm} \)。
   取直径 \(d = 32\) mm。实际横截面面积 \( A = \frac{\pi (32 \times 10^{-3} \text{m})^2}{4} = 8.04 \times 10^{-4} \text{m}^2 \)。

5. 重新强度校核和刚度校核:
   实际正应力 \( \sigma = \frac{F}{A} = \frac{100 \times 10^3 \text{N}}{8.04 \times 10^{-4} \text{m}^2} = 124.4 \text{MPa} < [\sigma_t] = 170 \text{MPa} \)，强度满足要求。
   轴向伸长量 \( \Delta L = \frac{FL}{AE} = \frac{(100 \times 10^3 \text{N}) \times (3 \text{m})}{(8.04 \times 10^{-4} \text{m}^2) \times (200 \times 10^9 \text{Pa})} = 1.86 \times 10^{-3} \text{m} = 1.86 \text{mm} < [\Delta L] = 2 \text{mm} \)，刚度满足要求。

最终设计: 圆截面拉杆直径应取 \(d = 32\) mm，此时强度和刚度均满足要求。

通过本节的学习，我们掌握了轴向拉伸与压缩杆件的强度条件和刚度条件，以及如何进行强度校核、刚度校核、强度设计和刚度设计，为工程实践中的杆件设计提供了理论基础和方法。

3.2 扭转 (Torsion)

3.2.1 扭转剪应力与扭转角 (Torsional Shear Stress and Angle of Twist)

3.2.2 扭转强度与刚度 (Torsional Strength and Stiffness)

3.3 弯曲 (Bending)

3.3.1 弯曲正应力与剪应力 (Bending Normal Stress and Shear Stress)

3.3.2 梁的挠度计算 (Deflection Calculation of Beams)

3.4 组合变形 (Combined Deformations)

3.4.1 叠加原理 (Superposition Principle)

3.4.2 强度理论 (Strength Theories)

4. 结构分析基础 (Fundamentals of Structural Analysis)

概述

本章作为深入结构力学分析的基石，旨在介绍结构分析的核心概念，为读者构建完整的知识体系框架。我们将从工程结构的基本类型入手，详细剖析梁、桁架、框架、拱、索、壳等常见结构的特点及其力学行为。随后，我们将深入探讨支座类型与约束特性，以及工程中各类荷载的分类与特点，为结构受力分析奠定基础。最后，本章将着重阐述结构静定与超静定的概念，并介绍判断结构静定性的方法，为读者在后续章节中选择合适的结构分析方法提供至关重要的指导。通过本章的学习，读者将能够系统掌握结构分析的基本要素，为后续深入学习静力分析、动力分析、稳定分析等内容做好充分准备。

4.1 结构类型与特点 (Types and Characteristics of Structures)

结构类型繁多，根据不同的结构形式和受力特点，可以进行多角度的分类。在工程领域中，常见的结构类型包括梁、桁架、框架、拱、索、壳等。每种结构类型都有其独特的特点、受力性能和适用范围。理解这些结构类型的特性是进行有效结构分析和设计的首要步骤。

4.1.1 梁、桁架、框架 (Beams, Trusses, Frames)

梁 (Beams)、桁架 (Trusses) 和框架 (Frames) 是工程结构中最基本且应用最广泛的三种结构形式。它们在建筑、桥梁、机械等领域中扮演着至关重要的角色。

① 梁 (Beams)

▮ 结构形式：梁是最为简单和常见的结构构件，通常指的是在横向荷载作用下，主要承受弯曲变形的长条形构件。梁可以是直的，也可以是弯曲的，其横截面形状可以是矩形、工字形、圆形或其他形状。从静力学的角度来看，梁通常被简化为一维构件，其长度远大于横截面尺寸。

▮ 受力特点：梁的主要受力特点是承受垂直于其轴线的横向荷载。在横向荷载的作用下，梁内部会产生弯矩 (Bending Moment) 和剪力 (Shear Force)，并由此导致梁的弯曲变形。梁的主要功能是承受弯曲，并将荷载传递到支座。

▮ 工程应用：梁在工程中应用极为广泛，例如：

▮▮▮▮ⓐ 建筑结构：楼板梁、屋面梁、过梁等，用于支撑楼板、屋面等构件，并将荷载传递到柱子或墙体。
▮▮▮▮ⓑ 桥梁结构：桥梁的主梁、横梁等，是桥梁结构的主要承重构件，承受桥面荷载和车辆荷载。
▮▮▮▮ⓒ 机械结构：机床床身、起重机梁、各种机械设备的支撑梁等，用于支撑和传递机械设备的荷载。

▮ 差异与联系：梁是最基本的结构单元，是构成更复杂结构的基础。理解梁的受力特性是分析桁架和框架等结构的前提。

② 桁架 (Trusses)

▮ 结构形式：桁架是由杆件通过铰接连接而成的网状结构。桁架的杆件通常是直杆，并且连接节点（节点 (Joint)）被理想化为铰接，即节点处杆件之间不能传递弯矩，只能传递轴力。桁架结构通常呈三角形单元组合，以保证结构的几何不变性。

▮ 受力特点：理想桁架的杆件主要承受轴向拉力或压力，而弯矩和剪力在杆件中被忽略不计。桁架通过杆件的轴力传递荷载，具有重量轻、承载能力强的优点。

▮ 工程应用：桁架常用于需要大跨度或轻型结构的场合，例如：

▮▮▮▮ⓐ 桥梁结构：桁架桥，利用桁架结构可以实现较大的跨度，同时减轻结构自重。
▮▮▮▮ⓑ 屋盖结构：大跨度工业厂房、体育馆等的屋盖桁架，可以提供开阔的内部空间。
▮▮▮▮ⓒ 塔架结构：输电塔、通信塔等，利用桁架结构可以有效地抵抗风荷载。

▮ 差异与联系：桁架与梁的主要区别在于受力模式。梁主要承受弯曲，而桁架杆件主要承受轴力。桁架结构可以看作是由许多梁单元通过特定方式组合而成，但其整体受力特性与梁有显著不同。

③ 框架 (Frames)

▮ 结构形式：框架是由梁和柱通过刚性连接或铰接连接而成的结构体系。框架结构中的节点可以是刚接节点 (Rigid Joint) 或铰接节点 (Pinned Joint)，刚接节点能够传递弯矩、剪力和轴力，铰接节点则只能传递剪力和轴力，理想铰接节点只能传递轴力。实际工程中，多数框架节点接近于刚接，可以有效地传递弯矩。

▮ 受力特点：框架结构中的梁和柱共同承受竖向和水平荷载。由于框架节点通常是刚性的，因此框架结构中不仅杆件承受轴力，还承受弯矩和剪力。框架结构具有良好的整体性和空间刚度。

▮ 工程应用：框架结构是现代建筑中最主要的结构形式之一，例如：

▮▮▮▮ⓐ 多层和高层建筑：框架结构是高层建筑常用的结构形式，可以提供较大的开阔空间，并具有良好的抗震性能。
▮▮▮▮ⓑ 工业厂房：框架结构可以用于建造单层或多层工业厂房，适应不同的工艺布局需求。
▮▮▮▮ⓒ 桥梁结构：刚构桥属于框架桥的一种，具有良好的抗震性能和美观性。

▮ 差异与联系：框架结构可以看作是梁和柱的组合，它综合了梁和柱的受力特点，既能承受弯曲，又能承受轴向力。框架结构比梁和桁架结构更为复杂，其分析也更具挑战性。框架结构可以退化为梁或桁架结构，例如，当框架的柱子退化为支座时，框架就变成了梁；当框架的节点都变为铰接时，框架在一定程度上可以近似为桁架。

总结而言，梁、桁架和框架是工程结构中三种基本且重要的结构形式，它们各有特点，适用范围也不同。理解它们的结构形式、受力特点、工程应用以及相互之间的差异与联系，是掌握结构分析基础的关键。

4.1.2 拱、索、壳 (Arches, Cables, Shells)

拱 (Arches)、索 (Cables) 和壳 (Shells) 是工程结构中利用曲面或曲线形状实现高效承载的特殊结构形式。它们在跨越能力、材料利用率和美学效果等方面具有独特的优势。

① 拱 (Arches)

▮ 结构形式：拱是一种弯曲的结构，通常呈弧形，用于跨越较大的空间。拱的主要特点是通过其曲线形状将竖向荷载转化为轴向压力传递到拱脚 (Arch Abutment)。拱可以是实体的，也可以是空腹的，其截面形式多样。

▮ 受力特点：在理想状态下，拱主要承受轴向压力，弯矩和剪力较小。拱的这种受力特点使其能够充分利用抗压强度较高的材料（如混凝土、砌体），从而实现较大的跨越能力。

▮ 工程应用：拱结构在桥梁、隧道、屋盖等方面有着广泛的应用，例如：

▮▮▮▮ⓐ 桥梁结构：拱桥，利用拱的受压特性，可以建造跨度较大的桥梁，如赵州桥、悉尼海港大桥等都是著名的拱桥。
▮▮▮▮ⓑ 隧道工程：拱形隧道，利用拱的形状可以有效地承受土压力和岩石压力。
▮▮▮▮ⓒ 建筑屋盖：拱形屋顶，可以实现大跨度的屋盖结构，同时具有良好的空间感和美学效果。

▮ 力学原理：拱高效承载的关键在于其合理的曲线形状，使得在竖向荷载作用下，拱轴线 (Arch Axis) 尽可能与压力线 (Line of Pressure) 重合，从而减小或消除弯矩和剪力，使结构主要承受轴向压力。理想拱的拱轴线形状与荷载分布有关，例如，均布荷载作用下的理想拱轴线是抛物线。

② 索 (Cables)

▮ 结构形式：索是由柔性材料（如钢丝、钢绞线）制成的线状构件。索的主要特点是只能承受拉力，不能承受压力和弯矩。索的形状会随着荷载的变化而改变，具有良好的适应性。

▮ 受力特点：索是典型的拉索结构，主要承受拉力。索的拉力可以有效地平衡竖向荷载，并将荷载传递到锚固点 (Anchorage)。索的承载能力主要取决于其抗拉强度。

▮ 工程应用：索结构在桥梁、屋盖、索道等方面有着重要的应用，例如：

▮▮▮▮ⓐ 桥梁结构：悬索桥 (Suspension Bridge) 和斜拉桥 (Cable-Stayed Bridge)，利用主缆和斜拉索承受桥面荷载，实现超大跨度的桥梁。如金门大桥、苏通长江大桥等都是著名的索结构桥梁。
▮▮▮▮ⓑ 屋盖结构：索膜结构，利用索和膜材共同构成轻型屋盖，具有造型灵活、采光性好的特点。
▮▮▮▮ⓒ 索道工程：客运索道、货运索道等，利用钢索作为承载和牵引构件。

▮ 力学原理：索高效承载的关键在于其“以柔克刚”的特性。索通过改变自身形状来适应荷载，始终保持在拉伸状态。索的形状与荷载分布密切相关，例如，均布荷载作用下的索呈悬链线 (Catenary) 形状，集中荷载作用下的索呈折线形状。

③ 壳 (Shells)

▮ 结构形式：壳是由曲面围成的薄壁空间结构。壳的厚度远小于其曲率半径和跨度，具有轻薄、高效的特点。壳可以是单曲壳 (Single-Curvature Shell) 或双曲壳 (Double-Curvature Shell)，其曲面形式多样，如球面壳、柱面壳、双曲抛物面壳等。

▮ 受力特点：壳结构主要通过薄膜内力 (Membrane Forces) （轴向拉压和剪切）来传递荷载，弯矩和剪力相对较小。壳的曲面形状使其具有良好的空间刚度和承载能力。

▮ 工程应用：壳结构在大型公共建筑、体育场馆、储罐等方面有着广泛的应用，例如：

▮▮▮▮ⓐ 建筑屋盖：壳体屋盖，可以实现大跨度、轻型化的屋盖结构，同时具有优美的造型。如悉尼歌剧院、鸟巢体育场等都采用了壳体结构。
▮▮▮▮ⓑ 储液罐：球形储罐、椭球形储罐等，利用壳的形状可以有效地承受内压或外压。
▮▮▮▮ⓒ 航空航天结构：飞机机身、火箭外壳等，利用壳结构可以实现轻量化和高强度。

▮ 力学原理：壳高效承载的关键在于其曲面形状和薄壁特性。曲面形状使得荷载能够分散传递到整个壳体表面，形成均匀的薄膜内力，从而充分利用材料强度。双曲壳比单曲壳具有更高的刚度和稳定性，能够更好地抵抗各种荷载。

总结而言，拱、索、壳是工程结构中利用曲线或曲面形状实现高效承载的特殊结构形式。它们通过独特的受力机制，实现了材料的优化利用和结构的轻型化。理解它们的结构形式、受力特点、工程应用以及高效承载的力学原理，有助于拓展结构设计的思路和视野。

4.2 支座与荷载 (Supports and Loads)

结构分析的基础在于准确地确定结构的受力状态，这包括结构的支座条件和荷载情况。支座 (Supports) 提供了对结构的约束，而荷载 (Loads) 则是作用在结构上的外部作用力。正确地理解和处理支座与荷载，是进行结构分析的关键步骤。

4.2.1 支座类型与约束 (Types of Supports and Constraints)

支座是连接结构与基础或其他支撑结构的构件，其作用是限制结构的位移和转动，并提供反力 (Support Reactions) 以维持结构的平衡。根据约束特性的不同，工程结构中常见的支座类型主要有铰支座、固定支座和滚动支座。

① 铰支座 (Hinged Support)

▮ 构造特点：铰支座允许结构端部绕支座铰 свободно转动，但限制了结构端部在两个相互垂直方向上的平动位移。铰支座的构造形式多种多样，例如，简支梁的梁端支座、桁架结构的节点支座等。

▮ 约束特性：铰支座提供两个方向的约束反力，通常为水平反力 \(R_x\) 和竖直反力 \(R_y\)。铰支座不限制结构的转动，因此不产生约束力矩。

▮ 自由度约束：铰支座约束了结构端部的两个平动自由度，释放了一个转动自由度。

▮ 工程符号：在结构力学分析中，铰支座通常用三角形符号表示，如图 4.2.1(a) 所示。

                                
                                    

                            
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   (a) 铰支座 (Hinged Support)
                        

                            
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<center>图 4.2.1 常见支座类型示意图</center>
                        

                            
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② **固定支座 (Fixed Support)**
                        

                            
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▮ **构造特点**：固定支座完全限制了结构端部的平动和转动位移。结构端部与固定支座连接后，既不能平动，也不能转动。例如，悬臂梁的固定端、框架结构的刚性连接柱脚等。
                        

                            
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▮ **约束特性**：固定支座提供三个方向的约束反力，包括水平反力 \(R_x\)、竖直反力 \(R_y\) 和约束力矩 \(M_z\)。固定支座能够完全约束结构端部的运动。
                        

                            
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▮ **自由度约束**：固定支座约束了结构端部的全部三个自由度，即两个平动自由度和一个转动自由度。
                        

                            
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▮ **工程符号**：在结构力学分析中，固定支座通常用填充三角形符号表示，如图 4.2.1(b) 所示。
                        
                                
                            

(b) 固定支座 (Fixed Support)
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<center>图 4.2.1 常见支座类型示意图</center>
                        

                            
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③ **滚动支座 (Roller Support)**
                        

                            
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▮ **构造特点**：滚动支座允许结构端部在一个方向上自由平动，并允许绕支座滚动轴线自由转动，但限制了结构端部在垂直于滚动方向上的平动位移。滚动支座通常通过滚轴或滚珠实现，例如，桥梁的活动支座、温度变化伸缩缝处的支座等。
                        

                            
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▮ **约束特性**：滚动支座只提供一个方向的约束反力，即垂直于滚动方向的反力 \(R_y\)。滚动支座在滚动方向上不提供约束反力，也不提供约束力矩。
                        

                            
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▮ **自由度约束**：滚动支座约束了结构端部的一个平动自由度，释放了另外一个平动自由度和一个转动自由度。
                        

                            
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▮ **工程符号**：在结构力学分析中，滚动支座通常用带滚轮的三角形符号表示，如图 4.2.1(c) 所示。
                        
                                
                            

(c) 滚动支座 (Roller Support)
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O O
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④ 支座反力的确定

支座反力是支座对结构的约束作用力，其方向与结构在该方向上的位移趋势相反。确定支座反力是结构静力分析的首要任务。对于静定结构，可以根据静力平衡方程 (Equilibrium Equations) 直接求解支座反力。平面结构的静力平衡方程通常包括三个：

\[ \sum F_x = 0 \]
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum M_z = 0 \]

其中，\(\sum F_x = 0\) 表示水平方向合力为零；\(\sum F_y = 0\) 表示竖直方向合力为零；\(\sum M_z = 0\) 表示对任一点的力矩之和为零。通过联立这三个方程，可以求解平面静定结构的支座反力。

对于空间结构，静力平衡方程则有六个，包括三个方向的合力方程和三个方向的力矩方程。

理解各种支座类型的约束特性，并掌握支座反力的确定方法，是进行结构静力分析的基础。在实际工程分析中，需要根据结构的具体支座形式，合理地确定支座类型和约束反力。

4.2.2 荷载类型与分类 (Types and Classification of Loads)

荷载是作用在结构上的各种外力及其效应的总称。工程结构承受的荷载种类繁多，根据不同的分类标准，可以分为不同的类型。常见的荷载分类方式包括按时间效应分类和按空间分布分类。

① 按时间效应分类

根据荷载随时间变化的特性，可以分为静力荷载 (Static Load) 和动力荷载 (Dynamic Load)。

▮ 静力荷载 (Static Load)：静力荷载是指随时间变化缓慢或不随时间变化的荷载，其作用时间较长，结构在荷载作用下产生的惯性力可以忽略不计。常见的静力荷载包括：

▮▮▮▮ⓐ 永久荷载 (Dead Load)：指在结构使用期间，其值不随时间变化，且持续作用于结构上的荷载。例如，结构自重、固定设备的重量、建筑装修的重量等。永久荷载是结构设计中必须考虑的基本荷载。

▮▮▮▮ⓑ 可变荷载 (Live Load)：指在结构使用期间，其值随时间变化，且可能出现也可能不出现的荷载。例如，楼面活荷载、屋面活荷载、桥梁车辆荷载、风荷载、雪荷载等。可变荷载是结构设计中需要重点考虑的控制性荷载。

▮ 动力荷载 (Dynamic Load)：动力荷载是指随时间快速变化的荷载，其作用时间较短，结构在荷载作用下产生的惯性力不可忽略。常见的动力荷载包括：

▮▮▮▮ⓐ 冲击荷载 (Impact Load)：指作用时间极短，强度很大的荷载，如爆炸荷载、撞击荷载等。冲击荷载对结构产生瞬时冲击作用，可能引起结构的剧烈振动和破坏。

▮▮▮▮ⓑ 地震荷载 (Seismic Load)：指地震引起的地面运动对结构的作用。地震荷载具有随机性、脉冲性和水平方向作用为主的特点，是结构抗震设计的主要考虑因素。

▮▮▮▮ⓒ 振动荷载 (Vibration Load)：指周期性或随机性变化的荷载，如机械设备的运转荷载、交通车辆的行驶荷载、风的脉动荷载等。振动荷载可能引起结构的共振，导致结构疲劳破坏或功能失效。

② 按空间分布分类

根据荷载在结构上的分布范围，可以分为集中荷载 (Concentrated Load) 和分布荷载 (Distributed Load)。

▮ 集中荷载 (Concentrated Load)：集中荷载是指作用面积很小，可以近似看作作用于一点的荷载。例如，柱子传递给梁的荷载、吊车的吊钩荷载等。在结构分析中，集中荷载通常用一个带箭头的力矢量表示，箭头方向表示荷载作用方向，箭头位置表示荷载作用点。

▮ 分布荷载 (Distributed Load)：分布荷载是指作用在一定面积或长度上的荷载。根据分布的均匀性，分布荷载又可以分为：

▮▮▮▮ⓐ 均布荷载 (Uniformly Distributed Load)：指在一定范围内的分布是均匀的，单位长度或单位面积上的荷载强度为常数。例如，楼板上的均布活荷载、梁的自重荷载等。均布荷载在结构分析中经常遇到，处理相对简单。

▮▮▮▮ⓑ 非均布荷载 (Non-uniformly Distributed Load)：指在一定范围内的分布是不均匀的，单位长度或单位面积上的荷载强度随位置变化。例如，水压力、风压力等。非均布荷载的分析相对复杂，需要根据具体分布规律进行处理。

在实际工程结构中，可能同时存在多种类型的荷载，例如，建筑结构既承受永久荷载和可变荷载等静力荷载，也可能承受风荷载和地震荷载等动力荷载。进行结构分析时，需要根据结构的具体情况，全面考虑各种可能的荷载类型及其组合，以确保结构的安全可靠。

4.3 结构的静定与超静定 (Determinacy and Indeterminacy of Structures)

结构的静定性 (Static Determinacy) 和超静定性 (Static Indeterminacy) 是结构力学中的重要概念，它关系到结构分析方法的选择和复杂程度。结构的静定性是指能否仅根据静力平衡方程求解结构的所有未知反力和内力。反之，如果仅靠静力平衡方程不足以求解所有未知量，则该结构为超静定结构。

4.3.1 静定结构的判别 (Determination of Statically Determinate Structures)

静定结构是指可以完全根据静力平衡方程求解所有支座反力和杆件内力的结构。判别结构是否为静定结构，通常可以通过以下方法：

① 平衡方程法

对于平面结构，静力平衡方程数为 3 个（\(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), \(\sum M_z = 0\))；对于空间结构，静力平衡方程数为 6 个。设结构中未知反力和未知内力的总数为 \(U\)，静力平衡方程数为 \(E\)。

▮ 静定条件：如果 \(U = E\)，且平衡方程彼此独立，则结构为静定结构。这意味着未知数的数量等于方程的数量，且方程组有唯一解。

▮ 静不定条件：如果 \(U > E\)，则结构为超静定结构。这意味着未知数的数量多于方程的数量，仅靠平衡方程无法求解所有未知数。

▮ 几何可变体系：如果 \(U < E\)，则结构为几何可变体系 (Kinematically Unstable Structure) 或机构 (Mechanism)。这种结构在荷载作用下会发生无限大的位移，无法保持平衡，因而不属于工程结构范畴。

需要注意的是，\(U = E\) 只是结构静定的必要条件，而非充分条件。还需要保证平衡方程彼此独立，并且结构的几何组成是几何不变体系。

② 几何组成分析法

几何组成分析法是从结构的几何构成角度来判别结构的静定性、超静定性和几何可变性。基本思想是将结构分解为若干个基本组成部分，如基本构件 (Basic Member) 和结点 (Node)，然后分析这些组成部分之间的连接方式和约束情况。

对于平面梁、刚架等结构，可以采用以下简化判别公式：

\[ r = 3n - j \]

其中，\(r\) 为支座约束反力数，\(n\) 为构件数，\(j\) 为结点数。

▮ 静定条件：如果 \(r = 3n - j\)，且结构几何不变，则结构为静定结构。

▮ 超静定条件：如果 \(r > 3n - j\)，且结构几何不变，则结构为超静定结构。超静定次数 \(m = r - (3n - j)\)。

▮ 几何可变体系：如果 \(r < 3n - j\)，或结构几何可变，则结构为几何可变体系。

几何不变性 是指结构在不受外力作用时，其几何形状不发生改变。判断几何不变性需要从结构的组成方式入手，例如，三角形是最基本的几何不变单元，由三角形单元组成的结构通常是几何不变的。

例 4.3.1 判别图 4.3.1 所示简支梁的静定性。

                                
                                    

                            
1
                            
     A         B
                        

                            
2
                            
     |         |
                        

                            
3
                            
     ▵-------
                        
                                
                            

解：

⚝ 平衡方程法：简支梁为平面结构，平衡方程数 \(E = 3\)。支座 A 为铰支座，提供 2 个反力；支座 B 为滚动支座，提供 1 个反力。未知反力数 \(U = 2 + 1 = 3\)。由于 \(U = E = 3\)，且结构几何不变，因此简支梁为静定结构。

⚝ 几何组成分析法：简支梁构件数 \(n = 1\)，结点数 \(j = 2\) (A 和 B)。支座约束反力数 \(r = 3\)。计算 \(3n - j = 3 \times 1 - 2 = 1\)。由于 \(r = 3 > 1 = 3n - j\) ？ 错误！ \(r = 3\) 是支座反力总数，公式中的 \(r\) 应该理解为 “必要的支座反力数”，即维持结构静定的最少支座反力数。对于平面梁，最少需要 3 个支座反力才能静定。 正确的理解是： 自由度 (DOF) = \(3n - r\)，静定条件是 DOF = 0。 或者，使用公式 \(r = 3 + c\)，其中 \(c\) 是闭合环数。对于简支梁， \(n=1\), 铰支座约束2个自由度，滚动支座约束1个自由度，总约束反力数为 3。 自由度 = \(3 \times 1 - 3 = 0\)。 因此，是静定结构。 更直接的方法，对于梁结构，可以简化为 \(r = 3\)。简支梁的支座反力数为 3，满足静定条件。

结论：简支梁为静定结构。

4.3.2 超静定结构的特点 (Characteristics of Statically Indeterminate Structures)

超静定结构是指仅凭静力平衡方程不足以求解所有支座反力和杆件内力的结构。超静定结构具有以下特点：

① 超静定反力与内力：超静定结构中，支座反力和杆件内力除了满足静力平衡条件外，还与结构的变形协调条件 (Compatibility Conditions) 和材料的本构关系 (Constitutive Relations) 有关。因此，求解超静定结构需要补充变形协调方程和物理方程。

② 内力重分布：超静定结构具有内力重分布的能力。当结构局部出现塑性变形或支座沉降时，内力会发生调整和重新分配，从而提高结构的承载能力和安全性。这种内力重分布特性是静定结构所不具备的。

③ 刚度较大：与静定结构相比，超静定结构由于受到更多的约束，其刚度 (Stiffness) 较大，变形较小，抵抗变形的能力较强。因此，在对结构刚度有较高要求的场合，常采用超静定结构。

④ 对支座沉降、温度变化敏感度降低：虽然超静定结构的内力与变形协调条件有关，但一定程度的支座沉降或温度变化引起的附加内力相对较小。相比之下，静定结构对支座沉降和温度变化更为敏感，容易产生较大的附加内力。

⑤ 分析方法复杂：由于超静定结构的求解需要考虑变形协调条件和本构关系，其分析方法比静定结构复杂得多。常用的超静定结构分析方法包括力法 (Force Method)、位移法 (Displacement Method)、能量法 (Energy Methods) 和有限元法 (Finite Element Method) 等。

例 4.3.2 判别图 4.3.2 所示固端梁的静定性。

                                
                                    

                            
1
                            
     A         B
                        

                            
2
                            
     |---------|
                        

                            
3
                            
     FIXED     FIXED
                        
                                
                            

解：

⚝ 平衡方程法：固端梁为平面结构，平衡方程数 \(E = 3\)。支座 A 和支座 B 均为固定支座，每个固定支座提供 3 个反力。未知反力数 \(U = 3 + 3 = 6\)。由于 \(U > E\) (6 > 3)，因此固端梁为超静定结构。超静定次数 \(m = U - E = 6 - 3 = 3\)。

⚝ 几何组成分析法：固端梁构件数 \(n = 1\)，结点数 \(j = 2\) (A 和 B)。支座约束反力数 \(r = 6\)。计算 \(3n - j = 3 \times 1 - 2 = 1\)。由于 \(r = 6 > 1 = 3n - j\)，因此固端梁为超静定结构。超静定次数 \(m = r - (3n - j) = 6 - 1 = 5\) ？ 错误！ 公式 \(r = 3n - j\) 对于复杂结构可能不适用。 对于梁，更简单的判别方法是看支座约束反力数是否大于 3。 固端梁支座反力数为 6，大于 3，因此是超静定结构。 超静定次数应该用 “多余约束” 的概念来理解。 对于平面梁，静定需要 3 个约束，固端梁有 6 个约束，因此多余约束为 \(6 - 3 = 3\)，超静定次数为 3。

结论：固端梁为三次超静定结构。

理解结构的静定性与超静定性，掌握判别结构静定性的方法，是选择合适的结构分析方法的前提。对于静定结构，可以直接利用静力平衡方程求解；而对于超静定结构，则需要采用更高级的结构力学方法进行分析。

5. 静定结构分析 (Analysis of Statically Determinate Structures)

本章系统介绍了静定结构 (statically determinate structures) 的内力分析方法，包括几何法、静力法、叠加法等，重点讲解了静定梁 (statically determinate beams)、静定桁架 (statically determinate trusses) 和静定框架 (statically determinate frames) 的内力计算方法。

5.1 静定梁的分析 (Analysis of Statically Determinate Beams)

本节详细讲解了静定梁的支座反力计算 (support reaction calculation)、剪力图 (shear force diagram) 和弯矩图 (bending moment diagram) 的绘制方法，以及梁的强度和刚度校核。

5.1.1 支座反力计算 (Support Reaction Calculation)

静定梁 (statically determinate beams) 的支座反力 (support reactions) 可以通过 平衡方程 (equilibrium equations) 直接求解。对于平面梁，通常有三个独立的平衡方程可用于求解未知反力：

① 水平力平衡方程 (horizontal force equilibrium equation): 梁上所有水平方向外力分量之和等于零。
\[ \sum F_{x} = 0 \]
该方程表示梁在水平方向上处于静力平衡状态。

② 竖直力平衡方程 (vertical force equilibrium equation): 梁上所有竖直方向外力分量之和等于零。
\[ \sum F_{y} = 0 \]
该方程表示梁在竖直方向上处于静力平衡状态。

③ 力矩平衡方程 (moment equilibrium equation): 梁上所有外力对任一点的力矩之和等于零。通常选择支座位置作为力矩中心，以简化计算。
\[ \sum M_{z} = 0 \]
该方程表示梁绕垂直于平面的轴处于静力平衡状态。

计算步骤 (calculation steps)：

① 绘制梁的自由体图 (free body diagram, FBD)：
▮▮▮▮⚝ 将梁从结构中分离出来，并画出其轮廓。
▮▮▮▮⚝ 标出梁上已知的外力，包括集中力 (concentrated force)、分布力 (distributed force) 和力偶 (couple)。
▮▮▮▮⚝ 根据支座类型，画出支座反力的方向和位置。常见的支座类型包括：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 铰支座 (hinged support)：约束水平和竖直方向的位移，产生水平和竖直两个方向的反力。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 滚动支座 (roller support)：约束垂直于滚动面的位移，产生垂直于滚动面的反力。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 固定支座 (fixed support)：约束水平和竖直方向的位移以及转动，产生水平和竖直两个方向的反力以及一个力偶矩 (moment couple)。

② 列出平衡方程 (establish equilibrium equations)：
▮▮▮▮⚝ 根据自由体图，分别列出水平力平衡方程、竖直力平衡方程和力矩平衡方程。
▮▮▮▮⚝ 力矩平衡方程可以绕任意点建立，但通常为了简化计算，选择支座位置作为力矩中心，可以消去部分未知反力，从而更容易求解。

③ 求解平衡方程 (solve equilibrium equations)：
▮▮▮▮⚝ 联立求解列出的平衡方程组，得到支座反力的数值和方向。
▮▮▮▮⚝ 求解过程中，可以先从力矩平衡方程入手，求解出一个或多个反力，然后代入其他平衡方程，逐步求解出所有未知反力。
▮▮▮▮⚝ 注意反力方向的假设，如果解出的反力为正值，则方向与假设方向一致；如果为负值，则方向与假设方向相反。

注意事项 (precautions)：

⚝ 单位统一 (unit consistency)：在计算过程中，确保所有力的单位和长度单位统一。
⚝ 力矩中心的选择 (selection of moment center)：选择合适的力矩中心可以简化计算，通常选择支座位置或力的作用线交点作为力矩中心。
⚝ 反力方向的假设 (assumption of reaction direction)：可以先假设反力的方向，根据求解结果的正负判断假设是否正确。
⚝ 静定性判断 (determinacy check)：确保结构是静定的，即未知反力数量等于独立的平衡方程数量。对于平面梁，静定条件为 \(r = 3\)，其中 \(r\) 为反力数量。

案例 (example)：

假设有一简支梁 (simply supported beam)，跨度为 \(L\)，梁中央承受集中荷载 \(P\)。梁的两端分别为铰支座 \(A\) 和滚动支座 \(B\)。

1. 自由体图 (FBD)：
   ▮▮▮▮⚝ 画出梁的轮廓，标出集中荷载 \(P\) 的位置和方向。
   ▮▮▮▮⚝ 铰支座 \(A\) 产生水平反力 \(R_{Ax}\) 和竖直反力 \(R_{Ay}\)。
   ▮▮▮▮⚝ 滚动支座 \(B\) 产生竖直反力 \(R_{By}\)。

2. 平衡方程 (equilibrium equations)：
   ▮▮▮▮⚝ 水平力平衡方程：\( \sum F_{x} = R_{Ax} = 0 \)
   ▮▮▮▮⚝ 竖直力平衡方程：\( \sum F_{y} = R_{Ay} + R_{By} - P = 0 \)
   ▮▮▮▮⚝ 对支座 \(A\) 取力矩平衡方程：\( \sum M_{A} = R_{By} \cdot L - P \cdot \frac{L}{2} = 0 \)

3. 求解平衡方程 (solve equilibrium equations)：
   ▮▮▮▮⚝ 由水平力平衡方程得：\( R_{Ax} = 0 \)
   ▮▮▮▮⚝ 由力矩平衡方程得：\( R_{By} = \frac{P}{2} \)
   ▮▮▮▮⚝ 代入竖直力平衡方程得：\( R_{Ay} = P - R_{By} = P - \frac{P}{2} = \frac{P}{2} \)

因此，支座反力为：\( R_{Ax} = 0 \)，\( R_{Ay} = \frac{P}{2} \)，\( R_{By} = \frac{P}{2} \)。

5.1.2 剪力图与弯矩图 (Shear Force and Bending Moment Diagrams)

剪力图 (Shear Force Diagram, SFD) 和 弯矩图 (Bending Moment Diagram, BMD) 是描述梁内 剪力 (shear force) 和 弯矩 (bending moment) 沿梁轴线分布规律的图形。绘制剪力图和弯矩图是分析梁内力、进行强度和刚度校核的重要步骤。

绘制规则 (drawing rules)：

① 剪力 (Shear Force, \(V\)) 的符号规定：
▮▮▮▮⚝ 正剪力 (positive shear force)：在梁的横截面上，左侧截面的剪力方向 向上，或 右侧截面的剪力方向 向下。
▮▮▮▮⚝ 负剪力 (negative shear force)：在梁的横截面上，左侧截面的剪力方向 向下，或 右侧截面的剪力方向 向上。

② 弯矩 (Bending Moment, \(M\)) 的符号规定：
▮▮▮▮⚝ 正弯矩 (positive bending moment)：使梁产生 下凸 (sagging) 变形的弯矩，通常认为梁 下侧受拉，上侧受压。
▮▮▮▮⚝ 负弯矩 (negative bending moment)：使梁产生 上凸 (hogging) 变形的弯矩，通常认为梁 上侧受拉，下侧受压。

③ 绘制方法 (drawing methods)：
▮▮▮▮⚝ 截面法 (method of sections)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 在梁上沿轴线选取一系列截面，截面位置应包括荷载突变点、支座位置和梁的端点。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 对于每个截面，取梁的 左侧 或 右侧 部分作为研究对象。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 根据静力平衡条件，计算截面上的剪力和弯矩。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 将计算得到的剪力和弯矩值绘制在对应的截面位置，并用直线或曲线连接各点，形成剪力图和弯矩图。

▮▮▮▮⚝ 微分关系法 (differential relationship method)：
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 利用剪力 \(V(x)\)、弯矩 \(M(x)\) 与荷载 \(q(x)\) 之间的微分关系：
\[ \frac{dV(x)}{dx} = -q(x) \]
\[ \frac{dM(x)}{dx} = V(x) \]
其中，\(q(x)\) 为分布荷载集度，方向向上为正，向下为负。集中力可以看作是分布荷载在极小范围内的极限情况。
▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 根据微分关系，可以分析剪力图和弯矩图的形状变化规律：
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 在 无分布荷载区段，\(q(x) = 0\)，则 \( \frac{dV(x)}{dx} = 0 \)，剪力图为 水平直线；\( \frac{dM(x)}{dx} = V(x) = \text{常数} \)，弯矩图为 斜直线。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 在 均布荷载区段，\(q(x) = \text{常数}\)，则 \( \frac{dV(x)}{dx} = -\text{常数} \)，剪力图为 斜直线；\( \frac{dM(x)}{dx} = V(x) \)，弯矩图为 二次抛物线。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 在 集中力作用点，剪力图发生 突变，突变值等于集中力的大小，方向与集中力方向一致。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 在 集中力偶作用点，弯矩图发生 突变，突变值等于集中力偶的大小，符号与力偶符号一致。
▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮▮⚝ 在 剪力图为零的点或区段，弯矩图取得 极值或保持不变。

绘制步骤 (drawing steps)：

① 计算支座反力 (calculate support reactions)：首先计算梁的支座反力。

② 分段 (segmentation)：将梁沿轴线分成若干段，分段点应包括荷载突变点、支座位置和梁的端点。

③ 建立坐标系 (establish coordinate system)：沿梁轴线建立 \(x\) 坐标轴，原点通常设置在梁的左端。

④ 写出剪力方程和弯矩方程 (write shear force and bending moment equations)：在每段梁上，利用截面法，取梁的左侧部分为研究对象（或右侧），列出剪力 \(V(x)\) 和弯矩 \(M(x)\) 的表达式。注意符号规定。

⑤ 绘制剪力图和弯矩图 (draw SFD and BMD)：根据剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图和弯矩图。注意关键点的数值和图线的形状。

利用剪力图和弯矩图分析梁内力分布 (analysis of internal force distribution using SFD and BMD)：

⚝ 最大剪力 (maximum shear force)：剪力图中的最大绝对值，用于剪切强度校核。
⚝ 最大弯矩 (maximum bending moment)：弯矩图中的最大绝对值，用于弯曲强度校核。
⚝ 弯矩为零点 (zero bending moment points)：弯矩图与 \(x\) 轴的交点，表示梁的弯矩为零，这些点可能是梁的挠曲点 (inflection points)。
⚝ 剪力为零点 (zero shear force points)：剪力图与 \(x\) 轴的交点，对应弯矩图的极值点。

案例 (example)：

仍以简支梁为例，跨度 \(L\)，中央承受集中荷载 \(P\)。支座反力已计算得 \( R_{Ay} = R_{By} = \frac{P}{2} \)，\( R_{Ax} = 0 \)。

1. 分段 (segmentation)：梁分为两段：\(0 \le x < \frac{L}{2}\) 和 \(\frac{L}{2} \le x \le L\)。

2. 剪力方程和弯矩方程 (shear force and bending moment equations)：
   ▮▮▮▮⚝ 段 \(0 \le x < \frac{L}{2}\)：取梁左侧部分，剪力 \( V(x) = R_{Ay} = \frac{P}{2} \)，弯矩 \( M(x) = R_{Ay} \cdot x = \frac{P}{2}x \)。
   ▮▮▮▮⚝ 段 \(\frac{L}{2} \le x \le L\)：取梁左侧部分，剪力 \( V(x) = R_{Ay} - P = \frac{P}{2} - P = -\frac{P}{2} \)，弯矩 \( M(x) = R_{Ay} \cdot x - P \cdot (x - \frac{L}{2}) = \frac{P}{2}x - Px + \frac{PL}{2} = \frac{P}{2}(L-x) \)。

3. 剪力图和弯矩图 (SFD and BMD)：
   ▮▮▮▮⚝ 剪力图：在 \(0 \le x < \frac{L}{2}\) 区段，\(V(x) = \frac{P}{2}\) 为正常数；在 \(\frac{L}{2} \le x \le L\) 区段，\(V(x) = -\frac{P}{2}\) 为负常数。在 \(x = \frac{L}{2}\) 处剪力发生突变，从 \(+\frac{P}{2}\) 突变为 \(-\frac{P}{2}\)。
   ▮▮▮▮⚝ 弯矩图：在 \(0 \le x < \frac{L}{2}\) 区段，\(M(x) = \frac{P}{2}x\) 为正斜直线，从 0 线性增加到 \( \frac{PL}{4} \)；在 \(\frac{L}{2} \le x \le L\) 区段，\(M(x) = \frac{P}{2}(L-x)\) 为正斜直线，从 \( \frac{PL}{4} \) 线性减小到 0。最大弯矩发生在 \(x = \frac{L}{2}\) 处，\(M_{max} = \frac{PL}{4}\)。

通过剪力图和弯矩图，可以清晰地了解梁的内力分布情况，为后续的强度和刚度校核提供依据。

5.2 静定桁架的分析 (Analysis of Statically Determinate Trusses)

本节介绍了静定桁架 (statically determinate trusses) 的 节点法 (method of joints) 和 截面法 (method of sections) 两种内力分析方法，并详细讲解了这两种方法的步骤和应用。

5.2.1 节点法 (Method of Joints)

节点法 (method of joints) 是基于 节点平衡条件 (joint equilibrium conditions) 分析桁架杆件内力的方法。桁架是由 杆件 (members) 通过 节点 (joints) 连接而成的结构，节点通常被简化为 铰接 (pinned joints)，杆件只承受 轴力 (axial force)，即拉力或压力，而没有弯矩和剪力。

基本原理 (basic principle)：

在桁架的每个节点处，所有与该节点相连的杆件的轴力分量以及作用在该节点上的外力分量，必须满足 静力平衡条件。对于平面桁架，每个节点有两个独立的平衡方程：

① 节点水平力平衡方程 (horizontal force equilibrium equation at a joint): 节点处所有水平方向力分量之和等于零。
\[ \sum F_{x} = 0 \]

② 节点竖直力平衡方程 (vertical force equilibrium equation at a joint): 节点处所有竖直方向力分量之和等于零。
\[ \sum F_{y} = 0 \]

计算步骤 (calculation steps)：

① 判断桁架的静定性 (check determinacy of truss)：对于平面桁架，静定桁架应满足以下关系：
\[ m + r = 2j \]
其中，\(m\) 为杆件数量，\(r\) 为支座反力数量，\(j\) 为节点数量。如果 \(m + r < 2j\)，则桁架为 几何可变体系 (geometrically unstable)；如果 \(m + r > 2j\)，则桁架为 超静定桁架 (statically indeterminate truss)。节点法适用于静定桁架的分析。

② 计算支座反力 (calculate support reactions)：首先，将整个桁架作为一个刚体，利用整体平衡方程（水平力平衡、竖直力平衡、力矩平衡）计算桁架的支座反力。

③ 选择起始节点 (select starting joint)：选择 受力情况简单 的节点作为起始节点。通常选择 连接杆件数量最少 且 未知力数量不超过两个 的节点开始分析。一般从支座节点或外荷载作用节点开始。

④ 建立节点平衡方程 (establish joint equilibrium equations)：
▮▮▮▮⚝ 以选定的节点为研究对象，画出节点的 自由体图 (FBD)。
▮▮▮▮⚝ 假设与该节点相连的杆件轴力方向（拉力或压力），通常 假设杆件轴力为拉力 (tension)，即方向背离节点。如果解出的杆件轴力为正值，则表示杆件实际受拉；如果为负值，则表示杆件实际受压。
▮▮▮▮⚝ 将杆件轴力沿水平和竖直方向分解。
▮▮▮▮⚝ 根据节点平衡条件，列出水平力平衡方程和竖直力平衡方程。

⑤ 求解节点平衡方程 (solve joint equilibrium equations)：
▮▮▮▮⚝ 联立求解节点平衡方程，得到与该节点相连的杆件轴力。
▮▮▮▮⚝ 求解过程中，应注意方程的独立性，确保每次求解的未知力数量不超过方程数量（两个方程最多求解两个未知力）。

⑥ 逐节点分析 (joint-by-joint analysis)：
▮▮▮▮⚝ 将已求出杆件轴力的节点作为已知条件，选择 相邻节点 继续分析。
▮▮▮▮⚝ 重复步骤④和步骤⑤，逐个节点进行分析，直到求出所有杆件的轴力。
▮▮▮▮⚝ 分析节点的顺序应合理安排，确保每次分析的节点未知力数量不超过两个。

技巧与注意事项 (tips and precautions)：

⚝ 杆件轴力方向假设 (assumption of member axial force direction)：统一假设杆件轴力为拉力，便于建立方程和判断杆件受力性质。
⚝ 节点选择顺序 (selection order of joints)：合理选择节点分析顺序，避免在同一节点处出现过多未知力，通常从连接杆件数最少的节点开始，逐步扩展。
⚝ 方程求解方法 (equation solving method)：节点平衡方程通常为简单的二元一次方程组，可以直接求解。
⚝ 零杆件 (zero-force members)：在某些桁架中，存在 零杆件，即轴力为零的杆件。识别零杆件可以简化分析。常见的零杆件判断条件：
▮▮▮▮⚝ 在 没有外荷载作用的节点 上，如果 两根杆件共线，则 第三根杆件为零杆件；如果 两根杆件不共线，则 这两根杆件均为零杆件。
▮▮▮▮⚝ 在 没有外荷载作用的节点 上，如果 只有两根杆件，且 不共线，则 这两根杆件均为零杆件。

案例 (example)：

假设有一简支桁架，如图所示。需要用节点法求解各杆件的轴力。

1. 静定性判断 (determinacy check)：假设桁架杆件数为 \(m\)，节点数为 \(j\)，支座反力数为 \(r\)。检查是否满足 \(m + r = 2j\) 的条件。

2. 计算支座反力 (calculate support reactions)：将整个桁架作为刚体，计算支座反力。

3. 节点分析 (joint analysis)：
   ▮▮▮▮⚝ 节点 A：从节点 A 开始分析，节点 A 连接杆件 AB 和 AC，以及支座反力 \(R_{Ay}\) 和 \(R_{Ax}\)。建立节点 A 的平衡方程，求解杆件 AB 和 AC 的轴力。
   ▮▮▮▮⚝ 节点 C：分析节点 C，节点 C 连接杆件 AC、BC 和 CD，以及外荷载 \(P\)。杆件 AC 的轴力已在节点 A 求出，节点 C 还有两个未知杆件轴力 BC 和 CD。建立节点 C 的平衡方程，求解杆件 BC 和 CD 的轴力。
   ▮▮▮▮⚝ 节点 B：分析节点 B，节点 B 连接杆件 AB 和 BC，以及支座反力 \(R_{By}\)。杆件 AB 和 BC 的轴力已分别在节点 A 和节点 C 求出，节点 B 可以用于验算结果。
   ▮▮▮▮⚝ 节点 D：分析节点 D，节点 D 连接杆件 CD 和 BD。杆件 CD 的轴力已在节点 C 求出，节点 D 用于求解杆件 BD 的轴力。

4. 结果整理 (result organization)：整理各杆件的轴力数值和受力性质（拉力或压力）。

5.2.2 截面法 (Method of Sections)

截面法 (method of sections) 是一种求解 特定桁架杆件轴力 的方法，尤其适用于求解 少数杆件 的内力，而无需求解所有杆件的轴力。截面法基于 整体平衡条件 (overall equilibrium conditions) 和 截面平衡条件 (section equilibrium conditions)。

基本原理 (basic principle)：

用 截面 (section) 将桁架 截开，使待求杆件被截断，将桁架分为 左右两部分。取 其中一部分 (通常选择受力较少的一部分) 作为研究对象，将截断杆件的轴力视为 外力 作用在截面上。根据 截面平衡条件 (section equilibrium conditions)，列出平衡方程，求解待求杆件的轴力。

计算步骤 (calculation steps)：

① 判断桁架的静定性 (check determinacy of truss)：与节点法相同，首先判断桁架是否为静定桁架。

② 选择截面 (select section)：选择合适的截面，截面应 截断待求杆件，且截断的杆件数量 不超过三个（对于平面桁架，最多可以列出三个独立的平衡方程）。截面通常应尽量避开节点。

③ 确定研究对象 (determine object of study)：将桁架截开后，分为左右两部分，选择 受力较少、结构简单 的一部分作为研究对象。

④ 画出隔离体图 (draw free body diagram of section)：
▮▮▮▮⚝ 画出选定部分的桁架轮廓。
▮▮▮▮⚝ 标出作用在该部分上的 所有外力，包括原桁架上的外荷载、支座反力（如果支座在该部分）以及 截断杆件的轴力。
▮▮▮▮⚝ 假设截断杆件的轴力方向，通常 假设杆件轴力为拉力 (tension)，即方向背离截面。

⑤ 列出截面平衡方程 (establish section equilibrium equations)：
▮▮▮▮⚝ 根据隔离体图，列出 截面平衡方程。对于平面桁架，可以列出三个独立的平衡方程：水平力平衡方程、竖直力平衡方程、力矩平衡方程。
▮▮▮▮⚝ 巧妙选择力矩中心 可以简化方程求解。力矩中心通常选择为 未知力作用线的交点，或 已知力较多的点，以消去部分未知力或已知力，使方程更容易求解。例如，如果要求解杆件 CD 的轴力，可以选择截面截断杆件 CD、BC 和 BD，力矩中心可以选择为节点 B 或节点 C，以消去杆件 BC 和 BD 或杆件 BC 和 CD 的力矩。

⑥ 求解截面平衡方程 (solve section equilibrium equations)：
▮▮▮▮⚝ 联立求解截面平衡方程，得到待求杆件的轴力。
▮▮▮▮⚝ 求解过程中，应注意方程的独立性，确保每次求解的未知力数量不超过方程数量（三个方程最多求解三个未知力）。

技巧与注意事项 (tips and precautions)：

⚝ 截面选择 (section selection)：截面应尽量简洁，截断杆件数量不宜过多，通常截断 1~3 根杆件。
⚝ 力矩中心选择 (selection of moment center)：合理选择力矩中心，可以简化方程，直接求解出待求杆件的轴力。例如，如果要求解某根杆件的轴力，可以选取其他杆件的交点为力矩中心，使其他杆件的力矩为零，直接解出目标杆件的轴力。
⚝ 杆件轴力方向假设 (assumption of member axial force direction)：统一假设截断杆件轴力为拉力，根据求解结果正负判断杆件受力性质。
⚝ 适用范围 (application scope)：截面法适用于求解 少量特定杆件 的轴力，特别是当只需要求解少数杆件内力时，截面法比节点法更高效。

案例 (example)：

仍以简支桁架为例，使用截面法求解 杆件 CD 的轴力。

1. 选择截面 (select section)：选择截面 ①-①，截面 ①-① 截断杆件 CD、BC 和 BD。

2. 确定研究对象 (determine object of study)：选择截面 ①-① 的 左侧部分 作为研究对象。

3. 隔离体图 (FBD of section)：画出截面 ①-① 左侧部分的桁架轮廓，标出作用在该部分上的外力，包括支座反力 \(R_{Ay}\) 和截断杆件 CD、BC、BD 的轴力 \(F_{CD}\)、\(F_{BC}\)、\(F_{BD}\)（假设均为拉力）。

4. 截面平衡方程 (section equilibrium equations)：
   ▮▮▮▮⚝ 为了直接求解杆件 CD 的轴力 \(F_{CD}\)，可以 对节点 B 取力矩平衡。力矩中心 B 位于杆件 BC 和 BD 的作用线交点，因此 \(F_{BC}\) 和 \(F_{BD}\) 对节点 B 的力矩为零。力矩平衡方程简化为只包含 \(F_{CD}\) 和已知力的方程，可以直接解出 \(F_{CD}\)。
   ▮▮▮▮⚝ 例如，如果桁架几何尺寸已知，可以计算出杆件 CD 与水平方向的夹角 \(\theta\)，然后列出力矩平衡方程求解 \(F_{CD}\)。

5. 求解截面平衡方程 (solve section equilibrium equations)：求解力矩平衡方程，得到杆件 CD 的轴力 \(F_{CD}\)。根据求解结果的正负判断杆件 CD 的受力性质。

通过截面法，可以快速求解特定杆件的轴力，避免了节点法需要逐节点分析的繁琐过程。

5.3 静定框架的分析 (Analysis of Statically Determinate Frames)

本节介绍了静定框架 (statically determinate frames) 的内力分析方法，包括 分解法 (decomposition method)、直接法 (direct method) 等，并讲解了绘制框架内力图的方法。框架是由梁和柱通过 刚性节点 (rigid joints) 连接而成的结构，与桁架不同，框架的杆件不仅承受轴力，还承受剪力和弯矩。

5.3.1 分解法与直接法 (Decomposition Method and Direct Method)

分解法 (decomposition method) 和 直接法 (direct method) 是分析静定框架内力的常用方法。

分解法 (decomposition method)：

基本思想 (basic idea)：将复杂的框架结构 分解 为若干个 简单的梁或柱，分别分析每个构件的内力，然后 综合 得到整个框架的内力分布。分解法的核心是将框架的整体分析转化为 构件的局部分析。

计算步骤 (calculation steps)：

① 分解框架 (decompose frame)：将框架在 刚性节点 处分解，将框架分解为若干个 独立的梁和柱。分解时，注意 节点处的内力传递。刚性节点处，梁和柱之间不仅传递力，还传递弯矩。

② 分析分解后的构件 (analyze decomposed members)：
▮▮▮▮⚝ 对于分解后的每个梁或柱，根据其受力情况（外荷载和节点传递的内力），利用 静力平衡条件 和 材料力学 的知识，计算梁或柱的 支座反力、剪力图 和 弯矩图。
▮▮▮▮⚝ 计算过程中，应注意构件之间的 内力平衡。例如，在刚性节点处，梁传递给柱的剪力、弯矩和轴力，必须等于柱传递给梁的剪力、弯矩和轴力的反作用力。

③ 综合内力 (synthesize internal forces)：将分解后的梁和柱的内力 组合 起来，得到整个框架的内力分布。在刚性节点处，应注意 内力的方向和符号，确保节点处的内力平衡。

优点 (advantages)：分解法 思路清晰，将复杂框架分解为简单构件，便于理解和计算。适用于 结构形式规则、构件受力简单 的框架。

缺点 (disadvantages)：对于 结构形式复杂、构件连接关系复杂 的框架，分解过程可能比较繁琐，且容易出错。

直接法 (direct method)：

基本思想 (basic idea)：将框架作为一个 整体 进行分析，直接利用 整体平衡条件 和 截面法，求解框架各杆件的内力。直接法类似于梁的截面法，但需要考虑框架节点的 刚性连接 特点。

计算步骤 (calculation steps)：

① 计算支座反力 (calculate support reactions)：首先，将整个框架作为一个刚体，利用整体平衡方程（水平力平衡、竖直力平衡、力矩平衡）计算框架的支座反力。

② 分段 (segmentation)：将框架沿杆件轴线分成若干段，分段点应包括荷载突变点、支座位置、刚性节点位置和杆件端点。

③ 截面法分析 (section method analysis)：
▮▮▮▮⚝ 在每段杆件上，利用 截面法，取框架的 一部分（可以是左侧、右侧、上侧或下侧）作为研究对象。截面应 垂直于杆件轴线。
▮▮▮▮⚝ 根据静力平衡条件，计算截面上的 轴力 (axial force, \(N\))、剪力 (shear force, \(V\)) 和 弯矩 (bending moment, \(M\))。
▮▮▮▮⚝ 注意 符号规定：轴力通常以 拉力为正，压力为负；剪力和弯矩的符号规定与梁相同。

④ 绘制内力图 (draw internal force diagrams)：将计算得到的轴力、剪力和弯矩值绘制在对应的杆件位置，并用直线或曲线连接各点，形成轴力图、剪力图和弯矩图。

优点 (advantages)：直接法 思路简洁，将框架作为一个整体分析，避免了分解法的分解过程。适用于 各种形式的静定框架，尤其对于 结构形式复杂 的框架，直接法更为方便。

缺点 (disadvantages)：对于 结构形式简单 的框架，直接法可能不如分解法直观。

方法选择建议 (method selection suggestions)：

⚝ 对于 结构形式规则、构件受力简单 的框架，如简单的单层单跨或多层多跨框架， 分解法 更为直观易懂，计算过程也相对简单。
⚝ 对于 结构形式复杂、构件连接关系复杂 的框架，如带有斜杆、曲杆或复杂节点的框架， 直接法 更为通用和方便，避免了分解过程的繁琐和出错。
⚝ 在实际工程分析中，可以 结合使用分解法和直接法。先用分解法对框架进行初步分析，了解框架的整体受力情况，再用直接法对关键构件或截面进行精确分析。

5.3.2 框架内力图 (Internal Force Diagrams of Frames)

框架内力图 (internal force diagrams of frames) 包括 轴力图 (Axial Force Diagram, AFD)、剪力图 (Shear Force Diagram, SFD) 和 弯矩图 (Bending Moment Diagram, BMD)，用于描述框架各杆件的轴力、剪力和弯矩沿杆件轴线分布规律。绘制框架内力图是分析框架内力、进行强度和刚度校核的重要步骤。

绘制方法 (drawing methods)：

绘制框架内力图的方法与梁的剪力图和弯矩图类似，但需要考虑框架的 多杆件连接 和 刚性节点 特点。通常采用 截面法 或 微分关系法 绘制框架内力图。

绘制步骤 (drawing steps)：

① 计算支座反力 (calculate support reactions)：首先计算框架的支座反力。

② 分段 (segmentation)：将框架沿杆件轴线分成若干段，分段点应包括荷载突变点、支座位置、刚性节点位置和杆件端点。

③ 建立局部坐标系 (establish local coordinate system)：在每段杆件上，建立 局部坐标系，通常以杆件轴线为 \(x\) 轴，垂直于杆件轴线方向为 \(y\) 轴。

④ 写出内力方程 (write internal force equations)：在每段杆件上，利用截面法，取框架的 一部分 为研究对象，列出轴力 \(N(x)\)、剪力 \(V(x)\) 和弯矩 \(M(x)\) 的表达式。注意 符号规定 和 坐标方向。

⑤ 绘制内力图 (draw internal force diagrams)：根据轴力方程、剪力方程和弯矩方程，分别绘制轴力图、剪力图和弯矩图。注意关键点的数值和图线的形状。

框架内力图的特点 (characteristics of internal force diagrams of frames)：

⚝ 轴力图 (AFD)：反映框架杆件的轴向受力情况，轴力图通常为 阶梯形图，在集中力作用点或节点处发生突变。
⚝ 剪力图 (SFD)：反映框架杆件的横向剪切受力情况，剪力图的形状与荷载分布有关，在集中力作用点或节点处发生突变。
⚝ 弯矩图 (BMD)：反映框架杆件的弯曲受力情况，弯矩图的形状与剪力图有关，在集中力偶作用点或节点处发生突变。

刚性节点处的内力传递 (internal force transfer at rigid joints)：

在刚性节点处，梁和柱之间不仅 传递力，还 传递弯矩。在绘制框架内力图时，应注意节点处的内力 平衡 和 连续性。

⚝ 节点平衡 (joint equilibrium)：在刚性节点处，所有与该节点相连的杆件的轴力、剪力和弯矩分量，必须满足 节点平衡条件（水平力平衡、竖直力平衡、力矩平衡）。
⚝ 内力连续性 (internal force continuity)：在刚性节点处，弯矩图通常是 连续的，即梁端弯矩等于柱端弯矩。但轴力图和剪力图可能在节点处发生 突变。

内力图的应用 (applications of internal force diagrams)：

⚝ 强度校核 (strength check)：根据内力图，确定框架杆件的最大轴力、最大剪力和最大弯矩，用于进行杆件的强度校核。
⚝ 变形分析 (deformation analysis)：内力图可以为框架的变形分析提供基础数据，例如，利用弯矩图可以计算框架的挠度。
⚝ 结构设计 (structural design)：内力图可以指导框架的结构设计，例如，根据内力分布合理布置杆件截面，优化结构形式。

案例 (example)：

假设有一简单的单跨单层框架，如图所示。需要绘制框架的轴力图、剪力图和弯矩图。

1. 计算支座反力 (calculate support reactions)：计算框架的支座反力。

2. 分段 (segmentation)：框架分为梁 AB 和柱 BC、CD 三段。

3. 内力方程 (internal force equations)：
   ▮▮▮▮⚝ 分别对梁 AB、柱 BC 和柱 CD，利用截面法，建立轴力方程、剪力方程和弯矩方程。
   ▮▮▮▮⚝ 注意刚性节点 B 和 C 处的内力传递和平衡。

4. 绘制内力图 (draw internal force diagrams)：根据内力方程，绘制框架的轴力图、剪力图和弯矩图。注意节点处的内力连续性和突变。

通过框架内力图，可以全面了解框架的受力状态，为框架的强度、刚度和稳定性分析提供依据。

6. 超静定结构分析 (Analysis of Statically Indeterminate Structures)

6.1 力法 (Force Method)

6.1.1 力法基本原理与基本体系 (Basic Principles and Primary Structure of Force Method)

在结构力学中，超静定结构 (statically indeterminate structures) 是指其支座反力 (support reactions) 和 内力 (internal forces) 仅凭静力平衡方程 (equations of static equilibrium) 不足以完全确定的结构。为了分析这类结构，我们需要引入额外的条件，这些条件通常来自于结构的变形协调条件 (compatibility conditions)。力法 (force method) 正是一种基于变形协调条件的经典分析方法。

力法的基本思想 (basic principle) 是：

① 首先，人为地解除结构中多余的约束 (constraints)，将超静定结构转化为一个静定结构 (statically determinate structure)，这个静定结构被称为基本体系 (primary structure)。解除约束的方式通常是移去多余的支座或者将某些杆件断开。

② 由于解除了约束，基本体系在外荷载 (external loads) 作用下会产生与原超静定结构不同的变形。为了恢复原结构的变形协调，需要在解除约束的位置施加未知力 (unknown forces)（也称为多余未知力 (redundant forces)）。这些未知力的数量与解除的约束数量相等，并且其作用效果应与原结构中被解除的约束效果相同。

③ 利用变形协调条件 (compatibility conditions)，即解除约束位置的变形应该满足原结构的约束条件（通常变形为零或满足特定的关系），建立关于未知力的方程组 (equations)，称为力法方程 (force method equations)。

④ 解力法方程组，求得未知力。

⑤ 将求得的未知力反作用于基本体系，与原外荷载共同作用，利用叠加原理 (superposition principle) 计算结构的内力 (internal forces) 和 变形 (deformations)。

基本体系 (primary structure) 的选择 不是唯一的，但选择合适的基本体系 (primary structure) 可以简化计算过程。选择原则通常包括：

① 静定性: 基本体系必须是静定结构，以便于进行内力分析。

② 稳定性: 基本体系本身必须是几何不变的、稳定的结构。

③ 计算简便性: 选择基本体系应尽量使得后续的计算过程简化，例如，选择对称结构的基本体系可以利用对称性简化计算。

常见的基本体系 (primary structure) 选择方法包括：

① 移去多余支座: 对于支座多余的结构，可以直接移去多余的支座，例如，对于固端梁 (fixed-ended beam)，可以将其一端的固定支座 (fixed support) 改为铰支座 (hinged support) 或滚动支座 (roller support)。

② 断开多余杆件: 对于桁架 (truss) 或 框架 (frame) 结构，可以断开某些多余的杆件，使其变为静定结构。选择断开杆件时，应考虑结构的几何构造，避免形成机构 (mechanism)。

③ 引入铰接: 对于某些连接刚度较大的结构，可以在适当位置引入铰接 (hinge)，降低结构的超静定次数。

选择基本体系的目的是为了将超静定问题转化为在静定基本体系上求解的问题，通过施加多余未知力 (redundant forces) 并建立变形协调方程 (compatibility equations) 来求解。

6.1.2 力法方程的建立与求解 (Establishment and Solution of Force Method Equations)

力法方程 (force method equations) 是力法的核心，其建立基于变形协调条件 (compatibility conditions)。力法方程的建立和求解通常包含以下步骤：

① 确定超静定次数 (degree of static indeterminacy)：首先需要确定结构的超静定次数，这决定了需要引入的多余未知力 (redundant forces) 的数量，也即力法方程组中方程的数量。超静定次数可以通过公式或者观察结构拓扑结构来确定。

② 选择基本体系 (primary structure)：根据结构的特点和计算的简便性，选择合适的基本体系 (primary structure)。解除的约束数量应等于结构的超静定次数。并在解除约束的位置设定多余未知力 (redundant forces)，通常用 \(X_i\) 表示，\(i = 1, 2, ..., n\)，其中 \(n\) 为超静定次数。

③ 建立力法方程 (force method equations)：力法方程是基于变形协调条件 (compatibility conditions) 建立的。对于解除的第 \(i\) 个约束位置，其变形协调条件通常可以表示为：

\[ \delta_{iP} + \sum_{j=1}^{n} \delta_{ij} X_j + \Delta_i = 0 \]

其中：
⚝ \(\delta_{iP}\) 是基本体系 (primary structure) 在外荷载 \(P\) 作用下，在第 \(i\) 个解除约束位置沿 \(X_i\) 方向产生的位移 (displacement)（或转角）。称为荷载项 (load term)。
⚝ \(\delta_{ij}\) 是基本体系 (primary structure) 在第 \(j\) 个未知力 \(X_j = 1\) 单独作用下，在第 \(i\) 个解除约束位置沿 \(X_i\) 方向产生的位移 (displacement)（或转角）。称为柔度系数 (flexibility coefficient)。
⚝ \(X_j\) 是第 \(j\) 个多余未知力 (redundant force)。
⚝ \(\Delta_i\) 是第 \(i\) 个解除约束位置的初始位移 (initial displacement)（例如，支座沉降、温度变化等引起的初始变形）。在多数情况下，\(\Delta_i = 0\)。

对于有 \(n\) 个多余未知力的结构，可以建立 \(n\) 个力法方程，组成力法方程组 (system of force method equations)：

\[ \begin{cases} \delta_{11}X_1 + \delta_{12}X_2 + \cdots + \delta_{1n}X_n + \delta_{1P} + \Delta_1 = 0 \\ \delta_{21}X_1 + \delta_{22}X_2 + \cdots + \delta_{2n}X_n + \delta_{2P} + \Delta_2 = 0 \\ \vdots \\ \delta_{n1}X_1 + \delta_{n2}X_2 + \cdots + \delta_{nn}X_n + \delta_{nP} + \Delta_n = 0 \end{cases} \]

或者写成矩阵形式：

\[ [\mathbf{\delta}] \{\mathbf{X}\} + \{\mathbf{\delta}_P\} + \{\mathbf{\Delta}\} = \{\mathbf{0}\} \]

其中：
⚝ \( [\mathbf{\delta}] = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \cdots & \delta_{1n} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \cdots & \delta_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_{n1} & \delta_{n2} & \cdots & \delta_{nn} \end{bmatrix} \) 是柔度矩阵 (flexibility matrix)。
⚝ \( \{\mathbf{X}\} = \begin{Bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{Bmatrix} \) 是多余未知力向量 (redundant force vector)。
⚝ \( \{\mathbf{\delta}_P\} = \begin{Bmatrix} \delta_{1P} \\ \delta_{2P} \\ \vdots \\ \delta_{nP} \end{Bmatrix} \) 是荷载项向量 (load term vector)。
⚝ \( \{\mathbf{\Delta}\} = \begin{Bmatrix} \Delta_1 \\ \Delta_2 \\ \vdots \\ \Delta_n \end{Bmatrix} \) 是初始位移向量 (initial displacement vector)。
⚝ \( \{\mathbf{0}\} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{Bmatrix} \) 是零向量。

柔度系数 (flexibility coefficients) \(\delta_{ij}\) 和荷载项 (load terms) \(\delta_{iP}\) 的计算：

计算 \(\delta_{ij}\) 和 \(\delta_{iP}\) 需要在基本体系 (primary structure) 上进行。可以使用材料力学 (mechanics of materials) 的方法，例如积分法 (integration method)，图乘法 (graphical method)，莫尔定理 (Mohr's theorems)，虚功原理 (principle of virtual work)，卡氏定理 (Castigliano's theorems) 等。对于复杂的结构，也可以使用有限元法 (finite element method) 进行计算。

④ 求解力法方程 (solving force method equations)：解力法方程组，得到多余未知力 (redundant forces) \(X_1, X_2, ..., X_n\)。

\[ \{\mathbf{X}\} = - [\mathbf{\delta}]^{-1} (\{\mathbf{\delta}_P\} + \{\mathbf{\Delta}\}) \]

其中 \( [\mathbf{\delta}]^{-1} \) 是柔度矩阵 (flexibility matrix) 的逆矩阵。

⑤ 计算结构的内力和变形 (calculating internal forces and deformations)：将求得的多余未知力 (redundant forces) \(X_1, X_2, ..., X_n\) 反作用于基本体系 (primary structure)，并与原外荷载 (external loads) 共同作用。利用叠加原理 (superposition principle)，计算结构的 内力 (internal forces) （如 轴力 (axial force), 剪力 (shear force), 弯矩 (bending moment), 扭矩 (torsional moment)）和 变形 (deformations)。

例如，梁中某点的弯矩 \(M\) 可以表示为：

\[ M = M_P + \sum_{j=1}^{n} M_{X_j} X_j \]

其中：
⚝ \(M_P\) 是基本体系在外荷载 \(P\) 作用下该点的弯矩。
⚝ \(M_{X_j}\) 是基本体系在第 \(j\) 个未知力 \(X_j = 1\) 单独作用下该点的弯矩。
⚝ \(X_j\) 是求解力法方程得到的多余未知力 (redundant force)。

其他内力（轴力、剪力等）和变形的计算方法类似，都是基于叠加原理 (superposition principle)。

案例简例 (simple example)：

考虑一个两端固定梁 (fixed-fixed beam) 受均布荷载 \(q\) 作用。

1. 超静定次数: 两端固定梁为 3 次超静定结构。为了简化说明，我们可以选择解除一端的固定支座 (fixed support) 的弯矩约束 (moment constraint)，使其变为 1 次超静定结构。

2. 基本体系: 选择解除右端固定支座 (fixed support) 的弯矩约束 (moment constraint)，基本体系为一端固定，一端铰支 (hinged support) 的梁。未知力 \(X_1\) 为右端固定支座 (fixed support) 的弯矩 (moment)。

3. 力法方程: 变形协调条件是右端转角 (rotation) 为零。力法方程为：

\[ \delta_{11} X_1 + \delta_{1P} = 0 \]

其中：
⚝ \(\delta_{11}\) 是基本体系在右端施加单位弯矩 \(X_1 = 1\) 时，右端的转角。
⚝ \(\delta_{1P}\) 是基本体系在均布荷载 \(q\) 作用下，右端的转角。

4. 计算柔度系数和荷载项: 利用材料力学知识计算 \(\delta_{11}\) 和 \(\delta_{1P}\)。例如，可以使用单位载荷法 (unit load method) 或莫尔定理 (Mohr's theorems)。

5. 求解力法方程: 解方程得到 \(X_1 = -\frac{\delta_{1P}}{\delta_{11}}\)。

6. 计算内力: 将 \(X_1\) 反作用于基本体系，叠加均布荷载 \(q\) 的作用，计算梁的弯矩图 (bending moment diagram)，剪力图 (shear force diagram) 等。

力法是一种经典且重要的超静定结构分析方法，它通过基本体系 (primary structure) 和变形协调条件 (compatibility conditions) 将超静定问题转化为静定问题进行求解。理解力法的基本原理和步骤，对于掌握结构力学至关重要。

6.2 位移法 (Displacement Method)

6.2.1 位移法基本思想与基本未知量 (Basic Ideas and Primary Unknowns of Displacement Method)

位移法 (displacement method)，也称为刚度法 (stiffness method)，是另一种重要的超静定结构分析方法。与力法 (force method) 以力 (forces) 为基本未知量不同，位移法 (displacement method) 以结构的节点位移 (nodal displacements) 为基本未知量。

位移法的基本思想 (basic principle) 是：

① 选择结构中的独立节点位移 (independent nodal displacements) 作为基本未知量。这些位移包括线位移 (translations) 和转角 (rotations)。

② 建立节点平衡方程 (nodal equilibrium equations)。对于每一个独立节点位移，根据节点平衡条件 (nodal equilibrium conditions)（即节点处的力平衡 (force equilibrium) 和力矩平衡 (moment equilibrium)），建立关于基本未知量的方程。这些方程组称为位移法方程 (displacement method equations)。

③ 求解位移法方程组，求得基本未知量，即节点位移 (nodal displacements)。

④ 根据求得的节点位移 (nodal displacements)，结合结构的物理方程 (constitutive equations)（如材料的应力-应变关系 (stress-strain relationship)）和几何方程 (geometric equations)（如应变-位移关系 (strain-displacement relationship)），计算结构的杆端内力 (member end forces)。

⑤ 根据杆端内力 (member end forces)，进一步计算结构的内力 (internal forces) 和 应力 (stresses)。

基本未知量 (primary unknowns) 的选取：

位移法的基本未知量是结构的独立节点位移 (independent nodal displacements)。对于梁 (beam) 和框架 (frame) 结构，通常选择节点 (joints) 的线位移 (translations) 和转角 (rotations) 作为基本未知量。

选择基本未知量时，需要注意以下几点：

① 独立性: 选取的位移应该是独立的，即不能由其他位移线性表示。

② 完备性: 选取的位移应该能够完全描述结构的变形状态。

③ 数量最少: 为了简化计算，应尽量选择数量最少且能满足上述条件的独立节点位移 (independent nodal displacements) 作为基本未知量。

对于平面梁和平面框架结构，每个节点 (joint) 通常有三个自由度：水平位移 (horizontal displacement)、竖向位移 (vertical displacement) 和 转角 (rotation)。但是，由于支座约束 (support constraints) 的存在，某些节点的位移是已知的（通常为零）。因此，在选取基本未知量时，只需要考虑那些未被支座约束 (support constraints) 约束的独立节点位移 (independent nodal displacements)。

例如，对于一个平面框架结构：

⚝ 刚性节点 (rigid joint)：每个刚性节点有 3 个自由度（水平位移、竖向位移、转角）。
⚝ 铰接节点 (hinged joint)：每个铰接节点有 2 个自由度（水平位移、竖向位移，转角自由）。
⚝ 固定支座 (fixed support)：固定支座节点 0 个自由度（所有位移被约束）。
⚝ 铰支座 (hinged support)：铰支座节点 1 个自由度（转角自由，水平和竖向位移被约束）。
⚝ 滚动支座 (roller support)：滚动支座节点 2 个自由度（转角和沿滚动方向的位移自由，垂直于滚动方向的位移被约束）。

在实际应用中，可以通过观察结构，识别出自由节点 (free joints) 和受约束节点 (constrained joints)，从而确定需要选取的基本未知量 (primary unknowns)。

6.2.2 位移法方程的建立与求解 (Establishment and Solution of Displacement Method Equations)

位移法方程 (displacement method equations) 是位移法的核心，其建立基于节点平衡条件 (nodal equilibrium conditions)。位移法方程的建立和求解通常包含以下步骤：

① 确定基本未知量 (primary unknowns)：根据结构的自由度 (degrees of freedom) 和支座约束 (support constraints)，选择合适的独立节点位移 (independent nodal displacements) 作为基本未知量，记为 \( \theta_1, \theta_2, ..., \theta_m \)，其中 \(m\) 为基本未知量的数量。

② 建立位移法方程 (displacement method equations)：对于每一个基本未知量 \( \theta_i \)，根据节点平衡条件 (nodal equilibrium conditions) 建立方程。对于平面框架结构，节点平衡条件包括水平力平衡 (horizontal force equilibrium)、竖向力平衡 (vertical force equilibrium) 和 力矩平衡 (moment equilibrium)。

位移法方程的一般形式可以表示为：

\[ \sum_{j=1}^{m} S_{ij} \theta_j + F_{iP} + R_i = 0 \]

其中：
⚝ \(S_{ij}\) 是刚度系数 (stiffness coefficient)，表示在只引起第 \(j\) 个基本未知量 \( \theta_j = 1 \) （其他基本未知量为零）时，在第 \(i\) 个基本未知量对应方向上产生的节点力 (nodal force)（或力矩）。
⚝ \( \theta_j \) 是第 \(j\) 个基本未知量 (primary unknown)。
⚝ \(F_{iP}\) 是等效节点荷载 (equivalent nodal load)，表示在外荷载 \(P\) 作用下，在第 \(i\) 个基本未知量对应方向上产生的节点力 (nodal force)（或力矩）。
⚝ \(R_i\) 是第 \(i\) 个基本未知量对应方向上的初始节点力 (initial nodal force)（例如，支座沉降、温度变化等引起的初始内力）。在多数情况下，\(R_i = 0\)。

对于有 \(m\) 个基本未知量的结构，可以建立 \(m\) 个位移法方程，组成位移法方程组 (system of displacement method equations)：

\[ \begin{cases} S_{11}\theta_1 + S_{12}\theta_2 + \cdots + S_{1m}\theta_m + F_{1P} + R_1 = 0 \\ S_{21}\theta_1 + S_{22}\theta_2 + \cdots + S_{2m}\theta_m + F_{2P} + R_2 = 0 \\ \vdots \\ S_{m1}\theta_1 + S_{m2}\theta_2 + \cdots + S_{mm}\theta_m + F_{mP} + R_m = 0 \end{cases} \]

或者写成矩阵形式：

\[ [\mathbf{S}] \{\mathbf{\theta}\} + \{\mathbf{F}_P\} + \{\mathbf{R}\} = \{\mathbf{0}\} \]

其中：
⚝ \( [\mathbf{S}] = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & \cdots & S_{1m} \\ S_{21} & S_{22} & \cdots & S_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{m1} & S_{m2} & \cdots & S_{mm} \end{bmatrix} \) 是刚度矩阵 (stiffness matrix)。
⚝ \( \{\mathbf{\theta}\} = \begin{Bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \vdots \\ \theta_m \end{Bmatrix} \) 是基本未知量向量 (primary unknown vector)。
⚝ \( \{\mathbf{F}_P\} = \begin{Bmatrix} F_{1P} \\ F_{2P} \\ \vdots \\ F_{mP} \end{Bmatrix} \) 是等效节点荷载向量 (equivalent nodal load vector)。
⚝ \( \{\mathbf{R}\} = \begin{Bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_m \end{Bmatrix} \) 是初始节点力向量 (initial nodal force vector)。
⚝ \( \{\mathbf{0}\} = \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{Bmatrix} \) 是零向量。

刚度系数 (stiffness coefficients) \(S_{ij}\) 和等效节点荷载 (equivalent nodal loads) \(F_{iP}\) 的计算：

计算 \(S_{ij}\) 和 \(F_{iP}\) 需要分析结构的杆件 (members) 的刚度特性 (stiffness properties)。对于梁和框架结构，可以使用杆件刚度矩阵 (member stiffness matrix) 的概念。杆件刚度矩阵描述了杆件两端节点力 (nodal forces) 与 节点位移 (nodal displacements) 之间的关系。

等效节点荷载 (equivalent nodal loads) \(F_{iP}\) 的计算，需要将作用在杆件上的分布荷载 (distributed loads) 或集中荷载 (concentrated loads) 转化为等效的节点荷载 (nodal loads)。这通常可以通过静力等效原则 (principle of static equivalence) 来实现，即等效节点荷载与原荷载在结构上产生的效应相同。

③ 求解位移法方程 (solving displacement method equations)：解位移法方程组，得到基本未知量 (primary unknowns) \( \theta_1, \theta_2, ..., \theta_m \)。

\[ \{\mathbf{\theta}\} = - [\mathbf{S}]^{-1} (\{\mathbf{F}_P\} + \{\mathbf{R}\}) \]

其中 \( [\mathbf{S}]^{-1} \) 是刚度矩阵 (stiffness matrix) 的逆矩阵。

④ 计算杆端内力 (calculating member end forces)：根据求得的基本未知量 (primary unknowns) \( \theta_1, \theta_2, ..., \theta_m \)，利用杆件刚度矩阵 (member stiffness matrix) 计算结构的杆端内力 (member end forces)。

对于梁或框架杆件，杆端内力通常包括杆端弯矩 (member end moments)、杆端剪力 (member end shear forces) 和 杆端轴力 (member end axial forces)。

⑤ 计算结构的内力和应力 (calculating internal forces and stresses)：根据杆端内力 (member end forces)，可以进一步计算结构中任意截面的内力 (internal forces) 和 应力 (stresses)，绘制弯矩图 (bending moment diagram)，剪力图 (shear force diagram) 等。

案例简例 (simple example)：

考虑一个两端固定梁 (fixed-fixed beam) 受均布荷载 \(q\) 作用。

1. 基本未知量: 两端固定梁，节点为梁的两端。由于两端均为固定支座 (fixed supports)，节点位移均为零。为了说明位移法的应用，我们可以考虑一个简支梁 (simply supported beam)，中间有一个弹性支座 (elastic support)。假设中间弹性支座的线刚度 (spring stiffness) 为 \(k\)。选择梁中间节点的竖向位移 (vertical displacement) \(\theta_1\) 作为基本未知量。

2. 位移法方程: 节点平衡条件是中间节点竖向力平衡。位移法方程为：

\[ S_{11} \theta_1 + F_{1P} = 0 \]

其中：
⚝ \(S_{11}\) 是在中间节点施加单位竖向位移 \(\theta_1 = 1\) 时，中间节点需要的竖向力（刚度系数）。
⚝ \(F_{1P}\) 是在均布荷载 \(q\) 作用下，中间节点产生的等效竖向节点荷载。

3. 计算刚度系数和等效节点荷载: 计算 \(S_{11}\) 和 \(F_{1P}\) 需要考虑梁的杆件刚度 (member stiffness) 和等效节点荷载 (equivalent nodal loads)。

4. 求解位移法方程: 解方程得到 \(\theta_1 = -\frac{F_{1P}}{S_{11}}\)。

5. 计算杆端内力: 根据 \(\theta_1\) 和杆件刚度矩阵 (member stiffness matrix) 计算梁的杆端弯矩 (member end moments)、杆端剪力 (member end shear forces) 等。

6. 计算内力: 根据杆端内力，绘制梁的弯矩图 (bending moment diagram)，剪力图 (shear force diagram) 等。

位移法是现代结构分析中应用最广泛的方法之一，尤其在有限元分析 (finite element analysis) 中，位移法是其理论基础。掌握位移法的基本原理和步骤，对于理解和应用有限元软件 (finite element software) 进行复杂结构分析至关重要。

6.3 力法与位移法的比较 (Comparison of Force Method and Displacement Method)

6.3.1 方法特点对比 (Comparison of Method Characteristics)

力法 (force method) 和 位移法 (displacement method) 是分析超静定结构 (statically indeterminate structures) 的两种基本方法，它们基于不同的基本思想，各有特点和适用范围。以下从原理、适用性、计算量等方面对比分析两种方法的特点：

① 基本未知量 (primary unknowns)：

⚝ 力法 (force method)：以多余未知力 (redundant forces) 作为基本未知量。这些未知力代表了解除约束位置需要施加的力，以恢复原结构的变形协调 (compatibility)。
⚝ 位移法 (displacement method)：以独立节点位移 (independent nodal displacements) 作为基本未知量。这些位移代表了结构节点的线位移 (translations) 和 转角 (rotations)。

② 基本方程 (basic equations)：

⚝ 力法 (force method)：基于变形协调条件 (compatibility conditions) 建立力法方程 (force method equations)。方程的物理意义是保证解除约束位置的变形满足原结构的约束条件。
⚝ 位移法 (displacement method)：基于节点平衡条件 (nodal equilibrium conditions) 建立位移法方程 (displacement method equations)。方程的物理意义是保证结构节点在荷载作用下处于平衡状态。

③ 刚度与柔度 (stiffness and flexibility)：

⚝ 力法 (force method)：主要使用柔度 (flexibility) 的概念，柔度系数 (flexibility coefficients) \(\delta_{ij}\) 表示单位力引起的位移。力法方程的系数是柔度系数 (flexibility coefficients)，方程组的系数矩阵是柔度矩阵 (flexibility matrix)。
⚝ 位移法 (displacement method)：主要使用刚度 (stiffness) 的概念，刚度系数 (stiffness coefficients) \(S_{ij}\) 表示单位位移引起的力。位移法方程的系数是刚度系数 (stiffness coefficients)，方程组的系数矩阵是刚度矩阵 (stiffness matrix)。

④ 适用性 (applicability)：

⚝ 力法 (force method)：
▮▮▮▮⚝ 适用于超静定次数 (degree of static indeterminacy) 较低的结构，特别是静定结构 (statically determinate structures) 的超静定次数不高的加固或修改。
▮▮▮▮⚝ 对于桁架 (truss)、梁 (beam)、框架 (frame) 等结构均可应用。
▮▮▮▮⚝ 在手算分析中，对于超静定次数 (degree of static indeterminacy) 较高的结构，方程求解较为复杂。

⚝ 位移法 (displacement method)：
▮▮▮▮⚝ 适用于各种超静定结构 (statically indeterminate structures)，特别是高次超静定结构 (highly statically indeterminate structures) 和复杂结构 (complex structures)。
▮▮▮▮⚝ 更易于程序化，是有限元法 (finite element method) 的理论基础。
▮▮▮▮⚝ 对于节点位移 (nodal displacements) 自由度较少的结构，计算效率更高。

⑤ 计算量 (computational effort)：

⚝ 力法 (force method)：
▮▮▮▮⚝ 当超静定次数 (degree of static indeterminacy) 较低时，计算量相对较小。
▮▮▮▮⚝ 计算柔度系数 (flexibility coefficients) 和荷载项 (load terms) 可能需要较多的积分 (integration) 或图乘 (graphical multiplication) 运算。
▮▮▮▮⚝ 方程组的阶数等于超静定次数 (degree of static indeterminacy)。

⚝ 位移法 (displacement method)：
▮▮▮▮⚝ 当节点位移自由度 (nodal displacement degrees of freedom) 较少时，计算量相对较小。
▮▮▮▮⚝ 计算刚度系数 (stiffness coefficients) 和等效节点荷载 (equivalent nodal loads) 需要组装刚度矩阵 (stiffness matrix)，过程较为系统化，适合程序实现。
▮▮▮▮⚝ 方程组的阶数等于独立节点位移 (independent nodal displacements) 的数量。

⑥ 物理概念 (physical concepts)：

⚝ 力法 (force method)：物理概念相对直观，基于解除约束和施加多余未知力的思想，易于理解变形协调条件 (compatibility conditions) 的物理意义。
⚝ 位移法 (displacement method)：物理概念相对抽象，基于节点位移和节点平衡的思想，需要理解刚度系数 (stiffness coefficients) 和等效节点荷载 (equivalent nodal loads) 的物理意义。

总的来说，力法 (force method) 和 位移法 (displacement method) 各有优缺点，选择哪种方法取决于具体的结构类型、超静定次数、计算条件以及个人的习惯。在现代结构分析中，位移法 (displacement method) 由于其系统性和易于程序化的特点，得到了更广泛的应用，尤其在有限元分析 (finite element analysis) 领域占据主导地位。

6.3.2 方法选择建议 (Method Selection Suggestions)

在实际工程结构分析中，选择 力法 (force method) 还是 位移法 (displacement method)，需要根据具体情况综合考虑，以下提供一些方法选择的建议：

① 根据超静定次数 (degree of static indeterminacy)：

⚝ 低次超静定结构 (low degree of static indeterminacy) (例如，超静定次数小于 3)：力法 (force method) 通常更为简便。因为力法方程的阶数较低，手算或简单编程求解较为容易。
⚝ 高次超静定结构 (high degree of static indeterminacy) (例如，超静定次数大于 3) 或 复杂结构 (complex structures)：位移法 (displacement method) 更为适用。位移法更易于系统化和程序化，可以有效地处理高阶方程组和复杂结构。

② 根据结构类型 (structure type)：

⚝ 桁架 (truss) 结构：两种方法均可应用。对于节点数量 (number of joints) 较少的桁架，力法 (force method) 可能更直接；对于节点数量 (number of joints) 较多的桁架，位移法 (displacement method)，特别是刚度矩阵 (stiffness matrix) 的组装方法，更具优势。
⚝ 梁 (beam) 和 框架 (frame) 结构：
▮▮▮▮⚝ 对于简单梁 (simple beams) 和 简单框架 (simple frames) (例如，连续梁、单层单跨框架)，力法 (force method) 和 位移法 (displacement method) 均可有效应用。
▮▮▮▮⚝ 对于复杂框架 (complex frames) (例如，高层框架、多跨框架)，位移法 (displacement method) 更加系统和高效。

③ 根据计算条件 (calculation conditions)：

⚝ 手算分析 (manual calculation)：
▮▮▮▮⚝ 对于低次超静定结构 (low degree of static indeterminacy)，力法 (force method) 手算量可能更小，更易于掌握物理概念。
▮▮▮▮⚝ 对于位移法 (displacement method)，手算组装刚度矩阵 (stiffness matrix) 和求解方程组可能较为繁琐，但对于某些规则结构，也可能简化计算。

⚝ 程序计算 (computer calculation)：
▮▮▮▮⚝ 位移法 (displacement method) 更适合程序化。有限元软件 (finite element software) 几乎都基于位移法 (displacement method)。
▮▮▮▮⚝ 如果需要使用计算机进行结构分析，优先选择 位移法 (displacement method)，可以直接应用成熟的有限元软件 (finite element software)。

④ 个人习惯和经验 (personal preference and experience)：

⚝ 熟悉 力法 (force method) 的工程师可能更倾向于使用力法解决低次超静定问题。
⚝ 熟悉 位移法 (displacement method) 的工程师可能更倾向于使用位移法，因为其方法更具通用性和系统性。

总结 (summary)：

⚝ 力法 (force method)：适用于低次超静定结构 (low degree of static indeterminacy)，物理概念直观，手算较为简便，但程序化较为复杂。
⚝ 位移法 (displacement method)：适用于各种超静定结构 (statically indeterminate structures)，特别是高次超静定结构 (highly statically indeterminate structures) 和 复杂结构 (complex structures)，更易于程序化，是有限元分析 (finite element analysis) 的基础。

在实际工程应用中，工程师应根据具体问题的特点，结合自身的知识和经验，灵活选择合适的分析方法。对于复杂的工程结构，通常采用 有限元软件 (finite element software) 进行 位移法 (displacement method) 分析。对于简单的理论分析或教学示例，力法 (force method) 仍然是一种重要的经典方法。

7. 能量法 (Energy Methods)

本章介绍了能量法在结构分析中的应用，包括虚功原理 (Principle of Virtual Work)、最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy)、卡氏定理 (Castigliano's Theorems) 等，并讲解了能量法在求解结构位移和内力方面的应用。能量法是结构力学分析中的重要工具，它基于能量守恒定律，为我们提供了一种不同于传统静力平衡方法的分析途径。能量法不仅在理论分析中占有重要地位，而且在有限元法等数值方法中也发挥着核心作用。本章旨在帮助读者系统掌握能量法的基本原理和应用技巧，为解决复杂的结构力学问题打下坚实的基础。

7.1 虚功原理 (Principle of Virtual Work)

虚功原理是能量法中最基本、最重要的原理之一。它从虚位移的角度出发，建立了外力虚功与内力虚功之间的关系，为求解结构的位移和内力提供了强有力的工具。本节将详细讲解虚功原理的内容、推导过程和物理意义，并通过实例演示虚功原理在求解结构位移和内力中的应用。

7.1.1 虚功原理的内容与推导 (Content and Derivation of Principle of Virtual Work)

虚功原理的核心思想是：对于一个处于平衡状态的物体或结构，在任何虚位移 (virtual displacement) 下，所有外力所做的虚功 (virtual work done by external forces) 之和等于所有内力所做的虚功 (virtual work done by internal forces) 之和。

① 虚位移 (virtual displacement)

虚位移是指在物体或结构上假想的、微小的、满足几何约束的位移。虚位移与实际发生的位移不同，它可以是任意假想的位移模式，但必须与结构的约束条件相协调。我们用 \( \delta \) 符号来表示虚位移，例如虚线位移 \( \delta u \)、虚转角 \( \delta \theta \) 等。

② 虚功 (virtual work)

虚功是指力在虚位移上所做的功。如果力 \( F \) 在虚位移 \( \delta u \) 方向上的分量为 \( F_u \)，则力 \( F \) 所做的虚功 \( \delta W \) 定义为：
\[ \delta W = F_u \delta u \]
对于力矩 \( M \) 在虚转角 \( \delta \theta \) 上的虚功为：
\[ \delta W = M \delta \theta \]
需要强调的是，虚功并非实际发生的功，而是在虚位移下计算的功，它只是一个数学概念，用于建立平衡方程。

③ 虚功原理的数学表达式

考虑一个由多个构件组成的结构系统，假设系统处于平衡状态。当系统产生一组虚位移时，外力 \( F_i \) (包括主动力、约束反力等) 在虚位移 \( \delta u_i \) 上做的虚功为 \( \delta W_e = \sum_i F_i \delta u_i \)，内力 \( Q_j \) (如杆件轴力、剪力、弯矩等) 在相应的虚变形 \( \delta q_j \) (如轴向变形、剪切变形、曲率变化等) 上做的虚功为 \( \delta W_i = \sum_j Q_j \delta q_j \)。根据虚功原理，对于处于平衡状态的系统，有：
\[ \delta W_e + \delta W_i = 0 \]
或者
\[ \sum_i F_i \delta u_i + \sum_j Q_j \delta q_j = 0 \]
对于弹性体，内力虚功 \( \delta W_i \) 通常表示为负值，因此虚功原理也可以写成：
\[ \delta W_e = \delta W_{int} \]
其中 \( \delta W_{int} = - \delta W_i \) 称为内力虚功，代表结构内部变形所储存的能量变化。

④ 虚功原理的推导

虚功原理可以从达朗贝尔原理 (D'Alembert's principle) 或最小作用量原理 (principle of least action) 推导出来。这里我们从静力平衡的角度进行简要推导。

考虑一个质点系，对于其中任一质点 \( i \)，在平衡状态下，外力 \( \mathbf{F}_i \) 与内力 \( \mathbf{f}_i \) 的矢量和为零：
\[ \mathbf{F}_i + \mathbf{f}_i = \mathbf{0} \]
将上式与任意虚位移 \( \delta \mathbf{r}_i \) 作点积，并对所有质点求和：
\[ \sum_i (\mathbf{F}_i + \mathbf{f}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]
展开得到：
\[ \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_i \mathbf{f}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0 \]
其中，\( \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i \) 为外力虚功 \( \delta W_e \)，\( \sum_i \mathbf{f}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i \) 为内力虚功 \( \delta W_i \)。因此，我们得到虚功原理的表达式：
\[ \delta W_e + \delta W_i = 0 \]

⑤ 虚功原理的物理意义

虚功原理的物理意义在于，它将结构的平衡问题转化为能量问题。结构的平衡状态对应于虚功方程的满足。通过引入虚位移的概念，我们可以绕过复杂的静力平衡方程的建立，直接从能量的角度分析结构。虚功原理适用于线弹性结构和非线性结构，也适用于静力问题和动力问题，具有广泛的适用性。

7.1.2 虚功原理的应用 (Applications of Principle of Virtual Work)

虚功原理在结构分析中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：

① 求解结构的位移

当我们已知结构的内力分布，需要求解特定点的位移时，可以利用虚功原理。具体步骤如下：

1. 选取合适的虚力系 (virtual force system)：在待求位移处施加一个单位虚力 (或单位虚力矩)，并确定由此虚力系引起的结构内力分布 (虚内力)。
2. 选取与待求位移相对应的实位移模式 (real displacement pattern)：结构的实际位移模式 (实位移) 是我们要求的解。
3. 建立虚功方程：根据虚功原理，外力虚功等于内力虚功。外力虚功由单位虚力在实位移上做功得到，内力虚功由虚内力在实变形上做功得到。
4. 求解位移：从虚功方程中解出待求的实位移。

案例 7.1.2-1： 悬臂梁端部挠度

图7.1.2-1 悬臂梁

如图 7.1.2-1 所示，悬臂梁在自由端承受集中荷载 \( P \)，梁的抗弯刚度为 \( EI \)。求解梁自由端 \( B \) 的竖向挠度 \( v_B \)。

解：

1. 虚力系：在 \( B \) 端施加一个竖向单位虚力 \( \bar{F} = 1 \)。由此虚力引起的梁内弯矩 \( \bar{M}(x) \) 为：
   \[ \bar{M}(x) = -\bar{F} x = -x \]
   其中 \( x \) 为距自由端 \( B \) 的距离。

2. 实位移模式：梁在实际荷载 \( P \) 作用下的弯矩 \( M(x) \) 为：
   \[ M(x) = -Px \]
   梁的曲率 \( \kappa(x) \) (实变形) 与弯矩的关系为：
   \[ \kappa(x) = \frac{M(x)}{EI} = -\frac{Px}{EI} \]

3. 虚功方程：外力虚功由单位虚力 \( \bar{F} = 1 \) 在实位移 \( v_B \) 上做功得到：
   \[ \delta \bar{W}_e = \bar{F} v_B = 1 \cdot v_B = v_B \]
   内力虚功由虚弯矩 \( \bar{M}(x) \) 在实曲率 \( \kappa(x) \) 上积分得到：
   \[ \delta \bar{W}_i = \int_0^L \bar{M}(x) \kappa(x) dx = \int_0^L (-x) \left(-\frac{Px}{EI}\right) dx = \frac{P}{EI} \int_0^L x^2 dx = \frac{P}{EI} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{PL^3}{3EI} \]
   根据虚功原理，外力虚功等于内力虚功：
   \[ \delta \bar{W}_e = \delta \bar{W}_i \]
   \[ v_B = \frac{PL^3}{3EI} \]
   因此，悬臂梁自由端 \( B \) 的竖向挠度为 \( \frac{PL^3}{3EI} \)，方向向下。

② 求解结构的支座反力

当结构的支座反力未知时，我们可以将其视为外力，利用虚功原理建立方程求解。具体步骤如下：

1. 解除待求支座的约束，代之以支座反力：将待求支座反力视为外力。
2. 施加虚位移模式，使解除约束的支座产生虚位移，而其他约束保持不变：虚位移模式应与支座反力的方向一致。
3. 建立虚功方程：根据虚功原理，外力虚功 (包括已知荷载和支座反力) 之和等于内力虚功。
4. 求解支座反力：从虚功方程中解出待求的支座反力。

案例 7.1.2-2： 简支梁支座反力

图7.1.2-2 简支梁

如图 7.1.2-2 所示，简支梁 \( AB \) 在跨中承受集中荷载 \( P \)。求解支座 \( A \) 的竖向反力 \( R_A \)。

解：

1. 解除 \( A \) 支座的竖向约束，代之以支座反力 \( R_A \)。
2. 施加虚位移模式：使支座 \( A \) 产生一个竖向虚位移 \( \delta v_A \)，支座 \( B \) 保持不动。由于是简支梁，梁内主要产生弯曲变形。
3. 虚功方程：外力虚功包括荷载 \( P \) 和支座反力 \( R_A \) 的虚功。由于荷载 \( P \) 没有竖向位移，其虚功为零。支座反力 \( R_A \) 的虚功为 \( R_A \delta v_A \)。内力虚功由梁的弯曲变形产生。但为了求解支座反力，我们可以巧妙地选取虚位移模式，使得内力虚功为零。例如，我们可以假设梁是刚性的，只发生刚体位移。在这种情况下，内力虚功为零。

外力虚功： \( \delta W_e = R_A \delta v_A \)
内力虚功： \( \delta W_i = 0 \) (假设梁为刚体)

根据虚功原理： \( \delta W_e + \delta W_i = 0 \)
\[ R_A \delta v_A + 0 = 0 \]
这显然无法直接解出 \( R_A \)。我们需要更仔细地考虑虚位移模式。

重新考虑虚位移模式：

我们可以考虑一个微小的转动虚位移 \( \delta \theta \) ，绕支座 \( B \) 转动，使得支座 \( A \) 产生竖向虚位移 \( \delta v_A = L \delta \theta \)，荷载 \( P \) 处产生竖向虚位移 \( \delta v_P = \frac{L}{2} \delta \theta \)。

外力虚功： \( \delta W_e = R_A \delta v_A - P \delta v_P = R_A (L \delta \theta) - P (\frac{L}{2} \delta \theta) = (R_A L - \frac{PL}{2}) \delta \theta \)
内力虚功： \( \delta W_i = 0 \) (假设梁为刚体)

根据虚功原理： \( \delta W_e + \delta W_i = 0 \)
\[ (R_A L - \frac{PL}{2}) \delta \theta = 0 \]
由于 \( \delta \theta \) 可以是任意虚转角，因此必须有：
\[ R_A L - \frac{PL}{2} = 0 \]
\[ R_A = \frac{P}{2} \]
因此，支座 \( A \) 的竖向反力为 \( \frac{P}{2} \)，方向向上。

③ 求解结构的内力

虚功原理也可以用于求解结构的内力，例如杆件的轴力、剪力、弯矩等。与求解位移类似，我们需要选取合适的虚位移模式，使得待求内力做虚功，并建立虚功方程求解。

案例 7.1.2-3： 简支梁跨中弯矩

图7.1.2-3 简支梁

如图 7.1.2-3 所示，简支梁 \( AB \) 在跨中承受集中荷载 \( P \)。求解跨中 \( C \) 截面的弯矩 \( M_C \)。

解：

1. 选取虚位移模式：为了求解 \( C \) 截面的弯矩 \( M_C \)，我们可以在 \( C \) 截面处设置一个虚铰 (virtual hinge)，允许 \( C \) 截面两侧产生相对转角 \( \delta \theta_C \)。在虚铰两侧施加一对虚力偶 \( \bar{M} = 1 \)，方向与 \( M_C \) 的正方向一致。由此虚力偶引起的梁内弯矩 \( \bar{M}(x) \) 分布如图所示。在 \( AC \) 段，\( \bar{M}(x) = \frac{x}{L/2} \)，在 \( CB \) 段，\( \bar{M}(x) = \frac{L-x}{L/2} \)。

2. 实变形模式：梁在实际荷载 \( P \) 作用下的弯矩 \( M(x) \) 分布。在 \( AC \) 段，\( M(x) = \frac{P}{2} x \)，在 \( CB \) 段，\( M(x) = \frac{P}{2} (L-x) \)。梁的曲率 \( \kappa(x) = \frac{M(x)}{EI} \)。

3. 虚功方程：外力虚功由虚力偶 \( \bar{M} = 1 \) 在虚转角 \( \delta \theta_C \) 上做功得到：
   \[ \delta \bar{W}_e = \bar{M} \delta \theta_C = 1 \cdot \delta \theta_C = \delta \theta_C \]
   内力虚功由虚弯矩 \( \bar{M}(x) \) 在实曲率 \( \kappa(x) \) 上积分得到：
   \[ \delta \bar{W}_i = \int_0^L \bar{M}(x) \kappa(x) dx = \int_0^{L/2} \frac{x}{L/2} \frac{Px}{2EI} dx + \int_{L/2}^L \frac{L-x}{L/2} \frac{P(L-x)}{2EI} dx \]
   \[ \delta \bar{W}_i = \frac{P}{LEI} \left[ \int_0^{L/2} x^2 dx + \int_{L/2}^L (L-x)^2 dx \right] = \frac{P}{LEI} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{L/2} + \frac{P}{LEI} \left[ -\frac{(L-x)^3}{3} \right]_{L/2}^L \]
   \[ \delta \bar{W}_i = \frac{P}{LEI} \left( \frac{(L/2)^3}{3} + \frac{(L/2)^3}{3} \right) = \frac{PL^2}{12EI} \]
   根据虚功原理，外力虚功等于内力虚功：
   \[ \delta \bar{W}_e = \delta \bar{W}_i \]
   \[ \delta \theta_C = \frac{PL^2}{12EI} \]
   这求得的是虚转角，而非弯矩。我们需要重新考虑虚功方程的建立。

修正虚功方程：

虚力偶 \( \bar{M} = 1 \) 在虚转角 \( \delta \theta_C \) 上做虚功 \( \delta \bar{W}_e = \bar{M} \delta \theta_C = \delta \theta_C \)。
内力虚功应该表达为弯矩 \( M_C \) 在虚转角 \( \delta \theta_C \) 上做功，即 \( \delta \bar{W}_i = M_C \delta \theta_C \)。

实际上，更准确的理解是，虚力偶 \( \bar{M} \) 做功是 \( \bar{M} \delta \theta_C \)，而内力虚功应该通过积分弯矩和曲率来计算。之前的计算思路有偏差。

重新思考求解弯矩 \( M_C \) 的虚功原理应用：

为了直接求解 \( M_C \)，我们应该考虑虚位移原理的另一种形式，即虚力原理 (Principle of Virtual Forces)。

虚力原理是虚位移原理的对偶原理。其内容是：对于一个几何协调的结构，在任何自平衡的虚力系 (virtual force system) 下，虚力系所做的外虚功等于虚力系所做的内虚功。

应用虚力原理求解 \( M_C \)：

1. 选取自平衡虚力系：在 \( C \) 截面施加一对单位虚弯矩 \( \bar{M} = 1 \)，方向与 \( M_C \) 的正方向一致。由此虚弯矩引起的虚支座反力 \( \bar{R}_A \) 和 \( \bar{R}_B \) 以及虚弯矩 \( \bar{M}(x) \) 分布如图所示。 \( \bar{R}_A = \bar{R}_B = 0 \)。在 \( AC \) 段，\( \bar{M}(x) = \frac{x}{L/2} \)，在 \( CB \) 段，\( \bar{M}(x) = -\frac{L-x}{L/2} \)。

2. 实际位移模式：梁在实际荷载 \( P \) 作用下的位移 \( v(x) \) 和曲率 \( \kappa(x) = \frac{M(x)}{EI} \)。

3. 虚力方程：外力虚功由虚支座反力在实支座位移上做功，以及虚荷载在实际荷载作用点位移上做功。由于虚支座反力为零，外力虚功为零。内力虚功由虚弯矩 \( \bar{M}(x) \) 在实际曲率 \( \kappa(x) \) 上积分得到：
   \[ \delta \bar{W}_{int} = \int_0^L \bar{M}(x) \kappa(x) EI dx = \int_0^L \bar{M}(x) \frac{M(x)}{EI} EI dx = \int_0^L \bar{M}(x) M(x) dx \]
   外力虚功 \( \delta \bar{W}_{ext} = 0 \)。根据虚力原理，外力虚功等于内力虚功：
   \[ \delta \bar{W}_{ext} = \delta \bar{W}_{int} \]
   \[ 0 = \int_0^L \bar{M}(x) M(x) dx \]
   这仍然无法直接解出 \( M_C \)。我们需要重新审视虚力原理的应用方式。

再次修正思路： 利用虚位移原理求解 \( M_C \)

为了求解 \( M_C \)，我们仍然采用虚位移原理，但虚位移模式需要更精巧的设计。

1. 虚位移模式：假设在 \( C \) 截面处施加一对虚力偶 \( \bar{M} \)，使得 \( C \) 截面两侧产生相对虚转角 \( \delta \theta_C \)。同时，保持支座 \( A \) 和 \( B \) 的位移为零。这种虚位移模式主要集中在 \( C \) 截面，梁的其他部分也随之发生虚变形。

2. 外力虚功：外力虚功由外荷载 \( P \) 在相应的虚位移上做功。由于虚位移模式的设计，荷载 \( P \) 处也会有竖向虚位移 \( \delta v_P \)。外力虚功为 \( \delta \bar{W}_e = P \delta v_P \)。

3. 内力虚功：内力虚功主要由 \( C \) 截面的弯矩 \( M_C \) 在虚转角 \( \delta \theta_C \) 上做功，即 \( \delta \bar{W}_i = -M_C \delta \theta_C \)。需要注意的是，这里的负号是因为内力虚功通常取负值。

4. 建立虚功方程： \( \delta \bar{W}_e + \delta \bar{W}_i = 0 \)
   \[ P \delta v_P - M_C \delta \theta_C = 0 \]
   我们需要建立 \( \delta v_P \) 和 \( \delta \theta_C \) 之间的关系。

假设虚转角 \( \delta \theta_C \) 很小，则 \( C \) 点两侧梁段可以近似看作直线。设 \( AC \) 段和 \( CB \) 段的虚转角分别为 \( \delta \theta_{AC} \) 和 \( \delta \theta_{CB} \)。则 \( \delta \theta_C = \delta \theta_{AC} + \delta \theta_{CB} \)。
荷载 \( P \) 处的虚位移 \( \delta v_P \) 可以近似表示为：
\[ \delta v_P \approx \frac{L}{2} \delta \theta_{AC} \approx \frac{L}{2} \delta \theta_{CB} \]
因此， \( \delta \theta_{AC} \approx \delta \theta_{CB} \approx \frac{\delta v_P}{L/2} \)。 \( \delta \theta_C = \delta \theta_{AC} + \delta \theta_{CB} \approx 2 \frac{\delta v_P}{L/2} = \frac{4 \delta v_P}{L} \)。

代入虚功方程：
\[ P \delta v_P - M_C \left( \frac{4 \delta v_P}{L} \right) = 0 \]
\[ P - \frac{4 M_C}{L} = 0 \]
\[ M_C = \frac{PL}{4} \]
因此，简支梁跨中 \( C \) 截面的弯矩为 \( \frac{PL}{4} \)，方向为使梁上凹。

通过以上案例，我们展示了虚功原理在求解结构位移、支座反力和内力方面的应用。虚功原理的关键在于合理选取虚位移模式，并正确建立虚功方程。

7.2 最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy)

最小势能原理是能量法中的另一个重要原理，它基于能量守恒和稳定平衡的概念，为求解结构的平衡状态提供了另一种途径。本节将介绍最小势能原理的内容和物理意义，以及最小势能原理在求解超静定结构内力中的应用。

7.2.1 最小势能原理的内容与物理意义 (Content and Physical Meaning of Principle of Minimum Potential Energy)

最小势能原理指出：对于一个弹性系统，在所有满足位移边界条件的几何协调位移模式中，实际的平衡位移模式使系统的总势能 (total potential energy) 取极小值。如果系统的平衡是稳定的，则总势能取最小值。

① 总势能 (total potential energy)

弹性系统的总势能 \( \Pi \) 定义为弹性应变能 (elastic strain energy) \( U \) 与外力势能 (potential energy of external forces) \( V \) 之和：
\[ \Pi = U + V \]
弹性应变能 \( U \) 是结构因变形而储存的能量，它总是正值。对于线弹性结构，应变能可以表示为内力的二次函数，例如杆件的轴向拉伸应变能、弯曲应变能、扭转应变能等。
外力势能 \( V \) 是外力在位移过程中所做的势能，它通常取负值。对于保守力系，外力势能只与力的起点和终点位置有关，而与路径无关。例如重力势能、弹性力势能等。

② 最小势能原理的数学表达

最小势能原理可以用变分形式表达。设 \( \mathbf{u} \) 代表结构的位移场，则总势能 \( \Pi \) 是位移场 \( \mathbf{u} \) 的泛函，即 \( \Pi = \Pi(\mathbf{u}) \)。最小势能原理可以表示为：
\[ \delta \Pi = 0 \]
或者
\[ \delta^2 \Pi > 0 \]
其中 \( \delta \Pi \) 表示总势能的一阶变分 (first variation)， \( \delta^2 \Pi \) 表示总势能的二阶变分 (second variation)。 \( \delta \Pi = 0 \) 表示总势能取极值的必要条件，对应于结构的平衡状态。 \( \delta^2 \Pi > 0 \) 表示总势能取极小值的充分条件，对应于结构的稳定平衡状态。

对于离散系统，位移场可以用有限个广义坐标 \( q_i \) 表示，总势能 \( \Pi \) 可以表示为广义坐标的函数 \( \Pi(q_1, q_2, ..., q_n) \)。最小势能原理的变分形式转化为求多元函数极值的条件：
\[ \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1, 2, ..., n \]
这是一个方程组，可以从中解出广义坐标 \( q_i \)，从而确定结构的平衡位移。

③ 最小势能原理的物理意义

最小势能原理的物理意义在于，它将结构的平衡问题转化为求解泛函极值问题。结构的稳定平衡状态对应于总势能的最小值，这符合能量最小原理 (principle of minimum energy) 的基本思想。自然界总是趋向于能量最低的状态，结构也不例外。最小势能原理为我们提供了一种求解结构平衡状态的能量方法，它在求解超静定结构、分析结构稳定性等方面具有重要应用价值。

7.2.2 最小势能原理的应用 (Applications of Principle of Minimum Potential Energy)

最小势能原理在结构分析中主要应用于求解超静定结构的内力和位移。其基本步骤如下：

1. 选取合适的位移模式 (displacement mode) 或广义坐标 (generalized coordinates)：对于超静定结构，位移模式需要满足位移边界条件和几何协调条件，但内力分布可以是未知的。广义坐标用于描述结构的位移状态，例如节点位移、杆件变形等。
2. 建立总势能表达式：根据选取的位移模式或广义坐标，建立系统的总势能 \( \Pi \) 表达式。总势能包括弹性应变能 \( U \) 和外力势能 \( V \)。弹性应变能通常用位移或广义坐标表示，外力势能用外力和位移或广义坐标表示。
3. 应用最小势能原理：根据 \( \delta \Pi = 0 \) 或 \( \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} = 0 \) 建立方程组。对于离散系统，得到代数方程组；对于连续系统，得到微分方程或积分方程。
4. 求解方程组：求解方程组，得到广义坐标或位移场的解，从而确定结构的位移和内力分布。

案例 7.2.2-1： 简支梁在均布荷载作用下的挠曲线

图7.2.2-1 简支梁

如图 7.2.2-1 所示，简支梁 \( AB \) 在均布荷载 \( q \) 作用下，梁的抗弯刚度为 \( EI \)。假设梁的挠曲线方程为：
\[ v(x) = C \sin \frac{\pi x}{L} \]
其中 \( C \) 为待定系数。利用最小势能原理求解系数 \( C \)，并确定梁的最大挠度。

解：

1. 位移模式：假设挠曲线方程 \( v(x) = C \sin \frac{\pi x}{L} \) 满足简支梁的位移边界条件： \( v(0) = 0 \)，\( v(L) = 0 \)。广义坐标为系数 \( C \)。

2. 总势能表达式：
   ▮▮▮▮⚝ 弹性应变能 \( U \)：梁的弯曲应变能为：
   \[ U = \frac{1}{2} \int_0^L EI \kappa^2(x) dx = \frac{1}{2} \int_0^L EI \left( \frac{d^2 v}{dx^2} \right)^2 dx \]
   计算曲率 \( \kappa(x) = \frac{d^2 v}{dx^2} \)：
   \[ \frac{dv}{dx} = C \frac{\pi}{L} \cos \frac{\pi x}{L} \]
   \[ \frac{d^2 v}{dx^2} = -C \left( \frac{\pi}{L} \right)^2 \sin \frac{\pi x}{L} \]
   \[ \kappa^2(x) = \left( \frac{d^2 v}{dx^2} \right)^2 = C^2 \left( \frac{\pi}{L} \right)^4 \sin^2 \frac{\pi x}{L} \]
   \[ U = \frac{1}{2} \int_0^L EI C^2 \left( \frac{\pi}{L} \right)^4 \sin^2 \frac{\pi x}{L} dx = \frac{EI C^2 \pi^4}{2 L^4} \int_0^L \sin^2 \frac{\pi x}{L} dx \]
   利用积分公式 \( \int_0^L \sin^2 \frac{\pi x}{L} dx = \frac{L}{2} \)，得到：
   \[ U = \frac{EI C^2 \pi^4}{2 L^4} \cdot \frac{L}{2} = \frac{EI C^2 \pi^4}{4 L^3} \]
   ▮▮▮▮⚝ 外力势能 \( V \)：均布荷载 \( q \) 的势能为：
   \[ V = - \int_0^L q v(x) dx = - \int_0^L q C \sin \frac{\pi x}{L} dx = -qC \int_0^L \sin \frac{\pi x}{L} dx \]
   \[ V = -qC \left[ -\frac{L}{\pi} \cos \frac{\pi x}{L} \right]_0^L = -qC \left( -\frac{L}{\pi} \cos \pi + \frac{L}{\pi} \cos 0 \right) = -qC \left( \frac{L}{\pi} + \frac{L}{\pi} \right) = -\frac{2qCL}{\pi} \]
   ▮▮▮▮⚝ 总势能 \( \Pi \)：
   \[ \Pi = U + V = \frac{EI C^2 \pi^4}{4 L^3} - \frac{2qCL}{\pi} \]

3. 应用最小势能原理：令 \( \frac{d \Pi}{dC} = 0 \)：
   \[ \frac{d \Pi}{dC} = \frac{d}{dC} \left( \frac{EI C^2 \pi^4}{4 L^3} - \frac{2qCL}{\pi} \right) = \frac{EI \pi^4}{2 L^3} C - \frac{2qL}{\pi} = 0 \]
   解得系数 \( C \)：
   \[ C = \frac{2qL}{\pi} \cdot \frac{2 L^3}{EI \pi^4} = \frac{4qL^4}{EI \pi^5} \]

4. 挠曲线方程和最大挠度：将系数 \( C \) 代入挠曲线方程：
   \[ v(x) = \frac{4qL^4}{EI \pi^5} \sin \frac{\pi x}{L} \]
   最大挠度发生在跨中 \( x = \frac{L}{2} \) 处：
   \[ v_{max} = v\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{4qL^4}{EI \pi^5} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{4qL^4}{EI \pi^5} \approx 0.01307 \frac{qL^4}{EI} \]
   精确解的最大挠度为 \( \frac{5}{384} \frac{qL^4}{EI} \approx 0.01302 \frac{qL^4}{EI} \)。可见，假设的挠曲线方程得到的最大挠度与精确解非常接近，误差很小。

最小势能原理在有限元法中得到了广泛应用。有限元法正是基于最小势能原理或虚功原理建立单元刚度矩阵和整体刚度方程，从而求解复杂结构的位移和内力。

7.3 卡氏定理 (Castigliano's Theorems)

卡氏定理是能量法中用于求解结构位移和力的重要定理。它分为卡氏第一定理和卡氏第二定理，分别用于求解力和位移。卡氏定理基于应变能的概念，为求解结构的位移和力提供了简便的方法。本节将讲解卡氏第一定理和卡氏第二定理的内容和应用，以及卡氏定理在求解结构位移和内力方面的优势。

7.3.1 卡氏第一定理与第二定理 (Castigliano's First and Second Theorems)

卡氏定理分为两个定理：卡氏第一定理和卡氏第二定理。

① 卡氏第一定理 (Castigliano's First Theorem)

卡氏第一定理用于求解结构的力。其内容是：对于线弹性结构，如果结构的应变能 \( U \) 用广义位移 \( q_i \) 表示，则广义力 \( Q_i \) 等于应变能 \( U \) 对广义位移 \( q_i \) 的偏导数：
\[ Q_i = \frac{\partial U}{\partial q_i} \]
其中 \( Q_i \) 是与广义位移 \( q_i \) 相对应的广义力，可以是力或力矩。 \( q_i \) 可以是线位移或转角。

② 卡氏第二定理 (Castigliano's Second Theorem)

卡氏第二定理用于求解结构的位移。其内容是：对于线弹性结构，如果结构的应变能 \( U \) 用广义力 \( Q_i \) 表示，则与广义力 \( Q_i \) 作用点处沿 \( Q_i \) 方向的广义位移 \( q_i \) 等于应变能 \( U \) 对广义力 \( Q_i \) 的偏导数：
\[ q_i = \frac{\partial U}{\partial Q_i} \]
其中 \( q_i \) 是与广义力 \( Q_i \) 相对应的广义位移，可以是线位移或转角。 \( Q_i \) 可以是集中力或集中力矩。

③ 卡氏定理的适用条件

卡氏定理的适用条件是：
⚝ 线弹性结构 (linear elastic structure)：材料必须服从线弹性 Hooke 定律，应力与应变成线性关系。
⚝ 小变形 (small deformation)：结构的变形必须是小变形，几何非线性可以忽略。
⚝ 静力问题 (static problem)：卡氏定理主要用于静力问题，不直接适用于动力问题。

④ 卡氏定理的物理意义

卡氏定理的物理意义在于，它建立了结构的应变能与力和位移之间的直接关系。通过计算应变能对力和位移的偏导数，可以直接求解结构的力和位移，避免了求解复杂的平衡方程或位移协调方程。卡氏定理为求解超静定结构、分析复杂结构提供了简便有效的方法。

7.3.2 卡氏定理的应用 (Applications of Castigliano's Theorems)

卡氏定理在结构分析中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：

① 利用卡氏第二定理求解结构的位移

利用卡氏第二定理求解结构位移的步骤如下：

1. 建立结构的应变能表达式 \( U \)：用外力 \( Q_i \) 表示结构的应变能 \( U \)。对于梁、杆、桁架等结构，应变能可以表示为轴力、弯矩、扭矩等内力的积分形式，并进一步用外力表示。
2. 对应力求偏导数：根据卡氏第二定理，待求位移 \( q_i \) 等于应变能 \( U \) 对相应的力 \( Q_i \) 的偏导数 \( q_i = \frac{\partial U}{\partial Q_i} \)。
3. 计算位移：计算偏导数，得到待求位移 \( q_i \)。

案例 7.3.2-1： 悬臂梁端部挠度 (再次求解)

图7.3.2-1 悬臂梁

如图 7.3.2-1 所示，悬臂梁在自由端承受集中荷载 \( P \)，梁的抗弯刚度为 \( EI \)。求解梁自由端 \( B \) 的竖向挠度 \( v_B \)。

解：

1. 应变能表达式 \( U \)：悬臂梁的弯曲应变能为：
   \[ U = \int_0^L \frac{M^2(x)}{2EI} dx \]
   梁的弯矩 \( M(x) = -Px \)。
   \[ U = \int_0^L \frac{(-Px)^2}{2EI} dx = \frac{P^2}{2EI} \int_0^L x^2 dx = \frac{P^2}{2EI} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{P^2 L^3}{6EI} \]

2. 求偏导数：根据卡氏第二定理，自由端竖向挠度 \( v_B \) 为应变能 \( U \) 对荷载 \( P \) 的偏导数：
   \[ v_B = \frac{\partial U}{\partial P} = \frac{\partial}{\partial P} \left( \frac{P^2 L^3}{6EI} \right) = \frac{2P L^3}{6EI} = \frac{PL^3}{3EI} \]

3. 计算位移：悬臂梁自由端 \( B \) 的竖向挠度为 \( \frac{PL^3}{3EI} \)，方向向下。这与虚功原理求解的结果一致。

② 利用卡氏第一定理求解超静定结构的内力

利用卡氏第一定理求解超静定结构内力的步骤如下：

1. 选取超静定结构的超静定未知力 (redundant forces)：将超静定结构转化为静定结构，并选取超静定未知力 (例如多余支座反力或杆件内力)。
2. 建立应变能表达式 \( U \)：用外力荷载和超静定未知力表示结构的应变能 \( U \)。
3. 应用卡氏第一定理：根据卡氏第一定理，超静定未知力对应的广义位移为零 (例如支座位移为零，杆件变形协调等)。令应变能 \( U \) 对超静定未知力的偏导数为零，建立方程 \( \frac{\partial U}{\partial X_i} = 0 \)，其中 \( X_i \) 为超静定未知力。
4. 求解超静定未知力：求解方程组，得到超静定未知力 \( X_i \)。
5. 求解其他内力：根据超静定未知力，利用静力平衡条件求解其他内力。

案例 7.3.2-2： 固端梁在跨中集中荷载作用下的支座反力

图7.3.2-2 固端梁

如图 7.3.2-2 所示，固端梁 \( AB \) 在跨中 \( C \) 承受集中荷载 \( P \)。求解固端梁的支座反力 (弯矩 \( M_A \))。

解：

1. 选取超静定未知力：固端梁为三次超静定结构。为简化计算，我们只求解固端弯矩 \( M_A \)，并利用对称性， \( M_A = M_B \)。选取 \( M_A \) 为超静定未知力。

2. 应变能表达式 \( U \)：将固端弯矩 \( M_A \) 视为未知力，梁的弯矩 \( M(x) \) 可以表示为：
   ▮▮▮▮⚝ \( AC \) 段 ( \( 0 \le x \le L/2 \) )： \( M(x) = M_A + R_A x \)
   ▮▮▮▮⚝ \( CB \) 段 ( \( L/2 \le x \le L \) )： \( M(x) = M_A + R_A x - P(x - L/2) \)
   其中 \( R_A \) 为支座 \( A \) 的竖向反力。由静力平衡条件 \( \sum F_y = 0 \) ， \( R_A + R_B = P \)， \( \sum M = 0 \) ， \( M_A + M_B - PL/2 = 0 \)。由于对称性， \( R_A = R_B = P/2 \)， \( M_A = M_B \)。 \( M_A + M_B = PL/2 \)， \( 2M_A = PL/2 \)， \( M_A = PL/4 \)。

但是，我们现在要用卡氏第一定理求解 \( M_A \)。我们先用 \( M_A \) 和 \( P \) 表示弯矩。
▮▮▮▮⚝ \( AC \) 段 ( \( 0 \le x \le L/2 \) )： \( M(x) = M_A + \frac{P}{2} x \)
▮▮▮▮⚝ \( CB \) 段 ( \( L/2 \le x \le L \) )： \( M(x) = M_A + \frac{P}{2} x - P(x - L/2) = M_A + \frac{P}{2} L - \frac{P}{2} x \)

应变能 \( U \) 为：
\[ U = \int_0^L \frac{M^2(x)}{2EI} dx = \int_0^{L/2} \frac{(M_A + \frac{P}{2} x)^2}{2EI} dx + \int_{L/2}^L \frac{(M_A + \frac{P}{2} L - \frac{P}{2} x)^2}{2EI} dx \]

3. 应用卡氏第一定理：固端 \( A \) 的转角为零，即 \( \theta_A = 0 \)。根据卡氏第一定理， \( M_A \) 对应的广义位移 (转角 \( \theta_A \)) 为零，所以 \( \frac{\partial U}{\partial M_A} = 0 \)。

\[ \frac{\partial U}{\partial M_A} = \frac{1}{2EI} \left[ \int_0^{L/2} 2(M_A + \frac{P}{2} x) \cdot 1 dx + \int_{L/2}^L 2(M_A + \frac{P}{2} L - \frac{P}{2} x) \cdot 1 dx \right] = 0 \]
\[ \int_0^{L/2} (M_A + \frac{P}{2} x) dx + \int_{L/2}^L (M_A + \frac{P}{2} L - \frac{P}{2} x) dx = 0 \]
\[ \left[ M_A x + \frac{P}{4} x^2 \right]_0^{L/2} + \left[ M_A x + \frac{P}{2} L x - \frac{P}{4} x^2 \right]_{L/2}^L = 0 \]
\[ (M_A \frac{L}{2} + \frac{P}{4} \frac{L^2}{4}) + \left[ (M_A L + \frac{P}{2} L^2 - \frac{P}{4} L^2) - (M_A \frac{L}{2} + \frac{P}{2} L \frac{L}{2} - \frac{P}{4} \frac{L^2}{4}) \right] = 0 \]
\[ M_A \frac{L}{2} + \frac{PL^2}{16} + M_A L + \frac{PL^2}{4} - M_A \frac{L}{2} - \frac{PL^2}{4} + \frac{PL^2}{16} = 0 \]
\[ M_A L + \frac{PL^2}{8} = 0 \]
\[ M_A = -\frac{PL}{8} \]
因此，固端弯矩 \( M_A = -\frac{PL}{8} \)，负号表示弯矩方向与假设方向相反，实际方向为使梁上凹。 \( M_B = M_A = -\frac{PL}{8} \)。

卡氏定理为求解结构的位移和超静定结构的内力提供了简便有效的方法。在工程实践中，卡氏定理得到了广泛应用。

8. 有限元法基础 (Fundamentals of Finite Element Method)

8.1 有限元法基本概念 (Basic Concepts of Finite Element Method)

8.1.1 有限元法的基本思想与发展 (Basic Ideas and Development of Finite Element Method)

有限元法 (Finite Element Method, FEM) 是一种强大的数值分析方法，广泛应用于工程和科学领域，用于求解各种复杂问题，特别是那些无法获得解析解的偏微分方程问题。其核心思想是离散化 (Discretization)，即将一个连续的复杂区域（如工程结构、流体域等）分解为许多小的、互连的子区域，称为有限单元 (Finite Element)。在每个单元内，待求解的物理量（如位移、温度、流速等）用一组形函数 (Shape Function) 近似表示。通过在单元层面上建立近似解，并将所有单元组装起来，形成整体的近似解，从而将连续问题转化为离散的代数方程组问题进行求解。

有限元法的发展历程可以追溯到20世纪40年代，最初应用于航空工程的结构分析。以下是其发展历程中的几个关键里程碑：

① 早期发展 (1940s-1950s): 有限元法的雏形出现在航空工程领域，主要用于解决飞机结构强度分析问题。工程师们开始尝试将复杂的结构分解为简单的单元进行分析。1943年，库朗 (R. Courant) 在数学领域提出了分片多项式插值的思想，为有限元法的理论基础奠定了基础。

② 理论形成与推广 (1960s): 1960年代，有限元法的理论体系逐步完善。克拉夫 (R.W. Clough) 在1960年首次使用了 “有限元法 (Finite Element Method)” 这一术语。阿吉里斯 (J.H. Argyris) 和齐恩kiewicz (O.C. Zienkiewicz) 等学者在结构力学和连续介质力学领域对有限元法进行了系统研究和推广，出版了一系列重要的著作和论文，使得有限元法从航空工程领域扩展到土木工程、机械工程等更广泛的工程领域。

③ 软件发展与应用普及 (1970s-1980s): 随着计算机技术的快速发展，有限元法开始与计算机技术紧密结合。涌现出了一批商业有限元分析软件，如 NASTRAN、ANSYS、ABAQUS 等。这些软件的出现极大地降低了有限元分析的门槛，使得有限元法得以在工程实践中广泛应用。应用领域也从线弹性静力分析扩展到非线性分析、动力分析、热分析、流体分析等。

④ 成熟与深化 (1990s-至今): 进入20世纪90年代以来，有限元法在理论和应用方面都日趋成熟和深化。自适应网格技术、高性能计算技术、多物理场耦合分析技术等新技术的应用，进一步提升了有限元法的分析能力和效率。有限元法已经成为工程分析设计中不可或缺的重要工具。

有限元法的基本思想可以概括为以下几点：

⚝ 区域离散化 (Domain Discretization): 将连续的求解区域离散为有限个互不重叠的单元，单元之间通过节点相互连接。
⚝ 单元分析 (Element Analysis): 在每个单元内，选择合适的形函数来近似待求解的物理量，建立单元的有限元方程 (Finite Element Equation)。
⚝ 整体组装 (Global Assembly): 将所有单元的有限元方程按照一定的规则组装成整体的有限元方程组。
⚝ 求解方程 (Equation Solving): 引入边界条件和初始条件，求解整体有限元方程组，得到节点处的物理量值。
⚝ 结果后处理 (Result Post-processing): 对求解结果进行分析和可视化，提取工程感兴趣的信息，如应力、应变、位移、温度分布等。

有限元法的核心优势在于其通用性 (Versatility) 和灵活性 (Flexibility)。它可以处理各种复杂的几何形状、材料属性和边界条件，适用于各种类型的物理场问题。通过调整单元类型、网格密度和求解参数，可以控制分析精度和计算效率，满足不同工程问题的需求。

8.1.2 有限元法的应用领域与优势 (Application Fields and Advantages of Finite Element Method)

有限元法作为一种通用的数值分析方法，其应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的工程和科学领域。在工程结构分析领域，有限元法更是占据着核心地位。

有限元法的典型应用领域包括：

① 固体力学与结构分析 (Solid Mechanics and Structural Analysis): 这是有限元法最早也是最重要的应用领域。可以用于分析各种工程结构的静力学、动力学、稳定性和断裂力学问题，例如：

⚝ 线性静力分析 (Linear Static Analysis): 求解结构在静态荷载作用下的位移、应力、应变等。例如，桥梁、建筑、机械零件的强度和刚度分析。
⚝ 非线性分析 (Nonlinear Analysis): 考虑材料非线性（如塑性、蠕变、大变形）、几何非线性（如大位移、大转动）和接触非线性等复杂因素的结构分析。例如，金属成形、橡胶密封、碰撞冲击等问题。
⚝ 动力分析 (Dynamic Analysis): 求解结构在时变荷载作用下的动力响应，例如，地震响应分析、振动分析、冲击响应分析等。
⚝ 结构稳定性分析 (Structural Stability Analysis): 求解结构的临界荷载和失稳模态，评估结构的稳定性。例如，压杆稳定、梁的侧向弯扭屈曲、壳体屈曲等问题。
⚝ 断裂力学分析 (Fracture Mechanics Analysis): 研究裂纹尖端的应力场和应变场，评估结构的断裂强度和疲劳寿命。例如，飞机结构裂纹扩展分析、压力容器断裂评估等。

② 流体力学 (Fluid Mechanics): 用于求解各种流体流动问题，例如：

⚝ 计算流体力学 (Computational Fluid Dynamics, CFD): 模拟各种流体的流动行为，如空气动力学分析、水动力学分析、多相流分析、湍流模拟等。
⚝ 流固耦合分析 (Fluid-Structure Interaction, FSI): 研究流体与固体结构相互作用的问题，例如，桥梁颤振分析、水坝水流冲击分析、生物流体力学等。

③ 热传导 (Heat Transfer): 用于求解各种热传导问题，例如：

⚝ 稳态热分析 (Steady-state Heat Transfer Analysis): 求解物体在稳态条件下的温度分布。
⚝ 瞬态热分析 (Transient Heat Transfer Analysis): 求解物体随时间变化的温度场。
⚝ 热应力分析 (Thermal Stress Analysis): 分析温度变化引起的结构应力。
⚝ 热流耦合分析 (Thermo-Fluid Analysis): 研究热传导与流体流动耦合的问题，例如，散热器设计、发动机热管理等。

④ 电磁场分析 (Electromagnetic Field Analysis): 用于求解电磁场问题，例如：

⚝ 静电场分析 (Electrostatic Field Analysis): 求解静电场分布。
⚝ 静磁场分析 (Magnetostatic Field Analysis): 求解静磁场分布。
⚝ 电磁波分析 (Electromagnetic Wave Analysis): 研究电磁波的传播、散射和辐射等问题。

⑤ 多物理场耦合分析 (Multiphysics Coupling Analysis): 用于求解涉及多种物理场相互作用的复杂问题，例如：

⚝ 热-力耦合分析 (Thermo-Mechanical Coupling Analysis): 考虑温度场和应力场相互影响的问题。
⚝ 流-固-热耦合分析 (Fluid-Solid-Thermal Coupling Analysis): 同时考虑流体、固体和热传导相互作用的问题。
⚝ 压电分析 (Piezoelectric Analysis): 研究压电材料的力电耦合效应。

有限元法相比于传统的解析方法和实验方法，具有以下显著优势：

⚝ 处理复杂几何形状的能力 (Capability to Handle Complex Geometries): 有限元法可以灵活地剖分任意形状的区域，能够有效地处理具有复杂几何边界的工程问题，例如，曲线边界、不规则孔洞等。传统的解析方法通常只适用于规则几何形状的问题。
⚝ 处理复杂边界条件的能力 (Capability to Handle Complex Boundary Conditions): 有限元法可以方便地施加各种类型的边界条件，包括狄利克雷边界条件 (Dirichlet boundary condition)、诺伊曼边界条件 (Neumann boundary condition)、混合边界条件等。对于复杂的工程问题，边界条件往往是多种多样的，有限元法能够很好地适应这些复杂边界条件。
⚝ 处理非均匀材料和非线性问题的能力 (Capability to Handle Non-homogeneous Materials and Nonlinear Problems): 有限元法可以处理材料属性在空间上变化的非均匀材料问题，也可以处理材料和几何的非线性问题。对于非线性问题，有限元法可以通过迭代方法逐步逼近真实解。
⚝ 强大的通用性和灵活性 (Strong Versatility and Flexibility): 有限元法是一种通用的数值方法，可以应用于各种类型的物理场问题，只需根据不同的物理问题选择合适的单元类型和求解器即可。用户可以根据问题的具体情况，灵活地选择网格类型、网格密度、求解精度等参数，以达到最佳的分析效果。
⚝ 成熟的商业软件支持 (Mature Commercial Software Support): 经过几十年的发展，涌现出了大量功能强大、用户友好的商业有限元分析软件，如 ANSYS, ABAQUS, COMSOL, MSC.Nastran 等。这些软件集成了建模、网格划分、求解、后处理等功能，极大地提高了有限元分析的效率和可靠性。

有限元法也存在一定的局限性：

⚝ 近似解 (Approximate Solution): 有限元法得到的是近似解，其精度受到网格密度、单元类型、形函数阶次等因素的影响。为了获得高精度的解，通常需要采用精细的网格和高阶单元，这会增加计算成本。
⚝ 计算成本 (Computational Cost): 对于大型复杂问题，有限元分析的计算量可能非常巨大，需要高性能计算机和较长的计算时间。
⚝ 结果的解释和验证 (Interpretation and Verification of Results): 有限元分析得到的是数值结果，需要工程师具备良好的力学理论基础和工程经验，才能正确地解释和验证分析结果，判断结果的合理性和可靠性。

总而言之，有限元法是一种功能强大、应用广泛的数值分析方法，在现代工程分析设计中发挥着至关重要的作用。 随着计算机技术的不断发展，有限元法将在未来发挥更加重要的作用。

8.2 有限元法基本步骤 (Basic Steps of Finite Element Method)

有限元分析通常包括三个主要步骤：前处理 (Pre-processing)、求解 (Solution) 和 后处理 (Post-processing)。 这三个步骤构成了一个完整的有限元分析流程，如下图所示：

                                
                                    

                            
1
                            
graph LR
                        

                            
2
                            
    A[前处理 (Pre-processing)] --> B{求解 (Solution)};
                        

                            
3
                            
    B --> C[后处理 (Post-processing)];
                        

                            
4
                            
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
                        
                                
                            

8.2.1 前处理：模型建立与网格划分 (Pre-processing: Model Building and Mesh Generation)

前处理 (Pre-processing) 是有限元分析的第一步，也是至关重要的一步。前处理阶段的主要任务是建立有限元模型，包括几何模型建立 (Geometric Model Building)、材料属性定义 (Material Property Definition)、边界条件施加 (Boundary Condition Application) 和 网格划分 (Mesh Generation) 等。前处理的质量直接影响到有限元分析的精度和效率。

① 几何模型建立 (Geometric Model Building): 首先需要根据实际工程问题的几何形状，建立相应的几何模型 (Geometric Model)。几何模型可以是二维的 (2D) 或三维的 (3D)。 对于简单的几何形状，可以直接在有限元分析软件中创建几何模型。对于复杂的几何形状，通常需要借助 CAD (Computer-Aided Design) 软件（如 AutoCAD, SolidWorks, CATIA 等）建立几何模型，然后将几何模型导入到有限元分析软件中。几何模型的精度直接影响到有限元分析结果的精度，因此需要根据问题的精度要求，建立足够精确的几何模型。

② 材料属性定义 (Material Property Definition): 定义模型中各个组成部分的材料属性 (Material Property)。 材料属性包括弹性模量 (Elastic Modulus, \(E\))、泊松比 (Poisson's Ratio, \(\nu\))、密度 (Density, \(\rho\))、热膨胀系数 (Coefficient of Thermal Expansion, \(\alpha\))、导热系数 (Thermal Conductivity, \(k\)) 等。不同的物理场问题需要定义的材料属性不同。例如，结构力学分析主要需要定义弹性模量、泊松比、密度等力学性能参数；热分析主要需要定义导热系数、比热容 (Specific Heat Capacity, \(c\))、密度等热物理参数。材料属性的准确性直接影响到有限元分析结果的准确性，因此需要根据实际工程材料的性能参数，准确地定义材料属性。 可以参考本书附录 A 常用材料力学性能参数 (Mechanical Properties of Common Materials) 获取常用工程材料的力学性能参数。

③ 边界条件施加 (Boundary Condition Application): 根据实际工程问题的约束和荷载情况，施加相应的边界条件 (Boundary Condition) 和 荷载条件 (Load Condition)。 边界条件是指求解区域边界上的约束条件，例如，固定支座 (Fixed Support)、铰支座 (Hinge Support)、滚动支座 (Roller Support) 等。 荷载条件是指作用在求解区域上的各种外部作用，例如，集中力 (Concentrated Force)、分布力 (Distributed Force)、压力 (Pressure)、温度 (Temperature)、位移 (Displacement) 等。 边界条件和荷载条件的施加必须符合实际工程问题的物理规律，否则会得到错误的分析结果。 边界条件的类型主要包括：

⚝ 位移边界条件 (Displacement Boundary Condition) / 本质边界条件 (Essential Boundary Condition) / 狄利克雷边界条件 (Dirichlet Boundary Condition): 给定求解区域边界上的位移值。 例如，固定支座的位移为零。
⚝ 力边界条件 (Force Boundary Condition) / 自然边界条件 (Natural Boundary Condition) / 诺伊曼边界条件 (Neumann Boundary Condition): 给定求解区域边界上的力或通量值。 例如，边界表面受到的压力或热流密度。
⚝ 弹性边界条件 (Elastic Boundary Condition) / 罗宾边界条件 (Robin Boundary Condition) / 混合边界条件 (Mixed Boundary Condition): 给定求解区域边界上位移和力之间的关系。 例如，弹簧支座。

④ 网格划分 (Mesh Generation): 将几何模型离散为有限个有限单元 (Finite Element)，形成有限元网格 (Finite Element Mesh)。 网格划分是有限元分析中最关键的步骤之一。网格的质量（如单元形状、单元大小、网格密度等）直接影响到有限元分析的精度、收敛性和计算效率。 网格划分需要根据问题的几何形状、物理特性和精度要求进行选择。常用的网格类型包括：

⚝ 一维单元 (1D Element): 线单元 (Line Element) 或杆单元 (Bar Element)。 适用于杆、梁、桁架等结构。
⚝ 二维单元 (2D Element): 三角形单元 (Triangular Element)、四边形单元 (Quadrilateral Element)。 适用于平面问题，如平面应力问题、平面应变问题、薄板弯曲问题等。
⚝ 三维单元 (3D Element): 四面体单元 (Tetrahedral Element)、六面体单元 (Hexahedral Element)、棱柱体单元 (Prismatic Element)、金字塔单元 (Pyramid Element)。 适用于三维实体问题。

网格划分的原则通常包括：

⚝ 适应几何形状 (Adapt to Geometric Shape): 网格单元应尽可能地贴合几何模型的边界形状，避免出现过大的畸变。
⚝ 保证精度要求 (Ensure Accuracy Requirement): 在应力集中区域、梯度变化大的区域，需要采用较密的网格，以保证分析精度。
⚝ 提高计算效率 (Improve Computational Efficiency): 在精度要求不高或梯度变化小的区域，可以采用较稀疏的网格，以减少单元数量，提高计算效率。
⚝ 避免单元畸变 (Avoid Element Distortion): 应尽量避免出现单元形状过于畸变的情况，如过大的长宽比、过小的内角等，畸变单元会降低计算精度，甚至导致计算发散。

常用的网格划分方法包括：映射网格划分 (Mapped Meshing) 和 自由网格划分 (Free Meshing)。 映射网格划分适用于规则几何形状，可以生成高质量的结构化网格。 自由网格划分适用于复杂几何形状，可以自动生成非结构化网格，但网格质量可能不如映射网格划分。 在实际工程应用中，通常需要根据问题的具体情况，选择合适的网格类型、网格划分方法和网格密度，并进行网格质量检查，以确保有限元分析的可靠性。

8.2.2 求解与后处理 (Solution and Post-processing)

求解 (Solution) 是有限元分析的核心步骤。 在前处理完成有限元模型建立后，求解器 (Solver) 会根据有限元理论和数值方法，建立并求解有限元方程组 (Finite Element Equation System)，得到节点位移 (Nodal Displacement) 和 单元应力 (Element Stress) 等基本解。

① 有限元方程组建立 (Finite Element Equation System Establishment): 基于虚功原理 (Principle of Virtual Work) 或 最小势能原理 (Principle of Minimum Potential Energy) 等变分原理，将连续的物理问题转化为离散的有限元方程组。 对于线性静力分析，有限元方程组通常可以表示为：

\[ [K] \{U\} = \{F\} \]

其中，\( [K] \) 是整体刚度矩阵 (Global Stiffness Matrix)，反映了结构的刚度特性； \( \{U\} \) 是节点位移向量 (Nodal Displacement Vector)，包含了所有节点的位移分量； \( \{F\} \) 是节点载荷向量 (Nodal Load Vector)，包含了所有节点上的等效节点力。 整体刚度矩阵 \( [K] \) 是由所有单元的单元刚度矩阵 (Element Stiffness Matrix) 组装而成，节点载荷向量 \( \{F\} \) 是由外荷载和边界条件等效转化而来。 单元刚度矩阵的建立和整体刚度矩阵的组装是有限元分析的关键步骤，将在后续章节详细介绍。

② 有限元方程组求解 (Finite Element Equation System Solving): 求解有限元方程组 \( [K] \{U\} = \{F\} \)，得到节点位移向量 \( \{U\} \)。 常用的方程组求解方法包括直接法 (Direct Method) 和 迭代法 (Iterative Method)。 直接法，如高斯消元法 (Gaussian Elimination Method)、LU 分解法 (LU Decomposition Method) 等，适用于求解规模较小的线性方程组，精度高，但计算量大。 迭代法，如共轭梯度法 (Conjugate Gradient Method)、预条件共轭梯度法 (Preconditioned Conjugate Gradient Method) 等，适用于求解规模较大的线性方程组，计算效率高，但收敛速度和精度可能受到影响。 对于非线性问题，有限元方程组是非线性的，需要采用迭代方法（如牛顿-拉夫逊迭代法 (Newton-Raphson Iteration Method)、弧长法 (Arc-Length Method) 等）进行求解。

③ 单元应力计算 (Element Stress Calculation): 在得到节点位移 \( \{U\} \) 后，可以根据单元形函数 (Element Shape Function) 和材料本构关系 (Material Constitutive Relation)，计算单元内部的应力、应变等物理量。 例如，对于线弹性材料，单元应力 \( \{\sigma\} \) 可以通过以下公式计算得到：

\[ \{\sigma\} = [D] [B] \{U_e\} \]

其中，\( [D] \) 是弹性矩阵 (Elasticity Matrix) / 材料常数矩阵 (Material Constant Matrix)，反映了材料的弹性本构关系； \( [B] \) 是单元应变矩阵 (Element Strain Matrix)，由单元形函数求导得到； \( \{U_e\} \) 是单元节点位移向量 (Element Nodal Displacement Vector)，是整体节点位移向量 \( \{U\} \) 的子集，包含了该单元所有节点的位移分量。

后处理 (Post-processing) 是有限元分析的最后一步。 后处理阶段的主要任务是对求解结果进行可视化 (Visualization)、分析 (Analysis) 和 验证 (Verification)，提取工程感兴趣的信息，并对分析结果的可靠性进行评估。

① 结果可视化 (Result Visualization): 将有限元分析结果以图形化的方式展示出来，例如，云图 (Contour Plot)、矢量图 (Vector Plot)、动画 (Animation) 等。 云图可以直观地显示物理量（如位移、应力、温度等）在求解区域的分布情况，矢量图可以显示矢量场（如速度场、位移场等）的方向和大小，动画可以展示结构在时变荷载作用下的动态响应过程。 结果可视化有助于工程师直观地理解分析结果，发现问题的关键区域和薄弱环节。

② 结果分析 (Result Analysis): 对有限元分析结果进行深入分析，提取工程感兴趣的定量信息，例如，最大应力值、最大位移值、应力集中区域、结构的固有频率 (Natural Frequency)、模态振型 (Mode Shape)、临界荷载 (Critical Load) 等。 可以通过数据提取 (Data Extraction)、曲线绘制 (Curve Plotting)、后处理计算 (Post-processing Calculation) 等方法，从有限元结果中提取有用的信息。 结果分析的目的是评估结构的性能是否满足设计要求，为工程设计优化提供依据。

③ 结果验证 (Result Verification): 对有限元分析结果的可靠性进行验证。 常用的验证方法包括：

⚝ 理论解对比 (Comparison with Analytical Solution): 对于一些简单的、具有解析解的问题，可以将有限元分析结果与解析解进行对比，验证有限元模型的正确性和精度。
⚝ 实验结果对比 (Comparison with Experimental Result): 对于复杂的、无法获得解析解的问题，可以通过实验测试获取实验结果，将有限元分析结果与实验结果进行对比，验证有限元模型的可靠性。
⚝ 网格收敛性分析 (Mesh Convergence Study): 通过逐步加密网格，观察有限元分析结果的变化趋势，判断结果是否收敛。如果随着网格加密，分析结果趋于稳定，则可以认为结果是可靠的。
⚝ 能量守恒检查 (Energy Conservation Check): 对于某些物理问题，如弹性力学问题，应满足能量守恒定律。可以通过检查有限元分析结果是否满足能量守恒定律，来判断结果的合理性。

结果验证是有限元分析流程中不可或缺的环节。 只有经过严格的验证，才能确保有限元分析结果的可靠性，为工程决策提供可靠的依据。

8.3 单元类型与形函数 (Element Types and Shape Functions)

8.3.1 常用单元类型 (Common Element Types)

有限单元类型 (Element Type) 是有限元法中的基本组成单元，根据几何形状和自由度 (Degree of Freedom, DOF) 的不同，可以分为多种类型。 不同的单元类型适用于不同的物理问题和几何形状。常用的有限单元类型主要包括：

① 杆单元 (Bar Element) / 线单元 (Line Element) (1D): 杆单元是最简单的一种有限单元，其几何形状为线段，适用于模拟杆、梁、桁架等细长结构。 杆单元通常只有两个节点，每个节点可以有 1 个或多个自由度，例如，轴向杆单元每个节点只有 1 个轴向位移自由度，平面梁单元每个节点有 3 个自由度（2 个位移自由度和 1 个转角自由度），空间梁单元每个节点有 6 个自由度（3 个位移自由度和 3 个转角自由度）。 杆单元的优点是单元简单，计算效率高，适用于分析细长结构的轴向拉伸与压缩、弯曲、扭转等问题。

② 梁单元 (Beam Element) (1D): 梁单元也是一种线单元，但与杆单元不同的是，梁单元可以承受弯矩和剪力，适用于模拟梁、框架等结构。 梁单元通常有两个节点，每个节点可以有多个自由度，例如，平面梁单元每个节点有 3 个自由度（2 个位移自由度和 1 个转角自由度），空间梁单元每个节点有 6 个自由度（3 个位移自由度和 3 个转角自由度）。 梁单元的优点是可以考虑弯曲变形，适用于分析梁、框架结构的弯曲、剪切等问题。

③ 三角形单元 (Triangular Element) (2D): 三角形单元是一种平面单元，其几何形状为三角形，适用于模拟平面问题，如平面应力问题、平面应变问题、薄板弯曲问题等。 三角形单元通常有 3 个节点，每个节点可以有 2 个自由度（平面位移自由度）。 三角形单元的优点是可以灵活地适应复杂形状的边界，网格划分方便，但精度相对较低，容易出现锁定 (Locking) 现象。

④ 四边形单元 (Quadrilateral Element) (2D): 四边形单元也是一种平面单元，其几何形状为四边形，适用于模拟平面问题。 四边形单元通常有 4 个节点，每个节点可以有 2 个自由度（平面位移自由度）。 四边形单元相比三角形单元，精度更高，收敛性更好，但网格划分相对复杂，难以适应复杂形状的边界。 常用的四边形单元包括四节点四边形单元 (Quadrilateral 4-Node Element, Q4) 和 八节点四边形单元 (Quadrilateral 8-Node Element, Q8) 等。 Q8 单元是高阶单元，精度更高。

⑤ 四面体单元 (Tetrahedral Element) (3D): 四面体单元是一种三维实体单元，其几何形状为四面体，适用于模拟三维实体问题。 四面体单元通常有 4 个节点，每个节点可以有 3 个自由度（空间位移自由度）。 四面体单元的优点是可以灵活地适应复杂形状的三维实体，网格划分方便，自动化程度高，但精度相对较低，计算量较大。 常用的四面体单元包括四节点四面体单元 (Tetrahedral 4-Node Element, T4) 和 十节点四面体单元 (Tetrahedral 10-Node Element, T10) 等。 T10 单元是高阶单元，精度更高。

⑥ 六面体单元 (Hexahedral Element) (3D): 六面体单元也是一种三维实体单元，其几何形状为六面体，适用于模拟三维实体问题。 六面体单元通常有 8 个节点，每个节点可以有 3 个自由度（空间位移自由度）。 六面体单元相比四面体单元，精度更高，收敛性更好，计算效率更高，但网格划分相对复杂，难以适应复杂形状的三维实体。 常用的六面体单元包括八节点六面体单元 (Hexahedral 8-Node Element, H8) 和 二十节点六面体单元 (Hexahedral 20-Node Element, H20) 等。 H20 单元是高阶单元，精度更高。 六面体单元是工程实践中最常用的三维实体单元类型。

⑦ 棱柱体单元 (Prismatic Element) / 楔形单元 (Wedge Element) (3D): 棱柱体单元的几何形状为棱柱体（通常是三角形棱柱），适用于模拟一些具有特定形状的三维实体问题，例如，挤压成型、拉伸成型等。 棱柱体单元可以看作是二维三角形单元沿厚度方向的延伸。 棱柱体单元的节点数和自由度取决于具体的单元类型。

⑧ 金字塔单元 (Pyramid Element) (3D): 金字塔单元的几何形状为金字塔形，通常用于连接六面体网格和四面体网格，实现不同类型网格之间的过渡。 金字塔单元的节点数和自由度取决于具体的单元类型。

除了上述常用的单元类型外，还有一些特殊的单元类型，如壳单元 (Shell Element)、膜单元 (Membrane Element)、板单元 (Plate Element)、轴对称单元 (Axisymmetric Element) 等，用于模拟特定的结构或物理问题。 在实际工程应用中，需要根据问题的几何形状、物理特性、精度要求和计算效率等因素，选择合适的单元类型。 对于复杂的工程问题，通常需要采用多种单元类型混合使用，以达到最佳的分析效果。

8.3.2 形函数的概念与构造 (Concepts and Construction of Shape Functions)

形函数 (Shape Function) / 插值函数 (Interpolation Function) 是有限元法中非常重要的概念。 形函数用于近似单元内部的物理量（如位移、温度、压力等）分布。 在每个有限单元内，物理量 \( u(x) \) 可以用单元节点物理量 \( \{u_e\} \) 和形函数 \( [N(x)] \) 的线性组合来近似表示：

\[ u(x) = [N(x)] \{u_e\} = \sum_{i=1}^{n} N_i(x) u_{ei} \]

其中，\( x \) 表示单元内部的坐标； \( [N(x)] = [N_1(x), N_2(x), ..., N_n(x)] \) 是形函数矩阵 (Shape Function Matrix)，包含了 \( n \) 个形函数 \( N_i(x) \)，\( n \) 是单元的节点数； \( \{u_e\} = \{u_{e1}, u_{e2}, ..., u_{en}\}^T \) 是单元节点物理量向量 (Element Nodal Physical Quantity Vector)，包含了 \( n \) 个单元节点的物理量值 \( u_{ei} \)。 形函数 \( N_i(x) \) 是坐标 \( x \) 的函数，它描述了单元内部任意一点的物理量值与单元节点物理量值之间的关系。

形函数需要满足以下基本性质：

① 插值性质 (Interpolation Property) / 克罗内克 delta 性质 (Kronecker delta Property): 在单元的第 \( j \) 个节点 \( x_j \) 处，第 \( i \) 个形函数 \( N_i(x) \) 的值应满足：

\[ N_i(x_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \]

即，第 \( i \) 个形函数在第 \( i \) 个节点上的值为 1，在其他节点上的值为 0。 这一性质保证了单元边界上的物理量连续性，也保证了单元节点处的物理量值就是节点本身的值。

② 完备性 (Completeness): 形函数应能够表示单元内部的常数场和线性场。 完备性条件保证了在网格加密的情况下，有限元解能够收敛到精确解。 对于 \( p \) 阶单元，形函数通常应包含 \( p \) 阶多项式的所有项。 例如，线性单元的形函数应包含常数项和一次项，二次单元的形函数应包含常数项、一次项和二次项。

③ 协调性 (Compatibility) / 连续性 (Continuity): 形函数应保证单元之间的位移和应力在公共边界上是连续的。 协调性条件保证了单元组装后的整体解是连续的。 对于 \( C^0 \) 连续单元，形函数只需保证单元边界上的位移连续，例如，杆单元、梁单元、三角形单元、四边形单元等。 对于 \( C^1 \) 连续单元，形函数需要保证单元边界上的位移和一阶导数（如转角、应变）都连续，例如，薄板弯曲问题中常用的板单元。

形函数的构造方法有很多种，常用的方法包括：

① 多项式插值法 (Polynomial Interpolation Method): 这是最常用的形函数构造方法。 根据单元的节点分布和自由度，选择合适的多项式作为形函数。 常用的多项式包括拉格朗日多项式 (Lagrange Polynomial) 和 埃尔米特多项式 (Hermite Polynomial)。 拉格朗日插值适用于 \( C^0 \) 连续单元，埃尔米特插值适用于 \( C^1 \) 连续单元。

⚝ 一维线性单元 (2-Node Bar Element) 的线性形函数：

对于一维线性单元（两节点杆单元），假设单元长度为 \( L \)，两个节点分别为节点 1 和节点 2，坐标分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)。 采用线性多项式作为形函数：

\[ N_1(\xi) = \frac{1-\xi}{2}, \quad N_2(\xi) = \frac{1+\xi}{2} \]

其中，\( \xi = \frac{2(x-x_1)}{L} - 1 \) 是自然坐标 (Natural Coordinate)，将物理坐标 \( x \in [x_1, x_2] \) 映射到自然坐标 \( \xi \in [-1, 1] \)。 当 \( \xi = -1 \) 时，对应节点 1； 当 \( \xi = 1 \) 时，对应节点 2。 可以验证，线性形函数满足插值性质： \( N_1(-1) = 1, N_1(1) = 0, N_2(-1) = 0, N_2(1) = 1 \)。

⚝ 二维三角形线性单元 (3-Node Triangular Element) 的线性形函数：

对于二维三角形线性单元（三节点三角形单元），假设三个节点分别为节点 1、节点 2 和节点 3，面积坐标 (Area Coordinate) 分别为 \( L_1, L_2, L_3 \)。 面积坐标也称为重心坐标 (Barycentric Coordinate)，满足 \( L_1 + L_2 + L_3 = 1 \)。 采用线性多项式作为形函数，可以直接使用面积坐标作为形函数：

\[ N_1 = L_1, \quad N_2 = L_2, \quad N_3 = L_3 \]

面积坐标 \( L_i \) 可以表示为节点坐标的函数：

\[ L_1 = \frac{(x_2y_3 - x_3y_2) + (y_2 - y_3)x + (x_3 - x_2)y}{2A} \]
\[ L_2 = \frac{(x_3y_1 - x_1y_3) + (y_3 - y_1)x + (x_1 - x_3)y}{2A} \]
\[ L_3 = \frac{(x_1y_2 - x_2y_1) + (y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y}{2A} \]

其中，\( (x_i, y_i) \) 是节点 \( i \) 的坐标， \( A \) 是三角形单元的面积：

\[ 2A = (x_2y_3 - x_3y_2) + (x_3y_1 - x_1y_3) + (x_1y_2 - x_2y_1) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix} \]

线性形函数 \( N_i = L_i \) 满足插值性质： 在节点 \( i \) 处， \( L_i = 1 \)， \( L_j = 0 (j \neq i) \)。

② 自然坐标法 (Natural Coordinate Method): 对于一些规则形状的单元，如杆单元、四边形单元、六面体单元等，可以使用自然坐标系来构造形函数。 自然坐标系将单元映射到一个标准的规则区域（如线段 \([-1, 1]\)、正方形 \([-1, 1] \times [-1, 1]\)、立方体 \([-1, 1] \times [-1, 1] \times [-1, 1]\)），在自然坐标系下构造形函数，然后再映射回物理坐标系。 自然坐标法构造的形函数具有良好的数学性质，便于进行单元刚度矩阵的积分计算。

③ 等参数单元法 (Isoparametric Element Method): 等参数单元法是构造高阶单元形函数的常用方法。 等参数单元法使用相同的形函数来插值单元内部的物理量和几何坐标。 例如，对于四边形单元，可以使用相同的形函数 \( N_i(\xi, \eta) \) 来插值单元内部的位移 \( u(x, y) \) 和坐标 \( (x, y) \)：

\[ u(x, y) = \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi, \eta) u_{ei}, \quad x = \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi, \eta) x_i, \quad y = \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi, \eta) y_i \]

其中， \( (\xi, \eta) \) 是二维自然坐标， \( (x_i, y_i) \) 是节点 \( i \) 的物理坐标， \( u_{ei} \) 是节点 \( i \) 的物理量值。 等参数单元法可以方便地构造各种高阶单元，如二次单元、三次单元等，提高有限元分析的精度。

形函数的选择和构造是有限元分析的关键步骤之一。 合理选择和构造形函数，可以保证有限元分析的精度、收敛性和计算效率。 在实际工程应用中，需要根据问题的具体情况，选择合适的单元类型和形函数。

9. 结构动力分析基础 (Fundamentals of Structural Dynamics)

摘要

本章介绍了结构动力分析的基本概念、单自由度体系和多自由度体系的动力响应分析方法，以及结构振动的模态分析和反应谱分析等内容。

9.1 动力分析基本概念 (Basic Concepts of Dynamic Analysis)

摘要

概述了结构动力分析的基本概念、动力荷载的特点、动力响应的类型，以及动力分析在工程结构抗震设计中的重要作用。

9.1.1 动力荷载与动力响应 (Dynamic Loads and Dynamic Responses)

摘要

介绍了动力荷载的特点和分类，如冲击荷载、地震荷载、振动荷载等，以及结构在动力荷载作用下的动力响应类型。

动力荷载 (Dynamic Loads) 是指随时间快速变化的荷载，与静力荷载 (Static Loads) 的主要区别在于其时间依赖性和惯性效应的显著性。在动力荷载作用下，结构的响应不仅取决于荷载的瞬时值，还与荷载的变化速率、频率以及结构的质量和阻尼等因素密切相关。理解动力荷载的特性是进行结构动力分析的基础。

① 动力荷载的特点

与静力荷载相比，动力荷载具有以下显著特点：

⚝ 时间变异性 (Time-Variability)：动力荷载的大小、方向或位置随时间快速变化，这种变化可能是周期性的、冲击性的或随机的。例如，地震荷载是典型的随机非周期性动力荷载，而机器运转产生的荷载可能是周期性的。

⚝ 惯性效应 (Inertia Effect)：由于动力荷载的快速变化，结构的惯性力变得不可忽略。根据牛顿第二定律，惯性力与结构的质量和加速度成正比。在动力分析中，惯性力是平衡方程中不可或缺的一部分。

⚝ 能量输入 (Energy Input)：动力荷载通常会对结构输入能量，导致结构发生振动或运动。结构的动力响应本质上是对输入能量的吸收、耗散和传递过程的体现。

② 动力荷载的分类

根据不同的分类标准，动力荷载可以分为多种类型：

⚝ 按时间变化特性分类：

▮▮▮▮ⓐ 瞬态荷载 (Transient Loads)：持续时间很短，作用后迅速消失的荷载，如冲击荷载、爆炸荷载等。瞬态荷载通常在短时间内传递大量的能量给结构。

▮▮▮▮ⓑ 周期荷载 (Periodic Loads)：随时间周期性变化的荷载，如旋转机械的不平衡质量引起的激振力、海浪荷载等。周期荷载可以用傅里叶级数分解为不同频率的谐波分量。

▮▮▮▮ⓒ 随机荷载 (Random Loads)：时间变化规律不确定的荷载，如地震荷载、风荷载、交通荷载等。随机荷载通常需要用概率统计方法进行描述和分析。

⚝ 按作用方式分类：

▮▮▮▮ⓐ 冲击荷载 (Impulsive Loads)：在极短时间内突然施加的荷载，峰值强度高，作用时间短，例如爆炸、碰撞等产生的荷载。冲击荷载往往会引起结构产生较大的瞬时响应。

▮▮▮▮ⓑ 振动荷载 (Vibratory Loads)：由振动源产生的荷载，例如机器运转、交通运输等引起的地面或结构振动。振动荷载通常具有一定的频率特性，可能引发共振现象。

▮▮▮▮ⓒ 地震荷载 (Seismic Loads)：由地震动引起的地面运动作用于结构的荷载。地震荷载是一种复杂的随机动力荷载，具有多方向、宽频带、高能量的特点，是结构抗震设计中最主要的动力荷载类型。

③ 动力响应的类型

结构在动力荷载作用下产生的响应称为动力响应 (Dynamic Responses)。动力响应主要包括以下类型：

⚝ 位移响应 (Displacement Response)：结构在动力荷载作用下产生的变形，包括平动位移和转动位移。位移响应是衡量结构变形程度的直接指标。

⚝ 速度响应 (Velocity Response)：结构各点在运动过程中的速度。速度响应反映了结构运动的快慢。

⚝ 加速度响应 (Acceleration Response)：结构各点在运动过程中的加速度。加速度响应与结构的惯性力直接相关，也是地震工程中重要的参数。

⚝ 内力响应 (Internal Force Response)：结构内部产生的轴力、剪力、弯矩、扭矩等。内力响应是结构强度和稳定分析的基础。

⚝ 应力响应 (Stress Response) 和 应变响应 (Strain Response)：结构内部的应力和应变。应力应变响应是评估结构材料强度和变形性能的关键指标。

理解动力荷载的类型和特点，以及结构可能产生的各种动力响应，是进行有效结构动力分析和设计的先决条件。在工程实践中，根据具体的荷载类型和结构形式，选择合适的动力分析方法至关重要。

9.1.2 结构动力分析的目的与意义 (Purpose and Significance of Structural Dynamic Analysis)

摘要

阐述了结构动力分析在保障工程结构在动力荷载作用下的安全性和功能性方面的重要意义，尤其是在抗震设计中的关键作用。

结构动力分析 (Structural Dynamic Analysis) 的核心目的在于评估工程结构在各种动力荷载作用下的性能，确保结构在预期的动力环境 (Dynamic Environment) 中能够安全可靠地工作，并满足功能性要求。其意义主要体现在以下几个方面：

① 保障结构安全性 (Ensuring Structural Safety)

⚝ 抵抗动力破坏 (Resisting Dynamic Failure)：动力荷载，尤其是如地震、爆炸、冲击等极端荷载，可能对结构造成严重的破坏，甚至导致结构倒塌。动力分析能够预测结构在这些荷载作用下的内力和变形，评估结构的强度和稳定性是否满足安全要求，从而避免灾难性事故的发生。

⚝ 预防疲劳破坏 (Preventing Fatigue Failure)：长期承受周期性或随机动力荷载的结构，如桥梁、机械设备等，容易发生疲劳破坏。动力分析可以用于评估结构的应力幅值和循环次数，预测结构的疲劳寿命，采取相应的措施来延长结构的使用寿命。

② 优化结构设计 (Optimizing Structural Design)

⚝ 提升结构性能 (Improving Structural Performance)：通过动力分析，工程师可以更深入地了解结构的动力特性，例如固有频率、振型、阻尼比等，从而优化结构的设计参数，提高结构的抗震性能、抗风性能、抗振性能等。例如，在建筑结构抗震设计中，通过调整结构的刚度和质量分布，可以避免结构与地震波发生共振，减小地震响应。

⚝ 降低工程成本 (Reducing Engineering Costs)：精确的动力分析可以避免过度保守的设计，合理地选择结构材料和构件尺寸，在满足安全和功能性要求的前提下，最大限度地降低工程造价。例如，通过反应谱分析，可以更准确地确定地震作用下结构所需的抗震能力，避免盲目加大结构构件的截面尺寸。

③ 评估结构功能性 (Evaluating Structural Functionality)

⚝ 满足使用要求 (Meeting Serviceability Requirements)：在某些情况下，结构的动力响应不仅影响安全性，还会影响其正常使用功能。例如，高层建筑在风荷载作用下的过大位移会影响居住舒适性；精密仪器设备的基础结构振动过大会影响设备的精度和稳定性。动力分析可以评估结构在正常使用荷载下的动力响应，确保结构满足功能性要求。

⚝ 评估健康状态 (Assessing Structural Health)：通过对既有结构进行动力测试和分析，可以识别结构的动力特性参数，例如固有频率、阻尼比等，这些参数的变化可以反映结构的损伤和老化情况。因此，动力分析可以作为结构健康监测 (Structural Health Monitoring, SHM) 的重要手段，为结构的维护和管理提供科学依据。

④ 抗震设计中的关键作用 (Crucial Role in Seismic Design)

在地震工程领域，结构动力分析是抗震设计的核心环节。地震是一种典型的动力荷载，其作用具有随机性、瞬态性和高能量的特点。抗震设计的核心目标是确保结构在遭遇地震时，能够抵抗地震作用，最大限度地减少人员伤亡和经济损失。结构动力分析在抗震设计中发挥着至关重要的作用：

⚝ 地震作用计算 (Seismic Load Calculation)：通过地震反应谱分析或时程分析，可以准确地计算地震作用下结构所承受的地震力，为结构抗震设计提供输入。

⚝ 抗震性能评估 (Seismic Performance Evaluation)：动力分析可以评估结构在不同强度地震作用下的动力响应，判断结构是否满足预期的抗震性能目标，例如小震不坏、中震可修、大震不倒。

⚝ 抗震措施优化 (Seismic Measure Optimization)：动力分析结果可以指导抗震措施的优化设计，例如选择合理的抗震结构体系、设置消能减震装置、加强薄弱环节等，提高结构的抗震能力。

综上所述，结构动力分析不仅是保障工程结构安全性的重要手段，也是优化结构设计、评估结构功能性的关键技术，尤其在地震工程领域，动力分析更是抗震设计的核心和灵魂。随着工程技术的不断发展，结构动力分析的应用范围将越来越广泛，其重要性也将日益凸显。

9.2 单自由度体系动力分析 (Dynamic Analysis of Single Degree of Freedom Systems)

摘要

讲解了单自由度体系的运动方程、自由振动和强迫振动分析方法，以及阻尼对动力响应的影响。

单自由度体系 (Single Degree of Freedom System, SDOF System) 是结构动力分析中最基本、也是最重要的模型之一。许多实际工程结构，例如单层房屋、烟囱、水塔等，在某些简化条件下，可以近似地视为单自由度体系进行动力分析。研究单自由度体系的动力响应，是理解复杂结构动力行为的基础。

9.2.1 运动方程与自由振动 (Equation of Motion and Free Vibration)

摘要

推导了单自由度体系的运动方程，分析了无阻尼和有阻尼自由振动的特性，如固有频率、阻尼比等。

① 单自由度体系的力学模型

单自由度体系通常由一个集中质量 \(m\)、一个弹簧 \(k\) 和一个阻尼器 \(c\) 组成，如图 9.1 所示。集中质量代表结构的质量，弹簧代表结构的刚度，阻尼器代表结构的能量耗散特性。外力 \(P(t)\) 作用在质量块上，\(x(t)\) 表示质量块的位移，是关于时间的函数。

② 运动方程的建立

根据牛顿第二定律，对集中质量 \(m\) 进行受力分析，可以建立单自由度体系的运动方程。作用在质量块上的力包括：

⚝ 惯性力 (Inertia Force)： \(F_I = m\ddot{x}(t)\)，方向与加速度方向相反。

⚝ 阻尼力 (Damping Force)： \(F_D = c\dot{x}(t)\)，方向与速度方向相反。

⚝ 弹性力 (Elastic Force)： \(F_S = kx(t)\)，方向与位移方向相反。

⚝ 外力 (External Force)： \(P(t)\)，方向与外力方向相同。

根据达朗贝尔原理 (D'Alembert's principle)，将惯性力视为一种附加的力，则动力问题可以转化为等效的静力问题。因此，单自由度体系的动力平衡方程可以写成：

\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = P(t) \]

这就是单自由度体系的运动方程 (Equation of Motion)。这是一个二阶常系数线性微分方程，描述了单自由度体系在任意外力 \(P(t)\) 作用下的动力响应。

③ 自由振动 (Free Vibration)

自由振动 (Free Vibration) 是指系统在外力撤除后，仅在初始条件 (Initial Conditions) (初始位移和初始速度) 作用下发生的振动。此时，运动方程中的外力项 \(P(t) = 0\)，运动方程简化为：

\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0 \]

根据阻尼系数 \(c\) 的大小，自由振动可以分为无阻尼自由振动 (Undamped Free Vibration) 和 有阻尼自由振动 (Damped Free Vibration) 两种情况。

⚝ 无阻尼自由振动 (Undamped Free Vibration, \(c=0\))

当阻尼系数 \(c = 0\) 时，运动方程进一步简化为：

\[ m\ddot{x}(t) + kx(t) = 0 \]

或

\[ \ddot{x}(t) + \omega_n^2 x(t) = 0 \]

其中，\( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \) 称为 固有频率 (Natural Frequency)，单位为 rad/s，表示系统自由振动的快慢。对应的 自振周期 (Natural Period) 为 \( T_n = \frac{2\pi}{\omega_n} \)，单位为 s。

该方程的通解为：

\[ x(t) = A\cos(\omega_n t) + B\sin(\omega_n t) \]

或

\[ x(t) = X\cos(\omega_n t - \phi) \]

其中，\(A\)、\(B\) 或 \(X\)、\(\phi\) 由初始条件 \(x(0)\) 和 \(\dot{x}(0)\) 确定。\(X\) 为振幅，\(\phi\) 为初相位。

无阻尼自由振动是一种简谐运动 (Simple Harmonic Motion)，其振动频率为固有频率 \(\omega_n\)，振幅保持不变，能量在系统内部的动能和势能之间相互转换，总能量守恒。

⚝ 有阻尼自由振动 (Damped Free Vibration, \(c \neq 0\))

当阻尼系数 \(c \neq 0\) 时，运动方程为：

\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0 \]

为了分析阻尼对自由振动的影响，引入 阻尼比 (Damping Ratio) \(\zeta\)，定义为：

\[ \zeta = \frac{c}{c_c} = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{c}{2m\omega_n} \]

其中，\( c_c = 2\sqrt{mk} = 2m\omega_n \) 称为 临界阻尼系数 (Critical Damping Coefficient)。临界阻尼系数是使系统振动衰减最快的最小阻尼值。

根据阻尼比 \(\zeta\) 的大小，有阻尼自由振动可以分为三种情况：

▮▮▮▮ⓐ 欠阻尼 (Underdamped, \(0 < \zeta < 1\))：系统发生衰减振动，振幅随时间指数衰减。振动频率为 阻尼固有频率 (Damped Natural Frequency) \( \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \)，总是小于无阻尼固有频率 \(\omega_n\)。欠阻尼是工程结构中最常见的情况。

▮▮▮▮ⓑ 临界阻尼 (Critically Damped, \(\zeta = 1\))：系统不发生振动，而是以最快的速度衰减到静止状态。临界阻尼是振动衰减速度最快的情况。

▮▮▮▮ⓒ 过阻尼 (Overdamped, \(\zeta > 1\))：系统也不发生振动，衰减到静止状态的速度较慢。过阻尼在工程结构中较少见。

在欠阻尼情况下，自由振动的位移响应可以表示为：

\[ x(t) = X e^{-\zeta\omega_n t} \cos(\omega_d t - \phi) \]

其中，\(X\) 和 \(\phi\) 由初始条件确定，\( e^{-\zeta\omega_n t} \) 为衰减因子，决定了振幅随时间衰减的速度。阻尼比 \(\zeta\) 越大，衰减越快。

9.2.2 强迫振动与共振 (Forced Vibration and Resonance)

摘要

分析了单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动响应，以及共振现象的产生条件和危害。

① 强迫振动 (Forced Vibration)

强迫振动 (Forced Vibration) 是指系统在外力 \(P(t) \neq 0\) 作用下的振动。当外力 \(P(t)\) 是周期性荷载时，系统将发生持续的振动，称为 稳态振动 (Steady-State Vibration)。瞬态荷载引起的振动，在荷载作用结束后，会逐渐衰减为自由振动，最终消失。

本节重点讨论 简谐荷载 (Harmonic Load) 作用下的强迫振动，简谐荷载可以表示为：

\[ P(t) = P_0 \cos(\omega t) \]

其中，\(P_0\) 为荷载幅值，\(\omega\) 为荷载频率。

将简谐荷载代入单自由度体系的运动方程，得到：

\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = P_0 \cos(\omega t) \]

稳态解 (Steady-State Solution) 的形式也应该是简谐的，可以设为：

\[ x(t) = X \cos(\omega t - \theta) \]

其中，\(X\) 为稳态振幅，\(\theta\) 为位移响应滞后于荷载的相位角。将稳态解代入运动方程，可以求得稳态振幅 \(X\) 和相位角 \(\theta\)：

\[ X = \frac{P_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}} = \frac{P_0/k}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}} \]

\[ \tan\theta = \frac{c\omega}{k - m\omega^2} = \frac{2\zeta r}{1 - r^2} \]

其中，\( r = \frac{\omega}{\omega_n} \) 称为 频率比 (Frequency Ratio)，表示荷载频率 \(\omega\) 与系统固有频率 \(\omega_n\) 的比值。

为了更直观地表示稳态振幅随频率比 \(r\) 和阻尼比 \(\zeta\) 的变化规律，引入 动幅系数 (Magnification Factor) \(M\)，定义为稳态振幅 \(X\) 与静力作用下位移 \(X_{st} = P_0/k\) 的比值：

\[ M = \frac{X}{X_{st}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}} \]

动幅系数 \(M\) 反映了动力荷载引起的振幅相对于静力作用下位移的放大倍数。

② 共振 (Resonance)

当荷载频率 \(\omega\) 接近系统固有频率 \(\omega_n\) 时，即 \(r \approx 1\) 时，动幅系数 \(M\) 会显著增大，稳态振幅 \(X\) 也随之急剧增大，这种现象称为 共振 (Resonance)。

共振时，系统从外力中吸收能量的效率最高，即使是很小的周期荷载，也可能引起结构产生很大的振动响应。共振对工程结构是非常不利的，可能导致结构破坏或功能失效。

⚝ 共振条件：当荷载频率 \(\omega\) 等于或接近系统固有频率 \(\omega_n\) 时，即 \(r \approx 1\)。

⚝ 共振峰值：在共振频率附近，动幅系数 \(M\) 达到峰值。对于无阻尼系统 (\(\zeta = 0\))，共振时动幅系数 \(M \rightarrow \infty\)，振幅也趋于无穷大 (实际情况中，由于材料阻尼的存在，振幅不会无穷大)。对于有阻尼系统 (\(\zeta > 0\))，共振峰值是有限的，阻尼比 \(\zeta\) 越小，共振峰值越大。

⚝ 共振危害：共振可能导致结构产生过大的位移、应力，引发结构破坏、疲劳破坏、功能失效等问题。例如，桥梁在车辆荷载作用下，如果车辆的行驶频率接近桥梁的固有频率，就可能发生共振，危及桥梁安全。

③ 减小共振响应的措施

为了避免或减小共振带来的危害，可以采取以下措施：

⚝ 避免共振频率：在结构设计时，尽量使结构的固有频率远离可能出现的主要荷载频率范围。可以通过改变结构的刚度 \(k\) 或质量 \(m\) 来调整固有频率 \(\omega_n = \sqrt{k/m}\)。

⚝ 增加阻尼：增加结构的阻尼比 \(\zeta\)，可以有效降低共振峰值。工程上常用的阻尼措施包括：设置阻尼器、采用高阻尼材料等。

⚝ 减小激振力：从源头上减小动力荷载的幅值，例如，通过平衡旋转机械的不平衡质量、减小交通荷载的冲击等。

9.3 多自由度体系动力分析 (Dynamic Analysis of Multi Degree of Freedom Systems)

摘要

介绍了多自由度体系的运动方程、模态分析方法和反应谱分析方法，以及多自由度体系动力响应的特点。

多自由度体系 (Multi Degree of Freedom System, MDOF System) 是指具有多个自由度 (Degree of Freedom, DOF) 的动力系统。实际工程结构通常都是多自由度体系，例如高层建筑、桥梁、大型机械设备等。与单自由度体系相比，多自由度体系的动力行为更为复杂，需要采用更高级的分析方法。

9.3.1 运动方程与模态分析 (Equation of Motion and Modal Analysis)

摘要

建立了多自由度体系的运动方程，讲解了模态分析的基本原理和步骤，以及模态振型和模态频率的概念。

① 多自由度体系的运动方程

对于一个 \(n\) 自由度体系，可以用 \(n\) 个广义坐标 \( \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T \) 来描述其运动。多自由度体系的运动方程可以写成矩阵形式：

\[ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{C}\dot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{K}\mathbf{x}(t) = \mathbf{P}(t) \]

其中：

⚝ \(\mathbf{M}\) 是 \(n \times n\) 质量矩阵 (Mass Matrix)，描述系统的质量分布。

⚝ \(\mathbf{C}\) 是 \(n \times n\) 阻尼矩阵 (Damping Matrix)，描述系统的阻尼特性。

⚝ \(\mathbf{K}\) 是 \(n \times n\) 刚度矩阵 (Stiffness Matrix)，描述系统的刚度特性。

⚝ \(\mathbf{x}(t)\) 是 \(n \times 1\) 位移向量 (Displacement Vector)，表示各自由度的位移响应。

⚝ \(\mathbf{P}(t)\) 是 \(n \times 1\) 荷载向量 (Load Vector)，表示作用在各自由度上的外力。

\(\mathbf{M}\)、\(\mathbf{C}\)、\(\mathbf{K}\) 矩阵的元素可以通过有限元法 (Finite Element Method, FEM) 等数值方法建立。运动方程是一个二阶常系数线性微分方程组，求解该方程组可以得到多自由度体系的动力响应。

② 模态分析 (Modal Analysis)

模态分析 (Modal Analysis) 是多自由度体系动力分析的重要方法，它将复杂的耦合振动分解为若干个独立的单自由度模态振动 (Modal Vibration) 的叠加。模态分析可以有效地简化多自由度体系的动力响应分析，并揭示结构的动力特性。

模态分析的基本步骤如下：

▮▮▮▮ⓐ 求解特征值问题 (Solving Eigenvalue Problem)：对于无阻尼自由振动 (\(\mathbf{C} = \mathbf{0}, \mathbf{P}(t) = \mathbf{0}\)), 运动方程为：

\[ \mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{K}\mathbf{x}(t) = \mathbf{0} \]

假设解的形式为简谐振动 \( \mathbf{x}(t) = \mathbf{\phi} \cos(\omega t) \)，代入运动方程，得到特征值问题：

\[ (\mathbf{K} - \omega^2\mathbf{M})\mathbf{\phi} = \mathbf{0} \]

求解该特征值问题，可以得到 \(n\) 个特征值 \( \omega_i^2 \) 和对应的特征向量 \( \mathbf{\phi}_i \)，\(i = 1, 2, \dots, n\)。

▮▮▮▮ⓑ 模态频率与模态振型 (Modal Frequencies and Mode Shapes)：

⚝ 模态频率 (Modal Frequency)：\( \omega_i = \sqrt{\omega_i^2} \) 称为第 \(i\) 阶 模态频率 (Modal Frequency) 或 固有频率 (Natural Frequency)，表示第 \(i\) 阶模态振动的频率。将模态频率按从小到大排列：\( \omega_1 \leq \omega_2 \leq \dots \leq \omega_n \)。

⚝ 模态振型 (Mode Shape)：\( \mathbf{\phi}_i \) 称为第 \(i\) 阶 模态振型 (Mode Shape) 或 特征向量 (Eigenvector)，表示第 \(i\) 阶模态振动时，各自由度位移的相对比例关系。模态振型反映了结构的基本振动形态。模态振型是相对的，通常进行归一化处理，例如质量归一化：\( \mathbf{\phi}_i^T \mathbf{M} \mathbf{\phi}_i = 1 \)。

▮▮▮▮ⓒ 模态坐标变换 (Modal Coordinate Transformation)：将物理坐标 \( \mathbf{x} \) 转换为模态坐标 \( \mathbf{q} \)，通过模态矩阵 \( \mathbf{\Phi} = [\mathbf{\phi}_1, \mathbf{\phi}_2, \dots, \mathbf{\phi}_n] \) 进行坐标变换：

\[ \mathbf{x} = \mathbf{\Phi}\mathbf{q} \]

将坐标变换代入运动方程，并利用模态振型的正交性 (Orthogonality)，可以将耦合的运动方程解耦为 \(n\) 个独立的单自由度模态方程：

\[ \ddot{q}_i(t) + 2\zeta_i\omega_i\dot{q}_i(t) + \omega_i^2 q_i(t) = \Gamma_i P(t) \]

其中，\(q_i(t)\) 是第 \(i\) 阶模态坐标，\(\zeta_i\) 是第 \(i\) 阶模态阻尼比，\(\Gamma_i\) 是第 \(i\) 阶模态参与系数，\(P(t)\) 是等效模态荷载。

▮▮▮▮ⓓ 求解模态方程 (Solving Modal Equations)：每个模态方程都是一个独立的单自由度体系的运动方程，可以采用单自由度体系的分析方法 (例如频域分析、时域分析) 求解每个模态方程的响应 \(q_i(t)\)。

▮▮▮▮ⓔ 响应叠加 (Response Superposition)：将各阶模态响应 \(q_i(t)\) 叠加，通过坐标逆变换得到物理坐标下的响应 \( \mathbf{x}(t) \):

\[ \mathbf{x}(t) = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{\phi}_i q_i(t) = \mathbf{\Phi}\mathbf{q}(t) \]

模态分析的优点在于：

⚝ 解耦简化：将复杂的耦合振动问题解耦为独立的单自由度模态振动问题，大大简化了分析过程。

⚝ 物理意义明确：模态频率和模态振型反映了结构的基本动力特性，有助于理解结构的振动行为。

⚝ 计算效率高：对于线性系统，模态分析是一种高效的动力响应分析方法。

9.3.2 反应谱分析 (Response Spectrum Analysis)

摘要

介绍了反应谱分析方法在地震工程中的应用，以及反应谱的概念、构造和应用步骤。

反应谱分析 (Response Spectrum Analysis) 是一种地震工程中常用的结构抗震分析方法，尤其适用于线性结构的地震响应分析。反应谱分析方法基于地震反应谱 (Response Spectrum) 的概念，可以有效地估计结构在地震作用下的最大动力响应。

① 地震反应谱 (Response Spectrum)

地震反应谱 (Response Spectrum) 是描述地震动特性的重要工具，它反映了不同固有频率 (或周期) 的单自由度体系在同一地震动作用下的最大动力响应 (例如最大位移、最大速度、最大加速度) 与固有频率 (或周期) 之间的关系曲线。

反应谱通常分为以下几种类型：

⚝ 位移反应谱 (Displacement Response Spectrum, \(S_d(\omega, \zeta)\) 或 \(S_d(T, \zeta)\))：表示不同固有频率 \(\omega\) (或周期 \(T\)) 和阻尼比 \(\zeta\) 的单自由度体系在地震动作用下的最大相对位移 \(S_d\)。

⚝ 速度反应谱 (Velocity Response Spectrum, \(S_v(\omega, \zeta)\) 或 \(S_v(T, \zeta)\))：表示最大相对速度 \(S_v\)。速度反应谱与位移反应谱之间近似满足关系：\(S_v \approx \omega S_d = \frac{2\pi}{T}S_d\)。

⚝ 加速度反应谱 (Acceleration Response Spectrum, \(S_a(\omega, \zeta)\) 或 \(S_a(T, \zeta)\))：表示最大绝对加速度 \(S_a\)。加速度反应谱与位移反应谱之间近似满足关系：\(S_a \approx \omega^2 S_d = (\frac{2\pi}{T})^2 S_d\)。工程中常用的加速度反应谱是 伪加速度反应谱 (Pseudo-Acceleration Response Spectrum)，近似等于绝对加速度反应谱。

反应谱曲线通常以结构的自振周期 \(T\) 或频率 \(f\) 为横坐标，以最大动力响应 (位移、速度或加速度) 为纵坐标绘制。对于给定的地震动和阻尼比，可以绘制出相应的反应谱曲线。不同的地震动和阻尼比对应不同的反应谱曲线。工程抗震设计规范中通常会给出标准设计反应谱，供工程师使用。

② 反应谱分析步骤

反应谱分析的基本步骤如下：

▮▮▮▮ⓐ 结构模态分析 (Modal Analysis of Structure)：首先进行结构模态分析，计算结构的各阶模态频率 \( \omega_i \) (或周期 \( T_i = 2\pi/\omega_i \)) 和模态振型 \( \mathbf{\phi}_i \)。

▮▮▮▮ⓑ 确定设计反应谱 (Determine Design Response Spectrum)：根据工程场地条件、地震设防烈度等因素，确定合适的设计反应谱 \(S_a(T, \zeta)\)。设计反应谱通常由规范给出，或者根据场地地震危险性分析确定。

▮▮▮▮ⓒ 计算模态地震作用 (Calculate Modal Seismic Loads)：对于第 \(i\) 阶模态，根据其自振周期 \(T_i\) 和设计反应谱 \(S_a(T, \zeta)\)，查得对应的谱加速度值 \(S_{ai} = S_a(T_i, \zeta_i)\)，其中 \(\zeta_i\) 为第 \(i\) 阶模态阻尼比。第 \(i\) 阶模态的等效地震力向量 \( \mathbf{F}_i \) 可以表示为：

\[ \mathbf{F}_i = \Gamma_i S_{ai} \mathbf{M} \mathbf{\phi}_i \]

其中，\(\Gamma_i = \frac{\mathbf{\phi}_i^T \mathbf{M} \mathbf{r}}{\mathbf{\phi}_i^T \mathbf{M} \mathbf{\phi}_i}\) 是第 \(i\) 阶模态参与系数，\(\mathbf{r}\) 是单位影响向量，表示地震动方向。

▮▮▮▮ⓓ 计算模态响应 (Calculate Modal Responses)：在模态地震力 \( \mathbf{F}_i \) 作用下，进行静力分析，计算第 \(i\) 阶模态的位移响应 \( \mathbf{x}_i \) 和内力响应 (例如杆件内力、单元应力)。

▮▮▮▮ⓔ 响应组合 (Response Combination)：将各阶模态的响应进行组合，得到结构的总响应。常用的响应组合方法包括：

⚝ 平方和开方 (Square Root of Sum of Squares, SRSS) 方法：适用于模态频率分布较均匀的情况。总响应 \(R\) 近似为：

\[ R \approx \sqrt{\sum_{i=1}^{m} R_i^2} \]

其中，\(R_i\) 是第 \(i\) 阶模态的响应，\(m\) 是参与组合的模态阶数。

⚝ 完全二次项组合 (Complete Quadratic Combination, CQC) 方法：考虑了模态之间的相关性，适用于模态频率比较接近的情况。CQC 方法的组合公式较为复杂，但精度更高。

反应谱分析的优点在于：

⚝ 计算简便：将动力问题转化为一系列静力问题进行求解，计算量大大减小。

⚝ 工程实用：直接利用设计反应谱，符合工程设计规范的要求，便于工程应用。

⚝ 结果可靠：对于线性结构，反应谱分析可以较好地估计结构的地震响应。

反应谱分析的局限性在于：

⚝ 线性分析：反应谱分析主要适用于线性结构，对于非线性结构，需要采用非线性时程分析方法。

⚝ 最大响应估计：反应谱分析只能给出结构的最大响应值，无法得到结构响应的时程曲线。

⚝ 地震动输入简化：反应谱是地震动特性的统计平均表示，可能无法精确反映特定地震动的特性。

尽管存在一定的局限性，反应谱分析仍然是地震工程中最常用、最有效的结构抗震分析方法之一。

参考文献

[1] Chopra, Anil K. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering. Pearson Education, 2019.
[2] Clough, Ray W., and Joseph Penzien. Dynamics of structures. Computers & structures, inc., 1993.
[3] Tedesco, Joseph W., William G. McDougal, and Chad C. Seibold. Structural dynamics: theory and computation. Pearson Education, 1999.
[4] Craig Jr, Roy R., and Andrew J. Kurdila. Fundamentals of structural dynamics. John Wiley & Sons, 2006.
[5] Paz, Mario, and William Leigh. Structural dynamics: theory and computation. Springer Science & Business Media, 2012.

10. 结构稳定分析基础 (Fundamentals of Structural Stability Analysis)

摘要 (Summary)

本章介绍了结构稳定分析的基本概念、压杆稳定理论、梁和框架的稳定分析，以及提高结构稳定性的措施。本章旨在为读者提供结构稳定性的基本理论和分析方法，使其能够理解结构失稳的本质，并在工程设计中有效地考虑结构稳定性问题。

10.1 稳定分析基本概念 (Basic Concepts of Stability Analysis)

10.1.1 结构稳定性与失稳形式 (Structural Stability and Buckling Modes)

结构稳定性 (Structural Stability) 是指结构在受到荷载作用后，维持其原有平衡状态的能力。一个结构被认为是稳定的，如果当受到小的扰动后，它能够回到或接近其原始的平衡状态。反之，如果结构在荷载作用下，平衡状态发生突变，或者即使受到微小的扰动也会偏离原有平衡状态，则认为结构是不稳定的，发生了失稳 (Instability)。结构失稳通常会导致结构丧失承载能力，甚至发生灾难性破坏，因此结构稳定性是工程结构设计中必须考虑的重要因素之一。

结构失稳的形式多种多样，取决于结构的几何形状、材料特性、约束条件和荷载类型。常见的结构失稳形式包括：

① 屈曲 (Buckling)：屈曲是细长杆件或薄板、薄壳结构在轴向压力作用下，发生侧向弯曲或弯曲变形的失稳现象。屈曲通常发生在结构达到某一临界荷载 (Critical Load) 时，结构从一个平衡状态突然跳跃到另一个平衡状态，伴随着较大的变形。例如，细长的柱子在轴向压缩力作用下会发生弯曲屈曲，薄板在面内压缩力作用下会发生平面外屈曲。
▮▮▮▮ⓑ 压杆屈曲 (Column Buckling)：细长杆件在轴向压力作用下发生的弯曲屈曲，是工程中最常见的屈曲形式之一。压杆屈曲的临界荷载与杆件的长度、截面形状、材料和约束条件密切相关。
▮▮▮▮ⓒ 板壳屈曲 (Plate and Shell Buckling)：薄板和薄壳结构在面内压力或切向压力作用下发生的屈曲，例如，飞机机翼的蒙皮、船舶的船壳等都可能发生板壳屈曲。板壳屈曲的分析通常比压杆屈曲更为复杂，需要考虑更多的因素，如曲率、边界条件等。

② 侧向弯扭屈曲 (Lateral Torsional Buckling)：梁在弯曲荷载作用下，如果其抗侧向弯曲和抗扭刚度较弱，可能会发生梁的侧向弯曲和截面扭转耦合的失稳现象，称为侧向弯扭屈曲。侧向弯扭屈曲通常发生在细长的受弯梁中，特别是当梁的截面高度远大于宽度时更容易发生。

③ 局部屈曲 (Local Buckling)：由薄壁构成的杆件或板件，如空心截面柱、薄壁梁等，在受压或受弯时，其局部薄壁部分可能先于整体发生屈曲，称为局部屈曲。局部屈曲会降低构件的整体刚度和承载能力，甚至引发整体失稳。例如，工字钢梁的翼缘或腹板在受压时可能发生局部屈曲。

④ 极限点失稳 (Limit Point Instability)：某些结构在荷载增加到一定程度后，其荷载-位移曲线会出现峰值点（极限点），超过峰值点后，荷载继续增加，位移反而减小，或者位移持续增加但荷载不再增加，这种现象称为极限点失稳。拱结构、壳结构等薄壳结构容易发生极限点失稳。

⑤ 颤振 (Flutter)：在流体（如空气、水）作用下，结构发生的一种自激振动失稳现象，特别常见于航空航天结构和桥梁结构。当流体流速达到一定临界值时，结构会发生大幅度的周期性振动，称为颤振。颤振是一种动力失稳形式，与结构的固有频率、阻尼以及流体特性有关。

理解不同类型的失稳形式对于结构设计至关重要。工程师需要根据结构的类型、受力特点和使用环境，分析可能发生的失稳形式，并采取相应的措施来提高结构的稳定性，确保结构的安全可靠。

10.1.2 临界荷载与稳定系数 (Critical Load and Stability Factor)

临界荷载 (Critical Load) 是指结构丧失稳定性的临界状态所对应的荷载值。对于理想的弹性结构，临界荷载通常定义为使结构发生分叉式屈曲 (Bifurcation Buckling) 的最小荷载。在临界荷载作用下，结构可能存在多种平衡状态，除了原始的平衡状态外，还存在新的、变形的平衡状态。临界荷载是评价结构稳定性的一个重要指标，也是结构稳定分析的核心目标之一。

临界荷载的大小取决于结构的几何参数、材料属性、边界条件和荷载形式。对于不同的结构和失稳形式，临界荷载的计算方法也各不相同。例如，对于理想的细长压杆，可以使用欧拉公式 (Euler's Formula) 计算其临界荷载；对于复杂的结构，则可能需要借助数值方法，如有限元法 (Finite Element Method) 进行分析。

稳定系数 (Stability Factor)，也称为安全系数 (Safety Factor) 或折减系数，是工程设计中用于衡量结构稳定安全程度的一个系数。稳定系数通常定义为结构的临界荷载与实际工作荷载之比：

\[ K = \frac{P_{cr}}{P} \]

其中，\(K\) 为稳定系数，\(P_{cr}\) 为结构的临界荷载，\(P\) 为结构在实际工作中所承受的最大荷载（设计荷载）。稳定系数 \(K\) 必须大于1，以确保结构在实际工作荷载下具有足够的稳定安全储备。工程设计规范通常会根据结构的重要性、荷载的性质以及可能的风险程度，给出不同的稳定系数取值要求。

稳定系数的意义在于，它提供了一个量化的指标，用于评估结构的稳定安全性。稳定系数越大，表示结构的稳定安全储备越高，结构发生失稳的风险越小。在工程设计中，通常需要根据规范要求，调整结构的设计参数（如截面尺寸、材料强度等），使得结构的稳定系数满足或超过规范的最小值要求，从而保证结构的稳定性。

需要注意的是，稳定系数是一个综合性的安全指标，它不仅考虑了结构的临界荷载，也考虑了实际工作荷载的不确定性以及设计方法的保守性。在实际工程应用中，除了计算稳定系数外，还需要综合考虑其他因素，如材料的非线性、初始缺陷、荷载的随机性等，以更全面地评估结构的稳定性。

10.2 压杆稳定 (Column Buckling)

10.2.1 欧拉公式与临界应力 (Euler's Formula and Critical Stress)

欧拉公式 (Euler's Formula) 是用于计算理想细长压杆 (Slender Column) 弹性屈曲临界荷载的经典公式。由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 于1744年提出，是结构稳定理论的基石。欧拉公式基于以下假设：

① 杆件是理想的，即材料是线弹性、均匀且各向同性的，杆件是完全笔直的，没有初始弯曲和偏心荷载。
② 杆件的变形是小变形，符合线弹性理论。
③ 屈曲发生在弹性范围内。
④ 杆件两端为理想的铰支座 (Pinned Support)。

在上述假设条件下，对于两端铰支的理想细长压杆，其欧拉临界荷载 \(P_{cr}\) 可以表示为：

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2} \]

其中：
\(P_{cr}\) - 临界荷载 (Critical Load)，即引起压杆发生屈曲的最小轴向压力；
\(E\) - 材料的弹性模量 (Elastic Modulus)；
\(I\) - 杆件截面关于弯曲轴的最小惯性矩 (Minimum Moment of Inertia)；
\(L\) - 杆件的长度 (Length)。

从欧拉公式可以看出，临界荷载与材料的弹性模量 \(E\) 和截面惯性矩 \(I\) 成正比，与杆件长度 \(L\) 的平方成反比。这意味着，提高材料的弹性模量、增大截面惯性矩或减小杆件长度，都可以提高压杆的临界荷载，从而提高其稳定性。

临界应力 (Critical Stress) 是指压杆发生屈曲时，截面上的平均应力。将欧拉临界荷载 \(P_{cr}\) 除以杆件的截面面积 \(A\)，即可得到欧拉临界应力 \(\sigma_{cr}\)：

\[ \sigma_{cr} = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^2 EI}{AL^2} = \frac{\pi^2 E}{(L/r)^2} \]

其中：
\(\sigma_{cr}\) - 临界应力 (Critical Stress)；
\(A\) - 杆件的截面面积 (Cross-sectional Area)；
\(r = \sqrt{I/A}\) - 杆件截面的最小回转半径 (Minimum Radius of Gyration)。

比值 \(L/r\) 称为杆件的柔度 (Slenderness Ratio)，它是衡量杆件细长程度的指标。柔度越大，杆件越细长，越容易发生屈曲。从临界应力公式可以看出，临界应力与材料的弹性模量 \(E\) 成正比，与柔度 \((L/r)\) 的平方成反比。

欧拉公式和临界应力公式揭示了细长压杆稳定性的基本规律，但它们是基于理想假设推导出来的，在实际工程应用中存在一定的局限性。主要体现在以下几个方面：

① 适用范围：欧拉公式只适用于细长压杆的弹性屈曲。对于中等长度或短粗压杆，由于材料的塑性影响，欧拉公式的计算结果会偏高。通常，当杆件的柔度 \((L/r)\) 超过一定的临界值时，欧拉公式才具有较高的精度。对于钢材，一般认为柔度 \((L/r) \ge 100\) 时，可以使用欧拉公式。
② 理想化假设：实际工程结构中，杆件通常存在初始弯曲、偏心荷载、材料非线性等缺陷，这些因素都会降低压杆的临界荷载。欧拉公式没有考虑这些因素的影响，因此计算结果偏于保守。
③ 端部约束条件：欧拉公式是针对两端铰支的情况推导的。对于其他端部约束条件（如固定端、自由端等），需要对欧拉公式进行修正，引入有效长度系数 (Effective Length Factor) 进行计算。

尽管存在局限性，欧拉公式仍然是结构稳定分析的重要理论基础，为理解压杆稳定问题提供了重要的理论框架。在工程实践中，需要根据具体情况，考虑各种影响因素，对欧拉公式进行修正或采用更精确的分析方法，以保证结构设计的安全可靠。

10.2.2 有效长度系数与压杆设计 (Effective Length Factor and Column Design)

有效长度系数 (Effective Length Factor)，通常用符号 \(K\) 表示，是用于考虑压杆不同端部约束条件对临界荷载影响的一个修正系数。欧拉公式是针对两端铰支压杆推导的，对于其他端部约束条件，如固定端、自由端或组合约束，压杆的屈曲形态和临界荷载都会发生变化。为了仍然可以使用欧拉公式的形式进行计算，引入了有效长度系数 \(K\)。

有效长度 \(L_e\) 定义为等效的两端铰支压杆的长度，其临界荷载与实际约束条件下压杆的临界荷载相等。有效长度 \(L_e\) 与实际长度 \(L\) 之间的关系为：

\[ L_e = KL \]

其中，\(K\) 为有效长度系数。引入有效长度后，不同端部约束条件下压杆的临界荷载 \(P_{cr}\) 可以统一表示为：

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} \]

相应的临界应力 \(\sigma_{cr}\) 为：

\[ \sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2} = \frac{\pi^2 E}{(L_e/r)^2} \]

有效长度系数 \(K\) 的取值取决于压杆的端部约束条件。以下是一些典型端部约束条件下的理论有效长度系数和设计建议值：

① 两端铰支 (Pinned-Pinned)：理论 \(K = 1.0\)，设计建议 \(K = 1.0\)。这是欧拉公式的原始条件，有效长度等于实际长度。

② 两端固定 (Fixed-Fixed)：理论 \(K = 0.5\)，设计建议 \(K = 0.65\)。固定端约束可以有效地约束杆端的转动和位移，使得压杆的屈曲形态弯曲度减小，临界荷载提高。

③ 一端固定，一端自由 (Fixed-Free)：理论 \(K = 2.0\)，设计建议 \(K = 2.1\)。自由端约束对压杆的稳定性贡献最小，有效长度远大于实际长度，临界荷载最低。

④ 一端固定，一端铰支 (Fixed-Pinned)：理论 \(K = 0.7\)，设计建议 \(K = 0.8\)。固定端和铰支端的组合约束介于两端铰支和两端固定之间，有效长度介于两者之间。

⑤ 一端铰支，一端定向支座 (Pinned-Guided)：理论 \(K = 1.0\)，设计建议 \(K = 1.0\)。定向支座允许杆端沿轴向移动，但限制横向位移和转动。

在工程设计中，有效长度系数的取值需要根据实际的端部约束条件和工程经验进行选择。设计规范通常会提供不同端部约束条件下的有效长度系数建议值，设计人员可以参考规范进行取值。在复杂约束条件下，可能需要通过数值分析或实验方法确定更精确的有效长度系数。

压杆的稳定设计 (Column Stability Design) 主要包括以下步骤：

① 确定设计荷载：根据工程结构的荷载规范，确定压杆承受的轴向压力设计值 \(P\)。
② 选择杆件截面：根据结构强度和刚度要求，初步选择杆件的截面形状和尺寸。计算截面的面积 \(A\) 和最小惯性矩 \(I\)，以及回转半径 \(r\)。
③ 确定有效长度系数 \(K\)：根据压杆的端部约束条件，查阅设计规范或工程手册，确定有效长度系数 \(K\) 的取值。计算有效长度 \(L_e = KL\) 和柔度 \(L_e/r\)。
④ 计算临界应力 \(\sigma_{cr}\)：根据材料的弹性模量 \(E\) 和有效柔度 \(L_e/r\)，使用欧拉公式计算临界应力 \(\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{(L_e/r)^2}\)。
⑤ 确定容许应力 [\(\sigma\)]：根据材料的屈服强度 \(\sigma_y\) 和稳定系数 \(K\)，确定压杆的容许应力 [\(\sigma\)]。对于弹性屈曲，可以根据稳定系数直接确定容许应力 [\(\sigma\)] = \(\sigma_{cr} / K\)。对于塑性屈曲，需要考虑材料的非线性特性，根据相关规范确定容许应力。
⑥ 强度和稳定性验算：验算压杆的强度条件和稳定性条件。强度条件要求工作应力 \(\sigma = P/A\) 小于材料的强度设计值；稳定性条件要求工作应力 \(\sigma = P/A\) 小于容许应力 [\(\sigma\)]。即：
\[ \sigma = \frac{P}{A} \le [\sigma] \]
⑦ 截面调整：如果强度或稳定性条件不满足，需要调整杆件的截面尺寸，重新进行计算和验算，直到满足设计要求为止。

在压杆稳定设计中，需要综合考虑材料特性、几何参数、约束条件和荷载特点，合理选择截面形式和尺寸，确保压杆在工作荷载下具有足够的强度和稳定性安全储备。

10.3 梁和框架的稳定 (Stability of Beams and Frames)

10.3.1 梁的侧向弯扭屈曲 (Lateral Torsional Buckling of Beams)

梁的侧向弯扭屈曲 (Lateral Torsional Buckling of Beams) 是指受弯梁在弯矩作用下，梁的受压翼缘发生侧向弯曲，同时梁截面发生扭转的失稳现象。侧向弯扭屈曲通常发生在细长、截面抗侧弯和抗扭刚度较弱的梁中，特别是当梁的截面高度远大于宽度时更容易发生。

侧向弯扭屈曲的机理 (Mechanism of Lateral Torsional Buckling) 可以理解为：当梁受到弯矩作用时，受压翼缘类似于受压杆件，如果梁的侧向支撑不足，受压翼缘可能发生侧向弯曲。由于弯曲变形和扭转变形的耦合作用，梁的截面不仅发生侧向位移，还会发生扭转，最终导致梁的整体失稳。

影响梁侧向弯扭屈曲的因素 (Factors Influencing Lateral Torsional Buckling) 主要包括：

① 梁的长度 \(L\)：梁的长度越长，侧向弯扭屈曲的临界弯矩越小，梁越容易发生失稳。临界弯矩与梁长度的平方近似成反比关系。
② 梁的截面形状：梁的截面形状对侧向弯扭屈曲有显著影响。具有较大抗扭刚度 \(G J\) 和抗侧弯刚度 \(E I_y\) 的截面，如箱形截面、圆形截面等，具有较好的抗侧向弯扭屈曲能力。工字钢梁由于其抗扭刚度较弱，容易发生侧向弯扭屈曲。
③ 截面高度 \(h\) 与宽度 \(b\)：截面高度 \(h\) 与宽度 \(b\) 的比值越大，梁的抗侧弯刚度 \(E I_y\) 相对较小，侧向弯扭屈曲的风险越高。因此，对于高而窄的梁截面，更需要关注侧向稳定性。
④ 荷载类型和作用位置：荷载的类型（如集中荷载、均布荷载）和作用位置（如作用在梁顶、梁底或截面剪切中心）都会影响梁的侧向弯扭屈曲临界弯矩。作用在梁顶的荷载比作用在剪切中心的荷载更容易引起侧向弯扭屈曲。
⑤ 支撑条件：梁的侧向支撑条件对侧向弯扭屈曲有重要影响。增加梁的侧向支撑，如设置侧向支承构件、减小梁的无侧向支撑长度，可以有效地提高梁的侧向稳定性，提高临界弯矩。
⑥ 材料属性：材料的弹性模量 \(E\) 和剪切模量 \(G\) 对梁的侧向弯扭屈曲临界弯矩有影响。提高材料的弹性模量和剪切模量，可以提高梁的抗侧向弯扭屈曲能力。

提高梁侧向稳定性的措施 (Measures to Improve Lateral Stability) 包括：

① 减小梁的无侧向支撑长度：在梁的跨度内设置中间侧向支撑，如增加横向梁、拉杆或支撑构件，减小梁的无侧向支撑长度，可以有效地提高梁的侧向稳定性。侧向支撑的设置位置和间距需要根据梁的受力情况和稳定性要求进行合理布置。
② 选择合理的截面形状：选择具有较大抗扭刚度 \(G J\) 和抗侧弯刚度 \(E I_y\) 的截面形状，如箱形截面、焊接工字钢梁等。对于工字钢梁，可以增加翼缘宽度或采用加劲肋等措施，提高其抗扭和抗侧弯能力。
③ 增加梁的抗扭刚度：采用封闭截面或增加抗扭加劲肋等措施，提高梁的抗扭刚度 \(G J\)，可以有效地提高梁的侧向稳定性。
④ 合理布置荷载：尽量使荷载作用在梁的剪切中心或靠近剪切中心的位置，避免荷载偏心作用，可以减小侧向弯扭屈曲的风险。
⑤ 施加预应力：对梁施加预应力，可以提高梁的整体刚度和稳定性，延缓侧向弯扭屈曲的发生。

在工程设计中，对于受弯梁，特别是细长梁和高而窄的梁，必须进行侧向弯扭屈曲验算。可以根据设计规范或相关手册，采用相应的计算公式或数值方法，评估梁的侧向稳定性，并采取必要的措施提高梁的侧向稳定性，确保结构的安全可靠。

10.3.2 框架的整体稳定 (Overall Stability of Frames)

框架的整体稳定 (Overall Stability of Frames) 是指框架结构在荷载作用下，作为一个整体发生的失稳现象。框架的整体失稳可能涉及框架的侧向位移、柱的屈曲、梁的弯扭屈曲以及节点的变形等多种因素的耦合作用。框架的整体稳定分析比单个构件的稳定分析更为复杂，需要考虑框架的整体结构特性、构件之间的相互作用以及荷载的分布特点。

框架整体失稳的类型 (Types of Overall Frame Instability) 主要包括：

① 侧移屈曲 (Sidesway Buckling)：框架在水平荷载或竖向荷载作用下，发生侧向位移的失稳现象。侧移屈曲通常发生在无侧移约束或侧移约束较弱的框架中，如无支撑框架 (Unbraced Frame)。侧移屈曲会导致框架结构丧失抵抗水平荷载的能力，甚至引发整体倒塌。

② 非侧移屈曲 (Non-sidesway Buckling)：框架在竖向荷载作用下，在不发生整体侧移的情况下，由于柱的屈曲或梁的弯扭屈曲等原因引起的失稳现象。非侧移屈曲通常发生在有侧移约束或侧移约束较强的框架中，如支撑框架 (Braced Frame)。

③ 节点失稳 (Joint Instability)：框架节点是构件连接的关键部位，节点的变形和强度对框架的整体稳定性有重要影响。节点失稳可能表现为节点的过大变形、节点连接的破坏或节点区域构件的局部屈曲等。

影响框架整体稳定性的因素 (Factors Influencing Overall Frame Stability) 主要包括：

① 框架的几何形状：框架的跨度、高度、构件布置方式等几何形状对框架的整体稳定性有重要影响。合理的框架布局可以提高结构的整体稳定性。
② 构件的刚度：框架梁柱构件的抗弯刚度 \(E I\) 和抗扭刚度 \(G J\) 对框架的整体稳定性至关重要。提高构件的刚度可以有效地提高框架的临界荷载。
③ 节点连接的刚度：框架节点连接的刚度对框架的整体稳定性有显著影响。刚性节点连接 (Rigid Joint) 可以有效地传递弯矩，提高框架的整体刚度和稳定性。铰接节点连接 (Pinned Joint) 则不传递弯矩，框架的整体稳定性主要依赖于构件的轴向刚度。
④ 支撑条件：框架的支撑条件对框架的侧移和整体稳定性有决定性影响。设置合理的侧向支撑体系，如剪力墙、支撑杆件等，可以有效地约束框架的侧移，提高框架的整体稳定性。
⑤ 荷载类型和分布：荷载的类型（如竖向荷载、水平荷载）和分布方式（如均布荷载、集中荷载）都会影响框架的整体稳定性。水平荷载更容易引起框架的侧移屈曲，而不均匀的竖向荷载分布也可能降低框架的稳定性。
⑥ 初始缺陷：框架结构的初始缺陷，如构件的初始弯曲、节点的初始偏心等，会对框架的整体稳定性产生不利影响。初始缺陷会降低框架的临界荷载，增加失稳的风险。

提高框架整体稳定性的措施 (Measures to Enhance Overall Frame Stability) 包括：

① 设置侧向支撑体系：在框架结构中设置剪力墙、支撑杆件、斜撑等侧向支撑体系，可以有效地约束框架的侧移，提高框架的整体稳定性。支撑体系的布置位置和形式需要根据框架的结构形式和受力特点进行合理设计。
② 提高构件的刚度：增加框架梁柱构件的截面尺寸，选用更高强度的材料，可以提高构件的抗弯刚度和抗扭刚度，从而提高框架的整体稳定性。
③ 采用刚性节点连接：在框架结构中尽可能采用刚性节点连接，以提高节点之间的弯矩传递能力，增强框架的整体刚度和稳定性。
④ 优化框架布局：合理选择框架的跨度、高度和构件布置方式，优化框架的几何形状，可以提高结构的整体稳定性。例如，减小框架的跨高比，采用对称的结构布置等。
⑤ 控制初始缺陷：在结构设计和施工过程中，采取措施控制结构的初始缺陷，如提高构件的制作精度、减小节点的初始偏心等，可以减小初始缺陷对框架稳定性的不利影响。

框架的整体稳定分析是一个复杂的问题，通常需要借助结构力学理论和数值方法进行分析。在工程设计中，需要根据框架的结构形式、荷载特点和使用要求，进行全面的稳定性分析，并采取必要的措施提高框架的整体稳定性，确保结构的安全可靠。常用的框架整体稳定分析方法包括：

① 屈曲分析 (Buckling Analysis)：利用特征值屈曲分析方法，求解框架的临界荷载和屈曲模态，评估框架的稳定性。
② 二阶弹性分析 (Second-Order Elastic Analysis)：考虑几何非线性效应，进行框架的二阶弹性分析，评估框架在设计荷载下的变形和内力，判断结构的稳定性。
③ 弹塑性分析 (Inelastic Analysis)：考虑材料的非线性特性，进行框架的弹塑性分析，更精确地评估框架的承载能力和稳定性。
④ 简化计算方法：在某些情况下，可以采用设计规范提供的简化计算方法，对框架的整体稳定性进行近似评估。

在框架结构设计中，稳定性分析是必不可少的重要环节。通过合理的结构设计和稳定性分析，可以有效地提高框架结构的整体稳定性，保障工程结构的安全可靠运行。

Appendix A: 常用材料力学性能参数 (Mechanical Properties of Common Materials)

Appendix A 常用材料力学性能参数 (Mechanical Properties of Common Materials)

本附录旨在为读者提供结构分析中常用工程材料的力学性能参数参考。这些参数对于进行结构设计、强度校核以及有限元分析至关重要。本附录汇总了如 弹性模量 (Elastic Modulus)、泊松比 (Poisson's Ratio)、屈服强度 (Yield Strength)、抗拉强度 (Tensile Strength) 等关键力学性能，并针对不同类型的常用工程材料，例如 钢材 (Steel)、铝合金 (Aluminum Alloy)、混凝土 (Concrete)、木材 (Wood) 和 常用聚合物 (Common Polymers)，分别列出其典型参数范围。需要注意的是，材料的实际性能参数可能因具体牌号、生产工艺、以及测试条件的不同而有所差异，因此在工程实践中，应以材料供应商提供的实际参数或通过实验测试获取的数据为准。本附录提供的数据仅供参考，旨在帮助读者快速了解常用材料的力学性能范围，从而更好地进行结构分析与设计。

Appendix A1 钢材 (Steel)

钢材是工程结构中最常用的金属材料之一，具有高强度、高刚度、良好的塑性和韧性，以及优良的焊接性能。钢材的力学性能受其化学成分、加工工艺和热处理状态等因素影响。

Appendix A1.1 常用钢材类型 (Common Steel Types)

工程结构中常用的钢材类型繁多，根据不同的分类标准，可以分为多种类型。按照化学成分，可以分为 碳素钢 (Carbon Steel) 和 合金钢 (Alloy Steel)；按照强度等级，可以分为普通强度钢和高强度钢；按照用途，可以分为结构钢、工具钢、特殊钢等。在结构工程中，常用的钢材主要是 结构钢 (Structural Steel)，例如：

① Q235: 是最常用的碳素结构钢，具有良好的塑性和焊接性能，强度适中，价格经济，广泛应用于一般工业与民用建筑结构中。
② Q345: 是常用的低合金高强度结构钢，强度和韧性均高于Q235，具有较好的焊接性和综合力学性能，适用于较大跨度、较高高度或承受较大荷载的结构。
③ Q390, Q420, Q460: 是更高强度等级的低合金结构钢，适用于超高层建筑、大跨度桥梁等对强度要求较高的工程结构。
④ 高强度合金钢 (High-Strength Alloy Steel): 为了满足特殊工程的需求，例如重型机械、海洋工程、航空航天等领域，还会使用各种高强度合金钢，例如低合金高强钢、调质钢、耐候钢等。

Appendix A1.2 钢材的力学性能参数 (Mechanical Properties of Steel)

下表列出了一些常用结构钢的典型力学性能参数范围。这些数值仅供参考，具体设计时应查阅相关标准和规范，或参考材料供应商提供的数据。

参数解释 (Parameter Explanation):

① 弹性模量 \( E \) (Elastic Modulus): 也称为 杨氏模量 (Young's Modulus)，是衡量材料抵抗弹性变形能力的物理量，表示材料在弹性范围内应力与应变的比值。钢材的弹性模量较高，表明其刚度较大，在受力时不易产生弹性变形。对于大多数结构钢，弹性模量 \( E \) 值约为 206 GPa。

② 泊松比 \( \nu \) (Poisson's Ratio): 是反映材料横向变形与纵向变形之间关系的参数，定义为横向应变与纵向应变绝对值的比值。钢材的泊松比约为 0.3，表示当钢材在纵向拉伸时，其横向尺寸会缩小，且横向收缩变形约为纵向拉伸变形的 0.3 倍。

③ 屈服强度 \( \sigma_y \) (Yield Strength): 是材料开始发生显著塑性变形的应力值。对于钢材，屈服强度是重要的强度指标，表示钢材开始进入塑性阶段的临界应力。结构设计中，通常限制钢材的应力低于屈服强度，以保证结构的安全性和正常使用功能。

④ 抗拉强度 \( \sigma_u \) (Tensile Strength): 也称为 极限抗拉强度 (Ultimate Tensile Strength)，是材料在拉伸过程中所能承受的最大应力。抗拉强度反映了材料抵抗断裂的能力。虽然结构设计通常不直接以抗拉强度作为强度控制指标，但在评估结构的安全储备和进行极限状态分析时，抗拉强度是一个重要的参考值。

⑤ 伸长率 \( \delta \) (Elongation): 是材料在拉断时塑性变形所占原始长度的百分比，反映了材料的塑性性能。伸长率越大，表示材料的塑性越好，在发生破坏前能够产生较大的变形，从而具有更好的延性。结构钢通常要求具有一定的伸长率，以保证结构的延性破坏性能。

Appendix A2 铝合金 (Aluminum Alloy)

铝合金以其轻质、高强、耐腐蚀、易加工和良好的导电导热性能，在航空航天、汽车制造、建筑结构、电子产品等领域得到广泛应用。铝合金的密度约为钢材的三分之一，但其强度可以通过合金化和热处理得到显著提高，某些高强度铝合金的强度甚至可以与普通结构钢相媲美。

Appendix A2.1 常用铝合金类型 (Common Aluminum Alloy Types)

铝合金种类繁多，根据合金成分和加工工艺，可以分为多种系列。常用的铝合金系列包括：

① 1xxx 系列: 纯铝，铝含量大于 99.0%，具有良好的耐腐蚀性、导电性和导热性，但强度较低，主要应用于导电材料、化工设备等。
② 2xxx 系列: 铝铜系合金，以铜为主要合金元素，可以通过热处理强化，具有较高的强度和良好的切削性能，但焊接性和耐腐蚀性较差，常用于航空结构、高强度零件等。
③ 3xxx 系列: 铝锰系合金，以锰为主要合金元素，强度高于纯铝，耐腐蚀性良好，焊接性良好，常用于建筑材料、厨房用具等。
④ 5xxx 系列: 铝镁系合金，以镁为主要合金元素，具有中等强度、良好的焊接性和耐腐蚀性，常用于船舶、车辆、焊接结构等。
⑤ 6xxx 系列: 铝镁硅系合金，以镁和硅为主要合金元素，可以通过热处理强化，具有中等强度、良好的焊接性和挤压成型性，常用于建筑型材、汽车零部件等。
⑥ 7xxx 系列: 铝锌镁铜系合金，以锌、镁和铜为主要合金元素，是高强度铝合金，可以通过热处理获得极高的强度，但焊接性较差，常用于航空航天、高强度结构件等。

Appendix A2.2 铝合金的力学性能参数 (Mechanical Properties of Aluminum Alloy)

下表列出了一些常用铝合金的典型力学性能参数范围。与钢材类似，铝合金的实际性能参数也受合金成分、热处理状态和加工工艺等因素影响，设计时应参考具体材料的性能参数。

参数解释 (Parameter Explanation):

铝合金的力学性能参数的物理意义与钢材类似。

① 弹性模量 \( E \) (Elastic Modulus): 铝合金的弹性模量约为钢材的三分之一，表明其刚度相对较低，在相同荷载作用下，铝合金结构的变形可能会比钢结构更大。

② 泊松比 \( \nu \) (Poisson's Ratio): 铝合金的泊松比约为 0.33。

③ 屈服强度 \( \sigma_y \) (Yield Strength): 不同系列的铝合金，屈服强度差异较大。例如，7xxx 系列高强度铝合金的屈服强度可以超过 500 MPa，而某些低强度铝合金的屈服强度可能只有几十 MPa。

④ 抗拉强度 \( \sigma_u \) (Tensile Strength): 铝合金的抗拉强度也因合金系列和热处理状态而异。

⑤ 伸长率 \( \delta \) (Elongation): 铝合金的伸长率通常低于钢材，但不同系列铝合金的塑性性能差异也较大。

Appendix A3 混凝土 (Concrete)

混凝土是土木工程中最主要的建筑材料，由水泥、骨料、水以及必要时加入的外加剂和掺合料按一定比例配合而成。混凝土具有良好的抗压强度、耐久性和可模塑性，但抗拉强度较低，易开裂。

Appendix A3.1 常用混凝土强度等级 (Common Concrete Strength Grades)

混凝土的强度等级是根据混凝土立方体抗压强度标准值确定的，我国现行国家标准《混凝土结构设计规范》(GB 50010) 中，混凝土强度等级采用立方体抗压强度标准值 \( f_{cu,k} \) (单位为 MPa) 划分，例如 C20, C25, C30, C35, C40, C45, C50, C55, C60, C70, C80 等。强度等级越高，表示混凝土的抗压强度越高。常用的混凝土强度等级范围为 C20 至 C60，特殊工程中也会使用更高强度等级的混凝土。

Appendix A3.2 混凝土的力学性能参数 (Mechanical Properties of Concrete)

混凝土的力学性能与混凝土的强度等级、配合比、龄期、养护条件等多种因素有关，离散性较大。下表列出了一些常用强度等级混凝土的典型力学性能参数范围，这些数值为参考值，实际工程应用中应根据具体情况确定。

参数解释 (Parameter Explanation):

① 弹性模量 \( E_c \) (Elastic Modulus of Concrete): 混凝土的弹性模量远低于钢材，表明其刚度较小，易产生变形。混凝土的弹性模量与其强度等级近似相关，强度等级越高，弹性模量越大。规范中通常给出混凝土弹性模量的经验公式，可以根据混凝土强度等级估算其弹性模量。

② 泊松比 \( \nu_c \) (Poisson's Ratio of Concrete): 混凝土的泊松比约为 0.2。

③ 抗压强度 \( f_{cu,k} \) (Compressive Strength of Concrete): 混凝土的主要受力形式是受压，抗压强度是混凝土最重要的强度指标。混凝土的强度等级就是根据其立方体抗压强度标准值确定的。

④ 抗拉强度 \( f_{t,k} \) (Tensile Strength of Concrete): 混凝土的抗拉强度远低于抗压强度，约为抗压强度的 1/10 左右。由于抗拉强度低，混凝土结构通常需要配置钢筋来承担拉力。在结构分析中，有时会忽略混凝土的抗拉强度，认为混凝土只承受压力。

Appendix A4 木材 (Wood)

木材是一种天然的生物质材料，具有轻质、高强、易加工、可再生等优点，在建筑、家具、包装等领域有着悠久的应用历史。木材是典型的 各向异性材料 (Anisotropic Material)，其力学性能在不同方向上差异显著。

Appendix A4.1 常用木材类型 (Common Wood Types)

工程中常用的木材种类繁多，根据树种、材质、用途等可以分为不同的类型。按照材质，可以分为 针叶树材 (Softwood) 和 阔叶树材 (Hardwood)。针叶树材通常质地较软，密度较低，例如松木、杉木、冷杉等；阔叶树材通常质地较硬，密度较高，例如硬枫、橡木、桦木等。根据用途，可以分为结构用材、装饰用材、家具用材等。

Appendix A4.2 木材的力学性能参数 (Mechanical Properties of Wood)

木材的力学性能受树种、生长环境、含水率、缺陷等多种因素影响，变异性较大。由于木材的各向异性特性，其力学性能参数通常需要区分 顺纹方向 (Longitudinal Direction) 和 横纹方向 (Transverse Direction)。下表列出了一些常用木材顺纹方向的典型力学性能参数范围，这些数值为参考值，实际工程应用中应根据具体木材的种类、等级和含水率等因素确定。

参数解释 (Parameter Explanation):

① 顺纹弹性模量 \( E_L \) (Longitudinal Elastic Modulus): 木材顺纹方向的弹性模量相对较高，但仍远低于钢材和铝合金。不同树种的木材，顺纹弹性模量差异较大。

② 横纹弹性模量 \( E_T \) (Transverse Elastic Modulus): 木材横纹方向的弹性模量远低于顺纹方向，通常只有顺纹弹性模量的几十分之一到几百分之一，体现了木材的各向异性特性。

③ 泊松比 \( \nu \) (Poisson's Ratio): 木材的泊松比范围较广，约为 0.2-0.4。

④ 顺纹抗拉强度 \( \sigma_{L,t} \) (Longitudinal Tensile Strength): 木材顺纹抗拉强度较高，但仍低于钢材和铝合金。

⑤ 顺纹抗压强度 \( \sigma_{L,c} \) (Longitudinal Compressive Strength): 木材顺纹抗压强度也较高，但易发生 屈曲 (Buckling) 失稳。

⑥ 顺纹抗弯强度 \( \sigma_{L,b} \) (Longitudinal Bending Strength): 木材顺纹抗弯强度介于抗拉强度和抗压强度之间。

Appendix A5 常用聚合物 (Common Polymers)

聚合物材料，也称为 塑料 (Plastics) 或 高分子材料 (Polymeric Materials)，是一类重要的工程材料，具有轻质、易加工、耐腐蚀、绝缘等特点，在电子电器、汽车、包装、建筑等领域得到广泛应用。聚合物材料种类繁多，力学性能差异很大，通常具有较低的强度和刚度，且力学性能对温度和加载速率敏感。

Appendix A5.1 常用聚合物类型 (Common Polymer Types)

聚合物可以根据不同的分类标准分为多种类型。按照热行为，可以分为 热塑性聚合物 (Thermoplastic Polymers) 和 热固性聚合物 (Thermosetting Polymers)。热塑性聚合物在加热时可以软化或熔融，冷却后又可以固化，可以反复进行加工，例如聚乙烯 (PE)、聚丙烯 (PP)、聚氯乙烯 (PVC)、聚苯乙烯 (PS)、聚酰胺 (PA, 尼龙)、聚碳酸酯 (PC) 等；热固性聚合物在加热后发生化学交联反应，固化成型后不能再次熔融，例如环氧树脂 (EP)、酚醛树脂 (PF)、不饱和聚酯树脂 (UP) 等。按照用途，可以分为通用塑料、工程塑料、特种工程塑料等。

Appendix A5.2 常用聚合物的力学性能参数 (Mechanical Properties of Common Polymers)

聚合物的力学性能受聚合物的种类、分子结构、结晶度、添加剂、温度、加载速率等多种因素影响，变异性较大。下表列出了一些常用聚合物的典型力学性能参数范围，这些数值为参考值，实际工程应用中应根据具体聚合物的牌号、使用条件和测试标准等确定。

参数解释 (Parameter Explanation):

① 弹性模量 \( E_p \) (Elastic Modulus of Polymer): 聚合物的弹性模量远低于金属材料和混凝土，表明其刚度很小，易产生变形。不同聚合物的弹性模量范围差异较大，例如聚乙烯的弹性模量很低，而聚碳酸酯的弹性模量相对较高。

② 泊松比 \( \nu_p \) (Poisson's Ratio of Polymer): 聚合物的泊松比通常较高，约为 0.3-0.45。

③ 屈服强度 \( \sigma_{y,p} \) (Yield Strength of Polymer): 聚合物的屈服强度通常低于金属材料和混凝土，但一些工程塑料的屈服强度也达到较高水平。

④ 抗拉强度 \( \sigma_{u,p} \) (Tensile Strength of Polymer): 聚合物的抗拉强度也较低，但一些工程塑料的抗拉强度也较高。

⑤ 伸长率 \( \delta_p \) (Elongation of Polymer): 聚合物的伸长率范围很广，一些聚合物具有极高的伸长率，例如聚乙烯和聚丙烯，而一些聚合物的伸长率很小，例如聚苯乙烯。聚合物的伸长率体现了其韧性或脆性。

Appendix B: 常用截面几何性质 (Geometric Properties of Common Cross-Sections)

Appendix B: 常用截面几何性质 (Geometric Properties of Common Cross-Sections)

本附录列出了常用截面形状的几何性质，如面积 (Area)、惯性矩 (Moment of Inertia)、截面系数 (Section Modulus) 等，方便读者进行截面特性计算。截面几何性质是结构力学分析中的重要参数，它描述了截面抵抗变形和应力的能力。掌握常用截面的几何性质，对于理解和应用力学原理至关重要。本附录旨在为读者提供一个快速查阅和参考的工具，以便在进行结构分析和设计时能够方便地获取所需的截面参数。

Appendix B.1 矩形截面 (Rectangular Section)

矩形截面是最常见的截面形状之一，广泛应用于梁、柱等构件中。其几何形状简单，计算公式相对容易，是学习截面几何性质的基础。

① 几何特征：
▮▮▮▮ 矩形截面由宽度 \(b\) 和高度 \(h\) 两个参数确定，其形状规整，易于加工和连接。

② 面积 (Area) \(A\):
\[ A = b \times h \]
▮▮▮▮ 其中，\(b\) 为矩形截面的宽度，\(h\) 为矩形截面的高度。

③ 形心 (Centroid) \(C\):
▮▮▮▮ 矩形截面的形心位于其几何中心，坐标为：
\[ C = (0, 0) \]
▮▮▮▮ 假设坐标原点位于矩形截面的中心。

④ 惯性矩 (Moment of Inertia):
▮▮▮▮ 惯性矩描述了截面抵抗弯曲变形的能力，矩形截面对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的惯性矩分别为：
▮▮▮▮ⓐ 对于 \(x\) 轴的惯性矩 \(I_x\):
\[ I_x = \frac{b \times h^3}{12} \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y\) 轴的惯性矩 \(I_y\):
\[ I_y = \frac{h \times b^3}{12} \]
▮▮▮▮ 其中，\(x\) 轴水平穿过截面形心，\(y\) 轴垂直穿过截面形心。

⑤ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
▮▮▮▮ 极惯性矩描述了截面抵抗扭转变形的能力，对于矩形截面，其极惯性矩近似为：
\[ I_p = I_x + I_y = \frac{b \times h^3}{12} + \frac{h \times b^3}{12} = \frac{bh(h^2+b^2)}{12} \]
▮▮▮▮ 严格来说，矩形截面的扭转常数需要通过更复杂的公式或数值方法计算，此处 \(I_p\) 仅为近似值，适用于某些简化分析。

⑥ 截面系数 (Section Modulus):
▮▮▮▮ 截面系数反映了截面抵抗弯曲应力的能力，矩形截面对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的截面系数分别为：
▮▮▮▮ⓐ 对于 \(x\) 轴的截面系数 \(W_x\):
\[ W_x = \frac{I_x}{y_{max}} = \frac{b \times h^2}{6} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮ 其中，\(y_{max} = \frac{h}{2}\) 是截面到 \(x\) 轴的最大距离。
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y\) 轴的截面系数 \(W_y\):
\[ W_y = \frac{I_y}{x_{max}} = \frac{h \times b^2}{6} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮ 其中，\(x_{max} = \frac{b}{2}\) 是截面到 \(y\) 轴的最大距离。

⑦ 回转半径 (Radius of Gyration):
▮▮▮▮ 回转半径是描述截面惯性特性的一个参数，矩形截面对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的回转半径分别为：
▮▮▮▮ⓐ 对于 \(x\) 轴的回转半径 \(i_x\):
\[ i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{b \times h^3 / 12}{b \times h}} = \frac{h}{\sqrt{12}} = \frac{h}{2\sqrt{3}} \approx 0.289h \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y\) 轴的回转半径 \(i_y\):
\[ i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{h \times b^3 / 12}{b \times h}} = \frac{b}{\sqrt{12}} = \frac{b}{2\sqrt{3}} \approx 0.289b \]

Appendix B.2 圆形截面 (Circular Section)

圆形截面因其各向同性，在各个方向上具有相同的力学性能，常用于轴、杆等承受扭转和弯曲的构件。

① 几何特征：
▮▮▮▮ 圆形截面由直径 \(d\) 或半径 \(r\) 确定，具有良好的对称性和均匀性。

② 面积 (Area) \(A\):
\[ A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} \]
▮▮▮▮ 其中，\(r\) 为圆形截面的半径，\(d\) 为圆形截面的直径。

③ 形心 (Centroid) \(C\):
▮▮▮▮ 圆形截面的形心位于其圆心，坐标为：
\[ C = (0, 0) \]
▮▮▮▮ 假设坐标原点位于圆形截面的圆心。

④ 惯性矩 (Moment of Inertia):
▮▮▮▮ 由于圆形截面的对称性，对于通过圆心的任意轴，其惯性矩都相等。对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的惯性矩分别为：
\[ I_x = I_y = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi d^4}{64} \]
▮▮▮▮ 其中，\(x\) 轴和 \(y\) 轴垂直穿过截面形心。

⑤ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
\[ I_p = I_x + I_y = \frac{\pi r^4}{2} = \frac{\pi d^4}{32} \]
▮▮▮▮ 对于圆形截面，极惯性矩也称为扭转惯性矩，直接用于扭转分析。

⑥ 截面系数 (Section Modulus):
▮▮▮▮ 由于圆形截面的对称性，对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的截面系数相等：
\[ W_x = W_y = \frac{I_x}{r} = \frac{I_y}{r} = \frac{\pi r^3}{4} = \frac{\pi d^3}{32} \]
▮▮▮▮ 其中，\(r\) 为圆形截面的半径，也是截面到 \(x\) 轴或 \(y\) 轴的最大距离。

⑦ 回转半径 (Radius of Gyration):
▮▮▮▮ 由于圆形截面的对称性，对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的回转半径相等：
\[ i_x = i_y = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{\pi r^4 / 4}{\pi r^2}} = \frac{r}{2} = \frac{d}{4} \]

Appendix B.3 环形截面 (Annular Section)

环形截面，也称为空心圆形截面，常用于减轻结构自重，同时保持一定的强度和刚度，例如空心轴、管道等。

① 几何特征：
▮▮▮▮ 环形截面由外径 \(D\) (或外半径 \(R\)) 和内径 \(d\) (或内半径 \(r\)) 确定。

② 面积 (Area) \(A\):
\[ A = \pi (R^2 - r^2) = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2) \]
▮▮▮▮ 其中，\(R\) 为外半径，\(r\) 为内半径，\(D\) 为外直径，\(d\) 为内直径。

③ 形心 (Centroid) \(C\):
▮▮▮▮ 环形截面的形心位于其圆心，坐标为：
\[ C = (0, 0) \]
▮▮▮▮ 假设坐标原点位于环形截面的圆心。

④ 惯性矩 (Moment of Inertia):
▮▮▮▮ 由于环形截面的对称性，对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的惯性矩相等：
\[ I_x = I_y = \frac{\pi}{4} (R^4 - r^4) = \frac{\pi}{64} (D^4 - d^4) \]
▮▮▮▮ 其中，\(x\) 轴和 \(y\) 轴垂直穿过截面形心。

⑤ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
\[ I_p = I_x + I_y = \frac{\pi}{2} (R^4 - r^4) = \frac{\pi}{32} (D^4 - d^4) \]

⑥ 截面系数 (Section Modulus):
▮▮▮▮ 对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的截面系数相等：
\[ W_x = W_y = \frac{I_x}{R} = \frac{I_y}{R} = \frac{\pi (R^4 - r^4)}{4R} = \frac{\pi (D^4 - d^4)}{32D} \]
▮▮▮▮ 注意此处分母为外半径 \(R\) 或外直径 \(D\)，因为最大应力通常发生在最外边缘。

⑦ 回转半径 (Radius of Gyration):
▮▮▮▮ 对于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的回转半径相等：
\[ i_x = i_y = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{\pi (R^4 - r^4) / 4}{\pi (R^2 - r^2)}} = \sqrt{\frac{R^2 + r^2}{4}} = \frac{\sqrt{R^2 + r^2}}{2} = \frac{\sqrt{D^2 + d^2}}{4} \]

Appendix B.4 工字型截面 (I-Section)

工字型截面因其优良的抗弯性能和较高的强度重量比，广泛应用于梁、柱等受弯构件中，尤其是在钢结构中应用广泛。

① 几何特征：
▮▮▮▮ 工字型截面由翼缘 (Flange) 和腹板 (Web) 组成，形状类似字母 "I"。通常由翼缘宽度 \(B\)、翼缘厚度 \(t_f\)、腹板高度 \(h_w\) 和腹板厚度 \(t_w\) 四个参数确定。总高度 \(H = h_w + 2t_f\)。

② 面积 (Area) \(A\):
\[ A = 2 \times (B \times t_f) + (h_w \times t_w) \]
▮▮▮▮ 翼缘面积 \(2 \times (B \times t_f)\)，腹板面积 \(h_w \times t_w\)。

③ 形心 (Centroid) \(C\):
▮▮▮▮ 由于工字型截面通常对称于 \(y\) 轴和 \(x\) 轴，形心位于其几何中心，坐标为：
\[ C = (0, 0) \]
▮▮▮▮ 假设坐标原点位于工字型截面的中心。

④ 惯性矩 (Moment of Inertia):
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(x\) 轴的惯性矩 \(I_x\):
\[ I_x = \frac{B \times H^3}{12} - \frac{(B - t_w) \times h_w^3}{12} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮ 可以看作是外矩形惯性矩减去两个内矩形 (空缺部分) 的惯性矩。
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y\) 轴的惯性矩 \(I_y\):
\[ I_y = \frac{2 \times t_f \times B^3}{12} + \frac{h_w \times t_w^3}{12} = \frac{B^3 t_f}{6} + \frac{h_w t_w^3}{12} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮ 可以看作是两个翼缘矩形对于 \(y\) 轴的惯性矩加上腹板矩形对于 \(y\) 轴的惯性矩。

⑤ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
\[ I_p = I_x + I_y = \left[ \frac{B \times H^3}{12} - \frac{(B - t_w) \times h_w^3}{12} \right] + \left[ \frac{B^3 t_f}{6} + \frac{h_w t_w^3}{12} \right] \]

⑥ 截面系数 (Section Modulus):
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(x\) 轴的截面系数 \(W_x\):
\[ W_x = \frac{I_x}{H/2} = \frac{2I_x}{H} = \frac{B \times H^3}{6H} - \frac{(B - t_w) \times h_w^3}{6H} \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y\) 轴的截面系数 \(W_y\):
\[ W_y = \frac{I_y}{B/2} = \frac{2I_y}{B} = \frac{B^2 t_f}{3} + \frac{h_w t_w^3}{6B} \]

⑦ 回转半径 (Radius of Gyration):
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(x\) 轴的回转半径 \(i_x\):
\[ i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} = \sqrt{\frac{ \frac{B \times H^3}{12} - \frac{(B - t_w) \times h_w^3}{12} }{ 2 \times (B \times t_f) + (h_w \times t_w) }} \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y\) 轴的回转半径 \(i_y\):
\[ i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} = \sqrt{\frac{ \frac{B^3 t_f}{6} + \frac{h_w t_w^3}{12} }{ 2 \times (B \times t_f) + (h_w \times t_w) }} \]

Appendix B.5 槽型截面 (Channel Section)

槽型截面，也称为 C 型截面，常用于檩条、墙梁等构件，其特点是一侧开口，抗扭性能相对较弱。

① 几何特征：
▮▮▮▮ 槽型截面形状类似字母 "C"，由翼缘宽度 \(B\)、翼缘厚度 \(t_f\)、腹板高度 \(h_w\) 和腹板厚度 \(t_w\) 以及整体高度 \(H = h_w + 2t_f\) 确定。

② 面积 (Area) \(A\):
\[ A = 2 \times (B \times t_f) + (h_w \times t_w) \]
▮▮▮▮ 与工字型截面面积公式相同。

③ 形心 (Centroid) \(C\):
▮▮▮▮ 槽型截面通常关于 \(x\) 轴对称，但关于 \(y\) 轴不对称。假设坐标原点位于腹板中心线的 \(x\) 轴上，则形心 \(y\) 坐标为 0，\(x\) 坐标需要计算：
\[ \bar{x} = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i} = \frac{2 \times (B \times t_f) \times (B/2) + (h_w \times t_w) \times 0}{2 \times (B \times t_f) + (h_w \times t_w)} = \frac{B^2 t_f}{2Bt_f + h_w t_w} \]
▮▮▮▮ 形心 \(C = (\bar{x}, 0)\)。

④ 惯性矩 (Moment of Inertia):
▮▮▮▮ 需要相对于通过形心的轴计算惯性矩。
▮▮▮▮ⓐ 对于通过形心且水平的 \(x'\) 轴的惯性矩 \(I_{x'}\):
\[ I_{x'} = \frac{B \times H^3}{12} - \frac{(B - t_w) \times h_w^3}{12} \]
▮▮▮▮▮▮▮▮ 与工字型截面 \(I_x\) 公式相同，因为 \(x\) 轴方向的几何形状相同。
▮▮▮▮ⓑ 对于通过形心且垂直的 \(y'\) 轴的惯性矩 \(I_{y'}\):
\[ I_{y'} = \sum (I_{yi} + A_i d_{xi}^2) \]
▮▮▮▮▮▮▮▮ 使用平行轴定理计算，其中 \(I_{yi}\) 是每个矩形部件相对于自身形心 \(y\) 轴的惯性矩，\(d_{xi}\) 是每个矩形部件形心到整体形心 \(y'\) 轴的距离。
\[ I_{y'} = 2 \times \left[ \frac{t_f \times B^3}{12} + (B \times t_f) \times \left( \frac{B}{2} - \bar{x} \right)^2 \right] + \left[ \frac{h_w \times t_w^3}{12} + (h_w \times t_w) \times (-\bar{x})^2 \right] \]

⑤ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
\[ I_p = I_{x'} + I_{y'} \]

⑥ 截面系数 (Section Modulus):
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(x'\) 轴的截面系数 \(W_{x'}\):
\[ W_{x'} = \frac{I_{x'}}{H/2} = \frac{2I_{x'}}{H} \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y'\) 轴的截面系数需要考虑正负两个方向，通常取较小值：
\[ W_{y'}^{+} = \frac{I_{y'}}{B - \bar{x}} \]
\[ W_{y'}^{-} = \frac{I_{y'}}{\bar{x}} \]
\[ W_{y'} = \min(W_{y'}^{+}, W_{y'}^{-}) \]

⑦ 回转半径 (Radius of Gyration):
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(x'\) 轴的回转半径 \(i_{x'}\):
\[ i_{x'} = \sqrt{\frac{I_{x'}}{A}} \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y'\) 轴的回转半径 \(i_{y'}\):
\[ i_{y'} = \sqrt{\frac{I_{y'}}{A}} \]

Appendix B.6 角钢截面 (Angle Section)

角钢截面，也称为 L 型截面，常用于桁架、连接件等构件，其特点是两边垂直，连接方便，但抗扭性能也较弱。

① 几何特征：
▮▮▮▮ 角钢截面由两条相互垂直的肢组成，可以是等边角钢或不等边角钢。等边角钢由边长 \(b\) 和厚度 \(t\) 确定，不等边角钢由两条边长 \(b_1, b_2\) 和厚度 \(t\) 确定。这里以等边角钢为例。

② 面积 (Area) \(A\):
\[ A = b \times t + (b - t) \times t = (2b - t) \times t \]
▮▮▮▮ 可以看作是两个矩形面积相加再减去重叠部分。更简单近似为 \(A \approx 2bt\) 当 \(t\) 远小于 \(b\) 时。

③ 形心 (Centroid) \(C\):
▮▮▮▮ 对于等边角钢，形心位于对称线上。假设直角顶点为原点，两肢沿 \(x\) 轴和 \(y\) 轴，则形心坐标为：
\[ \bar{x} = \bar{y} = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i} = \frac{(b \times t) \times (b/2) + ((b - t) \times t) \times (t/2)}{(2b - t) \times t} = \frac{b^2 t + (b - t) t^2}{2(2b - t) t} = \frac{b^2 + bt - t^2}{2(2b - t)} \]
▮▮▮▮ 当 \(t\) 远小于 \(b\) 时，近似为 \(\bar{x} = \bar{y} \approx \frac{b}{2}\)。形心 \(C = (\bar{x}, \bar{y})\)。

④ 惯性矩 (Moment of Inertia):
▮▮▮▮ 需要相对于通过形心的轴计算惯性矩。
▮▮▮▮ⓐ 对于通过形心且水平的 \(x'\) 轴的惯性矩 \(I_{x'}\):
\[ I_{x'} = \sum (I_{xi} + A_i d_{yi}^2) \]
\[ I_{x'} = \left[ \frac{b \times t^3}{12} + (b \times t) \times \left( \bar{y} - \frac{t}{2} \right)^2 \right] + \left[ \frac{t \times (b-t)^3}{12} + ((b-t) \times t) \times \left( \frac{b-t}{2} - \bar{y} \right)^2 \right] \]
▮▮▮▮ⓑ 对于通过形心且垂直的 \(y'\) 轴的惯性矩 \(I_{y'}\):
\[ I_{y'} = \sum (I_{yi} + A_i d_{xi}^2) \]
\[ I_{y'} = \left[ \frac{t \times b^3}{12} + (b \times t) \times \left( \bar{x} - \frac{b}{2} \right)^2 \right] + \left[ \frac{(b-t) \times t^3}{12} + ((b-t) \times t) \times \left( \frac{t}{2} - \bar{x} \right)^2 \right] \]
▮▮▮▮ 由于等边角钢的对称性，\(I_{x'} = I_{y'}\)。

⑤ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
\[ I_p = I_{x'} + I_{y'} = 2I_{x'} = 2I_{y'} \]

⑥ 截面系数 (Section Modulus):
▮▮▮▮ 由于角钢截面不对称，截面系数需要考虑不同方向。通常对于角钢，主要考虑最小截面系数。对于 \(x'\) 轴和 \(y'\) 轴，最大距离约为 \(\sqrt{2} \times (b - \bar{x})\) 或 \(\sqrt{2} \times (b - \bar{y})\)。
\[ W_{min} \approx \frac{I_{x'}}{\sqrt{2} \times (b - \bar{x})} = \frac{I_{y'}}{\sqrt{2} \times (b - \bar{y})} \]
▮▮▮▮ 精确计算需要确定最远点距离并计算对应截面系数。

⑦ 回转半径 (Radius of Gyration):
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(x'\) 轴的回转半径 \(i_{x'}\):
\[ i_{x'} = \sqrt{\frac{I_{x'}}{A}} \]
▮▮▮▮ⓑ 对于 \(y'\) 轴的回转半径 \(i_{y'}\):
\[ i_{y'} = \sqrt{\frac{I_{y'}}{A}} \]
▮▮▮▮ 由于等边角钢的对称性，\(i_{x'} = i_{y'}\)。

本附录提供了常用截面几何性质的计算公式，读者可以根据实际工程应用，选择合适的截面形状并计算其几何参数，为结构分析和设计提供基础数据。在实际应用中，可能需要查阅更详细的工程手册或使用结构分析软件来获取更精确的截面性质，特别是对于复杂截面形状。

Appendix C: 结构分析常用公式汇总 (Summary of Common Formulas for Structural Analysis)

本附录汇总了结构分析中常用的公式，包括杆件变形公式、强度条件、刚度条件、稳定条件等，方便读者快速查阅和使用。

Appendix C1: 杆件变形公式 (Formulas for Bar Deformation)

Appendix C1.1: 轴向拉伸与压缩 (Axial Tension and Compression)

① 轴力 (Axial Force) \(F_N\):
▮▮▮▮\(F_N = P\) (其中 \(P\) 为轴向外力)
② 正应力 (Normal Stress) \(\sigma\):
▮▮▮▮\(\sigma = \frac{F_N}{A}\) (其中 \(A\) 为横截面面积)
③ 轴向变形 (Axial Deformation) \(\Delta l\):
▮▮▮▮\( \Delta l = \frac{F_N l}{EA} = \frac{Pl}{EA} \) (其中 \(l\) 为杆件长度, \(E\) 为弹性模量)
④ 线应变 (Linear Strain) \(\epsilon\):
▮▮▮▮\(\epsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{\sigma}{E}\)

Appendix C1.2: 扭转 (Torsion)

① 扭矩 (Torsional Moment) \(T\):
▮▮▮▮\(T\) (根据外力计算)
② 剪应力 (Shear Stress) \(\tau\):
▮▮▮▮ⓑ 圆轴 (Circular Shaft): \(\tau = \frac{T\rho}{I_p}\) (其中 \(\rho\) 为半径, \(I_p\) 为极惯性矩)
▮▮▮▮ⓒ 最大剪应力 (Maximum Shear Stress) \(\tau_{max}\): \(\tau_{max} = \frac{Tr}{I_p}\) (其中 \(r\) 为圆轴半径)
▮▮▮▮ⓓ 薄壁圆筒 (Thin-walled Circular Tube): \(\tau \approx \frac{T}{2\pi r^2 t}\) (其中 \(t\) 为壁厚)
⑤ 扭转角 (Angle of Twist) \(\varphi\):
▮▮▮▮ⓕ 圆轴 (Circular Shaft): \(\varphi = \frac{Tl}{GI_p}\) (其中 \(G\) 为剪切模量)
▮▮▮▮ⓖ 薄壁圆筒 (Thin-walled Circular Tube): \(\varphi = \frac{Tl}{G(2\pi r^3 t)}\)
⑧ 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia) \(I_p\):
▮▮▮▮ⓘ 圆轴 (Circular Shaft): \(I_p = \frac{\pi d^4}{32}\) (其中 \(d\) 为直径)
▮▮▮▮ⓙ 圆环 (Circular Ring): \(I_p = \frac{\pi}{32} (D^4 - d^4)\) (其中 \(D\) 为外径, \(d\) 为内径)

Appendix C1.3: 弯曲 (Bending)

① 弯矩 (Bending Moment) \(M\):
▮▮▮▮\(M\) (根据外力及支反力计算)
② 剪力 (Shear Force) \(F_S\):
▮▮▮▮\(F_S\) (根据外力及支反力计算)
③ 正应力 (Normal Stress) \(\sigma\):
▮▮▮▮\(\sigma = \frac{My}{I_z}\) (其中 \(y\) 为距中性轴的距离, \(I_z\) 为截面惯性矩)
▮▮▮▮ⓐ 最大弯曲正应力 (Maximum Bending Normal Stress) \(\sigma_{max}\): \(\sigma_{max} = \frac{M_{max}W_z}{I_z} = \frac{M_{max}}{W_z}\) (其中 \(W_z = \frac{I_z}{y_{max}}\) 为弯曲截面系数)
④ 剪应力 (Shear Stress) \(\tau\):
▮▮▮▮\(\tau = \frac{F_S S_z}{bI_z}\) (其中 \(S_z\) 为剪力作用点以上（或以下）部分截面面积对中性轴的静矩, \(b\) 为剪力作用点处截面宽度)
⑤ 挠度 (Deflection) \(w\):
▮▮▮▮ⓑ 积分法 (Integration Method): \(\frac{d^2w}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI_z}\) (通过两次积分确定挠度 \(w(x)\))
▮▮▮▮ⓒ 叠加法 (Superposition Method): 将复杂荷载分解为简单荷载，分别计算挠度后叠加
▮▮▮▮ⓓ 常用梁的挠度公式 (Deflection formulas for common beams) (查阅手册)
⑥ 转角 (Rotation Angle) \(\theta\):
▮▮▮▮ⓕ \(\theta = \frac{dw}{dx}\)

Appendix C1.4: 组合变形 (Combined Deformations)

① 叠加原理 (Superposition Principle):
▮▮▮▮在弹性范围内，总变形等于各分变形的矢量和，总应力等于各分应力的矢量和。
② 强度理论 (Strength Theories):
▮▮▮▮ⓑ 第一强度理论 (Maximum Normal Stress Theory): \(\sigma_1 \le [\sigma]\)
▮▮▮▮ⓒ 第二强度理论 (Maximum Strain Theory): \(\epsilon_1 \le [\epsilon]\)
▮▮▮▮ⓓ 第三强度理论 (Maximum Shear Stress Theory): \(\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \le [\tau]\) 或 \(\sigma_{eq} = \sigma_1 - \sigma_3 \le [\sigma]\)
▮▮▮▮ⓔ 第四强度理论 (Distortion Energy Theory): \(\sigma_v = \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]} \le [\sigma]\)

Appendix C2: 强度条件 (Strength Conditions)

① 轴向拉伸与压缩强度条件 (Strength condition for axial tension and compression):
▮▮▮▮\(\sigma_{max} = \frac{|F_N|_{max}}{A} \le [\sigma]\)
② 扭转强度条件 (Strength condition for torsion):
▮▮▮▮\(\tau_{max} = \frac{|T|_{max}r}{I_p} \le [\tau]\)
③ 弯曲强度条件 (Strength condition for bending):
▮▮▮▮\(\sigma_{max} = \frac{|M|_{max}}{W_z} \le [\sigma]\)
④ 组合变形强度条件 (Strength condition for combined deformations):
▮▮▮▮根据不同的强度理论选择相应的等效应力 (Equivalent Stress) \(\sigma_{eq}\) 或 \(\tau_{max}\)，并满足 \(\sigma_{eq} \le [\sigma]\) 或 \(\tau_{max} \le [\tau]\)。

Appendix C3: 刚度条件 (Stiffness Conditions)

① 轴向拉伸与压缩刚度条件 (Stiffness condition for axial tension and compression):
▮▮▮▮\( \Delta l_{max} \le [\Delta l] \)
② 扭转刚度条件 (Stiffness condition for torsion):
▮▮▮▮\(\varphi_{max} \le [\varphi]\)
③ 弯曲刚度条件 (Stiffness condition for bending):
▮▮▮▮\(w_{max} \le [w]\)

Appendix C4: 稳定条件 (Stability Conditions)

① 细长压杆欧拉公式 (Euler's formula for slender columns):
▮▮▮▮临界力 (Critical Load) \(P_{cr}\): \(P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{\mu^2 l^2}\) (其中 \(\mu\) 为有效长度系数)
▮▮▮▮临界应力 (Critical Stress) \(\sigma_{cr}\): \(\sigma_{cr} = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}\) (其中 \(\lambda = \frac{\mu l}{i}\) 为柔度, \(i = \sqrt{\frac{I}{A}}\) 为截面回转半径)
② 稳定条件 (Stability condition):
▮▮▮▮\(n = \frac{P_{cr}}{P} \ge [n_{st}] \) 或 \(P \le P_{cr} / [n_{st}] \) (其中 \(n\) 为稳定安全系数, \([n_{st}]\) 为允许稳定安全系数)

符号说明 (Notation):
⚝ \(F_N\) - 轴力 (Axial Force)
⚝ \(P\) - 轴向外力 (Axial External Force)
⚝ \(A\) - 横截面面积 (Cross-sectional Area)
⚝ \(\sigma\) - 正应力 (Normal Stress)
⚝ \(\Delta l\) - 轴向变形 (Axial Deformation)
⚝ \(l\) - 杆件长度 (Bar Length)
⚝ \(E\) - 弹性模量 (Elastic Modulus)
⚝ \(\epsilon\) - 线应变 (Linear Strain)
⚝ \(T\) - 扭矩 (Torsional Moment)
⚝ \(\tau\) - 剪应力 (Shear Stress)
⚝ \(\rho\) - 半径 (Radius)
⚝ \(r\) - 半径 (Radius)
⚝ \(I_p\) - 极惯性矩 (Polar Moment of Inertia)
⚝ \(G\) - 剪切模量 (Shear Modulus)
⚝ \(\varphi\) - 扭转角 (Angle of Twist)
⚝ \(d\) - 直径 (Diameter)
⚝ \(D\) - 外径 (Outer Diameter)
⚝ \(t\) - 壁厚 (Wall Thickness)
⚝ \(M\) - 弯矩 (Bending Moment)
⚝ \(F_S\) - 剪力 (Shear Force)
⚝ \(y\) - 距中性轴的距离 (Distance from Neutral Axis)
⚝ \(I_z\) - 截面惯性矩 (Moment of Inertia about z-axis)
⚝ \(W_z\) - 弯曲截面系数 (Bending Section Modulus)
⚝ \(S_z\) - 静矩 (Static Moment)
⚝ \(b\) - 截面宽度 (Section Width)
⚝ \(w\) - 挠度 (Deflection)
⚝ \(\theta\) - 转角 (Rotation Angle)
⚝ \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) - 主应力 (Principal Stresses)
⚝ \([\sigma]\) - 许用正应力 (Allowable Normal Stress)
⚝ \([\tau]\) - 许用剪应力 (Allowable Shear Stress)
⚝ \([\epsilon]\) - 许用应变 (Allowable Strain)
⚝ \([\Delta l]\) - 许用轴向变形 (Allowable Axial Deformation)
⚝ \([\varphi]\) - 许用扭转角 (Allowable Angle of Twist)
⚝ \([w]\) - 许用挠度 (Allowable Deflection)
⚝ \(P_{cr}\) - 临界力 (Critical Load)
⚝ \(\mu\) - 有效长度系数 (Effective Length Factor)
⚝ \(\lambda\) - 柔度 (Slenderness Ratio)
⚝ \(i\) - 截面回转半径 (Radius of Gyration)
⚝ \([n_{st}]\) - 允许稳定安全系数 (Allowable Stability Safety Factor)

Appendix D: 有限元分析软件简介 (Introduction to Finite Element Analysis Software)

本附录简要介绍了常用的有限元分析软件，如ANSYS, ABAQUS, COMSOL等，以及它们的基本功能和应用特点，为读者进一步学习有限元分析软件提供参考。

Appendix D1: ANSYS 简介 (Introduction to ANSYS)

本节将介绍ANSYS软件的基本信息、主要功能、应用领域以及软件特点，旨在为读者提供ANSYS软件的概览。

Appendix D1.1: 概述 (Overview)

简要介绍ANSYS公司的背景，ANSYS软件的历史、版本演变及其在有限元分析领域的地位。
① ANSYS (Analysis System) 是一款由ANSYS公司开发和发行的通用有限元分析软件。
② ANSYS公司成立于1970年，是全球领先的工程模拟软件提供商。
③ ANSYS软件经历了多年的发展，从最初的结构分析软件，扩展到如今涵盖结构力学、流体动力学 (Computational Fluid Dynamics, CFD)、电磁学、热力学、系统仿真等多个物理场的综合仿真平台。
④ ANSYS软件以其强大的功能、全面的物理场覆盖和成熟的商业化应用，在工业界和学术界都享有盛誉，是有限元分析领域事实上的行业标准之一。

Appendix D1.2: 主要功能与特点 (Main Features and Characteristics)

详细描述ANSYS软件在结构分析、流体分析、电磁分析等方面的核心功能，以及其在用户界面、求解器技术、多物理场耦合等方面的特点。
① 结构力学分析 (Structural Mechanics Analysis):
▮▮▮▮ⓑ 静态结构分析 (Static Structural Analysis): 用于计算结构在静态载荷作用下的应力、应变、变形等。可以处理线性和非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和接触非线性。
▮▮▮▮ⓒ 瞬态动力学分析 (Transient Dynamic Analysis): 用于分析结构在时变载荷作用下的动态响应，如冲击、振动、地震等。
▮▮▮▮ⓓ 模态分析 (Modal Analysis): 用于确定结构的固有频率和振型，为振动分析和抗震设计提供基础。
▮▮▮▮ⓔ 谐响应分析 (Harmonic Response Analysis): 用于分析结构在谐波载荷作用下的稳态响应。
▮▮▮▮ⓕ 谱分析 (Spectrum Analysis): 用于地震反应谱分析和随机振动分析。
▮▮▮▮ⓖ 屈曲分析 (Buckling Analysis): 用于评估结构的稳定性，预测结构的屈曲临界载荷。
▮▮▮▮ⓗ 断裂力学分析 (Fracture Mechanics Analysis): 用于分析裂纹的扩展和结构的断裂行为。
⑨ 流体动力学分析 (CFD):
▮▮▮▮ⓙ 计算流体动力学 (CFD) 仿真: 提供全面的CFD仿真能力，包括层流、湍流、多相流、可压缩流、不可压缩流、传热、燃烧等。
▮▮▮▮ⓚ FLUENT 和 CFX 求解器: 集成了两个强大的CFD求解器，FLUENT 和 CFX，可以满足不同类型流体问题的求解需求。
⑫ 电磁分析 (Electromagnetic Analysis):
▮▮▮▮ⓜ 低频电磁分析 (Low-Frequency Electromagnetic Analysis): 用于分析电机、变压器、传感器等设备的电磁场。
▮▮▮▮ⓝ 高频电磁分析 (High-Frequency Electromagnetic Analysis): 用于分析天线、微波器件、射频电路等高频电磁问题。
⑮ 热力学分析 (Thermal Analysis):
▮▮▮▮ⓟ 稳态热分析 (Steady-State Thermal Analysis): 用于计算结构在稳态热载荷作用下的温度分布。
▮▮▮▮ⓠ 瞬态热分析 (Transient Thermal Analysis): 用于分析结构在时变热载荷作用下的温度响应。
▮▮▮▮ⓡ 热-结构耦合分析 (Thermal-Structural Coupling Analysis): 用于分析温度场和应力场相互影响的热-结构耦合问题。
⑲ 多物理场耦合分析 (Multiphysics Coupling Analysis):
▮▮▮▮ⓣ 提供强大的多物理场耦合分析能力，可以模拟结构、流体、电磁、热力等多个物理场之间的相互作用。
⑳ 用户界面与前/后处理 (User Interface and Pre/Post-processing):
▮▮▮▮ⓥ ANSYS Workbench 平台: 提供集成化的Workbench平台，方便用户进行模型建立、网格划分、求解设置、结果后处理等操作。
▮▮▮▮ⓦ 强大的前处理能力: 支持多种CAD软件接口，方便模型导入和几何清理。提供丰富的网格划分工具，可以生成高质量的结构化网格和非结构化网格。
▮▮▮▮ⓧ 丰富的后处理功能: 提供多样化的结果显示方式，如图形、动画、报告等，方便用户进行结果分析和可视化。
⑳ 求解器技术 (Solver Technology):
▮▮▮▮ⓩ 先进的求解器算法: 采用先进的有限元求解算法，如直接法、迭代法、特征值求解器等，保证求解的精度和效率。
▮▮▮▮ⓩ 高性能计算 (High-Performance Computing, HPC) 支持: 支持并行计算，可以充分利用多核处理器和集群资源，加速大型复杂问题的求解。

Appendix D1.3: 应用领域 (Application Areas)

列举ANSYS软件在航空航天、汽车工业、生物医学、土木工程等领域的典型应用案例，展示ANSYS软件的广泛适用性。
① 航空航天 (Aerospace):
▮▮▮▮ⓑ 飞机结构分析: 用于飞机机身、机翼、起落架等结构的强度、刚度、稳定性和疲劳分析。
▮▮▮▮ⓒ 航空发动机分析: 用于发动机叶片、燃烧室、涡轮等部件的热力分析和结构分析。
▮▮▮▮ⓓ 飞行器气动分析: 用于飞行器的气动性能分析和优化设计。
⑤ 汽车工业 (Automotive):
▮▮▮▮ⓕ 车身结构分析: 用于车身结构的碰撞分析、NVH (Noise, Vibration, Harshness) 分析和疲劳分析。
▮▮▮▮ⓖ 发动机和动力总成分析: 用于发动机、变速器、驱动轴等部件的结构和热力分析。
▮▮▮▮ⓗ 汽车空气动力学分析: 用于汽车外形的气动优化设计，降低风阻。
⑨ 生物医学 (Biomedical):
▮▮▮▮ⓙ 医疗器械设计: 用于人工关节、牙种植体、心血管支架等医疗器械的结构分析和生物力学分析。
▮▮▮▮ⓚ 生物组织力学分析: 用于研究生物组织的力学特性，如骨骼、肌肉、血管等。
⑫ 土木工程 (Civil Engineering):
▮▮▮▮ⓜ 桥梁结构分析: 用于桥梁的静力分析、动力分析、稳定分析和抗震分析。
▮▮▮▮ⓝ 建筑结构分析: 用于高层建筑、体育场馆等复杂结构的结构分析和抗震设计。
⑮ 电子电器 (Electronics and Electrical):
▮▮▮▮ⓟ 电子设备散热分析: 用于电子设备的热管理设计，防止过热。
▮▮▮▮ⓠ 电磁兼容性 (Electromagnetic Compatibility, EMC) 分析: 用于评估电子设备的电磁兼容性，降低电磁干扰。
⑱ 其他领域: 包括能源、化工、机械制造、消费品等众多领域。

Appendix D2: ABAQUS 简介 (Introduction to ABAQUS)

本节将介绍ABAQUS软件的基本信息、主要功能、应用领域以及软件特点，旨在为读者提供ABAQUS软件的概览。

Appendix D2.1: 概述 (Overview)

简要介绍Dassault Systèmes公司的背景，ABAQUS软件的历史、版本演变及其在有限元分析领域的地位。
① ABAQUS 是一款由Dassault Systèmes (达索系统) 公司开发的强大的有限元分析软件套件。
② ABAQUS 最初由HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc.) 公司开发，后被达索系统收购，成为其SIMULIA 产品组合的核心组成部分。
③ ABAQUS 以其在非线性分析、显式动力学分析和材料建模方面的卓越能力而闻名，尤其擅长处理高度复杂的工程问题。
④ ABAQUS 在学术界和工业界都得到广泛应用，特别是在汽车、航空航天、能源等领域，被认为是解决复杂力学问题的首选工具之一。

Appendix D2.2: 主要功能与特点 (Main Features and Characteristics)

详细描述ABAQUS软件在非线性分析、显式动力学分析、材料建模等方面的核心功能，以及其在求解器技术、用户界面、定制化等方面的特点。
① 非线性分析 (Nonlinear Analysis):
▮▮▮▮ⓑ 材料非线性 (Material Nonlinearity): 提供丰富的材料模型，包括弹塑性、超弹性、粘弹性、损伤模型等，可以精确模拟各种材料的非线性行为。
▮▮▮▮ⓒ 几何非线性 (Geometric Nonlinearity): 可以处理大变形、大位移问题，考虑几何形状变化对结构响应的影响。
▮▮▮▮ⓓ 接触非线性 (Contact Nonlinearity): 提供强大的接触分析功能，可以模拟各种类型的接触，如滑动、摩擦、分离等。
⑤ 显式动力学分析 (Explicit Dynamics Analysis):
▮▮▮▮ⓕ ABAQUS/Explicit 求解器: 提供专门用于高速冲击、碰撞、爆炸等瞬态动力学问题的显式求解器，具有高效的计算性能和稳定性。
⑦ 材料建模 (Material Modeling):
▮▮▮▮ⓗ 广泛的材料库: 内置丰富的材料模型库，涵盖金属、塑料、橡胶、复合材料、泡沫材料、土壤、混凝土等多种工程材料。
▮▮▮▮ⓘ 用户自定义材料模型 (User Material Subroutines): 允许用户通过编写用户子程序 (如 FORTRAN 或 C++) 自定义材料模型，满足特殊材料的模拟需求。
⑩ 断裂与损伤分析 (Fracture and Damage Analysis):
▮▮▮▮ⓚ 断裂力学分析: 支持裂纹扩展分析，可以预测结构的断裂失效行为。
▮▮▮▮ⓛ 损伤力学分析: 提供多种损伤模型，如连续损伤力学模型、内聚力模型等，可以模拟材料的损伤演化过程。
⑬ 多物理场耦合分析 (Multiphysics Coupling Analysis):
▮▮▮▮ⓝ 热-结构耦合分析
▮▮▮▮ⓞ 流-固耦合分析 (Fluid-Structure Interaction, FSI)
▮▮▮▮ⓟ 电-热耦合分析
▮▮▮▮ⓠ 磁-结构耦合分析
⑱ 用户界面与前/后处理 (User Interface and Pre/Post-processing):
▮▮▮▮ⓢ ABAQUS/CAE (Complete ABAQUS Environment): 提供集成化的CAE环境，包括模型建立、网格划分、求解设置、结果后处理等模块。
▮▮▮▮ⓣ Python 脚本接口: 支持Python脚本编程，用户可以通过脚本实现自动化建模、参数化分析和定制化后处理。
⑳ 求解器技术 (Solver Technology):
▮▮▮▮ⓥ 隐式求解器 (ABAQUS/Standard): 用于静态和低速动态问题，具有高精度和收敛性。
▮▮▮▮ⓦ 显式求解器 (ABAQUS/Explicit): 用于高速动态问题，具有高效的计算性能和稳定性。
▮▮▮▮ⓧ 高性能计算 (HPC) 支持: 支持并行计算，可以加速大型复杂问题的求解。

Appendix D2.3: 应用领域 (Application Areas)

列举ABAQUS软件在汽车碰撞、飞机结构强度分析、轮胎力学分析、核工程等领域的典型应用案例，展示ABAQUS软件在处理复杂问题上的优势。
① 汽车工业 (Automotive):
▮▮▮▮ⓑ 碰撞安全分析 (Crashworthiness Analysis): 用于汽车碰撞仿真，评估车辆的碰撞安全性能，优化车身结构设计。
▮▮▮▮ⓒ NVH 分析: 用于汽车的NVH性能分析，降低噪声和振动。
▮▮▮▮ⓓ 轮胎力学分析: 用于轮胎的结构分析、磨损分析和滚动阻力分析。
⑤ 航空航天 (Aerospace):
▮▮▮▮ⓕ 飞机结构强度分析: 用于飞机机身、机翼等结构的强度和稳定性分析，保证飞行安全。
▮▮▮▮ⓖ 复合材料结构分析: 用于复合材料飞机的结构设计和性能评估。
⑧ 能源 (Energy):
▮▮▮▮ⓘ 石油天然气工程: 用于海底管道、钻井平台等结构的力学分析和安全性评估。
▮▮▮▮ⓙ 核工程: 用于核反应堆压力容器、核燃料元件等关键部件的结构分析和安全性分析。
⑪ 土木工程 (Civil Engineering):
▮▮▮▮ⓛ 大型桥梁和隧道分析: 用于大型桥梁、隧道等复杂结构的力学性能分析和安全评估。
▮▮▮▮ⓜ 地震工程: 用于建筑结构的抗震分析和抗震设计。
⑭ 生物医学 (Biomedical):
▮▮▮▮ⓞ 生物力学分析: 用于人体骨骼、关节、软组织等生物组织的力学特性研究。
▮▮▮▮ⓟ 医疗器械仿真: 用于医疗器械的性能评估和优化设计。

Appendix D3: COMSOL Multiphysics 简介 (Introduction to COMSOL Multiphysics)

本节将介绍COMSOL Multiphysics软件的基本信息、主要功能、应用领域以及软件特点，旨在为读者提供COMSOL Multiphysics软件的概览。

Appendix D3.1: 概述 (Overview)

简要介绍COMSOL公司的背景，COMSOL Multiphysics软件的历史、版本演变及其在有限元分析领域的地位。
① COMSOL Multiphysics 是一款由COMSOL公司开发的强大的多物理场仿真软件。
② COMSOL公司成立于1986年，最初名为COnsortium for SOLvers，专注于数值求解器开发。
③ COMSOL Multiphysics 以其强大的多物理场耦合能力、灵活的用户界面和易用性而著称，特别适合于需要考虑多个物理场相互作用的复杂工程和科学问题。
④ COMSOL Multiphysics 在科研领域和工程领域都得到广泛应用，尤其在学术界和研发部门中备受欢迎，被认为是多物理场仿真领域的领先软件之一。

Appendix D3.2: 主要功能与特点 (Main Features and Characteristics)

详细描述COMSOL Multiphysics软件在多物理场耦合分析、用户界面、模型构建器等方面的核心功能，以及其在易用性、定制化、扩展性等方面的特点。
① 多物理场耦合分析 (Multiphysics Coupling Analysis):
▮▮▮▮ⓑ 预定义多物理场接口: 提供丰富的预定义多物理场接口，如热-结构耦合、流-固耦合、电磁-热耦合、化学反应-传热等，用户可以方便地进行多物理场耦合仿真。
▮▮▮▮ⓒ 任意物理场组合: 允许用户自由组合各种物理场，构建定制化的多物理场模型，满足特定的仿真需求。
④ 广泛的物理场模块 (Wide Range of Physics Modules):
▮▮▮▮ⓔ 结构力学模块 (Structural Mechanics Module): 包括静力学、动力学、频率响应、屈曲、预应力分析等。
▮▮▮▮ⓕ AC/DC 模块 (AC/DC Module): 用于低频电磁场分析，如静电场、静磁场、电流场、电磁感应等。
▮▮▮▮ⓖ RF 模块 (RF Module): 用于高频电磁场分析，如微波器件、天线、波导等。
▮▮▮▮ⓗ 波动光学模块 (Wave Optics Module): 用于光学波传播、衍射、干涉等现象的仿真。
▮▮▮▮ⓘ 流体流动模块 (Fluid Flow Module): 包括层流、湍流、多相流、非牛顿流体、稀薄气体流动等。
▮▮▮▮ⓙ 传热模块 (Heat Transfer Module): 包括传导、对流、辐射、相变传热等。
▮▮▮▮ⓚ 化学反应工程模块 (Chemical Reaction Engineering Module): 用于化学反应器设计、反应动力学分析、物质传递等。
▮▮▮▮ⓛ 声学模块 (Acoustics Module): 用于声波传播、噪声分析、扬声器设计等。
▮▮▮▮ⓜ MEMS 模块 (MEMS Module): 用于微机电系统 (Micro-Electro-Mechanical Systems, MEMS) 设计和分析。
⑭ 用户界面与模型构建器 (User Interface and Model Builder):
▮▮▮▮ⓞ 图形化用户界面 (Graphical User Interface, GUI): 提供直观友好的GUI，用户可以通过图形化操作完成模型建立、求解设置和结果后处理。
▮▮▮▮ⓟ 模型构建器 (Model Builder): 采用树状结构的模型构建器，清晰地组织模型的所有设置，方便用户管理和编辑。
⑰ LiveLink™ 与 CAD 软件集成 (LiveLink™ and CAD Software Integration):
▮▮▮▮ⓡ 与主流CAD软件 (如 SolidWorks, AutoCAD, Inventor, Creo Parametric 等) 提供 LiveLink™ 双向同步接口，实现CAD模型与COMSOL模型的无缝集成。
⑲ Application Builder 与 COMSOL Server™ (Application Builder and COMSOL Server™):
▮▮▮▮ⓣ Application Builder: 允许用户将COMSOL模型封装成定制化的App应用程序，无需COMSOL许可证即可运行。
▮▮▮▮ⓤ COMSOL Server™: 用于部署和管理COMSOL App应用程序，实现仿真结果的共享和协作。
⑳ 求解器技术 (Solver Technology):
▮▮▮▮ⓦ 多种求解器选择: 提供多种求解器，包括直接求解器、迭代求解器、特征值求解器、时域求解器、频域求解器等，用户可以根据问题类型选择合适的求解器。
▮▮▮▮ⓧ 自适应网格剖分 (Adaptive Meshing): 支持自适应网格剖分技术，可以自动优化网格，提高求解精度和效率。
▮▮▮▮ⓨ 高性能计算 (HPC) 支持: 支持并行计算，可以加速大型复杂问题的求解。

Appendix D3.3: 应用领域 (Application Areas)

列举COMSOL Multiphysics软件在科研、产品设计、教学等领域的典型应用案例，展示COMSOL Multiphysics软件在多物理场仿真方面的独特优势。
① 科研领域 (Research and Development):
▮▮▮▮ⓑ 多物理场耦合现象研究: 用于各种多物理场耦合现象的机理研究，如电磁流体动力学、热声效应、压电效应等。
▮▮▮▮ⓒ 新材料和新器件研发: 用于新材料的性能评估和新器件的设计优化。
④ 产品设计 (Product Design and Engineering):
▮▮▮▮ⓔ 电子设备散热设计: 用于电子设备的散热分析和热管理优化。
▮▮▮▮ⓕ 传感器设计: 用于各种类型传感器的性能仿真和优化设计。
▮▮▮▮ⓖ 微流控器件设计: 用于微流控芯片的设计和流体行为分析。
⑧ 教学 (Education):
▮▮▮▮ⓘ 工程仿真教学: COMSOL Multiphysics 因其易用性和多物理场耦合能力，被广泛应用于大学和研究机构的工程仿真教学。
▮▮▮▮ⓙ 物理概念可视化: 可以直观地展示各种物理场的分布和耦合效应，帮助学生理解抽象的物理概念。
⑪ 其他领域: 包括生物医学工程、化工工程、光学工程、声学工程、MEMS/NEMS (Nano-Electro-Mechanical Systems) 等众多领域。